Ev Ağıl dişləri Onlayn kalkulyator Qeyri-müəyyən inteqralı hesablayın (antiderivativ). Dumilər üçün inteqrallar: necə həll olunur, hesablama qaydaları, izahat

Ağıl dişləri

Onlayn kalkulyator Qeyri-müəyyən inteqralı hesablayın (antiderivativ). Dumilər üçün inteqrallar: necə həll olunur, hesablama qaydaları, izahat

Antiderivativ

Antitörəmə funksiyasının tərifi

Funksiya y=F(x) funksiyanın əks törəməsi adlanır y=f(x) verilmiş intervalda X, hər kəs üçün əgər X ∈X bərabərlik təmin edir: F′(x) = f(x)

İki şəkildə oxuna bilər:

f funksiyanın törəməsi F
F funksiyanın əks törəməsi f

Antiderivativlərin xassələri

Əgər F(x)- funksiyanın əks törəməsi f(x) verilmiş intervalda, onda f(x) funksiyasının sonsuz sayda əks törəmələri var və bütün bu əks törəmələr formada yazıla bilər. F(x) + C, burada C ixtiyari sabitdir.

Həndəsi şərh

Verilmiş funksiyanın bütün antitörəmələrinin qrafikləri f(x) O oxu boyunca paralel köçürmələrlə hər hansı bir antitörəmə qrafikindən əldə edilir saat.

Antiderivativlərin hesablanması qaydaları

Cəmin əks törəməsi antitörəmələrin cəminə bərabərdir. Əgər F(x)- üçün antitörəmə f(x), və G(x) üçün antitörəmədir g(x), Bu F(x) + G(x)- üçün antitörəmə f(x) + g(x).
Daimi amili törəmənin işarəsindən çıxarmaq olar. Əgər F(x)- üçün antitörəmə f(x), Və k- sabit, onda k·F(x)- üçün antitörəmə k f(x).
Əgər F(x)- üçün antitörəmə f(x), Və k, b- daimi və k ≠ 0, Bu 1/k F(kx + b)- üçün antitörəmə f(kx + b).

Unutma!

İstənilən funksiya F(x) = x 2 + C , burada C ixtiyari sabitdir və yalnız belə bir funksiya funksiya üçün antitörəmədir f(x) = 2x.

Məsələn:
F"(x) = (x 2 + 1)" = 2x = f(x);

f(x) = 2x,çünki F"(x) = (x 2 – 1)" = 2x = f(x);

f(x) = 2x,çünki F"(x) = (x 2 –3)" = 2x = f(x);

Funksiya qrafikləri ilə onun əks törəməsi arasında əlaqə:

Əgər funksiyanın qrafiki f(x)>0 F(x) bu intervalda artır.
Əgər funksiyanın qrafiki f(x)<0 intervalda, sonra onun antiderivativinin qrafiki F(x) bu intervalda azalır.
Əgər f(x)=0, sonra onun antiderivativinin qrafiki F(x) bu nöqtədə artandan azalmağa (və ya əksinə) dəyişir.

Antitörəməni işarələmək üçün qeyri-müəyyən inteqralın işarəsindən, yəni inteqrasiyanın sərhədlərini göstərmədən inteqraldan istifadə olunur.

Qeyri-müəyyən inteqral

Tərif:

f(x) funksiyasının qeyri-müəyyən inteqralı F(x) + C ifadəsidir, yəni verilmiş f(x) funksiyasının bütün əks törəmələri çoxluğudur. Qeyri-müəyyən inteqral aşağıdakı kimi işarələnir: \int f(x) dx = F(x) + C

f(x)- inteqral funksiyası adlanır;
f(x) dx- inteqral adlanır;
x- inteqrasiya dəyişəni adlanır;
F(x)- f(x) funksiyasının əks törəmələrindən biri;
İLƏ- ixtiyari sabit.

