Ardıcıllığın ümumi müddəti $u_n=n^2$-dır. $n=1$ əvəz edərək, əldə edirik:

$$ u_1=1^2=1. $$

Bu, ardıcıllığın birinci terminidir. $n=2$-ı $u_n=n^2$ ilə əvəz edərək, ardıcıllığın ikinci şərtini alırıq:

$$ u_2=2^2=4. $$

$n=3$ əvəz etsək, ardıcıllığın üçüncü hədini alarıq:

$$ u_3=3^2=9. $$

Eyni şəkildə ardıcıllığın dördüncü, beşinci, altıncı və digər şərtlərini tapırıq. Müvafiq nömrələri belə əldə edirik:

$$ 1;\; 4;\; 9;\; 16;\; 25;\; 36;\; 49;\; 64; \;81; \ldots $$

$u_n=n^3$ ardıcıllığının şərtlərini də yadda saxlamağa dəyər. Budur onun ilk üzvlərindən bəziləri:

\begin(tənlik)1;\; 8;\; 27;\; 64;\; 125;\; 216;\; 343;\; 512;\;729; \ldots \end(tənlik)

Bundan əlavə, seriyanın ümumi terminini yaratmaq üçün tez-tez $u_n=n!$ ardıcıllığından istifadə olunur, ilk bir neçə şərti aşağıdakı kimidir:

\begin(tənlik)1;\; 2;\; 6;\; 24;\; 120;\; 720;\; 5040; \ldots \end(tənlik)

"n!" qeyd edilir ("en faktorial" oxuyun) hamının məhsulunu bildirir natural ədədlər 1-dən n-ə qədər, yəni.

$$ n!=1\cdot2\cdot 3\cdot \ldots\cdot n. $$

Tərifə görə, $0!=1!=1$ olduğu güman edilir. Məsələn, 5-i tapaq!:

$5!=1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5=120. $$

Arifmetik və həndəsi irəliləyişlərdən də tez-tez istifadə olunur. Arifmetik irəliləyişin birinci həddi $a_1$-a, fərq isə $d$-a bərabərdirsə, arifmetik irəliləyişin ümumi üzvü aşağıdakı düsturla yazılır:

\begin(tənlik)a_n=a_1+d\cdot (n-1) \son(tənlik)

Arifmetik irəliləyiş nədir? göstərmək\gizlətmək

Arifmetik irəliləyiş növbəti və əvvəlki həddlər arasındakı fərqin sabit olduğu ədədlər ardıcıllığıdır. Bu daimi fərq adlanır irəliləmə fərqi

$3;\; 10;\; 17;\; 24;\; 31;\; 38;\; 45;\; 52; \ldots $$

Nəzərə alın ki, hansı cüt qonşu elementləri götürməyimizdən asılı olmayaraq, sonrakı və əvvəlki üzvlər arasındakı fərq həmişə sabit və 7-yə bərabər olacaqdır:

\begin(düzülmüş) & 10-3=7;\\ & 17-10=7;\\ & 31-24=7; \ldots\end(düzülmüş)

Bu nömrə, yəni. 7 və irəliləyiş fərqi var. Adətən $d$ hərfi ilə işarələnir, yəni. $d=7$. Proqresiyanın birinci elementi $a_1=3$-dır. Düsturdan istifadə edərək bu irəliləyişin ümumi müddətini yazırıq. $a_1=3$ və $d=7$ əvəz etsək, əldə edəcəyik:

$$ a_n=3+7\cdot (n-1)=3+7n-7=7n-4. $$

Aydınlıq üçün arifmetik irəliləyişin ilk bir neçə şərtini tapmaq üçün $a_n=7n-4$ düsturundan istifadə edək:

\begin(düzülmüş) & a_1=7\cdot 1-4=3;\\ & a_2=7\cdot 2-4=10;\\ & a_3=7\cdot 3-4=17;\\ & a_4= 7\cdot 4-4=24;\\ & a_5=7\cdot 5-4=31. \son (düzülmüş)

$n$ ədədinin istənilən qiymətini $a_n=7n-4$ düsturu ilə əvəz etməklə, arifmetik irəliləyişin istənilən üzvünü əldə edə bilərsiniz.

Həndəsi irəliləyişə də diqqət yetirməyə dəyər. Proqresiyanın birinci həddi $b_1$-a, məxrəci isə $q$-a bərabərdirsə, onda həndəsi irəliləyişin ümumi üzvü aşağıdakı düsturla verilir:

\begin(tənlik)b_n=b_1\cdot q^(n-1) \end(tənlik)

Nə baş verdi həndəsi irəliləyiş? göstərmək\gizlətmək

Həndəsi irəliləyiş, sonrakı və əvvəlki həddlər arasında əlaqənin sabit olduğu ədədlər ardıcıllığıdır. Bu daimi əlaqə adlanır irəliləmənin məxrəci. Məsələn, aşağıdakı ardıcıllığı nəzərdən keçirin:

$6;\; 18;\; 54;\; 162;\; 486;\; 1458;\; 4374; \ldots $$

Nəzərə alın ki, hansı cüt qonşu elementi götürməyimizdən asılı olmayaraq, sonrakı elementin əvvəlki ilə nisbəti həmişə sabit və 3-ə bərabər olacaqdır:

\begin(aligned) & \frac(18)(6)=3;\\ & \frac(54)(18)=3;\\ & \frac(1458)(486)=3;\\ & \ldots \son (düzülmüş)

Bu nömrə, yəni. 3 irəliləyişin məxrəcidir. Adətən $q$ hərfi ilə işarələnir, yəni. $q=3$. Proqresiyanın birinci elementi $b_1=6$-dır. Düsturdan istifadə edərək bu irəliləyişin ümumi müddətini yazırıq. $b_1=6$ və $q=3$ əvəz etsək, əldə edəcəyik:

$$ b_n=6\cdot 3^(n-1). $$

Aydınlıq üçün $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ düsturundan istifadə edərək həndəsi irəliləyişin ilk bir neçə şərtini tapaq:

\begin(üstərilmiş) & b_1=6\cdot 3^0=6;\\ & b_2=6\cdot 3^1=18;\\ & b_3=6\cdot 3^2=54;\\ & b_4= 6\cdot 3^3=162;\\ & b_5=6\cdot 3^4=486. \son (düzülmüş)

$n$ ədədinin istənilən qiymətini $b_n=6\cdot 3^(n-1)$ düsturu ilə əvəz etməklə həndəsi irəliləyişin istənilən həddini əldə edə bilərsiniz.

Aşağıdakı bütün nümunələrdə seriya üzvlərini $u_1$ (seriyanın birinci üzvü), $u_2$ (seriyanın ikinci üzvü) və s. hərflərlə işarələyəcəyik. $u_n$ qeydi seriyanın ümumi terminini ifadə edəcək.

Nümunə № 1

$\frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\ldots$ seriyasının ümumi terminini tapın.

Bu cür tapşırıqların mahiyyəti seriyanın ilk üzvlərinə xas olan nümunəni qeyd etməkdir. Və bu nümunəyə əsasən ümumi üzvün növü haqqında nəticə çıxarın. “Ümumi termini tap” ifadəsi nə deməkdir? Bu o deməkdir ki, seriyanın birinci həddini aldığımız $n=1$ əvəz edərək belə bir ifadə tapmaq lazımdır, yəni. $\frac(1)(7)$; $n=2$ əvəz edərək, seriyanın ikinci terminini alırıq, yəni. $\frac(2)(9)$; $n=3$ əvəz edərək, seriyanın üçüncü şərtini alırıq, yəni. $\frac(3)(11)$ və s. Seriyanın ilk dörd şərtini bilirik:

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13). $$

Tədricən hərəkət edək. Bizə məlum olan seriyanın bütün üzvləri kəsrdir, ona görə də silsilənin ümumi üzvünün də kəsrlə təmsil olunduğunu güman etmək məqsədəuyğundur:

$$ u_n=\frac(?)(?) $$

Bizim vəzifəmiz say və məxrəcdə sual işarələrinin altında nəyin gizləndiyini tapmaqdır. Gəlin əvvəlcə saya baxaq. Bizə məlum olan sıra üzvlərinin sayları 1, 2, 3 və 4 rəqəmləridir. Diqqət yetirin ki, silsilənin hər bir üzvünün sayı paya bərabərdir. Birinci hədddə bir, ikincidə iki, üçüncüdə üç, dördüncüdə dörd var.

