Gəlin hesablayaqMSEXCELvariasiya və standart sapma nümunələri. Gəlin fərqi də hesablayaq təsadüfi dəyişən, əgər onun paylanması məlumdursa.
Əvvəlcə düşünək dispersiya, sonra standart sapma.
Nümunə fərqi
Nümunə fərqi (nümunə fərqi,nümunəfərqlilik) -ə nisbətən massivdə dəyərlərin yayılmasını xarakterizə edir.
Hər 3 düstur riyazi olaraq ekvivalentdir.
Birinci düsturdan aydın olur ki nümunə fərqi massivdəki hər bir dəyərin kvadrat sapmalarının cəmidir ortadan, nümunə ölçüsü mənfi 1-ə bölünür.
fərqlər nümunələri DISP() funksiyasından istifadə olunur, ingiliscə. adı VAR, yəni. Fərqlilik. MS EXCEL 2010 versiyasından onun analoqu olan DISP.V(), ingilis dilindən istifadə etmək tövsiyə olunur. VARS adı, yəni. Nümunə Dəyişiklik. Bundan əlavə, MS EXCEL 2010 versiyasından başlayaraq DISP.Г(), ingilis dili funksiyası mövcuddur. VARP adı, yəni. Hesablayan Əhali Dəyişməsi dispersiyaüçün əhali . Bütün fərq məxrəcə gəlir: DISP.V() kimi n-1 əvəzinə DISP.G() məxrəcdə sadəcə n-ə malikdir. MS EXCEL 2010-dan əvvəl populyasiyanın dispersiyasını hesablamaq üçün VAR() funksiyasından istifadə olunurdu.
Nümunə fərqi
=QUADROTCL(Nümunə)/(COUNT(Nümunə)-1)
=(SUM(Nümunə)-COUNT(Nümunə)*ORTA(Nümunə)^2)/ (COUNT(Nümunə)-1)- adi formula
=SUM((Nümunə -ORTA(Nümunə))^2)/ (COUNT(Nümunə)-1) –
Nümunə fərqi 0-a bərabərdir, yalnız bütün dəyərlər bir-birinə bərabər olduqda və müvafiq olaraq bərabərdir orta dəyər. Adətən, dəyər daha böyükdür fərqlər, massivdə dəyərlərin yayılması nə qədər çox olar.
Nümunə fərqi edir nöqtə təxmini fərqlər yaradıldığı təsadüfi dəyişənin paylanması nümunə. Tikinti haqqında etimad intervalları qiymətləndirərkən fərqlər məqalədə oxuya bilərsiniz.
Təsadüfi dəyişənin variasiyası
Hesablamaq üçün dispersiya təsadüfi dəyişən, onu bilmək lazımdır.
üçün fərqlər təsadüfi dəyişən X tez-tez Var(X) ilə işarələnir. Dispersiya E(X) ortadan kənarlaşmanın kvadratına bərabərdir: Var(X)=E[(X-E(X)) 2 ]
dispersiya düsturla hesablanır:
burada x i təsadüfi dəyişənin ala biləcəyi qiymətdir, μ isə orta qiymətdir (), p(x) təsadüfi dəyişənin x dəyərini alması ehtimalıdır.
Əgər təsadüfi dəyişən varsa, onda dispersiya düsturla hesablanır:
Ölçü fərqlər ilkin qiymətlərin ölçü vahidinin kvadratına uyğun gəlir. Məsələn, nümunədəki dəyərlər hissə çəki ölçülərini (kq ilə) ifadə edərsə, onda fərq ölçüsü kq 2 olacaqdır. Bunu şərh etmək çətin ola bilər, buna görə də dəyərlərin yayılmasını xarakterizə etmək üçün kvadrat kökə bərabər bir dəyər fərqlər – standart sapma.
Bəzi xüsusiyyətlər fərqlər:
Var(X+a)=Var(X), burada X təsadüfi dəyişən, a isə sabitdir.
Var(aХ)=a 2 Var(X)
Var(X)=E[(X-E(X)) 2 ]=E=E(X 2)-E(2*X*E(X))+(E(X)) 2 =E(X 2)- 2*E(X)*E(X)+(E(X)) 2 =E(X 2)-(E(X)) 2
Bu dispersiya xüsusiyyətindən istifadə olunur xətti reqressiya haqqında məqalə.