Qeyri-müəyyən inteqralın xassələri

Qeyri-müəyyən inteqralın törəməsi inteqrana bərabərdir: (\int f(x) dx)\prime= f(x) .
İnteqralın sabit amili inteqral işarəsindən çıxarıla bilər: \int k \cdot f(x) dx = k \cdot \int f(x) dx.
Funksiyaların cəminin (fərqinin) inteqralı məbləğinə bərabərdir Bu funksiyaların inteqrallarının (fərqləri): \int (f(x) \pm g(x)) dx = \int f(x) dx \pm \int g(x) dx.
Əgər k, b sabitlərdir və k ≠ 0 olarsa \int f(kx + b) dx = \frac(1)(k) \cdot F(kx + b) + C.

Antiderivativlər və qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəli

Funksiya f(x)	Antiderivativ F(x) + C	Qeyri-müəyyən inteqrallar \int f(x) dx = F(x) + C
0	C	\int 0 dx = C
f(x) = k	F(x) = kx + C	\int kdx = kx + C
f(x) = x^m, m\deyil =-1	F(x) = \frac(x^(m+1))(m+1) + C	\int x(^m)dx = \frac(x^(m+1))(m+1) + C
f(x) = \frac(1)(x)	F(x) = l n \lvert x \rvert + C	\int \frac(dx)(x) = l n \lvert x \rvert + C
f(x) = e^x	F(x) = e^x + C	\int e(^x )dx = e^x + C
f(x) = a^x	F(x) = \frac(a^x)(l na) + C	\int a(^x )dx = \frac(a^x)(l na) + C
f(x) = \sin x	F(x) = -\cos x + C	\int \sin x dx = -\cos x + C
f(x) = \cos x	F(x) =\sin x + C	\int \cos x dx = \sin x + C
f(x) = \frac(1)(\sin (^2) x)	F(x) = -\ctg x + C	\int \frac (dx)(\sin (^2) x) = -\ctg x + C
f(x) = \frac(1)(\cos (^2) x)	F(x) = \tg x + C	\int \frac(dx)(\sin (^2) x) = \tg x + C
f(x) = \sqrt(x)	F(x) =\frac(2x \sqrt(x))(3) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(x))	F(x) =2\sqrt(x) + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1-x^2))	F(x)=\arcsin x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1-x^2))=\arcsin x + C
f(x) =\frac(1)( \sqrt(1+x^2))	F(x)=\arctg x + C	\int \frac(dx)( \sqrt(1+x^2))=\arctg x + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2-x^2))	F(x)=\arcsin \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2-x^2)) =\arcsin \frac (x)(a)+ C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(a^2+x^2))	F(x)=\arctg \frac (x)(a)+ C	\int \frac(dx)( \sqrt(a^2+x^2)) = \frac (1)(a) \arctg \frac (x)(a)+ C
f(x) =\frac(1)( 1+x^2)	F(x)=\arctg + C	\int \frac(dx)( 1+x^2)=\arctg + C
f(x)=\frac(1)( \sqrt(x^2-a^2)) (a \not= 0)	F(x)=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C	\int \frac(dx)( \sqrt(x^2-a^2))=\frac(1)(2a)l n \lvert \frac (x-a)(x+a) \rvert + C
f(x)=\tg x	F(x)= - l n \lvert \cos x \rvert + C	\int \tg x dx =- l n \lvert \cos x \rvert + C
f(x)=\ctg x	F(x)= l n \lvert \sin x \rvert + C	\int \ctg x dx = l n \lvert \sin x \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\sin x)	F(x)= l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C	\int \frac (dx)(\sin x) = l n \lvert \tg \frac(x)(2) \rvert + C
f(x)=\frac(1)(\cos x)	F(x)= l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C	\int \frac (dx)(\cos x) = l n \lvert \tg (\frac(x)(2) +\frac(\pi)(4)) \rvert + C

Nyuton-Leybnits düsturu

Qoy f(x) bu funksiya F onun ixtiyari antiderivativi.

\int_(a)^(b) f(x) dx =F(x)|_(a)^(b)= F(b) - F(a)

Harada F(x)- üçün antitörəmə f(x)

Yəni funksiyanın inteqralı f(x) intervalda nöqtələrdəki antiderivativlərin fərqinə bərabərdir b Və a.

