M nöqtəsi müəyyən G çoxluğuna daxili adlanırsa, o, bəzi qonşuluqları ilə birlikdə bu çoxluğa aiddir. N nöqtəsi G çoxluğunun sərhəd nöqtəsi adlanır, əgər onun hər hansı tam qonşuluğunda həm G-ə aid olan, həm də ona aid olmayan nöqtələr varsa.

G çoxluğunun bütün sərhəd nöqtələrinin çoxluğuna G-nin sərhədi deyilir.

G çoxluğu, bütün nöqtələri daxili (açıq çoxluq) olarsa, bölgə adlanacaqdır. Əlaqədar sərhədi Г olan G çoxluğuna qapalı bölgə deyilir. Bölgə tamamilə kifayət qədər böyük radiuslu bir dairədə yerləşirsə, o, məhdud adlanır.

Müəyyən bir sahədə funksiyanın ən kiçik və ən böyük qiymətləri bu sahədə funksiyanın mütləq ekstremumları adlanır.

Weierstrass teoremi: məhdud və ilə davamlı funksiya qapalı sahə, bu bölgədə minimum və maksimum dəyərlərinə çatır.

Nəticə. Müəyyən bir bölgədə funksiyanın mütləq ekstremumu ya bu bölgəyə aid funksiyanın kritik nöqtəsində əldə edilir, ya da qapalı G bölgəsində funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapmaq üçün onu tapmaq lazımdır. onun bu bölgədəki bütün kritik nöqtələrini, bu nöqtələrdə (sərhəd olanlar da daxil olmaqla) funksiyanın dəyərlərini hesablayın və alınan ədədləri müqayisə edərək onlardan ən böyüyü və ən kiçikini seçin.

Misal 4.1. Funksiyanın mütləq ekstremumunu tapın (ən böyük və ən kiçik qiymətlər)
təpələri olan üçbucaqlı D bölgəsində
,
,
(şək. 1).

;
,

yəni O(0,0) nöqtəsi D bölgəsinə aid kritik nöqtədir.z(0,0)=0.

Sərhədi araşdıraq:

a) OA: y=0
;z(x, 0)=0; z(0, 0)=0; z(1, 0)=0,

b) OB: x=0
z(0,y)=0; z(0, 0)=0; z(0, 2)=0,

kabinə: ;
,

Misal 4.2. Koordinat oxları və düz xətt ilə məhdudlaşan qapalı sahədə funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətlərini tapın.
.

1) Bölgədə yatan kritik nöqtələri tapın:

,
,

.

Gəlin sərhədi araşdıraq. Çünki sərhəd Ox oxunun OA seqmentindən, Oy oxunun OB seqmentindən və AB seqmentindən ibarətdir, sonra bu seqmentlərin hər birində z funksiyasının ən böyük və ən kiçik qiymətlərini təyin edirik.

, z(0, 2)=–3, z(0, 0)=5, z(0, 4)=5.

M 3 (5/3,7/3), z(5/3, 7/3)=–10/3.

Tapılan bütün dəyərlər arasında z max =z(4, 0)=13 seçin; z naim =z(1, 2)=–4.

5. Şərti ekstremum. Laqranj çarpan metodu

Bir neçə dəyişənli funksiyalara xas olan problemi nəzərdən keçirək, o zaman ki, onun ekstremumu tərifin bütün sahəsi üzrə deyil, müəyyən şərti ödəyən çoxluq üzərində axtarılır.

Funksiyanı nəzərdən keçirək
, arqumentlər Və şərti təmin edən
, birləşmə tənliyi adlanır.

Nöqtə
şərti maksimum (minimum) nöqtə adlanır ki, bu nöqtənin bütün nöqtələri üçün elə qonşuluğu varsa
bu məhəllədən şərti qane edir
, bərabərsizlik qüvvədədir
və ya
.

Şəkil 2 şərti maksimum nöqtəni göstərir
. Aydındır ki, o, funksiyanın qeyd-şərtsiz ekstremum nöqtəsi deyil
(Şəkil 2-də bu məqamdır
).

İki dəyişənli funksiyanın şərti ekstremumunu tapmağın ən sadə yolu problemi bir dəyişənin funksiyasının ekstremumunu tapmaq üçün azaltmaqdır. Əlaqə tənliyini qəbul edək
dəyişənlərdən birinə münasibətdə həll etməyi, məsələn, ifadə etməyi bacardı vasitəsilə :
. Alınan ifadəni iki dəyişənli funksiyaya əvəz edərək, alırıq

olanlar. bir dəyişənin funksiyası. Onun ekstremumu funksiyanın şərti ekstremumu olacaqdır
.

Misal 5.1. Funksiyanın maksimum və minimum nöqtələrini tapın
bunu nəzərə alaraq
.

Həll. tənlikdən ifadə edək
dəyişən dəyişən vasitəsilə və nəticədə ifadəni əvəz edin
funksiyaya çevrilir . alırıq
və ya
. Bu funksiyanın unikal minimumu var
. Müvafiq funksiya dəyəri
. Beləliklə,
– şərti ekstremum nöqtəsi (minimum).

Baxılan nümunədə birləşmə tənliyi
xətti olduğu ortaya çıxdı, buna görə də dəyişənlərdən birinə münasibətdə asanlıqla həll edildi. Ancaq daha mürəkkəb hallarda bunu etmək mümkün deyil.