N-ci hədisin paylayıcısında $n$ olacağını güman etmək məntiqlidir:

$$ u_n=\frac(n)(?) $$

Yeri gəlmişkən, biz bu qənaətə başqa cür, daha formal şəkildə gələ bilərik. 1, 2, 3, 4 ardıcıllığı nədir? Qeyd edək ki, bu ardıcıllığın hər bir sonrakı üzvü əvvəlkindən 1 böyükdür. Biz arifmetik irəliləyişin dörd şərti ilə məşğul oluruq, birinci həddi $a_1=1$, fərq isə $d=1$-dır. Düsturdan istifadə edərək, irəliləyişin ümumi müddəti üçün ifadəni alırıq:

$$ a_n=1+1\cdot (n-1)=1+n-1=n. $$

Deməli, təxmin və ya formal hesablama zövq məsələsidir. Əsas odur ki, seriyanın ümumi termininin payını yazdıq. Gəlin məxrəcə keçək.

Məxrəclərdə 7, 9, 11, 13 ardıcıllığına sahibik. Bunlar arifmetik irəliləyişin dörd üzvüdür, birinci həddi $b_1=7$-a bərabərdir və fərq $d=2$-dır. Düsturdan istifadə edərək irəliləyişin ümumi müddətini tapırıq:

$$ b_n=7+2\cdot (n-1)=7+2n-2=2n+5. $$

Nəticədə ortaya çıxan ifadə, yəni. $2n+5$ və seriyanın ümumi termininin məxrəci olacaq. Belə ki:

$$ u_n=\frac(n)(2n+5). $$

Seriyanın ümumi termini alınır. Tapdığımız $u_n=\frac(n)(2n+5)$ düsturunun seriyanın artıq məlum olan şərtlərini hesablamaq üçün uyğun olub olmadığını yoxlayaq. $u_n=\frac(n)(2n+5)$ düsturu ilə $u_1$, $u_2$, $u_3$ və $u_4$ şərtlərini tapaq. Nəticələr, təbii olaraq, şərtlə bizə verilən seriyanın ilk dörd şərti ilə üst-üstə düşməlidir.

$$ u_1=\frac(1)(2\cdot 1+5)=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(2\cdot 2+5)=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(2\cdot 3+5)=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(2\cdot 4+5)=\frac(4)(13). $$

Düzdü, nəticələr eynidir. Şərtdə göstərilən sıra indi aşağıdakı formada yazıla bilər: $\sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(n)(2n+5)$. Seriyanın ümumi termini $u_n=\frac(n)(2n+5)$ formasına malikdir.

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+0+0+0+0+0+0+ 0+\ldots $$

Belə serialın mövcud olmağa haqqı yoxdur? Hələ də var. Və bu seriya üçün bunu yaza bilərik

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=0\; (n≥ 5). $$

Başqa davamını yaza bilərsiniz. Məsələn, bu:

$$ \frac(1)(7)+\frac(2)(9)+\frac(3)(11)+\frac(4)(13)+\frac(1)(5)+\frac( 1)(6)+\frac(1)(7)+\frac(1)(8)+\frac(1)(9)+\frac(1)(10)+\ldots $$

Və belə davam heç nə ilə ziddiyyət təşkil etmir. Bu halda biz bunu yaza bilərik

$$ u_1=\frac(1)(7);\; u_2=\frac(2)(9);\; u_3=\frac(3)(11);\; u_4=\frac(4)(13); \; u_n=\frac(1)(n)\; (n≥ 5). $$

Əgər ilk iki variant sizə çox formal görünürdüsə, üçüncü variantı təklif edəcəm. Ümumi termini aşağıdakı kimi yazaq:

$$ u_n=\frac(n)(n^4-10n^3+35n^2-48n+29). $$

Təklif olunan ümumi termin düsturundan istifadə edərək seriyanın ilk dörd şərtini hesablayaq:

\begin(aligned) & u_1=\frac(1)(1^4-10\cdot 1^3+35\cdot 1^2-48\cdot 1+29)=\frac(1)(7);\ \ & u_2=\frac(2)(2^4-10\cdot 2^3+35\cdot 2^2-48\cdot 2+29)=\frac(2)(9);\\ & u_3= \frac(3)(3^4-10\cdot 3^3+35\cdot 3^2-48\cdot 3+29)=\frac(3)(11);\\ & u_4=\frac(4) )(4^4-10\cdot 4^3+35\cdot 4^2-48\cdot 4+29)=\frac(4)(13). \son (düzülmüş)

Gördüyünüz kimi, ümumi termin üçün təklif olunan düstur kifayət qədər düzgündür. Və sonsuz sayda belə varyasyonlarla qarşılaşa bilərsiniz, onların sayı qeyri-məhduddur. IN standart nümunələr, əlbəttə ki, müəyyən məlum ardıcıllıqların (proqressiyalar, səlahiyyətlər, faktoriallar və s.) standart dəsti istifadə olunur. Ancaq bu cür tapşırıqlarda həmişə qeyri-müəyyənlik var və bunu xatırlamaq məsləhətdir.

Bütün sonrakı misallarda bu qeyri-müəyyənlik göstərilməyəcək. Əksər problem kitablarında qəbul edilən standart üsullardan istifadə edərək həll edəcəyik.

Cavab verin: seriyanın ümumi termini: $u_n=\frac(n)(2n+5)$.

Nümunə № 2

$\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1)(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1) seriyasının ümumi terminini yazın. (7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots$.

Seriyanın ilk beş şərtini bilirik:

$$ u_1=\frac(1)(1\cdot 5);\; u_2=\frac(1)(3\cdot 8); \; u_3=\frac(1)(5\cdot 11); \; u_4=\frac(1)(7\cdot 14); \; u_5=\frac(1)(9\cdot 17). $$

Bizə məlum olan seriyanın bütün şərtləri kəsrdir, yəni biz seriyanın ümumi terminini kəsr şəklində axtaracağıq:

$$ u_n=\frac(?)(?). $$

Dərhal saya diqqət yetirək. Bütün nömrələr vahidləri ehtiva edir, buna görə də seriyanın ümumi termininin payı da birdən ibarət olacaq, yəni.

$$ u_n=\frac(1)(?). $$

İndi məxrəcə baxaq. Bizə məlum olan seriyanın ilk şərtlərinin məxrəclərində ədədlərin hasilləri var: $1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$. Bu ədədlərdən birincisi: 1, 3, 5, 7, 9. Bu ardıcıllığın birinci termini $a_1=1$ var və hər bir sonrakı biri əvvəlkindən $d=2$ ədədini əlavə etməklə əldə edilir. Başqa sözlə, bunlar arifmetik irəliləyişin ilk beş şərtidir, ümumi termini düsturla yazıla bilər:

$$ a_n=1+2\cdot (n-1)=1+2n-2=2n-1. $$

$1\cdot 5$, $3\cdot 8$, $5\cdot 11$, $7\cdot 14$, $9\cdot 17$ məhsullarında ikinci rəqəmlər: 5, 8, 11, 14, 17. Bunlardır. birinci üzvü $b_1=5$, məxrəci isə $d=3$ olan arifmetik proqresiyanın elementləri. Eyni düsturdan istifadə edərək bu irəliləyişin ümumi müddətini yazırıq:

$$ b_n=5+3\cdot (n-1)=5+3n-3=3n+2. $$

Gəlin nəticələri bir araya gətirək. Silsilənin ümumi termininin məxrəcindəki hasil belədir: $(2n-1)(3n+2)$. Və seriyanın ümumi termininin özü aşağıdakı formaya malikdir:

$$ u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2)). $$

Əldə edilən nəticəni yoxlamaq üçün bildiyimiz seriyanın ilk dörd şərtini tapmaq üçün $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ düsturundan istifadə edirik:

\begin(aligned) & u_1=\frac(1)((2\cdot 1-1)(3\cdot 1+2))=\frac(1)(1\cdot 5);\\ & u_2=\ frac(1)((2\cdot 2-1)(3\cdot 2+2))=\frac(1)(3\cdot 8);\\ & u_3=\frac(1)((2\cdot) 3-1)(3\cdot 3+2))=\frac(1)(5\cdot 11);\\ & u_4=\frac(1)((2\cdot 4-1)(3\cdot 4) +2))=\frac(1)(7\cdot 14);\\ & u_5=\frac(1)((2\cdot 5-1)(3\cdot 5+2))=\frac(1) )(9\cdot 17). \son (düzülmüş)

Deməli, $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$ düsturu şərtdən məlum olan seriyanın şərtlərini dəqiq hesablamağa imkan verir. İstəyirsinizsə, verilmiş seriyalar belə yazıla bilər:

$$ \sum\limits_(n=1)^(\infty)\frac(1)((2n-1)(3n+2))=\frac(1)(1\cdot 5)+\frac(1) )(3\cdot 8)+\frac(1)(5\cdot 11)+\frac(1)(7\cdot 14)+\frac(1)(9\cdot 17)+\ldots $$

Cavab verin: seriyanın ümumi termini: $u_n=\frac(1)((2n-1)(3n+2))$.

Bu mövzunu ikinci və üçüncü hissələrdə davam etdirəcəyik.

Bir çox insan arifmetik irəliləyiş haqqında eşitmişdir, lakin hər kəs bunun nə olduğu barədə yaxşı təsəvvürə malik deyil. Bu yazıda müvafiq tərif verəcəyik, həmçinin arifmetik irəliləyişin fərqini necə tapmaq məsələsini nəzərdən keçirəcəyik və bir sıra nümunələr verəcəyik.

Riyazi tərif

Deməli, əgər arifmetik və ya cəbri proqressiyadan danışırıqsa (bu anlayışlar eyni şeyi müəyyənləşdirir), onda bu o deməkdir ki, aşağıdakı qanuna cavab verən müəyyən ədəd seriyası var: sıradakı hər iki bitişik ədəd eyni qiymətlə fərqlənir. Riyazi olaraq belə yazılır:

Burada n ardıcıllıqdakı a n elementinin sayını, d sayı isə irəliləyişin fərqini bildirir (onun adı təqdim olunan düsturdan irəli gəlir).

d fərqini bilmək nə deməkdir? Qonşu nömrələrin bir-birindən nə qədər "uzaq" olduğu haqqında. Bununla belə, d haqqında bilik lazımdır, amma yox kifayət qədər şərait bütün gedişatı müəyyən etmək (bərpa etmək). Baxılan seriyanın tamamilə hər hansı bir elementi ola biləcək daha bir nömrəni bilməlisiniz, məsələn, 4, a10, lakin, bir qayda olaraq, ilk nömrəni, yəni 1-dən istifadə edirlər.

Proqressiya elementlərinin təyini üçün düsturlar

Ümumiyyətlə, yuxarıda göstərilən məlumatlar konkret problemlərin həllinə keçmək üçün artıq kifayətdir. Buna baxmayaraq, arifmetik irəliləyiş verilməzdən əvvəl və onun fərqini tapmaq lazım gələcək, biz bir neçə təqdim edirik. faydalı düsturlar, bununla da problemlərin həllinin sonrakı prosesini asanlaşdırır.

Ardıcıllığın n nömrəli istənilən elementini aşağıdakı kimi tapmaq olar:

a n = a 1 + (n - 1) * d

Həqiqətən də, hər kəs bu düsturu sadə axtarışla yoxlaya bilər: n = 1-i əvəz etsəniz, birinci elementi alırsınız, n = 2-ni əvəz etsəniz, ifadə birinci ədədin və fərqin cəmini verir və s.

Bir çox məsələlərin şərtləri elə qurulmuşdur ki, nömrələri də ardıcıllıqla verilmiş məlum cüt ədədi nəzərə alaraq, bütün ədəd seriyasını yenidən qurmaq lazımdır (fərqi və birinci elementi tapın). İndi bu problemi ümumi formada həll edəcəyik.

Beləliklə, n və m ədədləri olan iki element verilsin. Yuxarıdakı düsturdan istifadə edərək iki tənlik sistemi yarada bilərsiniz:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a m = a 1 + (m - 1) * d

Naməlum kəmiyyətləri tapmaq üçün məlum olandan istifadə edirik sadə hiylə belə bir sistemin həlli yolları: sol və sağ tərəfləri cüt-cüt çıxarın, bərabərlik qüvvədə qalacaq. Bizdə:

a n = a 1 + (n - 1) * d;

a n - a m = (n - 1) * d - (m - 1) * d = d * (n - m)

Beləliklə, bir naməlumu (a 1) istisna etdik. İndi d-ni təyin etmək üçün son ifadəni yaza bilərik:

d = (a n - a m) / (n - m), burada n > m

Çox aldıq sadə formula: məsələnin şərtlərinə uyğun olaraq d fərqini hesablamaq üçün yalnız elementlərin özləri ilə onların arasındakı fərqlərin nisbətini götürmək lazımdır. seriya nömrələri. Birinə diqqət yetirmək lazımdır vacib məqam diqqət: fərqlər “böyük” və “kiçik” üzvlər arasında götürülür, yəni n > m (“böyük” ardıcıllığın əvvəlindən daha uzaqda dayanmaq deməkdir, onun mütləq dəyər“kiçik” elementdən daha böyük və ya kiçik ola bilər).

Birinci həddin qiymətini almaq üçün məsələnin həllinin əvvəlində d proqressiyası fərqinin ifadəsi hər hansı tənlikdə əvəz edilməlidir.

Kompüter texnologiyalarının inkişaf etdiyi əsrimizdə bir çox məktəblilər İnternetdə tapşırıqları həll etməyə çalışırlar, buna görə də bu tip suallar tez-tez yaranır: arifmetik irəliləyişin fərqini onlayn tapın. Belə bir sorğu üçün axtarış motoru bir sıra veb səhifələri qaytaracaq, onlara getməklə şərtdən məlum olan məlumatları daxil etməli olacaqsınız (bu, irəliləyişin iki şərti və ya müəyyən sayda onların cəmi ola bilər) ) və dərhal cavab alın. Lakin problemin həllinə bu cür yanaşma tələbənin inkişafı və ona tapşırılan tapşırığın mahiyyətini dərk etməsi baxımından səmərəsizdir.

Düsturlardan istifadə etmədən həll

Verilmiş düsturlardan heç birini istifadə etmədən birinci məsələni həll edək. Silsilənin elementləri verilsin: a6 = 3, a9 = 18. Arifmetik irəliləyişin fərqini tapın.

Məlum elementlər bir cərgədə bir-birinə yaxın dayanır. Ən böyüyü almaq üçün d fərqini ən kiçiyə neçə dəfə əlavə etmək lazımdır? Üç dəfə (ilk dəfə d əlavə etdikdə 7-ci elementi alırıq, ikinci dəfə - səkkizinci, nəhayət, üçüncü dəfə - doqquzuncu). 18-i əldə etmək üçün üç dəfəyə hansı rəqəmi əlavə etmək lazımdır? Bu beş nömrədir. Həqiqətən:

Beləliklə, naməlum fərq d = ​​5.

