Ev Ağıl dişləri Ekstremaların həlli üçün Laqranj üsulu. Şərti optimallaşdırma

Ağıl dişləri

Ekstremaların həlli üçün Laqranj üsulu. Şərti optimallaşdırma

Laqranj çarpan metodu riyazi proqramlaşdırma məsələlərinin (xüsusən də qabarıq proqramlaşdırma) həlli üçün klassik üsuldur. Təəssüf ki, metodun praktiki tətbiqi onun istifadə dairəsini daraldan əhəmiyyətli hesablama çətinlikləri ilə qarşılaşa bilər. Laqranj metodunu burada əsasən ona görə nəzərdən keçiririk ki, o, praktikada geniş istifadə olunan müxtəlif müasir ədədi üsulları əsaslandırmaq üçün fəal şəkildə istifadə olunan aparatdır. Laqranj funksiyasına və Laqranj çarpanlarına gəldikdə, onlar müstəqil və müstəsna olaraq oynayırlar mühüm rol təkcə riyazi proqramlaşdırmanın nəzəri və tətbiqlərində deyil.

Klassik optimallaşdırma problemini nəzərdən keçirin

maks (min) z=f(x) (7.20)

Bu problem (7.18), (7.19) məsələlərindən fərqlənir ki, məhdudiyyətlər (7.21) arasında bərabərsizliklər yoxdur, dəyişənlərin qeyri-mənfi olması üçün heç bir şərt yoxdur, onların diskretliyi və f(x) funksiyaları davamlı və ən azı ikinci dərəcəli qismən törəmələrə malikdir.

Məsələnin həllinə klassik yanaşma (7.20), (7.21) tənliklər sistemini verir ( zəruri şərtlər), f(x) funksiyasını (7.21) məhdudiyyətləri ödəyən nöqtələr çoxluğunda yerli ekstremumla təmin edən x* nöqtəsi ilə təmin edilməli olan (qabarıq proqramlaşdırma məsələsi üçün tapılmış x* nöqtəsi, uyğun olaraq). Teorem 7.6, eyni zamanda qlobal ekstremumun nöqtəsi olacaqdır).

Fərz edək ki, x* nöqtəsində (7.20) funksiyası yerli şərti ekstremuma malikdir və matrisin rütbəsi -ə bərabərdir. Sonra lazımi şərtlər formada yazılacaq:

(7.22)

Lagrange funksiyası var; - Laqranj çarpanları.

(7.22) tənliklər sisteminin həlli f(x) funksiyasının ekstremum nöqtəsini müəyyən edən kifayət qədər şərtlər də vardır. Bu sual Laqranj funksiyasının ikinci diferensialının işarəsinin öyrənilməsi əsasında həll edilir. Bununla belə, kifayət qədər şərtlər əsasən nəzəri maraq doğurur.

Laqranj çarpan metodundan istifadə edərək (7.20), (7.21) məsələsinin həlli üçün aşağıdakı proseduru təyin edə bilərsiniz:

1) Laqranj funksiyasını tərtib edin (7.23);

2) bütün dəyişənlərə münasibətdə Laqranj funksiyasının qismən törəmələrini tapın və onları sıfıra bərabər təyin edin. Bu, tənliklərdən ibarət (7.22) sistemi ilə nəticələnəcəkdir. Yaranan sistemi həll edin (əgər bu mümkün olarsa!) və beləliklə, Laqranj funksiyasının bütün stasionar nöqtələrini tapın;

3) koordinatları olmayan stasionar nöqtələrdən f(x) funksiyasının məhdudiyyətlər olduqda şərti yerli ekstremallara malik olduğu nöqtələri seçin (7.21). Bu seçim, məsələn, istifadə edilir kifayət qədər şərait yerli ekstremal. Problemin konkret şərtlərindən istifadə edilərsə, çox vaxt tədqiqat sadələşdirilir.

Misal 7.3. Məhdud resursun vahidlərdə optimal paylanmasını tapın. n istehlakçı arasında, əgər j-ci istehlakçıya x j resurs vahidinin ayrılmasından əldə edilən mənfəət düsturu ilə hesablanırsa.

Həll. Məsələnin riyazi modeli aşağıdakı formaya malikdir:

Laqranj funksiyasını tərtib edirik:

tapırıq Laqranj funksiyasının qismən törəmələri və onları sıfıra bərabərləşdirin:

Bu tənliklər sistemini həll edərək əldə edirik:

Beləliklə, j-ci istehlakçıya vahidlər ayrılırsa. resurs, onda ümumi mənfəət maksimum dəyərinə çatacaq və den məbləğinə çatacaq. vahidlər

Klassik optimallaşdırma probleminə tətbiq edilən Laqranj metodunu araşdırdıq. Bu üsul dəyişənlərin mənfi olmadığı və bəzi məhdudiyyətlərin bərabərsizliklər şəklində verildiyi hal üçün ümumiləşdirilə bilər. Lakin bu ümumiləşdirmə ilk növbədə nəzəri xarakter daşıyır və xüsusi hesablama alqoritmlərinə səbəb olmur.

Sonda Laqranj çarpanlarına iqtisadi şərh verək. Bunun üçün gəlin ən sadə klassik optimallaşdırma məsələsinə müraciət edək

maksimum (min) z=f(x 1 , X 2); (7.24)

𝜑(x 1, x 2)=b. (7,25)

Fərz edək ki, şərti ekstremum nöqtəyə çatır. Funksiyanın uyğun ifrat dəyəri f(x)

Fərz edək ki, məhdudiyyətlərdə (7.25) kəmiyyət b dəyişə bilər, sonra ekstremum nöqtənin koordinatları və buna görə də ekstremal qiymət f* funksiyaları f(x) asılı olaraq kəmiyyətlərə çevriləcək b, yəni. ,, və buna görə də (7.24) funksiyasının törəməsi

Birinci dərəcəli xətti qeyri-bərabər diferensial tənliyi nəzərdən keçirək:
(1) .
Bu tənliyi həll etməyin üç yolu var:

sabitin dəyişmə üsulu (Laqranj).

Birinci dərəcəli xətti diferensial tənliyin Laqranj üsulu ilə həllini nəzərdən keçirək.

Sabitin dəyişmə üsulu (Laqranj)

Sabit metodun variasiyasında tənliyi iki addımda həll edirik. Birinci mərhələdə biz sadələşdiririk orijinal tənlik və homojen tənliyi həll edin. İkinci mərhələdə həllin birinci mərhələsində alınan inteqrasiya sabitini funksiya ilə əvəz edirik. Sonra axtarırıq ümumi həll orijinal tənlik.

Tənliyi nəzərdən keçirin:
(1)

Addım 1 Homojen tənliyin həlli

Biz homojen tənliyin həllini axtarırıq:

Bu ayrıla bilən tənlikdir

Dəyişənləri ayırırıq - dx-ə vurun, y-ə bölün:

Gəlin inteqrasiya edək:

y üzərində inteqral - cədvəl:

Sonra

Gücləndirək:

Gəlin e C sabitini C ilə əvəz edək və sabitə vurmağa gələn modul işarəsini çıxaraq ±1 C-yə daxil edəcəyik:

Addım 2 C sabitini funksiya ilə əvəz edin

İndi C sabitini x funksiyası ilə əvəz edək:
C → u (x)
Yəni ilkin tənliyin həllini axtaracağıq (1) şəklində:
(2)
Törəmənin tapılması.

Mürəkkəb funksiyanın diferensiasiya qaydasına görə:
.
Məhsulun fərqləndirmə qaydasına görə:

.
Orijinal tənliyi əvəz edin (1) :
(1) ;

.
İki üzv azaldılır:
;
.
Gəlin inteqrasiya edək:
.
Əvəz edin (2) :
.
Nəticədə birinci dərəcəli xətti diferensial tənliyin ümumi həllini əldə edirik:
.

Laqranj üsulu ilə birinci dərəcəli xətti diferensial tənliyin həlli nümunəsi

Tənliyi həll edin

Həll

Homojen tənliyi həll edirik:

Dəyişənləri ayırırıq:

Çoxaldın:

Gəlin inteqrasiya edək:

Cədvəl inteqralları:

Gücləndirək:

e C sabitini C ilə əvəz edək və modul işarələrini çıxaraq:

Buradan:

C sabitini x funksiyası ilə əvəz edək:
C → u (x)

Törəmə tapmaq:
.
Orijinal tənliyi əvəz edin:
;
;
Və ya:
;
.
Gəlin inteqrasiya edək:
;
Tənliyin həlli:
.

Parametr adı	Mənası
Məqalənin mövzusu:	Laqranj üsulu.
Rubrika (tematik kateqoriya)	Riyaziyyat

Çoxhədli tapmaq onun əmsalının qiymətlərini təyin etmək deməkdir . Bunun üçün interpolyasiya şərtindən istifadə edərək xətti sistem yarada bilərsiniz cəbri tənliklər(SLAU).

Bu SLAE-nin determinantı adətən Vandermonde determinantı adlanır. Vandermonde determinantı for üçün sıfıra bərabər deyil, yəni axtarış cədvəlində uyğun qovşaqların olmadığı halda. Bununla belə, SLAE-nin bir həll yolu olduğunu və bu həllin unikal olduğunu iddia etmək olar. SLAE həll etdikdən və naməlum əmsalları təyin etdikdən sonra interpolyasiya polinomu qura bilərsiniz.

