Ümumilikdə tənliklər, xətti cəbri tənliklər və onların sistemləri, habelə onların həlli üsulları riyaziyyatda həm nəzəri, həm də tətbiqi cəhətdən xüsusi yer tutur.
Bu onunla bağlıdır ki, fiziki, iqtisadi, texniki və hətta pedaqoji problemlərin böyük əksəriyyəti müxtəlif tənliklər və onların sistemlərindən istifadə etməklə təsvir və həll edilə bilər. IN son vaxtlar tədqiqatçılar, alimlər və praktiklər arasında xüsusi populyarlıq qazanmışdır riyazi modelləşdirmə demək olar ki, bütün fənlər üzrə, bu, müxtəlif təbiətli obyektlərin öyrənilməsi üçün digər məlum və sübut edilmiş metodlardan, xüsusən də sözdə mürəkkəb sistemlər. Elm adamları tərəfindən verilən riyazi modelin çox müxtəlif tərifləri var müxtəlif vaxtlar, lakin fikrimizcə, ən uğurlusu aşağıdakı ifadədir. Riyazi model- bu bir fikirdir, tənliyi ilə ifadə edilir. Beləliklə, tənlikləri və onların sistemlərini tərtib etmək və həll etmək bacarığı müasir mütəxəssisin ayrılmaz xüsusiyyətidir.
Xətti sistemləri həll etmək cəbri tənliklərƏn çox istifadə edilən üsullar Cramer, Jordan-Gauss və matris metodudur.
Matris həlli üsulu tərs matrisdən istifadə edərək sıfırdan fərqli təyinedici ilə xətti cəbri tənliklərin sistemlərinin həlli üsuludur.
A matrisində xi naməlum kəmiyyətləri üçün əmsalları yazsaq, naməlum kəmiyyətləri X vektor sütununda, sərbəst şərtləri B vektor sütununda toplasaq, xətti cəbri tənliklər sistemini aşağıdakı formada yazmaq olar. yalnız A matrisinin determinantı sıfıra bərabər olmadıqda unikal həlli olan aşağıdakı A · X = B matris tənliyi. Bu halda tənliklər sisteminin həllini aşağıdakı şəkildə tapmaq olar X = A-1 · B, Harada A -1 - tərs matris.
Matris həll üsulu aşağıdakı kimidir.
Sistem verilsin xətti tənliklər ilə n naməlum:
Matris şəklində yenidən yazıla bilər: AX = B, Harada A- sistemin əsas matrisi, B Və X- müvafiq olaraq sistemin pulsuz şərtləri və həllər sütunları:
Bunu çoxaldaq matris tənliyi qalıb A-1 - matrisin tərsi matris A: A -1 (AX) = A -1 B
Çünki A -1 A = E, alırıq X= A -1 B. Sağ tərəf bu tənliyin orijinal sistemə həllər sütunu verəcəkdir. Tətbiq olunma şərti bu üsul(həmçinin ümumiyyətlə həllin mövcudluğu homojen sistem tənliklərin sayı bilinməyənlərin sayına bərabər olan xətti tənliklər) matrisin degenerasiya olmamasıdır. A. Lazım olan və kifayət qədər şərait Bu o deməkdir ki, matrisin determinantı sıfıra bərabər deyil A:det A≠ 0.
Xətti tənliklərin homojen sistemi üçün, yəni vektor olduqda B = 0 , əslində əks qayda: sistem AX = 0 qeyri-trivial (yəni sıfır olmayan) həllə malikdir, yalnız det A= 0. Xətti tənliklərin bircins və qeyri-homogen sistemlərinin həlləri arasında belə əlaqəyə Fredholm alternativi deyilir.
Misal xətti cəbri tənliklərin qeyri-homogen sisteminin həlli.
Xətti cəbri tənliklər sisteminin naməlumlarının əmsallarından ibarət olan matrisin təyinedicisinin sıfıra bərabər olmadığına əmin olaq.
Növbəti addım hesablamaqdır cəbri əlavələr naməlumların əmsallarından ibarət matrisin elementləri üçün. Onlar tərs matrisi tapmaq üçün lazım olacaq.
(bəzən bu üsula da deyilir matris üsulu və ya tərs matris metodu) SLAE qeydinin matris forması kimi anlayışla ilkin tanışlığı tələb edir. Tərs matris metodu, sistem matrisinin determinantının sıfırdan fərqli olduğu xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli üçün nəzərdə tutulmuşdur. Təbii ki, bu, sistemin matrisinin kvadrat olmasını nəzərdə tutur (determinant anlayışı yalnız kvadrat matrislər üçün mövcuddur). Tərs matris metodunun mahiyyəti üç nöqtədə ifadə edilə bilər:
- Üç matrisi yazın: sistem matrisi $A$, naməlumlar matrisi $X$, sərbəst şərtlər matrisi $B$.
- $A^(-1)$ tərs matrisini tapın.
- $X=A^(-1)\cdot B$ bərabərliyindən istifadə edərək, verilmiş SLAE-nin həllini əldə edin.
İstənilən SLAE matris şəklində $A\cdot X=B$ kimi yazıla bilər, burada $A$ sistemin matrisidir, $B$ sərbəst şərtlər matrisidir, $X$ naməlumlar matrisidir. $A^(-1)$ matrisi mövcud olsun. $A\cdot X=B$ bərabərliyinin hər iki tərəfini soldakı $A^(-1)$ matrisinə vuraq:
$$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
$A^(-1)\cdot A=E$ olduğundan ($E$ eynilik matrisidir), yuxarıdakı bərabərlik belə olur:
$$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$
$E\cdot X=X$ olduğundan, onda:
$$X=A^(-1)\cdot B.$$
Nümunə № 1
SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ həllini tərs matrisdən istifadə edərək həll edin.
$$ A=\left(\begin(massiv) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(massiv)\sağ);\; B=\left(\begin(massiv) (c) 29\\ -11 \end(massiv)\sağ);\; X=\left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \end(massiv)\sağ). $$
Sistem matrisinə tərs matrisi tapaq, yəni. Gəlin $A^(-1)$ hesablayaq. 2 nömrəli misalda
$$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(massiv)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(massiv)\sağ) . $$
İndi gəlin hər üç matrisi ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ bərabərliyinə əvəz edək. Sonra matris vurma həyata keçiririk
$$ \left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \end(massiv)\sağ)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(massiv)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(massiv)\sağ)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 29\\ -11 \end(massiv)\sağ)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(massiv)\sağ)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 309\\ -206 \end(massiv)\sağ)=\left( \begin(massiv) (c) -3\\ 2\end(massiv)\sağ). $$
Beləliklə, $\left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \end(massiv)\right)=\left(\begin(massiv) (c) -3\\ 2\end() bərabərliyini əldə etdik. massiv )\sağ)$. Bu bərabərlikdən əldə edirik: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Cavab verin: $x_1=-3$, $x_2=2$.