Əlbəttə ki, həll uyğun düsturdan istifadə etməklə həyata keçirilə bilərdi, lakin bu, qəsdən edilməmişdir. Ətraflı izahat problemin həlli aydın və aydın olmalıdır parlaq bir nümunədir Arifmetik irəliləyiş nədir?

Əvvəlki birinə bənzər bir tapşırıq

İndi oxşar problemi həll edək, lakin giriş məlumatlarını dəyişdirək. Beləliklə, a3 = 2, a9 = 19 olduğunu tapmalısınız.

Əlbəttə ki, yenidən "baş-üstə" həll üsuluna müraciət edə bilərsiniz. Ancaq bir-birindən nisbətən uzaq olan seriyanın elementləri verildiyi üçün bu üsul tamamilə rahat olmayacaq. Ancaq ortaya çıxan düsturdan istifadə bizi tez bir zamanda cavaba aparacaq:

d = (a 9 - a 3) / (9 - 3) = (19 - 2) / (6) = 17 / 6 ≈ 2.83

Burada son rəqəmi yuvarlaqlaşdırdıq. Bu yuvarlaqlaşdırmanın nə dərəcədə xətaya səbəb olduğunu nəticəni yoxlamaqla qiymətləndirmək olar:

a 9 = a 3 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 + 2,83 = 18,98

Bu nəticə şərtdə verilən dəyərdən cəmi 0,1% fərqlənir. Buna görə də, yüzdə biri qədər istifadə olunan yuvarlaqlaşdırma uğurlu seçim hesab edilə bilər.

Termin formulunun tətbiqi ilə bağlı problemlər

Naməlum d-ni təyin etmək üçün məsələnin klassik nümunəsini nəzərdən keçirək: a1 = 12, a5 = 40 olarsa, arifmetik irəliləyişin fərqini tapın.

Naməlum cəbri ardıcıllığın iki ədədi verildikdə və onlardan biri a 1 elementi olduqda, o zaman çox düşünmək lazım deyil, dərhal a n termini üçün düstur tətbiq etməlisiniz. IN bu halda bizdə:

a 5 = a 1 + d * (5 - 1) => d = (a 5 - a 1) / 4 = (40 - 12) / 4 = 7

Bölmə zamanı dəqiq rəqəm aldıq, buna görə də əvvəlki paraqrafda edildiyi kimi hesablanmış nəticənin düzgünlüyünü yoxlamağın mənası yoxdur.

Başqa bir oxşar məsələni həll edək: a1 = 16, a8 = 37 olarsa, arifmetik irəliləyişin fərqini tapmalıyıq.

Əvvəlki birinə bənzər bir yanaşma istifadə edirik və əldə edirik:

a 8 = a 1 + d * (8 - 1) => d = (a 8 - a 1) / 7 = (37 - 16) / 7 = 3

Arifmetik irəliləyiş haqqında başqa nə bilməlisiniz?

Naməlum fərqin və ya ayrı-ayrı elementlərin tapılması məsələlərinə əlavə olaraq, çox vaxt ardıcıllığın ilk üzvlərinin cəminə aid məsələləri həll etmək lazımdır. Bu vəzifələrin nəzərdən keçirilməsi məqalənin əhatə dairəsi xaricindədir, lakin təqdim etdiyimiz məlumatların tamlığı üçün ümumi formula bir sıradakı n ədədin cəmi üçün:

∑ n i = 1 (a i) = n * (a 1 + a n) / 2

Təlimatlar

Arifmetik irəliləyiş a1, a1+d, a1+2d..., a1+(n-1)d formasının ardıcıllığıdır. d nömrəli addım irəliləmə.Aydındır ki, arifmetikanın ixtiyari n-ci həddinin ümumisi irəliləmə formasına malikdir: An = A1+(n-1)d. Sonra üzvlərdən birini tanıyır irəliləmə, üzv irəliləmə və addım irəliləmə, edə bilərsiniz, yəni irəliləyiş üzvünün sayı. Aydındır ki, n = (An-A1+d)/d düsturu ilə təyin olunacaq.

İndi mth termini məlum olsun irəliləmə və başqa bir üzv irəliləmə- n-ci, lakin n , əvvəlki halda olduğu kimi, lakin məlumdur ki, n və m üst-üstə düşmür.Addım irəliləmə düsturu ilə hesablana bilər: d = (An-Am)/(n-m). Onda n = (An-Am+md)/d.

Arifmetik tənliyin bir neçə elementinin cəmi məlumdursa irəliləmə, eləcə də onun birinci və sonuncusu, sonra bu elementlərin sayını da müəyyən etmək olar.Arifmetikanın cəmi. irəliləmə bərabər olacaq: S = ((A1+An)/2)n. Onda n = 2S/(A1+An) - çdenov irəliləmə. An = A1+(n-1)d olması faktından istifadə edərək, bu düstur belə yenidən yazıla bilər: n = 2S/(2A1+(n-1)d). Buradan n-i həll etməklə ifadə edə bilərik kvadrat tənlik.

Arifmetik ardıcıllıq, birincisi istisna olmaqla, hər bir üzvü əvvəlkindən eyni miqdarda fərqlənən sıralı ədədlər toplusudur. Bu sabit qiymət proqresiyanın və ya onun addımının fərqi adlanır və arifmetik irəliləyişin məlum şərtlərindən hesablana bilər.

Təlimatlar

Birinci və ikinci və ya hər hansı digər bitişik şərtlər cütünün qiymətləri məsələnin şərtlərindən məlumdursa, fərqi hesablamaq üçün (d) sonrakı termindən əvvəlkini çıxmaq kifayətdir. Nəticə dəyər müsbət və ya ola bilər mənfi rəqəm- bu, irəliləyişin artıb-artırılmamasından asılıdır. IN ümumi forma Proqresiyanın qonşu şərtlərinin ixtiyari seçilmiş cütünün (aᵢ və aᵢ₊₁) həllini aşağıdakı kimi yazın: d = aᵢ₊₁ - aᵢ.

Biri birinci (a₁), digəri isə hər hansı digər ixtiyari seçilmiş olan belə bir irəliləyişin bir cüt şərtləri üçün (d) fərqini tapmaq üçün düstur yaratmaq da mümkündür. Bununla belə, bu halda ardıcıllığın ixtiyari seçilmiş üzvünün seriya nömrəsi (i) məlum olmalıdır. Fərqi hesablamaq üçün hər iki ədədi əlavə edin və nəticəni bir azaldılmış ixtiyari terminin sıra nömrəsinə bölün. Ümumiyyətlə, bu düsturu aşağıdakı kimi yazın: d = (a₁+ aᵢ)/(i-1).

Əgər sıra nömrəsi i olan arifmetik irəliləyişin ixtiyari üzvü ilə yanaşı, sıra nömrəsi u olan başqa üzvü məlumdursa, əvvəlki addımdan düsturu müvafiq olaraq dəyişdirin. Bu halda, irəliləmənin fərqi (d) bu iki hədisin cəminin onların sıra nömrələrinin fərqinə bölünməsi olacaq: d = (aᵢ+aᵥ)/(i-v).

Əgər məsələnin şərtləri arifmetik ardıcıllığın birinci hədlərinin verilmiş (i) ədədinin (i) birinci üzvünün qiymətini (a₁) və cəmini (Sᵢ) verirsə, fərqin (d) hesablanması düsturu bir qədər mürəkkəbləşir. İstədiyiniz dəyəri əldə etmək üçün cəmini onu təşkil edən şərtlərin sayına bölün, ardıcıllıqla ilk ədədin qiymətini çıxarın və nəticəni ikiqat artırın. Yaranan dəyəri bir azaldılmış cəmi təşkil edən şərtlərin sayına bölün. Ümumiyyətlə, diskriminantın hesablanması düsturunu aşağıdakı kimi yazın: d = 2*(Sᵢ/i-a₁)/(i-1).

