verilmiş onlayn kalkulyator sistemin həllini tapır xətti tənliklər(SLN) Qauss üsulu ilə. Ətraflı bir həll verilir. Hesablamaq üçün dəyişənlərin sayını və tənliklərin sayını seçin. Sonra məlumatları hüceyrələrə daxil edin və "Hesabla" düyməsini basın.
|
Nömrə təmsili:
Tam ədədlər və/və ya Ümumi fraksiyalarTam ədədlər və/və ya Ondalıqlar
Onluq ayırıcıdan sonra yerlərin sayı
×
Xəbərdarlıq
Bütün xanalar silinsin?
Bağlayın Təmizləyin
Məlumat daxiletmə təlimatları.Ədədlər tam ədədlər (məsələn: 487, 5, -7623 və s.), onluq (məs. 67., 102.54 və s.) və ya kəsr kimi daxil edilir. Kəsr a/b şəklində daxil edilməlidir, burada a və b (b>0) tam ədəddir və ya ondalık ədədlər. Nümunələr 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 və s.
Gauss üsulu
Gauss metodu ilkin xətti tənliklər sistemindən (ekvivalent çevrilmələrdən istifadə etməklə) həlli orijinal sistemdən daha asan olan sistemə keçid üsuludur.
Xətti tənliklər sisteminin ekvivalent çevrilmələri aşağıdakılardır:
- sistemdə iki tənliyin dəyişdirilməsi,
- sistemdəki hər hansı bir tənliyi sıfırdan fərqli real ədədə vurmaq,
- bir tənliyə başqa bir tənliyin əlavə edilməsi, ixtiyari ədədə vurulması.
Xətti tənliklər sistemini nəzərdən keçirin:
| (1) |
(1) sistemini matris şəklində yazaq:
| balta=b | (2) |
  | (3) |
A- sistemin əmsal matrisi adlanır, b- məhdudiyyətlərin sağ tərəfi, x− tapılacaq dəyişənlərin vektoru. Qoy dərəcə ( A)=səh.
Ekvivalent çevrilmələr əmsal matrisinin dərəcəsini və sistemin uzadılmış matrisinin dərəcəsini dəyişmir. Sistemin həllər toplusu da ekvivalent çevrilmələr zamanı dəyişmir. Gauss metodunun mahiyyəti əmsalların matrisini azaltmaqdan ibarətdir A diaqonal və ya pilləli.
Sistemin genişləndirilmiş matrisini quraq:
Növbəti mərhələdə elementin altındakı 2-ci sütunun bütün elementlərini sıfırlayırıq. Bu element sıfırdırsa, bu sətir bu sətirin altında yerləşən və ikinci sütunda sıfırdan fərqli elementə malik olan cərgə ilə dəyişdirilir. Sonra, aparıcı elementin altındakı 2-ci sütunun bütün elementlərini sıfırlayın a 22. Bunu etmək üçün 3-cü sətir əlavə edin, ... m 2-ci sətirlə - ilə vurulur a 32 /a 22 , ..., −a m2/ a müvafiq olaraq 22. Proseduru davam etdirərək, diaqonal və ya pilləli formada bir matris əldə edirik. Nəticə uzadılmış matrisin forması olsun:
| (7) |
 |
Çünki çaldıA = çaldı(A|b), onda (7) həllər çoxluğu ( n−s)− müxtəlif. Beləliklə n−s naməlumlar özbaşına seçilə bilər. Sistemdən (7) qalan naməlumlar aşağıdakı kimi hesablanır. Son tənlikdən ifadə edirik x p qalan dəyişənlər vasitəsilə və əvvəlki ifadələrə daxil edin. Sonra, sondan əvvəlki tənlikdən ifadə edirik x p−1 qalan dəyişənlər vasitəsilə və əvvəlki ifadələrə daxil edin və s. Konkret nümunələrdən istifadə edərək Gauss metoduna baxaq.
Qauss üsulu ilə xətti tənliklər sisteminin həlli nümunələri
Nümunə 1. Tapın ümumi həll Gauss üsulu ilə xətti tənliklər sistemləri:
ilə işarə edək a ij elementləri i-ci xətt və j ci sütun.
a 1 1 . Bunun üçün müvafiq olaraq -2/3,-1/2 ilə vurulan 1-ci sətirlə 2,3 sətirləri əlavə edin:
Matris qeyd növü: balta=b, Harada
ilə işarə edək a ij elementləri i-ci xətt və j ci sütun.
Elementin altındakı matrisin 1-ci sütununun elementlərini xaric edək a 11. Bunun üçün müvafiq olaraq -1/5,-6/5-ə vurulan 1-ci sətirlə 2,3 sətirləri əlavə edin:
Matrisin hər bir sırasını müvafiq aparıcı elementə bölürük (əgər aparıcı element varsa):
Harada x 3 , x
Yuxarı ifadələri aşağı olanlarla əvəz edərək həllini əldə edirik.
Onda vektor həlli aşağıdakı kimi təqdim edilə bilər:
 |
Harada x 3 , x 4 ixtiyari həqiqi ədədlərdir.
Xətti cəbri sistemlərin həlli üçün universal və effektiv üsullardan biri Qauss üsulu , naməlumların ardıcıl aradan qaldırılmasından ibarətdir.
Xatırladaq ki, iki sistem çağırılır ekvivalent (ekvivalent) onların həlli çoxluqları üst-üstə düşərsə. Başqa sözlə, sistemlərdən birinin hər bir həlli digərinin həlli olarsa və əksinə sistemlər ekvivalentdir. Ekvivalent sistemlər olduqda əldə edilir elementar çevrilmələr sistemin tənlikləri:
tənliyin hər iki tərəfinin sıfırdan fərqli bir ədədə vurulması;
bəzi tənliyə başqa bir tənliyin uyğun hissələrinin sıfırdan fərqli bir ədədə vurulması;
iki tənliyin yenidən təşkili.
Tənliklər sistemi verilsin
Bu sistemin Qauss üsulu ilə həlli prosesi iki mərhələdən ibarətdir. Birinci mərhələdə (birbaşa hərəkət) sistem elementar çevrilmələrdən istifadə edərək azaldılır addım-addım , və ya üçbucaqlı ağıl və ikinci mərhələdə ( əks vuruş) axırıncı dəyişən nömrədən başlayaraq nəticədə çıxan pillə sistemindən naməlumların ardıcıl təyini var.
Fərz edək ki, bu sistemin əmsalı 
, əks halda sistemdə birinci cərgə hər hansı digər cərgə ilə dəyişdirilə bilər ki, əmsal 
sıfırdan fərqli idi.
