Xidmətin məqsədi. Bu xidmətdən istifadə edərək, müəyyən edə bilərsiniz:
- ümumi orta üçün inam intervalı, dispersiya üçün inam intervalı;
- standart kənarlaşma üçün inam intervalı, ümumi pay üçün inam intervalı;
Nümunə №1. Kolxozda ümumi 1000 qoyun sürüsünün 100 baş qoyun selektiv nəzarət qırxımından keçirildi. Nəticədə hər qoyundan orta hesabla 4,2 kq yun qırxımı müəyyən edilmişdir. Bir qoyun başına orta yun qırxımını təyin edərkən nümunənin orta kvadrat xətasını və dispersiya 2,5 olarsa qırxma dəyərinin daxil olduğu hədləri 0,99 ehtimalı ilə müəyyən edin. Nümunə təkrarlanmır.
Nümunə № 2. Moskva Şimal Gömrüyünün postunda idxal olunan məhsulların partiyasından təsadüfi təkrar seçmə yolu ilə “A” məhsulundan 20 nümunə götürülüb. Sınaq nəticəsində nümunədə “A” məhsulunun orta nəmliyi müəyyən edilib ki, bu da 1% standart sapma ilə 6%-ə bərabər olub.
İdxal olunan məhsulların bütün partiyasında məhsulun orta rütubətinin hədlərini 0,683 ehtimalı ilə müəyyən edin.
Nümunə № 3. 36 şagird arasında aparılan sorğu göstərib ki, onların ildə oxuduqları dərsliklərin orta sayı tədris ili, 6-ya bərabər oldu.Tələbənin hər semestrdə oxuduğu dərsliklərin sayının standart kənarlaşma 6-ya bərabər olan normal paylanma qanununa malik olduğunu fərz etsək, tapın: A) etibarlılığı 0,99 olan riyazi fənn üzrə interval qiymətləndirməsi. bu gözlənti təsadüfi dəyişən; B) hansı ehtimalla deyə bilərik ki, bir semestrdə tələbənin oxuduğu dərsliklərin verilmiş nümunədən hesablanmış orta sayı riyazi gözləntidən kənara çıxacaq. mütləq dəyər 2-dən çox deyil.
Etibar intervallarının təsnifatı
Qiymətləndirilən parametrin növünə görə:
Nümunə növünə görə:
- Sonsuz nümunə üçün etibarlılıq intervalı;
- Son nümunə üçün etimad intervalı;
Təsadüfi seçmə üçün orta seçmə xətasının hesablanması
Nümunədən alınan göstəricilərin qiymətləri ilə ümumi əhalinin müvafiq parametrləri arasındakı uyğunsuzluq deyilir. təmsilçilik xətası.Ümumi və seçmə populyasiyaların əsas parametrlərinin təyinatı.
| Orta seçmə xətası düsturları | |||
| yenidən seçim | seçimi təkrarlayın | ||
| orta hesabla | paylaşmaq üçün | orta hesabla | paylaşmaq üçün |
 |
|||
Sırf təsadüfi seçmə metodundan istifadə edərək nümunə ölçüsünü hesablamaq üçün düsturlar
Əvvəlki alt bölmələrdə naməlum parametrin qiymətləndirilməsi məsələsini nəzərdən keçirdik A bir nömrə. Buna "nöqtə" qiymətləndirməsi deyilir. Bir sıra tapşırıqlarda yalnız parametr üçün tapmaq lazım deyil A uyğun ədədi dəyər, həm də onun düzgünlüyünü və etibarlılığını qiymətləndirmək üçün. Parametrin dəyişdirilməsinin hansı səhvlərə səbəb ola biləcəyini bilməlisiniz A onun nöqtə təxmini A və bu səhvlərin məlum həddi aşmayacağına nə dərəcədə inamla gözləmək olar?
Bu cür problemlər nöqtə qiymətləndirildikdə, az sayda müşahidə ilə xüsusilə aktualdır və içindəəsasən təsadüfidir və a-nın təxmini olaraq a ilə dəyişdirilməsi ciddi səhvlərə səbəb ola bilər.
Qiymətləndirmənin düzgünlüyü və etibarlılığı haqqında fikir vermək A,
V riyazi statistika Onlar sözdə güvən intervalları və güvən ehtimallarından istifadə edirlər.
Parametrə gəlin A təcrübədən əldə edilən qərəzsiz qiymətləndirmə A. Bu vəziyyətdə mümkün səhvi qiymətləndirmək istəyirik. Gəlin kifayət qədər böyük p ehtimalını (məsələn, p = 0.9, 0.95 və ya 0.99) təyin edək ki, p ehtimalı olan hadisə praktiki olaraq etibarlı hesab olunsun və bunun üçün s dəyərini tapaq.
Sonra sıra praktik olaraq mümkün dəyərlər dəyişdirərkən baş verən səhv A haqqında A, ± s olacaq; Mütləq dəyərdə böyük səhvlər yalnız aşağı ehtimal a = 1 - p ilə görünəcəkdir. Gəlin (14.3.1) aşağıdakı kimi yenidən yazaq:
Bərabərlik (14.3.2) p ehtimalı ilə parametrin naməlum qiymətini bildirir A intervalına düşür
Bir halı qeyd etmək lazımdır. Əvvəllər təsadüfi dəyişənin verilmiş qeyri-təsadüfi intervala düşmə ehtimalını dəfələrlə nəzərdən keçirmişik. Burada vəziyyət fərqlidir: böyüklük A təsadüfi deyil, lakin / p intervalı təsadüfidir. Onun x oxundakı mövqeyi təsadüfi, mərkəzi ilə müəyyən edilir A; Ümumiyyətlə, 2s intervalının uzunluğu da təsadüfi olur, çünki s dəyəri, bir qayda olaraq, eksperimental məlumatlardan hesablanır. Buna görə də, in bu halda p qiymətini nöqtəyə “vurulma” ehtimalı kimi deyil, şərh etmək daha yaxşı olardı A intervalında / p və təsadüfi intervalın / p nöqtəsini əhatə etməsi ehtimalı kimi A(Şəkil 14.3.1).
düyü. 14.3.1
Adətən p ehtimalı deyilir güvən ehtimalı, və interval / p - etimad intervalı. Interval sərhədləri Əgər. a x = a- s və a 2 = a + və çağırılır etibar sərhədləri.
Etibar intervalı anlayışına başqa bir şərh verək: onu parametr qiymətlərinin intervalı kimi qəbul etmək olar. A, eksperimental məlumatlarla uyğun gəlir və onlara zidd deyil. Həqiqətən, a = 1-p ehtimalı olan bir hadisəni praktiki olaraq qeyri-mümkün hesab etməyə razılaşsaq, o zaman a parametrinin dəyərləri a - a> s eksperimental məlumatlara zidd olaraq tanınmalıdır və |a - A a t na 2 .
Parametrə gəlin A qərəzsiz qiymətləndirmə var A. Kəmiyyətin paylanması qanununu bilsəydik A, etimad intervalını tapmaq vəzifəsi çox sadə olardı: bunun üçün s dəyərini tapmaq kifayətdir.
Çətinlik təxminlərin paylanması qanununun olmasıdır A kəmiyyətin paylanma qanunundan asılıdır X və buna görə də onun naməlum parametrləri üzrə (xüsusən də parametrin özündə A).
Bu çətinliyi aradan qaldırmaq üçün aşağıdakı təxmini texnikadan istifadə edə bilərsiniz: s ifadəsindəki naməlum parametrləri onların nöqtə təxminləri ilə əvəz edin. Nisbətən çox sayda təcrübə ilə P(təxminən 20...30) bu texnika adətən dəqiqlik baxımından qənaətbəxş nəticələr verir.