Məqsədlər:

1. Arifmetik irəliləyiş anlayışını təqdim edin.
2. Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düsturdan istifadə edərək əsas məsələlərin növlərini nəzərdən keçirin.
3. Dərsdə inkişaf etdirici öyrənmə elementlərindən istifadə edin.
4. Şagirdlərin analitik təfəkkürünü inkişaf etdirin.

Dərslər zamanı

Müəllim.Əvvəlki dərsimizdə sonsuz ədədlər ardıcıllığı anlayışını natural ədədlər çoxluğunda təyin olunmuş funksiya kimi təqdim etdik və ardıcıllığın sonsuz və sonlu, artan və azalan ola biləcəyini öyrəndik, həmçinin onların təyin edilməsi yollarını öyrəndik. Onları sadalayın.

Tələbələr.

1. Analitik (düsturdan istifadə etməklə).
2. Şifahi (təsvirlə ardıcıllığın təyin edilməsi).
3. Təkrarlanan (bəzilərindən başlayaraq ardıcıllığın hər hansı üzvü əvvəlki üzvlər vasitəsilə ifadə edildikdə).

Məşq 1. Mümkünsə, hər ardıcıllığın 7-ci həddini göstərin.

(a n): 6; 10; 14; 18; 22; 26;…
(bn): 49; 25; 81; 4; 121; 64...
(cn): 22; 17; 12; 7; 2; -3…
(xn): -3,8; -2,6; -1,4; -0,2; 1; 2.2…
(y n): -12; 7; 8; 14; -23; 41…

Müəllim. Nə üçün b n və y n ardıcıllığı üçün suala cavab vermək mümkün deyil?

Tələbələr. Bu ardıcıllıqlarda xüsusi nümunə yoxdur, baxmayaraq ki (b n) natural ədədlərin kvadratlarından ibarətdir, lakin onlar ixtiyari qaydada götürülür və (y n) -i təmsil edir. ixtiyari sıraədədlər, buna görə yeddinci yer istənilən rəqəm ola bilər.

Müəllim. Ardıcıllıq üçün (a n); (cn); (x n) hamınız 7-ci həddi düzgün tapa bildiniz.

Tapşırıq 2. Belə bir ardıcıllığın öz nümunəsi ilə gəlin. İlk 4 üzvünü göstərin. Stolüstü qonşunuzla dəftərləri dəyişdirin və bu ardıcıllığın 5-ci həddini təyin edin.

Müəllim. Belə ardıcıllıqların hansı ümumi xassələri var?

tələbə. Hər bir sonrakı termin əvvəlkindən eyni sayda fərqlənir.

Müəllim. Bu tip ardıcıllıqlara arifmetik irəliləyişlər deyilir. Onlar bugünkü araşdırmamızın mövzusu olacaqlar. Dərsin mövzusunu tərtib edin.

(Şagird mövzunun birinci hissəsini asanlıqla tərtib edə bilər. İkinci hissəni müəllim özü tərtib edə bilər)

Müəllim. Bu mövzu əsasında dərsin məqsədlərini formalaşdırın.

(Şagirdlərin öyrənmə məqsədlərini mümkün qədər tam və dəqiq formalaşdırmaları, sonra onları qəbul etmələri və onlara nail olmaq üçün səy göstərmələri vacibdir)

Tələbələr.

1. Arifmetik irəliləyişləri müəyyənləşdirin.
2. Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur çıxarın.
3. Mövzu ilə bağlı problemləri həll etməyi öyrənin (nəzərə alın Müxtəlif növlər tapşırıqlar).

Daha sonra müəllimin şagirdlərin ümumi məqsədlərə malik olmasını təmin etmək üçün onların məqsədlərini ekranda layihələndirmək faydalıdır.

Müəllim. Bir az tarix. "Tərəqqi" termini "irəli hərəkət" mənasını verən latın tərəqqisindən gəlir və eramızın 6-cı əsrində Roma müəllifi Boethius tərəfindən təqdim edilmişdir. və aldı gələcək inkişaf Fibonacci, Chuquet, Gauss və başqa alimlərin əsərlərində.

Tərif. Arifmetik irəliləyiş ikincidən başlayaraq hər bir üzvün eyni nömrəyə əlavə olunan əvvəlki üzvə bərabər olduğu ardıcıllıqdır. Bu ədəd arifmetik irəliləyişin fərqi adlanır və d ilə işarələnir.

(a n): a 1 ; a 2; a 3; ...a n ...arifmetik irəliləyiş.
d = a 2 – a 1 = a 3 – a 2 = … = a n+1 - a n

Tapşırıq 3. Qoy a 1 = 7; d = 0.

Ardıcıllığın növbəti 3 şərtini adlandırın.

Tələbələr. 7; 7; 7

Müəllim. Belə ardıcıllıqlar sabit və ya stasionar adlanır.

Qoy a 1 = -12; d = 3. Bu ardıcıllığın 3 üzvünü adlandırın.

tələbə. -9; -6; -3

Müəllim. Rəqəmlərin adını çəksəm düz olarmı: -15; -18; -21?

Bir qayda olaraq tələbələrin əksəriyyəti bunun düzgün olduğunu düşünür. Sonra hər bir üzvün nömrəsini müəyyən etmələrini xahiş etməlisiniz. Ardıcıllığın üzvünün sayı natural ədəd kimi ifadə edilməli olduğundan, adı çəkilən ədədlər bu ardıcıllıqda ola bilməz.

Tapşırıq 4. Arifmetik irəliləyişdə a 1; a 2; 6; 4; a 5 a 1 tapın; a 2; a 5.

Tapşırıq cütlər şəklində yerinə yetirilir, bir tələbə, istəsə, tamamlayır arxa tərəf lövhələr.

Həll:

d = 4 – 6 = -2
a 5 = a 4 + d = 4 – 2 = 2
a 2 = a 3 – d = 6 – (-2) = 8
a 1 = a 2 – d = 8 – (-2) = 10

Bu ardıcıllıq üçün 8 və 126 təyin edin

Tələbələr. a 8 = -4 və 126 müəyyən edilə bilər, lakin onu saymaq çox uzun çəkir.

Müəllim. Bu o deməkdir ki, ardıcıllığın istənilən üzvünü tez tapmağa imkan verəcək bir yol tapmalıyıq. Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düstur çıxarmağa çalışın.

Siz güclü tələbəni lövhəyə çağıra və aydın şəkildə verilən suallar və sinfin köməyi ilə düsturu əldə edə bilərsiniz.

Düsturun törəməsi:

a 2 = a 1 + d
a 3 = a 2 + d = a 1 + 2d
a 4 = a 3 + d = a 1 + 3d
və s.

A n = a 1 + (n – 1) d- düsturarifmetik irəliləyişin n-ci həddi.

Müəllim. Beləliklə, arifmetik irəliləyişin hər hansı üzvünü təyin etmək üçün nə bilmək lazımdır?

Tələbələr. a 1 və d

Müəllim. Bu düsturdan istifadə edərək 126-nı tapın.

Tələbələr. a 126 = a 1 + 125d = 10 = 125 ∙ (- 2) = 10 – 250 = - 240

Tapşırıq 5. Qoy (b n): arifmetik irəliləyişdir ki, burada b 1 birinci həd, d isə fərqdir. Səhvləri tapın:

b 4 = b 1 + 3d		b 2k = b 1 + (2k – 1)∙d
b 9 = b 1 + 10d		b k-4 = b 1 + (k – 3)∙d
b -3 = b 1 - 4d		b k+7 = b 1 + (k – 6)∙d

Tapşırıq 6. Arifmetik irəliləyişin n-ci həddi üçün düsturu nəzərdən keçirək. Bu düsturdan istifadə edərək hansı növ problemlərin həll oluna biləcəyini öyrənək. Birbaşa problem yaradın.