Nümunə № 2
SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6) həll edin. \end(aligned)\right .$ tərs matris metodundan istifadə etməklə.
$A$ sisteminin matrisini, $B$ sərbəst şərtlər matrisini və $X$ naməlumlar matrisini yazaq.
$$ A=\left(\begin(massiv) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(massiv)\sağ);\; B=\left(\begin(massiv) (c) -1\\0\\6\end(massiv)\sağ);\; X=\left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(massiv)\sağ). $$
İndi növbə sistem matrisinə tərs matrisi tapmaqdır, yəni. $A^(-1)$ tapın. Tərs matrislərin tapılmasına həsr olunmuş səhifədəki 3 nömrəli misalda tərs matris artıq tapılıb. Hazır nəticədən istifadə edək və $A^(-1)$ yazaq:
$$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(massiv)\sağ). $$
İndi gəlin hər üç matrisi ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ bərabərliyinə əvəz edək və sonra sağ tərəfdə matrisa vurma əməliyyatını yerinə yetirək. bu bərabərlikdən.
$$ \left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(massiv)\sağ)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(massiv) \sağ)\cdot \left(\begin(massiv) (c) -1\\0\ \6\end(massiv)\sağ)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(massiv)\sağ)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 0\\-104\\234\end(massiv)\sağ)=\left( \begin(massiv) (c) 0\\-4\\9\end(massiv)\sağ) $$
Beləliklə, $\left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(massiv)\right)=\left(\begin(massiv) (c) 0\\-4 bərabərliyini əldə etdik. \ \9\end(massiv)\sağ)$. Bu bərabərlikdən əldə edirik: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$.
Gəlin nəzərdən keçirək xətti cəbri tənliklər sistemi(SLAU) nisbətən n naməlum x 1 , x 2 , ..., x n :
Bu sistem "yıxılmış" formada aşağıdakı kimi yazıla bilər:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
Matris vurma qaydasına uyğun olaraq, nəzərdən keçirilən xətti tənliklər sistemi yazıla bilər matris forması balta=b, Harada
,
,.
Matris A, sütunları müvafiq naməlumlar üçün əmsallar, cərgələri isə uyğun tənlikdə naməlumlar üçün əmsallar adlanır. sistemin matrisi. Sütun matrisi b, elementləri sistemin tənliklərinin sağ tərəfləri olan, sağ tərəf matrisi və ya sadəcə olaraq adlanır. sistemin sağ tərəfi. Sütun matrisi x elementləri naməlum bilinməyənlər adlanır sistem həlli.
şəklində yazılmış xətti cəbri tənliklər sistemi balta=b, edir matris tənliyi.
Əgər sistem matrisi qeyri-degenerativ, onda onun tərs matrisi var və sistemin həlli belədir balta=b düsturla verilir:
x=A -1 b.
Misal Sistemi həll edin 
matris üsulu.
Həll sistemin əmsal matrisi üçün tərs matrisi tapaq
Birinci sətir boyunca genişləndirməklə determinantı hesablayaq:
Çünki Δ ≠ 0 , Bu A -1 mövcuddur.
Tərs matris düzgün tapıldı.
Gəlin sistemin həllini tapaq 
Beləliklə, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
İmtahan: 
7. Xətti cəbri tənliklər sisteminin uyğunluğu haqqında Kroneker-Kapelli teoremi.
Xətti tənliklər sistemi formaya malikdir:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Burada a i j və b i (i = ; j = ) verilmiş, x j isə naməlum həqiqi ədədlərdir. Matrislərin məhsulu anlayışından istifadə edərək (5.1) sistemini aşağıdakı formada yenidən yaza bilərik:
burada A = (a i j) sistemin (5.1) naməlumları üçün əmsallardan ibarət matrisdir. sistemin matrisi, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T müvafiq olaraq x j naməlumlardan və b i sərbəst həddlərindən ibarət sütun vektorlarıdır.
Sifarişli kolleksiya n həqiqi ədədlər (c 1 , c 2 ,..., c n) çağırılır sistem həlli(5.1), əgər bu ədədlərin x 1, x 2,..., x n uyğun dəyişənlərinin yerinə əvəz edilməsi nəticəsində sistemin hər bir tənliyi hesab eyniliyinə çevrilirsə; başqa sözlə, C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T vektoru varsa elə AC B.
Sistem (5.1) çağırılır birgə, və ya həll oluna bilən,ən azı bir həlli varsa. Sistem deyilir uyğunsuz, və ya həll olunmaz, heç bir həll yolu yoxdursa.
,
A matrisinin sağına sərbəst şərtlər sütununun təyin edilməsi ilə əmələ gələn adlanır sistemin genişləndirilmiş matrisi.
(5.1) sisteminin uyğunluğu məsələsi aşağıdakı teoremlə həll edilir.
Kroneker-Kapelli teoremi . Xətti tənliklər sistemi o zaman uyğundur ki, A vəA matrislərinin dərəcələri üst-üstə düşsün, yəni. r(A) = r(A) = r.
(5.1) sisteminin M həllər çoxluğu üçün üç imkan var:
1) M = (bu halda sistem uyğunsuzdur);
2) M bir elementdən ibarətdir, yəni. sistemin unikal həlli var (bu halda sistem çağırılır müəyyən);
3) M birdən çox elementdən ibarətdir (sonra sistem çağırılır qeyri-müəyyən). Üçüncü halda (5.1) sistemin sonsuz sayda həlli var.