Nümunə olaraq, riyazi gözlənti üçün etimad intervalı problemini nəzərdən keçirək.
Qoy istehsal olunsun P X, xüsusiyyətləri bunlardır gözlənilən dəyər T və variasiya D- naməlum. Bu parametrlər üçün aşağıdakı hesablamalar əldə edilmişdir:
Riyazi gözlənti üçün p inam ehtimalına uyğun bir inam intervalı / p qurmaq tələb olunur. T miqdarlar X.
Bu problemi həll edərkən, kəmiyyətdən istifadə edəcəyik T cəmini ifadə edir P müstəqil eyni paylanmış təsadüfi dəyişənlər X h və mərkəzi limit teoreminə görə, kifayət qədər böyük üçün P onun paylanma qanunu normala yaxındır. Praktikada hətta nisbətən az sayda (təxminən 10...20) terminlərlə cəminin paylanma qanununu təxminən normal hesab etmək olar. Dəyərini qəbul edəcəyik T normal qanuna uyğun olaraq paylanır. Bu qanunun xüsusiyyətləri - riyazi gözlənti və dispersiya müvafiq olaraq bərabərdir T Və
(13-cü fəsil 13.3-ə baxın). Fərz edək ki, dəyər D bunun üçün Ep dəyərini bilirik və tapacağıq
6-cı fəslin (6.3.5) düsturundan istifadə edərək (14.3.5)-in sol tərəfindəki ehtimalı normal paylanma funksiyası vasitəsilə ifadə edirik.
təxminin standart kənarlaşması haradadır T.
Eq.
Sp dəyərini tapın: 
burada arg Ф* (х) Ф*-in tərs funksiyasıdır. (X), olanlar. olan arqumentin dəyəri normal funksiya paylanması bərabərdir X.
Dispersiya D, onun vasitəsilə kəmiyyət ifadə olunur A 1P, biz dəqiq bilmirik; onun təxmini dəyəri kimi, təxmini istifadə edə bilərsiniz D(14.3.4) və təxminən qoyun:
Beləliklə, etimad intervalının qurulması problemi təxminən həll edildi, bu da bərabərdir:
burada gp (14.3.7) düsturu ilə müəyyən edilir.
F* (l) funksiyasının cədvəllərində s p hesablanarkən əks interpolyasiyanın qarşısını almaq üçün kəmiyyətin dəyərlərini verən xüsusi bir cədvəl tərtib etmək rahatdır (Cədvəl 14.3.1).
r-dən asılı olaraq. Qiymət (p normal qanun üçün dispersiya mərkəzindən sağa və sola çəkilməli olan standart sapmaların sayını müəyyən edir ki, nəticədə yaranan sahəyə daxil olma ehtimalı p-yə bərabər olsun.
7 p dəyərindən istifadə edərək inam intervalı aşağıdakı kimi ifadə edilir:
Cədvəl 14.3.1
Nümunə 1. Kəmiyyət üzrə 20 təcrübə aparılmışdır X; nəticələr cədvəldə göstərilir. 14.3.2.
Cədvəl 14.3.2
Kəmiyyətin riyazi gözləntisindən təxmin tapmaq tələb olunur X və p = 0,8 inam ehtimalına uyğun olan inam intervalını qurun.
Həll. Bizdə:
İstinad nöqtəsi kimi l: = 10-u seçərək, üçüncü düsturdan (14.2.14) istifadə edərək, qərəzsiz qiymətləndirməni tapırıq. D :
Cədvələ görə 14.3.1 tapırıq 
Etibar məhdudiyyətləri:
Etibar intervalı:
Parametr dəyərləri T, Bu intervalda olanlar cədvəldə verilmiş eksperimental məlumatlara uyğundur. 14.3.2.
Variasiya üçün inam intervalı oxşar şəkildə qurula bilər.
Qoy istehsal olunsun P təsadüfi dəyişən üzərində müstəqil təcrübələr X həm A, həm də dispersiya üçün naməlum parametrlərlə D qərəzsiz qiymətləndirmə əldə edildi:
Variasiya üçün təxminən bir inam intervalının qurulması tələb olunur.
(14.3.11) düsturundan aydın olur ki, kəmiyyət D təmsil edir
məbləğ P formanın təsadüfi dəyişənləri. Bu dəyərlər deyil
müstəqil, çünki onlardan hər hansı birinə kəmiyyət daxildir T, hamıdan asılıdır. Ancaq artımla göstərilə bilər P onların cəminin paylanma qanunu da normala yaxınlaşır. Demək olar ki, P= 20...30 artıq normal sayıla bilər.
Fərz edək ki, belədir və bu qanunun xüsusiyyətlərini tapaq: riyazi gözlənti və dispersiya. Qiymətləndirmədən bəri D- o zaman qərəzsiz M[D] = D.
Variasiya hesablanması D D nisbətən mürəkkəb hesablamalarla əlaqələndirilir, ona görə də onun ifadəsini törəmə olmadan təqdim edirik:
burada q 4 dördüncüdür mərkəzi nöqtə miqdarlar X.
Bu ifadədən istifadə etmək üçün \u003d 4 və dəyərlərini əvəz etməlisiniz D(heç olmasa yaxın olanlar). Əvəzinə D onun qiymətləndirməsindən istifadə edə bilərsiniz D. Prinsipcə, dördüncü mərkəzi an da təxminlə, məsələn, formanın dəyəri ilə əvəz edilə bilər:
lakin belə bir dəyişdirmə son dərəcə aşağı dəqiqlik verəcəkdir, çünki ümumiyyətlə məhdud sayda təcrübə ilə anlar yüksək sifariş-dan müəyyən edilir böyük səhvlər. Ancaq praktikada tez-tez olur ki, kəmiyyət bölgüsü qanunu növü Xəvvəlcədən məlumdur: yalnız onun parametrləri məlum deyil. Sonra μ 4 vasitəsilə ifadə etməyə cəhd edə bilərsiniz D.
Ən ümumi halı götürək, zaman dəyəri X normal qanuna uyğun olaraq paylanır. Sonra onun dördüncü mərkəzi momenti dispersiya baxımından ifadə edilir (bax. Fəsil 6, 6.2-ci yarımbənd);
və düstur (14.3.12) verir 
və ya
(14.3.14)-də naməlumun dəyişdirilməsi D onun qiymətləndirməsi D, alırıq: haradan 
Moment μ 4 vasitəsilə ifadə edilə bilər D həmçinin bəzi digər hallarda, dəyərin bölüşdürülməsi zamanı X normal deyil, lakin görünüşü məlumdur. Məsələn, qanun üçün vahid sıxlıq(5-ci fəslə baxın) bizdə: 
burada (a, P) qanunun göstərildiyi intervaldır.
Beləliklə,
(14.3.12) düsturu ilə əldə edirik: 
təxminən harada tapa bilərik
26-cı kəmiyyət üçün paylanma qanununun növü məlum olmayan hallarda, a/) dəyərinin təxmini qiymətləndirilməsini apararkən, bu qanuna inanmaq üçün xüsusi səbəblər olmadıqda, yenə də (14.3.16) düsturundan istifadə etmək tövsiyə olunur. normaldan çox fərqlidir (görülən müsbət və ya mənfi kurtoza malikdir) .
Əgər a/) təxmini dəyəri bu və ya digər şəkildə əldə edilirsə, onda biz riyazi gözlənti üçün qurduğumuz kimi dispersiya üçün inam intervalını qura bilərik:
burada verilmiş p ehtimalından asılı olan qiymət cədvələ uyğun olaraq tapılır. 14.3.1.
Nümunə 2. Təsadüfi dəyişənin dispersiyasına təxminən 80% etibar intervalını tapın X 1-ci misalın şərtlərinə uyğun olaraq dəyəri məlumdursa X normala yaxın qanuna uyğun olaraq paylanır.