Əyri trapezoidin sahəsi

Əyrixətli trapesiya intervalda qeyri-mənfi və davamlı olan funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşan rəqəmdir f, Öküz oxu və düz xətlər x = a Və x = b.

Əyri trapezoidin sahəsi Nyuton-Leybniz düsturu ilə tapılır:

S= \int_(a)^(b) f(x) dx

İnteqralların həlli asan məsələdir, lakin yalnız seçilmiş bir neçə nəfər üçün. Bu məqalə inteqralları başa düşməyi öyrənmək istəyən, lakin onlar haqqında heç nə və ya demək olar ki, heç nə bilməyənlər üçündür. İnteqral... Niyə lazımdır? Onu necə hesablamaq olar? Nə dəqiqdir və qeyri-müəyyən inteqral s? Əgər inteqral üçün bildiyiniz yeganə istifadə əlçatmaz yerlərdən faydalı bir şey əldə etmək üçün inteqral simvol kimi formalı qarmaqdan istifadə etməkdirsə, xoş gəlmisiniz! İnteqralları necə həll edəcəyinizi və niyə onsuz edə bilməyəcəyinizi öyrənin.

Biz "inteqral" anlayışını öyrənirik

İnteqrasiya hələ Qədim Misirdə məlum idi. Təbii ki, müasir formada deyil, amma yenə də. O vaxtdan bəri riyaziyyatçılar bu mövzuda çoxlu kitablar yazmışlar. Xüsusilə özlərini fərqləndirdilər Nyuton Və Leybniz , lakin şeylərin mahiyyəti dəyişməyib. İnteqralları sıfırdan necə başa düşmək olar? Heç cür! Bu mövzunu başa düşmək üçün hələ də riyazi analizin əsasları haqqında əsas biliklərə ehtiyacınız olacaq. Bloqumuzda tapa biləcəyiniz bu əsas məlumatdır.

Qeyri-müəyyən inteqral

Gəlin bəzi funksiyalarımız olsun f(x) .

Qeyri-müəyyən inteqral funksiya f(x) bu funksiya deyilir F(x) törəməsi funksiyasına bərabər olan f(x) .

Başqa sözlə, inteqral tərs törəmə və ya antitörəmədir. Yeri gəlmişkən, məqaləmizdə necə olduğunu oxuyun.

Bütün davamlı funksiyalar üçün antitörəmə mövcuddur. Həm də antitörəmə tez-tez sabit işarə əlavə olunur, çünki sabit ilə fərqlənən funksiyaların törəmələri üst-üstə düşür. İnteqralın tapılması prosesi inteqrasiya adlanır.

Sadə misal:

Elementar funksiyaların antitörəmələrini daim hesablamamaq üçün onları cədvələ qoymaq və hazır dəyərlərdən istifadə etmək rahatdır:

Müəyyən inteqral

İnteqral anlayışı ilə məşğul olarkən, biz sonsuz kiçik kəmiyyətlərlə məşğul oluruq. İnteqral bir fiqurun sahəsini, qeyri-bərabər bir cismin kütləsini, qeyri-bərabər hərəkət zamanı qət edilən məsafəni və daha çoxunu hesablamağa kömək edəcəkdir. Yadda saxlamaq lazımdır ki, inteqral sonsuz sayda sonsuz kiçik şərtlərin cəmidir.

Nümunə olaraq hansısa funksiyanın qrafikini təsəvvür edin. Funksiya qrafiki ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini necə tapmaq olar?

İnteqraldan istifadə edin! Koordinat oxları və funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşan əyrixətti trapesiyanı sonsuz kiçik seqmentlərə bölək. Bu şəkildə rəqəm nazik sütunlara bölünəcəkdir. Sütunların sahələrinin cəmi trapezoidin sahəsi olacaqdır. Ancaq unutmayın ki, belə bir hesablama təxmini nəticə verəcəkdir. Lakin seqmentlər nə qədər kiçik və dar olarsa, hesablama bir o qədər dəqiq olacaqdır. Onları uzunluq sıfıra enəcək qədər azaldsaq, seqmentlərin sahələrinin cəmi rəqəmin sahəsinə meyl edəcəkdir. Bu, müəyyən bir inteqraldır və belə yazılmışdır:

a və b nöqtələrinə inteqrasiyanın hədləri deyilir.

