Ev Stomatit Müəyyən inteqralın həndəsi tətbiqləri. Müəyyən inteqralın tətbiqləri

Stomatit

Müəyyən inteqralın həndəsi tətbiqləri. Müəyyən inteqralın tətbiqləri

Mühazirələr 8. Tətbiqlər müəyyən inteqral.

İnteqralın fiziki məsələlərə tətbiqi inteqralın çoxluq üzərindəki aşqarının xassəsinə əsaslanır. Buna görə də, inteqraldan istifadə edərək, çoxluqda özləri aşqar olan kəmiyyətlər hesablana bilər. Məsələn, bir fiqurun sahəsi onun hissələrinin sahələrinin cəminə bərabərdir, qövsün uzunluğu, səth sahəsi, bədənin həcmi və bədənin kütləsi eyni xüsusiyyətə malikdir. Buna görə də bütün bu kəmiyyətləri müəyyən inteqraldan istifadə etməklə hesablamaq olar.

Problemləri həll etmək üçün iki üsuldan istifadə edə bilərsiniz: inteqral cəmlər üsulu və diferensiallar üsulu.

İnteqral cəmlər üsulu müəyyən inteqralın qurulmasını təkrarlayır: bölmə qurulur, nöqtələr qeyd olunur, onlarda funksiya hesablanır, inteqral cəmi hesablanır və həddə keçid həyata keçirilir. Bu üsulda əsas çətinlik limitdə nəticənin problemdə lazım olanı tam olaraq sübut etməkdir.

Diferensial metoddan istifadə olunur qeyri-müəyyən inteqral və Nyuton-Leybniz düsturu. Müəyyən ediləcək kəmiyyətin diferensialı hesablanır və sonra bu diferensial inteqral edilərək Nyuton-Leybnits düsturundan istifadə etməklə tələb olunan kəmiyyət alınır. Bu üsulda əsas çətinlik hesablananın başqa bir şey deyil, tələb olunan dəyərin diferensial olduğunu sübut etməkdir.

Təyyarə fiqurlarının sahələrinin hesablanması.

1. Şəkil Kartezian koordinat sistemində müəyyən edilmiş funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşır.

Müəyyən bir inteqral anlayışına əyri trapezoidin sahəsi problemindən gəldik (əslində, inteqral cəmlər metodundan istifadə etməklə). Əgər funksiya yalnız mənfi olmayan qiymətlər alırsa, onda funksiyanın seqmentdəki qrafikinin altındakı sahə müəyyən inteqraldan istifadə etməklə hesablana bilər. Qeyd edək ki ona görə də diferensiallar metodunu burada da görmək olar.

Ancaq funksiya müəyyən bir seqmentdə mənfi dəyərlər də qəbul edə bilər, onda bu seqmentin üzərindəki inteqral sahənin tərifinə zidd olan mənfi bir sahə verəcəkdir.

Düsturdan istifadə edərək ərazini hesablaya bilərsinizS=. Bu, funksiyanın mənfi qiymətlər qəbul etdiyi sahələrdə işarəsinin dəyişdirilməsinə bərabərdir.

Yuxarıdakı funksiyanın qrafiki ilə və aşağıda funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşan bir fiqurun sahəsini hesablamaq lazımdırsa, onda düsturundan istifadə edə bilərsinizS= , çünki.

Misal. x=0, x=2 düz xətləri və y=x 2, y=x 3 funksiyalarının qrafikləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın.

Qeyd edək ki, (0,1) intervalında x 2 > x 3 bərabərsizliyi, x >1 üçün isə x 3 > x 2 bərabərsizliyi yerinə yetirilir. Buna görə

2. Şəkil qütb koordinat sistemində müəyyən edilmiş funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşır.

Qütb koordinat sistemində funksiyanın qrafiki verilsin və biz iki şüa ilə məhdudlaşan əyrixətti sektorun sahəsini və qütb koordinat sistemindəki funksiyanın qrafikini hesablamaq istəyirik.