Bilinməyənləri aradan qaldıraraq sistemi çevirək 
birincidən başqa bütün tənliklərdə. Bunu etmək üçün birinci tənliyin hər iki tərəfini çarpın 
və sistemin ikinci tənliyi ilə həd-həd əlavə edin. Sonra birinci tənliyin hər iki tərəfini çarpın 
və sistemin üçüncü tənliyinə əlavə edin. Bu prosesi davam etdirərək, ekvivalent sistemi əldə edirik
Budur 
– birinci addımdan sonra əldə edilən əmsalların və sərbəst şərtlərin yeni dəyərləri.
Eynilə, əsas elementi nəzərə alaraq 
, bilinməyənləri istisna edin 
birinci və ikinci istisna olmaqla, sistemin bütün tənliklərindən. Gəlin bu prosesi mümkün qədər davam etdirək və nəticədə pilləli sistem əldə edəcəyik
,
Harada 
,
,…,
- sistemin əsas elementləri 
.
Sistemin mərhələli formaya salınması prosesində tənliklər, yəni formanın bərabərlikləri yaranırsa. 
, hər hansı nömrələr dəsti ilə kifayətləndikləri üçün atılır 
. 
Əgər at görünəcək formanın tənliyi
, heç bir həll yolu yoxdur, onda bu sistemin uyğunsuzluğunu göstərir. 
Ters vuruş zamanı ilk naməlum çevrilmiş addım sisteminin son tənliyindən ifadə edilir 
bütün digər bilinməyənlər vasitəsilə adlanır
.
pulsuz 
Sonra dəyişən ifadəsi 
sistemin sonuncu tənliyindən sondan əvvəlki tənliyə əvəz edilir və dəyişən ondan ifadə edilir 
. Dəyişənlər oxşar şəkildə ardıcıl olaraq müəyyən edilir 
. Dəyişənlər Sərbəst dəyişənlər vasitəsilə ifadə olunan , adlanır
əsas
(asılı). Nəticə xətti tənliklər sisteminin ümumi həllidir. tapmaq üçün
şəxsi həll 
sistemləri, pulsuz naməlum 
.
ümumi həlldə ixtiyari qiymətlər təyin edilir və dəyişənlərin qiymətləri hesablanır.
.
Elementar çevrilmələrə sistem tənliklərinin deyil, sistemin genişləndirilmiş matrisinin məruz qalması texniki cəhətdən daha rahatdır. 
Gauss metodu təkcə kvadrat deyil, həm də naməlumların sayının olduğu düzbucaqlı sistemləri həll etməyə imkan verən universal bir üsuldur. 
.
tənliklərin sayına bərabər deyil 
Bu metodun üstünlüyü ondan ibarətdir ki, həll prosesində eyni vaxtda sistemin uyğunluğunu yoxlayırıq, çünki genişləndirilmiş matris verilmişdir. 
addım-addım formalaşdırmaq üçün matrisin dərəcələrini təyin etmək asandır 
və uzadılmış matris və müraciət edin
.
Misal 2.1 Sistemi Gauss metodundan istifadə edərək həll edin
Həll. Tənliklərin sayı 
və naməlumların sayı 
.
Matrisin sağ tərəfinə əmsallar təyin edərək sistemin uzadılmış matrisini yaradaq. 
pulsuz üzvlər sütunu 
.
Matrisi təqdim edək 
Kimə üçbucaqlı görünüş; Bunun üçün elementar çevrilmələrdən istifadə edərək əsas diaqonalda yerləşən elementlərin altında “0” alacağıq.
Birinci sütunun ikinci mövqeyində "0" almaq üçün birinci sətri (-1) ilə çoxaltın və ikinci sıraya əlavə edin.
Bu çevrilməni birinci sətrin qarşısına (-1) rəqəmi kimi yazırıq və birinci sətirdən ikinci sətirə gedən oxla işarə edirik.
Birinci sütunun üçüncü mövqeyində "0" almaq üçün birinci sətri (-3) ilə vurun və üçüncü sətirə əlavə edin; Gəlin birinci sətirdən üçüncü sətirə gedən oxdan istifadə edərək bu hərəkəti göstərək.
.
Nəticədə matrislər zəncirində ikinci yazılmış matrisdə üçüncü mövqedə ikinci sütunda "0" alırıq. Bunun üçün ikinci sətri (-4) vurub üçüncüyə əlavə etdik. Yaranan matrisdə ikinci cərgəni (-1) çarpın və üçüncüsü (-8) ilə bölün. Diaqonal elementlərin altında yerləşən bu matrisin bütün elementləri sıfırdır.
Çünki , sistem birgə və müəyyənləşdirilmişdir.
Son matrisə uyğun gələn tənliklər sistemi üçbucaqlı formaya malikdir:
Son (üçüncü) tənlikdən 
. İkinci tənliyi əvəz edin və alın 
.
Əvəz edək 
Və 
birinci tənlikdə tapırıq 
.
Xətti tənliklər sistemlərini nəzərdən keçirməyə davam edirik. Bu dərs mövzu üzrə üçüncü dərsdir. Ümumiyyətlə xətti tənliklər sisteminin nə olduğu barədə qeyri-müəyyən bir fikriniz varsa, özünüzü çaydan kimi hiss edirsinizsə, o zaman səhifədəki əsaslardan başlamağı məsləhət görürəm Sonra, dərsi öyrənmək faydalıdır.
Gauss metodu asandır! Niyə? Məşhur alman riyaziyyatçısı İohann Karl Fridrix Qauss sağlığında bütün dövrlərin ən böyük riyaziyyatçısı, dahi kimi tanınıb və hətta “Riyaziyyatın Kralı” ləqəbini də alıb. Və bildiyiniz kimi, hər şey sadədir! Yeri gəlmişkən, təkcə əmicilər deyil, dahilər də pul alırlar - Qaussun portreti 10 Deutschmark banknotunda idi (avro təqdim edilməzdən əvvəl) və Gauss hələ də adi poçt markalarından almanlara müəmmalı şəkildə gülümsəyir.
Qauss metodu sadədir ki, onu mənimsəmək üçün BEŞİNCİ SİNF ŞƏHƏRİNİN BİLİKLƏRİ KƏFƏDDİR. Siz əlavə etməyi və çoxaltmağı bilməlisiniz! Təsadüfi deyil ki, müəllimlər çox vaxt məktəb riyaziyyatının seçmə fənlərində naməlumların ardıcıl xaric edilməsi metodunu nəzərdən keçirirlər. Bu paradoksdur, lakin tələbələr Gauss metodunu ən çətin hesab edirlər. Təəccüblü heç nə yoxdur - hamısı metodologiyaya aiddir və mən metodun alqoritmi haqqında əlçatan formada danışmağa çalışacağam.
Əvvəlcə xətti tənliklər sistemləri haqqında bir az bilikləri sistemləşdirək. Xətti tənliklər sistemi:
1) Unikal bir həll yolu var. 2) Sonsuz bir çox həll yolu var. 3) Heç bir həll yolu yoxdur (olsun birgə olmayan).
Gauss metodu həll tapmaq üçün ən güclü və universal vasitədir hər hansı xətti tənliklər sistemləri. Xatırladığımız kimi, Kramer qaydası və matris metodu sistemin sonsuz sayda həlli olduğu və ya uyğunsuz olduğu hallarda uyğun deyil. Və naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması üsulu Hər halda bizi cavaba aparacaq! Bu dərsdə biz 1-ci hal (sistemin yeganə həlli) üçün yenidən Gauss metodunu nəzərdən keçirəcəyik, məqalə 2-3 nömrəli bəndlərin vəziyyətlərinə həsr edilmişdir. Qeyd edim ki, metodun özünün alqoritmi hər üç halda eyni işləyir.
qayıdaq ən sadə sistemdir sinifdən Xətti tənliklər sistemini necə həll etmək olar? və onu Qauss üsulu ilə həll edin.
İlk addım yazmaqdır genişləndirilmiş sistem matrisi: . Məncə, əmsalların hansı prinsiplə yazıldığını hər kəs görə bilər. Matris daxilindəki şaquli xəttin heç bir riyazi mənası yoxdur - bu, dizaynın asanlığı üçün sadəcə üstü xəttdir.
İstinad : xatırlamağınızı tövsiyə edirəm şərtlər xətti cəbr. Sistem matrisi yalnız naməlumlar üçün əmsallardan ibarət matrisdir, bu misalda sistem matrisi: . Genişləndirilmiş Sistem Matrisi – bu sistemin eyni matrisi üstəgəl sərbəst şərtlər sütunudur, bu halda: . Qısalıq üçün matrislərdən hər hansı birini sadəcə olaraq matris adlandırmaq olar.
Genişləndirilmiş sistem matrisi yazıldıqdan sonra onunla bəzi hərəkətləri yerinə yetirmək lazımdır, bunlara da deyilir. elementar çevrilmələr.
Aşağıdakı elementar çevrilmələr mövcuddur:
1) Simlər matrislər bilər yenidən təşkil etmək bəzi yerlərdə. Məsələn, nəzərdən keçirilən matrisdə birinci və ikinci sıraları ağrısız şəkildə yenidən təşkil edə bilərsiniz: 
2) Əgər matris mütənasibdirsə (və ya yaranıbsa) (kimi xüsusi hal– eyni) sətirlər, ondan sonra gəlir silin Biri istisna olmaqla, bütün bu sətirlər matrisdəndir. Məsələn, matrisi nəzərdən keçirək 
. Bu matrisdə son üç sıra mütənasibdir, ona görə də onlardan yalnız birini tərk etmək kifayətdir: 
.
3) Transformasiyalar zamanı matrisdə sıfır cərgəsi görünürsə, o da olmalıdır silin. Mən çəkməyəcəyəm, əlbəttə ki, sıfır xətti olan xəttdir bütün sıfırlar.
4) Matris sırası ola bilər çoxaltmaq (bölmək) istənilən nömrəyə sıfırdan fərqli. Məsələn, matrisi nəzərdən keçirək. Burada birinci sətri –3-ə bölmək, ikinci sətri isə 2-yə vurmaq məsləhətdir: 
. Bu hərəkət çox faydalıdır, çünki matrisin sonrakı çevrilmələrini asanlaşdırır.
5) Bu çevrilmə ən çox çətinliklərə səbəb olur, amma əslində mürəkkəb bir şey də yoxdur. Bir matrisin sırasına edə bilərsiniz nömrə ilə vurulan başqa bir sətir əlavə edin, sıfırdan fərqli. matrisimizi nəzərdən keçirək praktik nümunə: . Əvvəlcə transformasiyanı ətraflı təsvir edəcəyəm. Birinci sətri -2-yə vurun: 
, Və ikinci sətirə birinci sətri –2 ilə vururuq: 
. İndi birinci sətir “geriyə” –2-yə bölünə bilər: . Gördüyünüz kimi, ADD olan xətt LI – dəyişməyib. HəmişəƏLAVƏ EDİLƏN sətir dəyişir UT.
Təcrübədə, əlbəttə ki, bunu o qədər də təfərrüatlı yazmırlar, ancaq qısaca yazırlar: 
Bir daha: ikinci sıraya -2 ilə vurulan birinci sətir əlavə edildi. Xətt adətən şifahi olaraq və ya qaralama üzərində vurulur, zehni hesablama prosesi belə bir şey gedir:
“Matrisi yenidən yazıram və birinci sətri yenidən yazıram: 
»
“Birinci sütun. Aşağıda sıfır almalıyam. Ona görə də yuxarıdakını –2: ilə vururam və birincini ikinci sətirə əlavə edirəm: 2 + (–2) = 0. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: 
»
“İndi ikinci sütun. Yuxarıda -1-i -2-yə vururam: . Birincini ikinci sətirə əlavə edirəm: 1 + 2 = 3. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: 
»
“Və üçüncü sütun. Yuxarıda -5-i -2-yə vururam: . İkinci sətirə birincini əlavə edirəm: –7 + 10 = 3. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: 
»
Zəhmət olmasa bu nümunəni diqqətlə anlayın və ardıcıl hesablama alqoritmini anlayın, əgər bunu başa düşsəniz, Gauss metodu praktiki olaraq cibinizdədir. Amma təbii ki, biz hələ də bu transformasiya üzərində işləyəcəyik.
Elementar çevrilmələr tənliklər sisteminin həllini dəyişmir
! DİQQƏT: hesab edilən manipulyasiyalar istifadə edilə bilməz, sizə matrislərin “öz-özünə” verildiyi bir tapşırıq təklif olunarsa. Məsələn, "klassik" ilə matrislərlə əməliyyatlar Heç bir halda matrislərin içərisində heç bir şeyi yenidən təşkil etməməlisiniz! Sistemimizə qayıdaq. Praktik olaraq hissələrə bölünür.
Sistemin uzadılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu azaldaq pilləli görünüş:
(1) Birinci sətir ikinci sətirə əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Və yenə: niyə birinci sətri -2-yə vururuq? Aşağıda sıfır əldə etmək üçün, yəni ikinci sətirdəki bir dəyişəndən xilas olmaq deməkdir.
(2) İkinci sətri 3-ə bölün.
Elementar çevrilmələrin məqsədi
–
matrisi mərhələli formaya endirin: 
. Tapşırığın dizaynında onlar sadəcə "pilləkənləri" sadə qələmlə qeyd edirlər, həmçinin "addımlar" üzərində yerləşən nömrələri dairə edirlər. “Pilləli baxış” termininin özü tamamilə nəzəri deyil, elmi və tədris ədəbiyyatı tez-tez adlanır trapezoidal görünüş və ya üçbucaqlı görünüş.
Elementar çevrilmələr nəticəsində əldə etdik ekvivalent orijinal tənliklər sistemi:
İndi sistemin əks istiqamətdə "açılması" lazımdır - aşağıdan yuxarıya, bu proses adlanır Qauss metodunun tərsi.
Aşağı tənlikdə artıq hazır nəticəmiz var: .
Sistemin birinci tənliyini nəzərdən keçirək və ona artıq məlum olan “y” dəyərini əvəz edək:
Qauss metodu üç naməlumlu üç xətti tənlik sisteminin həllini tələb edən ən ümumi vəziyyəti nəzərdən keçirək.
Misal 1
Gauss metodundan istifadə edərək tənliklər sistemini həll edin: 
Sistemin uzadılmış matrisini yazaq: 
İndi həll zamanı çatacağımız nəticəni dərhal çəkəcəyəm: 
Yenə deyirəm, bizim məqsədimiz elementar çevrilmələrdən istifadə edərək matrisi mərhələli formaya gətirməkdir. Haradan başlamaq lazımdır?
Əvvəlcə yuxarı sol rəqəmə baxın: 
Demək olar ki, həmişə burada olmalıdır vahid. Ümumiyyətlə, -1 (və bəzən başqa nömrələr) edəcək, lakin ənənəvi olaraq bir qayda olaraq orada yerləşdirilir. Bölməni necə təşkil etmək olar? Birinci sütuna baxırıq - bitmiş bir vahidimiz var! Birinci transformasiya: birinci və üçüncü sətirləri dəyişdirin: 
İndi birinci sətir həllin sonuna qədər dəyişməz qalacaq. Artıq daha asandır.
Sol üst küncdəki bölmə təşkil olunub. İndi bu yerlərdə sıfırlar əldə etməlisiniz: 
“Çətin” çevrilmədən istifadə edərək sıfırları əldə edirik. Əvvəlcə ikinci sətirlə məşğul oluruq (2, –1, 3, 13). Birinci yerdə sıfır almaq üçün nə etmək lazımdır? Lazımdır ikinci sətirə -2 ilə vurulan birinci sətri əlavə edin. Zehni olaraq və ya qaralamada birinci sətri –2-yə vurun: (–2, –4, 2, –18). Və biz ardıcıl olaraq (yenidən zehni olaraq və ya qaralamada) əlavə edirik, ikinci sətirə artıq –2-yə vurulmuş birinci sətri əlavə edirik:
Nəticəni ikinci sətirdə yazırıq: 
Üçüncü sətirlə də eyni şəkildə məşğul oluruq (3, 2, –5, –1). Birinci mövqedə sıfır almaq üçün sizə lazımdır üçüncü sətirə -3-ə vurulan birinci sətri əlavə edin. Zehni olaraq və ya qaralamada birinci sətri –3-ə vurun: (–3, –6, 3, –27). VƏ üçüncü sətirə -3-ə vurulan birinci sətri əlavə edirik:
Nəticəni üçüncü sətirə yazırıq:
Praktikada bu hərəkətlər adətən şifahi olaraq həyata keçirilir və bir addımda yazılır: 
Hər şeyi bir anda və eyni anda hesablamağa ehtiyac yoxdur. Hesablamaların ardıcıllığı və nəticələrin “daxil edilməsi” ardıcıl və adətən belə olur: əvvəlcə birinci sətri yenidən yazırıq və yavaş-yavaş özümüzə puflayırıq - ARADDALI və DİQQƏTLƏ:
Mən yuxarıda hesablamaların zehni prosesini artıq müzakirə etmişəm.
Bu misalda bunu etmək asandır, biz ikinci sətri –5-ə bölürük (çünki orada bütün ədədlər 5-ə qalıqsız bölünür). Eyni zamanda, üçüncü sətri -2-yə bölürük, çünki rəqəmlər nə qədər kiçik olsa, həlli bir o qədər sadədir:
Elementar çevrilmələrin son mərhələsində burada başqa bir sıfır əldə etməlisiniz: 
Bunun üçün üçüncü sətirə -2 ilə vurulan ikinci sətri əlavə edirik:
Bu hərəkəti özünüz anlamağa çalışın - zehni olaraq ikinci sətri -2-yə vurun və əlavə edin.
Sonuncu yerinə yetirilən hərəkət nəticənin saç düzümüdür, üçüncü xətti 3-ə bölün.
Elementar çevrilmələr nəticəsində ekvivalent xətti tənliklər sistemi əldə edildi: 
Sərin.
İndi Qauss metodunun əksi işə düşür. Tənliklər aşağıdan yuxarıya doğru “açılır”.
Üçüncü tənlikdə artıq hazır nəticəmiz var:
İkinci tənliyə baxaq: . "Zet" sözünün mənası artıq məlumdur, beləliklə:
Və nəhayət, birinci tənlik: . "Igrek" və "zet" məlumdur, bu, sadəcə kiçik şeylər məsələsidir:
Cavab verin: 
Dəfələrlə qeyd edildiyi kimi, istənilən tənliklər sistemi üçün tapılan həlli yoxlamaq mümkündür və lazımdır, xoşbəxtlikdən bu, asan və tezdir.
Misal 2
Bu, müstəqil həll üçün bir nümunə, yekun dizayn nümunəsi və dərsin sonunda cavabdır.
Qeyd etmək lazımdır ki, sizin qərarın gedişi qərar vermə prosesimlə üst-üstə düşməyə bilər, və bu Gauss metodunun xüsusiyyətidir. Amma cavablar eyni olmalıdır!
Misal 3
Gauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin 
Biz yuxarı sol "addım" baxırıq. Bizim orada birimiz olmalıdır. Problem ondadır ki, birinci sütunda ümumiyyətlə vahidlər yoxdur, buna görə də sətirlərin yenidən təşkili heç nəyi həll etməyəcək. Belə hallarda vahid elementar transformasiyadan istifadə etməklə təşkil edilməlidir. Bu adətən bir neçə yolla edilə bilər. Mən bunu etdim: (1) Birinci sətirə -1 ilə vurulan ikinci sətri əlavə edirik. Yəni zehni olaraq ikinci sətri –1-ə vurub birinci və ikinci sətirləri əlavə etdik, ikinci sətir isə dəyişmədi.
İndi yuxarı solda "mənfi bir" var ki, bu da bizə çox uyğun gəlir. +1 almaq istəyən hər kəs əlavə hərəkət edə bilər: birinci sətri –1-ə vurun (işarəsini dəyişdirin).
(2) 5-ə vurulan birinci sətir ikinci sətirə əlavə edildi. 3-ə vurulan birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi.
(3) Birinci sətir -1-ə vuruldu, prinsipcə, bu gözəllik üçündür. Üçüncü sətrin işarəsi də dəyişdirildi və ikinci yerə köçürüldü ki, ikinci “addım”da bizə lazım olan vahid gəldi.
(4) Üçüncü sətirə ikinci sətir əlavə edildi, 2-yə vuruldu.
(5) Üçüncü sətir 3-ə bölündü.
Hesablamalarda səhvi göstərən pis işarə (daha nadir hallarda yazı səhvi) “pis” nəticədir. Yəni, aşağıdakı kimi bir şey əldə etdiksə və müvafiq olaraq, 
, onda yüksək ehtimal dərəcəsi ilə elementar çevrilmələr zamanı xətaya yol verildiyini deyə bilərik.
Biz bunun əksini tapırıq, nümunələrin dizaynında onlar çox vaxt sistemin özünü yenidən yazmırlar, lakin tənliklər "birbaşa verilmiş matrisdən götürülür". Tərs vuruş, sizə xatırladıram, aşağıdan yuxarıya doğru işləyir. Bəli, burada bir hədiyyə var:
Cavab verin: 
.
Misal 4
Gauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin 
Bu, özünüz həll edə biləcəyiniz bir nümunədir, bir az daha mürəkkəbdir. Kiminsə çaşqın olması yaxşıdır. Dərsin sonunda tam həll və nümunə dizaynı. Sizin həlliniz mənim həllimdən fərqli ola bilər.
Son hissədə Qauss alqoritminin bəzi xüsusiyyətlərinə baxacağıq. Birinci xüsusiyyət ondan ibarətdir ki, bəzən sistem tənliklərində bəzi dəyişənlər yoxdur, məsələn: 
Genişləndirilmiş sistem matrisini necə düzgün yazmaq olar? Mən artıq dərsdə bu məsələ haqqında danışmışdım. Kramer qaydası. Matris üsulu. Sistemin genişləndirilmiş matrisində çatışmayan dəyişənlərin yerinə sıfırlar qoyuruq: 
Yeri gəlmişkən, bu kifayət qədər asan bir nümunədir, çünki birinci sütunda artıq bir sıfır var və yerinə yetirmək üçün daha az elementar çevrilmə var.
İkinci xüsusiyyət budur. Nəzərdən keçirilən bütün nümunələrdə “addımlar”a ya –1, ya da +1 qoyduq. Orada başqa rəqəmlər ola bilərmi? Bəzi hallarda edə bilərlər. Sistemi nəzərdən keçirin: 
.
Budur, yuxarı sol "addımda" ikimiz var. Ancaq birinci sütundakı bütün nömrələrin 2-yə qalıqsız bölündüyünə diqqət yetiririk - digəri isə iki və altıdır. Və yuxarı solda iki bizə uyğun olacaq! Birinci addımda aşağıdakı çevrilmələri yerinə yetirməlisiniz: ikinci sətirə –1 ilə vurulmuş birinci sətri əlavə edin; üçüncü sətirə -3-ə vurulan birinci sətri əlavə edin. Beləliklə, birinci sütunda tələb olunan sıfırları alacağıq.
Və ya buna bənzər bir şey şərti nümunə: 
. Burada ikinci “addım”dakı üçlük də bizə uyğun gəlir, çünki 12 (sıfır almalı olduğumuz yer) 3-ə qalıqsız bölünür. Aşağıdakı çevrilməni həyata keçirmək lazımdır: ikinci sətri üçüncü sətirə əlavə edin, -4-ə vurun, nəticədə bizə lazım olan sıfır alınacaq.
Gauss metodu universaldır, lakin bir özəlliyi var. Digər üsullardan istifadə edərək sistemləri həll etməyi inamla öyrənin (Kramer metodu, matris üsulu) sözün əsl mənasında ilk dəfə edə bilərsiniz - çox ciddi bir alqoritm var. Ancaq Gauss metoduna inamlı olmaq üçün "dişlərinizi daxil edin" və ən azı 5-10 on sistemi həll etməlisiniz. Buna görə də əvvəlcə hesablamalarda çaşqınlıq və səhvlər ola bilər və bunda qeyri-adi və faciəli heç nə yoxdur.
Pəncərədən kənarda yağışlı payız havası.... Buna görə də, daha mürəkkəb bir misal istəyən hər kəs öz başına həll etsin:
Misal 5
Qauss metodundan istifadə etməklə dörd naməlumlu 4 xətti tənlik sistemini həll edin. 
Belə bir vəzifə praktikada o qədər də nadir deyil. Düşünürəm ki, hətta bu səhifəni hərtərəfli öyrənmiş çaynik belə bir sistemin intuitiv şəkildə həllinin alqoritmini başa düşəcək. Prinsipcə, hər şey eynidir - sadəcə daha çox hərəkət var.
Dərsdə sistemin heç bir həlli olmadığı (uyğunsuz) və ya sonsuz sayda həllin olduğu hallar müzakirə olunur. Uyğun olmayan sistemlər və ümumi həlli olan sistemlər. Orada Gauss metodunun nəzərdən keçirilən alqoritmini düzəldə bilərsiniz.
Sizə uğurlar arzulayıram!
Həll və cavablar:
Misal 2:
Həll
:
Sistemin uzadılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu mərhələli formaya gətirək.
Elementar çevrilmələr həyata keçirilir:
(1) Birinci sətir ikinci sətirə əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, -1 ilə vuruldu.
Diqqət!
Burada üçüncü sətirdən birincini çıxarmaq istəyə bilərsiniz, mən onu çıxarmamağı çox tövsiyə edirəm - səhv riski çox artır. Sadəcə qatlayın!
(2) İkinci xəttin işarəsi dəyişdirildi (-1-ə vurulur). İkinci və üçüncü sətirlər dəyişdirilib.
Qeyd edin
, “addımlarda” biz təkcə birlə deyil, həm də –1 ilə kifayətlənirik ki, bu da daha rahatdır.
(3) İkinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, 5-ə vuruldu.
(4) İkinci xəttin işarəsi dəyişdirildi (-1-ə vurulur). Üçüncü sətir 14-ə bölündü.
Ters:
Cavab verin
:
.
Misal 4:
Həll
:
Sistemin genişləndirilmiş matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu mərhələli formaya gətirək:
Həyata keçirilən çevrilmələr: (1) Birinci sətirə ikinci sətir əlavə edildi. Beləliklə, istədiyiniz vahid yuxarı sol "addımda" təşkil edilir. (2) 7 ilə vurulan birinci sətir ikinci sətirə əlavə edildi. 6 ilə vurulan birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi.
İkinci "addım" ilə hər şey daha da pisləşir , bunun üçün "namizədlər" 17 və 23 rəqəmləridir və bizə ya bir, ya da -1 lazımdır. Transformasiyalar (3) və (4) istədiyiniz vahidi əldə etməyə yönəldiləcəkdir (3) Üçüncü sətirə ikinci sətir əlavə edildi, -1 ilə vuruldu. (4) Üçüncü sətir ikinci sətirə əlavə edildi, -3 ilə vuruldu. İkinci addımda tələb olunan element alındı. . (5) İkinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, 6-ya vuruldu. (6) İkinci sətir –1-ə vuruldu, üçüncü sətir -83-ə bölündü.
Ters:
Cavab verin :
Misal 5:
Həll
:
Sistemin matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu mərhələli formaya gətirək:
Həyata keçirilən çevrilmələr: (1) Birinci və ikinci sətirlər dəyişdirildi. (2) Birinci sətir ikinci sətirə əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Üçüncü sətirə birinci sətir əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Birinci sətir dördüncü sətirə əlavə edildi, -3-ə vuruldu. (3) İkinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, 4-ə vuruldu. İkinci sətir dördüncü sətirə əlavə edildi, -1 ilə vuruldu. (4) İkinci xəttin işarəsi dəyişdirildi. Dördüncü sətir 3-ə bölünərək üçüncü sətirin yerinə qoyuldu. (5) Üçüncü sətir dördüncü sətirə əlavə edilib, –5-ə vurulub.
Ters:
Cavab verin :
Sistem verilsin, ∆≠0. (1)Gauss üsulu naməlumların ardıcıl olaraq aradan qaldırılması üsuludur.
Gauss metodunun mahiyyəti (1)-i üçbucaqlı matrisli bir sistemə çevirməkdir, bundan sonra bütün naməlumların qiymətləri ardıcıl olaraq (əksinə) alınır. Hesablama sxemlərindən birini nəzərdən keçirək. Bu dövrə tək bölməli dövrə adlanır. Beləliklə, bu diaqrama baxaq. 11 ≠0 (aparıcı element) birinci tənliyi 11-ə bölsün. alırıq
(2)
(2) tənliyindən istifadə edərək, sistemin qalan tənliklərindən x 1 naməlumlarını aradan qaldırmaq asandır (bunun üçün hər bir tənlikdən əvvəllər x 1 üçün müvafiq əmsala vurulan (2) tənliyini çıxarmaq kifayətdir) , yəni ilk addımda əldə edirik
.
Başqa sözlə, 1-ci addımda, ikincidən başlayaraq sonrakı cərgələrin hər bir elementi ilkin element ilə onun birinci sütuna və birinci (çevirilmiş) cərgəyə “proyeksiyasının” məhsulu arasındakı fərqə bərabərdir.
Bundan sonra, birinci tənliyi tək buraxaraq, birinci addımda alınan sistemin qalan tənlikləri üzərində oxşar çevrilmə həyata keçiririk: onların arasından aparıcı elementi olan tənliyi seçirik və onun köməyi ilə qalanlardan x 2-ni çıxarırıq. tənliklər (addım 2).
n addımdan sonra (1) əvəzinə ekvivalent sistem əldə edirik 
(3)
Beləliklə, birinci mərhələdə üçbucaq sistemi əldə edirik (3). Bu mərhələ irəli vuruş adlanır.
İkinci mərhələdə (əks) ardıcıl olaraq (3) x n, x n -1, ..., x 1 dəyərlərini tapırıq.
Nəticə həllini x 0 kimi işarə edək. Onda fərq ε=b-A x 0 olur qalıq adlanır.
Əgər ε=0 olarsa, onda tapılmış həll x 0 düzgündür.
Gauss metodundan istifadə edərək hesablamalar iki mərhələdə aparılır:
- Birinci mərhələ irəli metod adlanır. Birinci mərhələdə orijinal sistem üçbucaqlı formaya çevrilir.
- İkinci mərhələ tərs vuruş adlanır. İkinci mərhələdə orijinala ekvivalent olan üçbucaqlı sistem həll edilir.
Hər addımda aparıcı elementin sıfırdan fərqli olduğu qəbul edildi. Əgər belə deyilsə, onda sistemin tənliklərini yenidən təşkil edən kimi istənilən başqa element aparıcı element kimi istifadə oluna bilər.
Gauss metodunun məqsədi
Gauss metodu xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün nəzərdə tutulmuşdur. Birbaşa həll üsullarına istinad edir.Qauss metodunun növləri
- Klassik Qauss metodu;
- Gauss metodunun modifikasiyası. Gauss metodunun modifikasiyalarından biri əsas elementin seçimi ilə sxemdir. Əsas elementin seçimi ilə Gauss metodunun bir xüsusiyyəti, tənliklərin elə yenidən qurulmasıdır ki, k-ci addımda aparıcı element k-ci sütunda ən böyük elementə çevrilir.
- Jordano-Gauss metodu;
Gəlin fərqi təsvir edək Jordano-Gauss metodu Qauss metodundan nümunələrlə.
Gauss metodundan istifadə edərək həll nümunəsi
Sistemi həll edək: 
Hesablama asanlığı üçün xətləri dəyişdirək: 
2-ci sətri (2) ilə vuraq. 2-ci sətirə 3-cü sətri əlavə edin 
2-ci sətri (-1) ilə vurun. 1-ci sətirə 2-ci sətri əlavə edin 
1-ci sətirdən x 3-ü ifadə edirik:
2-ci sətirdən x 2 ifadə edirik:
3-cü sətirdən x 1 ifadə edirik: 
Jordano-Gauss metodundan istifadə edərək həll nümunəsi
Eyni SLAE-ni Jordano-Gauss metodundan istifadə edərək həll edək. 
Matrisin əsas diaqonalında yerləşən RE həlledici elementini ardıcıl olaraq seçəcəyik.
Qətnamə elementi (1) bərabərdir.
NE = SE - (A*B)/RE
RE - həlledici element (1), A və B - STE və RE elementləri ilə düzbucaqlı təşkil edən matris elementləri.
Hər bir elementin hesablanmasını cədvəl şəklində təqdim edək:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
Həlledici element (3) bərabərdir.
Həlledici elementin yerinə 1 alırıq və sütunun özündə sıfırları yazırıq.
B sütununun elementləri daxil olmaqla matrisin bütün digər elementləri düzbucaqlı qaydası ilə müəyyən edilir.
Bunun üçün biz düzbucaqlının təpələrində yerləşən və həmişə həlledici element RE olan dörd ədədi seçirik.
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
Qətnamə elementi (-4) təşkil edir.
Həlledici elementin yerinə 1 alırıq və sütunun özündə sıfırları yazırıq.