Ümumi halda şərti ekstremumu tapmaq üçün Laqranj çarpan metodundan istifadə olunur. Üç dəyişənli funksiyanı nəzərdən keçirək. Bu funksiya Laqranj funksiyası adlanır və – Laqranj çarpanı. Aşağıdakı teorem doğrudur.

Teorem.Əgər nöqtə
funksiyanın şərti ekstremum nöqtəsidir
bunu nəzərə alaraq
, onda bir dəyər var belə məqam
funksiyanın ekstremum nöqtəsidir
.

Beləliklə, funksiyanın şərti ekstremumunu tapmaq
bunu nəzərə alaraq
sistemin həllini tapmaq lazımdır

P bu tənliklərin sonuncusu birləşmə tənliyi ilə üst-üstə düşür. Sistemin ilk iki tənliyi formada yenidən yazıla bilər, yəni. şərti ekstremum nöqtəsində funksiya qradiyenti
Və
kollinear. Şəkildə. Şəkil 3-də Laqranj şərtlərinin həndəsi mənası göstərilir. Xətt
nöqtəli, səviyyəli xətt
funksiyaları
möhkəm. Şəkildən. buradan belə nəticə çıxır ki, şərti ekstremum nöqtədə funksiya səviyyə xətti
xəttinə toxunur
.

Misal 5.2. Funksiyanın ekstremal nöqtələrini tapın
bunu nəzərə alaraq
, Laqranj çarpan metodundan istifadə etməklə.

Həll. Laqranj funksiyasını tərtib edirik. Onun qismən törəmələrini sıfıra bərabərləşdirərək, tənliklər sistemini əldə edirik:

Onun yeganə həlli. Beləliklə, şərti ekstremum nöqtəsi yalnız (3; 1) nöqtəsi ola bilər. Bu nöqtədə funksiyanı yoxlamaq asandır
şərti minimuma malikdir. Dəyişənlərin sayı ikidən çox olarsa, bir neçə birləşmə tənliyi nəzərdən keçirilə bilər. Müvafiq olaraq, bu halda bir neçə Lagrange çarpanları olacaqdır.

Şərti ekstremumun tapılması məsələsindən resursların optimal bölüşdürülməsinin tapılması, qiymətli kağızların optimal portfelinin seçilməsi və s. kimi iqtisadi problemlərin həllində istifadə olunur.

Cozef Lui Laqranc Turində (İtaliya) italyan-fransız ailəsində anadan olub. O, Artilleriya Məktəbində oxuyub, sonra dərs deyib. 1759-cu ildə Eylerin tövsiyəsi ilə 23 yaşlı Laqranj Berlin Elmlər Akademiyasının üzvü seçilir. 1766-cı ildə o, artıq onun prezidenti oldu. II Fridrix Laqrancı Berlinə dəvət etdi. 1786-cı ildə II Fridrixin ölümündən sonra Laqranj Parisə köçdü. 1722-ci ildən Paris Elmlər Akademiyasının üzvü, 1795-ci ildə Uzunluqlar Bürosunun üzvü təyin edilmiş, ölçülərin metrik sisteminin yaradılmasında fəal iştirak etmişdir. Dairə elmi araşdırma Lagrange qeyri-adi geniş idi. Onlar mexanika, həndəsə, riyazi analiz, cəbr, ədədlər nəzəriyyəsi və nəzəri astronomiyaya həsr olunub. Laqranjın tədqiqatlarının əsas istiqaməti mexanikada müxtəlif hadisələrin vahid nöqteyi-nəzərdən təqdim edilməsi idi. O, qüvvələrin təsiri altında istənilən sistemin davranışını təsvir edən bir tənlik əldə etmişdir. Astronomiya sahəsində Laqranj sabitlik problemini həll etmək üçün çox şey etdi günəş sistemi; sabit hərəkətin bəzi xüsusi hallarını sübut etdi, xüsusən də üçbucaqlı librasiya nöqtələrində yerləşən kiçik cisimlər üçün.

Laqranj üsulu─ gizli funksiyalar kimi yazılan məhdudiyyətlərin yeni tənlik şəklində məqsəd funksiyası ilə birləşdirildiyi məhdud optimallaşdırma probleminin həlli üsuludur. Laqrangian.

Gəlin nəzərdən keçirək xüsusi hal ümumi vəzifə yox xətti proqramlaşdırma:

Sistemi nəzərə alaraq qeyri-xətti tənliklər (1):

(1) gi(x1,x2,…,xn)=bi (i=1..m),

Funksiyanın ən kiçik (və ya ən böyük) qiymətini tapın (2)

(2) f (x1,x2,…,xn),

dəyişənlərin qeyri-mənfi olması üçün şərtlər yoxdursa və f(x1,x2,…,xn) və gi(x1,x2,…,xn) qismən törəmələri ilə birlikdə fasiləsiz funksiyalardır.

Bu problemin həllini tapmaq üçün istifadə edə bilərsiniz növbəti üsul: 1. Laqranj çarpanları adlanan λ1, λ2,…, λm dəyişənlər toplusunu daxil edin, Laqranj funksiyasını (3) tərtib edin.

(3) F(х1,х2,…,хn, λ1,λ2,…,λm) = f(х1,х2,…,хn)+ λi.

2. Laqranj funksiyasının xi və λi dəyişənlərinə münasibətdə qismən törəmələrini tapın və onları sıfıra bərabərləşdirin.

3. Tənliklər sisteminin həlli, hansı nöqtələri tapın məqsəd funksiyası problem ekstremum ola bilər.

4. Ekstremum deyil, şübhəli olan nöqtələr arasında ekstremuma çatan nöqtələri tapın və bu nöqtələrdə funksiyanın qiymətlərini hesablayın. .

4. f funksiyasının alınan qiymətlərini müqayisə edin və ən yaxşısını seçin.

İstehsal planına əsasən müəssisə 180 adda məhsul istehsal etməlidir. Bu məhsullar iki texnoloji yolla istehsal oluna bilər. I üsulla x1 məhsul istehsal etdikdə xərclər 4*x1+x1^2 rubl, II üsulla x2 məhsul istehsal etdikdə isə 8*x2+x2^2 rubl təşkil edir. Hər bir metoddan istifadə etməklə neçə məhsul istehsal olunmalı olduğunu müəyyən edin ki, istehsalın ümumi dəyəri minimal olsun.

Həlli: Problemin riyazi formalaşdırılması müəyyən etməkdir ən aşağı dəyər iki dəyişənin funksiyaları:

f = 4*x1+x1^2 +8*x2 +x2^2, verilmiş x1 +x2 = 180.

Laqranj funksiyasını tərtib edək:

F(x1,x2,λ) = 4*x1+x1^2+8*x2+x2^2+λ*(180-x1-x2).

Onun x1, x2, λ ilə bağlı qismən törəmələrini hesablayaq və onları 0-a bərabərləşdirək:

İlk iki tənliyin sağ tərəflərinə λ keçirək və onların sol tərəflərini bərabərləşdirək, 4 + 2*x1 = 8 + 2*x2 və ya x1 − x2 = 2 alırıq.

Son tənliyi x1 + x2 = 180 tənliyi ilə birlikdə həll edərək, x1 = 91, x2 = 89 tapırıq, yəni şərtləri ödəyən bir həll əldə etdik:

Dəyişənlərin bu qiymətləri üçün məqsəd funksiyasının f qiymətini tapaq:

F(x1, x2) = 17278

Bu məqam ifrat nöqtə üçün şübhəlidir. İkinci qismən törəmələrdən istifadə edərək (91.89) nöqtəsində f funksiyasının minimuma malik olduğunu göstərə bilərik.

Metodun təsviri

Harada.

Əsaslandırma

Laqranj çarpan metodu üçün aşağıdakı əsaslandırma bunun ciddi sübutu deyil. Anlamaq üçün evristik əsaslandırma ehtiva edir həndəsi mənaüsul.

İki ölçülü qutu

Səviyyə xətləri və əyri.

Tənliklə müəyyən edilmiş şərtlə iki dəyişənin hansısa funksiyasının ekstremumunu tapmaq tələb olunsun. . Biz bütün funksiyaların davamlı olaraq diferensiallaşdığını fərz edəcəyik və bu tənlik hamar əyrini təyin edir S səthində. Sonra problem funksiyanın ekstremumunun tapılmasına qədər azalır fəyri üzərində S. Biz də bunu güman edəcəyik S qradiyentin olduğu nöqtələrdən keçmir f 0-a çevrilir.

Müstəvidə funksiya səviyyəsinin xətlərini çəkək f(yəni əyrilər). Həndəsi mülahizələrdən aydın olur ki, funksiyanın ekstremumu fəyri üzərində S yalnız toxunan nöqtələr ola bilər S və müvafiq səviyyə xətti üst-üstə düşür. Həqiqətən, əgər əyri S səviyyə xəttini keçir f eninə bir nöqtədə (yəni sıfırdan fərqli bir açı ilə), sonra əyri boyunca hərəkət edir S bir nöqtədən daha böyük dəyərə uyğun səviyyə xətlərinə keçə bilərik f, və daha az. Ona görə də belə bir nöqtə ekstremum nöqtə ola bilməz.

Beləliklə, bizim vəziyyətimizdə ekstremum üçün zəruri şərt tangenslərin üst-üstə düşməsi olacaqdır. Onu analitik formada yazmaq üçün qeyd edək ki, o, funksiyaların qradientlərinin paralelliyinə bərabərdir. f və verilmiş nöqtədə ψ, çünki qradiyent vektoru səviyyə xəttinə toxunan perpendikulyardır. Bu şərt aşağıdakı formada ifadə olunur:

burada λ Laqranj çarpanı olan sıfırdan fərqli bir ədəddir.

İndi nəzərdən keçirək Laqranj funksiyası, və λ-dan asılı olaraq:

Onun ekstremumunun zəruri şərti gradientin sıfıra bərabər olmasıdır. Diferensiasiya qaydalarına uyğun olaraq formada yazılır

İlk iki tənliyi zəruri şərtə ekvivalent olan bir sistem əldə etdik yerli ekstremal(1), üçüncüsü - tənliyə . Ondan tapa bilərsiniz. Üstəlik, funksiyanın gradienti əks halda f nöqtədə yox olur , bu bizim fərziyyələrimizə ziddir. Qeyd etmək lazımdır ki, bu şəkildə tapılan nöqtələr şərti ekstremumun arzu olunan nöqtələri olmaya bilər - nəzərdən keçirilən şərt zəruridir, lakin kifayət deyil. Köməkçi funksiyadan istifadə edərək şərti ekstremumun tapılması L və burada iki dəyişənin ən sadə halı üçün tətbiq olunan Laqranj çarpan metodunun əsasını təşkil edir. Belə çıxır ki, yuxarıdakı əsaslandırma şərtləri müəyyən edən ixtiyari sayda dəyişənlər və tənliklər üçün ümumiləşdirilə bilər.

Laqranj çarpan metoduna əsaslanaraq bəzilərini sübut etmək mümkündür kifayət qədər şərait Laqranj funksiyasının ikinci törəmələrinin təhlilini tələb edən şərti ekstremum üçün.

Ərizə

• Laqranj çarpan metodu bir çox sahələrdə (məsələn, iqtisadiyyatda) yaranan qeyri-xətti proqramlaşdırma məsələlərini həll etmək üçün istifadə olunur.
• Verilmiş orta bit sürətində audio və video məlumatların kodlaşdırılması keyfiyyətinin optimallaşdırılması probleminin həlli üçün əsas üsul (təhrifin optimallaşdırılması - İngilis. Rate-Distortion optimallaşdırılması).

həmçinin bax

Bağlantılar

• Zorich V. A. Riyazi analiz. 1-ci hissə. - red. 2-ci, rev. və əlavə - M.: FAZIS, 1997.

Wikimedia Fondu. 2010.

Digər lüğətlərdə "Lagrange çarpanlarının" nə olduğuna baxın:

Laqranj çarpanları- qabarıq proqramlaşdırmanın (xüsusən xətti proqramlaşdırma) klassik metodlardan birini, çarpanların həlli metodundan istifadə edərək həll edərkən məqsəd funksiyasını dəyişdirən əlavə amillər ... ... İqtisadi-riyazi lüğət

Laqranj çarpanları- Klassik üsullardan biri, çarpanların həlli metodu (Laqranj metodu) ilə həll edilərkən ekstremal qabarıq proqramlaşdırma məsələsinin (xüsusən də xətti proqramlaşdırma) məqsəd funksiyasını çevirən əlavə amillər... ... Texniki Tərcüməçi Bələdçisi

Mexanika. 1) 1-ci növ Laqranj tənlikləri, mexaniki hərəkətin diferensial tənlikləri. düzbucaqlı koordinat oxları üzərində proyeksiyalarda verilmiş və sözdə olanları ehtiva edən sistemlər. Laqranj çarpanları. 1788-ci ildə J. Lagrange tərəfindən əldə edilmişdir. Holonomik sistem üçün ... ... Fiziki ensiklopediya

Adi mexanika diferensial tənliklər 2-ci sıra, mexaniki hərəkətləri təsvir edir. onlara tətbiq edilən qüvvələrin təsiri altında olan sistemlər. L.u. J. Laq diapazonu tərəfindən iki formada qurulmuşdur: L. u. 1-ci növ və ya Kartezian koordinatlarında tənliklər... ... Riyaziyyat ensiklopediyası

1) hidromekanikada mühitin koordinatları olan Laqranj dəyişənlərində mayenin (qazın) hərəkət tənliyi. Fransız dilini aldı alim J. Lagrange (təxminən 1780). L. u. mühitin hərəkət qanunu asılılıqlar şəklində təyin olunur... ... Fiziki ensiklopediya

Laqranj çarpan üsulu, f(x) funksiyasının şərti ekstremumunun tapılması üsulu, burada m məhdudiyyətə nisbətən i birdən m-ə qədər dəyişir. Mündəricat 1 Metodun təsviri ... Vikipediya

Çox dəyişənlərin və funksionalların funksiyalarının şərti ekstremumuna aid məsələlərin həllində istifadə olunan funksiya. L. f-nin köməyi ilə. qeydə alınır zəruri şərtlərşərti ekstremum üzrə məsələlərdə optimallıq. Bu halda yalnız dəyişənləri ifadə etmək lazım deyil... Riyaziyyat ensiklopediyası

Şərti ekstremum üzrə məsələlərin həlli üsulu; L.M.M. bu problemləri köməkçi funksiyanın qeyd-şərtsiz ekstremumuna aid olan problemlərə endirməkdən ibarətdir. Laqranj funksiyaları. f (x1, x2,..., xn) funksiyasının ekstremum məsələsi üçün... ...

Şərti ekstremum üzrə məsələləri öyrənərkən onların köməyi ilə Laqranj funksiyasının qurulduğu dəyişənlər. Xətti üsullardan və Laqranj funksiyasından istifadə şərti ekstremumu əhatə edən məsələlərdə lazımi optimallıq şərtlərini vahid şəkildə əldə etməyə imkan verir... Riyaziyyat ensiklopediyası

1) hidromekanikada mühitin hissəciklərinin koordinatları olan Laqranj dəyişənlərində yazılmış maye mühitin hərəkət tənlikləri. L. u. mühitin zərrəciklərinin hərəkət qanunu koordinatların zamandan asılılığı şəklində müəyyən edilir və onlardan... ... Böyük Sovet Ensiklopediyası

• Dərslik

Hər kəs yaxşı gün. Bu yazıda onlardan birini göstərmək istəyirəm qrafik üsullar Tikinti riyazi modellər adlanan dinamik sistemlər üçün bağ qrafiki(“bağ” - əlaqələr, “qrafik” - qrafik). Rus ədəbiyyatında bu metodun təsvirlərini yalnız Tomskinin Dərsliyində tapdım Politexnik Universiteti, A.V. Voronin “MEHATRONİK SİSTEMLƏRİN MODELLEŞMESİ” 2008 Həmçinin göstər klassik üsul 2-ci növ Laqranj tənliyi vasitəsilə.