Sistemin unikal həlli yalnız r(A) = n olduqda olur. Bu zaman tənliklərin sayı naməlumların sayından (mn) az deyil; m>n olarsa, onda m-n tənlikləri başqalarının nəticələridir. Əgər 0 Xətti tənliklərin ixtiyari sistemini həll etmək üçün tənliklərin sayı bilinməyənlərin sayına bərabər olan sistemləri həll etməyi bacarmalısınız - sözdə Kramer tipli sistemlər: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Sistemlər (5.3) aşağıdakı üsullardan biri ilə həll edilir: 1) Qauss üsulu və ya naməlumların aradan qaldırılması üsulu; 2) Kramer düsturlarına görə; 3) matris üsulu. Misal 2.12. Tənliklər sistemini araşdırın və uyğundursa, həll edin: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Həll. Sistemin genişləndirilmiş matrisini yazırıq:
Sistemin əsas matrisinin dərəcəsini hesablayaq. Aydındır ki, məsələn, yuxarı sol küncdəki ikinci dərəcəli minor = 7 0; onu ehtiva edən üçüncü dərəcəli azyaşlılar sıfıra bərabərdir: Nəticədə, sistemin əsas matrisinin dərəcəsi 2-dir, yəni. r(A) = 2. Genişləndirilmiş A matrisinin dərəcəsini hesablamaq üçün sərhəd olan minoru nəzərə alın. bu o deməkdir ki, genişləndirilmiş matrisin dərəcəsi r(A) = 3. r(A) r(A) olduğundan sistem uyğunsuzdur. Mövzu 2. XƏTTİ CƏBRİK TƏNLİKLƏR SİSTEMLERİ. Əsas anlayışlar. Tərif 1. Sistem m ilə xətti tənliklər n naməlumlar formanın bir sistemidir: harada və rəqəmlərdir. Tərif 2. (I) sisteminin həlli bu sistemin hər bir tənliyinin eyniliyə çevrildiyi naməlumlar toplusudur. Tərif 3. Sistem (I) adlanır birgə, ən azı bir həlli varsa və birgə olmayan, heç bir həll yolu yoxdursa. Birgə sistem adlanır müəyyən, onun unikal həlli varsa və qeyri-müəyyənəks halda. Tərif 4. Formanın tənliyi çağırdı sıfır, və tənlik formadadır çağırdı uyğunsuz. Aydındır ki, uyğun olmayan tənliyi ehtiva edən tənliklər sistemi uyğunsuzdur. Tərif 5. İki xətti tənlik sistemi deyilir ekvivalent, əgər bir sistemin hər bir həlli digərinə həll rolunu oynayırsa və əksinə, ikinci sistemin hər bir həlli birincinin həllidir. Xətti tənliklər sisteminin matris təsviri. (I) sistemini nəzərdən keçirək (bax §1). işarə edək: Naməlumlar üçün əmsal matrisi Matris - sərbəst şərtlər sütunu Matris – naməlumlar sütunu Tərif 1. Matris deyilir sistemin əsas matrisi(I), matris isə sistemin (I) uzadılmış matrisidir. Matrislərin bərabərliyinin tərifinə görə (I) sistemi matris bərabərliyinə uyğundur: Matrislərin hasilinin tərifi ilə bu bərabərliyin sağ tərəfi ( tərif 3 § 5-ci fəsil 1-ə baxın) faktorlara bölünə bilər: Bərabərlik (2)
çağırdı sistemin matris notasiyası (I). Kramer üsulu ilə xətti tənliklər sisteminin həlli. Sistemə daxil olun (I) (bax §1) m=n, yəni. tənliklərin sayı bilinməyənlərin sayına bərabərdir və sistemin əsas matrisi tək deyil, yəni. . Onda §1-dən (I) sistem unikal həll yoluna malikdir harada Δ = det Aəsas adlanır sistemin determinantıdır(I), Δ iəvəz etməklə Δ təyinedicisindən alınır i ci sütundan sistemin sərbəst üzvlərinin sütununa (I). Nümunə: Kramer metodundan istifadə edərək sistemi həll edin: Düsturlarla (3)
Sistemin təyinedicilərini hesablayırıq: Determinantı əldə etmək üçün determinantda birinci sütunu sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz etdik; determinantda 2-ci sütunu sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz edərək, alırıq; oxşar şəkildə, determinantda 3-cü sütunu sərbəst şərtlər sütunu ilə əvəz edərək, alırıq. Sistem həlli: Tərs matrisdən istifadə edərək xətti tənliklər sistemlərinin həlli. Sistemə daxil olun (I) (bax §1) m=n sistemin əsas matrisi isə tək deyil. (I) sistemini matris şəklində yazaq ( bax §2): çünki matris A qeyri-təkdir, onda tərs matrisə malikdir ( 1-ci fəslin 1-ci teoremi §6-a baxın). Gəlin bərabərliyin hər iki tərəfini çoxaldaq (2)
sonra matrisə Tərs matrisin tərifinə görə. Bərabərlikdən (3)
bizdə var Tərs matrisdən istifadə edərək sistemi həll edin işarə edək Məsələn (§ 3) biz müəyyənedicini, deməli, matrisi hesabladıq A tərs matrisə malikdir. Sonra qüvvədədir (4)
, yəni. matrisi tapaq ( §6-cı fəsil 1-ə baxın) Gauss üsulu. Xətti tənliklər sistemi verilsin: Sistemin (I) bütün həllərini tapmaq və ya sistemin uyğunsuzluğunu yoxlamaq tələb olunur. Tərif 1.Sistemin elementar çevrilməsini adlandıraq(I) üç hərəkətdən hər hansı biri: 1) sıfır tənliyinin üstündən xətt çəkmək; 2) tənliyin hər iki tərəfinə başqa tənliyin uyğun hissələrinin l ədədinə vurulması; 3) sistemin tənliklərində şərtlərin dəyişdirilməsi, bütün tənliklərdə eyni nömrələri olan naməlumların eyni yerləri tutması, yəni. məsələn, 1-ci tənlikdə 2-ci və 3-cü şərtləri dəyişdirmişiksə, sistemin bütün tənliklərində də eyni şey edilməlidir. Gauss metodu ondan ibarətdir ki, (I) elementar çevrilmələrin köməyi ilə həlli birbaşa tapılan və ya həll olunmayan ekvivalent bir sistemə endirilir. §2-də təsvir olunduğu kimi, sistem (I) onun genişləndirilmiş matrisi ilə unikal şəkildə müəyyən edilir və (I) sisteminin istənilən elementar çevrilməsi genişləndirilmiş matrisin elementar çevrilməsinə uyğundur: Çevrilmə 1) matrisdəki sıfır cərgəsinin silinməsinə uyğundur, transformasiya 2) matrisin müvafiq cərgəsinə başqa sətir əlavə edilməsinə, l rəqəminə vurulmasına, çevrilmə 3) matrisdəki sütunların yenidən təşkilinə bərabərdir. Asanlıqla görmək olar ki, əksinə, matrisin hər bir elementar çevrilməsi sistemin (I) elementar çevrilməsinə uyğun gəlir. Yuxarıda göstərilənlərə görə (I) sistemi ilə əməliyyatlar yerinə, bu sistemin genişləndirilmiş matrisi ilə işləyəcəyik. Matrisdə 1-ci sütun üçün əmsallardan ibarətdir x 1, 2-ci sütun - üçün əmsallardan x 2 və s. Sütunlar yenidən düzülürsə, bu şərtin pozulduğunu nəzərə almaq lazımdır. Məsələn, 1-ci və 2-ci sütunları dəyişdirsək, indi 1-ci sütunda əmsallar olacaq. x 2, və 2-ci sütunda - üçün əmsallar x 1. (I) sistemini Qauss üsulu ilə həll edəcəyik. 1. Əgər varsa, matrisin bütün sıfır cərgələrini kəsin (yəni, (I) sistemindəki bütün sıfır tənlikləri kəsin). 2. Matrisin sətirləri arasında sonuncudan başqa bütün elementlərin sıfıra bərabər olduğu sətirin olub-olmadığını yoxlayaq (belə sətiri uyğunsuz adlandıraq). Aydındır ki, belə bir xətt (I) sistemindəki uyğunsuz tənliyə uyğundur, buna görə də (I) sisteminin həlli yoxdur və prosesin bitdiyi yer budur. 3. Matrisdə uyğun olmayan sətirlər olmasın (sistem (I) uyğunsuz tənlikləri ehtiva etmir). Əgər a 11 = 0, onda biz 1-ci cərgədə sıfırdan başqa hansısa elementi (sonuncudan başqa) tapırıq və sütunları elə düzəldirik ki, 1-ci cərgədə 1-ci yerdə sıfır olmasın. İndi fərz edəcəyik ki, (yəni (I) sisteminin tənliklərində müvafiq şərtləri dəyişdirəcəyik). 4. 1-ci sətri vurub nəticəni 2-ci sətirlə əlavə edin, sonra 1-ci sətri vurub nəticəni 3-cü sətirlə əlavə edin və s. Aydındır ki, bu proses naməlumun aradan qaldırılmasına bərabərdir x 1 1-cidən başqa (I) sisteminin bütün tənliklərindən. Yeni matrisdə elementin altındakı 1-ci sütunda sıfırlar alırıq a 11: 5. Əgər varsa, matrisin bütün sıfır sətirlərinin üstündən xətt çəkək və uyğun olmayan sətirin olub olmadığını yoxlayaq (əgər varsa, sistem uyğunsuzdur və həll orada bitir). Olacağını yoxlayaq a 22 / =0, əgər belədirsə, onda biz 2-ci cərgədə sıfırdan başqa element tapırıq və sütunları elə düzəldirik ki . Sonra, 2-ci cərgənin elementlərini çarpın Görülən tədbirlər naməlumun aradan qaldırılmasına bərabərdir x 2 1-ci və 2-ci istisna olmaqla (I) sisteminin bütün tənliklərindən. Sətirlərin sayı sonlu olduğundan, sonlu sayda addımlardan sonra ya sistemin uyğunsuz olduğunu, ya da bir addım matrisi ( tərif 2 §7-ci fəsil 1-ə baxın) : Matrisə uyğun tənliklər sistemini yazaq. Bu sistem (I) sisteminə ekvivalentdir Sonuncu tənlikdən ifadə edirik; əldə edənə qədər əvvəlki tənliyi əvəz edin, tapın və s. Qeyd 1. Beləliklə, (I) sistemini Qauss üsulu ilə həll edərkən aşağıdakı hallardan birinə gəlirik. 1. Sistem (I) uyğunsuzdur. 2. Sistem (I) matrisdəki sətirlərin sayı naməlumların sayına () bərabər olarsa, unikal həll yolu var. 3. Əgər matrisdəki cərgələrin sayı naməlumların sayından () azdırsa, sistemin (I) sonsuz sayda həlli var. Beləliklə, aşağıdakı teorem yerinə yetirilir. Teorem. Xətti tənliklər sistemi ya uyğunsuzdur, unikal həlli var, ya da sonsuz sayda həlli var. Nümunələr. Gauss metodundan istifadə edərək tənliklər sistemini həll edin və ya onun uyğunsuzluğunu sübut edin: b) a) Verilmiş sistemi aşağıdakı formada yenidən yazaq: Hesablamaları sadələşdirmək üçün ilkin sistemin 1-ci və 2-ci tənliklərini dəyişdirdik (kəsrlərin əvəzinə bu yenidən tənzimləmədən istifadə edərək yalnız tam ədədlərlə işləyəcəyik). Genişləndirilmiş matris yaradaq: Boş sətirlər yoxdur; uyğun olmayan xətlər yoxdur, ; 1-ci məchuldan başqa sistemin bütün tənliklərindən 1-ci naməlumu xaric edək. Bunu etmək üçün matrisin 1-ci cərgəsinin elementlərini “-2”-yə vurun və onları 2-ci cərgənin müvafiq elementləri ilə əlavə edin ki, bu da 1-ci tənliyi “-2”-yə vurub 2-ci ilə əlavə etməyə bərabərdir. tənlik. Sonra 1-ci sətrin elementlərini "-3"-ə vururuq və üçüncü sətrin müvafiq elementləri ilə əlavə edirik, yəni. verilmiş sistemin 2-ci tənliyini “-3”-ə vurub 3-cü tənliyə əlavə edin. alırıq Matris tənliklər sisteminə uyğundur). - (bax tərif 3§7-ci fəsil 1). Tərs matris metodu xüsusi bir haldır matris tənliyi Sistemi matris metodundan istifadə edərək həll edin Həll: Sistemi matris şəklində yazırıq, sistemin həllini düsturdan istifadə edərək tapırıq (son düstura bax). Düsturdan istifadə edərək tərs matrisi tapırıq: Əvvəlcə determinantı nəzərdən keçirək: Burada determinant birinci sətirdə genişlənir. Diqqət! Əgər, onda tərs matris yoxdur və sistemi matris üsulu ilə həll etmək mümkün deyil. Bu zaman sistem naməlumların aradan qaldırılması metodu (Qauss üsulu) ilə həll edilir. İndi biz 9 azyaşlı hesablayıb onları kiçiklər matrisinə yazmalıyıq İstinad: Xətti cəbrdə qoşa alt işarələrin mənasını bilmək faydalıdır. Birinci rəqəm elementin yerləşdiyi sətrin nömrəsidir. İkinci rəqəm elementin yerləşdiyi sütunun nömrəsidir: Həll zamanı yetkinlik yaşına çatmayanların hesablanmasını ətraflı təsvir etmək daha yaxşıdır, baxmayaraq ki, müəyyən təcrübə ilə onları şifahi olaraq səhvlərlə hesablamağa alışa bilərsiniz. Yetkinlik yaşına çatmayanların hesablanması qaydası tamamilə əhəmiyyətsizdir. Yetkinlik yaşına çatmayanları sütunlar üzrə hesablamaq mümkün idi (bu, daha rahatdır). Beləliklə: – cəbri əlavələr matrisi. – cəbri əlavələrin köçürülmüş matrisi. Yenə deyirəm, dərsdə yerinə yetirilən addımları ətraflı müzakirə etdik. Bir matrisin tərsini necə tapmaq olar? İndi tərs matrisi yazırıq: Heç bir halda onu matrisə daxil etməməliyik, bu, sonrakı hesablamaları ciddi şəkildə çətinləşdirəcək.. Matrisdəki bütün ədədlər 60-a qalıqsız bölünərsə, bölmə yerinə yetirilməlidir. Ancaq bu vəziyyətdə matrisə bir mənfi əlavə etmək çox lazımdır, əksinə, sonrakı hesablamaları asanlaşdıracaq; Qalır ki, matrisin vurulmasını yerinə yetirsin. Siz sinifdə matrisləri çoxaltmağı öyrənə bilərsiniz. Matrislərlə hərəkətlər. Yeri gəlmişkən, orada da eyni nümunə təhlil edilir. Qeyd edək ki, 60-a bölmə aparılır ən son. Cavab verin: Misal 12 Tərs matrisdən istifadə edərək sistemi həll edin. Bu müstəqil həll üçün bir nümunədir (yekun dizayn nümunəsi və dərsin sonunda cavab). Sistemi həll etməyin ən universal yolu naməlumların aradan qaldırılması üsulu (Qauss üsulu). Alqoritmi aydın şəkildə izah etmək o qədər də asan deyil, amma cəhd etdim! Sizə uğurlar arzulayıram! Cavablar: Misal 3:
Misal 6:
Misal 8:
,
. Siz bu nümunə üçün həll nümunəsinə baxa və ya yükləyə bilərsiniz (aşağıdakı link). Nümunələr 10, 12: Xətti tənliklər sistemlərini nəzərdən keçirməyə davam edirik. Bu dərs mövzu üzrə üçüncü dərsdir. Ümumiyyətlə xətti tənliklər sisteminin nə olduğu barədə qeyri-müəyyən bir fikriniz varsa, özünüzü çaydan kimi hiss edirsinizsə, o zaman səhifədəki əsaslardan başlamağı məsləhət görürəm Sonra, dərsi öyrənmək faydalıdır. Gauss metodu asandır! Niyə? Məşhur alman riyaziyyatçısı İohann Karl Fridrix Qauss sağlığında bütün dövrlərin ən böyük riyaziyyatçısı, dahi kimi tanınıb və hətta “Riyaziyyatın Kralı” ləqəbini də alıb. Və bildiyiniz kimi, hər şey sadədir! Yeri gəlmişkən, təkcə əmicilər deyil, dahilər də pul alırlar - Qaussun portreti 10 Deutschmark əskinasında idi (avro təqdim edilməzdən əvvəl) və Gauss hələ də adi poçt markalarından almanlara müəmmalı şəkildə gülümsəyir. Qauss metodu sadədir ki, onu mənimsəmək üçün BEŞİNCİ SİNF ŞƏHƏRİNİN BİLİKLƏRİ KƏFƏDDİR. Siz əlavə və çoxaltmağı bilməlisiniz! Təsadüfi deyil ki, müəllimlər çox vaxt məktəb riyaziyyatının seçmə fənlərində naməlumların ardıcıl xaric edilməsi metodunu nəzərdən keçirirlər. Bu paradoksdur, lakin tələbələr Qauss metodunu ən çətin hesab edirlər. Təəccüblü heç nə yoxdur - hamısı metodologiyaya aiddir və mən metodun alqoritmi haqqında əlçatan formada danışmağa çalışacağam. Əvvəlcə xətti tənliklər sistemləri haqqında bir az bilikləri sistemləşdirək. Xətti tənliklər sistemi: 1) Unikal həll yolu var. Gauss metodu həll tapmaq üçün ən güclü və universal vasitədir hər hansı xətti tənliklər sistemləri. Xatırladığımız kimi, Kramer qaydası və matris metodu sistemin sonsuz sayda həlli olduğu və ya uyğunsuz olduğu hallarda uyğun deyil. Və naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması üsulu Hər halda bizi cavaba aparacaq! Bu dərsdə biz 1-ci hal (sistemin yeganə həlli) üçün yenidən Gauss metodunu nəzərdən keçirəcəyik, məqalə 2-3 nömrəli bəndlərin vəziyyətlərinə həsr edilmişdir. Qeyd edim ki, metodun özünün alqoritmi hər üç halda eyni işləyir. Dərsdən ən sadə sistemə qayıdaq Xətti tənliklər sistemini necə həll etmək olar? İlk addım yazmaqdır genişləndirilmiş sistem matrisi: İstinad:
xatırlamağınızı tövsiyə edirəmşərtlər
xətti cəbr.Sistem matrisi
yalnız naməlumlar üçün əmsallardan ibarət matrisdir, bu misalda sistemin matrisi:
.
Genişləndirilmiş Sistem Matrisi
– bu sistemin eyni matrisi üstəgəl sərbəst şərtlər sütunudur, bu halda:
. Qısalıq üçün matrislərdən hər hansı birini sadəcə olaraq matris adlandırmaq olar. Genişləndirilmiş matris sistemi yazıldıqdan sonra onunla bəzi hərəkətləri yerinə yetirmək lazımdır ki, bu da adlanır elementar çevrilmələr. Aşağıdakı elementar çevrilmələr mövcuddur: 1) Simlər matrislər yenidən təşkil edilə bilər bəzi yerlərdə. Məsələn, nəzərdən keçirilən matrisdə birinci və ikinci sıraları ağrısız şəkildə yenidən təşkil edə bilərsiniz: 2) Əgər matrisdə mütənasib (xüsusi hal kimi - eyni) sətirlər varsa (və ya yaranıbsa), onda siz silin Biri istisna olmaqla, bütün bu sətirlər matrisdəndir. Məsələn, matrisi nəzərdən keçirək 3) Transformasiyalar zamanı matrisdə sıfır cərgəsi görünürsə, o da olmalıdır silin. Mən çəkməyəcəyəm, əlbəttə ki, sıfır xətti olan xəttdir bütün sıfırlar. 4) Matris sırası ola bilər çoxaltmaq (bölmək) istənilən nömrəyə sıfırdan fərqli. Məsələn, matrisi nəzərdən keçirək. Burada birinci sətri –3-ə bölmək, ikinci sətri isə 2-yə vurmaq məsləhətdir: 5) Bu çevrilmə ən çox çətinliklərə səbəb olur, amma əslində mürəkkəb bir şey də yoxdur. Bir matrisin sırasına edə bilərsiniz nömrə ilə vurulan başqa bir sətir əlavə edin, sıfırdan fərqli. Praktiki misaldan matrisimizi nəzərdən keçirək: . Əvvəlcə transformasiyanı ətraflı təsvir edəcəyəm. Birinci sətri -2-yə vurun: Təcrübədə, əlbəttə ki, bunu o qədər də təfərrüatlı yazmırlar, ancaq qısaca yazırlar: “Matrisi yenidən yazıram və birinci sətri yenidən yazıram:” “Birinci sütun. Aşağıda sıfır almalıyam. Ona görə də yuxarıdakını –2: ilə vururam və birincini ikinci sətirə əlavə edirəm: 2 + (–2) = 0. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: “İndi ikinci sütun. Yuxarıda -1-i -2-yə vururam: . Birincini ikinci sətirə əlavə edirəm: 1 + 2 = 3. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: " “Və üçüncü sütun. Yuxarıda -5-i -2-yə vururam: . Birincini ikinci sətirə əlavə edirəm: –7 + 10 = 3. Nəticəni ikinci sətirə yazıram: Zəhmət olmasa bu nümunəni diqqətlə anlayın və ardıcıl hesablama alqoritmini anlayın, əgər bunu başa düşsəniz, Gauss metodu praktiki olaraq cibinizdədir. Amma təbii ki, biz hələ də bu transformasiya üzərində işləyəcəyik. Elementar çevrilmələr tənliklər sisteminin həllini dəyişmir ! DİQQƏT: manipulyasiyalar hesab olunur istifadə edilə bilməz, sizə matrislərin “öz-özünə” verildiyi bir tapşırıq təklif edilərsə. Məsələn, "klassik" ilə matrislərlə əməliyyatlar Heç bir halda matrislərin içərisində heç bir şeyi yenidən təşkil etməməlisiniz! Sistemimizə qayıdaq. Demək olar ki, həll olunub. Sistemin uzadılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu azaldaq pilləli görünüş: (1) Birinci sətir ikinci sətirə əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Yeri gəlmişkən, niyə birinci sətri –2-yə vururuq? Aşağıda sıfır əldə etmək üçün, yəni ikinci sətirdəki bir dəyişəndən xilas olmaq deməkdir. (2) İkinci sətri 3-ə bölün. Elementar çevrilmələrin məqsədi–
matrisi mərhələli formaya endirin: Elementar çevrilmələr nəticəsində əldə etdik ekvivalent orijinal tənliklər sistemi: İndi sistemin əks istiqamətdə "açılması" lazımdır - aşağıdan yuxarıya, bu proses adlanır Qauss metodunun tərsi. Aşağı tənlikdə artıq hazır nəticəmiz var: . Sistemin birinci tənliyini nəzərdən keçirək və ona artıq məlum olan “y” dəyərini əvəz edək: Qauss metodu üç naməlumlu üç xətti tənlik sisteminin həllini tələb edən ən ümumi vəziyyəti nəzərdən keçirək. Misal 1 Gauss metodundan istifadə edərək tənliklər sistemini həll edin: Sistemin uzadılmış matrisini yazaq: İndi həll zamanı çatacağımız nəticəni dərhal çəkəcəyəm: Əvvəlcə yuxarı sol rəqəmə baxın: İndi birinci sətir həllin sonuna qədər dəyişməz qalacaq. Artıq daha asandır. Sol üst küncdəki bölmə təşkil olunub. İndi bu yerlərdə sıfırlar əldə etməlisiniz: “Çətin” çevrilmədən istifadə edərək sıfırları əldə edirik. Əvvəlcə ikinci sətirlə məşğul oluruq (2, –1, 3, 13). Birinci mövqedə sıfır almaq üçün nə etmək lazımdır? Lazımdır ikinci sətirə -2 ilə vurulan birinci sətri əlavə edin. Zehni olaraq və ya qaralamada birinci sətri –2-yə vurun: (–2, –4, 2, –18). Biz ardıcıl olaraq (yenidən zehni olaraq və ya qaralamada) əlavə edirik, ikinci sətirə artıq –2-yə vurulmuş birinci sətri əlavə edirik: Nəticəni ikinci sətirdə yazırıq: Üçüncü sətirlə də eyni şəkildə məşğul oluruq (3, 2, –5, –1). Birinci mövqedə sıfır almaq üçün sizə lazımdır üçüncü sətirə –3-ə vurulan birinci sətri əlavə edin. Zehni olaraq və ya qaralamada birinci sətri –3-ə vurun: (–3, –6, 3, –27). VƏ üçüncü sətirə -3-ə vurulan birinci sətri əlavə edirik: Nəticəni üçüncü sətirə yazırıq: Praktikada bu hərəkətlər adətən şifahi olaraq həyata keçirilir və bir addımda yazılır: Hər şeyi bir anda və eyni anda hesablamağa ehtiyac yoxdur. Hesablamaların ardıcıllığı və nəticələrin “yazılması” ardıcıl və adətən belə olur: əvvəlcə birinci sətri yenidən yazırıq və yavaş-yavaş özümüzə puflayırıq - ARADDALI və DİQQƏTLƏ: Bu misalda bunu etmək asandır, biz ikinci sətri –5-ə bölürük (çünki orada bütün ədədlər 5-ə qalıqsız bölünür). Eyni zamanda, üçüncü sətri -2-yə bölürük, çünki rəqəmlər nə qədər kiçik olsa, həlli bir o qədər sadədir: Elementar çevrilmələrin son mərhələsində burada başqa bir sıfır əldə etməlisiniz: Bunun üçün üçüncü sətirə -2 ilə vurulan ikinci sətri əlavə edirik: Sonuncu yerinə yetirilən hərəkət nəticənin saç düzümüdür, üçüncü xətti 3-ə bölün. Elementar çevrilmələr nəticəsində ekvivalent xətti tənliklər sistemi əldə edildi: İndi Qauss metodunun əksi işə düşür. Tənliklər aşağıdan yuxarıya doğru “açılır”. Üçüncü tənlikdə artıq hazır nəticəmiz var: İkinci tənliyə baxaq: . "Zet" sözünün mənası artıq məlumdur, beləliklə: Və nəhayət, birinci tənlik: . "Igrek" və "zet" məlumdur, bu, sadəcə kiçik şeylər məsələsidir: Cavab: Dəfələrlə qeyd edildiyi kimi, istənilən tənliklər sistemi üçün tapılan həlli yoxlamaq mümkündür və lazımdır, xoşbəxtlikdən bu, asan və tezdir. Misal 2 Bu, müstəqil həll üçün bir nümunə, yekun dizayn nümunəsi və dərsin sonunda cavabdır. Qeyd etmək lazımdır ki, sizin qərarın gedişi qərar vermə prosesimlə üst-üstə düşməyə bilər, və bu Gauss metodunun xüsusiyyətidir. Amma cavablar eyni olmalıdır! Misal 3 Gauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin Sistemin genişləndirilmiş matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu mərhələli formaya gətirək: Biz yuxarı sol "addım" baxırıq. Bizim orada birimiz olmalıdır. Problem ondadır ki, birinci sütunda ümumiyyətlə vahidlər yoxdur, buna görə də sətirlərin yenidən təşkili heç nəyi həll etməyəcək. Belə hallarda vahid elementar transformasiyadan istifadə etməklə təşkil edilməlidir. Bu adətən bir neçə yolla edilə bilər. Mən bunu etdim: (1) Birinci sətirə -1 ilə vurulan ikinci sətri əlavə edirik. Yəni zehni olaraq ikinci sətri –1-ə vurub birinci və ikinci sətirləri əlavə etdik, ikinci sətir isə dəyişmədi. İndi yuxarı sol tərəf -1-dir, bu da bizə çox uyğundur. +1 almaq istəyən hər kəs əlavə jest edə bilər: birinci sətri –1-ə vurun (işarəsini dəyişdirin). (2) 5-ə vurulan birinci sətir ikinci sətirə əlavə edildi. 3-ə vurulan birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi. (3) Birinci sətir –1-ə vuruldu, prinsipcə, bu gözəllik üçündür. Üçüncü sətrin işarəsi də dəyişdirildi və ikinci yerə köçürüldü ki, ikinci “addım”da bizə lazım olan vahid gəldi. (4) Üçüncü sətirə ikinci sətir əlavə edildi, 2-yə vuruldu. (5) Üçüncü sətir 3-ə bölündü. Hesablamalarda səhvi göstərən pis işarə (daha nadir hallarda yazı səhvi) “pis” nəticədir. Yəni, aşağıdakı kimi bir şey əldə etdiksə və müvafiq olaraq, Biz bunun əksini tapırıq, nümunələrin dizaynında onlar çox vaxt sistemin özünü yenidən yazmırlar, lakin tənliklər "birbaşa verilmiş matrisdən götürülür". Tərs hərəkət, sizə xatırladıram, aşağıdan yuxarıya doğru işləyir: Cavab: Misal 4 Gauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin Bu, özünüz həll edə biləcəyiniz bir nümunədir, bir az daha mürəkkəbdir. Kiminsə çaşqın olması yaxşıdır. Dərsin sonunda tam həll və nümunə dizaynı. Sizin həlliniz mənim həllimdən fərqli ola bilər. Son hissədə Qauss alqoritminin bəzi xüsusiyyətlərinə baxacağıq. İkinci xüsusiyyət budur. Nəzərdən keçirilən bütün nümunələrdə “addımlar”a ya –1, ya da +1 qoyduq. Orada başqa rəqəmlər ola bilərmi? Bəzi hallarda edə bilərlər. Sistemi nəzərdən keçirin: Budur, yuxarı sol "addımda" ikimiz var. Ancaq birinci sütundakı bütün ədədlərin 2-yə qalıqsız bölündüyünə diqqət yetiririk - digəri isə iki və altıdır. Və yuxarı solda iki bizə uyğun olacaq! Birinci addımda aşağıdakı çevrilmələri yerinə yetirməlisiniz: ikinci sətirə –1 ilə vurulan birinci sətri əlavə edin; üçüncü sətirə -3-ə vurulan birinci sətri əlavə edin. Beləliklə, birinci sütunda tələb olunan sıfırları alacağıq. Və ya başqa bir şərti nümunə: Gauss metodu universaldır, lakin bir özəlliyi var. Başqa üsullardan (Kramer metodu, matris metodu) istifadə edərək sistemləri həll etməyi ilk dəfə inamla öyrənə bilərsiniz - onların çox ciddi alqoritmi var. Ancaq Gauss metoduna inamlı olmaq üçün "dişlərinizi daxil edin" və ən azı 5-10 on sistemi həll etməlisiniz. Buna görə də əvvəlcə hesablamalarda çaşqınlıq və səhvlər ola bilər və bunda qeyri-adi və faciəli heç nə yoxdur. Pəncərədən kənarda yağışlı payız havası.... Buna görə də, daha mürəkkəb bir nümunəni öz başına həll etmək istəyən hər kəs üçün: Misal 5 Qauss metodundan istifadə etməklə dörd naməlumlu 4 xətti tənlik sistemini həll edin. Belə bir vəzifə praktikada o qədər də nadir deyil. Düşünürəm ki, hətta bu səhifəni hərtərəfli öyrənmiş çaynik belə bir sistemin intuitiv şəkildə həllinin alqoritmini başa düşəcək. Prinsipcə, hər şey eynidir - sadəcə daha çox hərəkət var. Dərsdə sistemin heç bir həlli olmadığı (uyğunsuz) və ya sonsuz sayda həllin olduğu hallar müzakirə olunur. Uyğun olmayan sistemlər və ümumi həlli olan sistemlər. Orada Gauss metodunun nəzərdən keçirilən alqoritmini düzəldə bilərsiniz. Sizə uğurlar arzulayıram! Həll və cavablar: Nümunə 2: Sistemin uzadılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu mərhələli formaya gətirək. Ters:
Nümunə 4: Gəlin sistemin uzadılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu mərhələli formaya gətirək: Həyata keçirilən çevrilmələr: İkinci "addım" ilə hər şey daha da pisləşir
, bunun üçün "namizədlər" 17 və 23 rəqəmləridir və bizə ya bir, ya da -1 lazımdır. Transformasiyalar (3) və (4) istədiyiniz vahidi əldə etməyə yönəldiləcəkdir (3) Üçüncü sətirə ikinci sətir əlavə edildi, -1 ilə vuruldu.
.
.
.
, yəni.
.
.
,
,
. .