B sütununun elementləri daxil olmaqla matrisin bütün digər elementləri düzbucaqlı qaydası ilə müəyyən edilir.
Bunun üçün biz düzbucaqlının təpələrində yerləşən və həmişə həlledici element RE olan dörd ədədi seçirik.
Hər bir elementin hesablanmasını cədvəl şəklində təqdim edək:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Cavab verin: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1
Qauss metodunun tətbiqi
Qauss metodu bir çox proqramlaşdırma dillərində, xüsusən: Pascal, C++, php, Delphi dillərində tətbiq edilir və Qauss metodunun onlayn tətbiqi də mövcuddur.Qauss metodundan istifadə etməklə
Gauss metodunun oyun nəzəriyyəsində tətbiqi
Oyun nəzəriyyəsində oyunçunun maksimal optimal strategiyasını taparkən, Gauss metodu ilə həll olunan tənliklər sistemi tərtib edilir.Diferensial tənliklərin həllində Qauss metodunun tətbiqi
Diferensial tənliyin xüsusi həllini tapmaq üçün əvvəlcə yazılı qismən həll üçün müvafiq dərəcəli törəmələri tapın (y=f(A,B,C,D)) orijinal tənlik. Tapmaq üçün yanında dəyişənlər A,B,C,D tənliklər sistemi Qauss üsulu ilə tərtib edilir və həll edilir.Xətti proqramlaşdırmada Jordano-Gauss metodunun tətbiqi
IN xətti proqramlaşdırma, xüsusən də simpleks metodunda, hər iterasiyada simpleks cədvəlini çevirmək üçün Jordano-Gauss metodundan istifadə edən düzbucaqlı qaydasından istifadə olunur.Qauss metodunun tərifi və təsviri
Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün Qauss çevrilmə metodu (həmçinin tənlikdən və ya matrisdən naməlum dəyişənlərin ardıcıl aradan qaldırılması metodu kimi tanınır) klassik üsul om sistem həlləri cəbri tənliklər(SLAU). Bu klassik üsuldan əldə etmək kimi problemləri həll etmək üçün də istifadə olunur tərs matrislər və matrisin dərəcəsinin müəyyən edilməsi.
Qauss metodundan istifadə edərək çevrilmə xətti cəbri tənliklər sisteminə kiçik (elementar) ardıcıl dəyişikliklərin edilməsindən ibarətdir ki, bu da orijinala ekvivalent olan yeni üçbucaqlı tənliklər sisteminin formalaşması ilə yuxarıdan aşağıya doğru dəyişənlərin aradan qaldırılmasına gətirib çıxarır. bir.
Tərif 1
Həllin bu hissəsi deyilir irəli vuruş Gauss həlləri, çünki bütün proses yuxarıdan aşağıya doğru aparılır.
Orijinal tənliklər sistemini üçbucaqlı sistemə endirdikdən sonra hamısını tapırıq sistem dəyişənləri aşağıdan yuxarıya (yəni tapılan ilk dəyişənlər sistemin və ya matrisin son sətirlərini tam olaraq tutur). Həllin bu hissəsi Qauss həllinin tərsi kimi də tanınır. Onun alqoritmi belədir: əvvəlcə tənliklər sisteminin və ya matrisin altına ən yaxın olan dəyişənlər hesablanır, sonra alınan qiymətlər daha yüksək əvəzlənir və beləliklə, başqa dəyişən tapılır və s.
Qauss metodu alqoritminin təsviri
Gauss metodundan istifadə edərək tənliklər sisteminin ümumi həlli üçün hərəkətlərin ardıcıllığı SLAE əsasında matrisə irəli və geri vuruşların növbə ilə tətbiqindən ibarətdir. İlkin tənliklər sistemi aşağıdakı formada olsun:
$\begin(hallar) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(hallar)$
SLAE-ləri Gauss metodundan istifadə edərək həll etmək üçün orijinal tənliklər sistemini matris şəklində yazmaq lazımdır:
$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$
$A$ matrisi əsas matris adlanır və ardıcıllıqla yazılmış dəyişənlərin əmsallarını, $b$ isə onun sərbəst şərtlərinin sütunu adlanır. Sərbəst şərtlər sütunu olan çubuq vasitəsilə yazılan $A$ matrisi uzadılmış matris adlanır:
$A = \begin(massiv)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(massiv)$
İndi tənliklər sistemində (və ya matrisdə, çünki bu daha rahatdır) elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu aşağıdakı formaya gətirmək lazımdır:
$\begin(hallar) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(hallar)$ (1)
Dəyişdirilmiş (1) tənlik sisteminin əmsallarından alınan matris addım matrisi adlanır, adətən addım matrisləri belə görünür:
$A = \begin(massiv)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(massiv)$
Bu matrislər aşağıdakı xüsusiyyətlər dəsti ilə xarakterizə olunur:
- Onun bütün sıfır xətləri sıfırdan fərqli xətlərdən sonra gəlir
- Əgər $k$ nömrəli matrisin bəzi cərgəsi sıfırdan fərqlidirsə, eyni matrisin əvvəlki sətirində $k$ nömrəli bu sətirdən daha az sıfır var.
Addım matrisini əldə etdikdən sonra yaranan dəyişənləri qalan tənliklərə (sondan başlayaraq) əvəz etmək və dəyişənlərin qalan dəyərlərini almaq lazımdır.
Qauss metodundan istifadə edərkən əsas qaydalar və icazə verilən çevrilmələr
Bu üsuldan istifadə edərək matrisi və ya tənliklər sistemini sadələşdirərkən yalnız elementar çevrilmələrdən istifadə etməlisiniz.
Bu cür çevrilmələr matrisə və ya tənliklər sisteminə mənasını dəyişdirmədən tətbiq edilə bilən əməliyyatlar hesab olunur:
- bir neçə xəttin yenidən təşkili,
- matrisin bir cərgəsindən başqa bir sətir əlavə etmək və ya çıxmaq;
- sətri sıfıra bərabər olmayan sabitə vurmaq və ya bölmək,
- sistemin hesablanması və sadələşdirilməsi prosesində əldə edilən yalnız sıfırlardan ibarət bir xətt silinməlidir,
- Əlavə hesablamalar üçün daha uyğun və rahat olan əmsalları olan sistem üçün yeganə olanı seçərək, lazımsız mütənasib xətləri də aradan qaldırmalısınız.
Bütün elementar çevrilmələr geri çevrilir.
Sadə Gauss çevrilmələri metodundan istifadə edərək xətti tənliklərin həlli zamanı yaranan üç əsas halın təhlili
Sistemləri həll etmək üçün Gauss metodundan istifadə edərkən yaranan üç hal var:
- Sistem uyğunsuz olduqda, yəni heç bir həll yolu yoxdur
- Tənliklər sisteminin həlli var və unikaldır və matrisdəki sıfırdan fərqli sətir və sütunların sayı bir-birinə bərabərdir.
- Sistemin müəyyən bir miqdarı və ya dəsti var mümkün həllər, və içindəki sətirlərin sayı sütunların sayından azdır.
Uyğun olmayan sistemlə həllin nəticəsi
Bu seçim üçün, həll edərkən matris tənliyi Gauss metodu bərabərliyin yerinə yetirilməsinin qeyri-mümkün olduğu müəyyən bir xəttin alınması ilə xarakterizə olunur. Buna görə də, ən azı bir səhv bərabərlik baş verərsə, nəticədə yaranan və orijinal sistemlərin, ehtiva etdikləri digər tənliklərdən asılı olmayaraq həlləri yoxdur. Uyğun olmayan matrisin nümunəsi:
$\begin(massiv)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(massiv)$
Sonuncu sətirdə qeyri-mümkün bərabərlik yarandı: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.
Yalnız bir həlli olan tənliklər sistemi
Bu sistemlər pilləli matrisə endirildikdən və sıfırları olan sətirləri sildikdən sonra əsas matrisdə eyni sayda sətir və sütuna sahib olurlar. Budur ən sadə misal belə bir sistem:
$\begin(hallar) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(hallar)$
Onu matris şəklində yazaq:
$\begin(massiv)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(massiv)$
İkinci cərgənin birinci xanasını sıfıra çatdırmaq üçün yuxarı cərgəni $-2$-a vurub matrisin aşağı cərgəsindən çıxarırıq və yuxarı cərgəni öz orijinal formasında qoyuruq, nəticədə biz aşağıdakıları əldə edirik. :
$\begin(massiv)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(massiv)$
Bu nümunə bir sistem kimi yazıla bilər:
$\begin(hallar) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(hallar)$
Aşağı tənlik $x$ üçün aşağıdakı dəyəri verir: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Bu dəyəri yuxarı tənliyə əvəz edin: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, biz $x_1 = 1 \frac(2)(3)$ alırıq.
Çoxlu mümkün həlləri olan sistem
Bu sistem içindəki sütunların sayından daha az əhəmiyyətli sıra sayı ilə xarakterizə olunur (əsas matrisin sətirləri nəzərə alınır).
Belə bir sistemdə dəyişənlər iki növə bölünür: əsas və sərbəst. Belə bir sistemi transformasiya edərkən onun tərkibində olan əsas dəyişənlər sol sahədə “=” işarəsinə qədər qalmalı, qalan dəyişənlər isə aşağıdakılara köçürülməlidir. sağ tərəf bərabərlik.
Belə bir sistemin yalnız müəyyən ümumi həlli var.
Gəlin bunu həll edək aşağıdakı sistem tənliklər:
$\begin(hallar) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(hallar)$
Onu matris şəklində yazaq:
$\begin(massiv)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(massiv)$
Bizim vəzifəmiz sistemin ümumi həllini tapmaqdır. Bu matris üçün bazis dəyişənləri $y_1$ və $y_3$ olacaq ($y_1$ üçün - birinci gəldiyi üçün və $y_3$ vəziyyətində - sıfırlardan sonra yerləşir).
Baza dəyişənləri olaraq, biz məhz cərgədə birinci olan və sıfıra bərabər olmayanları seçirik.
Qalan dəyişənlər sərbəst adlanır, biz onların vasitəsilə əsasları ifadə etməliyik.
Sözdə tərs vuruşdan istifadə edərək, bunu etmək üçün sistemi aşağıdan yuxarıya doğru təhlil edirik, əvvəlcə sistemin aşağı hissəsindən $y_3$ ifadə edirik:
$5y_3 – 4y_4 = 1$
$5y_3 = 4y_4 + 1$
$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.
İndi biz $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) sistemin yuxarı tənliyində ifadə olunan $y_3$-ı əvəz edirik. + y_4 = 1$
Biz $y_1$-ı $y_2$ və $y_4$ sərbəst dəyişənləri ilə ifadə edirik:
$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$
$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$
$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$
$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$
Həll hazırdır.
Misal 1
Qauss metodundan istifadə edərək sökmə həll edin. Nümunələr. Qauss metodundan istifadə edərək 3-ə 3 matrislə verilmiş xətti tənliklər sisteminin həllinə nümunə
$\begin(hallar) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(hallar)$
Sistemimizi uzadılmış matris şəklində yazaq:
$\begin(massiv)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(massiv)$
İndi rahatlıq və praktiklik üçün matrisi elə çevirməlisiniz ki, $1$ ən kənar sütunun yuxarı küncündə olsun.
Bunu etmək üçün 1-ci sətirə ortadan $-1$-a vurulan sətri əlavə etməli və orta xəttin özünü olduğu kimi yazmalısınız, belə çıxır:
$\begin(massiv)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(massiv)$
$\begin(massiv)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(massiv) $
Üst və son sətirləri $-1$-a vurun, həmçinin son və orta sətirləri dəyişdirin:
$\begin(massiv)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(massiv)$
$\begin(massiv)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(massiv)$
Və son sətri $3$-a bölün:
$\begin(massiv)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(massiv)$
Orijinala bərabər olan aşağıdakı tənliklər sistemini əldə edirik:
$\begin(hallar) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(hallar)$
Üst tənlikdən $x_1$ ifadə edirik:
$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.
Misal 2
Qauss metodundan istifadə edərək 4-ə 4 matrisi istifadə edərək müəyyən edilmiş sistemin həllinə nümunə
$\begin(massiv)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 və 37 \\ \end(massiv)$.
Başlanğıcda yuxarı sol küncdə $1$ əldə etmək üçün ondan sonrakı yuxarı sətirləri dəyişdiririk:
$\begin(massiv)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 və 37 \\ \end(massiv)$.
İndi yuxarı xətti $-2$-a vurun və 2-ci və 3-cüyə əlavə edin. 4-cü sətirə $-3$ ilə vurulan 1-ci sətri əlavə edirik:
$\begin(massiv)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(massiv)$
İndi 3-cü sətirə 2-ci sətri $4$-a, 4-cü sətirə isə $-1$-a vurulan 2-ni əlavə edirik.
$\begin(massiv)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(massiv)$
2-ci sətri $-1$-a vururuq və 4-cü sətri $3$-a bölüb 3-cü sətri əvəz edirik.
$\begin(massiv)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 və 10 \\ \end(massiv)$
İndi biz sonuncu sətirə $-5$-a vurulan sondan əvvəlkini əlavə edirik.
$\begin(massiv)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 və 0 \\ \end(massiv)$
Yaranan tənliklər sistemini həll edirik:
$\begin(hallar) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(hallar)$