Bari Alibasov və "İnteqral" qrupu

Yeri gəlmişkən! Oxucularımız üçün artıq 10% endirim var

Dummiyalar üçün inteqralların hesablanması qaydaları

Qeyri-müəyyən inteqralın xassələri

Qeyri-müəyyən inteqralı necə həll etmək olar? Burada misalların həllində faydalı olacaq qeyri-müəyyən inteqralın xassələrinə baxacağıq.

İnteqralın törəməsi inteqrana bərabərdir:

Sabit inteqral işarəsi altından çıxarıla bilər:

Cəmin inteqralı inteqralların cəminə bərabərdir. Bu fərq üçün də doğrudur:

Müəyyən inteqralın xassələri

Xəttilik:

İnteqrasiya hədləri dəyişdirildikdə inteqralın işarəsi dəyişir:

At hər hansı xal a, b Və ilə:

Artıq müəyyən inteqralın cəminin həddi olduğunu öyrəndik. Bəs nümunəni həll edərkən konkret dəyəri necə əldə etmək olar? Bunun üçün Nyuton-Leybniz düsturu var:

İnteqralların həlli nümunələri

Aşağıda qeyri-müəyyən inteqralların tapılmasına dair bir neçə nümunəni nəzərdən keçirəcəyik. Sizi həllin incəliklərini özünüz anlamağa dəvət edirik və bir şey aydın deyilsə, şərhlərdə suallar verin.

Materialı möhkəmləndirmək üçün inteqralların praktikada necə həll edildiyi haqqında videoya baxın. İnteqral dərhal verilməzsə, ümidsiz olmayın. Soruşun və onlar sizə inteqralların hesablanması haqqında bildikləri hər şeyi söyləyəcəklər. Bizim köməyimizlə qapalı səth üzərində hər hansı üçlü və ya əyri inteqral sizin səlahiyyətinizdə olacaq.

Antiderivativ funksiyaları tapmaq üçün üç əsas qayda var. Onlar müvafiq fərqləndirmə qaydalarına çox oxşardırlar.

Qayda 1

Əgər F bəzi f funksiyası üçün antitörəmədirsə, G isə bəzi g funksiyası üçün antitörəmədirsə, onda F + G f + g üçün antitörəmə olacaqdır.

Antiderivativin tərifinə görə, F' = f. G' = g. Və bu şərtlər yerinə yetirildiyi üçün, funksiyaların cəmi üçün törəmənin hesablanması qaydasına uyğun olaraq əldə edəcəyik:

(F + G)' = F' + G' = f + g.

Qayda 2

Əgər F bəzi f funksiyası üçün antitörəmədirsə, k isə müəyyən sabitdir. Onda k*F k*f funksiyasının əks törəməsidir. Bu qayda mürəkkəb funksiyanın törəməsinin hesablanması qaydasından irəli gəlir.

Bizdə var: (k*F)’ = k*F’ = k*f.

Qayda 3

Əgər F(x) f(x) funksiyası üçün hansısa antitörəmədirsə və k və b bəzi sabitlərdirsə və k sıfıra bərabər deyilsə, onda (1/k)*F*(k*x+b) olacaq. f (k*x+b) funksiyası üçün antitörəmə.

Bu qayda mürəkkəb funksiyanın törəməsinin hesablanması qaydasından irəli gəlir:

((1/k)*F*(k*x+b))’ = (1/k)*F’(k*x+b)*k = f(k*x+b).

Bu qaydaların necə tətbiq olunduğuna dair bir neçə nümunəyə baxaq:

Misal 1. f(x) = x^3 +1/x^2 funksiyasının əks törəmələrinin ümumi formasını tapın. x^3 funksiyası üçün əks törəmələrdən biri (x^4)/4 funksiyası, 1/x^2 funksiyası üçün isə əks törəmələrdən biri -1/x funksiyası olacaqdır. Birinci qaydadan istifadə edərək, əldə edirik:

F(x) = x^4/4 - 1/x +C.

Misal 2. f(x) = 5*cos(x) funksiyasının əks törəmələrinin ümumi formasını tapaq. cos(x) funksiyası üçün antitörəmələrdən biri sin(x) funksiyası olacaqdır. İndi ikinci qaydadan istifadə etsək, əldə edəcəyik:

F(x) = 5*sin(x).

Misal 3. y = sin(3*x-2) funksiyasının əks törəmələrindən birini tapın. sin(x) funksiyası üçün antiderivativlərdən biri -cos(x) funksiyası olacaqdır. İndi üçüncü qaydadan istifadə etsək, antitörəmə üçün bir ifadə alırıq:

F(x) = (-1/3)*cos(3*x-2)

Misal 4. f(x) = 1/(7-3*x)^5 funksiyasının əks törəməsini tapın

1/x^5 funksiyasının əks törəməsi (-1/(4*x^4)) funksiyası olacaqdır. İndi üçüncü qaydadan istifadə edərək əldə edirik.

Gördük ki, törəmənin çoxsaylı istifadəsi var: törəmə hərəkət sürətidir (yaxud daha ümumi olaraq hər hansı prosesin sürəti); törəmə funksiyanın qrafikinə toxunan meylin mailliyidir; törəmədən istifadə edərək, bir funksiyanı monotonluq və ekstremallıq üçün yoxlaya bilərsiniz; törəmə optimallaşdırma problemlərini həll etməyə kömək edir.

Amma real həyatda biz tərs məsələləri də həll etməliyik: məsələn, məlum hərəkət qanununa görə sürəti tapmaq problemi ilə yanaşı, məlum sürətə görə hərəkət qanununu bərpa etmək problemi ilə də qarşılaşırıq. Bu problemlərdən birini nəzərdən keçirək.

Misal 1. Maddi nöqtə düz xəttlə hərəkət edir, onun t zamanındakı sürəti u = tg düsturu ilə verilir. Hərəkət qanununu tapın.

Həll.İstənilən hərəkət qanunu s = s(t) olsun. Məlumdur ki, s"(t) = u"(t). Bu o deməkdir ki, problemi həll etmək üçün seçmək lazımdır funksiyası s = s(t), törəməsi tg-ə bərabərdir. Bunu təxmin etmək çətin deyil

Dərhal qeyd edək ki, misal düzgün, lakin natamam həll olunub. Biz tapdıq ki, əslində problemin sonsuz sayda həlli var: formanın istənilən funksiyası ixtiyari sabit hərəkət qanunu kimi xidmət edə bilər, çünki

Tapşırığı daha konkret etmək üçün ilkin vəziyyəti düzəltmək lazım idi: müəyyən bir zamanda, məsələn, t=0-da hərəkət edən nöqtənin koordinatını göstərin. Tutaq ki, s(0) = s 0, onda bərabərlikdən s(0) = 0 + C, yəni S 0 = C alırıq. İndi hərəkət qanunu unikal şəkildə müəyyən edilmişdir:
Riyaziyyatda qarşılıqlı tərs əməllərə müxtəlif adlar verilir və xüsusi qeydlər icad edilir: məsələn, kvadratlaşdırma (x 2) və sinusun kvadrat kökünü götürmək (sinх) və arcsine(arcsin x) və s. Verilmiş funksiyanın törəməsinin tapılması prosesi diferensiallaşma adlanır və tərs əməliyyat, yəni. verilmiş törəmədən funksiyanın tapılması prosesi - inteqrasiya.
"Törəmə" termininin özünü "gündəlik həyatda" əsaslandırmaq olar: y - f(x) funksiyası yeni y"= f"(x) funksiyasını "doğur" funksiyası y = f(x) kimi çıxış edir "valideyn" , lakin riyaziyyatçılar, təbii olaraq, onu "valideyn" və ya "istehsalçı" adlandırmırlar, y"=f"(x) funksiyasına münasibətdə bunun əsas təsvir olduğunu deyirlər; qısa, antiderivativ.

