FEDERAL TƏHSİL Agentliyi
DÖVLƏT TƏHSİL MÜƏSSİSƏSİ
ALİ İXTİSAS TƏHSİL
"VORONEJ DÖVLƏT PEDAQOJİ UNİVERSİTETİ"
AGLEBRA VƏ HƏNDƏSİ BÖLÜMƏSİ
Kompleks ədədlər
(seçilmiş tapşırıqlar)
MƏZUNİYYƏT İŞİ
050201.65 riyaziyyat ixtisası
(050202.65 informatika əlavə ixtisası ilə)
Tamamladı: 5-ci kurs tələbəsi
fiziki və riyazi
fakültə
Elmi məsləhətçi:
VORONEJ - 2008
1. Giriş……………………………………………………...…………..…
2. Kompleks ədədlər (seçilmiş məsələlər)
2.1. Kompleks ədədlər cəbri forma….……...……….….
2.2. Kompleks ədədlərin həndəsi şərhi………………
2.3. Kompleks ədədlərin triqonometrik forması
2.4. Kompleks ədədlər nəzəriyyəsinin 3-cü və 4-cü dərəcəli tənliklərin həllinə tətbiqi……………………………………………………………………
2.5. Kompleks ədədlər və parametrlər…………………………………………
3. Nəticə…………………………………………………………………………….
4. İstinadların siyahısı…………………………………………………
1. Giriş
Riyaziyyat proqramında məktəb kursuədədlər nəzəriyyəsi natural ədədlər, tam ədədlər, rasional, irrasionallar, i.ə. çoxluq nümunələrindən istifadə etməklə təqdim edilir. təsvirləri bütün say xəttini dolduran həqiqi ədədlər toplusunda. Ancaq onsuz da 8-ci sinifdə mənfi diskriminantla kvadrat tənlikləri həll edən həqiqi ədədlərin kifayət qədər təchizatı yoxdur. Buna görə də, həqiqi ədədlərin ehtiyatını kompleks ədədlərin köməyi ilə doldurmaq lazım idi, bunun üçün kvadrat kökü mənfi rəqəm mənası var.
Məzuniyyət mövzum kimi “Kompleks ədədlər” mövzusunu seçmək ixtisas işi, mürəkkəb ədəd anlayışının tələbələrin say sistemləri, həm cəbri, həm də həndəsi məzmunlu geniş sinif məsələlərin həlli, həlli haqqında biliklərini genişləndirməsidir. cəbri tənliklər istənilən dərəcə və parametrlərlə bağlı problemlərin həlli haqqında.
Bu tezis 82 problemin həllini araşdırır.
"Kompleks nömrələr" əsas bölməsinin birinci hissəsində problemlərin həlli var mürəkkəb ədədlər cəbri formada toplama, çıxma, vurma, bölmə əməliyyatları, cəbri formada mürəkkəb ədədlər üçün birləşmə əməliyyatı, xəyali vahidin gücü, kompleks ədədin modulu müəyyən edilir, çıxarma qaydası da ifadə edilir. kvadrat kök kompleks ədəddən.
İkinci hissədə kompleks müstəvinin nöqtələri və ya vektorları şəklində kompleks ədədlərin həndəsi şərhinə dair məsələlər həll edilir.
Üçüncü hissədə triqonometrik formada kompleks ədədlər üzərində əməliyyatlar araşdırılır. İstifadə olunan düsturlar bunlardır: Moivre və kompleks ədədin kökünün çıxarılması.
Dördüncü hissə 3-cü və 4-cü dərəcəli tənliklərin həllinə həsr edilmişdir.
“Mürəkkəb ədədlər və parametrlər” adlı sonuncu hissədəki məsələlərin həlli zamanı əvvəlki hissələrdə verilmiş məlumatlardan istifadə edilir və birləşdirilir. Fəsildəki bir sıra məsələlər parametrli tənliklər (bərabərsizliklər) ilə müəyyən edilmiş mürəkkəb müstəvidə xətlərin ailələrinin müəyyən edilməsinə həsr edilmişdir. Təlimlərin bir hissəsində parametrli tənlikləri həll etməlisiniz (C sahəsi üzərində). Mürəkkəb dəyişənin eyni vaxtda bir sıra şərtləri ödədiyi vəzifələr var. Bu bölmədə məsələlərin həllinin xüsusi bir xüsusiyyəti onların çoxunun ikinci dərəcəli, irrasional, parametrli triqonometrik tənliklərin (bərabərsizliklərin, sistemlərin) həllinə endirilməsidir.
Hər bir hissədə materialın təqdimatının bir xüsusiyyəti ilkin girişdir nəzəri əsaslar, və sonradan onların problemlərin həllində praktiki tətbiqi.
Sonda tezis istifadə olunan ədəbiyyatın siyahısı təqdim olunur. Onların əksəriyyəti nəzəri materialı kifayət qədər ətraflı və əlçatan şəkildə təqdim edir, bəzi problemlərin həlli yollarını nəzərdən keçirir və praktiki tapşırıqlarüçün müstəqil qərar. Xüsusi diqqət kimi mənbələrə istinad etmək istərdim:
1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova İ.V. Kompleks ədədlər və onların tətbiqi: Dərslik. . Material tədris vəsaiti mühazirə və praktiki məşğələlər şəklində təqdim olunur.
2. Şklyarski D.O., Çentsov N.N., Yaqlom İ.M. Elementar riyaziyyatın seçilmiş məsələləri və teoremləri. Arifmetika və cəbr. Kitabda cəbr, arifmetika və ədədlər nəzəriyyəsinə aid 320 məsələ var. Bu tapşırıqlar xaraktercə standart məktəb tapşırıqlarından əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənir.
2. Kompleks ədədlər (seçilmiş məsələlər)
2.1. Cəbri formada mürəkkəb ədədlər
Riyaziyyat və fizikada bir çox problemlərin həlli cəbri tənliklərin həllinə gəlir, yəni. formanın tənlikləri
,burada a0, a1, …, an həqiqi ədədlərdir. Buna görə də cəbri tənliklərin öyrənilməsi bunlardan biridir kritik məsələlər riyaziyyatda. Məsələn, ilə kvadrat tənlik mənfi diskriminant. Ən sadə belə tənlik tənlikdir
.Bu tənliyin həlli üçün ona tənliyin kökünü əlavə etməklə həqiqi ədədlər çoxluğunu genişləndirmək lazımdır.
.Bu kökü ilə işarə edək
. Beləliklə, tərifə görə, və ya,deməli,
. xəyali vahid adlanır. Onun köməyi ilə və bir cüt həqiqi ədədin köməyi ilə formanın ifadəsi tərtib edilir.Əldə edilən ifadə həm həqiqi, həm də xəyali hissələrdən ibarət olduğuna görə mürəkkəb ədədlər adlanırdı.
Beləliklə, mürəkkəb ədədlər formanın ifadəsidir
, və həqiqi ədədlərdir və şərti ödəyən müəyyən simvoldur. Rəqəm kompleks ədədin həqiqi hissəsi adlanır, ədəd isə onun xəyali hissəsidir. , simvolları onları ifadə etmək üçün istifadə olunur.Formanın mürəkkəb nömrələri
həqiqi ədədlərdir və buna görə də kompleks ədədlər çoxluğuna həqiqi ədədlər çoxluğu daxildir. Formanın mürəkkəb nömrələri
sırf xəyali adlanır. Formanın iki mürəkkəb ədədi və onların həqiqi və xəyali hissələri bərabər olduqda bərabər deyilir, yəni. bərabərlik olarsa, .Mürəkkəb ədədlərin cəbri qeydi cəbrin adi qaydalarına uyğun olaraq onlar üzərində əməliyyatlar aparmağa imkan verir.
Kompleks ədədlərlə problemləri həll etmək üçün əsas tərifləri başa düşməlisiniz. Bu baxış məqaləsinin əsas məqsədi kompleks ədədlərin nə olduğunu izah etmək və kompleks ədədlərlə əsas məsələlərin həlli üsullarını təqdim etməkdir. Beləliklə, mürəkkəb ədəd formanın nömrəsi adlanacaqdır z = a + bi, Harada a, b- mürəkkəb ədədin müvafiq olaraq həqiqi və xəyali hissələri adlanan və işarə edən həqiqi ədədlər a = Re(z), b=Im(z).
i xəyali vahid adlanır. i 2 = -1. Xüsusilə, hər hansı bir real ədəd mürəkkəb hesab edilə bilər: a = a + 0i, harada a realdır. Əgər a = 0 Və b ≠ 0, onda ədəd adətən sırf xəyali adlanır.
İndi kompleks ədədlər üzərində əməliyyatları təqdim edək.
İki mürəkkəb ədədi nəzərdən keçirək z 1 = a 1 + b 1 i Və z 2 = a 2 + b 2 i.
Gəlin nəzərdən keçirək z = a + bi.
Kompleks ədədlər çoxluğu həqiqi ədədlər çoxluğunu genişləndirir, bu da öz növbəsində çoxluğu genişləndirir rasional ədədlər və s. Bu investisiya zəncirini şəkildə görmək olar: N – tam ədədlər, Z - tam ədədlər, Q - rasional, R - real, C - kompleks. 
Kompleks ədədlərin təsviri
Cəbri qeyd.
Kompleks ədədi nəzərdən keçirək z = a + bi, mürəkkəb ədədin yazılmasının bu forması deyilir cəbri. Bu qeyd formasını əvvəlki bölmədə ətraflı müzakirə etdik. Aşağıdakı vizual rəsm olduqca tez-tez istifadə olunur 
Triqonometrik forma.
Şəkildən görünür ki, rəqəm z = a + bi fərqli yazmaq olar. Aydındır ki a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, deməli z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
mürəkkəb ədədin arqumenti adlanır. Kompleks ədədin bu təsviri adlanır triqonometrik forma. Qeydlərin triqonometrik forması bəzən çox rahat olur. Məsələn, mürəkkəb ədədi tam ədədə qaldırmaq üçün istifadə etmək rahatdır, yəni əgər z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Bu z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, bu düstur deyilir Moivre düsturu.
Nümayiş forması.
Gəlin nəzərdən keçirək z = rcos(φ) + rsin(φ)i- triqonometrik formada kompleks ədəd, başqa formada yazın z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, axırıncı bərabərlik Eyler düsturundan gəlir, ona görə də alırıq yeni forma mürəkkəb ədədlərin qeydi: z = yenidən iφ, adlanır göstərici. Bu qeyd forması mürəkkəb ədədi gücə çatdırmaq üçün də çox əlverişlidir: z n = r n e inφ, Burada n mütləq tam ədəd deyil, ixtiyari real ədəd ola bilər. Bu qeyd forması çox vaxt problemləri həll etmək üçün istifadə olunur.
Ali cəbrin əsas teoremi
Təsəvvür edək ki, bizim x 2 + x + 1 = 0 kvadrat tənliyimiz var. Aydındır ki, bu tənliyin diskriminantı mənfidir və onun həqiqi kökləri yoxdur, lakin məlum olur ki, bu tənliyin iki müxtəlif mürəkkəb kökü var. Deməli, ali cəbrin əsas teoremində deyilir ki, hər hansı n dərəcəli çoxhədlinin ən azı bir kompleks kökü var. Buradan belə nəticə çıxır ki, hər hansı n dərəcəli çoxhədlinin çoxluğu nəzərə alınmaqla tam n mürəkkəb kök var. Bu teorem riyaziyyatda çox mühüm nəticədir və geniş istifadə olunur. Bu teoremin sadə nəticəsi ondan ibarətdir ki, tam olaraq n var müxtəlif köklər birlik dərəcəsi n.
Tapşırıqların əsas növləri
Bu bölmə əsas növləri əhatə edəcəkdir sadə tapşırıqlar kompleks ədədlərə. Şərti olaraq, kompleks ədədlərlə bağlı məsələləri aşağıdakı kateqoriyalara bölmək olar.
- Mürəkkəb ədədlər üzərində sadə arifmetik əməllərin yerinə yetirilməsi.
- Kompleks ədədlərdə çoxhədlilərin köklərinin tapılması.
- Kompleks ədədləri güclərə yüksəltmək.
- Kompleks ədədlərdən köklərin çıxarılması.
- Digər məsələləri həll etmək üçün kompleks ədədlərdən istifadə.
İndi düşünək ümumi texnikalar bu problemlərin həlli yolları.
Mürəkkəb ədədlərlə ən sadə hesab əməliyyatları birinci bölmədə təsvir olunan qaydalara əsasən yerinə yetirilir, lakin əgər mürəkkəb ədədlər triqonometrik və ya eksponensial formalarda təqdim olunursa, bu halda siz onları cəbri formaya çevirə və məlum qaydalara uyğun əməliyyatlar yerinə yetirə bilərsiniz.
Çoxhədlilərin köklərinin tapılması adətən kvadrat tənliyin köklərinin tapılması ilə nəticələnir. Tutaq ki, kvadrat tənliyimiz var, onun diskriminantı mənfi deyilsə, onun kökləri həqiqi olacaq və məlum düstura görə tapıla bilər. Diskriminant mənfi olarsa, yəni D = -1∙a 2, Harada a müəyyən bir ədəddir, onda diskriminant kimi təmsil oluna bilər D = (ia) 2, deməli √D = i|a|, və sonra istifadə edə bilərsiniz tanınmış formula kvadrat tənliyin kökləri üçün.
Misal. Yuxarıda qeyd olunanlara qayıdaq. kvadrat tənlik x 2 + x + 1 = 0 .
Diskriminant - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
İndi kökləri asanlıqla tapa bilərik: 
Mürəkkəb ədədləri güclərə yüksəltmək bir neçə yolla edilə bilər. Əgər cəbri formada mürəkkəb bir ədədi kiçik bir gücə (2 və ya 3) qaldırmaq lazımdırsa, bunu birbaşa vurma yolu ilə edə bilərsiniz, lakin güc daha böyükdürsə (problemlərdə çox vaxt daha böyükdür), onda siz bunu etməlisiniz. bu ədədi triqonometrik və ya eksponensial formalarda yazın və artıq məlum olan üsullardan istifadə edin.
Misal. z = 1 + i hesab edin və onu onuncu gücə qaldırın.
z-i eksponensial formada yazaq: z = √2 e iπ/4.
Sonra z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Cəbri formaya qayıdaq: z 10 = -32i.
Kompleks ədədlərdən köklərin çıxarılması eksponentasiyanın tərs əməliyyatıdır və buna görə də oxşar şəkildə yerinə yetirilir. Kökləri çıxarmaq üçün tez-tez nömrə yazmağın eksponensial formasından istifadə olunur.
Misal. Vəhdət 3-cü dərəcənin bütün köklərini tapaq. Bunun üçün z 3 = 1 tənliyinin bütün köklərini tapacağıq, kökləri eksponensial formada axtaracağıq.
Tənliyə əvəz edək: r 3 e 3iφ = 1 və ya r 3 e 3iφ = e 0 .
Deməli: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, buna görə də φ = 2πk/3.
φ = 0, 2π/3, 4π/3-də müxtəlif köklər alınır.
Buna görə də 1, e i2π/3, e i4π/3 köklərdir.
Və ya cəbri formada: 
Sonuncu növ problemlərə çoxlu sayda problemlər daxildir və onların həlli üçün ümumi üsullar yoxdur. Belə bir tapşırığın sadə bir nümunəsini verək:
Məbləği tapın günah(x) + günah(2x) + günah(2x) + … + günah(nx).
Bu məsələnin tərtibi mürəkkəb ədədləri əhatə etməsə də, onların köməyi ilə asanlıqla həll edilə bilər. Bunu həll etmək üçün aşağıdakı təsvirlərdən istifadə olunur: 
İndi bu təsviri cəmi ilə əvəz etsək, problem adi həndəsi irəliləyişin cəmlənməsinə qədər azalır.
Nəticə
Mürəkkəb ədədlər riyaziyyatda geniş istifadə olunur, bu icmal məqaləsində kompleks ədədlər üzərində əsas əməliyyatlar araşdırılmış, bir neçə növ standart məsələ təsvir edilmiş və qısa təsvir edilmişdir. ümumi üsullar onların həlləri, mürəkkəb ədədlərin imkanlarını daha ətraflı öyrənmək üçün xüsusi ədəbiyyatdan istifadə etmək tövsiyə olunur.
Ədəbiyyat
Tənliklərdən istifadə həyatımızda geniş yayılmışdır. Onlar bir çox hesablamalarda, strukturların tikintisində və hətta idmanda istifadə olunur. İnsan qədim zamanlarda tənliklərdən istifadə edirdi və o vaxtdan bəri onların istifadəsi yalnız artmışdır. Aydınlıq üçün aşağıdakı problemi həll edək:
Əgər \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] hesablayın
Əvvəlcə bir ədədin cəbri, digərinin isə triqonometrik formada təqdim olunmasına diqqət yetirək. Onu sadələşdirmək və aşağıdakı formaya gətirmək lazımdır
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
\ ifadəsi deyir ki, ilk növbədə Moivre düsturundan istifadə edərək vurma və 10-cu dərəcəyə yüksəltmə edirik. Bu düstur kompleks ədədin triqonometrik forması üçün tərtib edilmişdir. Biz əldə edirik:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
Triqonometrik formada mürəkkəb ədədləri vurma qaydalarına əməl edərək aşağıdakıları edirik:
Bizim vəziyyətimizdə:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
\[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] kəsrini düzgün etməklə belə nəticəyə gəlirik ki, 4 döngəni \[(8\pi rad.) “bura” bilərik: \]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]
Cavab: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
Bu tənliyi başqa bir şəkildə həll etmək olar, bu da 2-ci ədədi cəbri formaya gətirmək, sonra cəbri formada vurma yerinə yetirmək, nəticəni triqonometrik formaya çevirmək və Moivre düsturunu tətbiq etməkdən ibarətdir:
Mürəkkəb ədədləri olan tənliklər sistemini onlayn olaraq harada həll edə bilərəm?
Tənliklər sistemini https://site saytımızda həll edə bilərsiniz. Pulsuz onlayn həlledici hər hansı bir mürəkkəbliyin onlayn tənliklərini bir neçə saniyə ərzində həll etməyə imkan verəcəkdir. Etməli olduğunuz şey sadəcə məlumatlarınızı həllediciyə daxil etməkdir. Siz həmçinin veb saytımızda video təlimatlarına baxa və tənliyi necə həll edəcəyinizi öyrənə bilərsiniz. Hələ suallarınız varsa, onları VKontakte qrupumuzda http://vk.com/pocketteacher soruşa bilərsiniz. Qrupumuza qoşulun, sizə kömək etməkdən hər zaman şad olarıq.