. (5)
, 
, 
,
, 
, 
,
,
.
. (I) .
.
və 3-cü sətrin müvafiq elementləri ilə əlavə edin, sonra - 2-ci sətrin elementləri və altında sıfırlar əldə edənə qədər 4-cü sətrin müvafiq elementləri ilə əlavə edin və s. a 22/
.
,
.
;
.
.
.
, burada matrisin müvafiq elementlərinin cəbri tamamlamalarının köçürülmüş matrisi.
Yəni, qoşa alt işarə elementin birinci cərgədə, üçüncü sütunda və məsələn, elementin 3 sıra, 2 sütunda olduğunu göstərir.
– matrisin müvafiq elementlərinin kiçiklərinin matrisi.
Bəzən tamamilə ayrılmaya bilər, yəni. “pis” fraksiyalarla nəticələnə bilər. Artıq Kramerin qaydasını nəzərdən keçirəndə belə hallarda nə edəcəyimizi söylədim.
2) Sonsuz bir çox həll yolu var.
3) Heç bir həll yolu yoxdur (olsun birgə olmayan).
və onu Qauss üsulu ilə həll edin.
. Məncə, əmsalların hansı prinsiplə yazıldığını hər kəs görə bilər. Matris daxilindəki şaquli xəttin heç bir riyazi mənası yoxdur - bu, dizaynın asanlığı üçün sadəcə olaraq cızıqdır.
. Bu matrisdə son üç sıra mütənasibdir, ona görə də onlardan yalnız birini tərk etmək kifayətdir: 
.
. Bu hərəkət çox faydalıdır, çünki matrisin sonrakı çevrilmələrini asanlaşdırır.
, Və ikinci sətirə birinci sətri –2 ilə vururuq: . İndi birinci sətir “geriyə” –2-yə bölünə bilər: . Gördüyünüz kimi, ƏLAVƏ EDİLƏN sətir LI – dəyişməyib. HəmişəƏLAVƏ EDİLƏN sətir dəyişir UT.
Bir daha: ikinci sıraya -2 ilə vurulan birinci sətir əlavə edildi. Xətt adətən şifahi olaraq və ya qaralama üzərində vurulur, zehni hesablama prosesi belə bir şey gedir:
» »
. Tapşırığın dizaynında onlar sadəcə "pilləkənləri" sadə qələmlə qeyd edirlər, həmçinin "addımlar" üzərində yerləşən nömrələri dairə edirlər. “Pilləli baxış” termininin özü tamamilə nəzəri deyil, elmi və tədris ədəbiyyatında tez-tez deyilir trapezoidal görünüş və ya üçbucaqlı görünüş.
Yenə deyirəm, bizim məqsədimiz elementar çevrilmələrdən istifadə edərək matrisi mərhələli formaya gətirməkdir. Haradan başlamaq lazımdır?
Demək olar ki, həmişə burada olmalıdır vahid. Ümumiyyətlə, -1 (və bəzən başqa nömrələr) edəcək, lakin ənənəvi olaraq bir qayda olaraq orada yerləşdirilir. Bölməni necə təşkil etmək olar? Birinci sütuna baxırıq - bitmiş bir vahidimiz var! Birinci transformasiya: birinci və üçüncü sətirləri dəyişdirin: 
Mən yuxarıda hesablamaların zehni prosesini artıq müzakirə etmişəm.
Bu hərəkəti özünüz anlamağa çalışın - zehni olaraq ikinci sətri -2-yə vurun və əlavə edin.
Sərin.
, onda yüksək ehtimal dərəcəsi ilə elementar çevrilmələr zamanı xətaya yol verildiyini deyə bilərik.
Bəli, burada bir hədiyyə var: 
.
Birinci xüsusiyyət ondan ibarətdir ki, bəzən sistem tənliklərində bəzi dəyişənlər yoxdur, məsələn: 
Genişləndirilmiş sistem matrisini necə düzgün yazmaq olar? Mən artıq dərsdə bu məsələ haqqında danışmışdım. Kramer qaydası. Matris üsulu. Sistemin genişləndirilmiş matrisində çatışmayan dəyişənlərin yerinə sıfırlar qoyuruq: 
Yeri gəlmişkən, bu, kifayət qədər asan bir nümunədir, çünki birinci sütunda artıq bir sıfır var və yerinə yetirmək üçün daha az elementar çevrilmə var. .
. Burada ikinci “addım”dakı üçlük də bizə uyğun gəlir, çünki 12 (sıfır almalı olduğumuz yer) 3-ə qalıqsız bölünür. Aşağıdakı çevrilməni həyata keçirmək lazımdır: ikinci sətri üçüncü sətirə əlavə edin, -4-ə vurun, nəticədə bizə lazım olan sıfır alınacaq.
Elementar çevrilmələr həyata keçirilir:
(1) Birinci sətir ikinci sətirə əlavə edildi, -2 ilə vuruldu. Birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, -1 ilə vuruldu.Diqqət!
Burada üçüncü sətirdən birincini çıxarmaq istəyə bilərsiniz, mən onu çıxarmamağı çox tövsiyə edirəm - səhv riski çox artır. Sadəcə qatlayın!
(2) İkinci xəttin işarəsi dəyişdirildi (-1-ə vurulur). İkinci və üçüncü sətirlər dəyişdirilib.Qeyd edin
, “addımlarda” biz təkcə birlə deyil, həm də –1 ilə kifayətlənirik ki, bu da daha rahatdır.
(3) İkinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, 5-ə vuruldu.
(4) İkinci xəttin işarəsi dəyişdirildi (-1-ə vurulur). Üçüncü sətir 14-ə bölündü.
Cavab: 
.
(1) Birinci sətirə ikinci sətir əlavə edildi. Beləliklə, istədiyiniz vahid yuxarı sol "addımda" təşkil edilir.
(2) 7 ilə vurulan birinci sətir ikinci sətirə əlavə edildi. 6 ilə vurulan birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi.
(4) Üçüncü sətir ikinci sətirə əlavə edildi, -3 ilə vuruldu.
İkinci addımda tələb olunan element alındı.
.
(5) İkinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi, 6-ya vuruldu.
(6) İkinci sətir –1-ə vuruldu, üçüncü sətir -83-ə bölündü. Aydındır ki, müstəvi eyni xətt üzərində olmayan üç fərqli nöqtə ilə unikal şəkildə müəyyən edilir. Buna görə də, təyyarələrin üç hərfli təyinatları olduqca populyardır - onlara aid olan nöqtələrə görə, məsələn, ; .Əgər pulsuz üzvlər