Tərif 1. y = F(x) funksiyası verilmiş X intervalında y = f(x) funksiyası üçün antitörəmə adlanırsa, əgər X-dən bütün x üçün F"(x)=f(x) bərabərliyi yerinə yetirilirsə.

Təcrübədə X intervalı adətən göstərilmir, lakin nəzərdə tutulur (funksiyanın tərifinin təbii sahəsi kimi).

Budur bəzi nümunələr:

1) y = x 2 funksiyası y = 2x funksiyası üçün əks törəmədir, çünki bütün x üçün (x 2)" = 2x bərabərliyi doğrudur.
2) y - x 3 funksiyası y-3x 2 funksiyası üçün əks törəmədir, çünki bütün x üçün (x 3)" = 3x 2 bərabərliyi doğrudur.
3) y-sinх funksiyası y = cosx funksiyası üçün əks törəmədir, çünki bütün x üçün (sinx)" = cosx bərabərliyi doğrudur.
4) Bütün x > 0 üçün bərabərlik doğru olduğu üçün funksiya intervalda olan funksiya üçün əks törəmədir.
Ümumiyyətlə, törəmələrin tapılması üçün düsturları bilməklə, antitörəmələrin tapılması üçün düsturlar cədvəlini tərtib etmək çətin deyil.

Ümid edirik ki, bu cədvəlin necə tərtib edildiyini başa düşəcəksiniz: ikinci sütunda yazılan funksiyanın törəməsi birinci sütunun müvafiq cərgəsində yazılan funksiyaya bərabərdir (yoxlayın, tənbəl olmayın, çox faydalı). Məsələn, y = x 5 funksiyası üçün təyin edəcəyiniz antitörəmə funksiyadır (cədvəlin dördüncü sırasına baxın).

Qeydlər: 1. Aşağıda teoremi sübut edəcəyik ki, y = F(x) y = f(x) funksiyası üçün əks törəmədirsə, y = f(x) funksiyasının sonsuz sayda əks törəmələri var və onların hamısı y = formasına malikdir. F(x ) + C. Buna görə də C terminini cədvəlin ikinci sütununun hər yerinə əlavə etmək daha düzgün olardı, burada C ixtiyari real ədəddir.
2. Qısalıq üçün bəzən “y = F(x) funksiyası y = f(x) funksiyasının əks törəməsidir” ifadəsi əvəzinə F(x) f(x) funksiyasının əks törəməsidir deyirlər. .”

2. Antiderivativlərin tapılması qaydaları

Antiderivativləri taparkən, eləcə də törəmələri taparkən təkcə düsturlardan deyil (onlar səh. 196-da cədvəldə verilmişdir), həm də bəzi qaydalardan istifadə olunur. Onlar birbaşa törəmələrin hesablanması üçün müvafiq qaydalarla bağlıdır.

Biz bilirik ki, cəminin törəməsi onun törəmələrinin cəminə bərabərdir. Bu qayda antiderivativləri tapmaq üçün müvafiq qayda yaradır.

Qayda 1. Cəmin əks törəməsi antitörəmələrin cəminə bərabərdir.

Diqqətinizi bu formulun bir qədər “yüngüllüyünə” cəlb edirik. Əslində, teoremi tərtib etmək lazımdır: y = f(x) və y = g(x) funksiyalarının X intervalında müvafiq olaraq y-F(x) və y-G(x) antitörəmələri varsa, onda y funksiyalarının cəmidir. = f(x)+g(x) X intervalında antiderivativə malikdir və bu əks törəmə y = F(x)+G(x) funksiyasıdır. Ancaq adətən qaydaları tərtib edərkən (teoremləri deyil) yalnız buraxırlar açar sözlər- bu qaydanın praktikada tətbiqini daha rahat edir

Misal 2. y = 2x + cos x funksiyası üçün əks törəməni tapın.