Var(X+Y)=Var(X) + Var(Y) + 2*Cov(X;Y), burada X və Y təsadüfi dəyişənlərdir, Cov(X;Y) bu təsadüfi dəyişənlərin kovariasiyasıdır.
Təsadüfi dəyişənlər müstəqildirsə, onda onlar kovariasiya 0-a bərabərdir və buna görə də Var(X+Y)=Var(X)+Var(Y). Bu dispersiya xassəsindən törəmədə istifadə olunur.
Bunun üçün göstərək müstəqil kəmiyyətlər Var(X-Y)=Var(X+Y). Həqiqətən, Var(X-Y)= Var(X-Y)= Var(X+(-Y))= Var(X)+Var(-Y)= Var(X)+Var(-Y)= Var( X)+(- 1) 2 Var(Y)= Var(X)+Var(Y)= Var(X+Y). Bu dispersiya xüsusiyyəti qurmaq üçün istifadə olunur.
Standart sapma nümunəsi
Standart sapma nümunəsi nümunədəki dəyərlərin onların .
Tərifinə görə, standart sapma kvadrat kökünə bərabərdir fərqlər:
Standart sapma dakı dəyərlərin böyüklüyünü nəzərə almır nümunə, ancaq ətrafdakı dəyərlərin dağılma dərəcəsi orta. Bunu göstərmək üçün bir misal verək.
2 nümunə üçün standart kənarlaşmanı hesablayaq: (1; 5; 9) və (1001; 1005; 1009). Hər iki halda s=4. Aydındır ki, standart sapmanın massiv dəyərlərinə nisbəti nümunələr arasında əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənir. Belə hallar üçün istifadə olunur Dəyişmə əmsalı(Variasiya əmsalı, CV) - nisbət Standart sapma orta səviyyəyə hesab, faizlə ifadə edilir.
Hesablama üçün MS EXCEL 2007 və əvvəlki versiyalarında Standart sapma nümunəsi=STDEVAL() funksiyası istifadə olunur, İngilis dili. adı STDEV, yəni. Standart sapma. MS EXCEL 2010 versiyasından onun analoqu =STDEV.B() , ingilis dilindən istifadə etmək tövsiyə olunur. adı STDEV.S, yəni. Standart DEViation nümunəsi.
Bundan əlavə, MS EXCEL 2010 versiyasından başlayaraq STANDARDEV.G(), ingilis dili funksiyası mövcuddur. adı STDEV.P, yəni. Hesablayan Əhali Standartı DEViation standart sapmaüçün əhali. Bütün fərq məxrəcə düşür: STANDARDEV.V()-də olduğu kimi n-1 əvəzinə STANDARDEVAL.G() məxrəcdə sadəcə n-ə malikdir.
Standart sapma həmçinin aşağıdakı düsturlardan istifadə etməklə birbaşa hesablana bilər (nümunə fayla bax)
=ROOT(QUADROTCL(Nümunə)/(COUNT(Nümunə)-1))
=ROOT((SUM(Nümunə)-SAY(Nümunə)*ORTA(Nümunə)^2)/(COUNT(Nümunə)-1))
Digər səpilmə tədbirləri
SQUADROTCL() funksiyası ilə hesablayır dəyərlərin kvadratik sapmalarının cəmi orta. Bu funksiya =DISP.G( düsturu ilə eyni nəticəni qaytaracaq. Nümunə)*YOXLAYIN( Nümunə), Harada Nümunə- nümunə dəyərlər massivi olan aralığa istinad (). QUADROCL() funksiyasında hesablamalar aşağıdakı düsturla aparılır:
SROTCL() funksiyası da məlumat dəstinin yayılmasının ölçüsüdür. SROTCL() funksiyası orta dəyəri hesablayır mütləq dəyərlər dəyərlərdən sapmalar orta. Bu funksiya formula ilə eyni nəticəni qaytaracaq =MƏHSUL(ABS(Nümunə-ORTA(Nümunə)/COUNT(Nümunə), Harada Nümunə- nümunə dəyərlər massivindən ibarət aralığa keçid.
SROTCL () funksiyasında hesablamalar düsturla aparılır:
.
Əksinə, əgər mənfi olmayan a.e. funksiyası belədir 
, onda mütləq davamlı ehtimal ölçüsü var ki, onun sıxlığı olsun.
Lebesq inteqralında ölçünün dəyişdirilməsi:
,
Ehtimal ölçüsünə görə inteqral edilə bilən hər hansı Borel funksiyası haradadır.