Həll. Qiymət cədvəldəki kimi qalır. 14.3.1:
(14.3.16) düsturuna əsasən
(14.3.18) düsturundan istifadə edərək etibarlılıq intervalını tapırıq:
Orta dəyərlərin müvafiq intervalı kvadrat sapma: (0,21; 0,29).
14.4. Dəqiq tikinti üsulları etimad intervalları normal qanuna görə paylanmış təsadüfi kəmiyyətin parametrləri üçün
Əvvəlki alt bölmədə biz riyazi gözlənti və dispersiya üçün etimad intervallarının qurulması üçün təxminən təxmini üsulları araşdırdıq. Burada eyni problemi həll etmək üçün dəqiq üsullar haqqında bir fikir verəcəyik. Biz vurğulayırıq ki, inam intervallarını dəqiq tapmaq üçün kəmiyyətin paylanma qanununun formasını əvvəlcədən bilmək mütləq lazımdır. X, halbuki təxmini metodların tətbiqi üçün bu lazım deyil.
İdeya dəqiq üsullar etimad intervallarının qurulması aşağıdakılardan ibarətdir. İstənilən etimad intervalı müəyyən bərabərsizliklərin yerinə yetirilməsi ehtimalını ifadə edən şərtdən tapılır, o cümlədən bizim maraqlandığımız təxminlər. A. Qiymətləndirmənin paylanması qanunu A V ümumi hal naməlum kəmiyyət parametrlərindən asılıdır X. Lakin bəzən təsadüfi dəyişəndən bərabərsizliklərdə keçmək mümkündür A müşahidə olunan dəyərlərin başqa bir funksiyasına X p X 2, ..., X səh. paylanma qanunu naməlum parametrlərdən asılı olmayan, yalnız təcrübələrin sayından və kəmiyyətin paylanma qanununun növündən asılı olan X. Bu cür təsadüfi dəyişənlər riyazi statistikada mühüm rol oynayır; kəmiyyətin normal paylanması halında onlar ən ətraflı şəkildə tədqiq edilmişdir X.
Məsələn, dəyərin normal paylanması ilə sübut edilmişdir X təsadüfi dəyər
deyilənlərə tabe olur Tələbə bölgüsü qanunu ilə P- 1 dərəcə sərbəstlik; bu qanunun sıxlığı formasına malikdir
burada G(x) məlum qamma funksiyasıdır:
Təsadüfi dəyişən də sübut edilmişdir
ilə "paylanma %2" var P- 1 dərəcə sərbəstlik (bax 7-ci fəsil), sıxlığı düsturla ifadə edilir
Paylanmaların (14.4.2) və (14.4.4) törəmələri üzərində dayanmadan, parametrlər üçün etimad intervallarını qurarkən onların necə tətbiq oluna biləcəyini göstərəcəyik. ty D.
Qoy istehsal olunsun P təsadüfi dəyişən üzərində müstəqil təcrübələr X, naməlum parametrlərlə normal paylanmışdır T&O. Bu parametrlər üçün təxminlər əldə edilmişdir
Etibarlılıq ehtimalı p-ə uyğun gələn hər iki parametr üçün inam intervallarının qurulması tələb olunur.
Əvvəlcə riyazi gözlənti üçün etimad intervalı quraq. Bu intervalın simmetrik olaraq qəbul edilməsi təbiidir T; s p intervalın uzunluğunun yarısını bildirək. s p dəyəri elə seçilməlidir ki, şərt ödənilsin
Təsadüfi kəmiyyətdən bərabərliyin (14.4.5) sol tərəfində hərəkət etməyə çalışaq T təsadüfi dəyişənə T, Tələbə qanununa uyğun olaraq paylanır. Bunun üçün |m-w?| bərabərsizliyinin hər iki tərəfini çarpın
müsbət qiymətə görə: 
və ya qeydlərdən istifadə etməklə (14.4.1),
Şərtdən / p qiymətini tapmaq üçün / p ədədi tapaq
(14.4.2) düsturundan aydın olur ki, (1) - hətta fəaliyyət göstərir, beləliklə (14.4.8) verir 
Bərabərlik (14.4.9) p-dən asılı olaraq dəyəri / p müəyyən edir. Əgər sizin ixtiyarınızda inteqral dəyərlər cədvəli varsa
onda /p dəyərini cədvəldə əks interpolyasiya yolu ilə tapmaq olar. Bununla belə, əvvəlcədən /p dəyərləri cədvəlini tərtib etmək daha rahatdır. Belə bir cədvəl Əlavədə verilmişdir (cədvəl 5). Bu cədvəl etimad səviyyəsi p və sərbəstlik dərəcələrinin sayından asılı olaraq dəyərləri göstərir P- 1. Cədvəldən / p müəyyən edərək. 5 və fərz edirik 
biz etimad intervalının eninin yarısını / p və intervalın özünü tapacağıq
Nümunə 1. Təsadüfi dəyişən üzərində 5 müstəqil təcrübə aparıldı X, naməlum parametrlərlə normal paylanmışdır T və haqqında. Təcrübələrin nəticələri cədvəldə verilmişdir. 14.4.1.
Cədvəl 14.4.1
Reytinq tapın T riyazi gözlənti üçün və onun üçün 90% etimad intervalı / p qurun (yəni, etimad ehtimalına uyğun interval p = 0,9).
Həll. Bizdə:
Ərizənin 5-ci cədvəlinə uyğun olaraq P - 1 = 4 və p = 0,9 tapırıq 
harada 
Etibar intervalı olacaq
Nümunə 2. 14.3-cü yarımbəndin 1-ci misalının şərtləri üçün dəyəri qəbul etməklə X normal paylanmışdır, dəqiq inam intervalını tapın.
Həll.Əlavənin 5-ci cədvəlinə əsasən nə vaxt tapırıq P - 1 = 19ir =
0,8 / p = 1,328; buradan 
14.3-cü yarımbəndin 1-ci misalının həlli ilə müqayisə etsək (e p = 0,072) biz əminik ki, uyğunsuzluq çox əhəmiyyətsizdir. Dəqiqliyi ikinci onluq yerə qədər qorusaq, onda dəqiq və təxmini üsullarla tapılan etimad intervalları üst-üstə düşür:
Gəlin variasiya üçün etimad intervalının qurulmasına keçək. Qərəzsiz dispersiya qiymətləndiricisini nəzərdən keçirin
və təsadüfi dəyişəni ifadə edin D böyüklük vasitəsilə V(14.4.3), paylanma x 2 (14.4.4):
Kəmiyyətin paylanması qanununu bilmək V, verilmiş p ehtimalı ilə düşdüyü /(1) intervalını tapa bilərsiniz.
Paylanma qanunu kn_x(v) I 7 böyüklüyü Şəkildə göstərilən formaya malikdir. 14.4.1.
düyü. 14.4.1
Sual yaranır: interval / p-ni necə seçmək olar? Əgər böyüklüyün paylanması qanunu V simmetrik idi (normal qanun və ya Tələbə paylanması kimi), riyazi gözləntiyə münasibətdə /p simmetrik intervalını qəbul etmək təbii olardı. Bu halda qanun k p_x (v) asimmetrik. Qiymətin olma ehtimalının olması üçün /p intervalını seçməyə razılaşaq V sağa və sola olan intervaldan kənarda (Şəkil 14.4.1-də kölgəli sahələr) eyni və bərabər idi.
