Mən sizi fırıldaqçı vərəqlər yazmamağa inandırmağa çalışmayacağam. Yaz! O cümlədən triqonometriya üzrə fırıldaq vərəqləri. Daha sonra fırıldaqçı vərəqlərin nə üçün lazım olduğunu və fırıldaqçı vərəqlərin nə üçün faydalı olduğunu izah etməyi planlaşdırıram. Və burada necə öyrənmək deyil, bəzi triqonometrik düsturları yadda saxlamaq haqqında məlumat var. Beləliklə - fırıldaqçı vərəqsiz triqonometriya Biz əzbərləmə üçün assosiasiyalardan istifadə edirik!
1. Əlavə düsturları:
Kosinuslar həmişə “cüt-cüt gəlir”: kosinus-kosinus, sinus-sinus.
Və daha bir şey: kosinuslar "qeyri-kafidir". Onlar üçün "hər şey düzgün deyil" və buna görə də işarələri dəyişdirirlər: "-" "+" və əksinə.
Sinuslar - "qarışdırmaq": sinus-kosinus, kosinus-sinus.
2. Cəm və fərq düsturları:
kosinüslər həmişə “cüt-cüt gəlir”. İki kosinusu - "koloboks" əlavə edərək, bir cüt kosinus - "koloboks" alırıq. Çıxarmaqla, mütləq heç bir kolobok əldə etməyəcəyik. Bir neçə sinüs alırıq. Həm də irəlidə bir mənfi ilə.
Sinuslar - "qarışdırmaq" :
3. Məhsulun cəmi və fərqə çevrilməsi üçün düsturlar.
Kosinus cütünü nə vaxt əldə edirik? Kosinusları əlavə etdikdə. Buna görə də
Nə vaxt bir neçə sinus alırıq? Kosinusları çıxdıqda. Buradan:
“Qarışdırma” həm sinusları toplayanda, həm də çıxdıqda əldə edilir. Daha əyləncəli nədir: əlavə etmək və ya çıxmaq? Düzdür, qatla. Və formula üçün əlavə edirlər:
Birinci və üçüncü düsturlarda cəmi mötərizə içərisindədir. Şərtlərin yerlərinin dəyişdirilməsi cəmi dəyişmir. Sifariş yalnız ikinci düstur üçün vacibdir. Ancaq çaşqın olmamaq üçün, yadda saxlamaq asanlığı üçün ilk mötərizədə hər üç düsturda fərqi götürürük.
ikincisi - məbləğ
Cibinizdəki fırıldaq vərəqləri sizə rahatlıq verir: düsturu unutsanız, onu köçürə bilərsiniz. Və onlar sizə güvən verir: fırıldaqçı vərəqdən istifadə edə bilmirsinizsə, düsturları asanlıqla xatırlaya bilərsiniz.
Triqonometriyada ən çox istifadə olunan düsturlar haqqında söhbətimizə davam edirik. Onlardan ən mühümü əlavə düsturlarıdır.
Tərif 1
Əlavə düsturları istifadə edərək iki bucağın fərqinin və ya cəminin funksiyalarını ifadə etməyə imkan verir triqonometrik funksiyalar bu açılar.
Başlamaq üçün, verəcəyik tam siyahıəlavə düsturları, sonra biz onları sübut edəcəyik və bir neçə illüstrativ nümunəni təhlil edəcəyik.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Triqonometriyada əsas toplama düsturları
Səkkiz əsas düstur var: cəminin sinusu və iki bucağın fərqinin sinusu, cəminin və fərqin kosinusu, cəm və fərqin tangensləri və kotangentləri. Aşağıda onların standart formulaları və hesablamaları verilmişdir.
1. İki bucağın cəminin sinusunu aşağıdakı kimi almaq olar:
Birinci bucağın sinusunun və ikincinin kosinusunun hasilini hesablayırıq;
Birinci bucağın kosinusunu birincinin sinusuna vurun;
Yaranan dəyərləri əlavə edin.