Həll. 2x üçün əks törəmə x"; cox üçün antitörəmə sin x-dir. Bu o deməkdir ki, y = 2x + cos x funksiyası üçün əks törəmə y = x 2 + sin x funksiyası (və ümumiyyətlə formanın istənilən funksiyası) olacaqdır. Y = x 1 + sinx + C) .
Bilirik ki, daimi amil törəmənin işarəsindən çıxarıla bilər. Bu qayda antiderivativləri tapmaq üçün müvafiq qayda yaradır.

Qayda 2. Daimi amili antitörəmə işarəsindən çıxarmaq olar.

Misal 3.

Həll. a) sin x üçün əks törəmə -soz x-dir; Bu o deməkdir ki, y = 5 sin x funksiyası üçün əks törəmə funksiyası y = -5 cos x funksiyası olacaqdır.

b) cos x üçün antitörəmə sin x-dir; Bu o deməkdir ki, funksiyanın əks törəməsi funksiyadır
c) x 3 üçün əks törəmə x üçün əks törəmə, y = 1 funksiyası üçün əks törəmə y = x funksiyasıdır. Antitörəmələrin tapılması üçün birinci və ikinci qaydalardan istifadə edərək, y = 12x 3 + 8x-1 funksiyası üçün əks törəmənin funksiya olduğunu tapırıq.
Şərh. Məlum olduğu kimi, məhsulun törəməsi törəmələrin hasilinə bərabər deyil (məhsulu diferensiallaşdırmaq qaydası daha mürəkkəbdir) və hissənin törəməsi törəmələrin bölünməsinə bərabər deyil. Odur ki, hasilin əks törəməsinin və ya iki funksiyanın bölünməsinin əks törəməsinin tapılması qaydaları yoxdur. Ehtiyatlı olun!
Antiderivativləri tapmaq üçün başqa bir qayda əldə edək. y = f(kx+m) funksiyasının törəməsinin düsturla hesablandığını bilirik

Bu qayda antiderivativləri tapmaq üçün müvafiq qayda yaradır.
Qayda 3.Əgər y = F(x) y = f(x) funksiyası üçün əks törəmədirsə, y=f(kx+m) funksiyası üçün əks törəmə funksiyadır.

Əslində,

Bu o deməkdir ki, y = f(kx+m) funksiyası üçün əks törəmədir.
Üçüncü qaydanın mənası belədir. Əgər y = f(x) funksiyasının əks törəməsinin y = F(x) funksiyası olduğunu bilirsinizsə və y = f(kx+m) funksiyasının əks törəməsini tapmaq lazımdırsa, belə davam edin: götürün. eyni F funksiyası, lakin x arqumentinin yerinə kx+m ifadəsini əvəz edin; əlavə olaraq funksiya işarəsindən əvvəl “düzəliş əmsalı” yazmağı unutmayın
Misal 4. Verilmiş funksiyalar üçün əks törəmələri tapın:

Həll, a) sin x üçün əks törəmə -soz x-dir; Bu o deməkdir ki, y = sin2x funksiyası üçün antitörəmə funksiya olacaq
b) cos x üçün antitörəmə sin x-dir; Bu o deməkdir ki, funksiyanın əks törəməsi funksiyadır

c) x 7 üçün əks törəmə o deməkdir ki, y = (4-5x) 7 funksiyası üçün əks törəmə funksiya olacaq.

3. Qeyri-müəyyən inteqral

Yuxarıda qeyd etdik ki, verilmiş y = f(x) funksiyası üçün əks törəmənin tapılması məsələsinin birdən çox həlli var. Bu məsələni daha ətraflı müzakirə edək.

Sübut. 1. X intervalında y = f(x) funksiyasının əks törəməsi y = F(x) olsun. Bu o deməkdir ki, X-dən bütün x üçün x"(x) = f(x) bərabərliyi yerinə yetirilir. y = F(x)+C şəklində olan istənilən funksiyanın törəməsini tapın:
(F(x) +C) = F"(x) +C = f(x) +0 = f(x).

Beləliklə, (F(x)+C) = f(x). Bu o deməkdir ki, y = F(x) + C y = f(x) funksiyası üçün əks törəmədir.
Beləliklə, biz sübut etdik ki, y = f(x) funksiyasının y=F(x) əks törəməsi varsa, o zaman (f = f(x) funksiyasının sonsuz sayda əks törəmələri var, məsələn, y = formalı istənilən funksiya. F(x) +C antitörəmədir.
2. İndi sübut edək ki, göstərilən funksiya növü bütün əks törəmələr toplusunu tükəndirir.

X intervalında Y = f(x) funksiyası üçün y=F 1 (x) və y=F(x) iki əks törəmə olsun. Bu o deməkdir ki, X intervalından bütün x üçün aşağıdakı əlaqələr saxlanılır: F^ ( x) = f (X); F"(x) = f(x).

y = F 1 (x) -.F(x) funksiyasını nəzərdən keçirək və onun törəməsini tapaq: (F, (x) -F(x))" = F[(x)-F(x) = f(x) ) - f(x) = 0.
Məlumdur ki, əgər funksiyanın X intervalında törəməsi eyni şəkildə sıfıra bərabərdirsə, onda funksiya X intervalında sabitdir (35-ci bənddən 3-cü teoremə bax). Bu o deməkdir ki, F 1 (x) - F (x) = C, yəni. Fx) = F(x)+C.

Teorem sübut edilmişdir.

Misal 5. Sürətin zamanla dəyişməsi qanunu verilmişdir: v = -5sin2t. t=0 zamanında nöqtənin koordinatının 1,5 ədədinə bərabər olduğu (yəni s(t) = 1,5) olduğu məlumdursa, s = s(t) hərəkət qanununu tapın.

Həll. Sürət zaman funksiyası kimi koordinatın törəməsi olduğundan, ilk növbədə sürətin əks törəməsini tapmalıyıq, yəni. v = -5sin2t funksiyası üçün əks törəmə. Belə antitörəmələrdən biri funksiyadır və bütün antiderivativlər çoxluğu formaya malikdir:

C sabitinin xüsusi qiymətini tapmaq üçün s(0) = 1,5 olan ilkin şərtlərdən istifadə edirik. t=0, S = 1.5 dəyərlərini (1) düsturu ilə əvəz edərək, əldə edirik:

C-nin tapılmış qiymətini (1) düsturu ilə əvəz edərək, bizi maraqlandıran hərəkət qanununu əldə edirik:

Tərif 2.Əgər y = f(x) funksiyası X intervalında y = F(x) antitörəmə malikdirsə, onda bütün əks törəmələr çoxluğu, yəni. y = F(x) + C şəklində olan funksiyalar çoxluğuna y = f(x) funksiyasının qeyri-müəyyən inteqralı deyilir və belə işarə olunur:

(oxu: “x de x-dən qeyri-müəyyən inteqral ef”).
Növbəti abzasda nə olduğunu öyrənəcəyik gizli məna göstərilən təyinat.
Bu bölmədə mövcud olan antiderivativlər cədvəlinə əsasən, biz əsas qeyri-müəyyən inteqralların cədvəlini tərtib edəcəyik:

Antiderivativləri tapmaq üçün yuxarıda göstərilən üç qaydaya əsaslanaraq, müvafiq inteqrasiya qaydalarını tərtib edə bilərik.

Qayda 1. Funksiyaların cəminin inteqralı bu funksiyaların inteqrallarının cəminə bərabərdir:

Qayda 2. Daimi amil inteqral işarəsindən çıxarıla bilər:

Qayda 3.Əgər

Misal 6. Qeyri-müəyyən inteqralları tapın:

Həll, a) Birinci və ikinci inteqrasiya qaydalarından istifadə edərək, əldə edirik:

İndi 3-cü və 4-cü inteqrasiya düsturlarından istifadə edək:

Nəticədə əldə edirik:

b) Üçüncü inteqrasiya qaydasından və 8-ci düsturdan istifadə edərək əldə edirik:

c) Verilmiş inteqralı birbaşa tapmaq üçün nə uyğun düstur, nə də müvafiq qayda var. Belə hallarda, bəzən inteqral işarəsi altında olan ifadənin əvvəllər yerinə yetirilən eyni çevrilmələri kömək edir.