Laqranj üsulu ilə interpolyasiya edildikdə interpolyasiya şərtlərini ödəyən çoxhədli n-ci dərəcəli çoxhədlilərin xətti kombinasiyası şəklində qurulur:

Polinomlara adətən deyilir əsas polinomlar. etmək üçün Laqranj polinomu interpolyasiya şərtlərini ödəyirsə, onun əsas polinomlarının təmin etməsi son dərəcə vacibdir aşağıdakı şərtlər:

üçün .

Bu şərtlər yerinə yetirilirsə, hər hansı biri üçün bizdə:

Bundan əlavə, əsas çoxhədlilər üçün göstərilən şərtlərin yerinə yetirilməsi interpolyasiya şərtlərinin də təmin edilməsi deməkdir.

Bazis çoxhədlilərinin növünü onlara qoyulan məhdudiyyətlərə əsasən müəyyən edək.

1-ci şərt: at.

2-ci şərt: .

Nəhayət, əsas polinom üçün yaza bilərik:

Sonra əsas çoxhədlilər üçün alınan ifadəni ilkin çoxhədli ilə əvəz edərək, Laqranc çoxhədlinin son formasını alırıq:

Laqranc polinomunun xüsusi formasına adətən xətti interpolyasiya düsturu deyilir:

Alınan Laqranc çoxhədli adətən kvadratik interpolyasiya düsturu adlanır:

Laqranj üsulu. - konsepsiya və növləri. "Laqranj metodu" kateqoriyasının təsnifatı və xüsusiyyətləri. 2017, 2018.

- Laqranj üsulu (ixtiyari sabitin dəyişmə üsulu).

Xətti uzaqdan idarəetmə.

Tərif. DU növü, yəni. naməlum funksiyaya görə xətti və onun törəməsi xətti adlanır.

Bu tip həll üçün iki metodu nəzərdən keçirəcəyik: Laqranj metodu və Bernoulli metodu. - Xətti idarəetmə sistemləri, homojen və heterojen. Ümumi qərar anlayışı. İstehsal sabitlərinin dəyişməsinin Laqranj üsulu. Tərif. Əgər funksiya onun arqumentləri arasında əlaqə kimi göstərilə bilərsə, idarəetmə sistemi homojen adlanır.

F-Məni çağırırlar

homojen fth Ölçülər əgər Nümunələr: 1) - homogenliyin 1-ci sırası. 2) - homojenliyin 2-ci sırası.

3) - homojenliyin sıfır sırası (sadəcə bircins... .

- Mühazirə 8. Qismən törəmələrin tətbiqi: ekstremum məsələlər. Laqranj üsulu.

Ekstremal problemlər var

böyük dəyər

iqtisadi hesablamalarda. Bu, məsələn, bir neçə dəyişəndən asılı olaraq maksimum gəlirin, mənfəətin, minimum xərclərin hesablanmasıdır: resurslar, istehsal aktivləri və s. Funksiyaların ekstremumlarının tapılması nəzəriyyəsi... . 1 - T.2.3. Daha yüksək sifarişlərin DE. Ümumi diferensiallarda tənlik. T.2.4. Sabit əmsallı ikinci dərəcəli xətti diferensial tənliklər. Laqranj üsulu.. 3. 2. 1. Ayrılan dəyişənlərlə DE S.R. 3. Təbiət elmləri, texnologiya və iqtisadiyyatda tez-tez empirik düsturlarla məşğul olmaq lazımdır, yəni. statistik məlumatların emalı əsasında tərtib edilmiş düsturlar və ya... LAQRANJ METODU

dəyişənlərin qeyri-degenerativ xətti transformasiyasından istifadə etməklə. L. m. aşağıdakılardan ibarətdir. Fərz etmək olar ki, (1) formasının bütün əmsalları sıfıra bərabər deyil.

Buna görə də iki hal mümkündür. 1) Bəziləri üçün g,

diaqonal Sonra f 1 (x) şəklində dəyişən yoxdur x g . 2) Hər şey varsa Amma

Bu burada f 2 (x) forması iki dəyişəndən ibarət deyil x g Və x h .

(4)-dəki kvadrat işarələrinin altındakı formalar xətti müstəqildir. Sonlu sayda addımlardan sonra (3) və (4) formanın çevrilmələrini tətbiq etməklə (1) forması xətti müstəqil xətti formaların kvadratlarının cəminə endirilir. Qismən törəmələrdən istifadə edərək (3) və (4) düsturları formada yazıla bilər yanan. : G a n t m a k h e r F. R., Matrislər nəzəriyyəsi, 2-ci nəşr, M., 1966; K u r o ş A. G., Ali Cəbr kursu, 11-ci nəşr, M., 1975; Aleksandrov P.S., Analitik həndəsə üzrə mühazirələr..., M., 1968.

I. V. Proskuryakov. Riyazi ensiklopediya. - M.: Sovet Ensiklopediyası