Bu xassə ilə interval /p qurmaq üçün cədvəldən istifadə edirik. 4 proqram: nömrələrdən ibarətdir y) belə
dəyər üçün V, x 2 olan -r sərbəstlik dərəcələri ilə paylanma. Bizim vəziyyətimizdə r = n- 1. Gəlin düzəldək r = n- 1 və cədvəlin müvafiq cərgəsində tapın. 4 iki məna x 2 - biri ehtimala uyğun gələn digəri - ehtimal Bunları işarə edək
dəyərlər 2-də Və xl? Aralıq var y 2, solunuzla və y ~ sağ son.
İndi D sərhədləri ilə dispersiya üçün / p intervalından istədiyiniz inam intervalını /| tapaq. D2, hansı məqamı əhatə edir D p ehtimalı ilə: 
Nöqtəni əhatə edən / (, = (?> ь А) intervalı quraq Dəgər və yalnız dəyər V/r intervalına düşür. interval olduğunu göstərək
bu şərti ödəyir. Həqiqətən, bərabərsizliklər 
bərabərsizliklərə bərabərdir
və bu bərabərsizliklər p ehtimalı ilə təmin edilir. Beləliklə, dispersiya üçün inam intervalı tapılmışdır və (14.4.13) düsturu ilə ifadə edilmişdir.
Nümunə 3. 14.3-cü yarımbəndin 2-ci misalının şərtlərinə uyğun olaraq dispersiya üçün inam intervalını tapın, əgər məlumdursa, dəyər X normal paylanmışdır.
Həll. bizdə var 
. Əlavənin 4-cü cədvəlinə uyğun olaraq
ünvanında tapırıq r = n - 1 = 19
(14.4.13) düsturundan istifadə edərək dispersiya üçün inam intervalını tapırıq 
Standart kənarlaşma üçün müvafiq interval (0,21; 0,32) təşkil edir. Bu interval təxmini metoddan istifadə etməklə 14.3-cü yarımbəndin 2-ci misalında əldə edilmiş intervalı (0,21; 0,29) bir qədər üstələyir.
- Şəkil 14.3.1 a-a yaxın simmetrik etimad intervalını nəzərdən keçirir. Ümumiyyətlə, daha sonra görəcəyimiz kimi, bu lazım deyil.
Etibarlılıq intervallarının qiymətləndirilməsi
Öyrənmə Məqsədləri
Statistika aşağıdakıları nəzərə alır iki əsas vəzifə:
Nümunə məlumatlarına əsaslanan bəzi təxminlərimiz var və biz təxmin edilən parametrin həqiqi dəyərinin harada yerləşdiyi barədə bəzi ehtimal bəyanatı vermək istəyirik.
Nümunə məlumatlarından istifadə edərək sınaqdan keçirilməli olan xüsusi bir fərziyyəmiz var.
Bu mövzuda birinci vəzifəni nəzərdən keçiririk. Etibar intervalının tərifini də təqdim edək.
Etibar intervalı, parametrin təxmin edilən dəyəri ətrafında qurulan və təxmin edilən parametrin həqiqi dəyərinin a priori müəyyən edilmiş ehtimalla harada yerləşdiyini göstərən intervaldır.
Bu mövzuda materialı öyrəndikdən sonra siz:
qiymətləndirmə üçün etimad intervalının nə olduğunu öyrənin;
statistik problemləri təsnif etməyi öyrənmək;
həm statistik düsturlardan, həm də proqram vasitələrindən istifadə etməklə inam intervallarının qurulması texnikasını mənimsəmək;
statistik qiymətləndirmələrin düzgünlüyünün müəyyən parametrlərinə nail olmaq üçün tələb olunan seçmə ölçülərini müəyyən etməyi öyrənin.
Nümunə xüsusiyyətlərinin paylanması
T-paylanması
Yuxarıda müzakirə edildiyi kimi, təsadüfi kəmənin paylanması standartlaşdırılmışa yaxındır normal paylanma 0 və 1 parametrləri ilə. σ-nin qiymətini bilmədiyimiz üçün onu s-in bəzi təxminləri ilə əvəz edirik. Kəmiyyət artıq fərqli bir paylanmaya malikdir, yəni və ya Tələbə paylanması, n -1 (sərbəstlik dərəcələrinin sayı) parametri ilə müəyyən edilir. Bu paylanma normal paylanmaya yaxındır (n nə qədər böyükdürsə, paylanmalar da bir o qədər yaxındır).
Şəkildə. 95 
30 sərbəstlik dərəcəsi ilə Tələbə paylanması təqdim olunur. Göründüyü kimi, normal paylanmaya çox yaxındır.
Normal paylanma NORMIDIST və NORMINV ilə işləmək funksiyalarına bənzər, t-paylama ilə işləmək üçün funksiyalar mövcuddur - STUDIST (TDIST) və STUDRASOBR (TINV). Bu funksiyalardan istifadə nümunəsi STUDRASP.XLS faylında (şablon və həll) və Şek. 96 
.
Digər xüsusiyyətlərin paylanması
Artıq bildiyimiz kimi, riyazi gözləntilərin qiymətləndirilməsinin düzgünlüyünü müəyyən etmək üçün bizə t-paylanması lazımdır. Dispersiya kimi digər parametrləri qiymətləndirmək üçün müxtəlif paylamalar tələb olunur. Onlardan ikisi F-paylanması və x 2 -paylanma.
Orta üçün etimad intervalı
Etibar intervalı- bu, parametrin təxmin edilən dəyəri ətrafında qurulan və təxmin edilən parametrin həqiqi dəyərinin a priori müəyyən edilmiş ehtimalla harada yerləşdiyini göstərən bir intervaldır.
Orta dəyər üçün etimad intervalının qurulması baş verir aşağıdakı şəkildə:
Misal
Fast food restoranı yeni sendviç növü ilə çeşidini genişləndirməyi planlaşdırır. Ona olan tələbi qiymətləndirmək üçün menecer onu sınaqdan keçirmiş şəxslər arasından təsadüfi olaraq 40 ziyarətçi seçməyi və onlardan yeni məhsula münasibətini 1-dən 10-a qədər miqyasda qiymətləndirməyi xahiş etməyi planlaşdırır. Menecer gözlənilən məhsulu qiymətləndirmək istəyir. yeni məhsulun alacağı balların sayı və bu təxmin üçün 95% inam intervalı qurur. Bunu necə etmək olar? (SANDWICH1.XLS faylına baxın (şablon və həll).
Həll
Bu problemi həll etmək üçün istifadə edə bilərsiniz. Nəticələr Şəkildə təqdim olunur. 97 
.
Ümumi dəyər üçün etibarlılıq intervalı
Bəzən, nümunə məlumatlarından istifadə edərək, riyazi gözləntiləri deyil, qiymətləndirmək lazımdır ümumi miqdar dəyərlər. Məsələn, auditorla bağlı vəziyyətdə, maraq orta hesabın ölçüsünü deyil, bütün hesabların cəmini qiymətləndirmək ola bilər.
Qoy N - ümumi elementlər, n seçmə ölçüsü, T 3 nümunədəki dəyərlərin cəmi, T" bütün əhali üçün cəmi üçün təxmindir, sonra 
, və inam intervalı düsturu ilə hesablanır, burada s nümunə üçün standart kənarlaşmanın təxminidir və nümunə üçün orta qiymətin təxminidir.
Misal
Bir az deyək vergi xidməti 10.000 vergi ödəyicisi üçün ümumi vergi qaytarılmalarının məbləğini təxmin etmək istəyir. Vergi ödəyicisi ya geri qaytarılır, ya da əlavə vergi ödəyir. 500 nəfərdən ibarət nümunə ölçüsünü nəzərə alaraq, geri qaytarılma məbləği üçün 95% inam intervalını tapın (REFUND OF MOBUNT.XLS faylına baxın (şablon və həll).
Həll
StatPro-da bu iş üçün xüsusi prosedur yoxdur, lakin qeyd etmək olar ki, yuxarıda göstərilən düsturlara əsasən sərhədlər orta üçün sərhədlərdən alına bilər (şək. 98). 
).
Proporsiya üçün inam intervalı
Müştərilərin payının riyazi gözləntisi p, n ölçülü seçmədən alınan bu payın təxmini p b olsun. Kifayət qədər böyük üçün göstərilə bilər 
qiymətləndirmə paylanması riyazi gözlənti p və standart kənarlaşma ilə normala yaxın olacaq 
. Bu halda qiymətləndirmənin standart xətası kimi ifadə edilir 
, və etimad intervalı kimidir 
.
Misal
Fast food restoranı yeni sendviç növü ilə çeşidini genişləndirməyi planlaşdırır. Menecer ona olan tələbi qiymətləndirmək üçün onu artıq sınaqdan keçirmiş şəxslər arasından təsadüfi olaraq 40 ziyarətçi seçdi və onlardan yeni məhsula münasibətini 1-dən 10-a qədər miqyasda qiymətləndirməyi xahiş etdi. Menecer gözlənilən nisbəti qiymətləndirmək istəyir. yeni məhsulu ən azı 6 baldan qiymətləndirən müştərilər (o, bu müştərilərin yeni məhsulun istehlakçısı olacağını gözləyir).
Həll
İlkin olaraq, müştərinin reytinqi 6 baldan çox, 0-dan çox olarsa, biz atribut 1 əsasında yeni sütun yaradırıq (SANDWICH2.XLS faylına baxın (şablon və həll).
Metod 1
1-in sayını hesablayaraq, payı təxmin edirik, sonra isə düsturlardan istifadə edirik.
zcr dəyəri xüsusi normal paylama cədvəllərindən götürülür (məsələn, 95% etibarlılıq intervalı üçün 1,96).
95% interval qurmaq üçün bu yanaşma və xüsusi məlumatlardan istifadə edərək aşağıdakı nəticələri əldə edirik (şək. 99 
). Kritik dəyər z cr parametri 1,96-ya bərabərdir. Qiymətləndirmənin standart xətası 0,077-dir. Etibar intervalının aşağı həddi 0,475-dir. Etibar intervalının yuxarı həddi 0,775-dir. Beləliklə, menecer yeni məhsulu 6 bal və daha yüksək qiymətləndirən müştərilərin faizinin 47,5 ilə 77,5 arasında olacağına 95% əminliklə inanmaq hüququna malikdir.
Metod 2
Bu problem standart StatPro alətlərindən istifadə etməklə həll edilə bilər. Bunun üçün qeyd etmək kifayətdir ki, bu halda pay Tip sütununun orta dəyəri ilə üst-üstə düşür. Sonra müraciət edirik StatPro/Statistik Nəticə/Bir Nümunə Analizi Tip sütunu üçün orta (riyazi gözləntilərin təxmini) etibarlılıq intervalını qurmaq. Bu halda alınan nəticələr 1-ci metodun nəticələrinə çox yaxın olacaqdır (şək. 99).
Standart sapma üçün inam intervalı
s standart kənarlaşmanın qiymətləndirilməsi kimi istifadə olunur (düstur 1-ci bölmədə verilmişdir). Qiymətləndirmənin sıxlıq funksiyası t-paylanması kimi n-1 sərbəstlik dərəcəsinə malik olan x-kvadrat funksiyasıdır. Bu paylama ilə işləmək üçün xüsusi funksiyalar var CHIDIST və CHIINV.
Bu halda etimad intervalı artıq simmetrik olmayacaq. Şərti bir sərhəd diaqramı Şəkildə göstərilmişdir. 100.
Misal
Maşın 10 sm diametrli hissələri istehsal etməlidir, lakin müxtəlif vəziyyətlərə görə səhvlər baş verir. Keyfiyyət nəzarətçisi iki vəziyyətdən narahatdır: birincisi, orta dəyər 10 sm olmalıdır; ikincisi, hətta bu halda, sapmalar böyükdürsə, bir çox hissə rədd ediləcəkdir. O, hər gün 50 hissədən ibarət nümunə hazırlayır (QUALITY CONTROL.XLS faylına baxın (şablon və həll). Belə nümunə hansı nəticələr verə bilər?
Həll
Orta və standart kənarlaşma üçün 95% etimad intervallarını istifadə edərək quraq StatPro/Statistik Nəticə/Bir Nümunə Analiz(Şəkil 101 
).
Bundan sonra, diametrlərin normal paylanması fərziyyəsindən istifadə edərək, 0,065 maksimum sapma təyin edərək, qüsurlu məhsulların nisbətini hesablayırıq. Əvəzetmə cədvəlinin imkanlarından (iki parametrli halda) istifadə edərək, qüsurların nisbətinin orta qiymətdən və standart kənarlaşmadan asılılığının qrafikini çəkirik (şək. 102). 
).
İki vasitə arasındakı fərq üçün etibarlılıq intervalı
Bu ən çox biridir mühüm tətbiqlər statistik üsullar. Vəziyyətlərin nümunələri.
Geyim mağazasının meneceri orta qadın müştərinin mağazada adi kişi müştəridən nə qədər çox və ya az pul xərclədiyini bilmək istər.
Hər iki aviaşirkət oxşar marşrutlar üzrə uçuşlar həyata keçirir. İstehlakçı təşkilat hər iki aviaşirkət üçün orta gözlənilən uçuş gecikmə vaxtları arasındakı fərqi müqayisə etmək istəyir.
Şirkət kuponlar göndərir fərdi növlər malları bir şəhərə göndərir, digərinə göndərmir. Menecerlər növbəti iki ay ərzində bu məhsulların orta alış həcmlərini müqayisə etmək istəyirlər.
Avtomobil satıcısı tez-tez təqdimatlarda evli cütlüklərlə məşğul olur. Təqdimata şəxsi reaksiyalarını başa düşmək üçün cütlüklər tez-tez ayrı-ayrılıqda müsahibə alırlar. Menecer kişi və qadınların verdiyi reytinqlərdəki fərqi qiymətləndirmək istəyir.
Müstəqil nümunələrin işi
Vasitələr arasındakı fərq n 1 + n 2 - 2 sərbəstlik dərəcəsi ilə t-paylanmasına malik olacaqdır. μ 1 - μ 2 üçün etibarlılıq intervalı əlaqə ilə ifadə edilir:
Bu problemi təkcə yuxarıdakı düsturlardan istifadə etməklə deyil, həm də standart StatPro alətlərindən istifadə etməklə həll etmək olar. Bunun üçün istifadə etmək kifayətdir
Proporsiyalar arasındakı fərq üçün inam intervalı
Səhmlərin riyazi gözləntisi olsun. Onların müvafiq olaraq n 1 və n 2 ölçülü nümunələrdən qurulmuş nümunə qiymətləndirmələri olsun. Sonra fərq üçün bir təxmin edilir. Beləliklə, bu fərqin etibarlılıq intervalı aşağıdakı kimi ifadə edilir:
Burada z cr xüsusi cədvəllərdən istifadə etməklə normal paylanmadan əldə edilən dəyərdir (məsələn, 95% etibarlılıq intervalı üçün 1,96).
Qiymətləndirmənin standart xətası bu halda əlaqə ilə ifadə olunur:
.
Misal
Böyük satışa hazırlaşan mağaza aşağıdakı addımları atıb: marketinq araşdırması. 300 nəfər seçilib ən yaxşı alıcılar, bu da öz növbəsində təsadüfi olaraq hər biri 150 üzvdən ibarət iki qrupa bölündü. Seçilmiş bütün alıcılara satışda iştirak etmək üçün dəvətnamələr göndərilib, lakin yalnız birinci qrupun üzvləri onlara 5% endirim hüququ verən kupon alıblar. Satış zamanı seçilmiş 300 alıcının hamısının alışları qeydə alınıb. Menecer nəticələri necə şərh edə və kuponların effektivliyinə dair mühakimə yürütə bilər? (COUPONS.XLS faylına baxın (şablon və həll yolu)).
Həll
Konkret halımız üçün endirim kuponu alan 150 müştəridən 55-i satışda, kupon almayan 150-dən isə yalnız 35-i alış-veriş edib (şək. 103). 
). Sonra nümunə nisbətlərinin dəyərləri müvafiq olaraq 0,3667 və 0,2333-dir. Və onların arasında seçmə fərqi müvafiq olaraq 0,1333-ə bərabərdir. 95% etimad intervalını fərz etsək, normal paylanma cədvəlindən z cr = 1,96 tapırıq. Nümunə fərqinin standart xətasının hesablanması 0,0524-ə bərabərdir. Nəhayət, 95% etimad intervalının aşağı həddinin 0,0307 olduğunu və yuxarı hədd müvafiq olaraq 0,2359. Əldə edilən nəticələri elə şərh etmək olar ki, endirim kuponu alan hər 100 müştəriyə 3-dən 23-ə qədər yeni müştəri gözləyə bilərik. Bununla belə, nəzərə almalıyıq ki, bu nəticə özlüyündə kuponlardan istifadənin effektivliyi demək deyil (çünki endirim verməklə biz qazanc itiririk!). Bunu konkret məlumatlarla nümayiş etdirək. Belə iddia edək orta ölçü alış 400 rubla bərabərdir, onlardan 50 rubl. mağaza üçün qazanc var. Sonra kupon almamış 100 müştəri üçün gözlənilən mənfəət:
50 0,2333 100 = 1166,50 rub.
Kupon alan 100 müştəri üçün oxşar hesablamalar:
30 0,3667 100 = 1100,10 rub.
Orta mənfəətin 30-a qədər azalması onunla izah olunur ki, endirimdən istifadə edərək kupon alan müştərilər orta hesabla 380 rubla alış-veriş edəcəklər.
Beləliklə, yekun nəticə bu xüsusi vəziyyətdə belə kuponların istifadəsinin səmərəsizliyini göstərir.
Şərh. Bu problem standart StatPro alətlərindən istifadə etməklə həll edilə bilər. Bunun üçün azaltmaq kifayətdir bu vəzifə metoddan istifadə edərək iki orta qiymət arasındakı fərqi qiymətləndirmək probleminə və sonra tətbiq edin StatPro/Statistik Nəticə/İki Nümunə Analizi iki orta qiymət arasındakı fərq üçün inam intervalı qurmaq.
Etibar Aralığı Uzunluğuna Nəzarət
Etibar intervalının uzunluğu asılıdır aşağıdakı şərtlər :
birbaşa məlumat (standart sapma);
əhəmiyyət səviyyəsi;
nümunə ölçüsü.
Orta hesablama üçün nümunə ölçüsü
Əvvəlcə problemi ümumi halda nəzərdən keçirək. Bizə verilən etimad intervalının uzunluğunun yarısının qiymətini B kimi işarə edək (şək. 104). 
). Biz bilirik ki, bəzi təsadüfi dəyişən X-in orta dəyəri üçün etimad intervalı kimi ifadə edilir 
, Harada 
. İnanmaq:
və n ifadə edərək, alırıq.
Təəssüf ki, dəqiq qiymət X təsadüfi kəmiyyətinin dispersiyasını bilmirik. Bundan əlavə, biz tcr dəyərini bilmirik, çünki o, sərbəstlik dərəcələrinin sayı ilə n-dən asılıdır. Bu vəziyyətdə aşağıdakıları edə bilərik. Dispersiya s əvəzinə biz tədqiq olunan təsadüfi dəyişənin hər hansı mövcud tətbiqinə əsaslanan bəzi dispersiya təxminindən istifadə edirik. Normal paylanma üçün t cr dəyərinin əvəzinə z cr dəyərindən istifadə edirik. Bu olduqca məqbuldur, çünki normal və t-paylanmalar üçün paylanma sıxlığı funksiyaları çox yaxındır (kiçik n halı istisna olmaqla). Beləliklə, tələb olunan düstur aşağıdakı formanı alır:
.
Düstur, ümumiyyətlə, tam olmayan nəticələr verdiyindən, nəticənin artıqlığı ilə yuvarlaqlaşdırma istədiyiniz nümunə ölçüsü kimi qəbul edilir.
Misal
Fast food restoranı yeni sendviç növü ilə çeşidini genişləndirməyi planlaşdırır. Ona olan tələbi qiymətləndirmək üçün menecer bunu artıq sınaqdan keçirmiş şəxslər arasından təsadüfi olaraq bir neçə ziyarətçi seçməyi və onlardan yeni məhsula münasibətini 1-dən 10-a qədər miqyasda qiymətləndirməyi xahiş etməyi planlaşdırır. Menecer təxmin etmək istəyir. yeni məhsulun məhsul alacağı gözlənilən bal sayı və bu təxmin üçün 95% inam intervalı qurur. Eyni zamanda, etimad intervalının yarım eninin 0,3-dən çox olmamasını istəyir. Onun müsahibə üçün neçə ziyarətçiyə ehtiyacı var?
göstərildiyi kimi:
Budur r ots p nisbətinin təxminidir, B isə etimad intervalının verilmiş yarısıdır. Dəyərdən istifadə edərək n üçün həddindən artıq qiymətləndirmə əldə edilə bilər r ots= 0,5. Bu halda, etimad intervalının uzunluğu p-nin hər hansı həqiqi dəyəri üçün müəyyən edilmiş B dəyərini keçməyəcəkdir.
Misal
Əvvəlki nümunədəki menecer yeni bir məhsul növünə üstünlük verən müştərilərin payını qiymətləndirməyi planlaşdırsın. O, yarım uzunluğu 0,05-dən çox olmayan 90% etimad intervalı qurmaq istəyir. Təsadüfi nümunəyə neçə müştəri daxil edilməlidir?
Həll
Bizim vəziyyətimizdə z cr-nin qiyməti = 1,645-dir. Buna görə də tələb olunan miqdar kimi hesablanır 
.
Əgər menecerin istənilən p-dəyərinin, məsələn, təxminən 0,3 olduğuna inanmaq üçün əsas olsaydı, bu dəyəri yuxarıdakı düstura əvəz etməklə, daha kiçik bir təsadüfi seçmə dəyəri, yəni 228 əldə edərdik.
Müəyyən etmək üçün düstur iki vasitə arasında fərq olduqda təsadüfi seçmə ölçüsü belə yazılmışdır:
.
Misal
Bəzi kompüter şirkətlərinin müştəri xidməti mərkəzi var. IN Son vaxtlar keyfiyyətsiz xidmətlə bağlı müştərilərdən şikayətlərin sayı artıb. IN xidmət mərkəziƏsasən iki növ işçi var: çox təcrübəsi olmayan, lakin xüsusi hazırlıq kurslarını bitirənlər və geniş praktiki təcrübəsi olan, lakin xüsusi kursları bitirməyənlər. Şirkət son altı ayda müştərilərin şikayətlərini təhlil etmək və iki işçi qrupunun hər biri üzrə şikayətlərin orta sayını müqayisə etmək istəyir. Hər iki qrup üçün nümunələrdəki rəqəmlərin eyni olacağı güman edilir. Yarım uzunluğu 2-dən çox olmayan 95% interval əldə etmək üçün nümunəyə neçə işçi daxil edilməlidir?
Həll
Burada σ ots hər iki təsadüfi dəyişənin yaxın olması fərziyyəsi altında onların standart kənarlaşmalarının təxminidir. Beləliklə, problemimizdə bu təxmini bir şəkildə əldə etməliyik. Bu, məsələn, aşağıdakı kimi edilə bilər. Son altı ayda müştəri şikayətləri ilə bağlı məlumatlara nəzər salan menecer hər bir işçinin ümumilikdə 6-dan 36-ya qədər şikayət aldığını görə bilər. Normal paylama üçün demək olar ki, bütün dəyərlərin ortadan üç dəfədən çox silinmədiyini bilmək standart sapmalar, o, əsaslı şəkildə inana bilər:
, haradan σ ots = 5.
Bu dəyəri düsturda əvəz edərək, əldə edirik 
.
Müəyyən etmək üçün düstur nisbətlər arasındakı fərqin qiymətləndirilməsi zamanı təsadüfi seçmə ölçüsü formaya malikdir:
Misal
Bəzi şirkətlərdə oxşar məhsullar istehsal edən iki fabrik var. Şirkət meneceri hər iki fabrikdə qüsurlu məhsulların faizini müqayisə etmək istəyir. Mövcud məlumatlara görə, hər iki fabrikdə qüsur nisbəti 3-5% arasında dəyişir. Yarım uzunluğu 0,005 (və ya 0,5%)-dən çox olmayan 99% etibarlılıq intervalı qurmaq üçün nəzərdə tutulmuşdur. Hər fabrikdən neçə məhsul seçilməlidir?
Həll
Burada p 1ots və p 2ots 1-ci və 2-ci zavodda qüsurların iki naməlum payının təxminləridir. Əgər p 1ots = p 2ots = 0.5 qoysaq, onda n üçün həddindən artıq qiymətləndirilmiş qiymət alırıq. Lakin bizim vəziyyətimizdə bu səhmlər haqqında bəzi aprior məlumatlarımız olduğundan, biz bu səhmlərin yuxarı təxmini, yəni 0,05-i götürürük. alırıq
Nümunə məlumatlarından bəzi populyasiya parametrlərini qiymətləndirərkən təkcə verməklə kifayətlənmək faydalıdır nöqtə təxmini parametr, həm də təxmin edilən parametrin dəqiq dəyərinin harada ola biləcəyini göstərən etimad intervalını göstərir.
Bu fəsildə biz müxtəlif parametrlər üçün belə intervallar qurmağa imkan verən kəmiyyət əlaqələri ilə də tanış olduq; etimad intervalının uzunluğuna nəzarət etməyin yollarını öyrəndi.
Həmçinin qeyd edək ki, nümunə ölçülərinin qiymətləndirilməsi problemi (eksperimentin planlaşdırılması problemi) standart StatPro alətlərindən istifadə etməklə həll edilə bilər, yəni StatPro/Statistik Nəticə/Nümunə Ölçüsü Seçimi.
"Katren-Style" Konstantin Kravçikin haqqında silsiləsinin nəşrini davam etdirir tibbi statistika. Əvvəlki iki məqaləsində müəllif və kimi anlayışların izahı ilə məşğul olmuşdur.
Konstantin Kravçik
Riyaziyyatçı-analitik. Sahəsində mütəxəssis statistik tədqiqat tibb və humanitar elmlərdə
Moskva şəhəri
Çox tez-tez məqalələrdə klinik tədqiqat sirli bir ifadə ilə rastlaşa bilərsiniz: “etibar intervalı” (95 % CI və ya 95 % CI - güvən intervalı). Məsələn, məqalə yaza bilər: “Fərqlərin əhəmiyyətini qiymətləndirmək üçün istifadə etdik Tələbənin t-testi 95 % inam intervalının hesablanması ilə.
“95 % etimad intervalı”nın dəyəri nədir və onu niyə hesablamaq lazımdır?
Etibar intervalı nədir? - Bu, həqiqi əhalinin yalan ifadə etdiyi diapazondur. “Dəqiq olmayan” ortalamalar varmı? Müəyyən mənada, bəli, edirlər. Biz izah etdik ki, bütün populyasiyada maraq parametrini ölçmək mümkün deyil, buna görə də tədqiqatçılar məhdud bir nümunə ilə kifayətlənirlər. Bu nümunədə (məsələn, bədən çəkisi əsasında) bir orta dəyər (müəyyən çəki) var, ona görə biz bütün populyasiyada orta dəyəri mühakimə edirik. Lakin, çətin ki, nümunədəki orta çəki (xüsusilə kiçik) ümumi populyasiyada orta çəki ilə üst-üstə düşsün. Buna görə də əhalinin orta dəyərlərinin diapazonunu hesablamaq və istifadə etmək daha düzgündür.
Məsələn, təsəvvür edin ki, hemoglobin üçün 95% inam intervalı (95% CI) 110-122 q/L-dir. Bu o deməkdir ki, populyasiyada həqiqi orta hemoglobinin dəyərinin 110-122 q/L arasında olması 95% ehtimalı var. Başqa sözlə, biz bilmirik ortaümumi populyasiyada hemoglobin, lakin biz 95 % ehtimalla bu xüsusiyyət üçün bir sıra dəyərləri göstərə bilərik.
Etibar intervalları qruplar arasında vasitələr və ya onların adlandırıldığı kimi təsir ölçüləri arasındakı fərqlər üçün xüsusilə aktualdır.
Deyək ki, biz iki dəmir preparatının effektivliyini müqayisə etdik: biri uzun müddətdir bazarda olan, digəri isə yeni qeydiyyatdan keçmiş. Terapiya kursundan sonra biz tədqiq olunan xəstələr qruplarında hemoglobinin konsentrasiyasını qiymətləndirdik və statistik proqram hesabladı ki, iki qrupun orta dəyərləri arasındakı fərq 95% ehtimalla 1,72 ilə 1,72 arasındadır. 14,36 q/l (Cədvəl 1).
Cədvəl 1. Müstəqil nümunələr üçün sınaq
(qruplar hemoglobin səviyyəsinə görə müqayisə edilir)
Bunu aşağıdakı kimi şərh etmək lazımdır: qəbul edən ümumi populyasiyada bəzi xəstələrdə yeni dərman, hemoglobin artıq məlum dərman qəbul edənlərə nisbətən orta hesabla 1,72-14,36 q/l yüksək olacaq.
Başqa sözlə, ümumi populyasiyada qruplar arasında orta hemoglobin dəyərlərinin fərqi 95% ehtimalla bu sərhədlər daxilindədir. Bunun çox və ya az olduğunu mühakimə etmək tədqiqatçının ixtiyarında olacaq. Bütün bunların mahiyyəti ondan ibarətdir ki, biz bir orta qiymətlə deyil, bir sıra dəyərlərlə işləyirik, buna görə də qruplar arasında bir parametrdəki fərqi daha etibarlı şəkildə qiymətləndiririk.
Statistik paketlərdə, tədqiqatçının mülahizəsinə əsasən, etimad intervalının sərhədlərini müstəqil olaraq daralda və ya genişləndirə bilərsiniz. Etibar intervalı ehtimallarını azaltmaqla biz vasitələrin diapazonunu daraldırıq. Məsələn, 90 % CI-də vasitələrin diapazonu (və ya vasitələrdəki fərq) 95 % ilə müqayisədə daha dar olacaq.
Əksinə, ehtimalı 99 %-ə artırmaq dəyərlərin diapazonunu genişləndirir. Qrupları müqayisə edərkən CI-nin aşağı həddi sıfır işarəsini keçə bilər. Məsələn, etimad intervalının sərhədlərini 99 %-ə qədər genişləndirsək, onda intervalın sərhədləri –1 ilə 16 q/l arasında dəyişdi. Bu o deməkdir ki, ümumi populyasiyada tədqiq olunan xarakteristika üçün aralarındakı vasitələr fərqi 0-a bərabər olan qruplar var (M = 0).
Etibar intervalından istifadə edərək yoxlaya bilərsiniz statistik fərziyyələr. Etibar intervalı sıfır dəyərini keçərsə, o zaman qrupların öyrənilən parametrə görə fərqlənmədiyini qəbul edən sıfır hipotezi doğrudur. Sərhədləri 99 %-ə qədər genişləndirdiyimiz nümunə yuxarıda təsvir edilmişdir. Ümumi əhalinin bir yerində heç bir şəkildə fərqlənməyən qruplar tapdıq.
Hemoqlobin fərqinin 95% inam intervalı, (q/l)
Şəkil iki qrup arasında orta hemoglobin dəyərlərindəki fərq üçün 95% etimad intervalını göstərir. Xətt sıfır işarəsindən keçir, buna görə də sıfırın ortaları arasında fərq var ki, bu da qrupların fərqlənmədiyinə dair sıfır fərziyyəni təsdiqləyir. Qruplar arasında fərq diapazonu -2 ilə 5 q/l arasındadır, bu o deməkdir ki, hemoglobin ya 2 q/l azala, ya da 5 q/l arta bilər.
Güvən intervalı çox mühüm göstəricidir. Bunun sayəsində qruplardakı fərqlərin həqiqətən vasitələr fərqinə görə olub olmadığını görə bilərsiniz, yoxsa böyük bir seçmə ilə, çünki böyük bir nümunə ilə fərqləri tapmaq şansı kiçik olandan daha çoxdur.
Praktikada bu belə görünə bilər. Biz 1000 nəfərdən nümunə götürdük, hemoglobinin səviyyəsini ölçdük və müəyyən etdik ki, vasitələrdəki fərq üçün inam intervalı 1,2 ilə 1,5 q/l arasında dəyişir. Bu halda statistik əhəmiyyətin səviyyəsi s
Hemoqlobinin konsentrasiyasının artdığını görürük, lakin demək olar ki, hiss olunmur, buna görə də statistik əhəmiyyəti nümunə ölçüsünə görə dəqiq ortaya çıxdı.
Etibar intervalları yalnız vasitələr üçün deyil, həm də nisbətlər (və risk nisbətləri) üçün hesablana bilər. Məsələn, biz inkişaf etmiş bir dərman qəbul edərkən remissiyaya nail olan xəstələrin nisbətlərinin inam intervalı ilə maraqlanırıq. Fərz edək ki, nisbətlər üçün 95 % CI, yəni belə xəstələrin nisbəti üçün 0,60-0,80 aralığındadır. Beləliklə deyə bilərik ki, bizim dərmanımız var terapevtik təsir halların 60-80% -i.
Tutaq ki, bəzi xüsusiyyətlərin normal paylanmasına malik çoxlu sayda əşyalarımız var (məsələn, ölçüsü və çəkisi dəyişən eyni tipli tərəvəzlərin tam anbarı). Siz bütün mal partiyasının orta xüsusiyyətlərini bilmək istəyirsiniz, lakin hər bir tərəvəzi ölçməyə və çəkməyə nə vaxtınız, nə də həvəsiniz var. Bunun lazım olmadığını başa düşürsən. Bəs spot yoxlama üçün neçə ədəd götürülməlidir?
Bu vəziyyət üçün faydalı bir neçə düstur verməzdən əvvəl bəzi qeydləri xatırlayaq.
Birincisi, əgər biz bütün tərəvəz anbarını ölçsək (bu elementlər toplusu ümumi əhali adlanır), onda biz bütün partiyanın orta çəkisini bütün dəqiqliklə biləcəkdik. Gəlin bunu orta adlandıraq X orta .g az . - ümumi orta. Biz artıq bilirik ki, onun orta dəyəri və sapması məlumdursa, nəyin tam müəyyən olunduğunu bilirik . Düzdür, biz nə X orta gen, nə də s Biz ümumi əhalini bilmirik. Biz yalnız müəyyən bir nümunə götürə bilərik, bizə lazım olan dəyərləri ölçə bilərik və bu nümunə üçün həm orta dəyər X orta, həm də S standart sapmasını hesablaya bilərik.
Məlumdur ki, əgər nümunə yoxlamamızda çoxlu sayda element varsa (adətən n 30-dan çoxdur) və onlar götürülür. həqiqətən təsadüfi, sonra s ümumi əhali S seçimindən demək olar ki, fərqlənməyəcək ..
Bundan əlavə, normal paylanma vəziyyətində aşağıdakı düsturlardan istifadə edə bilərik:
95% ehtimalla
99% ehtimalla
IN ümumi görünüş P (t) ehtimalı ilə
Etibar intervalını bilmək istədiyimiz t dəyəri ilə ehtimal dəyəri P (t) arasındakı əlaqəni aşağıdakı cədvəldən götürmək olar:
Beləliklə, əhali üçün orta qiymətin hansı diapazonda yerləşdiyini müəyyən etdik (verilmiş ehtimalla).
Əgər kifayət qədər böyük bir nümunəmiz olmasa, bunu deyə bilmərik əhali s = var S seçin Bundan əlavə, bu halda nümunənin normal paylanmaya yaxınlığı problemlidir. Bu halda biz də yerinə S seçimindən istifadə edirik düsturda s:
lakin sabit ehtimal P(t) üçün t-nin qiyməti n nümunəsindəki elementlərin sayından asılı olacaq. n nə qədər böyükdürsə, nəticə etibarı ilə əldə edilən inam intervalı (1) düsturunda verilən qiymətə bir o qədər yaxın olacaqdır. Bu vəziyyətdə t dəyərləri aşağıda təqdim etdiyimiz başqa bir cədvəldən (Tələbənin t-testi) götürülür:
Tələbənin 0.95 və 0.99 ehtimalı üçün t-test dəyərləri
Misal 3. 30 nəfər şirkət əməkdaşlarından təsadüfi seçilib. Nümunəyə görə, orta əmək haqqı (ayda) 5 min rubl standart sapma ilə 30 min rubl olduğu ortaya çıxdı. Şirkətdəki orta əmək haqqını 0,99 ehtimalı ilə müəyyən edin.
Həll:Şərtlə bizdə n = 30, X orta. =30000, S=5000, P = 0,99. Etibar intervalını tapmaq üçün Tələbənin t testinə uyğun düsturdan istifadə edəcəyik. n = 30 və P = 0.99 üçün cədvələ əsasən t = 2.756 tapırıq, buna görə də,
olanlar. axtarılan qəyyum interval 27484< Х ср.ген
< 32516.
Beləliklə, 0,99 ehtimalı ilə deyə bilərik ki, interval (27484; 32516) şirkətdə orta əmək haqqını özündə ehtiva edir.
Ümid edirik ki, bu üsuldan istifadə edəcəksiniz və hər dəfə yanınızda masanın olması vacib deyil. Hesablamalar Excel-də avtomatik olaraq edilə bilər. Excel faylında olarkən yuxarı menyuda fx düyməsini sıxın. Sonra, funksiyalar arasından "statistik" növü seçin və pəncərədə təklif olunan siyahıdan - STUDAR DISCOVER. Sonra, kursoru "ehtimal" sahəsinə qoyaraq, tərs ehtimalın dəyərini daxil edin (yəni bizim vəziyyətimizdə 0,95 ehtimalı əvəzinə 0,05 ehtimalını yazmalısınız). Görünür elektron cədvəl elə tərtib edilir ki, nəticə hansı ehtimalla səhv edə biləcəyimiz suala cavab versin. Eynilə, Azadlıq Dərəcəsi sahəsində nümunəniz üçün dəyər (n-1) daxil edin.