Burada əyri bir sektorun sahəsini funksiya qrafikinin dairəvi qövslə əvəz olunduğu elementar sektorların sahələrinin cəminin həddi kimi hesablayan inteqral cəmlər metodundan istifadə edə bilərsiniz. .

Diferensial metoddan da istifadə edə bilərsiniz: .

Siz belə düşünə bilərsiniz. Mərkəzi bucağa uyğun gələn elementar əyri sektoru dairəvi sektorla əvəz edərək, nisbətimiz var. Buradan . Nyuton-Leybniz düsturunu birləşdirərək və istifadə edərək əldə edirik .

Misal. Dairənin sahəsini hesablayaq (düsturu yoxlayın). inanırıq. Dairənin sahəsi .

Misal. Kardioid ilə məhdudlaşan sahəni hesablayaq .

3 Şəkil parametrik olaraq təyin edilmiş funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşır.

Funksiya formada parametrik olaraq təyin edilə bilər. Formuladan istifadə edirik S= , yeni dəyişən üzərində inteqrasiya sərhədlərini ona əvəz etməklə. . Adətən, inteqralı hesablayarkən inteqral funksiyasının müəyyən işarəyə malik olduğu sahələr təcrid olunur və bu və ya digər işarəli müvafiq sahə nəzərə alınır.

Misal. Ellipsin əhatə etdiyi sahəni hesablayın.

Ellipsin simmetriyasından istifadə edərək, birinci kvadrantda yerləşən ellipsin dörddə birinin sahəsini hesablayırıq. Bu kvadrantda. Ona görə də.

Cismlərin həcmlərinin hesablanması.

1. Paralel kəsiklərin sahələrindən cisimlərin həcmlərinin hesablanması.

OX xətti seqmentinin istənilən x nöqtəsindən çəkilmiş OX xəttinə perpendikulyar müstəvilərlə bu cismin məlum en kəsik sahələrindən müəyyən V cismin həcmini hesablamaq tələb olunsun.

Diferensiallar metodunu tətbiq edək. Seqmentin üstündəki elementar həcmi baza sahəsi və hündürlüyü olan düz dairəvi silindrin həcmi kimi nəzərə alsaq, əldə edirik. . Nyuton-Leybnits düsturunu birləşdirərək və tətbiq edərək əldə edirik

2. Fırlanma cisimlərinin həcmlərinin hesablanması.

Qoy hesablamaq lazımdır ÖKÜZ.

Sonra .

Eynilə, bir ox ətrafında dövr edən cismin həcmiOY, funksiya şəklində verilmişdirsə, düsturdan istifadə etməklə hesablana bilər.

Funksiya formada göstərilibsə və ox ətrafında fırlanma cisminin həcmini təyin etmək tələb olunursaOY, onda həcmin hesablanması düsturu aşağıdakı kimi əldə edilə bilər.

Diferensiallara keçək və kvadrat şərtləri nəzərə almasaq, bizdə var . Nyuton-Leybniz düsturunu inteqrasiya edərək və tətbiq edərək, əldə edirik.

Misal. Kürənin həcmini hesablayın.

Misal. Səth və müstəvi ilə məhdudlaşan düz dairəvi konusun həcmini hesablayın.

Həcmi fırlanma cisminin həcmi kimi hesablayaq, fırlanma ilə əmələ gəlir OZ oxu ətrafında düz üçbucaq OXZ müstəvisində, ayaqları OZ oxu və z = H xətti üzərində, hipotenuzası isə xətt üzərində yerləşir.

X-i z ilə ifadə etsək, alırıq .

Qövs uzunluğunun hesablanması.

Qövsün uzunluğunu hesablamaq üçün düsturları əldə etmək üçün qövs uzunluğunun diferensiallanması üçün 1-ci semestrdə alınan düsturları xatırlayın.

Qövs davamlı diferensiallanan funksiyanın qrafikidirsə, qövs uzunluğunun diferensialını düsturdan istifadə etməklə hesablamaq olar

. Buna görə

Hamar bir qövs parametrik olaraq təyin olunarsa, Bu

. Buna görə .

Qövs qütb koordinat sistemində göstərilibsə, Bu

. Buna görə .

Misal. Funksiyanın qrafikinin qövsünün uzunluğunu hesablayın, . .

Müəyyən inteqralın bəzi tətbiqlərini təqdim edək.

Düz bir fiqurun sahəsinin hesablanması

Bir əyri ilə məhdudlaşan əyri trapezoidin sahəsi (burada
), düz
,
və bir seqment
baltalar
, formula ilə hesablanır

Əyrilərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsi
Və
(Harada
) düz
Və
düsturla hesablanır

Əgər əyri parametrik tənliklərlə verilirsə
, sonra düz xətlərlə bu əyri ilə məhdudlaşan əyrixətli trapezoidin sahəsi
,
və bir seqment
baltalar
, formula ilə hesablanır

Harada Və tənliklərdən müəyyən edilir
,
, A
saat
.

Qütb koordinatlarında tənliklə verilmiş əyri ilə məhdudlaşan əyrixətti sektorun sahəsi
və iki qütb radiusu
,
(
), düsturu ilə tapılır

Misal 1.27. Parabola ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın
və düz
(Şəkil 1.1).

Həll. Düz xəttin və parabolanın kəsişmə nöqtələrini tapaq.

,
.

Bunun üçün tənliyi həll edirik
,
Harada

.

Sonra (1.6) düsturuna görə əldə edirik
Müstəvi əyrisinin qövs uzunluğunun hesablanması
Əgər əyri
seqmentdə

- hamar (yəni törəmə
(
davamlı), onda bu əyrinin müvafiq qövsünün uzunluğu düsturla tapılır Əyri parametrik olaraq təyin edildikdə - davamlı diferensiallanan funksiyalar) parametrin monoton dəyişməsinə uyğun gələn əyri qövsünün uzunluğu. , formula ilə hesablanır

-danüçün
,
,
.

Həll. Misal 1.28. :
,
Bir əyrinin qövs uzunluğunu hesablayın

Parametrə görə törəmələri tapaq

. Sonra (1.7) düsturundan alırıq
2. Bir neçə dəyişənli funksiyaların diferensial hesabı
Hər sifariş edilmiş nömrə cütü olsun
bəzi bölgədən müəyyən rəqəmə uyğun gəlir iki dəyişənin funksiyası Və ,
-müstəqil dəyişənlər və ya arqumentlər ,
-tərif sahəsi funksiyalar və çoxluq bütün funksiya dəyərləri - onun dəyərlərinin diapazonu və işarə edir
.

Həndəsi olaraq, funksiyanın tərif sahəsi adətən müstəvinin bəzi hissəsini təmsil edir
, bu sahəyə aid ola bilən və ya olmayan xətlərlə məhdudlaşır.

Misal 2.1. Tərif sahəsini tapın
funksiyaları
.

	Həll. Bu funksiya təyyarənin həmin nöqtələrində müəyyən edilir , hansında , və ya . Hansı təyyarənin nöqtələri , bölgənin sərhədini təşkil edir . Tənlik parabola müəyyən edir (şək. 2.1; parabola bölgəyə aid olmadığı üçün , sonra nöqtəli xətt ilə təsvir olunur).

Bundan əlavə, hansı nöqtələrin olduğunu birbaşa yoxlamaq asandır , parabolanın üstündə yerləşir. Region
, A açıqdır və bərabərsizliklər sistemi ilə müəyyən edilə bilər:
Əgər dəyişən
bir qədər artım verin sabit, sonra funksiyanı buraxın artım alacaq :

, çağırdı funksiyanın şəxsi artımı
, A dəyişən tərəfindən
Əgər dəyişən
bir qədər artım verin sabit, sonra funksiyanı buraxın Eynilə, əgər dəyişən :

artım əldə edir

sabit qalır, sonra funksiya dəyişən tərəfindən
Məhdudiyyətlər varsa: Və çağırırlar

funksiyanın qismən törəmələri dəyişənlərə görə

müvafiq olaraq. Qeyd 2.1.

İstənilən sayda müstəqil dəyişənlərin funksiyalarının qismən törəmələri eyni şəkildə müəyyən edilir.
.

Qeyd 2.2. Hər hansı bir dəyişənə münasibətdə qismən törəmə bu dəyişənə görə törəmə olduğundan, digər dəyişənlərin sabit olması şərti ilə, bir dəyişənin funksiyalarının diferensiallaşdırılmasının bütün qaydaları istənilən sayda dəyişənin funksiyalarının qismən törəmələrinin tapılması üçün tətbiq edilir.

Misal 2.2. Həll
.

. Tapırıq:
Misal 2.3.

Funksiyanın qismən törəmələrini tapın
Tam funksiya artımı
Və
,fərq adlanır Tam funksiya artımının əsas hissəsi
, müstəqil dəyişənlərin artımlarından xətti asılıdır

Harada
,
funksiyanın tam diferensialı adlanır

və təyin edilir
. Əgər funksiyanın davamlı qismən törəmələri varsa, onda tam diferensial mövcuddur və ona bərabərdir

- müstəqil dəyişənlərin ixtiyari artımları, onların diferensialları adlanır.
Eynilə, üç dəyişənli funksiya üçün
ümumi diferensial verilir Qoy funksiya olsun nöqtəsində var
bütün dəyişənlərə münasibətdə birinci dərəcəli qismən törəmələr. Sonra vektor çağırılır
gradient
funksiyaları
.

nöqtədə və təyin edilir
və ya

Qeyd 2.3. Simvol
.

Qeyd 2.2. Hamilton operatoru adlanır və “nambla” kimi tələffüz olunur.

,
,

Misal 2.4.
:

,
,
.

Bir nöqtədə funksiyanın gradientini tapın
.

. Gəlin qismən törəmələri tapaq: və nöqtədə onların dəyərlərini hesablayın
Beləliklə,
törəmə
nisbətin həddi adlanır
saat
:

, Harada
.

Əgər funksiyası
diferensiallana bilər, onda verilmiş istiqamətdə törəmə düsturla hesablanır:

Harada ,- vektor olan açılar baltalarla formalar
Və
müvafiq olaraq.

Üç dəyişənli funksiya vəziyyətində
istiqamətli törəmə oxşar şəkildə müəyyən edilir. Müvafiq formula belədir

Harada
- vektorun istiqamət kosinusları .

Misal 2.5. Funksiyanın törəməsini tapın
bütün dəyişənlərə münasibətdə birinci dərəcəli qismən törəmələr. Sonra vektor çağırılır
vektor istiqamətində
, Harada
.

Qeyd 2.2.. vektoru tapaq
və onun istiqamət kosinusları:

,
,
,
.

Nöqtədə qismən törəmələrin dəyərlərini hesablayaq
:

,
,
;
,
,
.

(2.1)-i əvəz edərək, əldə edirik

İkinci dərəcəli qismən törəmələr birinci dərəcəli qismən törəmələrdən alınan qismən törəmələr adlanır:

Qismən törəmələr
,
adlanırlar qarışıq . Qarışıq törəmələrin dəyərləri bu törəmələrin davamlı olduğu nöqtələrdə bərabərdir.

Misal 2.6. Funksiyanın ikinci dərəcəli qismən törəmələrini tapın
.

Qeyd 2.2.. Əvvəlcə birinci sıranın qismən törəmələrini hesablayaq:

,
.

