Ev Ağızdan qoxu Kəsrlərlə ifadələri necə həll etmək olar. Adi kəsri kəsrə bölmək

Ağızdan qoxu

Kəsrlərlə ifadələri necə həll etmək olar. Adi kəsri kəsrə bölmək

Say və bölünən məxrəcdir.

Kəsiri yazmaq üçün əvvəlcə payı yazın, sonra ədədin altına üfüqi xətt çəkin və xəttin altına məxrəci yazın. Say və məxrəci ayıran üfüqi xətt kəsr xətti adlanır. Bəzən əyri "/" və ya "∕" kimi təsvir olunur. Bu zaman say sətrin soluna, məxrəc isə sağına yazılır. Beləliklə, məsələn, "üçdə iki" kəsir 2/3 kimi yazılacaq. Aydınlıq üçün, adətən, sətrin yuxarı hissəsində, məxrəc isə aşağıda yazılır, yəni 2/3 əvəzinə aşağıdakıları tapa bilərsiniz: ⅔.

Kəsrlərin hasilini hesablamaq üçün əvvəlcə birinin payını çoxaltmaq lazımdır fraksiyalar sayı fərqlidir. Nəticəni yeninin payına yazın fraksiyalar. Bundan sonra məxrəcləri çoxaltın. Yenidə ümumi dəyəri daxil edin fraksiyalar. Məsələn, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Bir kəsri digərinə bölmək üçün əvvəlcə birincinin payını ikincinin məxrəcinə vurmaq lazımdır. Eyni şeyi ikinci kəsrlə (bölən) edin. Və ya bütün hərəkətləri yerinə yetirməzdən əvvəl, sizin üçün daha əlverişlidirsə, əvvəlcə bölücünü "çevirin": məxrəc payın yerində görünməlidir. Sonra dividendlərin məxrəcini bölənin yeni məxrəci ilə çarpın və sayları çoxaldın. Məsələn, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 ? 5 = 5; 3 ? 1 = 3).

Mənbələr:

Əsas kəsr problemləri

Kəsr ədədləri müxtəlif yollarla ifadə etmək olar dəqiq qiymət miqdarlar. Tam ədədlərlə edə biləcəyiniz eyni riyazi əməliyyatları kəsrlərlə edə bilərsiniz: çıxma, toplama, vurma və bölmə. Qərar verməyi öyrənmək fraksiyalar, onların bəzi xüsusiyyətlərini xatırlamalıyıq. Onlar növündən asılıdır fraksiyalar, tam hissənin, ortaq məxrəcin olması. Bəziləri arifmetik əməliyyatlar icra edildikdən sonra nəticənin kəsir hissəsinin azaldılmasını tələb edirlər.

Sizə lazım olacaq

- kalkulyator

Təlimatlar

Rəqəmlərə yaxından baxın. Əgər kəsrlər arasında onluqlar və qeyri-müntəzəmlər varsa, bəzən əvvəlcə onluqlarla əməliyyatlar yerinə yetirmək, sonra onları qeyri-müntəzəm formaya çevirmək daha rahat olur. Tərcümə edə bilərsiniz fraksiyalar bu formada ilkin olaraq, saydakı onluq nöqtədən sonra dəyəri yazın və məxrəcə 10 qoyun. Lazım gələrsə, yuxarıdakı və altındakı ədədləri bir bölücüyə bölməklə kəsri azaldın. Tam hissənin təcrid olunduğu kəsrləri məxrəcə vurub nəticəyə payı əlavə etməklə səhv formaya çevirmək lazımdır. Bu dəyər yeni payçı olacaq fraksiyalar. Başlanğıcda səhv olan hissədən bütöv bir hissə seçmək üçün fraksiyalar, siz payı məxrəcə bölmək lazımdır. Bütün nəticəni yazın fraksiyalar. Bölmənin qalan hissəsi isə yeni pay, məxrəc olacaq fraksiyalar dəyişmir. ilə fraksiyalar üçün bütün hissəsiəvvəlcə tam, sonra isə kəsr hissələri üçün hərəkətləri ayrıca yerinə yetirmək olar. Məsələn, 1 2/3 və 2 ¾ cəmi hesablana bilər:
- Kəsrin səhv formaya çevrilməsi:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Ayrılıqda tam ədədlərin cəmlənməsi və fraksiya hissələrişərtlər:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 +(8/12 + 9/12) = 3 + 12/17 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

“:” ayırıcısından istifadə edərək onları yenidən yazın və normal bölməyə davam edin.

Yekun nəticəni əldə etmək üçün, say və məxrəci bir tam ədədə, ən böyüyünə bölmək yolu ilə yaranan kəsri azaldın. bu halda. Bu halda xəttin üstündə və altında tam ədədlər olmalıdır.

Qeyd

Məxrəcləri fərqli olan kəsrlərlə hesab aparmayın. Elə bir ədəd seçin ki, hər kəsrin payını və məxrəcini ona vuranda nəticə hər iki kəsrin məxrəcləri bərabər olsun.

