В данном параграфе рассмотрим задачи, связанные с различными системами координат, делением отрезка в заданном отношении.
Даны координаты точек: А (4; 3), В (7; 6), С (2; 11). Докажем, что треугольник АВС прямоугольный.
Найдем длины сторон треугольника АВС . С этой целью используем формулу, позволяющую находить расстояние между двумя точками на плоскости:
Длины сторон будут равны:
Учитывая, что для сторон данного треугольника выполняется теорема Пифагора
то треугольник АВС – прямоугольный.
Даны точки А (2; 1) и В (8; 4). Найдем координаты точки М (х ; у ), которая делит отрезок в отношении 2:1.
Напомним, что точка М (х ; у ) делит отрезок АВ , где A (x A , y A ), B (x B , y B ), в отношении λ: μ, если ее координаты удовлетворяют условиям:
,
.
Найдем точку М для данного отрезка
,
.
Таким образом, точка М (6; 3) делит отрезок АВ в отношении 2:1.
Найдем прямоугольные
координаты точки А
(
3π/4),
если полюс совпадает с началом координат,
а полярная ось направлена по оси абсцисс.
Учитывая формулы перехода от полярной к прямоугольной системе координат
x = r cosφ, y = r sinφ,
получаем
,
.
В прямоугольной декартовой системе координат координаты точки А (–2; 2).
Найдем полярные координаты точек, имеющих следующие прямоугольные координаты:
А
(
;
2),В
(–4;
4), С
(–7;
0).
Используем формулы перехода от прямоугольных координат к полярным:
,
.
Получим координаты для точки А :
,
.
Таким образом А (4; π/6) – полярные координаты (рис. 15).
Для точки В (рис. 16) имеем
,
.
Следовательно,
полярные координаты точки В
(
,
3π/4).
Рассмотрим точку С (–7; 0) (рис. 17). В этом случае
,
,
.
Можно записать полярные координаты точки С (7; π).
Найдем длину вектора a = 20i + 30j – 60k и его направляющие косинусы.
Напомним, что направляющие косинусы – это косинусы углов, которые вектор a (a 1 , a 2 , a 3) образует с осями координат:
,
,
,
где
.
Применим эти формулы к данному вектору, получим
,
.
Нормируем вектор a = 3i + 4j – 12k .
Нормировать
вектор – это найти вектор единичной
длины а
0 ,
направленный также как и данный вектор.
Для произвольного вектора a
(a
1 ,
a
2 ,
a
3)
соответствующий вектор единичной длины
можно найти, умножив a
на дробь
.
.
В нашем случае и вектор единичной длины:
.
Найдем скалярное произведение векторов
a = 4i + 5j + 6k и b = 3i – 4j + k .
Для того чтобы найти скалярное произведение векторов, нужно умножить соответствующие координаты и полученные произведения сложить. Так, для векторов a = a 1 i + a 2 j + a 3 k и b = b 1 i + b 2 j + b 3 k скалярное произведение имеет вид:
(a , b ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 .
Для данных векторов получаем
(a , b ) = 4∙3 + 5∙(–4) + 6∙1 = 12 – 20 + 6 = –2.
Покажем, что векторы a = 2i – 3j + 5k и b = i + 4j + 2k перпендикулярны.
Два вектора перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.
Найдем скалярное произведение:
(a , b ) = 2∙1 + (–3)∙4 + 5∙2 = 2 – 12 + 10 = 0.
Таким образом, векторы а и b перпендикулярны.
Выясним, при каком значении параметра m векторы a = 2i + 3j + m k и b = 3i + m j – 2k перпендикулярны.
Найдем скалярное произведение векторов а и b :
(a , b ) = 2∙3 + 3∙m – 2∙m = 6 + m .
Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю. Приравниваем к нулю произведение (а , b ):
6 + m = 0.
При m = – 6 векторы а и b перпендикулярны.
Пример 10.