Onları yenidən fərqləndirərək, əldə edirik:

,
,

,
.

Son ifadələri müqayisə etdikdə bunu görürük
.

Misal 2.7. Funksiya olduğunu sübut edin
Laplas tənliyini ödəyir

,
.

Nöqtə
müəyyən rəqəmə uyğun gəlir yerli maksimum nöqtə (minimum ) funksiyaları
, əgər bütün nöqtələr üçün
, fərqlidir
və onun kifayət qədər kiçik qonşuluğuna aid olan bərabərsizlik

(
).

Funksiyanın maksimum və ya minimumu onun adlanır ekstremum . Funksiyanın ekstremumuna çatdığı nöqtə deyilir funksiyanın ekstremal nöqtəsi .

Teorem 2.1 (Ekstremum üçün zəruri şərtlər ). Əgər nöqtə
funksiyanın ekstremum nöqtəsidir
və ya bu törəmələrdən ən azı biri mövcud deyil.

Bu şərtlərin yerinə yetirildiyi nöqtələr çağırılır stasionar və ya tənqidi . Ekstremum nöqtələr həmişə sabitdir, lakin stasionar nöqtə ekstremum nöqtəsi olmaya bilər. Stasionar nöqtənin ekstremum nöqtəsi olması üçün ekstremum üçün kifayət qədər şərtlər yerinə yetirilməlidir.

Əvvəlcə aşağıdakı qeydi təqdim edək :

,
,
,
.

Teorem 2.2 (Ekstremum üçün kifayət qədər şərait ). - müstəqil dəyişənlərin ixtiyari artımları, onların diferensialları adlanır.
bir nöqtənin qonşuluğunda iki dəfə diferensiallanan
və dövr
funksiyası üçün stasionardır
. Sonra:

1.Əgər
, sonra işarə edin
funksiyasının ekstremumudur və
maksimum nöqtə olacaq
(
)və minimum nöqtə
(
).

2.Əgər
, sonra nöqtədə

ifrat yoxdur.

3.Əgər
, onda ekstremum mövcud ola bilər və ya olmaya da bilər.

Misal 2.8. Ekstremum funksiyasını nəzərdən keçirin
.

Qeyd 2.2.. ildən bu halda birinci dərəcəli qismən törəmələr həmişə mövcuddur, sonra stasionar (kritik) nöqtələri tapmaq üçün sistemi həll edirik:

,
,

harada
,
,
,
. Beləliklə, iki sabit nöqtə əldə etdik:
,
.

,
,
.

Bir nöqtə üçün
alırıq:, yəni bu nöqtədə ekstremum yoxdur. Bir nöqtə üçün
alırıq: və
, deməli

bu nöqtədə bu funksiya yerli minimuma çatır: .

Bir funksiyanın qrafiki ilə yuxarıda məhdud olan əyri xətti trapezoidin sahəsi y=f(x), sol və sağ - düz x=a Və x=b müvafiq olaraq, aşağıdan - ox öküz, formula ilə hesablanır

Bir funksiyanın qrafiki ilə sağdan məhdud olan əyri xətti trapezoidin sahəsi x=φ(y), yuxarıda və aşağıda - düz y=d Və y=c müvafiq olaraq, solda - ox ay:

Bir funksiyanın qrafiki ilə yuxarıda məhdud olan əyri xəttin sahəsi y 2 =f 2 (x), aşağıda - funksiya qrafiki y 1 =f 1 (x), sol və sağ - düz x=a Və x=b:

Funksiyaların qrafikləri ilə sağdan və soldan məhdud olan əyri xəttin sahəsi x 1 =φ 1 (y) Və x 2 =φ 2 (y), yuxarıda və aşağıda - düz y=d Və y=c müvafiq olaraq:

Əyrixətti trapesiyanı yuxarıdan məhdudlaşdıran xəttin parametrik tənliklərlə verildiyi halı nəzərdən keçirək. x = φ 1 (t), y = φ 2 (t), Harada α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. Bu tənliklər bəzi funksiyaları müəyyənləşdirir y=f(x) seqmentdə [ a, b]. Əyri trapezoidin sahəsi düsturla hesablanır

Gəlin yeni dəyişənə keçək x = φ 1 (t), Sonra dx = φ" 1 (t) dt, A y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), buna görə də \begin(displaymath)

Qütb koordinatlarında sahə

Əyri xətti sektoru nəzərdən keçirək OAB, xətti ilə məhdudlaşır, tənliyi ilə verilmişdir ρ=ρ(φ) qütb koordinatlarında, iki şüa O.A. Və O.B., bunun üçün φ=α , φ=β .

Sektoru elementar sektorlara ayıracağıq OM k-1 M k ( k=1, …, n, M 0 =A, M n =B). ilə işarə edək Δφ kşüalar arasındakı bucaq OM k-1 Və OMk, qütb oxu ilə bucaqlar əmələ gətirir φ k-1 Və φ k müvafiq olaraq. Elementar sektorların hər biri OM k-1 M k radiuslu dairəvi sektor ilə əvəz edin ρ k =ρ(φ" k), Harada φ"k- bucaq dəyəri φ intervaldan [ φ k-1 , φ k] və mərkəzi bucaq Δφ k. Son sektorun sahəsi düsturla ifadə edilir .

təqribən verilmiş sektoru əvəz edən “pilləli” sektorun sahəsini ifadə edir OAB.

Sektor sahəsi OAB at “addımlı” sektorun sahəsinin həddi adlanır n → ∞ Və λ=max Δφ k → 0:

Çünki , Bu

Əyri qövs uzunluğu

Seqmentə qoyun [ a, b] diferensiallanan funksiya verilir y=f(x), qrafiki qövsdür. Seqment [ a,b] onu bölək n nöqtələri olan hissələr x 1, x 2, …, xn-1. Bu nöqtələr nöqtələrə uyğun olacaq M 1, M 2, …, Mn-1 qövslər, biz onları qırıq bir xətt ilə birləşdiririk ki, bu da qövsə yazılmış qırıq xətt adlanır. Bu qırıq xəttin perimetri ilə işarələnəcək s n, yəni

Tərif. Xəttin qövsünün uzunluğu, keçidlərin sayı olduqda, orada yazılmış qırıq xəttin perimetrinin həddidir. M k-1 M k qeyri-müəyyən olaraq artır və onlardan ən böyüyünün uzunluğu sıfıra meyllidir:

burada λ ən böyük bağın uzunluğudur.

Qövsün uzunluğunu bir nöqtədən sayacağıq, məsələn, A. Qoy nöqtədə M(x,y) qövs uzunluğudur s, və nöqtədə M"(x+Δ x,y+Δy) qövs uzunluğudur s+Δs, burada,i>Δs qövsün uzunluğudur. Üçbucaqdan MNM" akkordun uzunluğunu tapın: .

Həndəsi mülahizələrdən belə nəticə çıxır

yəni xəttin sonsuz kiçik qövsü və ona tabe olan akkord ekvivalentdir.

Akkordun uzunluğunu ifadə edən düsturu çevirək:

Bu bərabərlikdə həddinə keçərək, funksiyanın törəməsi üçün düstur alırıq s=s(x):

haradan tapırıq

Bu düstur müstəvi əyrisinin qövsünün diferensialını ifadə edir və sadədir həndəsi məna : sonsuz kiçik üçbucaq üçün Pifaqor teoremini ifadə edir MTN (ds=MT, ).

Məkan əyrisinin qövsünün diferensialı düsturla müəyyən edilir

Parametrik tənliklərlə müəyyən edilmiş fəza xəttinin qövsünü nəzərdən keçirək

Harada α ≤ t ≤ β, φi(t) (i=1, 2, 3) - arqumentin diferensiallanan funksiyaları t, Bu

Bu bərabərliyin [ intervalı üzərində inteqrasiyası α, β ], bu xətt qövsünün uzunluğunu hesablamaq üçün bir düstur alırıq

Əgər xətt təyyarədə yerləşirsə Oksi, Bu z=0 hamının qarşısında t∈[α, β], Ona görə

Tənlik ilə düz xəttin verildiyi halda y=f(x) (a≤x≤b), Harada f(x) diferensiallanan funksiyadır, sonuncu düstur formasını alır

Müstəvi xətti tənliklə verilsin ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) qütb koordinatlarında. Bu vəziyyətdə bizdə var parametrik tənliklər xətlər x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, burada qütb bucağı parametr kimi qəbul edilir φ . ildən

sonra xəttin qövsünün uzunluğunu ifadə edən düstur ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) qütb koordinatlarında, formasına malikdir

Bədən həcmi

Müəyyən bir istiqamətə perpendikulyar olan bu cismin hər hansı bir kəsişməsinin sahəsi məlumdursa, cismin həcmini tapaq.

Bu cismi oxa perpendikulyar müstəvilərlə elementar təbəqələrə ayıraq öküz və tənliklərlə müəyyən edilir x=const. Hər hansı bir sabit üçün x∈ məlum ərazi S=S(x) en kəsiyi verilmiş bədən.

Təyyarələr tərəfindən kəsilmiş elementar təbəqə x=x k-1, x=x k (k=1, …, n, x 0 =a, x n =b), hündürlüyü olan silindrlə əvəz edin Δx k =x k -x k-1 və baza sahəsi S(ξ k), ξ k ∈.

Göstərilən elementar silindrin həcmi düsturla ifadə edilir Δv k =E(ξ k)Δx k. Bütün bu cür məhsulları ümumiləşdirək

verilmiş funksiya üçün inteqral cəmidir S=S(x) seqmentdə [ a, b]. Elementar silindrlərdən ibarət olan və bu gövdəni təxminən əvəz edən pilləli cismin həcmini ifadə edir.

Verilmiş bir cismin həcmi müəyyən edilmiş pilləli cismin həcminin həddidir λ→0 , Harada λ - elementar seqmentlərin ən böyüyünün uzunluğu Δxk. ilə işarə edək V verilmiş cismin həcmi, sonra təriflə

Digər tərəfdən,

Buna görə bədənin həcminə görə verilmişdir kəsiklər düsturla hesablanır

Əgər cisim bir ox ətrafında fırlanma ilə əmələ gəlirsə öküz yuxarıdan davamlı xəttin qövsü ilə məhdudlaşan əyri trapesiya y=f(x), Harada a≤x≤b, Bu S(x)=πf 2 (x) və sonuncu düstur aşağıdakı formanı alır:

Şərh. Funksiya qrafiki ilə sağdan məhdud olan əyri trapesiyanı fırlatmaqla əldə edilən cismin həcmi x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), ox ətrafında ay düsturla hesablanır

Səthin fırlanma sahəsi

Xəttin qövsünün fırlanması ilə əldə edilən səthi nəzərdən keçirin y=f(x) (a≤x≤b) ox ətrafında öküz(fərz edək ki, funksiya y=f(x) davamlı törəmə var). Dəyəri düzəltmək x∈, biz funksiya arqumentinə artım verəcəyik dx, elementar qövsün fırlanması ilə əldə edilən "elementar halqaya" uyğun gəlir Δl. Bu "halqa" nı silindrik bir üzüklə əvəz edək - qövs diferensialına bərabər əsası olan düzbucaqlının fırlanması ilə əmələ gələn cismin yan səthi dl, və hündürlük h=f(x). Son halqanı kəsərək və onu açaraq, eni olan bir zolaq alırıq dl və uzunluq 2πy, Harada y=f(x).