Dispersiya, dispersiyanın növləri və xassələri Dispersiya anlayışı
Statistikada dispersiya xarakteristikanın fərdi qiymətlərinin arifmetik ortadan kvadrata düşən standart sapması kimi tapılır. İlkin məlumatlardan asılı olaraq sadə və çəkili dispersiya düsturlarından istifadə etməklə müəyyən edilir:
1. Sadə fərq(qruplaşdırılmamış məlumatlar üçün) düsturla hesablanır:
2. Çəkili dispersiya (variasiya seriyası üçün):
burada n tezlikdir (X faktorunun təkrarlanma qabiliyyəti)
Variasiyanın tapılması nümunəsi
Bu səhifə variasiya tapmağın standart nümunəsini təsvir edir, siz onu tapmaq üçün digər problemlərə də baxa bilərsiniz
Nümunə 1. Qrup, qrup orta, qruplararası və ümumi variasiyanın müəyyən edilməsi
Nümunə 2. Qruplaşdırma cədvəlində dispersiya və dəyişmə əmsalının tapılması
Nümunə 3. Dəyişmənin tapılması diskret sıra
Misal 4. Aşağıdakı məlumatlar 20 tələbədən ibarət qrup üçün mövcuddur yazışma şöbəsi. Qurmaq lazımdır interval seriyası xarakteristikanın paylanması, xarakteristikanın orta qiymətinin hesablanması və dispersiyasının öyrənilməsi
Gəlin bir interval qruplaşdırma quraq. Düsturdan istifadə edərək intervalın diapazonunu təyin edək:
burada X max qruplaşdırma xarakteristikasının maksimum qiymətidir; X min – qruplaşdırma xarakteristikasının minimum qiyməti; n – intervalların sayı:
n=5 qəbul edirik. Addım belədir: h = (192 - 159)/ 5 = 6.6
Gəlin bir interval qruplaşdırma yaradaq
Əlavə hesablamalar üçün köməkçi cədvəl quracağıq:
X"i – intervalın ortası. (məsələn, intervalın ortası 159 – 165,6 = 162,3)
Çəkili arifmetik orta düsturdan istifadə edərək tələbələrin orta boyunu təyin edirik:
Düsturdan istifadə edərək fərqi təyin edək:
Formula belə çevrilə bilər:
Bu düsturdan belə nəticə çıxır dispersiya bərabərdir variantların kvadratlarının ortası ilə kvadrat və orta arasındakı fərq.
Fərqlilik variasiya seriyası ilə bərabər fasilələrlə anlar üsulu ilə dispersiyanın ikinci xassəsindən istifadə etməklə (bütün variantları intervalın qiymətinə bölməklə) aşağıdakı şəkildə hesablamaq olar. Variasiyanın müəyyən edilməsi Aşağıdakı düsturdan istifadə edərək, anlar metodu ilə hesablanan daha az zəhmətlidir:
burada i intervalın qiymətidir; A şərti sıfırdır, bunun üçün ən yüksək tezlikli intervalın ortasından istifadə etmək rahatdır; m1 birinci dərəcəli momentin kvadratıdır; m2 - ikinci dərəcəli anı
Alternativ xüsusiyyət variasiyası (əgər statistik populyasiyada xarakterik elə dəyişirsə ki, bir-birini istisna edən yalnız iki variant var, onda belə dəyişkənlik alternativ adlanır) düsturla hesablana bilər:
Bu dispersiya düsturunda q = 1- p əvəz etsək, əldə edirik:
Variasiya növləri
Ümumi variasiya Bu dəyişkənliyə səbəb olan bütün amillərin təsiri altında bütövlükdə bütün əhali üzrə xarakteristikanın dəyişməsini ölçür. Bu, x xarakteristikasının fərdi dəyərlərinin x-in ümumi orta dəyərindən sapmalarının orta kvadratına bərabərdir və sadə dispersiya və ya çəkili dispersiya kimi müəyyən edilə bilər.
Qrupdaxili variasiya təsadüfi dəyişkənliyi xarakterizə edir, yəni. uçota alınmayan amillərin təsiri ilə bağlı olan və qrupun əsasını təşkil edən amil-atributdan asılı olmayan dəyişkənliyin hissəsi. Bu cür dispersiya X qrupu daxilində atributun fərdi dəyərlərinin qrupun arifmetik ortasından sapmalarının orta kvadratına bərabərdir və sadə dispersiya və ya çəkili dispersiya kimi hesablana bilər.