Düsturun qrafik yazısı belə görünür: sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β
2. Fərqin sinusu demək olar ki, eyni şəkildə hesablanır, yalnız nəticədə alınan məhsullar əlavə edilməməlidir, lakin bir-birindən çıxılmalıdır. Beləliklə, birinci bucağın sinusunun ikincinin kosinusuna və birinci bucağın kosinusunun ikincinin sinusuna hasillərini hesablayırıq və onların fərqini tapırıq. Düstur belə yazılır: sin (α - β) = sin α · cos β + sin α · sin β
3. Cəminin kosinusu. Bunun üçün birinci bucağın kosinusunun ikincinin kosinusuna və birinci bucağın sinusunun ikincinin sinusuna hasillərini tapırıq və onların fərqini tapırıq: cos (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β
4. Fərqin kosinusu: əvvəlki kimi bu bucaqların sinus və kosinuslarının hasillərini hesablayın və onları əlavə edin. Formula: cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
5. Cəmin tangensi. Bu düstur kəsr kimi ifadə edilir, onun payı tələb olunan bucaqların tangenslərinin cəmidir, məxrəc isə istənilən bucaqların tangenslərinin hasilinin çıxarıldığı vahiddir. Onun qrafik qeydindən hər şey aydındır: t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β
6. Fərqin tangensi. Bu bucaqların tangenslərinin fərqinin və məhsulunun dəyərlərini hesablayırıq və oxşar şəkildə onlarla davam edirik. Məxrəcdə birinə əlavə edirik, əksinə deyil: t g (α - β) = t g α - t g β 1 + t g α · t g β
7. Məbləğin kotangensi. Bu düsturdan istifadə edərək hesablamaq üçün bizə bu bucaqların hasilinə və kotangentlərinin cəminə ehtiyacımız olacaq, biz bunu aşağıdakı kimi davam etdirəcəyik: c t g (α + β) = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
8. Fərqin kotangensi . Düstur əvvəlkinə bənzəyir, lakin pay və məxrəc mənfidir, üstəgəl c t g (α - β) = - 1 - c t g α · c t g β c t g α - c t g β deyil.
Yəqin ki, bu düsturların cüt-cüt oxşar olduğunu görmüsünüz. ± (plus-minus) və ∓ (minus-plus) işarələrindən istifadə edərək, qeydin asanlığı üçün onları qruplaşdıra bilərik:
sin (α ± β) = sin α · cos β ± cos α · sin β cos (α ± β) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β t g (α ± β) = t g α ± t g β 1 ∓ t g α · t g β c t g (α ± β) = - 1 ± c t g α · c t g β c t g α ± c t g β
Müvafiq olaraq, hər bir dəyərin cəmi və fərqi üçün bir qeyd düsturumuz var, yalnız bir halda diqqət yetiririk üst işarə, digərində - aşağıya.
Tərif 2
İstənilən α və β bucaqlarını götürə bilərik və kosinus və sinus üçün əlavə düsturları onlar üçün işləyəcək. Əgər bu bucaqların tangens və kotangenslərinin qiymətlərini düzgün təyin edə bilsək, onda tangens və kotangens üçün əlavə düsturlar onlar üçün də etibarlı olacaqdır.
Cəbrdəki əksər anlayışlar kimi, əlavə düsturları da sübut edilə bilər. Sübut edəcəyimiz ilk düstur kosinus düsturu fərqidir. Qalan dəlilləri ondan asanlıqla çıxarmaq olar.
Əsas anlayışları aydınlaşdıraq. Bizə vahid dairə lazımdır. Müəyyən bir A nöqtəsini götürsək və α və β bucaqlarını mərkəz (O nöqtəsi) ətrafında döndərsək, nəticə verəcəkdir. Onda O A 1 → və O A → 2 vektorları arasındakı bucaq (α - β) + 2 π · z və ya 2 π - (α - β) + 2 π · z-ə bərabər olacaqdır (z istənilən tam ədəddir). Nəticədə vektorlar α - β və ya 2 π - (α - β) bərabər olan bir bucaq meydana gətirir və ya bu dəyərlərdən tam inqilab sayı ilə fərqlənə bilər. Şəkilə baxın:
Azaltma düsturlarından istifadə etdik və aşağıdakı nəticələri əldə etdik:
cos ((α - β) + 2 π z) = cos (α - β) cos (2 π - (α - β) + 2 π z) = cos (α - β)
Nəticə: O A 1 → və O A 2 → vektorları arasındakı bucağın kosinusu α - β bucağının kosinusuna bərabərdir, buna görə də cos (O A 1 → O A 2 →) = cos (α - β).
