Tənliklərin ədədi həlli və onların sistemləri tənliyin və ya tənliklər sisteminin köklərinin təxmini təyinindən ibarətdir və aşağıdakı hallarda istifadə olunur: dəqiq üsul həllər naməlum və ya zəhmət tələb edir.
Problemin ifadəsi[ | ]
Tənliklərin və tənlik sistemlərinin ədədi həlli üsullarını nəzərdən keçirək:
f (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 (\displaystyle f(x_(1),x_(2),\ldots,x_(n))=0)( f 1 (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 … f n (x 1 , x 2 , … , x n) = 0 (\displaystyle \left\((\begin(massiv)(lcr)f_(1) )(x_(1),x_(2),\ldots,x_(n))&=&0\\\ldots &&\\f_(n)(x_(1),x_(2),\ldots,x_( n))&=&0\end(massiv))\sağ.)
Tənliklərin həlli üçün ədədi üsullar[ | ]
Optimallaşdırma metodlarına müraciət etmədən orijinal tənliklər sistemini necə həll edə biləcəyinizi göstərək. Sistemimiz SLAE-dirsə, Qauss metodu və ya Riçardson metodu kimi üsullara müraciət etmək məsləhətdir. Bununla belə, biz yenə də funksiyanın formasının bizə məlum olmadığı fərziyyəsindən çıxış edəcəyik və ədədi həllin iterativ üsullarından birini tətbiq edəcəyik. Bunların geniş çeşidi arasında ən məşhurlarından birini - Nyuton metodunu seçəcəyik. Bu üsul da öz növbəsində sıxıcı xəritələşdirmə prinsipinə əsaslanır. Buna görə də, ilk növbədə sonuncunun mahiyyəti açıqlanacaqdır.
Kompressiv xəritəçəkmə[ | ]
Terminologiyanı müəyyən edək:
Funksiyanı yerinə yetirdiyi deyilir sıxılma xəritəsi əgər varsa
Onda aşağıdakı əsas teorem etibarlıdır:
| Banax teoremi (daralma xəritələri prinsipi). Əgər φ (\displaystyle \varphi)- sıxılma ekranı aktivdir [ a , b ] (\displaystyle), Bu: |
Teoremin axırıncı bəndindən belə çıxır ki, büzülmə xəritələrinə əsaslanan istənilən metodun yaxınlaşma sürəti xətti olandan az deyil.
Parametrin mənasını izah edək α (\displaystyle \alpha) bir dəyişən halı üçün. Laqranj teoreminə görə bizdə var:
φ (x) ∈ C 1 [ a , b ] .< x 2 ∃ ξ ∈ (x 1 , x 2) : φ ′ (ξ) (x 2 − x 1) = φ (x 2) − φ (x 1) {\displaystyle \varphi (x)\in C^{1}.\quad \forall x_{1},x_{2}\in (a,\;b),\quad x_{1}∀ x 1 , x 2 ∈ (a , b) , x 1 Bundan belə çıxır. Beləliklə, metodun yaxınlaşması üçün bu kifayətdir ∀ x ∈ [ a , b ] |
φ ′ (x) |[ | ]
≤ 1. (\displaystyle \forall x\in \quad |\varphi "(x)|\leq 1.) Ardıcıl yaxınlaşmalar üçün ümumi alqoritm Operator tənliklərinin ümumi vəziyyətinə tətbiq edildikdə, bu üsul adlanır ardıcıl yaxınlaşmalar üsulu və ya
sadə iterasiya üsulu ilə[ | ]
. Bununla belə, tənlik müxtəlif yollarla eyni kökə malik daralma xəritəsinə çevrilə bilər. Bu, həm xətti, həm də daha yüksək yaxınlaşma dərəcələrinə malik olan bir sıra xüsusi metodların yaranmasına səbəb olur.
SLAU ilə əlaqədar
Sistemi nəzərdən keçirin:
( a 11 x 1 + … + a 1 n x n = b 1 … a n 1 x 1 + … + a n n x n = b n (\displaystyle \left\((\begin(massiv)(ccc)a_(11)x_(1)+) \ldots +a_(1n)x_(n)&=&b_(1)\\\ldots &&\\a_(n1)x_(1)+\ldots +a_(nn)x_(n)&=&b_(n) \end(massiv))\sağ.)
Bunun üçün iterativ hesablama belə görünəcək: (x 1 x 2 ⋮ x n) i + 1 = (a 11 + 1 a 12 … a 1 n a 21 a 22 + 1 … a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 … a n n + 1) (x 1 x 2 ⋮ x n) ⋮ x n) i − (b 1 b 2 ⋮ b n) (\displaystyle \left((\begin(massiv)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\end (massiv))\sağ)^(i+1)=\sol((\begin(massiv)(cccc)a_(11)+1&a_(12)&\ldots &a_(1n)\\a_(21)&a_( 22)+1&\ldots &a_(2n)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_(n1)&a_(n2)&\ldots &a_(nn)+1\end(massiv))\sağ )\left((\begin(massiv)(c)x_(1)\\x_(2)\\\vdots \\x_(n)\end(massiv))\sağ)^(i)-\left( (\begin(massiv)(c)b_(1)\\b_(2)\\\vdots \\b_(n)\end(massiv))\sağ))< 1 {\displaystyle \left\|{\begin{array}{ccc}a_{11}+1&\ldots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\ldots &a_{nn}+1\end{array}}\right\|<1}
Metod əgər xətti sürətlə yaxınlaşacaq
‖ a 11 + 1 … a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 … a n n + 1 ‖
İkiqat şaquli çubuqlar matrisin bəzi normalarını göstərir.[ | ]
f(x)=0 tənliyinin Nyuton üsulu ilə həlli, ilkin yaxınlaşma: x 1 =a.[ | ]
Nyuton metodu (tangens metodu) Bir ölçülü qutu Orijinal tənliyin çevrilməsinin optimallaşdırılması f (x) = 0 (\displaystyle f(x)=0) sıxıcı displeydə
x = φ (x) (\displaystyle x=\varphi (x)) kvadratik yaxınlaşma dərəcəsi ilə metodu əldə etməyə imkan verir. Xəritəçəkmənin ən effektiv olması üçün növbəti iterasiya nöqtəsində olması lazımdır x ∗ (\displaystyle x^(*)) həyata keçirilir φ ′ (x ∗) = 0 (\displaystyle \varphi "(x^(*))=0). Bu tənliyin həllini formada axtaracağıq
φ ′ (x ∗) = 1 + α ′ (x ∗) f (x ∗) + α (x ∗) f ′ (x ∗) = 0 (\displaystyle \varphi "(x^(*))=1+ \alpha "(x^(*))f(x^(*))+\alpha (x^(*))f"(x^(*))=0)Gəlin bundan istifadə edək Bir ölçülü qutu, və biz son formulunu alırıq α (x) (\displaystyle \alfa (x)):
α (x) = − 1 f ′ (x) (\displaystyle \alpha (x)=-(\frac (1)(f"(x))))Bunu nəzərə alaraq, sıxılma funksiyası aşağıdakı formanı alacaq:
φ (x) = x − f (x) f ′ (x) (\displaystyle \varphi (x)=x-(\frac (f(x))(f"(x))))Sonra tənliyin ədədi həllinin tapılması alqoritmi Bir ölçülü qutu iterativ hesablama proseduruna endirir:
x i + 1 = x i − f (x i) f ′ (x i) (\displaystyle x_(i+1)=x_(i)-(\frac (f(x_(i))))(f"(x_(i)) )))Orijinal tənliyi ekvivalentlə əvəz edək və qaydaya uyğun olaraq təkrarlamalar quraq 
. Beləliklə, sadə iterasiya üsulu bir addımlı iterativ prosesdir. Bu prosesə başlamaq üçün ilkin yaxınlaşmanı bilməlisiniz. Metodun yaxınlaşması şərtlərini və ilkin yaxınlaşmanın seçilməsini öyrənək.
Bilet №29
Seidel üsulu
Zaydel metodu (bəzən Qauss-Zeydel metodu da adlanır) sadə iterasiya metodunun modifikasiyasıdır, ondan ibarətdir ki, növbəti x (k+1) yaxınlaşması hesablanarkən (bax düsturlar (1.13), (1.14)) onun artıq alınmış x 1 ( k+1) , ...,x i - 1 (k+1) komponentləri dərhal x i (k+1) hesablanması üçün istifadə olunur.
Koordinat qeydi formasında Seidel metodu aşağıdakı formaya malikdir:
X 1 (k+1) = c 11 x 1 (k) + c 12 x 2 (k) + ... + c 1n-1 x n-1 (k) + c 1n x n (k) + d 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k) ) + dn
burada x (0) həllə bəzi ilkin yaxınlaşmadır.
Beləliklə, (k+1)-ci yaxınlaşmanın i-ci komponenti düsturla hesablanır.
| x i (k+1) = ∑ j=1 i-1 c ij x j (k+1) + ∑ n j=i c ij x j (k) + d i , i = 1, ..., n | (1.20) |
Sadələşdirilmiş formada ε dəqiqliyinə nail olduqda Seidel iterativ prosesinin başa çatması üçün şərt aşağıdakı formadadır:
|| x (k+1) - x (k) || ≤ ε.
Bilet №30
Keçmə üsulu
A x = b sistemlərini tridiaqonal matrislə həll etmək üçün ən çox süpürmə metodundan istifadə olunur ki, bu da Gauss metodunun bu vəziyyətə uyğunlaşdırılmasıdır.
Tənliklər sistemini yazaq
d 1 x 1 + e 1 x 2 = b 1
c 2 x 1 + d 2 x 2 + e 2 x 3 = b 2
c 3 x 2 + d 3 x 3 + e 3 x 4 = b 3
... ... ...
c n-1 x n-2 + d n-1 x n-1 + e n-1 x n = b n-1
c n x n-1 + d n x n = b n
matris şəklində: A x = b burada
A= 
Süpürmə metodunun düsturlarını onların tətbiqi ardıcıllığı ilə yazaq.
1. Süpürmə metodunun birbaşa vuruşu (köməkçi kəmiyyətlərin hesablanması):
| a 2 = -e 1 / d 1 b 2 = b 1 / d 1 a i+1 = -e i / , i=2, ..., n-1 b i+1 = [-c i b i + b i ] / , i=2, ..., n-1 | (1.9) |
2. Süpürmə metodunu tərsinə çevirin (həll tapmaq):
| x n = [-c n b n + b n ] / x i = a i+1 x i+1 + b i+1 , i = n-1, ..., 1 |
Bilet №31
Sadə təkrarlama üsulu
Sadə təkrarlama metodunun mahiyyəti tənlikdən hərəkət etməkdir
f(x)= 0 (*)
ekvivalent tənliyə
x=φ(x). (**)
Bu keçid növündən asılı olaraq müxtəlif yollarla həyata keçirilə bilər f(x). Məsələn, qoya bilərsiniz
φ(x) = x+bf(x),(***)
Harada b= const, orijinal tənliyin kökləri isə dəyişməyəcək.
Kökə ilkin yaxınlaşma məlumdursa x 0, sonra yeni yaxınlaşma
x 1=φx(0),
olanlar. iterativ prosesin ümumi sxemi:
x k+1=φ(x k).(****)
Prosesi bitirmək üçün ən sadə meyar
|x k +1 -x k |<ε.
Konvergensiya meyarı sadə təkrarlama üsulu:
kökə yaxın olduqda | φ/(x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого x, sonra iterasiyalar istənilən ilkin yaxınlaşma üçün birləşir.
Sabit seçimini araşdıraq b maksimum yaxınlaşma sürətini təmin etmək baxımından. Konvergensiya meyarına uyğun olaraq, yaxınlaşmanın ən yüksək sürəti o zaman təmin edilir |φ / (x)| = 0. Eyni zamanda, (***) əsasında b = –1/f / (x), və iterasiya düsturu (****) daxil olur x i =x i-1 -f(x i-1)/f/ (x i-1).- olanlar. Nyuton metodunun düsturuna daxil edilir. Beləliklə, Nyuton metodu sadə iterasiya metodunun xüsusi halıdır, funksiyanın seçilməsi üçün bütün mümkün variantların yaxınlaşmasının ən yüksək sürətini təmin edir. φ(x).
Bilet №32
Nyuton üsulu
Metodun əsas ideyası aşağıdakılardan ibarətdir: hipotetik kökün yaxınlığında ilkin yaxınlaşma müəyyən edilir, bundan sonra tədqiq olunan funksiyaya bir tangens yaxınlaşma nöqtəsində qurulur, bunun üçün absis oxu ilə kəsişmə tapılır. Bu nöqtə növbəti yaxınlaşma kimi qəbul edilir. Və s. tələb olunan dəqiqliyə nail olunana qədər.
İntervalda müəyyən edilmiş və onun üzərində diferensiallana bilən real qiymətli funksiya olsun. Sonra iterativ yaxınlaşma hesabının formulunu aşağıdakı kimi çıxarmaq olar:
burada α nöqtədə tangensin meyl bucağıdır.
Beləliklə, tələb olunan ifadə formaya malikdir:
Bilet №33
Qızıl nisbət üsulu
Qızıl nisbət metodu hər iterasiyada yalnız bir funksiya dəyərini hesablayaraq intervalları aradan qaldırmağa imkan verir. Funksiyanın nəzərdən keçirilən iki dəyərinin nəticəsi olaraq gələcəkdə istifadə edilməli olan interval müəyyən edilir. Bu interval əvvəlki nöqtələrdən birini və ona simmetrik olaraq yerləşdirilən növbəti nöqtəni ehtiva edəcəkdir. Nöqtə intervalı iki hissəyə bölür ki, tamın böyük hissəyə nisbəti böyük hissənin kiçik olana nisbətinə bərabər olsun, yəni "qızıl nisbət" adlanan nisbətə bərabər olsun.
Aralığı qeyri-bərabər hissələrə bölmək daha da təsirli bir üsul tapmağa imkan verir. Seqmentin sonundakı funksiyanı hesablayaq [ a,b] və qoyun a=x 1 , b=x 2. İki daxili nöqtədə funksiyanı da hesablayaq x 3 , x 4. Gəlin funksiyanın bütün dörd dəyərini müqayisə edək və onlardan ən kiçiyini seçək. Məsələn, ən kiçik çıxsın f(x 3). Aydındır ki, minimum ona bitişik seqmentlərdən birində olmalıdır. Buna görə də seqment [ x 4 ,b] atmaq və seqmenti tərk etmək olar. 
İlk addım atıldı. Seqmentdə yenidən iki daxili nöqtəni seçmək, onlarda və uclarda funksiya dəyərlərini hesablamaq və növbəti addımı atmaq lazımdır. Ancaq hesablamaların əvvəlki addımında biz artıq funksiyanı yeni seqmentin sonunda və onun daxili nöqtələrindən birində tapdıq. x 4. Buna görə içəridə daha bir nöqtə seçmək kifayətdir x 5 içindəki funksiyanın qiymətini təyin edin və lazımi müqayisələri aparın. Bu, bir proses addımı üçün tələb olunan hesablama miqdarını dörd dəfə artırır. Xalları yerləşdirməyin ən yaxşı yolu nədir? Hər dəfə qalan seqment üç hissəyə bölünür və sonra xarici seqmentlərdən biri atılır.
İlkin qeyri-müəyyənlik intervalını ilə işarə edək D.
Çünki ümumi halda seqmentlərdən hər hansı birini atmaq olar X 1, X 3 Operator tənliklərinin ümumi vəziyyətinə tətbiq edildikdə, bu üsul adlanır X 4, X 2 sonra nöqtələri seçin X 3 Və X 4 belə ki, bu seqmentlərin uzunluqları eyni olsun:
x 3 -x 1 =x 4 -x 2.
Silindikdən sonra yeni uzunluqlu qeyri-müəyyənlik intervalı alırıq D'.
əlaqəni işarə edək D/D'φ hərfi:
yəni təyin edək ki, növbəti qeyri-müəyyənlik intervalı haradadır. Amma
əvvəlki mərhələdə atılan seqmentə bərabər uzunluqda, yəni
Buna görə də alırıq:
.
Bu tənliyə və ya ekvivalentinə gətirib çıxarır 
.
Bu tənliyin müsbət kökü verir
.
Bilet №34
funksiyaların interpolyasiyası, yəni. Verilmiş bir funksiyadan istifadə edərək, dəyərləri müəyyən sayda nöqtədə verilmiş funksiyanın dəyərləri ilə üst-üstə düşən başqa (adətən daha sadə) funksiyanın qurulması. Bundan əlavə, interpolyasiya həm praktiki, həm də nəzəri əhəmiyyətə malikdir.
n naməlumlu n cəbri tənlik sistemi verilsin:
Sadə təkrarlama metodu üçün alqoritm:
Qeyd edək ki, burada və bundan sonra aşağı indeks naməlumlar vektorunun müvafiq komponentini, yuxarı indeks isə iterasiya (təxminən) sayını bildirir.
Sonra hər dövrü bir iterasiyanı təmsil edən tsiklik riyazi proses formalaşır. Hər təkrarlama nəticəsində naməlumlar vektorunun yeni qiyməti alınır. İterativ prosesi təşkil etmək üçün sistemi (1) kiçildilmiş formada yazırıq. Bu halda, əsas diaqonaldakı şərtlər normallaşdırılır və bərabər işarənin solunda qalır, qalanları isə sağ tərəfə köçürülür. Azaldılmış tənliklər sistemi formaya malikdir:
Qeyd edək ki heç vaxt əldə edilməyəcək, lakin hər növbəti iterasiya ilə naməlumların vektoru dəqiq həllə yaxınlaşır.
12. Qeyri-xətti tənliyi həll etmək üçün sadə təkrarlama metodunda istifadə olunan əsas təkrarlama düsturu:
13. Qeyri-xətti tənliyin həlli üçün sadə təkrarlama metodunda iterasiya prosesinin dayandırılması meyarı:
Naməlumlar vektorunun hər i-ci komponenti üçün dəqiqliyə nail olmaq şərti yerinə yetirilərsə, iterasiya prosesi başa çatır.
Qeyd edək ki sadə təkrarlama metodunda dəqiq həll heç vaxt əldə edilməyəcək, lakin hər növbəti iterasiya ilə naməlumlar vektoru dəqiq həllə getdikcə yaxınlaşır.
14. Aralığın iterativ seqmenti üçün F(x) köməkçi funksiyasının seçilmə meyarı:
Sadə iterasiya metodunun həlli üzrə riyaziyyatdan imtahan verərkən ilk növbədə yaxınlaşma şərti yoxlanılmalıdır. Metodun yaxınlaşması üçün A matrisində bütün diaqonal elementlərin mütləq qiymətlərinin müvafiq sıradakı bütün digər elementlərin modullarının cəmindən çox olması zəruri və kifayətdir:
İterativ metodların çatışmazlıqları Bu, bütün tənlik sistemləri üçün təmin edilməyən kifayət qədər ciddi yaxınlaşma şərtidir.
Konvergensiya şərti yerinə yetirilərsə, növbəti mərhələdə adətən sıfır vektoru kimi seçilən naməlumlar vektorunun ilkin yaxınlaşmasını təyin etmək lazımdır:
15. Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün istifadə edilən Qauss metodu:
Metod matrisin üçbucaqlı formaya çevrilməsinə əsaslanır. Buna sistem tənliklərindən naməlumları ardıcıl olaraq silməklə nail olunur.
Sadə təkrarlama üsulu orijinal tənliyi ekvivalent tənliklə əvəz etməyə əsaslanır:
Kökə ilkin yaxınlaşma məlum olsun x = x 0. Onu (2.7) tənliyinin sağ tərəfində əvəz edərək, yeni təxmini nəticə əldə edirik 
, sonra oxşar şəkildə alırıq 
və s.:
. (2.8)
 |
Bütün şərtlərdə iterativ proses tənliyin kökünə yaxınlaşmır X. Gəlin bu prosesə daha yaxından nəzər salaq. Şəkil 2.6 birtərəfli konvergent və divergent prosesin qrafik şərhini göstərir. Şəkil 2.7 ikitərəfli konvergent və divergent prosesləri göstərir. Divergent bir proses, arqument və funksiyanın dəyərlərinin sürətlə artması və müvafiq proqramın anormal şəkildə dayandırılması ilə xarakterizə olunur.
 |
İkitərəfli proseslə velosiped sürmək, yəni eyni funksiya və arqument dəyərlərinin sonsuz təkrarı mümkündür. Döngü divergent prosesi konvergentdən ayırır.
Qrafiklərdən aydın olur ki, həm birtərəfli, həm də ikitərəfli proseslər üçün kökə yaxınlaşma əyrinin kökə yaxın mailliyi ilə müəyyən edilir. Yamac nə qədər kiçik olsa, yaxınlaşma bir o qədər yaxşıdır. Məlum olduğu kimi, əyrinin yamacının tangensi verilmiş nöqtədə əyrinin törəməsinə bərabərdir.
Buna görə də, kökə yaxın rəqəm nə qədər kiçik olsa, proses bir o qədər tez birləşir.
İterasiya prosesinin yaxınlaşması üçün kökün qonşuluğunda aşağıdakı bərabərsizlik təmin edilməlidir:
(2.1) tənliyindən (2.7) tənliyinə keçid funksiyanın növündən asılı olaraq müxtəlif üsullarla həyata keçirilə bilər. f(x). Belə keçiddə funksiyanı elə qurmaq lazımdır ki, yaxınlaşma şərti (2.9) təmin edilsin.
(2.1) tənliyindən (2.7) tənliyinə keçidin ümumi alqoritmlərindən birini nəzərdən keçirək.
(2.1) tənliyinin sol və sağ tərəflərini ixtiyari sabitə vuraq. b və hər iki hissəyə naməlumu əlavə edin X. Bu halda, orijinal tənliyin kökləri dəyişməyəcək:
Qeydi təqdim edək 
(2.10) münasibətindən (2.8) tənliyinə keçək.
 |
Sabitin ixtiyari seçimi b yaxınlaşma şərtinin yerinə yetirilməsini təmin edəcək (2.9). İterativ prosesi bitirmək üçün meyar (2.2) şərt olacaqdır. Şəkil 2.8-də təsvir edilmiş təsvir metodundan istifadə etməklə sadə təkrarlamalar metodunun qrafik şərhi verilmişdir (X və Y oxları boyunca miqyaslar fərqlidir).
şəklində funksiya seçilərsə, bu funksiyanın törəməsi olacaqdır. Ən yüksək yaxınlaşma sürəti onda olacaq 
və təkrarlama düsturu (2.11) Nyuton düsturuna daxil olur. Beləliklə, Nyuton metodu bütün iterativ proseslərin ən yüksək yaxınlaşma dərəcəsinə malikdir.
Sadə təkrarlama metodunun proqram təminatının icrası alt proqram proseduru şəklində həyata keçirilir Təkrarlar(PROQRAM 2.1).
Bütün prosedur praktiki olaraq bir Təkrardan ibarətdir ... Dövrə qədər, təkrarlama prosesinin dayandırılması şərtini nəzərə alaraq (2.11) düsturunu yerinə yetirir (formula (2.2)).
Prosedura Niter dəyişənindən istifadə edərək döngələrin sayını hesablamaqla daxili döngə qorunmasına malikdir. Praktik məşğələlərdə proqramı işlətməklə əmsal seçiminin necə təsir etdiyinə əmin olmaq lazımdır b və kökün axtarışı prosesində ilkin yaxınlaşma. Əmsalı dəyişdirərkən b tədqiq olunan funksiya üçün iterasiya prosesinin xarakteri dəyişir. Əvvəlcə iki tərəfli olur, sonra isə döngələr (şəkil 2.9). Ox tərəziləri X Və Y fərqlidirlər. B modulunun daha böyük dəyəri fərqli prosesə gətirib çıxarır.
Tənliklərin təxmini həlli üsullarının müqayisəsi
Tənliklərin ədədi həlli üçün yuxarıda təsvir edilən üsulların müqayisəsi PC ekranında qrafik formada kökün tapılması prosesini müşahidə etməyə imkan verən proqramdan istifadə etməklə həyata keçirilmişdir. Bu proqrama daxil edilmiş prosedurlar və müqayisə edilən metodların həyata keçirilməsi aşağıda verilmişdir (PROQRAM 2.1).
düyü. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 təkrarlama prosesinin sonunda PC ekranının surətləridir.
Bütün hallarda tədqiq olunan funksiya kimi x 2 -x-6 = 0 kvadrat tənliyi götürülüb, onun analitik həlli x 1 = -2 və x 2 = 3 olub. Bütün metodlar üçün xəta və ilkin yaxınlaşmalar bərabər qəbul edilib. Kök axtarış nəticələri x= Rəqəmlərdə təqdim olunan 3, aşağıdakı kimidir. Dixotomiya üsulu ən yavaşı - 22 təkrarı birləşdirir, ən sürətli b = -0,2 - 5 təkrarlama ilə sadə təkrarlama üsuludur. Burada Nyuton metodunun ən sürətli olduğu ifadəsi ilə heç bir ziddiyyət yoxdur.
Nöqtədə tədqiq olunan funksiyanın törəməsi X= 3 -0,2-yə bərabərdir, yəni bu halda hesablama praktiki olaraq Nyuton metodu ilə tənliyin kök nöqtəsində törəmənin dəyəri ilə aparılmışdır. Əmsalı dəyişdirərkən b konvergensiyanın sürəti aşağı düşür və tədricən yaxınlaşma prosesi əvvəlcə dövrlərdə gedir və sonra divergent olur.
İterativ üsullar
İterativ üsullarda aşağıdakı üç mərhələ nəzərdə tutulur: dəqiq həllə yaxınlaşan iterativ prosesin ardıcıl yaxınlaşmalarının hesablanması üçün tikinti (yəni, dəqiq həllə yaxınlaşan vektorlar ardıcıllığının qurulması) ; tələb olunan dəqiqliyin əldə edildiyi anı müəyyən etməyə imkan verən bu prosesin yaxınlaşma meyarının müəyyən edilməsi; tələb olunan dəqiqliyə nail olmaq üçün tələb olunan əməliyyatların sayını azaltmaq məqsədilə yaxınlaşma sürətinin öyrənilməsi və iterativ prosesin optimallaşdırılması.
İterativ üsullar, metodun yaxınlaşması sübut olunarsa, əvvəlcədən müəyyən edilmiş dəqiqliklə həll əldə etməyə imkan verir. İterativ üsullar qəti dəqiq həlli təmin etmir, çünki o, vektorlar ardıcıllığının həddi kimi əldə edilir. Birbaşa üsul, ümumiyyətlə, dəqiq bir həll verir, lakin bütün kompüterlərdə baş verən yuvarlaqlaşdırma səhvlərinə görə buna nail olmaq mümkün deyil və a priori Bu həllin dəqiqdən nə qədər fərqləndiyini qiymətləndirmək belə çətindir. Yuxarıda göstərilənlərlə əlaqədar olaraq, iterativ üsullar bəzən birbaşa olanlardan daha yüksək dəqiqliklə həll əldə etməyə imkan verir.
Xətti tənliklərin həlli üçün bir neçə iterativ üsulları nəzərdən keçirək.
Sadə təkrarlama üsulu
Sadə təkrarlama metodunda xətti cəbri tənliklər sistemi (2.1). balta = b formanın ekvivalent sisteminə endirir
Sistemin (2.9) həlli və deməli, ilkin sistemin (2.1) həlli vektor ardıcıllığının həddi kimi axtarılır:
k = 0, 1, 2,…,(2.10)
həll vektoru üçün ilkin yaxınlaşma haradadır.
Sadə təkrarlama metodunun yaxınlaşması üçün kafi şərt aşağıdakı teoremlə müəyyən edilir.
TEOREM 1. Əgər baxılan vektorun normasına uyğun olan matrisin hər hansı norması birdən () kiçik olarsa, sadə təkrarlama metodunda ardıcıllıq (2.9) sisteminin dəqiq həllinə az olmayan sürətlə yaxınlaşır. hər hansı ilkin yaxınlaşma üçün məxrəclə həndəsi irəliləyişin sürətindən.
SÜBUT. Teoremi sübut etmək üçün bir səhv təqdim edirik. Münasibətdən bərabərliyi (2.10) çıxsaq, alırıq. Normalara dönsək, bizdə var
Qeyd edək ki, bərabərsizlik 
əvvəlki ifadədən matrisin və vektorun normasının ardıcıllığının şərtidir. Əgər
, onda ilkin xətanın hər hansı vektoru üçün (və ya hər hansı ilkin vektor üçün) xəta norması məxrəcli həndəsi irəliləyişdən daha yavaş olmayan sıfıra meyl edir.
Əgər matrisin norması kimi normanı seçsək 
Operator tənliklərinin ümumi vəziyyətinə tətbiq edildikdə, bu üsul adlanır 
onda sadə iterasiya metodunun yaxınlaşması məsələsini həll etmək üçün 1-ci Teoremdən əldə olunan nəticədən istifadə edə bilərsiniz: sadə təkrarlama metodu matris üçün aşağıdakı şərtlərdən biri təmin edildikdə birləşir:
, i =1,2, …, n,
, j = 1, 2, …, n.(2.11)
Sistem gətirməyin ən sadə və ən ümumi yolu Ax= bİterasiyalar üçün əlverişli olan (2.9) formalaşdırmaq, hər biri ilə diaqonal elementləri seçməkdir i-ci ilə bağlı tənlik həll edilir i-ci naməlum:
, i = 1, 2, …, n, (2.12)
və sadə təkrarlama üsulu kimi yazılacaq
Sonra matris formaya sahib olur
.
Bu matrisin elementi kimi yazıla bilər 
Kronecker simvolu haradadır. Bu halda sadə iterasiya metodunun yaxınlaşması üçün kifayət şərt matrisin diaqonal elementlərinin üstünlük təşkil etməsi şərti kimi formalaşdırıla bilər. A, (2.11) və matrisin qeydindən irəli gələn, yəni.
i = 1, 2, …, n.
Bir daha qeyd edək ki, iterasiya üsulu üçün yaxınlaşma şərtinin nəzərdən keçirilən formaları yalnız kifayətdir. Onların yerinə yetirilməsi metodun yaxınlaşmasına zəmanət verir, lakin ümumi halda onların uğursuzluğu sadə iterasiya metodunun ayrılması demək deyil. Sadə iterasiya metodunun yaxınlaşması üçün zəruri və kafi şərt tam hissənin olması şərtidir (burada matrisin maksimum modulu öz dəyəridir A); bu şərt hesablama praktikasında nadir hallarda istifadə olunur.
Gəlin həll xətasının qiymətləndirilməsi məsələsinə keçək. Həll xətasının qiymətləndirilməsi üçün iki münasibət maraq doğurur: birincisi xəta normasını iki ardıcıl yaxınlaşma arasındakı fərq norması ilə əlaqələndirir və yalnız hesablamalar prosesində xətanı qiymətləndirmək üçün istifadə edilə bilər; ikincisi xəta normasını ilkin yaxınlaşma vektorunun normaları və sərbəst terminin vektoru ilə əlaqələndirir (2.9). Lazımi əlaqələr aşağıdakı iki teoremlə verilir.
TEOREM 2. Əgər matrisin hər hansı norması baxılan vektorun normasına uyğundursa X
. (2.13)
SÜBUT. Bərabərlikdən (2.10) bərabərliyi çıxaq:
Hər iki tərəfdən yaxınlaşma dəyərini çıxararaq, bu əlaqəni formaya çeviririk
Normalara keçərək, alırıq
Çünki teoremin şərtlərinə görə, onda
Bundan irəli gələn münasibətdən istifadə etməklə 
nəhayət alırıq:
TEOREM 3. Əgər matrisin hər hansı norması baxılan vektorun normasına uyğundursa X, birdən () azdır, onda aşağıdakı səhv təxmin edilir:
Gəlin iki şərh edək. Əvvəlcə əlaqə (2.13) formada yazıla bilər
ilk iki təkrarlamanın nəticələrinə əsasən səhv təxmini əldə etməyə imkan verir. Birincisi, iterasiya metodundan istifadə edərkən bəzən hesablama xətasının qiymətləndirilməsi kimi ardıcıl iki yaxınlaşma arasındakı fərq normasından istifadə etmək tövsiyə olunur. Səhv üçün münasibətlərdən belə çıxır ki, ümumi halda bu doğru deyil. Norm birliyə yaxındırsa, at əmsalı olduqca böyük ola bilər.
Ardıcıl təkrarlamaların səhvləri əlaqə ilə əlaqələndirilir
olanlar. xəta bir addımda xətti olaraq dəyişir. Metodunun olduğu deyilir xətti yaxınlaşma ya da ilk yaxınlaşma qaydası. Bununla belə, tələb olunan dəqiqliyə nail olmaq üçün tələb olunan iterasiyaların sayı dəyərdən və ilkin yaxınlaşmadan asılıdır.
Beləliklə, nümunə kimi sadə təkrarlama metodundan istifadə etməklə iterativ metodların üç mərhələsi nümayiş etdirilir: (1.10) düsturu ilə yaranan vektorlar ardıcıllığının qurulması; 1-ci teoremdən istifadə etməklə yaxınlaşma şərtinin müəyyən edilməsi və 2-ci və 3-cü teoremlərdən istifadə edərək yaxınlaşma sürətinin qiymətləndirilməsi.
Seidel üsulu
Sadə təkrarlama metodu iterasiya prosesinin yaxınlaşmasını yaxşılaşdırmaq üçün zahirən aşkar imkandan - yeni hesablanmış vektor komponentlərinin hesablamaya dərhal daxil edilməsindən istifadə etmir. Bu xüsusiyyət iterativ Seidel metodunda istifadə olunur. (2.9) sistemi üçün iterativ proses əlaqəyə uyğun olaraq yerinə yetirilir
i = 1, 2, …, n (2.14)
və ya sistem üçün (1.1)
Təfərrüatlara varmadan qeyd edirik ki, Seidel iterasiya metodu çox vaxt sadə iterasiya metodundan daha sürətli yaxınlaşmaya səbəb olur. Bununla belə, Zaydel təkrarlama metodunun sadə təkrarlama metodundan daha yavaş yaxınlaşdığı və hətta sadə təkrarlama metodunun yaxınlaşdığı, lakin Seidel təkrarlama metodunun ayrıldığı hallar ola bilər.
Qeyd edək ki Seidelin metodu birləşirəgər matris A müsbət müəyyən və simmetrik.
Göstərək ki, Seidel təkrarlama metodu (2.10) münasibətdə xüsusi qurulmuş matrisa və vektoru olan bəzi sadə təkrarlama metoduna ekvivalentdir. Bunun üçün sistemi (2.14) F-nin matrisin əmsallarının yuxarı üçbucaqlı matrisi olduğu formada, E-nin eynilik matrisi olduğu formada sistemi yenidən yazırıq. Matris (E-N)- diaqonal elementləri birə bərabər olan aşağı üçbucaqlı matris. Nəticə etibarilə, bu matrisin determinantı sıfırdan fərqlidir (birə bərabərdir) və tərs matrisə malikdir. Sonra
Bu əlaqəni (2.10) həlli ilə müqayisə edərək belə nəticəyə gələ bilərik ki, Zaydel təkrarlama metodu həqiqətən də sadə təkrarlama metoduna o mənada ekvivalentdir ki, Zaydel təkrarlama metodunun yaxınlaşması şərtini və meyarını qurmaq üçün teoremlərdən istifadə edə bilərik. qoysaq, sadə təkrarlama üsulu üçün verilmişdir 
Sistem (2.12) üçün iterasiya prosesi də daha ümumi formada yazılmışdır, yəni
