Orijinal tənliyi ekvivalentlə əvəz edək və qaydaya uyğun olaraq təkrarlamalar quraq 
. Beləliklə, sadə iterasiya üsulu bir addımlı iterativ prosesdir. Bu prosesə başlamaq üçün ilkin yaxınlaşmanı bilməlisiniz. Metodun yaxınlaşması şərtlərini və ilkin yaxınlaşmanın seçilməsini öyrənək.
Bilet №29
Seidel üsulu
Zaydel metodu (bəzən Qauss-Zeydel metodu da adlanır) sadə iterasiya metodunun modifikasiyasıdır, ondan ibarətdir ki, növbəti x (k+1) yaxınlaşması hesablanarkən (bax düsturlar (1.13), (1.14)) onun artıq alınmış x 1 ( k+1) , ...,x i - 1 (k+1) komponentləri dərhal x i (k+1) hesablanması üçün istifadə olunur.
Koordinat qeydi formasında Seidel metodu aşağıdakı formaya malikdir:
X 1 (k+1) = c 11 x 1 (k) + c 12 x 2 (k) + ... + c 1n-1 x n-1 (k) + c 1n x n (k) + d 1
x 2 (k+1) = c 21 x 1 (k+1) + c 22 x 2 (k) + ... + c 2n-1 x n-1 (k) + c 2n x n (k) + d 2
...
x n (k+1) = c n1 x 1 (k+1) + c n2 x 2 (k+1) + ... + c nn-1 x n-1 (k+1) + c nn x n (k) ) + dn
burada x (0) həllə bəzi ilkin yaxınlaşmadır.
Beləliklə, (k+1)-ci yaxınlaşmanın i-ci komponenti düsturla hesablanır.
| x i (k+1) = ∑ j=1 i-1 c ij x j (k+1) + ∑ n j=i c ij x j (k) + d i , i = 1, ..., n | (1.20) |
Sadələşdirilmiş formada ε dəqiqliyinə nail olduqda Seidel iterativ prosesinin başa çatması üçün şərt aşağıdakı formadadır:
|| x (k+1) - x (k) || ≤ ε.
Bilet №30
Keçmə üsulu
A x = b sistemlərini üçbucaqlı matrislə həll etmək üçün ən çox süpürmə metodundan istifadə olunur ki, bu da Gauss metodunun bu vəziyyətə uyğunlaşdırılmasıdır.
Tənliklər sistemini yazaq
d 1 x 1 + e 1 x 2 = b 1
c 2 x 1 + d 2 x 2 + e 2 x 3 = b 2
c 3 x 2 + d 3 x 3 + e 3 x 4 = b 3
... ... ...
c n-1 x n-2 + d n-1 x n-1 + e n-1 x n = b n-1
c n x n-1 + d n x n = b n
matris şəklində: A x = b burada
A= 
Süpürmə metodunun düsturlarını onların tətbiqi ardıcıllığı ilə yazaq.
1. Süpürmə metodunun birbaşa vuruşu (köməkçi kəmiyyətlərin hesablanması):
| a 2 = -e 1 / d 1 b 2 = b 1 / d 1 a i+1 = -e i / , i=2, ..., n-1 b i+1 = [-c i b i + b i ] / , i=2, ..., n-1 | (1.9) |
2. Əks vuruş süpürmə üsulu (həll tapmaq):
| x n = [-c n b n + b n ] / x i = a i+1 x i+1 + b i+1 , i = n-1, ..., 1 |
Bilet №31
Sadə təkrarlama üsulu
Metodun mahiyyəti sadə iterasiyalar tənlikdən hərəkət etməkdən ibarətdir
f(x)= 0 (*)
ekvivalent tənliyə
x=φ(x). (**)
Bu keçid edilə bilər fərqli yollar, növündən asılı olaraq f(x). Məsələn, qoya bilərsiniz
φ(x) = x+bf(x),(***)
Harada b= const və köklər orijinal tənlik dəyişməyəcək.
Kökə ilkin yaxınlaşma məlumdursa x 0, sonra yeni yaxınlaşma
x 1=φx(0),
olanlar. iterativ prosesin ümumi sxemi:
x k+1=φ(x k).(****)
Prosesi bitirmək üçün ən sadə meyar
|x k +1 -x k |<ε.
Konvergensiya meyarı sadə təkrarlama üsulu:
kökə yaxın olduqda | φ/(x)| < 1, то итерации сходятся. Если указанное условие справедливо для любого x, sonra iterasiyalar istənilən ilkin yaxınlaşma üçün birləşir.
Sabit seçimini araşdıraq b maksimum yaxınlaşma sürətini təmin etmək baxımından. Konvergensiya meyarına uyğun olaraq, yaxınlaşmanın ən yüksək sürəti o zaman təmin edilir |φ / (x)| = 0. Eyni zamanda, (***) əsasında b = –1/f / (x), və təkrarlama düsturu (****) daxil olur x i =x i-1 -f(x i-1)/f/ (x i-1).- olanlar. Nyuton metodunun düsturuna daxil edilir. Beləliklə, Nyuton metodu sadə iterasiya metodunun xüsusi halıdır, funksiyanın seçilməsi üçün bütün mümkün variantların yaxınlaşmasının ən yüksək sürətini təmin edir. φ(x).
Bilet №32
Nyuton üsulu
Metodun əsas ideyası aşağıdakılardan ibarətdir: hipotetik kökün yaxınlığında ilkin yaxınlaşma müəyyən edilir, bundan sonra tədqiq olunan funksiyaya bir tangens yaxınlaşma nöqtəsində qurulur, bunun üçün absis oxu ilə kəsişmə tapılır. Bu nöqtə növbəti yaxınlaşma kimi qəbul edilir. Və s. tələb olunan dəqiqliyə nail olunana qədər.
İntervalda müəyyən edilmiş və onun üzərində diferensiallana bilən real qiymətli funksiya olsun. Sonra iterativ yaxınlaşma hesabının formulunu aşağıdakı kimi əldə etmək olar:
burada α nöqtədə tangensin meyl bucağıdır.
Beləliklə, tələb olunan ifadə formaya malikdir:
Bilet №33
Qızıl nisbət üsulu
Qızıl nisbət metodu hər iterasiyada yalnız bir funksiya dəyərini hesablayaraq intervalları aradan qaldırmağa imkan verir. Funksiyanın nəzərdən keçirilən iki dəyərinin nəticəsi olaraq gələcəkdə istifadə edilməli olan interval müəyyən edilir. Bu interval əvvəlki nöqtələrdən birini və ona simmetrik olaraq yerləşdirilən növbəti nöqtəni ehtiva edəcəkdir. Nöqtə intervalı iki hissəyə bölür ki, bütövün böyük hissəyə nisbəti böyük hissənin kiçik olana nisbətinə bərabər olsun, yəni "qızıl nisbət" adlanan nisbətə bərabər olsun.
Aralığı qeyri-bərabər hissələrə bölmək daha da təsirli bir üsul tapmağa imkan verir. Seqmentin sonundakı funksiyanı hesablayaq [ a,b] və qoyun a=x 1 , b=x 2. İki daxili nöqtədə funksiyanı da hesablayaq x 3 , x 4 . Gəlin funksiyanın bütün dörd dəyərini müqayisə edək və onlardan ən kiçiyini seçək. Məsələn, ən kiçik çıxsın f(x 3). Aydındır ki, minimum ona bitişik seqmentlərdən birində olmalıdır. Buna görə də seqment [ x 4 ,b] atmaq və seqmenti tərk etmək olar. 
İlk addım atıldı. Seqmentdə yenidən iki daxili nöqtəni seçmək, onlarda və uclarda funksiya dəyərlərini hesablamaq və növbəti addımı atmaq lazımdır. Ancaq hesablamaların əvvəlki addımında biz artıq funksiyanı yeni seqmentin sonunda və onun daxili nöqtələrindən birində tapdıq. x 4 . Buna görə içəridə daha bir nöqtə seçmək kifayətdir x 5 içindəki funksiyanın qiymətini təyin edin və lazımi müqayisələri aparın. Bu, bir proses addımı üçün tələb olunan hesablama miqdarını dörd dəfə artırır. Xalları yerləşdirməyin ən yaxşı yolu nədir? Hər dəfə qalan seqment üç hissəyə bölünür və sonra xarici seqmentlərdən biri atılır.
İlkin qeyri-müəyyənlik intervalını ilə işarə edək D.
Çünki ümumi halda seqmentlərdən hər hansı birini atmaq olar X 1, X 3 və ya X 4, X 2 sonra nöqtələri seçin X 3 Və X 4 belə ki, bu seqmentlərin uzunluqları eyni olsun:
x 3 -x 1 =x 4 -x 2.
Silindikdən sonra yeni uzunluqlu qeyri-müəyyənlik intervalı alırıq D'.
əlaqəni işarə edək D/D'φ hərfi:
yəni təyin edək ki, növbəti qeyri-müəyyənlik intervalı haradadır. Amma
əvvəlki mərhələdə atılan seqmentin uzunluğuna bərabərdir, yəni
Buna görə də alırıq:
.
Bu tənliyə və ya ekvivalentinə gətirib çıxarır 
.
Bu tənliyin müsbət kökü verir
.
Bilet №34
funksiyaların interpolyasiyası, yəni. Verilmiş bir funksiyadan istifadə edərək, dəyərləri müəyyən sayda nöqtədə verilmiş funksiyanın dəyərləri ilə üst-üstə düşən başqa (adətən daha sadə) funksiya qurmaq. Bundan əlavə, interpolyasiya həm praktiki, həm də nəzəri əhəmiyyətə malikdir.
Ardıcıl yaxınlaşma üsulu da adlanan sadə təkrarlama metodu naməlum kəmiyyətin qiymətini tədricən dəqiqləşdirməklə tapmaq üçün riyazi alqoritmdir. Bu metodun mahiyyəti ondan ibarətdir ki, adından da göründüyü kimi, ilkin yaxınlaşmadan sonrakıları tədricən ifadə edərək, getdikcə daha dəqiq nəticələr əldə edilir. Bu üsul verilmiş funksiyada dəyişənin qiymətini tapmaq üçün, eləcə də həm xətti, həm də qeyri-xətti tənliklər sistemlərinin həlli zamanı istifadə olunur.
SLAE-ləri həll edərkən bu metodun necə həyata keçirildiyini nəzərdən keçirək. Sadə təkrarlama metodu aşağıdakı alqoritmə malikdir:
1. İlkin matrisdə yaxınlaşma şərtinin yerinə yetirilməsinin yoxlanılması. Konvergensiya teoremi: əgər sistemin ilkin matrisi diaqonal dominantlığa malikdirsə (yəni hər cərgədə əsas diaqonalın elementləri mütləq dəyərdə ikinci dərəcəli diaqonalların elementlərinin cəmindən mütləq dəyərdə böyük olmalıdır), onda sadə iterasiya üsulu konvergentdir.
2. İlkin sistemin matrisi həmişə diaqonal üstünlük təşkil etmir. Belə hallarda sistem çevrilə bilər. Konvergensiya şərtini ödəyən tənliklər toxunulmaz qalır və uyğun olmayanlarla xətti birləşmələr edilir, yəni. istədiyiniz nəticə əldə olunana qədər vurmaq, çıxmaq, tənlikləri bir-birinə əlavə etmək.
Əgər yaranan sistemdə əsas diaqonalda əlverişsiz əmsallar varsa, onda i * x i olan formanın şərtləri belə bir tənliyin hər iki tərəfinə əlavə edilir ki, onun əlamətləri diaqonal elementlərin işarələri ilə üst-üstə düşməlidir.
3. Alınan sistemin normal formaya çevrilməsi:
x - =β - +α*x -
Bu, bir çox üsullarla edilə bilər, məsələn, bu kimi: birinci tənlikdən x 1-i digər naməlumlar baxımından ifadə edin, ikincidən - x 2, üçüncüdən - x 3 və s. Bu vəziyyətdə düsturlardan istifadə edirik:
α ij = -(a ij / a ii)
i = b i /a ii
Bir daha əmin olmalısınız ki, yaranan normal formalı sistemin yaxınlaşma şərtinə cavab verir:
∑ (j=1) |α ij |≤ 1, i= 1,2,...n olarkən
4. Biz, əslində, ardıcıl yaxınlaşmalar metodunun özünü tətbiq etməyə başlayırıq.
x (0) ilkin yaxınlaşmadır, onun vasitəsilə x (1) ifadə edəcəyik, sonra x (2) ilə x (1) ifadə edəcəyik. Matris şəklində ümumi düstur belə görünür:
x (n) = β - +α*x (n-1)
Tələb olunan dəqiqliyə çatana qədər hesablayırıq:
max |x i (k)-x i (k+1) ≤ ε
Beləliklə, sadə təkrarlama metodunu praktikada tətbiq edək. Misal:
SLAE həll edin:
4,5x1-1,7x2+3,5x3=2
3,1x1+2,3x2-1,1x3=1
1.8x1+2.5x2+4.7x3=4 dəqiqliklə ε=10 -3
Diaqonal elementlərin modulda üstünlük təşkil edib-etmədiyini görək.
Yalnız üçüncü tənliyin yaxınlaşma şərtini ödədiyini görürük. Gəlin birinci və ikincini çevirək və ikincini birinci tənliyə əlavə edək:
7,6x1+0,6x2+2,4x3=3
Üçüncüdən birincini çıxarırıq:
2,7x1+4,2x2+1,2x3=2
Orijinal sistemi ekvivalentinə çevirdik:
7,6x1+0,6x2+2,4x3=3
-2,7x1+4,2x2+1,2x3=2
1,8x1+2,5x2+4,7x3=4
İndi sistemi normal formaya gətirək:
x1=0,3947-0,0789x2-0,3158x3
x2=0,4762+0,6429x1-0,2857x3
x3= 0,8511-0,383x1-0,5319x2
İterativ prosesin yaxınlaşmasını yoxlayırıq:
0.0789+0.3158=0,3947 ≤ 1
0.6429+0.2857=0.9286 ≤ 1
0,383+ 0,5319= 0,9149 ≤ 1, yəni. şərt yerinə yetirilir.
0,3947
İlkin təxmin x(0) = 0,4762
0,8511
Bu dəyərləri normal forma tənliyinə əvəz edərək, aşağıdakı dəyərləri əldə edirik:
0,08835
x(1) = 0,486793
0,446639
Yeni dəyərləri əvəz edərək, əldə edirik:
0,215243
x(2) = 0,405396
0,558336
Verilmiş şərti təmin edən dəyərlərə yaxınlaşana qədər hesablamalara davam edirik.
x (7) = 0,441091
Əldə olunan nəticələrin düzgünlüyünü yoxlayaq:
4,5*0,1880 -1.7*0,441+3.5*0,544=2,0003
3,1*0,1880+2,3*0,441-1,1x*0,544=0,9987
1.8*0,1880+2.5*0,441+4.7*0,544=3,9977
Tapılan dəyərləri orijinal tənliklərə əvəz etməklə əldə edilən nəticələr tənliyin şərtlərini tam ödəyir.
Gördüyümüz kimi, sadə təkrarlama üsulu kifayət qədər dəqiq nəticələr verir, lakin bu tənliyi həll etmək üçün biz çox vaxt sərf etməli və çətin hesablamalar aparmalı olduq.
n naməlumlu n cəbri tənlik sistemi verilsin:
Sadə təkrarlama metodu üçün alqoritm:
Qeyd edək ki, burada və bundan sonra aşağı indeks naməlumlar vektorunun uyğun komponentini, yuxarı indeks isə iterasiya (təxminən) sayını bildirir.
Sonra hər dövrü bir iterasiyanı təmsil edən tsiklik riyazi proses formalaşır. Hər təkrarlama nəticəsində naməlumlar vektorunun yeni qiyməti alınır. İterativ prosesi təşkil etmək üçün sistemi (1) kiçildilmiş formada yazırıq. Bu halda, əsas diaqonaldakı şərtlər normallaşdırılır və bərabər işarənin solunda qalır, qalanları isə sağ tərəfə köçürülür. Azaldılmış tənliklər sistemi formaya malikdir:
qeyd et ki heç vaxt əldə edilməyəcək, lakin hər növbəti iterasiya ilə naməlumların vektoru dəqiq həllə yaxınlaşır.
12. Qeyri-xətti tənliyi həll etmək üçün sadə təkrarlama metodunda istifadə olunan əsas təkrarlama düsturu:
13. Qeyri-xətti tənliyin həlli üçün sadə təkrarlama metodunda iterasiya prosesinin dayandırılması meyarı:
Naməlumlar vektorunun hər i-ci komponenti üçün dəqiqliyə nail olmaq şərti yerinə yetirilərsə, iterasiya prosesi başa çatır.
qeyd et ki sadə təkrarlama metodunda dəqiq həll heç vaxt əldə edilməyəcək, lakin hər növbəti iterasiya ilə naməlumlar vektoru dəqiq həllə getdikcə yaxınlaşır.
14. Intervalın iterativ seqmenti üçün F(x) köməkçi funksiyasının seçilməsi meyarı:
Sadə iterasiya metodunun həlli üzrə riyaziyyatdan imtahan verərkən ilk növbədə yaxınlaşma şərti yoxlanılmalıdır. Metodun yaxınlaşması üçün A matrisində bütün diaqonal elementlərin mütləq qiymətlərinin müvafiq sıradakı bütün digər elementlərin modullarının cəmindən çox olması zəruri və kifayətdir:
İterativ metodların çatışmazlıqları Bu, bütün tənlik sistemləri üçün təmin edilməyən kifayət qədər ciddi yaxınlaşma şərtidir.
Konvergensiya şərti yerinə yetirilərsə, növbəti mərhələdə adətən sıfır vektoru olan naməlumlar vektorunun ilkin yaxınlaşmasını təyin etmək lazımdır:
15. Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün istifadə edilən Qauss metodu:
Metod matrisin üçbucaqlı formaya çevrilməsinə əsaslanır. Buna sistem tənliklərindən naməlumları ardıcıl olaraq silməklə nail olunur.
Sadə təkrarlama üsulu orijinal tənliyi ekvivalent tənliklə əvəz etməyə əsaslanır:
Kökə ilkin yaxınlaşma məlum olsun x = x 0. Onu (2.7) tənliyinin sağ tərəfində əvəz edərək, yeni təxmini nəticə əldə edirik 
, sonra oxşar şəkildə alırıq 
və s.:
. (2.8)
 |
Bütün şərtlərdə iterativ proses tənliyin kökünə yaxınlaşmır X. Gəlin bu prosesə daha yaxından nəzər salaq. Şəkil 2.6 birtərəfli konvergent və divergent prosesin qrafik şərhini göstərir. Şəkil 2.7 ikitərəfli konvergent və divergent prosesləri göstərir. Divergent bir proses, arqument və funksiyanın dəyərlərinin sürətlə artması və müvafiq proqramın anormal şəkildə dayandırılması ilə xarakterizə olunur.
 |
İkitərəfli proseslə velosiped sürmək, yəni eyni funksiya və arqument dəyərlərinin sonsuz təkrarı mümkündür. Döngü divergent prosesi konvergentdən ayırır.
Qrafiklərdən aydın olur ki, həm birtərəfli, həm də ikitərəfli proseslər üçün kökə yaxınlaşma əyrinin kökə yaxın mailliyi ilə müəyyən edilir. Yamac nə qədər kiçik olsa, yaxınlaşma bir o qədər yaxşıdır. Məlum olduğu kimi, əyrinin yamacının tangensi verilmiş nöqtədə əyrinin törəməsinə bərabərdir.
Buna görə də, kökə yaxın rəqəm nə qədər kiçik olsa, proses bir o qədər tez birləşir.
İterasiya prosesinin yaxınlaşması üçün kökün qonşuluğunda aşağıdakı bərabərsizlik təmin edilməlidir:
(2.1) tənliyindən (2.7) tənliyinə keçid funksiyanın növündən asılı olaraq müxtəlif üsullarla həyata keçirilə bilər. f(x). Belə keçiddə funksiyanı elə qurmaq lazımdır ki, yaxınlaşma şərti (2.9) təmin edilsin.
(2.1) tənliyindən (2.7) tənliyinə keçidin ümumi alqoritmlərindən birini nəzərdən keçirək.
(2.1) tənliyinin sol və sağ tərəflərini ixtiyari sabitə vuraq. b və hər iki hissəyə naməlumu əlavə edin X. Bu halda, orijinal tənliyin kökləri dəyişməyəcək:
Qeydi təqdim edək 
(2.10) münasibətindən (2.8) tənliyinə keçək.
 |
Sabitin ixtiyari seçimi b yaxınlaşma şərtinin yerinə yetirilməsini təmin edəcək (2.9). İterativ prosesi bitirmək üçün meyar (2.2) şərt olacaqdır. Şəkil 2.8-də təsvir edilmiş təsvir metodundan istifadə etməklə sadə təkrarlamalar metodunun qrafik şərhi verilmişdir (X və Y oxları boyunca şkalalar fərqlidir).
şəklində funksiya seçilərsə, bu funksiyanın törəməsi olacaqdır. Ən yüksək yaxınlaşma sürəti onda olacaq 
və təkrarlama düsturu (2.11) Nyuton düsturuna daxil olur. Beləliklə, Nyuton metodu bütün iterativ proseslərin ən yüksək yaxınlaşma dərəcəsinə malikdir.
Sadə təkrarlama metodunun proqram təminatının icrası alt proqram proseduru şəklində həyata keçirilir Təkrarlar(PROQRAM 2.1).
Bütün prosedur praktiki olaraq bir Təkrardan ibarətdir ... Dövrə qədər, təkrarlama prosesinin dayandırılması şərtini nəzərə alaraq (2.11) düsturunu yerinə yetirir (formula (2.2)).
Prosedura Niter dəyişənindən istifadə edərək döngələrin sayını hesablamaqla daxili döngə qorunmasına malikdir. Praktik məşğələlərdə proqramı işlətməklə əmsal seçiminin necə təsir etdiyinə əmin olmaq lazımdır b və kökün axtarışı prosesində ilkin yaxınlaşma. Əmsalı dəyişdirərkən b tədqiq olunan funksiya üçün iterasiya prosesinin xarakteri dəyişir. Əvvəlcə iki tərəfli olur, sonra isə döngələr (şəkil 2.9). Ox tərəziləri X Və Y fərqlidirlər. B modulunun daha böyük dəyəri fərqli prosesə gətirib çıxarır.
Tənliklərin təxmini həlli üsullarının müqayisəsi
Tənliklərin ədədi həlli üçün yuxarıda təsvir edilmiş üsulların müqayisəsi PC ekranında qrafik formada kökün tapılması prosesini müşahidə etməyə imkan verən proqramdan istifadə etməklə həyata keçirilmişdir. Bu proqrama daxil edilmiş prosedurlar və müqayisə edilən metodların həyata keçirilməsi aşağıda verilmişdir (PROQRAM 2.1).
düyü. 2.3-2.5, 2.8, 2.9 təkrarlama prosesinin sonunda PC ekranının surətləridir.
Bütün hallarda x 2 -x-6 = 0 kvadrat tənliyi tədqiq olunan funksiya kimi götürülüb, analitik həlli x 1 = -2 və x 2 = 3 olub. Səhv və ilkin yaxınlaşmalar bütün üsullar üçün bərabər qəbul edilib. Kök axtarış nəticələri x= Rəqəmlərdə təqdim olunan 3, aşağıdakı kimidir. Dixotomiya üsulu ən yavaşı - 22 təkrarı birləşdirir, ən sürətli b = -0,2 - 5 təkrarlama ilə sadə təkrarlama üsuludur. Burada Nyuton metodunun ən sürətli olduğu ifadəsi ilə heç bir ziddiyyət yoxdur.
Nöqtədə tədqiq olunan funksiyanın törəməsi X= 3 -0,2-ə bərabərdir, yəni bu vəziyyətdə hesablama praktiki olaraq Nyuton üsulu ilə tənliyin kök nöqtəsində törəmənin dəyəri ilə aparılmışdır. Əmsalı dəyişdirərkən b yaxınlaşma sürəti aşağı düşür və tədricən yaxınlaşma prosesi əvvəlcə dövrlərdə gedir və sonra divergensiyaya çevrilir.
(2.1) ilə analoji olaraq sistem (5.1) aşağıdakı ekvivalent formada təqdim edilə bilər:
burada g(x) vektor arqumentinin iterativ vektor funksiyasıdır. Qeyri-xətti tənliklər sistemləri çox vaxt birbaşa (5.2) şəklində yaranır (məsələn, diferensial tənliklər üçün ədədi sxemlərdə); bu halda (5.1) tənlikləri (5.2) sisteminə çevirmək üçün əlavə səy tələb olunmur. Bir tənlik üçün sadə təkrarlama üsulu ilə bənzətməyə davam etsək, (5.2) tənliyinə əsaslanan iterasiya prosesi aşağıdakı kimi təşkil edilə bilər:
- 1) bəzi ilkin vektor x ((,) e 5 o (x 0, A)(ehtimal olunur ki, x* e 5„(x 0, A));
- 2) düsturdan istifadə etməklə sonrakı təxminlər hesablanır
sonra iterasiya prosesi tamamlanır və
Əvvəllər olduğu kimi, hansı şərtlərdə olduğunu öyrənməliyik
Sadə bir təhlil apararaq bu məsələni müzakirə edək. Əvvəlcə i-ci yaxınlaşmanın xətasını e(^ = x(i) - x* şəklində təqdim edirik. Sonra yaza bilərik.
Bu ifadələri (5.3) ilə əvəz edək və g(x* + e (/i)) güclərini genişləndirək. e(k> vektor arqumentinin funksiyası kimi x* qonşuluğunda (g(x) funksiyasının bütün qismən törəmələrinin davamlı olduğunu nəzərə alaraq). x* = g(x*) olduğunu da nəzərə alsaq, alırıq
və ya matris şəklində
B = (bnm)= I (x*)1 - iterasiya matrisi.
Əgər səhv dərəcəsi ||e®|| kifayət qədər kiçikdir, onda (5.4) ifadənin sağ tərəfindəki ikinci termini nəzərə almamaq olar, sonra isə (2.16) ifadəsi ilə üst-üstə düşür. Nəticə etibarilə, iterativ prosesin (5.3) dəqiq həllə yaxın yaxınlaşması şərti 3.1 teoremində təsvir edilmişdir.
Sadə təkrarlama metodunun yaxınlaşması. Lazım olan və kifayət qədər şərait iterativ prosesin yaxınlaşması üçün (5.3): 
və kifayət qədər şərt:
Bu şərtlər praktiki deyil, nəzəri əhəmiyyətə malikdir, çünki biz x'i bilmirik. (1.11) ilə bənzətməklə, faydalı ola biləcək bir şərt əldə edirik. Qoy x* e 5 o (x 0, A) və g(x) funksiyası üçün Yakobi matrisi
bütün x e üçün mövcuddur S n (x 0, a) (qeyd edək ki, C(x*) = B). C(x) matrisinin elementləri bərabərsizliyi ödəyirsə
hamısı üçün x e 5“(x 0, A), onda (5.5) kafi şərt də istənilən matris norması üçün ödənilir.
Nümunə 5.1 (sadə təkrarlama üsulu) Nəzərə alın aşağıdakı sistem tənliklər:
Bu sistemi ekvivalent formada (5.2) təmsil etmək imkanlarından biri ifadə etməkdir X birinci tənlikdən və x 2 ikinci tənlikdən: 
Sonra təkrarlama sxemi formaya malikdir
Dəqiq həll x* e 5„((2, 2), 1). İlkin vektoru seçək x (0) = (2,2) və ? p = CT 5. Hesablama nəticələri cədvəldə təqdim olunur. 5.1.
Cədvəl 5.1
|
||X - X (i_1 > | 2 / X (A) 2 |
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
|||
|
Bu nəticələr konvergensiyanın kifayət qədər yavaş olduğunu göstərir. Konvergensiyanın kəmiyyət xarakteristikasını əldə etmək üçün x (1/)-ni dəqiq həll hesab edərək sadə təhlil aparırıq. İterativ funksiyamız üçün Yakobi matrisi C(x) formaya malikdir
onda B matrisi təxminən olaraq qiymətləndirilir
Nə şərtin (5.5), nə də (5.6) şərtinin təmin olunmadığını yoxlamaq asandır, lakin yaxınlaşma baş verir, çünki 5(B) ~ 0,8.
Çox vaxt hesablama prosesini bir qədər dəyişdirməklə sadə iterasiya metodunun yaxınlaşmasını sürətləndirmək mümkündür. Bu modifikasiyanın ideyası çox sadədir: hesablamaq P vektor komponentləri x (A+1) təkcə istifadə oluna bilməz (t = n,..., N), həm də növbəti yaxınlaşma vektorunun artıq hesablanmış komponentləri x k^ (/= 1,P - 1). Beləliklə, dəyişdirilmiş sadə iterasiya metodu aşağıdakı təkrarlama sxemi kimi təqdim edilə bilər:
Əgər təkrarlama prosesi (5.3) ilə yaranan təxminlər birləşirsə, onda iterativ proses (5.8) informasiyadan daha dolğun istifadəyə görə daha tez yaxınlaşmağa meyllidir.
Nümunə 5.2 (dəyişdirilmiş sadə iterasiya üsulu) Sistem (5.7) üçün dəyişdirilmiş sadə iterasiya kimi təqdim olunur.
Əvvəlki kimi ilkin vektor x (0) = (2, 2) və seçirik g r = = 10 -5. Hesablama nəticələri cədvəldə təqdim olunur. 5.2.
Cədvəl 5.2
|
|||
|
|||
|
|||
|
I Hesablamalar qaydasındakı böyük dəyişiklik iterasiyaların sayının iki dəfə azalmasına və buna görə də əməliyyatların sayının iki dəfə azalmasına səbəb oldu.