Faydalı məsləhət

Kəsr ədədləri yazarkən dividend xəttin üstündə yazılır. Bu kəmiyyət kəsrin payı kimi təyin olunur. Kəsrin böləni və ya məxrəci xəttin altında yazılır. Məsələn, bir yarım kiloqram düyü fraksiya olaraq belə yazılacaq: 1 ½ kq düyü. Əgər kəsrin məxrəci 10 olarsa, kəsr onluq adlanır. Bu halda, paylayıcı (dividend) vergüllə ayrılaraq bütün hissənin sağına yazılır: 1,5 kq düyü. Hesablamanın asanlığı üçün belə bir fraksiya həmişə səhv formada yazıla bilər: 1 2/10 kq kartof. Sadələşdirmək üçün pay və məxrəc dəyərlərini bir tam ədədə bölməklə azalda bilərsiniz. Bu nümunədə 2-yə bölmək olar. Nəticə 1 1/5 kq kartof olacaq. Hesabı yerinə yetirəcəyiniz ədədlərin eyni formada təqdim olunduğundan əmin olun.

) və məxrəcə görə məxrəc (məxrəcin məxrəcini alırıq).

Kəsrləri çoxaltmaq üçün düstur:

Misal üçün:

Numeratorları və məxrəcləri vurmağa başlamazdan əvvəl, kəsri azaltmaq mümkün olub olmadığını yoxlamaq lazımdır. Əgər kəsri azalda bilsəniz, əlavə hesablamalar aparmağınız daha asan olacaq.

Adi kəsri kəsrə bölmək.

Natural ədədləri əhatə edən kəsrlərin bölünməsi.

Göründüyü qədər qorxulu deyil. Əlavədə olduğu kimi, tam ədədi məxrəcində bir olan kəsrə çeviririk. Misal üçün:

Qarışıq fraksiyaların vurulması.

Kəsrlərin vurulması qaydaları (qarışıq):

qarışıq fraksiyaları düzgün olmayan kəsrlərə çevirmək;
kəsrlərin say və məxrəclərinin vurulması;
fraksiyanı azaltmaq;
Əgər düzgün olmayan kəsr əldə edirsinizsə, onda düzgün olmayan kəsri qarışıq kəsrə çeviririk.

Qeyd!Çoxaltmaq qarışıq fraksiya başqa qarışıq kəsrə, əvvəlcə onları düzgün olmayan kəsrlər formasına çevirməli və sonra adi fraksiyaları vurma qaydasına uyğun olaraq onları çoxaltmalısınız.

Kəsiri natural ədədə vurmağın ikinci yolu.

İkinci vurma üsulundan istifadə etmək daha rahat ola bilər adi fraksiya nömrə başına.

Qeyd! Kəsiri vurmaq üçün natural ədəd Kəsrin məxrəcini bu ədədə bölmək və payı dəyişməz qoymaq lazımdır.

Yuxarıda verilmiş misaldan aydın olur ki, kəsrin məxrəci qalıqsız natural ədədə bölündükdə bu variantdan istifadə etmək daha əlverişlidir.

Çoxmərtəbəli fraksiyalar.

Orta məktəbdə üç mərtəbəli (və ya daha çox) kəsrlərə tez-tez rast gəlinir. Misal:

Belə bir kəsri adi formaya gətirmək üçün 2 nöqtəyə bölmədən istifadə edin:

Qeyd! Kəsrləri bölərkən bölmə sırası çox vacibdir. Ehtiyatlı olun, burada çaşmaq asandır.

Qeyd, Misal üçün:

Biri hər hansı bir kəsrə böldükdə nəticə eyni kəsr olacaq, yalnız ters çevrilir:

Kəsrləri çoxaltmaq və bölmək üçün praktiki məsləhətlər:

1. Kəsr ifadələrlə işləyərkən ən vacib şey dəqiqlik və diqqətlilikdir. Bütün hesablamaları diqqətlə və dəqiq, konsentrə və aydın şəkildə aparın. Qaralamada bir neçə əlavə sətir yazmaq zehni hesablamalarda itməkdən daha yaxşıdır.

2. ilə tapşırıqlarda fərqli növlər kəsrlər - adi kəsrlər formasına keçin.

3. Artıq azaltmaq mümkün olmayana qədər bütün fraksiyaları azaldırıq.

4. Çoxsəviyyəli kəsr ifadələrini 2 nöqtəyə bölmədən istifadə edərək adi ifadələrə çeviririk.

5. Başınızdakı vahidi kəsrə bölün, sadəcə olaraq kəsri çevirin.

Dərsin məzmunu

Bənzər məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsi

Fraksiyaların əlavə edilməsinin iki növü var:

Bənzər məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsi
Fərqli məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsi

Əvvəlcə məxrəcləri oxşar olan kəsrlərin əlavə edilməsini öyrənək. Burada hər şey sadədir. Eyni məxrəcləri olan kəsrləri əlavə etmək üçün onların paylarını toplamaq və məxrəci dəyişməz qoymaq lazımdır. Məsələn, kəsrləri əlavə edək və. Sayları əlavə edin və məxrəci dəyişmədən buraxın:

Dörd hissəyə bölünən pizzanı xatırlasaq, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya pizza əlavə etsəniz, pizza alırsınız:

Misal 2. Kəsrləri əlavə edin və .