Laqranj üsulu

Nəzəriyyəni təsvir etməyəcəyəm, hesablamaların mərhələlərini bir neçə şərhlə göstərəcəyəm. Şəxsən mənim üçün nümunələrdən öyrənmək, nəzəriyyəni 10 dəfə oxumaqdan daha asandır. Mənə elə gəlirdi ki, rus ədəbiyyatında bu metodun və doğrudan da, ümumiyyətlə, riyaziyyatın və ya fizikanın izahı çox zəngindir. mürəkkəb düsturlar, müvafiq olaraq ciddi riyazi bilik tələb edir. Laqranj metodunu öyrənərkən (Mən İtaliyanın Turin Politexnik Universitetində oxuyuram) hesablama metodlarını müqayisə etmək üçün rus ədəbiyyatını öyrəndim və bu metodun həllinin gedişatını izləmək mənim üçün çətin idi. Hətta Xarkov Aviasiya İnstitutundakı modelləşdirmə kurslarını xatırlayaraq belə üsulların əldə edilməsi çox çətin idi və heç kim bu məsələni anlamağa çalışmaq üçün özünü narahat etmirdi. Laqranca görə riyazi modellərin qurulması üçün dərslik yazmaq qərarına gəldiyim budur, çünki məlum oldu ki, bu heç də çətin deyil, zamana və qismən törəmələrə görə törəmələrin necə hesablanacağını bilmək kifayətdir. Daha mürəkkəb modellər üçün fırlanma matrisləri də əlavə olunur, lakin onlarda da mürəkkəb bir şey yoxdur.

Modelləşdirmə üsullarının xüsusiyyətləri:

• Nyuton-Euler: dinamik tarazlığa əsaslanan vektor tənlikləri güc Və anlar
• Laqranj: kinetik və potensialla əlaqəli vəziyyət funksiyalarına əsaslanan skalyar tənliklər enerjilər
• İstiqraz sayı: axın əsaslı üsul güc sistem elementləri arasında

ilə başlayaq sadə misal. Yay və damper ilə kütlə. Biz cazibə qüvvəsinə məhəl qoymuruq.

Şəkil 1. Yay və damper ilə kütlə

Əvvəlcə təyin edirik:

• ilkin sistem koordinatları(NSK) və ya sabit sk R0(i0,j0,k0). Harada? Siz barmağınızı səmaya yönəldə bilərsiniz, lakin beyindəki neyronların uclarını bükməklə, M1 gövdəsinin hərəkət xəttinə NSC-ni yerləşdirmək fikri keçir.
• kütləsi olan hər bir bədən üçün koordinasiya sistemləri(bizdə M1 var R1(i1,j1,k1)), oriyentasiya ixtiyari ola bilər, amma niyə həyatınızı çətinləşdirirsiniz, onu MTN-dən minimal fərqlə təyin edin
• ümumiləşdirilmiş koordinatlar q_i(hərəkəti təsvir edə bilən dəyişənlərin minimum sayı), bu nümunədə bir ümumiləşdirilmiş koordinat var, yalnız j oxu boyunca hərəkət

Şəkil 2. Biz koordinat sistemlərini və ümumiləşdirilmiş koordinatları qoyduq

Şəkil 3. Bədənin mövqeyi və sürəti M1

Sonra düsturlardan istifadə edərək amortizator üçün kinetik (C) və potensial (P) enerjiləri və dissipativ funksiyanı (D) tapacağıq:

Şəkil 4. Tam formula kinetik enerji

Bizim nümunəmizdə fırlanma yoxdur, ikinci komponent 0-dır.

Şəkil 5. Kinetik, potensial enerji və dissipativ funksiyanın hesablanması

Laqranj tənliyi aşağıdakı formaya malikdir:

Şəkil 6. Laqranj tənliyi və Laqranj

Delta W_i Bu, tətbiq olunan qüvvələr və momentlər tərəfindən görülən virtual işdir. Gəlin onu tapaq:

Şəkil 7. Virtual işin hesablanması

Harada delta q_1 virtual hərəkət.

Hər şeyi Laqranj tənliyinə əvəz edirik:

Şəkil 8. Yay və damper ilə nəticələnən kütləvi model

Laqranjın metodu burada sona çatdı. Gördüyünüz kimi, o qədər də mürəkkəb deyil, lakin bu, çox sadə bir nümunədir, çox güman ki, Nyuton-Euler metodu daha sadə olardı. Müxtəlif bucaqlarda bir-birinə nisbətən fırlanan bir neçə cismin olacağı daha mürəkkəb sistemlər üçün Laqranj üsulu daha asan olacaq.

İstiqraz qrafiki üsulu

Kütlə, yay və damperlə nümunə üçün modelin bağ qrafikində necə göründüyünü sizə dərhal göstərəcəyəm:

Şəkil 9. Yay və amortizator ilə bağ-qrafik kütlələr

Burada qurmaq üçün kifayət edəcək bir az nəzəriyyə söyləməli olacaqsınız sadə modellər. Maraqlananlar kitabı oxuya bilər ( Bond Qrafik Metodologiyası) və ya ( Voronin A.V. Mexatronik sistemlərin modelləşdirilməsi: dərslik. – Tomsk: Tomsk Politexnik Universitetinin nəşriyyatı, 2008).

Əvvəlcə bunu müəyyən edək mürəkkəb sistemlər bir neçə domendən ibarətdir. Məsələn, elektrik mühərriki elektrik və mexaniki hissələrdən və ya domenlərdən ibarətdir.

bağ qrafiki bu domenlər, alt sistemlər arasında güc mübadiləsinə əsaslanır. Nəzərə alın ki, istənilən formada enerji mübadiləsi həmişə iki dəyişənlə müəyyən edilir ( dəyişən güc) köməyi ilə dinamik sistem daxilində müxtəlif alt sistemlərin qarşılıqlı əlaqəsini öyrənə bilərik (cədvələ bax).

Cədvəldən də göründüyü kimi, gücün ifadəsi demək olar ki, hər yerdə eynidir. Xülasə, Güc- Bu iş " axın - f"haqqında" səy - e».

Səy(İngilis dili) səy) elektrik sahəsində bu gərginlik (e), mexaniki sahədə qüvvə (F) və ya fırlanma momenti (T), hidravlikada təzyiqdir (p).

Axın(İngilis dili) axın) elektrik sahəsində cərəyan (i), mexaniki sahədə sürət (v) və ya bucaq sürəti(omeqa), hidravlikada – maye axını və ya axın sürəti (Q).

Bu qeydləri götürərək, güc ifadəsini alırıq:

Şəkil 10. Güc dəyişənləri vasitəsilə güc düsturu

Bağ-qrafik dilində güc mübadilə edən iki alt sistem arasındakı əlaqə rabitə ilə təmsil olunur. bağ). Buna görə də adlanır bu üsul bağ qrafiki və ya g raf-əlaqələri, əlaqəli qrafik. Gəlin nəzərdən keçirək blok diaqram elektrik mühərriki olan bir modeldə birləşmələr (bu hələ bir əlaqə qrafiki deyil):

Şəkil 11. Domenlər arasında enerji axınının blok diaqramı

Gərginlik mənbəyimiz varsa, o zaman müvafiq olaraq gərginlik yaradır və onu sarma üçün mühərrikə ötürür (buna görə ox mühərrikə doğru yönəldilir), sarımın müqavimətindən asılı olaraq Ohm qanununa uyğun olaraq bir cərəyan meydana gəlir (yönləndirilmiş). motordan mənbəyə qədər). Müvafiq olaraq, bir dəyişən alt sistemə girişdir, ikincisi isə olmalıdır çıxış alt sistemdən. Burada gərginlik ( səy) – giriş, cari ( axın) - çıxış.

Cari mənbədən istifadə etsəniz, diaqram necə dəyişəcək? Sağ. Cərəyan mühərrikə, gərginlik isə mənbəyə yönəldiləcəkdir. Sonra cari ( axın) - Giriş gərginlikli ( səy) - çıxış.

Mexanikada bir nümunəyə baxaq. Kütlə üzərində hərəkət edən qüvvə.

Şəkil 12. Kütləyə tətbiq olunan qüvvə

Blok diaqramı aşağıdakı kimi olacaq:

Şəkil 13. Blok diaqram

Bu misalda, Güc ( səy) – kütlə üçün daxil edilən dəyişən. (Kütlə tətbiq olunan qüvvə)
Nyutonun ikinci qanununa görə:

Kütlə sürətlə cavab verir:

Bu misalda əgər bir dəyişən ( güc - səy) edir giriş mexaniki sahəyə, sonra başqa güc dəyişəninə ( sürət - axın) – avtomatik olur çıxış.

Girişin və çıxışın harada olduğunu ayırd etmək üçün elementlər arasında oxun (əlaqənin) sonunda şaquli xətt istifadə olunur, bu xətt adlanır. səbəbiyyət əlaməti və ya səbəbiyyət (səbəb əlaqəsi). Belə çıxır: tətbiq olunan qüvvə səbəb, sürət isə təsirdir. Bu işarə sistem modelinin düzgün qurulması üçün çox vacibdir, çünki səbəb əlaqəsi nəticədir fiziki davranış və iki alt sistemin səlahiyyətlərinin mübadiləsi, buna görə də səbəbiyyət əlamətinin yerinin seçimi ixtiyari ola bilməz.

Şəkil 14. Səbəb əlaqəsinin təyini

Bu şaquli xətt hansı alt sistemin qüvvə qəbul etdiyini göstərir ( səy) və nəticədə axın əmələ gətirir ( axın). Kütləvi nümunədə bu belə olardı:

Şəkil 14. Kütləyə təsir edən qüvvə üçün səbəb əlaqəsi

Oxdan aydın olur ki, kütlə üçün giriş - güc, və çıxış edir sürət. Bu, diaqramı oxlarla qarışdırmamaq və modelin qurulmasını sistemləşdirməmək üçün edilir.

Sonrakı mühüm məqam. Ümumiləşdirilmiş impuls(hərəkətin miqdarı) və hərəkət edir(enerji dəyişənləri).

Müxtəlif sahələrdə güc və enerji dəyişənləri cədvəli

Yuxarıdakı cədvəldə istifadə olunan iki əlavə fiziki kəmiyyət təqdim olunur bağ qrafiki üsulu. Onlar çağırılır ümumiləşdirilmiş impuls (R) Və ümumiləşdirilmiş hərəkət (q) və ya enerji dəyişənləridir və onlar zamanla güc dəyişənlərini inteqrasiya etməklə əldə edilə bilər:

Şəkil 15. Güc və enerji dəyişənləri arasında əlaqə

Elektrik sahəsində :

Faradeyin qanununa əsasən, gərginlik dirijorun uclarında bu keçiricidən keçən maqnit axınının törəməsinə bərabərdir.

A Cari güc - fiziki kəmiyyət, müəyyən t zamanından keçən Q yükünün miqdarının nisbətinə bərabərdir en kəsiyi dirijor, bu müddətin dəyərinə.

Mexanik domen:

Nyutonun 2-ci qanunundan güc– impulsun zaman törəməsi

Və müvafiq olaraq, sürət- yerdəyişmənin zaman törəməsi:

Gəlin ümumiləşdirək:

Əsas elementlər

Dinamik sistemlərdə bütün elementləri iki və dörd qütblü komponentlərə bölmək olar.
Gəlin nəzərdən keçirək bipolyar komponentlər:

Mənbələr
Həm səy, həm də axın mənbələri var. Elektrik sahəsində analoji: səy mənbəyi – gərginlik mənbəyi, axın mənbəyi – cari mənbə. Mənbələr üçün səbəb əlamətləri yalnız belə olmalıdır.

Şəkil 16. Səbəb əlaqəsi və mənbələrin təyini

Komponent R - dissipativ element

Komponent I - ətalət elementi

Komponent C - tutumlu element

Rəqəmlərdən göründüyü kimi, eyni müxtəlif elementlər tip R, C, I eyni tənliklərlə təsvir edilmişdir. YALNIZ elektrik tutumu üçün fərq var, sadəcə bunu yadda saxlamaq lazımdır!

Dördqütblü komponentlər:

İki komponentə baxaq: transformator və girator.

Bağlama-qrafik metodunda sonuncu vacib komponentlər əlaqələrdir. İki növ düyün var:

Komponentlərlə belədir.

İstiqraz qrafikini qurduqdan sonra səbəb-nəticə əlaqələrinin qurulması üçün əsas addımlar:

1. Hər kəsə səbəb əlaqəsi verin mənbələr
2. Bütün qovşaqlardan keçin və 1-ci bənddən sonra səbəb-nəticə əlaqələri qoyun
3. üçün komponentlər I giriş səbəb əlaqəsini təyin edin (səy bu komponentə daxildir), üçün komponentlər Cçıxış səbəbiyyətini təyin edin (səy bu komponentdən çıxır)
4. 2-ci nöqtəni təkrarlayın
5. üçün səbəb əlaqəsini daxil edin R komponentləri

Bununla nəzəriyyə üzrə mini kurs başa çatır. İndi bizdə modellər yaratmaq üçün lazım olan hər şey var.
Bir neçə misalı həll edək. Elektrik dövrəsindən başlayaq, bir bağ qrafikinin qurulmasının analogiyasını başa düşmək daha yaxşıdır.

Misal 1

Gərginlik mənbəyi ilə bir bağ qrafiki qurmağa başlayaq. Sadəcə Se yazın və ox qoyun.

Baxın, hər şey sadədir! Gəlin daha çox baxaq, R və L ardıcıl olaraq bağlanır, bu da onlarda eyni cərəyanın axması deməkdir, əgər güc dəyişənlərində danışırıqsa - eyni axın. Hansı node eyni axına malikdir? Düzgün cavab 1 düyündür. Mənbəni, müqaviməti (komponent - R) və endüktansı (komponent - I) 1-node ilə bağlayırıq.

Sonra, paralel olaraq tutum və müqavimətimiz var, yəni eyni gərginliyə və ya gücə malikdirlər. 0 node başqa heç kimi uyğun deyil. Kapasitansı (komponent C) və müqaviməti (komponent R) 0-node ilə bağlayırıq.

Biz həmçinin 1 və 0 qovşaqlarını bir-birinə bağlayırıq. Oxların istiqaməti özbaşına seçilir, əlaqənin istiqaməti yalnız tənliklərdəki işarəyə təsir edir.

Aşağıdakı əlaqə qrafikini alacaqsınız:

İndi səbəb-nəticə əlaqələri qurmalıyıq. Onların yerləşdirilməsi ardıcıllığına dair təlimatlara əməl edərək mənbədən başlayaq.

1. Gərginlik mənbəyimiz (səy) var, belə bir mənbənin yalnız bir səbəbiyyət variantı var - çıxış. Gəlin onu taxaq.
2. Sonra I komponent var, görək nə tövsiyə edirlər. qoyduq
3. Biz onu 1 düyün üçün qoyduq. Yemək
4. 0-qovşağında bir giriş və bütün çıxış səbəb əlaqələri olmalıdır. Hələlik bir gün istirahətimiz var. Biz C və ya I komponentlərini axtarırıq. Onu tapdıq. qoyduq
5. Qalanları sadalayaq

Hamısı budur. İstiqraz qrafiki qurulur. Ura, Yoldaşlar!

Yalnız sistemimizi təsvir edən tənlikləri yazmaq qalır. Bunun üçün 3 sütundan ibarət cədvəl yaradın. Birincisi sistemin bütün komponentlərini, ikincisi hər bir element üçün giriş dəyişənini, üçüncüsü isə eyni komponent üçün çıxış dəyişənini ehtiva edəcək. Biz artıq giriş və çıxışı səbəb-nəticə əlaqələri ilə müəyyən etmişik. Yəni heç bir problem olmamalıdır.

Səviyyələri qeyd etmək asanlığı üçün hər bir əlaqəni nömrələyək. C, R, I komponentləri siyahısından hər bir element üçün tənlikləri götürürük.

Cədvəl tərtib etdikdən sonra vəziyyət dəyişənlərini təyin edirik, bu nümunədə onlardan 2-si var, p3 və q5. Sonra vəziyyət tənliklərini yazmalısınız:

Budur, model hazırdır.

Nümunə 2. Fotonun keyfiyyətinə görə dərhal üzr istəyirəm, əsas odur ki, oxuya biləsiniz.

Laqranj metodundan istifadə edərək həll etdiyimiz bir mexaniki sistem üçün başqa bir nümunəni həll edək. Mən şərhsiz həllini göstərəcəyəm. Bu üsullardan hansının daha sadə və asan olduğunu yoxlayaq.

Mətbələdə eyni parametrlərə malik hər iki riyazi model tərtib edilmiş, Laqranj üsulu və bond qrafiki ilə alınmışdır. Nəticə aşağıdadır: Teqlər əlavə edin

Şərti ekstremumu təyin etmək üsulu, mümkün həllər bölgəsində dəyişənlərin eyni dəyərləri üçün maksimuma çatan köməkçi Lagrange funksiyasının qurulması ilə başlayır. x 1 , x 2 , ..., x n , məqsəd funksiyası ilə eynidir z . Funksiyanın şərti ekstremumunun təyini məsələsi həll olunsun z = f(X) məhdudiyyətlər altında φ i ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = 0, i = 1, 2, ..., m , m < n

Gəlin bir funksiya tərtib edək

adlanır Laqranj funksiyası. X , - sabit amillər ( Laqranj çarpanları). Qeyd edək ki, Laqranj çarpanlarına iqtisadi məna verilə bilər. Əgər f(x 1 , x 2 , ..., x n ) - plana uyğun gəlir X = (x 1 , x 2 , ..., x n ) , və funksiyası φ i (x 1 , x 2 , ..., x n ) - bu plana uyğun gələn i-ci resursun xərcləri, onda X , i-ci resursun ölçüsünün dəyişməsindən (marjinal qiymətləndirmə) asılı olaraq məqsəd funksiyasının ifrat dəyərinin dəyişməsini xarakterizə edən i-ci resursun qiymətidir (qiymətidir). L(X) - funksiyası n+m dəyişənlər (x 1 , x 2 , ..., x n , λ 1 , λ 2 , ..., λ n ) . Bu funksiyanın stasionar nöqtələrinin müəyyən edilməsi tənliklər sisteminin həllinə gətirib çıxarır

Bunu görmək asandır . Beləliklə, funksiyanın şərti ekstremumunu tapmaq vəzifəsi z = f(X) funksiyanın yerli ekstremumunu tapmaq üçün azaldır L(X) . Əgər stasionar nöqtə tapılarsa, onda ən sadə hallarda ekstremumun mövcudluğu məsələsi ekstremum üçün kifayət qədər şərtlər əsasında həll edilir - ikinci diferensialın işarəsini öyrənmək. d 2 L(X) stasionar nöqtədə, bir şərtlə ki, dəyişən artımlar Δx i - münasibətlərlə bağlıdır

qovuşma tənliklərini diferensiallaşdırmaqla əldə edilir.

Həll Tapıcı alətindən istifadə edərək iki naməlumda qeyri-xətti tənliklər sisteminin həlli

Parametrlər Həll tapmaq iki naməlum qeyri-xətti tənliklər sisteminin həllini tapmağa imkan verir:

Harada
- dəyişənlərin qeyri-xətti funksiyası x Və y ,
- ixtiyari sabit.

Məlumdur ki, cütlük ( x , y ) iki naməlumlu aşağıdakı tənliyin həlli olduqda və yalnız və yalnız o halda (10) tənliklər sisteminin həllidir:

İLƏ digər tərəfdən (10) sisteminin həlli iki əyrinin kəsişmə nöqtələridir: f ] (x, y) = C Və f 2 (x, y) = C 2 səthində XOY.

Bu, sistemin köklərini tapmaq üçün bir üsula gətirib çıxarır. qeyri-xətti tənliklər:

Tənliklər sisteminin (10) və ya tənliyin (11) həllinin mövcudluq intervalını (ən azı təxminən) müəyyən edin. Burada sistemə daxil olan tənliklərin tipini, onların hər birinin tənliklərinin təyini sahəsini və s. nəzərə almaq lazımdır. Bəzən həllin ilkin yaxınlaşmasının seçilməsindən istifadə olunur;

Seçilmiş intervalda x və y dəyişənləri üçün (11) tənliyinin həllini cədvələ salın və ya funksiyaların qrafiklərini qurun. f 1 (x, y) = C, və f 2 (x, y) = C 2 (sistem (10)).

Tənliklər sisteminin ehtimal olunan köklərini lokallaşdırın - (11) tənliyinin köklərini cədvəlləşdirən cədvəldən bir neçə minimum dəyər tapın və ya sistemə daxil olan əyrilərin kəsişmə nöqtələrini təyin edin (10).

4. Əlavədən istifadə edərək (10) tənliklər sisteminin köklərini tapın Həll tapmaq.