Beləliklə, qrupdaxili variasiya ölçüləri Qrup daxilində əlamətin dəyişməsi və düsturla müəyyən edilir:
burada xi qrup ortasıdır; ni qrupdakı vahidlərin sayıdır.
Məsələn, bir emalatxanada işçilərin ixtisaslarının əmək məhsuldarlığı səviyyəsinə təsirinin öyrənilməsi tapşırığında müəyyən edilməli olan qrupdaxili fərqlər hər bir qrupda bütün mümkün amillərin (avadanlığın texniki vəziyyəti, avadanlıqların mövcudluğu) səbəb olduğu məhsulun dəyişməsini göstərir. alətlər və materiallar, işçilərin yaşı, əmək intensivliyi və s.), ixtisas kateqoriyasındakı fərqlər istisna olmaqla (bir qrup daxilində bütün işçilər eyni ixtisaslara malikdir).
Qrupdaxili dispersiyaların orta göstəricisi təsadüfi dəyişkənliyi, yəni qruplaşdırma faktoru istisna olmaqla, bütün digər amillərin təsiri altında baş vermiş dəyişkənliyin həmin hissəsini əks etdirir. Düsturla hesablanır:
Qruplararası variasiya qrupun əsasını təşkil edən amil-atributun təsiri ilə yaranan xarakteristikanın sistematik dəyişməsini xarakterizə edir. Qrup vasitələrinin ümumi ortadan kənara çıxmalarının orta kvadratına bərabərdir. Qruplararası dispersiya düsturla hesablanır:
Bu səhifə təsvir edir standart nümunə fərqi tapmaqla yanaşı, onu tapmaq üçün başqa problemlərə də baxa bilərsiniz
Nümunə 1. Qrup, qrup orta, qruplararası və ümumi variasiyanın müəyyən edilməsi
Nümunə 2. Qruplaşdırma cədvəlində variasiya və dəyişmə əmsalının tapılması
Misal 3. Diskret silsilədə dispersiyanın tapılması
Misal 4. Aşağıdakı məlumatlar 20 nəfərlik qiyabi tələbə qrupu üçün mövcuddur. Xarakteristikanın paylanmasının interval seriyasını qurmaq, xarakteristikanın orta qiymətini hesablamaq və onun dispersiyasını öyrənmək lazımdır.
Gəlin bir interval qruplaşdırma quraq. Düsturdan istifadə edərək intervalın diapazonunu təyin edək:
burada X max qruplaşdırma xarakteristikasının maksimum qiymətidir;
X min – qruplaşdırma xarakteristikasının minimum qiyməti;
n – intervalların sayı:
n=5 qəbul edirik. Addım belədir: h = (192 - 159)/ 5 = 6.6
Gəlin bir interval qruplaşdırma yaradaq
Əlavə hesablamalar üçün köməkçi cədvəl quracağıq:
X"i – intervalın ortası. (məsələn, intervalın ortası 159 – 165,6 = 162,3)
Çəkili arifmetik orta düsturdan istifadə edərək tələbələrin orta boyunu təyin edirik:
Düsturdan istifadə edərək fərqi təyin edək:
Formula belə çevrilə bilər:
Bu düsturdan belə nəticə çıxır dispersiya bərabərdir variantların kvadratlarının ortası ilə kvadrat və orta arasındakı fərq.
Variasiya silsiləsində dispersiya anlar metodundan istifadə etməklə bərabər intervallarla, dispersiyanın ikinci xassəsindən istifadə etməklə (bütün variantları intervalın qiymətinə bölməklə) aşağıdakı şəkildə hesablana bilər. Variasiyanın müəyyən edilməsi Aşağıdakı düsturdan istifadə edərək, anlar metodu ilə hesablanan daha az zəhmətlidir:
burada i intervalın qiymətidir;
A şərti sıfırdır, bunun üçün ən yüksək tezlikli intervalın ortasından istifadə etmək rahatdır;
m1 birinci dərəcəli momentin kvadratıdır;
m2 - ikinci dərəcəli anı
Alternativ xüsusiyyət variasiyası (əgər statistik populyasiyada xarakterik elə dəyişirsə ki, bir-birini istisna edən yalnız iki variant var, onda belə dəyişkənlik alternativ adlanır) düsturla hesablana bilər:
Bu dispersiya düsturunda q = 1- p əvəz etsək, əldə edirik:
Variasiya növləri
Ümumi variasiya Bu dəyişkənliyə səbəb olan bütün amillərin təsiri altında bütövlükdə bütün əhali üzrə xarakteristikanın dəyişməsini ölçür. Bu, x xarakteristikasının fərdi dəyərlərinin x-in ümumi orta dəyərindən sapmalarının orta kvadratına bərabərdir və sadə dispersiya və ya çəkili dispersiya kimi müəyyən edilə bilər.