Cavabın düzgün olmayan kəsr olduğu ortaya çıxdı. Tapşırığın sonu gəldikdə, düzgün olmayan fraksiyalardan qurtulmaq adətdir. Düzgün olmayan bir fraksiyadan xilas olmaq üçün onun bütün hissəsini seçmək lazımdır. Bizim vəziyyətimizdə bütün hissə asanlıqla təcrid olunur - ikiyə bölünən ikiyə bərabərdir:

İki hissəyə bölünmüş pizzanı xatırlasaq, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya daha çox pizza əlavə etsəniz, bir tam pizza alırsınız:

Misal 3. Kəsrləri əlavə edin və .

Yenə də sayları toplayır və məxrəci dəyişməz qoyuruq:

Üç hissəyə bölünən pizzanı xatırlasaq, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Pizzaya daha çox pizza əlavə etsəniz, pizza alırsınız:

Misal 4.İfadənin qiymətini tapın

Bu nümunə əvvəlkilərlə eyni şəkildə həll olunur. Saylar əlavə edilməli və məxrəc dəyişmədən qalmalıdır:

Bir rəsmdən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Bir pizzaya pizza əlavə etsəniz və daha çox pizza əlavə etsəniz, 1 tam pizza və daha çox pizza alacaqsınız.

Gördüyünüz kimi, eyni məxrəcli kəsrlərin əlavə edilməsində mürəkkəb bir şey yoxdur. Aşağıdakı qaydaları başa düşmək kifayətdir:

Eyni məxrəcli fraksiyaları əlavə etmək üçün onların paylarını əlavə etmək və məxrəci dəyişmədən qoymaq lazımdır;

Fərqli məxrəcləri olan kəsrlərin əlavə edilməsi

İndi fərqli məxrəcləri olan kəsrləri necə əlavə etməyi öyrənək. Kəsrləri toplayanda kəsrlərin məxrəcləri eyni olmalıdır. Ancaq onlar həmişə eyni deyil.

Məsələn, kəsrlər olduğu üçün əlavə edilə bilər eyni məxrəclər.

Ancaq kəsrləri dərhal əlavə etmək olmaz, çünki bu fraksiyaların məxrəcləri fərqlidir. Belə hallarda kəsrləri eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.

Kəsrləri eyni məxrəcə endirməyin bir neçə yolu var. Bu gün biz onlardan yalnız birinə baxacağıq, çünki digər üsullar yeni başlayanlar üçün mürəkkəb görünə bilər.

Bu metodun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, əvvəlcə hər iki fraksiyanın məxrəclərinin LCM-si axtarılır. Sonra LCM birinci əlavə əmsalı əldə etmək üçün birinci fraksiyanın məxrəcinə bölünür. Onlar ikinci fraksiya ilə eyni şeyi edirlər - LCM ikinci fraksiyanın məxrəcinə bölünür və ikinci əlavə amil əldə edilir.

Sonra kəsrlərin say və məxrəcləri onların əlavə əmsallarına vurulur. Bu hərəkətlər nəticəsində məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və belə kəsrləri necə əlavə edəcəyimizi artıq bilirik.

Misal 1. və kəsrləri əlavə edək

Əvvəlcə hər iki kəsrin məxrəclərinin ən kiçik ortaq qatını tapırıq. Birinci kəsrin məxrəci 3, ikinci kəsrin məxrəci isə 2 rəqəmidir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 6-dır.

LCM (2 və 3) = 6

İndi isə kəsrlərə qayıdaq və . Əvvəlcə LCM-i birinci kəsrin məxrəcinə bölün və ilk əlavə əmsalı alın. LCM 6 rəqəmi, birinci fraksiyanın məxrəci isə 3 rəqəmidir. 6-nı 3-ə bölün, 2-ni alırıq.

Nəticədə çıxan 2 rəqəmi ilk əlavə çarpandır. Onu birinci kəsrə yazırıq. Bunu etmək üçün, kəsr üzərində kiçik bir əyri xətt çəkin və yuxarıda tapılan əlavə faktoru yazın:

İkinci hissə ilə də eyni şeyi edirik. LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölürük və ikinci əlavə əmsalı alırıq. LCM 6 rəqəmi, ikinci fraksiyanın məxrəci isə 2 rəqəmidir. 6-nı 2-yə bölün, 3-ü alırıq.

Nəticədə alınan 3 rəqəmi ikinci əlavə çarpandır. İkinci kəsrə yazırıq. Yenə ikinci fraksiya üzərində kiçik bir əyri xətt çəkirik və yuxarıda tapılan əlavə faktoru yazırıq:

İndi əlavə etmək üçün hər şey hazırdır. Fraksiyaların say və məxrəclərini əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:

Nəyə gəldiyimizə diqqətlə baxın. Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və belə kəsrləri necə əlavə edəcəyimizi artıq bilirik. Bu nümunəni sona qədər götürək:

Bu nümunəni tamamlayır. Əlavə etmək üçün çıxır.

Bir rəsmdən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Pizzaya pizza əlavə etsəniz, bir bütöv pizza və altıda bir pizza alırsınız:

Kəsrin eyni (ümumi) məxrəcə endirilməsi də bir şəkil vasitəsilə təsvir edilə bilər. Kəsrləri və ortaq məxrəcə endirərək, kəsrləri və . Bu iki fraksiya eyni pizza parçaları ilə təmsil olunacaq. Yeganə fərq onda olacaq ki, bu dəfə onlar bərabər paylara bölünəcəklər (eyni məxrəcə qədər azaldılır).