Найдем скалярное произведение (3а + 4b , 2а – 3b ), если |a | = 2, |b | = 1 и угол φ между а и b равен π/3.
Воспользуемся свойствами скалярного произведения:
(αa , βb ) = αβ(a , b ),
(a + b , c ) = (a , c ) + (b , c ),
(a , b ) = (b , a )
(a , a ) = |a | 2 ,
а также определением скалярного произведения (a , b ) = |a |∙|b |∙cosφ. Перепишем скалярное произведение в виде
(3a + 4b , 2a – 3b ) = 6(a , a ) – 9(a , b ) + 8(b , a ) – 12(b , b ) =
6|a | 2 – (a , b ) – 12|b | 2 = 6∙2 2 – 2∙1∙cos(π/3) – 12∙1 2 = 11.
Пример 11.
Определим угол между векторами
a = i + 2j + 3k и b = 6i + 4j – 2k .
Для нахождения угла воспользуемся определением скалярного произведения двух векторов
(a , b ) = |a |∙|b |∙cosφ,
где φ – угол между векторами а и b . Выразим cosφ из этой формулы
.
Учитывая, что (а
,
b
)
= 1∙6 + 2∙4 + 3∙(–2) = 8,
,,
получаем:
.
Следовательно,
.
Пример 12.
a = 5i – 2j + 3k и b = i + 2j – 4k .
Известно, что векторное произведение векторов a = a 1 i + a 2 j + a 3 k и b = b 1 i + b 2 j + b 3 k находится по формуле
.
Следовательно, для данных векторов
2i + 23j + 12k .
Рассмотрим пример, где для нахождения модуля векторного произведения будет использоваться определение векторного произведения, а не выражение его через координаты сомножителей, как было в предыдущем примере.
Пример 13.
Найдем модуль векторного произведения векторов а + 2b и 2а – 3b , если |a | = 1, |b | = 2 и угол между векторами а и b равен 30°.
Из определения векторного произведения видно, что для произвольных векторов а и b его модуль равен
|[a , b ] | = |a | ∙ |b | ∙ sin φ.
Учитывая свойства векторного произведение
[a , b ] = – [b , a ],
[a , a ] = 0,
[αa + βb , c ] = α[a , c ] + β[b , c ],
получаем
[a + 2b , 2a – 3b ] = 2[a , a ] – 3[a , b ] + 4[b , a ] – 6[b , b ] = –7[a , b ].
Значит, модуль векторного произведения равен
|[a + 2b , 2a – 3b ]| = |–7[a , b ]| = 7 ∙ |a | ∙ |b | ∙ sin 30° = 7∙1∙2∙0,5 = 7.
Пример 14.
Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах
a = 6i + 3j – 2k и b = 3i – 2j + 6k .
Известно, что модуль векторного произведения двух векторов равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах. Найдем векторное произведение по формуле:
,
где a = a 1 i + a 2 j + a 3 k и b = b 1 i + b 2 j + b 3 k . Затем вычислим его модуль.
Для данных векторов получаем
14i – 42j – 21k .
Следовательно, площадь параллелограмма равна
S = |[a , b ]| = (кв. ед.).
Пример 15.
Вычислим площадь треугольника с вершинами А (1;2;1), В (3;3;4), С (2;1;3).
Очевидно,
что площадь треугольника АВС
равна половине площади параллелограмма,
построенного на векторах
и
.
В свою очередь,
площадь параллелограмма, построенного
на векторах
и
,
равна модулю векторного произведения
[
].
Таким образом
|[
]|.
Найдем координаты
векторов
и
,
вычитая из координат конца вектора
соответствующие координаты начала,
получим
= (3 –
1)i
+ (3 – 2)j
+ (4 – 1)k
= 2i
+ j
+ 3k
,
= (2 –
1)i
+ (1 – 2)j
+ (3 – 1)k
= i
– j
+ 2k
.
Найдем векторное произведение:
[
,
]
=
5i
– j
– 3k
.
Найдем модуль векторного произведения:
|[
]|
=
.
Следовательно, можем получить площадь треугольника:
(кв. ед.).
Пример 16.
Вычислим площадь параллелограмма, построенного на векторах a + 3b и 3a – b , если |a | = 2, |b | = 1 и угол между а и b равен 30°.
Найдем модуль векторного произведения, используя его определение и свойства, указанные в примере 13, получим
[a + 3b , 3a – b ] = 3[a , a ] – [a , b ] + 9[b , a ] – 3[b , b ] = –10[a , b ].
Значит, искомая площадь равна
S = |[a + 3b , 3a – b ]| = |–10[a , b ]| = 10 ∙ |a | ∙ |b | ∙ sin 30° =
10∙2∙1∙0,5 = 10 (кв. ед.).
Следующие примеры будут связаны с использованием смешанного произведения векторов.
Пример 17.
Показать, что векторы a = i + 2j – k , b = 3i + k и с = 5i + 4j – k компланарны.
Векторы компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Для произвольных векторов
a = a 1 i + a 2 j + a 3 k , b = b 1 i + b 2 j + b 3 k , c = c 1 i + c 2 j + c 3 k
смешанное произведение находим по формуле:
.
Для данных векторов получаем
.
Таким образом, данные векторы компланарны.
Найдем объем треугольной пирамиды с вершинами А (1;1;1), В (3;2;1), С (2;4;3), D (5;2;4).
Найдем
координаты векторов
,
и
,
совпадающих с ребрами пирамиды. Вычитая
из координат конца вектора соответствующие
координаты начала, получаем
= 2i
+ 3j
,
= i
+ 3j
+ 2k
,
= 4i
+ j
+ 3k
.
Известно, что объем
пирамиды равен 1/6 объема параллелепипеда,
построенного на векторах
,
и
.
Таким образом,
.
В свою очередь, объем параллелепипеда равен модулю смешанного произведения
V
парал
= |(
,
,
)|.
Найдем смешанное произведение
(
,
,
)
=
.
Итак, объем пирамиды равен
(куб. ед.).
В следующих примерах покажем возможное применение векторной алгебры.
Пример 19.
Проверим, являются ли коллинеарными вектора 2а + b и а – 3b , где a = 2i + j – 3k и b = i + 2j + 4k .
Найдем координаты векторов 2а + b и а – 3b :
2а + b = 2(2i + j – 3k ) + i + 2j + 4k = 5i + 4j – 2k ,
а – 3b = 2i + j – 3k – 3(i + 2j + 4k ) = –i – 5j – 15k .
Известно, что у коллинеарных векторов пропорциональные координаты. Учитывая, что
,
получаем, что вектора 2а + b и а – 3b неколлинеарны.
Эту задачу можно было решить и другим способом. Критерием коллинеарности векторов является равенство нулю векторного произведения:
2[a , a ] – 6[a , b ] + [b , a ] – 3[b , b ] = –7[a , b ].
Найдем векторное произведение векторов а и b :
10i – 11j + 3k ≠ 0.
Следовательно,
= –7[a , b ] ≠ 0
и векторы 2а + b и а – 3b неколлинеарны.
Пример 20.
Найдем работу силы F (3; 2; 1), когда точка ее приложения А (2; 4;–6), двигаясь прямолинейно, перемещается в точку В (5; 2; 3).
Известно,
что работа силы – это скалярное
произведение силы F
на вектор перемещения
.
Найдем
координаты вектора
:
= 3i
– 2j
+ 9k
.
Следовательно, работа силы F по перемещению точки А в точку В будет равна скалярному произведению
(F
,
)
= 3∙3 + 2∙(–2) + 1∙9 = 9 – 4 + 9 = 14.
Пример 21.
Пусть сила F (2;3;–1) приложена к точке А (4;2;3). Под действием силы F точка А перемещается в точку В (3;1;2). Найдем модуль момента силы F относительно точки В .
Известно,
что момент силы равен векторному
произведению силы на перемещение. Найдем
вектор перемещения
:
= (3 –
4)i
+
(1 – 2)j
+ (2 – 3)k
= – i
–
j
– k
.
Найдем момент силы как векторное произведение:
= – 4i + 3j + k .
Следовательно, модуль момента силы равен модулю векторного произведения:
|[F
,
]|
=
.
60) Дана система векторов a = (1, 2, 5), b = (4, 0, -1), c = (0, 0, 0). Исследуйте её на линейную зависимость.
а) Система векторов линейно зависима;
б) Система векторов линейно независима;
в) нет правильного ответа.
61) Исследуйте систему векторов
a = (1, -1, 2, 0), b = (1, 5, -2, ), c = (3, -3, 6, 0) на линейную зависимость.
а) система векторов линейно независима;
б) система векторов линейно зависима;
в) нет правильного ответа.
62) Является ли система векторов a = (1, 2), b = (7, ), c = (0, ), d = ( , 1) линейно зависимой?
а) нет, не является;
б) да, является.
63) Выражается ли вектор b = (2, -1, 3) через систему векторов = (1, 0, 2), = (-1, 1, 1), = (0, 1, 3), = (1, 1, 5)
а) нет, не выражается;
б) да, выражается.
64) Исследовать на линейную зависимость систему векторов
a = , b = , c = .
а) линейно независима;
б) линейно зависима;
в) нет правильного ответа.
65) Исследовать на линейную зависимость систему векторов
a = , b = , c =
а) линейно независима;
б) линейно зависима;
в) нет правильного ответа.
66) Является ли система векторов линейно зависимой?
= (2, 0, 6, 0), = (2, 1, 0, 1), = (3, 1, 0, 1), = (3, 0, 4, 0).
а) линейно зависима;
б) линейно независима;
в) нет правильного ответа.
67) Пусть количество линейно независимых строк матрицы равно m, а количество линейно независимых столбцов матрицы равно n. Выберите правильное утверждение.
г) ответ зависит от матрицы.
68) Вектора базиса линейного пространства являются
а) линейно зависимыми;
б) линейно независимыми;
в) ответ зависит от конкретного базиса.
69) что такое вектор?
а) это луч, который показывает направление движения
б) это направленный отрезок с началом в точке А и концом в точке В, который можно перемещать параллельно самому себе
в) это такая фигура, которая состоит из множества равноудаленных друг от друга точек.
г) это отрезок, с началом в точке А и концом в точке В, который нельзя перемещать параллельно самому себе
70) Если линейная комбинация 1 + 2 +….+ƛ р может представлять собой нулевой вектор тогда, когда среди чисел ƛ 1 ,ƛ 2 ,…,ƛ р есть хотя бы одно, отличное от нуля, то система векторов а 1 , а 2 ,…., а р называется:
а) линейно независимой;
б) линейно зависимой;
в) тривиальной;
г) нетривиальной.
71) Если линейная комбинация 1 + 2 +….+ƛ р представляет собой нулевой вектор только тогда, когда все числа ƛ 1 ,ƛ 2 ,…,ƛ р равны нулю, то система векторов а 1 , а 2 ,…., а р называется:
а) линейно независимой;
б) линейно зависимой;
в) тривиальной;
г) нетривиальной.
72) Базисом векторного пространства называется такая система векторов, которая задана в определенном порядке и удовлетворяет условиям:
а) Система линейно независима;
б) Любой вектор пространства является линейной комбинацией данной системы;
в) Верны оба;
г) Оба не верны.
73) Подмножество пространства R n обладающее свойством замкнутости по отношению к операциям сложения и умножения на числа, называется:
а) Линейным предпространством пространства R n ;
б) Проекцией пространства R n ;
в) Линейным подпространством пространства R n ;
г) нет верного ответа.
74) Если конечная система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то она:
а) Линейно зависима;
б) Линейно независима;
75) Если к системе линейно зависимых вектором добавить один или несколько векторов, то полученная система будет:
а) Линейно зависима;
б) Линейно независима;
в) Ни линейно зависима ни линейно независима.
76) Три вектора называются компланарными, если они:
а) Лежат на параллельных прямых;
б) Лежат на одной прямой;
в) Линейно независимы;
г) Лежат в параллельных плоскостях;
77) Два вектора называются коллинеарными если они:
а) Лежат в одной плоскости;
б) Лежат в параллельных плоскостях;
в) Линейно независимы;
г) Лежат на параллельных прямых;
78) Для того что бы два вектора были линейно зависимыми, необходимо что бы они были:
а) Коллениарными;
б) Компланарными;
в) Линейно независимыми;
г) Нет правильного варианта.
79) произведением вектора а= (a 1 ,a 2 ,a 3) на число называется вектор b , равный
а) (a 1 , a 2 , a 3)
б) ( +a 1 , +a 2 , +a 3)
в) (/a 1 , /a 2 , /a 3)
80) если два вектора лежат на одной прямой, то такие векторы являются
а) равными
б) сонаправленными
в) коллинеарными
г) противоположно направленными
81) скалярное произведение векторов равно
а) произведению их длин;
б)произведению их длин на косинус угла между ними;
в)произведению их длин на синус угла между ними;
г) произведению их длин на тангенс угла между ними;
82) произведением вектора а на самого себя называется
а) длиной вектора а
б) скалярным квадратом вектора а
в) направлением вектора а
г) нет верного ответа
83) если произведение векторов равно 0, то такие векторы называются
а) коллинеарными
б) сонаправленными
в) ортогональными
г) параллельными
84) длина вектора равна
а) его скалярному квадрату
б) корню из его скалярного квадрата
в) сумме его координат
г) разности координат конца и начала вектора
85) по каким правилам находят сумму векторов (несколько ответов)
а) правило треугольника
б) правило круга
в) правило параллелограмма
г) правило Гаусса
д) правило многоугольника
е) правило прямоугольника
86) если точка А совпадает с точкой В , то вектор называется
а) единичным вектором
в) нулевым вектором
г) тривиальным вектором
87) для того, чтобы два вектора были коллинеарными, нужно чтобы
а) их координаты были одинаковыми
б) их координаты были пропорциональными
в) их координаты были противоположенными
г) их координаты были равны 0
88) даны два вектора а=2m+4n и b=m-n, где m и n- единичные векторы, образующие угол в 120 0 . Найти угол между векторами а и b.
89) На плоскости даны два единичных вектора m и n. Известно, что угол между ними 60 о. Найти длину вектора а=m+2n (ответ округлить до 0,1)
90) Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах а=-4k и b=2i+j
91) даны длины векторов |a|=2, |b|=3, |a-b|=1. Определить |a+b|
92) Даны три векторы: а=(2;-2), b=(2;-1), c=(2;4). Найти координаты вектора р=2а-b+с.
93) Найти длину вектора a=2i+3j-6k.
94) при каком значении λ векторы a=λi-3j+2k и b=i+2j-λk перпендикулярны?
95) Даны векторы a=6i-4j+k и b=2i-4j+k. Найти угол, образуемый вектором a-b с осью Oz.
96) Даны векторы = (4; –2; –6) и = (–3; 4; –12). Найдите проекцию вектора a на ось вектора b .
97) Найдите угол А треугольника с вершинами А (–1; 3; 2), В (3; 5; –2) и
С (3; 3; –1). Ответ введите в виде 15cosA .
98) Найдите квадрат модуля вектора 
, где и – единичные векторы, составляющие угол 60 o .
99) Найдите скалярное произведение 
и 
100) Даны точки А (3; –1; 2), В (1; 2; –1), С (–4; 4; 1), D (0; –2; 7). Определите тип четырехугольника ABCD.
а) Параллелепипед;
б) Прямоугольник;
в) Трапеция;
101) Вектор = (3; 4) разложен по векторам = (3; –1) и = (1; –2). Выберите верное разложение.