Sinus və kosinusun təriflərini xatırlayaq: sinus bucağın funksiyasıdır, əks bucağın ayağının hipotenuzaya nisbətinə bərabərdir, kosinus tamamlayıcı bucağın sinüsüdür. Buna görə də nöqtələr A 1 Və A 2 koordinatları (cos α, sin α) və (cos β, sin β) var.
Aşağıdakıları alırıq:
O A 1 → = (cos α, sin α) və O A 2 → = (cos β, sin β)
Aydın deyilsə, vektorların əvvəlində və sonunda yerləşən nöqtələrin koordinatlarına baxın.
Vektorların uzunluqları 1-ə bərabərdir, çünki Bizim vahid dairəmiz var.
İndi O A 1 → və O A 2 → vektorlarının skalyar hasilini təhlil edək. Koordinatlarda bu belə görünür:
(O A 1 → , O A 2) → = cos α · cos β + sin α · sin β
Buradan bərabərliyi əldə edə bilərik:
cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Beləliklə, fərq kosinus düsturu sübuta yetirilir.
İndi aşağıdakı düsturu sübut edəcəyik - cəminin kosinusu. Bu daha asandır, çünki əvvəlki hesablamalardan istifadə edə bilərik. α + β = α - (- β) təsvirini götürək. Bizdə:
cos (α + β) = cos (α - (- β)) = = cos α cos (- β) + sin α sin (- β) = = cos α cos β + sin α sin β
Bu, kosinus cəmi düsturunun sübutudur. Sonuncu sətir əks bucaqların sinus və kosinus xüsusiyyətindən istifadə edir.
Cəmin sinusunun düsturu fərqin kosinusunun düsturundan əldə edilə bilər. Bunun üçün azalma düsturunu götürək:
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) formasından. Belə ki
sin (α + β) = cos (π 2 (α + β)) = cos ((π 2 - α) - β) = = cos (π 2 - α) cos β + sin (π 2 - α) sin β = = sin α cos β + cos α sin β
Və burada sinus düsturu fərqinin sübutu:
sin (α - β) = sin (α + (- β)) = sin α cos (- β) + cos α sin (- β) = = sin α cos β - cos α sin β
Son hesablamada əks bucaqların sinus və kosinus xassələrinin istifadəsinə diqqət yetirin.
Sonra bizə tangens və kotangens üçün əlavə düsturlarının sübutlarına ehtiyacımız var. Əsas tərifləri xatırlayaq (tangens sinusun kosinusa nisbətidir və kotangens əksinədir) və əvvəlcədən əldə edilmiş düsturları götürək. Biz bacardıq:
t g (α + β) = sin (α + β) cos (α + β) = sin α cos β + cos α sin β cos α cos β - sin α sin β
Bizdə mürəkkəb kəsr var. Daha sonra onun payını və məxrəcini cos α · cos β-a bölmək lazımdır, nəzərə alsaq ki, cos α ≠ 0 və cos β ≠ 0, alırıq:
sin α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β = sin α · cos β cos α · cos β + cos α · sin β cos α · cos β cos α · cos β cos α · cos β - sin α · sin β cos α · cos β
İndi kəsrləri azaldıb aşağıdakı düsturu alırıq: sin α cos α + sin β cos β 1 - sin α cos α · s i n β cos β = t g α + t g β 1 - t g α · t g β.
t g (α + β) = t g α + t g β 1 - t g α · t g β aldıq. Bu, tangens əlavə düsturunun sübutudur.
Sübut edəcəyimiz növbəti düstur fərq düsturunun tangensidir. Hesablamalarda hər şey aydın şəkildə göstərilir:
t g (α - β) = t g (α + (- β)) = t g α + t g (- β) 1 - t g α t g (- β) = t g α - t g β 1 + t g α t g β
Kotangens üçün düsturlar oxşar şəkildə sübut olunur:
c t g (α + β) = cos (α + β) sin (α + β) = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β = = cos α · cos β - sin α · sin β sin α · sin β sin α · cos β + cos α · sin β sin α · sin β = cos α · cos β sin α · sin β - 1 sin α · cos β sin α · sin β + cos α · sin β sin α · sin β = = - 1 + c t g α · c t g β c t g α + c t g β
Daha:
c t g (α - β) = c t g (α + (- β)) = - 1 + c t g α c t g (- β) c t g α + c t g (- β) = - 1 - c t g α c t g β c t g α - c t g