Birinci rəsm kəsri (altıdan dörd ədəd), ikinci rəsm isə kəsri (altıdan üç ədəd) təmsil edir. Bu parçaları əlavə edərək əldə edirik (altıdan yeddi ədəd). Bu fraksiya düzgün deyil, ona görə də onun bütün hissəsini vurğuladıq. Nəticədə (bir bütöv pizza və digər altıncı pizza) əldə etdik.

Nəzərə alın ki, biz bu nümunəni çox ətraflı təsvir etmişik. IN təhsil müəssisələri Bu qədər təfərrüatlı yazmaq adət deyil. Həm məxrəclərin, həm də onlara əlavə amillərin LCM-ni tez tapmağı bacarmalı, həmçinin tapılan əlavə amilləri say və məxrəclərinizə sürətlə vurmalısınız. Məktəbdə olsaydıq, bu nümunəni aşağıdakı kimi yazmalı olardıq:

Amma bir də var arxa tərəf medallar. Riyaziyyatı öyrənməyin ilk mərhələlərində ətraflı qeydlər aparmırsınızsa, o zaman bu cür suallar görünməyə başlayır. “Bu rəqəm haradan gəlir?”, “Niyə kəsrlər birdən-birə tamamilə fərqli kəsrlərə çevrilir? «.

Fərqli məxrəcləri olan fraksiyaları əlavə etməyi asanlaşdırmaq üçün aşağıdakı addım-addım təlimatlardan istifadə edə bilərsiniz:

Kəsrlərin məxrəclərinin LCM-ni tapın;
LCM-i hər kəsrin məxrəcinə bölün və hər kəsr üçün əlavə əmsal alın;
Kəsrlərin say və məxrəclərini əlavə əmsallarına vurmaq;
Məxrəcləri eyni olan kəsrləri əlavə edin;
Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onun bütün hissəsini seçin;

Misal 2.İfadənin qiymətini tapın .

Yuxarıda verilmiş təlimatlardan istifadə edək.

Addım 1. Kəsrin məxrəclərinin LCM-ni tapın

Hər iki kəsrin məxrəclərinin LCM-ni tapın. Kəsrin məxrəcləri 2, 3 və 4 ədədləridir

Addım 2. LCM-ni hər kəsrin məxrəcinə bölün və hər kəsr üçün əlavə əmsal alın

LCM-i birinci kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 12 rəqəmi, birinci kəsrin məxrəci isə 2 rəqəmidir. 12-ni 2-yə bölsək, 6-nı alırıq. İlk əlavə əmsalı 6 aldıq. Birinci kəsrin yuxarısına yazırıq:

İndi LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 12-ni 3-ə bölsək, 4-ü alırıq. İkinci əlavə əmsal 4-ü alırıq. İkinci kəsrin üzərinə yazırıq:

İndi LCM-i üçüncü kəsrin məxrəcinə bölürük. LCM 12 rəqəmi, üçüncü kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. 12-ni 4-ə bölün, 3-ü alarıq. Üçüncü əlavə amil 3-ü alırıq. Üçüncü kəsrin yuxarısına yazırıq:

Addım 3. Kəsrin saylarını və məxrəclərini əlavə amillərlə çarpın

Numeratorları və məxrəcləri əlavə amillərlə çarpırıq:

Addım 4. Eyni məxrəcləri olan kəsrləri əlavə edin

Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni (ortaq) məxrəcləri olan kəsrlərə çevrilir. Yalnız bu fraksiyaları əlavə etmək qalır. Əlavə edin:

Əlavə bir sətirə sığmadı, ona görə də qalan ifadəni növbəti sətirə keçirdik. Riyaziyyatda buna icazə verilir. İfadə bir sətirə sığmayanda növbəti sətirə keçirilir və birinci sətrin sonunda və yeni sətrin əvvəlində bərabərlik işarəsi (=) qoymaq lazımdır. İkinci sətirdəki bərabər işarəsi bunun birinci sətirdəki ifadənin davamı olduğunu göstərir.

Addım 5. Cavabın düzgün olmayan kəsr olduğu ortaya çıxarsa, onun bütün hissəsini vurğulayın

Cavabımız düzgün olmayan kəsr oldu. Onun bütöv bir hissəsini vurğulamalıyıq. Biz vurğulayırıq:

Cavab aldıq

Bənzər məxrəcləri olan kəsrlərin çıxılması

Kəsrlərin çıxarılmasının iki növü var:

Bənzər məxrəcləri olan kəsrlərin çıxılması
Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması

Birincisi, oxşar məxrəcləri olan kəsrləri necə çıxarmağı öyrənək. Burada hər şey sadədir. Bir kəsrdən başqasını çıxarmaq üçün birinci fraksiyanın payından ikinci fraksiyanın payını çıxarmaq lazımdır, lakin məxrəci eyni şəkildə buraxmaq lazımdır.

Məsələn, ifadənin qiymətini tapaq. Bu nümunəni həll etmək üçün birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarmaq və məxrəci dəyişməz qoymaq lazımdır. Gəlin, bunu edək:

Dörd hissəyə bölünən pizzanı xatırlasaq, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız:

Misal 2.İfadənin qiymətini tapın.

Yenə birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarın və məxrəci dəyişməz qoyun:

Üç hissəyə bölünən pizzanı xatırlasaq, bu nümunəni asanlıqla başa düşmək olar. Bir pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız:

Misal 3.İfadənin qiymətini tapın

Bu nümunə əvvəlkilərlə eyni şəkildə həll olunur. Birinci kəsrin sayından qalan fraksiyaların saylarını çıxarmaq lazımdır:

Gördüyünüz kimi, eyni məxrəcləri olan kəsrləri çıxarmaqda mürəkkəb bir şey yoxdur. Aşağıdakı qaydaları başa düşmək kifayətdir:

Bir kəsrdən başqasını çıxarmaq üçün birinci kəsrin payından ikinci kəsrin payını çıxarmaq və məxrəci dəyişməz qoymaq lazımdır;
Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onun bütün hissəsini vurğulamalısınız.

Fərqli məxrəcli kəsrlərin çıxılması

Məsələn, kəsrdən kəsri çıxara bilərsiniz, çünki kəsrlərin məxrəcləri eynidir. Ancaq kəsrdən kəsri çıxa bilməzsiniz, çünki bu kəsrlərin fərqli məxrəcləri var. Belə hallarda kəsrləri eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.

Ümumi məxrəc, müxtəlif məxrəcləri olan kəsrləri əlavə edərkən istifadə etdiyimiz eyni prinsipdən istifadə etməklə tapılır. Əvvəlcə hər iki kəsrin məxrəclərinin LCM-ni tapın. Sonra LCM birinci kəsrin məxrəcinə bölünür və birinci kəsrin üstündə yazılan birinci əlavə amil alınır. Eynilə, LCM ikinci fraksiyanın məxrəcinə bölünür və ikinci kəsrin yuxarısına yazılan ikinci əlavə amil alınır.

Sonra kəsrlər əlavə amillərlə vurulur. Bu əməliyyatlar nəticəsində məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik.

Misal 1.İfadənin mənasını tapın:

Bu kəsrlərin müxtəlif məxrəcləri var, ona görə də onları eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.

Əvvəlcə hər iki fraksiyanın məxrəclərinin LCM-ni tapırıq. Birinci kəsrin məxrəci 3, ikinci kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 12-dir.

LCM (3 və 4) = 12

İndi isə fraksiyalara qayıdaq və

Birinci kəsr üçün əlavə əmsal tapaq. Bunu etmək üçün LCM-ni birinci fraksiyanın məxrəcinə bölün. LCM 12 rəqəmi, birinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 12-ni 3-ə bölün, 4-ü alırıq. Birinci kəsrin üzərinə dörd yazın:

İkinci hissə ilə də eyni şeyi edirik. LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 12 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 4 rəqəmidir. 12-ni 4-ə bölün, 3-ü alırıq. İkinci kəsrin üzərinə üç yazın:

İndi çıxma üçün hazırıq. Fraksiyaları əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:

Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni məxrəcli kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik. Bu nümunəni sona qədər götürək:

Cavab aldıq

Bir rəsmdən istifadə edərək həllimizi təsvir etməyə çalışaq. Pizzadan pizza kəssəniz, pizza alırsınız

Bu, həllin ətraflı versiyasıdır. Məktəbdə olsaydıq, bu misalı daha qısa həll etməli olardıq. Belə bir həll belə görünür:

Kəsrin ümumi məxrəcə endirilməsi də bir şəkil istifadə edərək təsvir edilə bilər. Bu kəsrləri ortaq məxrəcə endirərək və kəsrləri əldə etdik. Bu fraksiyalar eyni pizza dilimləri ilə təmsil olunacaq, lakin bu dəfə onlar bərabər paylara bölünəcəklər (eyni məxrəcə qədər azaldılır):

Birinci şəkildə kəsr (on ikidən səkkiz ədəd), ikinci şəkildə isə kəsr (on ikidən üç ədəd) göstərilir. Səkkiz parçadan üç parça kəsərək, on iki parçadan beş parça alırıq. Fraksiya bu beş parçanı təsvir edir.

Misal 2.İfadənin qiymətini tapın

Bu kəsrlərin müxtəlif məxrəcləri var, ona görə də əvvəlcə onları eyni (ümumi) məxrəcə endirmək lazımdır.

Bu kəsrlərin məxrəclərinin LCM-ni tapaq.

Kəsrin məxrəcləri 10, 3 və 5 ədədləridir. Bu ədədlərin ən kiçik ortaq qatı 30-dur.

LCM(10, 3, 5) = 30

İndi hər kəsr üçün əlavə amillər tapırıq. Bunu etmək üçün LCM-ni hər kəsrin məxrəcinə bölün.

Birinci kəsr üçün əlavə əmsal tapaq. LCM 30 rəqəmi, birinci kəsrin məxrəci isə 10 rəqəmidir. 30-u 10-a bölün, birinci əlavə əmsal 3-ü alırıq. Birinci kəsrin yuxarısına yazırıq:

İndi ikinci kəsr üçün əlavə əmsal tapırıq. LCM-i ikinci kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 30 rəqəmi, ikinci kəsrin məxrəci isə 3 rəqəmidir. 30-u 3-ə bölün, ikinci əlavə əmsalı 10-u alırıq. İkinci kəsrin yuxarısına yazırıq:

İndi üçüncü kəsr üçün əlavə əmsal tapırıq. LCM-i üçüncü kəsrin məxrəcinə bölün. LCM 30 rəqəmi, üçüncü kəsrin məxrəci isə 5 rəqəmidir. 30-u 5-ə bölün, üçüncü əlavə amil 6-nı alırıq. Üçüncü kəsrin yuxarısına yazırıq:

İndi hər şey çıxma üçün hazırdır. Fraksiyaları əlavə amillərlə çoxaltmaq qalır:

Bu nəticəyə gəldik ki, məxrəci müxtəlif olan kəsrlər eyni (ortaq) məxrəcləri olan kəsrlərə çevrilir. Və biz artıq belə kəsrləri necə çıxaracağımızı bilirik. Bu misalı bitirək.

Nümunənin davamı bir sətirə sığmayacaq, ona görə də davamını növbəti sətirə keçirik. Yeni sətirdə bərabərlik işarəsini (=) unutma:

Cavab adi bir kəsr oldu və hər şey bizə uyğun görünür, amma çox çətin və çirkindir. Biz bunu daha sadə etməliyik. Nə etmək olar? Bu fraksiyanı qısalda bilərsiniz.

Kəsri azaltmaq üçün onun payını və məxrəcini 20 və 30 rəqəmlərindən (GCD) bölmək lazımdır.

Beləliklə, 20 və 30 rəqəmlərinin gcd-sini tapırıq:

İndi nümunəmizə qayıdırıq və kəsrin payını və məxrəcini tapılan gcd-ə, yəni 10-a bölürük.

Cavab aldıq

Kəsirin ədədə vurulması

Kəsri ədədə vurmaq üçün kəsrin payını həmin ədədə vurmalı və məxrəci eyni olaraq qoymalısınız.

Misal 1. Kəsiri 1 rəqəminə vurun.

Kəsrin payını 1 rəqəminə vurun

Səsyazma 1 dəfənin yarısı kimi başa düşülə bilər. Məsələn, bir dəfə pizza götürsəniz, pizza alırsınız

Vurma qanunlarından bilirik ki, vurma və amil dəyişdirilərsə, hasil dəyişməyəcək. İfadə kimi yazılırsa, hasil yenə də bərabər olacaqdır. Yenə də tam ədədi və kəsri vurma qaydası işləyir:

Bu qeydi birinin yarısını almaq kimi başa düşmək olar. Məsələn, 1 bütöv pizza varsa və biz onun yarısını alırıqsa, o zaman pizzamız olacaq:

Misal 2. İfadənin qiymətini tapın

Kəsirin payını 4-ə vurun

Cavab düzgün olmayan kəsr idi. Onun bütün hissəsini vurğulayaq:

İfadə dörddə ikinin 4 dəfə alınması kimi başa düşülə bilər. Məsələn, 4 pizza götürsəniz, iki tam pizza alacaqsınız

Əgər çarpanı və çarpanı dəyişdirsək, ifadəni alırıq. Bu da 2-yə bərabər olacaq. Bu ifadə dörd bütöv pizzadan iki pizza götürmək kimi başa düşülə bilər:

Fraksiyaların vurulması

Kəsrləri çoxaltmaq üçün onların ədədlərini və məxrəclərini çoxaltmaq lazımdır. Cavab düzgün olmayan kəsrdirsə, onun bütün hissəsini vurğulamalısınız.

Misal 1.İfadənin qiymətini tapın.

Cavab aldıq. Bu fraksiyanı azaltmaq məsləhətdir. Kəsr 2 azaldıla bilər. Sonra son qərar aşağıdakı formanı alacaq:

İfadə yarım pizzadan pizza götürmək kimi başa düşülə bilər. Deyək ki, yarım pizzamız var:

Bu yarıdan üçdə ikisini necə götürmək olar? Əvvəlcə bu yarını üç bərabər hissəyə bölmək lazımdır:

Və bu üç hissədən ikisini götürün:

Pizza hazırlayacağıq. Üç hissəyə bölünən bir pizzanın necə göründüyünü xatırlayın:

Bu pizzanın bir parçası və götürdüyümüz iki parça eyni ölçülərə sahib olacaq:

Başqa sözlə, söhbət eyni ölçülü pizzadan gedir. Buna görə ifadənin dəyəri belədir

Misal 2. İfadənin qiymətini tapın

Birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına, birinci kəsrin məxrəcini ikinci kəsrin məxrəcinə çarpın:

Cavab düzgün olmayan kəsr idi. Onun bütün hissəsini vurğulayaq:

Misal 3.İfadənin qiymətini tapın

Birinci kəsrin payını ikinci kəsrin payına, birinci kəsrin məxrəcini ikinci kəsrin məxrəcinə çarpın:

Cavab adi kəsr oldu, amma qısalsa yaxşı olardı. Bu kəsri azaltmaq üçün bu kəsrin payını və məxrəcini 105 və 450 ədədlərinin ən böyük ortaq böləninə (GCD) bölmək lazımdır.

Beləliklə, 105 və 450 rəqəmlərinin gcd-sini tapaq:

İndi cavabımızın payını və məxrəcini indi tapdığımız gcd-ə, yəni 15-ə bölürük.

Tam ədədi kəsr kimi təmsil edir

İstənilən tam ədəd kəsr kimi təqdim edilə bilər. Məsələn, 5 rəqəmi ilə təmsil oluna bilər. Bu, beşin mənasını dəyişməyəcək, çünki ifadə "beş sayı birə bölünür" deməkdir və bu, bildiyimiz kimi, beşə bərabərdir:

Qarşılıqlı nömrələr

İndi çox tanış olacağıq maraqlı mövzu riyaziyyatda. Buna "əks rəqəmlər" deyilir.

Tərif. Nömrəyə tərsinəa ilə vurulan ədəddira birini verir.

Gəlin bu tərifdə dəyişənin yerinə əvəz edək a 5 nömrəli və tərifi oxumağa çalışın:

Nömrəyə tərsinə 5 ilə vurulan ədəddir 5 birini verir.

5-ə vurulduqda bir verən ədədi tapmaq olarmı? Belə çıxır ki, mümkündür. Gəlin beşi kəsr kimi təsəvvür edək:

Sonra bu fraksiyanın özünə çoxalın, yalnız pay və məxrəci dəyişdirin. Başqa sözlə, kəsri yalnız tərsinə vuraq:

Bunun nəticəsində nə olacaq? Bu nümunəni həll etməyə davam etsək, birini alırıq:

Bu o deməkdir ki, 5 rəqəminin tərsi rəqəmdir, çünki 5-i vurduqda bir əldə edirsən.

Ədədin əksi istənilən digər tam ədəd üçün də tapıla bilər.

İstənilən digər kəsrin əksini də tapa bilərsiniz. Bunu etmək üçün sadəcə çevirin.

Kəsirin ədədə bölünməsi

Deyək ki, yarım pizzamız var:

Gəlin onu ikiyə bərabər bölək. Hər adam nə qədər pizza alacaq?

Görünür ki, pizzanın yarısını böldükdən sonra hər biri bir pizza təşkil edən iki bərabər hissə əldə edilmişdir. Beləliklə, hamı pizza alır.

Kəsrlərin bölünməsi qarşılıqlardan istifadə etməklə həyata keçirilir. Qarşılıqlı ədədlər bölməni vurma ilə əvəz etməyə imkan verir.

Kəsri ədədə bölmək üçün kəsri bölənin tərsinə vurmaq lazımdır.

Bu qaydadan istifadə edərək, pizzamızın yarısının iki yerə bölünməsini yazacağıq.

Beləliklə, kəsri 2 rəqəminə bölmək lazımdır. Burada dividend kəsr, bölən isə 2 rəqəmidir.

Kəsiri 2 rəqəminə bölmək üçün bu kəsri 2-ci bölənin əksinə vurmaq lazımdır. 2-ci bölənin əksi kəsirdir. Beləliklə, çoxalmaq lazımdır

İndi biz ayrı-ayrı kəsrləri toplamaq və çoxaltmağı öyrəndiyimiz üçün daha çox şeyə baxa bilərik kompleks dizaynlar. Məsələn, eyni məsələ kəsrləri toplamaq, çıxmaq və vurmaqdan ibarətdirsə necə?

Əvvəlcə bütün fraksiyaları düzgün olmayanlara çevirməlisiniz. Sonra tələb olunan hərəkətləri ardıcıl olaraq yerinə yetiririk - adi ədədlərlə eyni qaydada. Məhz:

İlk olaraq eksponentasiya edilir - eksponentləri ehtiva edən bütün ifadələrdən xilas olun;
Sonra - bölmə və vurma;
Son addım toplama və çıxmadır.

Təbii ki, ifadədə mötərizələr varsa, əməliyyatların ardıcıllığı dəyişir - ilk növbədə mötərizə içərisində olan hər şeyi hesablamaq lazımdır. Düzgün olmayan fraksiyalar haqqında unutmayın: yalnız bütün digər hərəkətlər tamamlandıqda bütün hissəni vurğulamalısınız.

Gəlin birinci ifadədən bütün kəsrləri düzgün olmayanlara çevirək və sonra aşağıdakı addımları yerinə yetirək:

İndi ikinci ifadənin qiymətini tapaq. Tam hissəli kəsrlər yoxdur, lakin mötərizələr var, ona görə də əvvəlcə toplama, sonra isə bölmə həyata keçiririk. Qeyd edək ki, 14 = 7 · 2. Sonra:

Nəhayət, üçüncü nümunəyə nəzər salaq. Burada mötərizələr və dərəcə var - onları ayrıca saymaq daha yaxşıdır. 9 = 3 3 olduğunu nəzərə alsaq, əldə edirik:

Son nümunəyə diqqət yetirin. Kəsiri qüvvəyə qaldırmaq üçün payı bu qüvvəyə, məxrəci isə ayrıca qaldırmalısınız.

Fərqli qərar verə bilərsiniz. Dərəcənin tərifini xatırlasaq, problem fraksiyaların adi çarpımına qədər azalacaq:

Çoxmərtəbəli fraksiyalar

İndiyə qədər biz yalnız "saf" kəsrləri nəzərdən keçirdik, o zaman ki, pay və məxrəc adi ədədlərdir. Bu, elə birinci dərsdə verilmiş ədəd fraksiyasının tərifinə tam uyğundur.

Bəs siz daha mürəkkəb obyekti pay və ya məxrəcə qoysanız necə olacaq? Məsələn, başqa ədədi fraksiya? Bu cür konstruksiyalar, xüsusən uzun ifadələrlə işləyərkən olduqca tez-tez yaranır. Budur bir neçə nümunə:

Çox səviyyəli fraksiyalarla işləmək üçün yalnız bir qayda var: onlardan dərhal xilas olmalısınız. "Əlavə" mərtəbələrin çıxarılması olduqca sadədir, əgər kəsik işarəsinin standart bölmə əməliyyatı demək olduğunu xatırlayırsınızsa. Beləliklə, istənilən kəsr aşağıdakı kimi yenidən yazıla bilər:

Bu faktdan istifadə edərək və prosedura əməl edərək, hər hansı bir çoxmərtəbəli fraksiyanı asanlıqla adi birinə endirə bilərik. Nümunələrə nəzər salın:

Tapşırıq. Çoxmərtəbəli fraksiyaları adi kəsrlərə çevirin:

Hər bir halda, bölmə xəttini bölmə işarəsi ilə əvəz edərək, əsas kəsri yenidən yazırıq. Həm də unutmayın ki, istənilən tam ədəd 1 məxrəcli kəsr kimi göstərilə bilər. Yəni 12 = 12/1; 3 = 3/1. Biz əldə edirik:

Sonuncu misalda kəsrlər son vurmadan əvvəl ləğv edildi.

Çoxsəviyyəli fraksiyalarla işləməyin xüsusiyyətləri

Çox mərtəbəli fraksiyalarda həmişə yadda saxlamaq lazım olan bir incəlik var, əks halda bütün hesablamalar düzgün olsa belə, səhv cavab ala bilərsiniz. Bax:

Paylayıcıda tək ədəd 7, məxrəcdə isə 12/5 kəsr var;
Hissədə 7/12 kəsri, məxrəcdə isə ayrıca 5 rəqəmi var.

Beləliklə, bir səsyazma üçün iki tamamilə fərqli şərh aldıq. Hesab etsəniz, cavablar da fərqli olacaq:

Yazının həmişə birmənalı oxunmasını təmin etmək üçün sadə bir qaydadan istifadə edin: əsas fraksiyanın bölmə xətti yuvalanmış fraksiyanın xəttindən uzun olmalıdır. Tercihen bir neçə dəfə.

Bu qaydaya əməl etsəniz, yuxarıdakı kəsrlər aşağıdakı kimi yazılmalıdır:

Bəli, o, yəqin ki, yararsızdır və çox yer tutur. Ancaq düzgün hesablayacaqsınız. Nəhayət, çoxmərtəbəli fraksiyaların həqiqətən yarandığı bir neçə nümunə:

Tapşırıq. İfadələrin mənalarını tapın:

Beləliklə, birinci nümunə ilə işləyək. Gəlin bütün kəsrləri düzgün olmayanlara çevirək, sonra toplama və bölmə əməliyyatlarını yerinə yetirək:

İkinci nümunə ilə də eyni şeyi edək. Bütün kəsrləri düzgün olmayanlara çevirək və tələb olunan əməliyyatları yerinə yetirək. Oxucunu bezdirməmək üçün bəzi aşkar hesablamaları buraxacağam. Bizdə:

Əsas kəsrlərin pay və məxrəcində cəmlər olduğu üçün çoxmərtəbəli kəsrlərin yazılması qaydasına avtomatik riayət olunur. Həmçinin, son misalda, bölməni yerinə yetirmək üçün qəsdən 46/1-i kəsr şəklində buraxdıq.

Onu da qeyd edim ki, hər iki misalda kəsr zolağı əslində mötərizələri əvəz edir: ilk növbədə biz cəmini, sonra isə hissəni tapdıq.

Bəziləri deyəcəklər ki, ikinci misalda düzgün olmayan kəsrlərə keçid açıq şəkildə lazımsız idi. Bəlkə də bu doğrudur. Ancaq bununla biz özümüzü səhvlərdən sığortalayırıq, çünki növbəti dəfə nümunə daha mürəkkəb ola bilər. Özünüz üçün daha vacib olanı seçin: sürət və ya etibarlılıq.

Fraksiya- riyaziyyatda ədədin ifadə forması. Kəsr çubuğu bölmə əməliyyatını bildirir. Hesablayıcı fraksiya dividend adlanır və məxrəc- bölücü. Məsələn, kəsrdə say 5, məxrəc isə 7-dir.

Düzgün Numeratoru məxrəcindən böyük olan kəsrə kəsr deyilir. Əgər kəsr düzgündürsə, onda onun dəyərinin modulu həmişə 1-dən kiçikdir. Bütün digər kəsrlər səhv.

Fraksiya deyilir qarışıq, əgər tam və kəsr kimi yazılırsa. Bu, bu ədədin və kəsrin cəmi ilə eynidir: