Rəqəmsal xüsusiyyətlər arasında təsadüfi dəyişənlər ilk növbədə təsadüfi dəyişənin ədədi oxda mövqeyini xarakterizə edənləri qeyd etmək lazımdır, yəni. təsadüfi dəyişənin bütün mümkün qiymətlərinin qruplaşdırıldığı bəzi orta, təxmini dəyəri göstərin.
Təsadüfi dəyişənin orta qiyməti, onun "nümayəndəsi" olan və onu təxminən təxmini hesablamalarda əvəz edən müəyyən bir ədəddir. "Çıraqın orta işləmə müddəti 100 saatdır" və ya "orta təsir nöqtəsi hədəfə nisbətən 2 m sağa sürüşdürülür" dedikdə, təsadüfi dəyişənin yerini təsvir edən müəyyən bir ədədi xarakteristikasını göstəririk. ədədi oxda, yəni. "Mövqe xüsusiyyətləri".
Ehtimal nəzəriyyəsində mövqenin xüsusiyyətlərindən mühüm rol təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini oynayır, buna bəzən sadəcə təsadüfi dəyişənin orta qiyməti deyilir.
Ehtimalları olan mümkün dəyərlərə malik diskret təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirək. Bu dəyərlərin müxtəlif ehtimallara malik olduğunu nəzərə alaraq, təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin x oxundakı mövqeyini bəzi rəqəmlərlə xarakterizə etməliyik. Bu məqsədlə qiymətlərin “çəkili orta” adlanandan istifadə edilməsi təbiidir və orta hesablama zamanı hər bir dəyər bu dəyərin ehtimalına mütənasib “çəki” ilə nəzərə alınmalıdır. Beləliklə, təsadüfi dəyişənin ortasını hesablayacağıq, onu aşağıdakılarla işarələyəcəyik:
və ya bunu nəzərə alaraq,
. (5.6.1)
Bu çəkili orta təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi adlanır. Beləliklə, biz ehtimal nəzəriyyəsinin ən vacib anlayışlarından birini - konsepsiyanı nəzərdən keçirdik riyazi gözlənti.
Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərinin məhsullarının və bu dəyərlərin ehtimallarının cəmidir.
Qeyd edək ki, yuxarıdakı tənzimləmədə riyazi gözləntilərin tərifi, ciddi şəkildə desək, yalnız diskret təsadüfi dəyişənlər üçün etibarlıdır; Aşağıda bu anlayışı davamlı kəmiyyətlər halına ümumiləşdirəcəyik.
Riyazi gözlənti anlayışının daha aydın olması üçün diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanmasının mexaniki şərhinə müraciət edək. Absis oxunda müvafiq olaraq kütlələrin cəmləşdiyi absisləri olan nöqtələr olsun və . Onda aydındır ki, (5.6.1) düsturu ilə müəyyən edilən riyazi gözlənti verilmiş maddi nöqtələr sisteminin ağırlıq mərkəzinin absisindən başqa bir şey deyildir.
Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi çox sayda təcrübədə təsadüfi dəyişənin müşahidə olunan dəyərlərinin arifmetik ortası ilə özünəməxsus bir asılılıq ilə əlaqələndirilir. Bu asılılıq tezlik və ehtimal arasındakı asılılıqla eyni tipdədir, yəni: çox sayda təcrübə ilə təsadüfi dəyişənin müşahidə dəyərlərinin arifmetik ortası onun riyazi gözləntisinə yaxınlaşır (ehtimalda birləşir). Tezlik və ehtimal arasında əlaqənin mövcudluğundan nəticə etibarı ilə arifmetik orta ilə riyazi gözlənti arasında oxşar əlaqənin mövcudluğunu çıxarmaq olar.
Həqiqətən, paylama seriyası ilə xarakterizə olunan diskret təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirin:
Harada 
.
Hər birində kəmiyyət müəyyən bir dəyər alan müstəqil təcrübələr aparılsın. Tutaq ki, dəyər bir dəfə, dəyər bir dəfə, dəyər isə bir dəfə meydana çıxdı. Aydındır ki,
Riyazi gözləntidən fərqli olaraq qeyd etdiyimiz kəmiyyətin müşahidə olunan dəyərlərinin arifmetik ortasını hesablayaq:
Amma hadisənin tezliyindən (və ya statistik ehtimalından) başqa heç nə yoxdur; bu tezlik təyin edilə bilər. Sonra
,
olanlar. təsadüfi dəyişənin müşahidə olunan dəyərlərinin arifmetik ortası təsadüfi dəyişənin bütün mümkün qiymətlərinin və bu dəyərlərin tezliklərinin məhsullarının cəminə bərabərdir.
Təcrübələrin sayı artdıqca tezliklər müvafiq ehtimallara yaxınlaşacaq (ehtimalda yaxınlaşacaq). Nəticə etibarilə, təcrübələrin sayı artdıqca təsadüfi dəyişənin müşahidə edilən dəyərlərinin arifmetik ortası onun riyazi gözləntilərinə yaxınlaşacaq (ehtimalla yaxınlaşacaq).
Arifmetik orta ilə riyazi gözlənti arasında yuxarıda ifadə olunmuş əlaqə qanunun formalarından birinin məzmununu təşkil edir. böyük rəqəmlər. Biz 13-cü fəsildə bu qanunun ciddi sübutunu verəcəyik.
Biz artıq bilirik ki, böyük ədədlər qanununun bütün formaları bəzi ortaların çoxlu sayda təcrübədə sabit olduğunu bildirir. Burada söhbət eyni kəmiyyətin bir sıra müşahidələrindən arifmetik ortanın sabitliyindən gedir. Az sayda təcrübə ilə onların nəticələrinin arifmetik ortası təsadüfi olur; eksperimentlərin sayının kifayət qədər artması ilə "demək olar ki, qeyri-təsadüfi" olur və sabitləşərək sabit bir dəyərə - riyazi gözləntiyə yaxınlaşır.
Çox sayda təcrübə üzərində orta göstəricilərin sabitliyi eksperimental olaraq asanlıqla yoxlanıla bilər. Məsələn, laboratoriyada cəsədi dəqiq tərəzilərdə çəkərkən, çəkmə nəticəsində hər dəfə yeni qiymət alırıq; Müşahidə xətasını azaltmaq üçün bədəni bir neçə dəfə çəkirik və alınan dəyərlərin arifmetik ortasından istifadə edirik. Təcrübələrin (çəkilərin) sayının daha da artması ilə arifmetik ortanın bu artıma getdikcə daha az reaksiya verdiyini və kifayət qədər çox sayda təcrübə ilə praktiki olaraq dəyişməyi dayandırdığını görmək asandır.
Riyazi gözlənti üçün düstur (5.6.1) diskret təsadüfi dəyişən halına uyğundur. üçün davamlı dəyər riyazi gözlənti, təbii olaraq, cəmi kimi deyil, inteqral kimi ifadə edilir:
, (5.6.2)
kəmiyyətin paylanma sıxlığı haradadır.
Formula (5.6.2) onda olan fərdi qiymətlər davamlı dəyişən x parametri ilə, müvafiq ehtimallar - ehtimal elementi ilə, yekun cəmi isə inteqralla əvəz edildikdə (5.6.1) düsturundan alınır. Gələcəkdə biz kəsikli kəmiyyətlər üçün alınan düsturları davamlı kəmiyyətlər halına genişləndirmək üçün bu üsuldan tez-tez istifadə edəcəyik.
Mexanik şərhdə davamlı təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi eyni mənanı saxlayır - kütlə absis boyunca davamlı olaraq, sıxlıqla paylandıqda ağırlıq mərkəzinin absisi . Bu şərh çox vaxt sadə mexaniki mülahizələrdən inteqralı (5.6.2) hesablamadan riyazi gözləntiləri tapmağa imkan verir.
Yuxarıda kəmiyyətin riyazi gözləntiləri üçün qeydlər təqdim etdik. Bir sıra hallarda, kəmiyyət düsturlara müəyyən bir rəqəm kimi daxil edildikdə, onu bir hərflə qeyd etmək daha rahatdır. Bu hallarda bir dəyərin riyazi gözləntisini aşağıdakılarla ifadə edəcəyik:
Qeydlər və riyazi gözləntilər düsturların xüsusi qeydinin rahatlığından asılı olaraq gələcəkdə paralel olaraq istifadə olunacaq. Lazım gələrsə, “riyazi gözlənti” sözlərini m.o hərfləri ilə ixtisar etməyə də razılaşaq.
Qeyd etmək lazımdır ki ən mühüm xüsusiyyət müddəalar - riyazi gözlənti - bütün təsadüfi dəyişənlər üçün mövcud deyil. Müvafiq cəm və ya inteqral ayrıldığı üçün riyazi gözləntiləri olmayan belə təsadüfi dəyişənlərə misallar tərtib etmək mümkündür.
Məsələn, paylama seriyası olan fasiləsiz təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirək:
Bunu yoxlamaq asandır, yəni. paylama seriyası məna kəsb edir; lakin məbləği bu halda ayrılır və buna görə də dəyərin riyazi gözləntisi yoxdur. Bununla belə, bu cür hallar təcrübə üçün o qədər də maraqlı deyil. Adətən məşğul olduğumuz təsadüfi dəyişənlər məhdud sahəyə malikdir mümkün dəyərlər və təbii ki, riyazi bir gözləntiniz var.
Yuxarıda fasiləsiz və davamlı təsadüfi dəyişən üçün müvafiq olaraq riyazi gözləntiləri ifadə edən (5.6.1) və (5.6.2) düsturları verdik.
Əgər kəmiyyət qarışıq tipli kəmiyyətlərə aiddirsə, onun riyazi gözləntisi aşağıdakı formanın düsturu ilə ifadə edilir:
, (5.6.3)
burada cəm paylanma funksiyasının kəsildiyi bütün nöqtələrə, inteqral isə paylanma funksiyasının fasiləsiz olduğu bütün sahələrə şamil edilir.
Mövqenin ən mühüm xüsusiyyətlərindən - riyazi gözləntidən əlavə, praktikada bəzən mövqenin digər xüsusiyyətlərindən, xüsusən də təsadüfi dəyişənin rejimi və mediandan istifadə olunur.
Təsadüfi dəyişənin rejimi onun ən çox ehtimal olunan qiymətidir. “Ən çox ehtimal olunan dəyər” termini, qəti desək, yalnız fasiləsiz kəmiyyətlərə aiddir; davamlı kəmiyyət üçün rejim ehtimal sıxlığının maksimum olduğu dəyərdir. Gəlin rejimi hərflə qeyd etməyə razılaşaq. Şəkildə. 5.6.1 və 5.6.2 müvafiq olaraq fasiləsiz və davamlı təsadüfi dəyişənlər üçün rejimi göstərir.
Əgər paylama poliqonunda (paylanma əyrisi) birdən çox maksimum varsa, paylanma “multimodal” adlanır (şək. 5.6.3 və 5.6.4).
Bəzən maksimumdan çox ortada minimum olan paylamalar var (şək. 5.6.5 və 5.6.6). Belə paylamalar “antimodal” adlanır. Antimodal paylanma nümunəsi 5-ci Nümunə, n° 5.1-də əldə edilən paylanmadır.
IN ümumi hal təsadüfi dəyişənin rejimi və riyazi gözləntisi üst-üstə düşmür. Xüsusi halda, paylanma simmetrik və modal olduqda (yəni rejimi var) və riyazi gözlənti olduqda, o zaman paylanmanın simmetriya rejimi və mərkəzi ilə üst-üstə düşür.
Başqa bir mövqe xarakteristikasından tez-tez istifadə olunur - təsadüfi dəyişənin sözdə medianı. Bu xarakteristika adətən yalnız fasiləsiz təsadüfi dəyişənlər üçün istifadə olunur, baxmayaraq ki, o, fasiləsiz dəyişən üçün formal olaraq müəyyən edilə bilər.
Təsadüfi dəyişənin medianı onun dəyəridir
olanlar. təsadüfi dəyişənin -dən kiçik və ya ondan böyük olması eyni dərəcədə ehtimal olunur. Həndəsi olaraq median paylanma əyrisi ilə məhdudlaşan sahənin yarıya bölündüyü nöqtənin absisidir (şək. 5.6.7).
Riyazi gözlənti. Riyazi gözlənti diskret təsadüfi dəyişən X, sonlu sayda dəyərlər alaraq Xi ehtimallarla ri, məbləğ deyilir:
Riyazi gözlənti davamlı təsadüfi dəyişən X qiymətlərinin hasilinin inteqralı adlanır X ehtimalın paylanması sıxlığı üzrə f(x):
(6b)
Yanlış inteqral (6 b) mütləq konvergent olduğu qəbul edilir (əks halda riyazi gözləntilərin M(X) mövcud deyil). Riyazi gözlənti səciyyələndirir orta dəyər təsadüfi dəyişən X. Onun ölçüsü təsadüfi dəyişənin ölçüsü ilə üst-üstə düşür.
Riyazi gözləmənin xüsusiyyətləri:
Dispersiya. Fərqlilik təsadüfi dəyişən X nömrə deyilir:
Fərqlilikdir səpilmə xüsusiyyəti təsadüfi dəyişənlərin dəyərləri X onun orta dəyərinə nisbətən M(X). Dispersiya ölçüsü təsadüfi dəyişənin kvadratına bərabərdir. Diskret təsadüfi dəyişən üçün dispersiya (8) və riyazi gözlənti (5) və fasiləsiz təsadüfi dəyişən üçün (6) təriflərinə əsaslanaraq, dispersiya üçün oxşar ifadələr əldə edirik:
(9)
Budur m = M(X).
Dispersiya xüsusiyyətləri:
Standart sapma:
(11)
Ortanın ölçüsündən bəri kvadrat sapma təsadüfi dəyişənlə eynidir, dispersiyadan daha çox dispersiya ölçüsü kimi istifadə olunur.
Paylanma anları. Riyazi gözlənti və dispersiya anlayışları daha çoxunun xüsusi hallarıdır ümumi anlayış təsadüfi dəyişənlərin ədədi xüsusiyyətləri üçün - paylanma anları. Təsadüfi kəmənin paylanma anları təsadüfi dəyişənin bəzi sadə funksiyalarının riyazi gözləntiləri kimi təqdim olunur. Beləliklə, sifariş anı k nöqtəyə nisbətən X 0 riyazi gözlənti adlanır M(X–X 0 )k. Mənşəyi haqqında anlar X= 0 deyilir ilkin anlar və təyin edilir:
(12)
Birinci sıranın ilkin anı nəzərdən keçirilən təsadüfi kəmiyyətin paylanmasının mərkəzidir:
(13)
Dağıtım mərkəzi haqqında anlar X= m adlanırlar mərkəzi nöqtələr və təyin edilir:
(14)
(7)-dən belə çıxır ki, birinci dərəcəli mərkəzi moment həmişə sıfıra bərabərdir:
Mərkəzi anlar təsadüfi dəyişənin qiymətlərinin mənşəyindən asılı deyildir, çünki sabit bir dəyərlə dəyişdikdə İLƏ onun paylama mərkəzi eyni dəyərlə dəyişir İLƏ, və mərkəzdən sapma dəyişmir: X – m = (X – İLƏ) – (m – İLƏ).
İndi məlum olur ki dispersiya- Bu ikinci dərəcəli mərkəzi an:
Asimmetriya. Mərkəzi anüçüncü sıra:
(17)
qiymətləndirməyə xidmət edir paylanma asimmetriyaları. Əgər paylanma nöqtəyə görə simmetrik olarsa X= m, onda üçüncü sıranın mərkəzi anı sıfıra bərabər olacaq (tək sifarişlərin bütün mərkəzi anları kimi). Buna görə də, əgər üçüncü dərəcəli mərkəzi moment sıfırdan fərqlidirsə, onda paylanma simmetrik ola bilməz. Asimmetriyanın böyüklüyü ölçüsüz istifadə edərək qiymətləndirilir asimmetriya əmsalı:
(18)
Asimmetriya əmsalının işarəsi (18) sağ və ya sol tərəfli asimmetriyanı göstərir (şək. 2).
düyü. 2. Paylanma asimmetriyasının növləri.
Həddindən artıq. Dördüncü dərəcəli mərkəzi an:
(19)
deyilənləri qiymətləndirməyə xidmət edir artıq, bu əyriyə münasibətdə paylanmanın mərkəzinə yaxın paylanma əyrisinin sıldırımlıq (ucluluq) dərəcəsini təyin edir. normal paylanma. Normal paylama üçün kurtoz kimi qəbul edilən dəyər:
(20)
Şəkildə. Şəkil 3-də müxtəlif kurtoz dəyərlərinə malik paylanma əyrilərinin nümunələri göstərilir. Normal paylama üçün E= 0. Normaldan daha çox sivri olan əyrilər müsbət, üstü düz olanlar isə mənfi kurtoza malikdir.
düyü. 3. ilə paylanma əyriləri müxtəlif dərəcələrdə sərinlik (artıq).
Mühəndislik tətbiqlərində daha yüksək səviyyəli məqamlar riyazi statistika adətən istifadə edilmir.
Moda
diskret təsadüfi dəyişən onun ən çox ehtimal olunan qiymətidir. Moda davamlı təsadüfi dəyişən onun ehtimal sıxlığının maksimum olduğu qiymətidir (şək. 2). Əgər paylanma əyrisi bir maksimuma malikdirsə, onda paylama çağırılır unimodal. Əgər paylanma əyrisi birdən çox maksimuma malikdirsə, onda paylanma deyilir multimodal. Bəzən elə paylamalar olur ki, onların əyriləri maksimumdan çox minimuma malikdir. Belə paylamalar deyilir antimodal. Ümumi halda təsadüfi dəyişənin rejimi və riyazi gözləntiləri üst-üstə düşmür. Xüsusi halda, üçün modal, yəni. rejimi, simmetrik paylanması olan və riyazi gözlənti olması şərtilə, sonuncu paylanmanın rejimi və simmetriya mərkəzi ilə üst-üstə düşür.
Median təsadüfi dəyişən X- bu onun mənasıdır Meh, bunun üçün bərabərlik təmin edilir: yəni. təsadüfi dəyişənin olması eyni dərəcədə ehtimal olunur X az və ya çox olacaq Meh. Həndəsi olaraq median paylanma əyrisi altında olan sahənin yarıya bölündüyü nöqtənin absissidir (şəkil 2). Simmetrik modal paylanma vəziyyətində median, rejim və riyazi gözlənti eynidir.
Moda- ən tez-tez baş verən müşahidələr toplusunun dəyəri
Mo = X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo+1)),
burada X Mo modal intervalın sol sərhəddi, h Mo modal intervalın uzunluğu, f Mo-1 premodal intervalın tezliyi, f Mo modal intervalın tezliyi, f Mo+1 postmodal intervalın tezliyi.
Mütləq fasiləsiz paylanma rejimi istənilən nöqtədir yerli maksimum paylanma sıxlığı. üçün diskret paylamalar rejim hər hansı a i dəyəri hesab olunur, bunun ehtimalı p i qonşu dəyərlərin ehtimallarından böyükdür
Median davamlı təsadüfi dəyişən X təsadüfi dəyişənin az və ya böyük olacağı eyni dərəcədə ehtimal olunan onun dəyəri Me adlanır Meh, yəni.
M e =(n+1)/2 P(X < Mən) = P (X > Meh)
Vahid paylanmış NSV
Vahid paylama. Fasiləsiz təsadüfi dəyişən seqmentdə bərabər paylanmış adlanır () əgər onun paylanma sıxlığı funksiyası (Şəkil 1.6, A) formasına malikdir:
Təyinat: – SW üzərində bərabər paylanmışdır.
Müvafiq olaraq, seqment üzrə paylama funksiyası (Şəkil 1.6, b):
düyü. 1.6. [-də bərabər paylanmış təsadüfi dəyişənin funksiyaları a,b]: A– ehtimal sıxlıqları f(x); b- paylamalar F(x)
Verilmiş SV-nin riyazi gözləntiləri və dispersiyası aşağıdakı ifadələrlə müəyyən edilir:
Sıxlıq funksiyasının simmetriyasına görə mediana ilə üst-üstə düşür. Modlar vahid paylama yoxdur
Misal 4. Telefon zənginə cavab gözləmə müddəti təsadüfi dəyişənə tabedir vahid qanun 0-dan 2 dəqiqəyə qədər olan paylamalar. Bu təsadüfi kəmənin inteqral və diferensial paylanma funksiyalarını tapın.
27.Ehtimalların paylanmasının normal qanunu
Fasiləsiz təsadüfi kəmiyyət x parametrləri ilə normal paylanmaya malikdir: m,s > 0, əgər ehtimalın paylanma sıxlığı formaya malikdirsə:
burada: m – riyazi gözlənti, s – standart kənarlaşma.
Normal paylanma alman riyaziyyatçısı Qaussun şərəfinə Qauss da adlanır. Təsadüfi kəmənin parametrləri ilə normal paylanması faktı: m, , aşağıdakı kimi işarələnir: N (m,s), burada: m=a=M[X];
Çox vaxt düsturlarda riyazi gözlənti ilə işarələnir A . Əgər təsadüfi kəmiyyət N(0,1) qanununa əsasən paylanmışdırsa, o zaman o, normallaşdırılmış və ya standartlaşdırılmış normal dəyişən adlanır. Bunun üçün paylama funksiyası formaya malikdir:
Normal əyri və ya Qauss əyrisi adlanan normal paylanmanın sıxlıq qrafiki Şəkil 5.4-də göstərilmişdir.
düyü. 5.4. Normal paylanma sıxlığı
xassələri normal paylanma qanununa malik təsadüfi dəyişən.
1. Əgər , onda bu qiymətin verilmiş intervala düşmə ehtimalını tapmaq üçün ( x 1 x 2;) düstur istifadə olunur:
2. Təsadüfi dəyişənin onun riyazi gözləntisindən kənara çıxmasının dəyərindən artıq olmama ehtimalı ( mütləq dəyər), bərabərdir.
Dərsin məqsədi: tələbələrdə bir sıra ədədlərin medianı və onu sadə ədədi çoxluqlar üçün hesablamaq bacarığı haqqında təsəvvür formalaşdırmaq, ədədlər çoxluğunun arifmetik ortası anlayışını möhkəmləndirmək.
Dərsin növü: yeni materialın izahı.
Avadanlıqlar: yazı lövhəsi, dərslik red. Yu.N Tyurina “Ehtimal nəzəriyyəsi və statistika”, proyektorlu kompüter.
Dərsin gedişatı
1. Təşkilati məqam.
Dərsin mövzusunu xəbərdar edin və onun məqsədlərini formalaşdırın.
2. Əvvəlki biliklərin yenilənməsi.
Tələbələr üçün suallar:
- Ədədlər çoxluğunun arifmetik ortası nədir?
- Ədədlər çoxluğu daxilində arifmetik orta harada yerləşir?
- Ədədlər çoxluğunun arifmetik ortası nə ilə xarakterizə olunur?
- Tez-tez istifadə olunan ədədlər toplusunun arifmetik ortası haradadır?
Şifahi tapşırıqlar:
Ədədlər çoxluğunun arifmetik ortasını tapın:
- 1, 3, 5, 7, 9;
- 10, 12, 18, 20
İmtahan ev tapşırığı proyektordan istifadə etməklə ( Əlavə 1):
Dərslik: No 12 (b, d), No 18 (c, d)
3. Yeni materialın öyrənilməsi.
Əvvəlki dərsdə biz ədədlər çoxluğunun arifmetik ortası kimi statistik xarakteristikası ilə tanış olduq. Bu gün biz başqa bir statistik xüsusiyyətə - mediana bir dərs həsr edəcəyik.
Təkcə arifmetik orta rəqəm sətirində hər hansı çoxluğun nömrələrinin harada yerləşdiyini və mərkəzinin harada olduğunu göstərmir. Digər göstərici mediandır.
Ədədlər çoxluğunun medianı çoxluğu iki bərabər hissəyə bölən ədəddir. “Media” əvəzinə “orta” deyə bilərsiniz.
Əvvəlcə medianın necə tapılacağına dair nümunələrə baxaq və sonra ciddi bir tərif verək.
Proyektordan istifadə etməklə aşağıdakı şifahi nümunəni nəzərdən keçirin ( Əlavə 2)
Sonda tədris ili 11 7-ci sinif şagirdi 100 metr məsafəyə qaçış standartını keçib. Aşağıdakı nəticələr qeydə alınıb:
Uşaqlar məsafəni qaçdıqdan sonra Petya müəllimə yaxınlaşdı və nəticəsinin nə olduğunu soruşdu.
“Ən çox orta nəticə: 16,9 saniyə” deyə müəllim cavab verdi
"Niyə?" – Petya təəccübləndi. – Axı, bütün nəticələrin arifmetik ortalaması təxminən 18,3 saniyədir və mən bir saniyədən çox daha yaxşı qaçdım. Ümumiyyətlə, Katyanın nəticəsi (18,4) mənimkindən orta göstəriciyə çox yaxındır”.
“Nəticəniz orta səviyyədədir, çünki beş nəfər sizdən yaxşı, beş nəfər isə daha pis qaçdı. Yəni düz ortadasan” dedi müəllim. [2]
Bir sıra ədədlərin medianı tapmaq üçün alqoritmi yazın:
- Nömrələr toplusunu təşkil edin (sıralı sıra düzəldin).
- Eyni zamanda, bir və ya iki ədəd qalana qədər verilmiş ədədlər dəstinin “ən böyük” və “kiçik” rəqəmlərini kəsin.
- Bir ədəd qalıbsa, o, mediandır.
- Əgər iki ədəd qalsa, median qalan iki ədədin arifmetik ortası olacaqdır.
Tələbələri müstəqil olaraq ədədlər toplusunun medianın tərifini formalaşdırmağa dəvət edin, sonra dərslikdəki medianın iki tərifini oxuyun (səh. 50), sonra dərsliyin 4 və 5-ci nümunələrinə baxın (səh. 50-52).
Şərh:
Şagirdlərin diqqətini vacib bir fakta cəlb edin: median ədədlər dəstinin fərdi ekstremal dəyərlərinin əhəmiyyətli sapmalarına praktiki olaraq həssas deyil. Statistikada bu xassə sabitlik adlanır. Statistik göstəricinin sabitliyi çox yüksəkdir mühüm əmlak, bizi təsadüfi səhvlərdən və fərdi etibarsız məlumatlardan sığortalayır.
4. Öyrənilən materialın konsolidasiyası.
11-ci paraqraf üçün dərslikdən ədədlərin həlli “Media”.
Rəqəmlər dəsti: 1,3,5,7,9
=(1+3+5+7+9):5=25:5=5
Rəqəmlər dəsti: 1,3,5,7,14.
=(1+3+5+7+14):5=30:5=6
a) Rəqəmlər çoxluğu: 3,4,11,17,21
b) Rəqəmlər çoxluğu: 17,18,19,25,28
c) Rəqəmlər çoxluğu: 25, 25, 27, 28, 29, 40, 50
Nəticə: tək sayda üzvdən ibarət olan ədədlər toplusunun medianı ortadakı ədədə bərabərdir.
a) Rəqəmlər dəsti: 2, 4, 8 , 9.
Mən = (4+8):2=12:2=6
b) Rəqəmlər dəsti: 1,3, 5,7 ,8,9.
Mən = (5+7):2=12:2=6
Cüt sayda şərtləri olan ədədlər toplusunun medianı ortadakı iki ədədin cəminin yarısına bərabərdir.
Şagird rüb ərzində cəbrdən aşağıdakı qiymətləri alıb:
5, 4, 2, 5, 5, 4, 4, 5, 5, 5.
Bu çoxluğun orta və medianı tapın. [3]
Rəqəmlər dəstini sıralayaq: 2,4,4,4,5,5,5,5,5,5
Cəmi 10 ədəd var, medianı tapmaq üçün iki orta rəqəmi götürüb onların yarım cəmini tapmaq lazımdır.
Mən = (5+5):2 = 5
Şagirdlərə sual: Əgər siz müəllim olsaydınız, bu şagirdə rüb üçün neçə qiymət verərdiniz? Cavabınızı əsaslandırın.
Şirkətin prezidenti 300 min rubl maaş alır. onun üç müavini hər biri 150.000 rubl, qırx işçinin hər biri 50.000 rubl alır. təmizlikçi xanımın maaşı isə 10.000 rubl təşkil edir. Şirkətdə əmək haqqının arifmetik orta və medianı tapın. Bu xüsusiyyətlərdən hansının prezidentin reklam məqsədləri üçün istifadə etməsi daha sərfəlidir?
= (300000+3·150000+40·50000+10000):(1+3+40+1) = 2760000:4561333.33 (rub.)
Tapşırıq 3. (Tələbələri özləri həll etməyə dəvət edin, problemi proyektordan istifadə edərək layihələndirin)
Cədvəl Rusiyanın ən böyük göllərinin və su anbarlarının kubmetrlərində suyun təxmini həcmini göstərir. km. (Əlavə 3) [ 4 ]
A) Bu su anbarlarında suyun orta həcmini tapın (orta arifmetik);
B) Su anbarının orta ölçüsündə suyun həcmini tapın (məlumatların medianı);
S) Sizcə, Rusiyada tipik iri su anbarının həcmini bu xüsusiyyətlərdən hansı - orta hesab və ya median daha yaxşı təsvir edir? Cavabınızı izah edin.
a) 2459 kubmetr km
b) 60 kub. km
c) Median, çünki məlumatlar digərlərindən çox fərqli olan dəyərləri ehtiva edir.
Tapşırıq 4. Şifahi.
A) Doqquzuncu üzvü mediana bərabərdirsə, çoxluğun neçə ədədi var?
B) Əgər çoxluğun medianı 7-ci və 8-ci hədlərin arifmetik ortasıdırsa, çoxluqda neçə ədəd var?
C) Yeddi ədəddən ibarət çoxluqda ən böyük ədəd 14 artırılır. Bu arifmetik orta və medianı dəyişəcəkmi?
D) Çoxluqdakı ədədlərin hər biri 3 artırılır.Arifmetik orta və mediana nə olur?
Mağazada şirniyyatlar çəki ilə satılır. Bir kiloqramda neçə konfet olduğunu öyrənmək üçün Maşa bir konfetin çəkisini tapmaq qərarına gəldi. O, bir neçə konfet çəkdi və aşağıdakı nəticələri aldı:
12, 13, 14, 12, 15, 16, 14, 13, 11.
Hər iki xüsusiyyət bir konfetin çəkisini qiymətləndirmək üçün uyğundur, çünki bir-birindən çox da fərqlənmirlər.
Beləliklə, statistik məlumatları xarakterizə etmək üçün arifmetik orta və mediandan istifadə olunur. Bir çox hallarda xüsusiyyətlərdən birinin heç bir mənalı mənası olmaya bilər (məsələn, yol-nəqliyyat hadisələrinin baş vermə vaxtı haqqında məlumat olduqda, bu məlumatların arifmetik ortalaması haqqında danışmağın mənası yoxdur).
- Ev tapşırığı: paraqraf 11, No 3,4,9,11.
- Dərsin xülasəsi. Refleksiya.
Ədəbiyyat:
- Yu.N. Tyurin və başqaları "Ehtimal nəzəriyyəsi və statistika", MTsNMO nəşriyyatı, "Moskva dərslikləri" ASC, Moskva 2008.
- E.A. Bunimoviç, V.A. Bulychev "Statistikanın və ehtimalın əsasları", DROFA, Moskva 2004.
- “Riyaziyyat” qəzeti, No 23, 2007-ci il.
- Demo versiyası sınaq işi 2007/2008-ci tədris ili üçün 7-ci sinif üçün ehtimal nəzəriyyəsi və statistikası üzrə.