Tələbələr. 1 və d qiymətlərini nəzərə alaraq, n tapın.

Müəllim. Hansı tərs məsələlər qoyula bilər?

Tələbələr.

1. 1 və n verilmişdir. d tapın.
2. d və a n verilmişdir. 1 tapın.
3. 1, d və n verilmişdir. n tapın.

Tapşırıq 7. y 1 = 10 olan arifmetik irəliləyişin fərqini tapın; y 5 = 22

Lövhədə həll:

y 5 = y 1 + 4d
22 = 10 + 4d
4d = 12
d=3

Tapşırıq 8. Arifmetik irəliləyiş 2-dən ibarətdirmi; 9; ... sayı 156?

Təhlil: əsaslandıraraq belə nəticəyə gəlirik ki, çünki ardıcıllıqdakı hər bir ədədin natural ədəd kimi ifadə olunan öz nömrəsi var, onda ardıcıllığın üzvünün nömrəsini tapmaq və onun natural ədədlər çoxluğuna aid olub-olmadığını öyrənmək lazımdır. Əgər mənsubdursa, onda ardıcıllıq verilmiş nömrəni ehtiva edir, əks halda isə yoxdur.

Lövhədə həll:

a n = a 1 + (n – 1) d
156 = 2 + 7 (n – 1)
7 (n – 1) = 154
n – 1 = 22
n = 23

Cavab: a 23 = 156

Tapşırıq 9. Hansı arifmetik irəliləyişin ilk üç həddini tapın

a 1 + a 5 = 24;
a 2 ∙a 3 =60

Tapşırığı təhlil edirik, evdə həll etməyi təklif etdiyimiz tənliklər sistemi yaradırıq.

a 1 + a 1 + 4d = 24;
(a 1 + d)∙(a 1 + 4d)= 60.

Xülasə ümumi dərs.

Bu gün sinifdə nə yeni öyrəndiniz? Nə öyrəndiniz?

Ev tapşırığı. Dərsliyin 25-ci bəndindəki materialı oxuyun. Arifmetik irəliləyişin tərifini və n-ci həd üçün düsturunu öyrənin. Düsturdan ona daxil olan bütün kəmiyyətləri ifadə etməyi bacarın. 9-cu tapşırığın sistemini həll edin. 575 №-li dərsliyə əməl edin (a, b); 576; 578(a); 579(a).

Əlavə Qiymətləndirmə Tapşırığı: 1 olsun; a 2; a 3; ...a n ...arifmetik irəliləyiş. Sübut edin ki, a n+1 = (a n + a n+2) : 2

Birinci səviyyə

Arifmetik irəliləyiş. Nümunələrlə ətraflı nəzəriyyə (2019)

Nömrə ardıcıllığı

Beləliklə, oturaq və bir neçə rəqəm yazmağa başlayaq. Misal üçün:
İstənilən rəqəmləri yaza bilərsiniz və onlardan istədiyiniz qədər çox ola bilər (bizim vəziyyətimizdə onlar var). Nə qədər rəqəm yazsaq da, hər zaman hansının birinci, hansının ikinci olduğunu və s. sonuncuya qədər deyə bilərik, yəni nömrələyə bilərik. Bu, bir sıra ardıcıllığına bir nümunədir:

Nömrə ardıcıllığı
Məsələn, ardıcıllığımız üçün:

Təyin edilmiş nömrə ardıcıllıqla yalnız bir nömrəyə xasdır. Başqa sözlə, ardıcıllıqla üç saniyəlik rəqəm yoxdur. İkinci nömrə (ci nömrə kimi) həmişə eynidir.
Nömrəsi olan ədədə ardıcıllığın üçüncü üzvü deyilir.

Biz adətən bütün ardıcıllığı hansısa hərflə çağırırıq (məsələn,) və bu ardıcıllığın hər bir üzvü indeksi bu üzvün sayına bərabər olan eyni hərfdir: .

Bizim vəziyyətimizdə:

Tutaq ki, qonşu ədədlər arasındakı fərq eyni və bərabər olan bir sıra ardıcıllığımız var.
Misal üçün:

və s.
Bu ədəd ardıcıllığına arifmetik irəliləyiş deyilir.
“Tərəqqi” termini hələ 6-cı əsrdə Roma müəllifi Boethius tərəfindən təqdim edilmişdir və daha geniş mənada sonsuz ədədi ardıcıllıq kimi başa düşülürdü. "Arifmetika" adı qədim yunanlar tərəfindən öyrənilən davamlı nisbətlər nəzəriyyəsindən köçürüldü.

Bu, hər bir üzvü eyni nömrəyə əlavə olunan əvvəlki birinə bərabər olan bir sıra ardıcıllığıdır. Bu ədəd arifmetik irəliləyişin fərqi adlanır və təyin olunur.

Hansı ədəd ardıcıllığının arifmetik irəliləyiş olduğunu və hansının olmadığını müəyyən etməyə çalışın:

a)
b)
c)
d)

Anladım? Cavablarımızı müqayisə edək:
edir arifmetik irəliləyiş - b, c.
Deyil arifmetik irəliləyiş - a, d.

Verilmiş irəliləyişə () qayıdaq və onun ci üzvünün qiymətini tapmağa çalışaq. Mövcuddur iki tapmaq yolu.

1. Metod

Biz irəliləyişin 3-cü müddətinə çatana qədər irəliləyiş nömrəsini əvvəlki dəyərə əlavə edə bilərik. Yaxşı ki, ümumiləşdirəcək çox şeyimiz yoxdur - yalnız üç dəyər:

Deməli, təsvir olunan arifmetik irəliləyişin üçüncü həddi bərabərdir.

2. Metod

Əgər irəliləyişin ci həddinin qiymətini tapmaq lazım gəlsə nə etməli? Toplama bizə bir saatdan çox vaxt aparacaq və rəqəmlər əlavə edərkən səhv etməyəcəyimiz fakt deyil.
Təbii ki, riyaziyyatçılar elə bir üsul tapıblar ki, arifmetik irəliləyişin fərqini əvvəlki qiymətə əlavə etmək lazım deyil. Çəkilmiş şəklə daha yaxından baxın... Şübhəsiz ki, siz artıq müəyyən bir naxış görmüsünüz, yəni:

Məsələn, bu arifmetik irəliləyişin ci həddinin qiymətinin nədən ibarət olduğunu görək:


Başqa sözlə:

Verilmiş arifmetik irəliləyişin üzvünün qiymətini özünüz tapmağa çalışın.

Siz hesabladınız? Qeydlərinizi cavabla müqayisə edin:

Nəzərə alın ki, arifmetik irəliləyişin şərtlərini ardıcıl olaraq əvvəlki dəyərə əlavə etdikdə əvvəlki üsulda olduğu kimi eyni nömrəni aldınız.
Gəlin "depersonalizasiyaya" çalışaq bu formula- onu gətirək ümumi forma və alırıq:

Arifmetik irəliləyiş tənliyi.

Arifmetik irəliləyişlər artan və ya azalan ola bilər.

Artan- şərtlərin hər bir sonrakı dəyərinin əvvəlkindən böyük olduğu irəliləyişlər.
Misal üçün:

Azalan- şərtlərin hər bir sonrakı dəyərinin əvvəlkindən az olduğu irəliləyişlər.
Misal üçün:

Alınmış düstur arifmetik irəliləyişin həm artan, həm də azalan şərtlərində terminlərin hesablanmasında istifadə olunur.
Bunu praktikada yoxlayaq.
Bizə aşağıdakı ədədlərdən ibarət arifmetik irəliləyiş verilir: Gəlin onu hesablamaq üçün düsturumuzdan istifadə etsək, bu arifmetik irəliləyişin ci nömrəsinin neçə olacağını yoxlayaq:

O vaxtdan bəri:

Beləliklə, biz əmin olduq ki, düstur həm azalan, həm də artan arifmetik irəliləyişdə işləyir.
Bu arifmetik irəliləyişin ci və ci şərtlərini özünüz tapmağa çalışın.

Nəticələri müqayisə edək:

Arifmetik irəliləyiş xassəsi

Məsələni mürəkkəbləşdirək - arifmetik irəliləmənin xassəsini çıxaracağıq.
Tutaq ki, bizə aşağıdakı şərt verilib:
- arifmetik irəliləyiş, qiyməti tapın.
Asan, deyirsən və artıq bildiyin düsturla saymağa başlayırsan:

Qoy, ah, onda:

Tamamilə doğru. Belə çıxır ki, biz əvvəlcə tapırıq, sonra onu birinci nömrəyə əlavə edirik və axtardığımızı əldə edirik. Əgər irəliləyiş kiçik qiymətlərlə təmsil olunursa, onda bunda mürəkkəb bir şey yoxdur, bəs şərtdə bizə ədədlər verilsə nə olar? Razılaşın, hesablamalarda səhv etmək ehtimalı var.
İndi düşünün, hər hansı bir düsturdan istifadə edərək bu problemi bir addımda həll etmək mümkündürmü? Əlbəttə ki, bəli və indi ortaya çıxarmağa çalışacağımız budur.

Arifmetik irəliləyişin tələb olunan müddətini belə işarə edək ki, onu tapmaq üçün düstur bizə məlumdur - bu, əvvəldən əldə etdiyimiz düsturdur:
, Sonra:

• irəliləyişin əvvəlki müddəti:
• irəliləyişin növbəti müddəti:

Proqresiyanın əvvəlki və sonrakı şərtlərini ümumiləşdirək:

Belə çıxır ki, irəliləyişin əvvəlki və sonrakı hədlərinin cəmi onların arasında yerləşən irəliləyiş termininin ikiqat qiymətidir. Başqa sözlə desək, əvvəlki və ardıcıl qiymətləri məlum olan irəliləyiş termininin qiymətini tapmaq üçün onları əlavə edib bölmək lazımdır.

Düzdü, eyni nömrəni aldıq. Materialı qoruyaq. Tərəqqinin dəyərini özünüz hesablayın, bu heç də çətin deyil.

Əla! Siz inkişaf haqqında demək olar ki, hər şeyi bilirsiniz! Əfsanəyə görə, bütün zamanların ən böyük riyaziyyatçılarından biri, “riyaziyyatçıların kralı” Karl Qauss tərəfindən asanlıqla çıxarılan yalnız bir düstur tapmaq qalır...

Carl Gauss 9 yaşında olanda, digər siniflərdə şagirdlərin işini yoxlamaqla məşğul olan müəllim sinifdə aşağıdakı tapşırığı verdi: "Bütün natural ədədlərin cəmini (digər mənbələrə görə) daxil olmaqla hesablayın." Tələbələrindən biri (bu, Karl Qauss idi) bir dəqiqə sonra tapşırığa düzgün cavab verəndə, cəsarətli sinif yoldaşlarının çoxu uzun hesablamalardan sonra səhv nəticə alanda müəllimin təəccübünü təsəvvür edin...

Gənc Carl Gauss sizin də asanlıqla fərq edə biləcəyiniz müəyyən bir nümunə gördü.
Tutaq ki, --ci həddlərdən ibarət arifmetik irəliləyişimiz var: Arifmetik irəliləyişin bu üzvlərinin cəmini tapmaq lazımdır. Əlbəttə ki, biz bütün dəyərləri əl ilə cəmləyə bilərik, lakin əgər tapşırıq Qaussun axtardığı kimi onun şərtlərinin cəmini tapmağı tələb edirsə, onda necə?

Bizə verilən irəliləyişi təsvir edək. Vurğulanmış rəqəmlərə daha yaxından baxın və onlarla müxtəlif riyazi əməliyyatlar aparmağa çalışın.


Siz cəhd etmisiniz? Nə fərq etdiniz? Doğru! Onların məbləğləri bərabərdir

İndi mənə deyin, bizə verilən irəliləyişdə cəmi neçə belə cüt var? Əlbəttə ki, bütün nömrələrin tam yarısı, yəni.
Arifmetik irəliləyişin iki üzvünün cəminin bərabər olmasına və oxşar cütlərin bərabər olmasına əsaslanaraq, əldə edirik ki, ümumi miqdar bərabərdir:
.
Beləliklə, hər hansı arifmetik irəliləyişin ilk üzvlərinin cəminin düsturu belə olacaq:

Bəzi məsələlərdə biz ci termini bilmirik, lakin irəliləyişin fərqini bilirik. Cəm düsturunda ci həddin düsturunu əvəz etməyə çalışın.
Nə aldınız?

Əla! İndi isə qayıdaq Karl Qaussa verilən məsələyə: özünüz hesablayın ki, ci-dən başlayan ədədlərin cəmi nəyə bərabərdir və ci-dən başlayan rəqəmlərin cəmi nəyə bərabərdir.

Nə qədər aldınız?
Qauss tapdı ki, şərtlərin cəmi bərabərdir və şərtlərin cəmi. Siz belə qərar verdiniz?

Əslində, arifmetik irəliləyişin hədlərinin cəminin düsturu hələ III əsrdə qədim yunan alimi Diofant tərəfindən sübut edilmiş və bu müddət ərzində hazırcavab insanlar arifmetik irəliləyişin xüsusiyyətlərindən tam istifadə etmişlər.
Məsələn, təsəvvür edin Qədim Misir və o dövrün ən böyük tikinti layihəsi - piramidanın tikintisi... Şəkildə onun bir tərəfi göstərilir.

Burada irəliləyiş haradadır, deyirsiniz? Diqqətlə baxın və piramida divarının hər cərgəsindəki qum bloklarının sayında bir nümunə tapın.


Niyə arifmetik irəliləyiş olmasın? Blok kərpiclər bazaya qoyularsa, bir divar qurmaq üçün neçə blok lazım olduğunu hesablayın. Ümid edirəm ki, barmağınızı monitorda hərəkət etdirərkən saymayacaqsınız, son düstur və arifmetik irəliləyiş haqqında dediyimiz hər şeyi xatırlayırsınız?

Bu halda irəliləyiş belə görünür: .
Arifmetik irəliləyiş fərqi.
Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin sayı.
Məlumatlarımızı sonuncu düsturlara əvəz edək (blokların sayını 2 yolla hesablayın).

Metod 1.

Metod 2.

İndi monitorda hesablaya bilərsiniz: əldə edilmiş dəyərləri piramidamızda olan blokların sayı ilə müqayisə edin. Anladım? Əla, siz arifmetik proqresiyanın n-ci hədlərinin cəmini mənimsədiniz.
Əlbəttə ki, təməldəki bloklardan bir piramida qura bilməzsiniz, amma nədən? Bu şərtlə divar qurmaq üçün nə qədər qum kərpicinin lazım olduğunu hesablamağa çalışın.
idarə etdin?
Düzgün cavab bloklardır:

Təlim

Tapşırıqlar:

1. Maşa yay üçün forma alır. Hər gün çömbəlmə sayını artırır. Maşa ilk məşqdə çömbəlmə etdisə, həftədə neçə dəfə çömbələcək?
2. İçindəki bütün tək ədədlərin cəmi nədir.
3. Loggerlər logları saxlayarkən onları elə yığırlar ki, hər biri üst təbəqəəvvəlkindən bir az log ehtiva edir. Əgər hörgü təməli loglardırsa, bir hörgüdə neçə log var?

Cavablar:

1. Arifmetik irəliləyişin parametrlərini təyin edək. Bu halda
   (həftələr = günlər).

   Cavab:İki həftə ərzində Maşa gündə bir dəfə squats etməlidir.

2. İlk tək nömrə, son nömrə.
   Arifmetik irəliləyiş fərqi.
   Tək ədədlərin sayı yarıya bərabərdir, lakin arifmetik irəliləyişin üçüncü həddini tapmaq üçün düsturdan istifadə edərək bu faktı yoxlayaq:

   Rəqəmlər tək ədədləri ehtiva edir.
   Mövcud məlumatları düsturla əvəz edək:

   Cavab:İçindəki bütün tək ədədlərin cəmi bərabərdir.

3. Piramidalarla bağlı problemi xatırlayaq. Bizim vəziyyətimiz üçün a , hər bir üst təbəqə bir log ilə azaldığından, cəmi bir dəstə təbəqə var, yəni.
   Verilənləri düsturla əvəz edək:

   Cavab: Hörgüdə loglar var.

Gəlin ümumiləşdirək

1. - qonşu ədədlər arasındakı fərqin eyni və bərabər olduğu ədəd ardıcıllığı. Artan və ya azalan ola bilər.
2. Düsturun tapılması Arifmetik irəliləyişin ci hədi - düsturu ilə yazılır, burada proqressiyadakı ədədlərin sayıdır.
3. Arifmetik proqresiyanın üzvlərinin xassəsi- - irəliləyişdə olan ədədlərin sayı haradadır.
4. Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin cəmi iki yolla tapıla bilər:
   
   , qiymətlərin sayı haradadır.

ARİFMETİK PROQRESSİYA. ORTA SƏVİYYƏ

Nömrə ardıcıllığı

Gəlin oturaq və bir neçə rəqəm yazmağa başlayaq. Misal üçün:

İstənilən rəqəmləri yaza bilərsiniz və onlardan istədiyiniz qədər çox ola bilər. Amma biz həmişə deyə bilərik ki, hansı birincidir, hansı ikincidir və s., yəni biz onları nömrələyə bilərik. Bu ədəd ardıcıllığına bir nümunədir.

Nömrə ardıcıllığı hər birinə unikal nömrə təyin edilə bilən nömrələr toplusudur.

Başqa sözlə, hər bir nömrə müəyyən bir natural ədədlə və unikal bir nömrə ilə əlaqələndirilə bilər. Və biz bu nömrəni bu dəstdən heç bir başqa nömrəyə təyin etməyəcəyik.

Nömrəsi olan ədəd ardıcıllığın ci üzvü adlanır.

Biz adətən bütün ardıcıllığı hansısa hərflə çağırırıq (məsələn,) və bu ardıcıllığın hər bir üzvü indeksi bu üzvün sayına bərabər olan eyni hərfdir: .

Ardıcıllığın üçüncü müddəti hansısa düsturla təyin oluna bilsə, çox rahatdır. Məsələn, formula

ardıcıllığı təyin edir:

Və formula aşağıdakı ardıcıllıqdır:

Məsələn, arifmetik irəliləyiş ardıcıllıqdır (burada birinci üzv bərabərdir, fərq isə belədir). Və ya (, fərq).

n-ci müddətli düstur

Biz düsturu təkrarlayan adlandırırıq, burada ikinci termini tapmaq üçün əvvəlki və ya bir neçə əvvəlkiləri bilmək lazımdır:

Məsələn, bu düsturdan istifadə edərək irəliləyişin ci dövrünü tapmaq üçün əvvəlki doqquzu hesablamalıyıq. Məsələn, qoy. Sonra:

Yaxşı, indi aydın oldumu ki, formula nədir?

Hər bir sətirdə hansısa ədədə vurularaq əlavə edirik. Hansı? Çox sadə: bu, cari üzvün sayı minusdur:

İndi daha rahatdır, elə deyilmi? Yoxlayırıq:

Özünüz üçün qərar verin:

Arifmetik irəliləyişdə n-ci həd üçün düstur tapın və yüzüncü həddi tapın.

Həll:

Birinci termin bərabərdir. Fərq nədir? Budur:

(Buna görə də irəliləyişin ardıcıl hədlərinin fərqinə bərabər olduğu üçün fərq adlanır).

Beləliklə, formula:

Onda yüzüncü hədd bərabərdir:

Bütün natural ədədlərin cəmi neçəyə bərabərdir?

Rəvayətə görə, böyük riyaziyyatçı Karl Qauss 9 yaşlı uşaq ikən bu məbləği bir neçə dəqiqəyə hesablayıb. O qeyd etdi ki, birinci və cəminin son tarix bərabərdir, ikinci və sondan əvvəlkinin cəmi eynidir, axırdan üçüncü ilə üçüncünün cəmi eynidir və s. Cəmi neçə belə cüt var? Düzdür, bütün nömrələrin tam yarısı, yəni. Belə ki,

Hər hansı arifmetik irəliləyişin ilk üzvlərinin cəmi üçün ümumi düstur belə olacaq:

Misal:
Hamının cəmini tapın ikirəqəmli ədədlər, qatlar.

Həll:

İlk belə rəqəm budur. Hər bir sonrakı nömrə əvvəlki nömrəyə əlavə edilməklə əldə edilir. Beləliklə, bizi maraqlandıran ədədlər birinci hədd və fərqlə arifmetik irəliləyiş əmələ gətirir.

Bu irəliləyiş üçün üçüncü terminin düsturu:

Hamısı ikirəqəmli olmalıdırsa, irəliləyişdə neçə termin var?

Çox asan: .

Proqresiyanın son müddəti bərabər olacaq. Sonra cəmi:

Cavab: .

İndi özünüz qərar verin:

1. İdmançı hər gün əvvəlki gündən daha çox metr qaçır. Birinci gündə km m qaçsa, həftədə cəmi neçə kilometr qaçar?
2. Velosipedçi hər gün əvvəlki günə nisbətən daha çox kilometr qət edir. İlk gün o, km qət etdi. Bir kilometri qət etmək üçün neçə gün getməlidir? Səyahətinin son günündə neçə kilometr yol qət edəcək?
3. Mağazada soyuducunun qiyməti hər il eyni məbləğdə ucuzlaşır. Rublla satışa çıxarılan soyuducunun qiyməti altı il sonra rubla satılıbsa, onun qiymətinin hər il nə qədər azaldığını müəyyənləşdirin.

Cavablar:

1. Burada ən vacibi arifmetik irəliləyişin tanınması və onun parametrlərinin müəyyən edilməsidir. Bu halda, (həftələr = günlər). Bu irəliləyişin ilk şərtlərinin cəmini təyin etməlisiniz:
   .
   Cavab:
2. Burada verilir: , tapılmalıdır.
   Aydındır ki, əvvəlki problemdə olduğu kimi eyni cəmi düsturundan istifadə etməlisiniz:
   .
   Dəyərləri əvəz edin:

   Kök açıq şəkildə uyğun gəlmir, buna görə də cavab budur.
   Gəlin, son gün ərzində qət edilən yolu ci həddin düsturundan istifadə edərək hesablayaq:
   (km).
   Cavab:

3. Verildi: . Tapın: .
   Daha sadə ola bilməzdi:
   (rub).
   Cavab:

ARİFMETİK PROQRESSİYA. ƏSAS ŞEYLƏR HAQQINDA QISA

Bu, qonşu ədədlər arasındakı fərqin eyni və bərabər olduğu bir sıra ardıcıllığıdır.

Arifmetik irəliləyiş artan () və azalan () ola bilər.

Misal üçün:

Arifmetik irəliləyişin n-ci həddini tapmaq üçün düstur

düsturu ilə yazılır, burada irəliləyən ədədlərin sayıdır.

Arifmetik proqresiyanın üzvlərinin xassəsi

Qonşu şərtləri məlumdursa, bu, bir irəliləyişin müddətini asanlıqla tapmağa imkan verir - irəliləyişdəki nömrələrin sayı haradadır.

Arifmetik irəliləyişin şərtlərinin cəmi

Məbləği tapmaq üçün iki yol var:

Dəyərlərin sayı haradadır.

Dəyərlərin sayı haradadır.