Qrupdaxili variasiya təsadüfi dəyişkənliyi xarakterizə edir, yəni. uçota alınmayan amillərin təsiri ilə bağlı olan və qrupun əsasını təşkil edən amil-atributdan asılı olmayan dəyişkənliyin hissəsi. Bu cür dispersiya X qrupu daxilində atributun fərdi dəyərlərinin qrupun arifmetik ortasından sapmalarının orta kvadratına bərabərdir və sadə dispersiya və ya çəkili dispersiya kimi hesablana bilər.
Beləliklə, qrupdaxili variasiya ölçüləri Qrup daxilində əlamətin dəyişməsi və düsturla müəyyən edilir:
burada xi qrup ortasıdır;
ni qrupdakı vahidlərin sayıdır.
Məsələn, işçi ixtisaslarının emalatxanada əmək məhsuldarlığı səviyyəsinə təsirinin öyrənilməsi problemində müəyyən edilməli olan qrupdaxili fərqlər, hər bir qrupda məhsulun hər birinin yaratdığı dəyişiklikləri göstərir. mümkün amillər(avadanlığın texniki vəziyyəti, alət və materialların mövcudluğu, işçilərin yaşı, əməyin intensivliyi və s.), ixtisas kateqoriyasındakı fərqlər istisna olmaqla (qrup daxilində bütün işçilər eyni ixtisasa malikdir).
Bütövlükdə bütün populyasiyada xarakteristikanın dəyişməsini öyrənməklə yanaşı, çox vaxt əhalinin bölündüyü qruplar, eləcə də qruplar arasında xarakteristikanın kəmiyyət dəyişikliklərini izləmək lazımdır. Dəyişikliyin bu öyrənilməsi hesablama və təhlil yolu ilə əldə edilir müxtəlif növlər fərqlər.
Ümumi, qruplararası və qrupdaxili fərqlər var.
Ümumi dispersiya σ 2 Bu dəyişkənliyə səbəb olan bütün amillərin təsiri altında bir xüsusiyyətin bütün populyasiyada dəyişməsini ölçür.
Qruplararası dispersiya (δ) sistematik variasiyanı xarakterizə edir, yəni. qrupun əsasını təşkil edən amil əlamətinin təsiri altında yaranan tədqiq olunan əlamətin qiymət fərqləri. Düsturla hesablanır: 
.
Qrupdaxili dispersiya (σ) təsadüfi dəyişkənliyi əks etdirir, yəni. uçota alınmayan amillərin təsiri altında baş verən və qrupun əsasını təşkil edən amil-atributdan asılı olmayan dəyişkənliyin hissəsi. Bu düsturla hesablanır: 
.
Qrupdaxili variasiyaların orta göstəricisi: 
.
3 növ dispersiyanı birləşdirən qanun var. Ümumi dispersiya qrupdaxili və qruplararası variasiyanın orta məbləğinin cəminə bərabərdir: 
.
Bu nisbət deyilir fərqlərin əlavə edilməsi qaydası.
Təhlildə geniş istifadə olunan göstərici qruplar arası fərqin ümumi dispersiyada nisbətidir. Bu adlanır empirik təyin əmsalı (η 2): .
Empirik təyin əmsalının kvadrat kökü adlanır empirik korrelyasiya nisbəti (η):
.
Qrupun əsasını təşkil edən xarakteristikanın yaranan xüsusiyyətin dəyişməsinə təsirini xarakterizə edir. Empirik korrelyasiya nisbəti 0 ilə 1 arasında dəyişir.
Aşağıdakı nümunədən istifadə edərək onun praktik istifadəsini nümayiş etdirək (Cədvəl 1).
Nümunə №1. Cədvəl 1 - NPO Cyclone emalatxanalarından birində iki qrup işçinin əmək məhsuldarlığı
Ümumi və qrup vasitələri və fərqləri hesablayaq:
Qrupdaxili və qruplararası variasiyanın orta hesablanması üçün ilkin məlumatlar cədvəldə verilmişdir. 2.
Cədvəl 2
Hesablama və iki işçi qrupu üçün δ 2.
|
İşçi qrupları | İşçilərin sayı, insanlar | Orta, uşaqlar/növbə | Dispersiya |
| Texniki hazırlığı tamamladı | 5 | 95 | 42,0 |
| Texniki hazırlığı bitirməyənlər | 5 | 81 | 231,2 |
| Bütün işçilər | 10 | 88 | 185,6 |
.
Qruplararası variasiya
Ümumi fərq:
Beləliklə, empirik korrelyasiya nisbəti: .
Kəmiyyət xüsusiyyətlərinin dəyişməsi ilə yanaşı, keyfiyyət xüsusiyyətlərinin də dəyişməsi müşahidə oluna bilər. Dəyişikliyin bu tədqiqi aşağıdakı dispersiya növlərinin hesablanması ilə əldə edilir:
Qrupdaxili payın yayılması düsturla müəyyən edilir
Harada n i– ayrı-ayrı qruplardakı vahidlərin sayı.Tədqiq olunan xüsusiyyətin bütün populyasiyada payı, düsturla müəyyən edilir:
Üç növ variasiya bir-biri ilə aşağıdakı kimi əlaqələndirilir:
.
Dispersiyaların bu əlaqəsi əlamət payının dispersiyalarının toplanması teoremi adlanır.
Lakin təsadüfi dəyişəni öyrənmək üçün təkcə bu xüsusiyyət kifayət deyil. Təsəvvür edək ki, iki atıcı hədəfə atəş açır. Biri dəqiq vurur və mərkəzə yaxın vurur, digəri isə... sadəcə əylənir və hətta nişan almır. Amma gülməli olan odur ki, o orta nəticə ilk atıcı ilə tamamilə eyni olacaq! Bu vəziyyət şərti olaraq aşağıdakı təsadüfi dəyişənlərlə təsvir olunur:
"Snayper" riyazi gözləntisi "maraqlı adam" üçün -ə bərabərdir: - həm də sıfırdır!
Beləliklə, nə qədər məsafəni kəmiyyətlə ölçməyə ehtiyac var səpələnmiş hədəfin mərkəzinə nisbətən güllələr (təsadüfi dəyişən dəyərlər) ( riyazi gözlənti). Yaxşı səpilmə Latın dilindən tərcümədən başqa bir yol yoxdur dispersiya .
Dərsin 1-ci hissəsindən nümunələrdən birini istifadə edərək bu ədədi xarakteristikanın necə təyin olunduğunu görək: 
Orada bu oyunun məyusedici riyazi gözləntisini tapdıq və indi onun dispersiyasını hesablamalıyıq. ilə işarələnir vasitəsilə.
Qələbələrin/itkilərin orta dəyərə nisbətən nə qədər “səpələndiyini” öyrənək. Aydındır ki, bunun üçün hesablamalıyıq fərqlər arasında təsadüfi dəyişənlərin dəyərləri və onun riyazi gözlənti:
–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5
İndi deyəsən, nəticələri yekunlaşdırmaq lazımdır, lakin bu üsul uyğun deyil - ona görə ki, sola dalğalanmalar sağa dalğalanmalarla bir-birini ləğv edəcək. Beləliklə, məsələn, "həvəskar" atıcı (yuxarıdakı nümunə) fərqlər olacaq 
, və əlavə olunduqda onlar sıfır verəcəklər, buna görə də onun atışının dağılmasına dair heç bir təxmin əldə etməyəcəyik.
Bu problemi həll etmək üçün düşünə bilərsiniz modullar fərqlər, lakin texniki səbəblərə görə yanaşma onlar kvadratlaşdırıldıqda kök salmışdır. Həllini cədvəldə formalaşdırmaq daha rahatdır: 
Və burada hesablamaq üçün yalvarır çəkili orta kvadratik kənarlaşmaların dəyəri. Və bu NƏDİR? Onlarındır riyazi gözlənti, səpilmə ölçüsüdür:
– tərifi fərqlər. Tərifdən dərhal aydın olur ki dispersiya mənfi ola bilməz- məşq üçün qeyd edin!
Gözlənilən dəyəri necə tapacağımızı xatırlayaq. Kvadrat fərqləri müvafiq ehtimallara çarpın (cədvəlin davamı):
– obrazlı desək, bu “dartma qüvvəsidir”,
və nəticələri ümumiləşdirin:
Sizə elə gəlmirmi ki, uduşlarla müqayisədə nəticə çox böyük oldu? Düzdü - biz onu kvadratlaşdırdıq və oyunumuzun ölçüsünə qayıtmaq üçün çıxarmaq lazımdır kvadrat kök. Bu miqdar deyilir standart sapma
və yunanca “sigma” hərfi ilə işarələnir:
Bu dəyər bəzən adlanır standart sapma .
Onun mənası nədir? Riyazi gözləntidən standart sapma ilə sola və sağa sapsaq: 
– onda təsadüfi dəyişənin ən çox ehtimal olunan dəyərləri bu intervalda “cəmlənəcək”. Əslində müşahidə etdiyimiz şey:
Ancaq elə olur ki, səpilməni təhlil edərkən demək olar ki, həmişə dispersiya anlayışı ilə işləyir. Oyunlara münasibətdə bunun nə demək olduğunu anlayaq. Əgər oxlar vəziyyətində hədəfin mərkəzinə nisbətən vuruşların "dəqiqliyindən" danışırıqsa, burada dispersiya iki şeyi xarakterizə edir:
Birincisi, açıq-aydın görünür ki, mərclər artdıqca, dispersiya da artır. Beləliklə, məsələn, 10 dəfə artırsaq, riyazi gözlənti 10 dəfə, dispersiya isə 100 dəfə artacaq. (bu kvadrat kəmiyyət olduğundan). Ancaq unutmayın ki, oyunun qaydaları dəyişməyib! Biz 10 rubl, indi 100 bahis etməzdən əvvəl kobud desək, yalnız tariflər dəyişdi.
İkinci, daha maraqlı məqam odur ki, variasiya oyun tərzini xarakterizə edir. Oyun mərclərini zehni olaraq düzəldin müəyyən səviyyədə, və gəlin görək nə var:
Aşağı variasiya oyunu ehtiyatlı bir oyundur. Oyunçu ən etibarlı sxemləri seçməyə meyllidir, burada o, bir anda çox itirmir / qazanır. Məsələn, ruletdə qırmızı/qara sistem (məqalənin 4-cü nümunəsinə baxın Təsadüfi dəyişənlər) .
Yüksək fərqlilik oyunu. Onu tez-tez çağırırlar dağıtıcı oyun. Bu, oyunçunun "adrenalin" sxemlərini seçdiyi macəra və ya aqressiv oyun tərzidir. Heç olmasa xatırlayaq "Martinqale", burada risk altında olan məbləğlər əvvəlki nöqtənin “sakit” oyunundan daha böyük miqyaslı sifarişlərdir.
Pokerdəki vəziyyət göstəricidir: sözdə olanlar var sıx Ehtiyatlı olmağa və özlərinə qarşı “titrəməyə” meylli oyunçular oyun deməkdir (bankroll). Təəccüblü deyil ki, onların pul vəsaitləri əhəmiyyətli dərəcədə dəyişmir (aşağı dispersiya). Əksinə, əgər oyunçu yüksək dispersiyaya malikdirsə, o, təcavüzkardır. O, tez-tez risk edir, böyük mərclər edir və ya böyük bankı qıra bilər, ya da uduzur.
Eyni şey Forex-də baş verir və sair - çoxlu nümunələr var.
Üstəlik, bütün hallarda oyunun qəpiklərə və ya minlərlə dollara oynanmasının fərqi yoxdur. Hər səviyyənin aşağı və yüksək dispersiyaya malik oyunçuları var. Yaxşı, üçün orta uduşlar, xatırladığımız kimi, "cavablar" riyazi gözlənti.
Yəqin ki, fərq tapmağın uzun və əziyyətli bir proses olduğunu fərq etdiniz. Ancaq riyaziyyat səxavətlidir:
Dispersiyanı tapmaq üçün düstur
Bu formula birbaşa dispersiya tərifindən yaranır və biz onu dərhal istifadəyə veririk. İşarəni yuxarıdakı oyunumuzla kopyalayacağam: 
və tapılmış riyazi gözlənti.
İkinci üsulla dispersiyanı hesablayaq. Əvvəlcə riyazi gözləntiyi - təsadüfi dəyişənin kvadratını tapaq. By riyazi gözləntinin təyini:
IN bu halda:
Beləliklə, düstura görə:
Necə deyərlər, fərqi hiss edin. Və praktikada, əlbəttə ki, formuladan istifadə etmək daha yaxşıdır (şərt başqa cür tələb etmirsə).
Biz həll və dizayn texnikasına yiyələnirik:
Misal 6
Onun riyazi gözləntisini, dispersiyasını və standart kənarlaşmasını tapın.
Bu vəzifə hər yerdə tapılır və bir qayda olaraq, mənalı bir məna kəsb etmir.
Bir dəlixanada müəyyən ehtimallarla yanan rəqəmləri olan bir neçə ampul təsəvvür edə bilərsiniz :)
Həll: Əsas hesablamaları cədvəldə ümumiləşdirmək rahatdır. Əvvəlcə ilkin məlumatları ilk iki sətirə yazırıq. Sonra məhsulları, sonra və nəhayət, sağ sütundakı məbləğləri hesablayırıq: 
Əslində, demək olar ki, hər şey hazırdır. Üçüncü sətir hazır riyazi gözlənti göstərir: 
.
Düsturdan istifadə edərək fərqi hesablayırıq:
Və nəhayət, standart sapma:
– Şəxsən mən adətən 2 onluq yerlərə yuvarlaqlaşdırıram.
Bütün hesablamalar kalkulyatorda və ya daha yaxşısı - Excel-də aparıla bilər:
Burada səhv etmək çətindir :)
Cavab verin:
Arzu edənlər həyatlarını daha da sadələşdirib mənim imkanlarımdan yararlana bilərlər kalkulyator (demo), bu, yalnız dərhal həll etməyəcək bu vəzifə, həm də quracaq tematik qrafika (tezliklə ora çatacağıq). Proqram ola bilər kitabxanadan yükləyin– ən azı birini endirmisinizsə tədris materialı, ya da alın başqa yol. Layihəni dəstəklədiyiniz üçün təşəkkür edirik!
Üçün bir neçə tapşırıq müstəqil qərar:
Misal 7
Əvvəlki misalda təsadüfi dəyişənin dispersiyasını tərifinə görə hesablayın.
Və oxşar bir nümunə:
Misal 8
Diskret təsadüfi dəyişən paylanma qanunu ilə müəyyən edilir:
Bəli, təsadüfi dəyişənlərin dəyərləri olduqca böyük ola bilər (real işdən nümunə), və burada, mümkünsə, Excel-dən istifadə edin. Yeri gəlmişkən, Misal 7-də olduğu kimi - daha sürətli, daha etibarlı və daha xoşdur.
Səhifənin altındakı həllər və cavablar.
Dərsin 2-ci hissəsinin sonunda daha birinə baxacağıq tipik vəzifə, hətta kiçik bir rebus deyə bilər:
Misal 9
Diskret təsadüfi dəyişən yalnız iki qiymət ala bilər: və , və . Ehtimal, riyazi gözlənti və dispersiya məlumdur.
Həll: Naməlum bir ehtimaldan başlayaq. Təsadüfi dəyişən yalnız iki qiymət ala bildiyinə görə, müvafiq hadisələrin ehtimallarının cəmi belədir:
və o vaxtdan bəri .
Qalır ki, tapmaq..., bunu demək asandır :) Riyazi gözləntinin tərifinə görə: 
– məlum kəmiyyətləri əvəz edin:
- və bu tənlikdən başqa heç nə sıxışdırıla bilməz, yalnız onu adi istiqamətdə yenidən yaza bilərsiniz: 
və ya: 
HAQQINDA əlavə tədbirlər, məncə təxmin edə bilərsiniz. Sistemi tərtib edib həll edək: 
Ondalıklar- bu, əlbəttə ki, tam biabırçılıqdır; hər iki tənliyi 10-a vurun: 
və 2-yə bölün: 
Bu daha yaxşıdır. 1-ci tənlikdən ifadə edirik: 
(bu daha asan yoldur)– 2-ci tənliyi əvəz edin:
Biz qururuq kvadrat və sadələşdirmələr aparın: 
Çoxaldın: 
Nəticə belə oldu kvadrat tənlik, onun diskriminantını tapırıq:
- Əla!
və iki həll yolu alırıq:
1) əgər 
, Bu 
;
2) əgər 
, Bu .
Birinci dəyər cütü şərti ödəyir. Böyük ehtimalla hər şey düzgündür, amma buna baxmayaraq paylama qanununu yazaq: 
və yoxlama aparın, yəni gözləntiləri tapın:
