5a 2 x, 2a 3 (-3)x 2, b 2 x ifadələri ədədlərin, dəyişənlərin və onların səlahiyyətlərinin hasilidir. Belə ifadələr deyilir monomiallar. Rəqəmlər, dəyişənlər və onların səlahiyyətləri də monomial sayılır.

Məsələn, 8, 35,y və y 2 ifadələri monomiallardır.

Monomialın standart forması birinci yerdə ədədi amilin və müxtəlif dəyişənlərin güclərinin hasili şəklində monomial adlanır. İstənilən monomial ona daxil olan bütün dəyişənləri və ədədləri vurmaqla standart formaya endirilə bilər. Budur monomialın standart formaya endirilməsi nümunəsi:

4x 2 y 4 (-5)yx 3 = 4(-5)x 2 x 3 y 4 y = -20x 5 y 5

Standart formada yazılmış monomialın ədədi amilinə deyilir əmsalmonomial. Məsələn, monomial -12сx 6 y 5 əmsalı -12-ə bərabərdir. x 3 və -xy monomiallarının əmsalları 1 və -1-ə bərabər hesab olunur, çünki x 7 = 1x 7 və -xy = -1xy

Monomialın gücü ilə ona daxil olan bütün dəyişənlərin eksponentlərinin cəmini adlandırın. Əgər monomialda dəyişənlər yoxdursa, yəni ədəddirsə, onun dərəcəsi sıfıra bərabər hesab olunur.

Məsələn, monomial 8x 3 yz 2 dərəcəsi 6, monomial 6x dərəcəsi 1, monomial -10 dərəcəsi 0-dır.

Polinom monomialların cəmi adlanır.

Çoxhədli təşkil edən monohədlərə çoxhədli üzv deyilir. Beləliklə, 4x 2 y - 5xy + 3x -1 çoxhədlinin şərtləri 4x 2 y, -5xy, 3x və -1-dir.

Çoxhədli iki hədddən ibarətdirsə, o, binom, üçdən ibarətdirsə, üçhədli adlanır. Monomial bir hədddən ibarət çoxhədli hesab olunur.

7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6 polinomunda 7x 3 y 2 və - 2y 2 x 3 terminləri eyni hərf hissəsinə malik olduqları üçün oxşar terminlərdir. Hərf hissəsi olmayan -12 və 6 terminləri də oxşardır. Çoxhədlidə oxşar terminlər çoxhədlinin oxşar şərtləri, çoxhədlidə oxşar şərtlərin kiçilməsi isə çoxhədlinin oxşar üzvlərinin kiçilməsi adlanır.

Nümunə olaraq 7x 3 y 2 - 12 + 4x 2 y - 2y 2 x 3 + 6 = 5x 3 y 2 + 4x 2 y -6 polinomunda oxşar terminləri verək.

polinom deyilir standart forma çoxhədli, əgər onun hər bir şərti standart formanın monohəmidirsə və bu çoxhəddə oxşar terminlər yoxdursa.

İstənilən çoxhədli standart formaya endirilə bilər. Bunun üçün onun üzvlərinin hər birini standart formada təqdim etməli və oxşar şərtləri gətirməlisiniz.

Polinom dərəcəsi standart forma ona daxil olan monomialların səlahiyyətlərindən ən böyüyüdür.

İxtiyari çoxhədlinin dərəcəsi standart formalı eyni bərabər çoxhədlinin dərəcəsidir.

Məsələn, 8x 4 y 2 - 12 + 4x 2 y - 3y 2 x 4 + 6 - 5y 2 x 4 çoxhədlinin dərəcəsini tapaq:

8x 4 y 2 - 12 + 4x 2 y - 3y 2 x 4 + 6 - 5y 2 x 4 = 4x 2 y -6.

Diqqət yetirin ki, ilkin çoxhədli altıncı dərəcəli monohədləri ehtiva edir, lakin oxşar həddlər kiçildildikdə onların hamısı kiçildi və nəticə üçüncü dərəcəli çoxhədli oldu, yəni ilkin çoxhədli 3 dərəcəyə malikdir!

Qeydlər üçün suallar

P(x) = 2x 3 - 6x 2 - 5x + 4 polinomu verilmişdir. P(1)-i hesablayın.

Çoxhədlinin dərəcəsini təyin edin: 3a 4 - 5a 3 - 2a 5

7-ci sinifdə cəbr kursu çərçivəsində şagirdlər yeni anlayışlar və mövzularla tanış olacaqlar. Riyaziyyat adlı füsunkar labirintdə onlar üçün yeni qapılar açılır. Buraya monomialların və çoxhədlilərin öyrənilməsi, eləcə də onların tətbiqi daxildir.

Bu nədir?

Əvvəlcə anlayışları anlayaq. Riyaziyyatda çoxlu spesifik ifadələr var ki, onların bir çoxunun öz sabit adları var. Bu sözlərdən biri monomial sözdür. Bu, hər biri müəyyən dərəcədə məhsulda görünə bilən ədədlərin, dəyişənlərin hasilindən ibarət riyazi termindir. polinom, tərifinə görə, bu cəbri ifadə, bu monomialların cəmidir. Tez-tez gətirməyə ehtiyac var monomial onun standart formasına. Bunu etmək üçün monomialda mövcud olan bütün ədədi amilləri çoxaltmalı və nəticədə çıxan ədədi birinci yerə qoymalısınız. Sonra eyni hərf bazası olan bütün səlahiyyətləri çoxaltın. Çoxhədli də standart formaya gətirilir; o, ədədi amildən və müxtəlif dəyişənlərin səlahiyyətlərindən ibarət məhsuldur.

Sualtı qayalar

Göründüyü kimi, ilk baxışdan ölümcül mürəkkəb bir şey yoxdur, lakin müasir məktəblilər üçün mənzərəni buludlaşdıra biləcək bir sıra hallar var. Çox sayda maddələr məktəb kurikulumu, dərs saatlarının tam olmaması, bir çox uşaqda humanitar düşüncə tərzi, eləcə də əsas yorğunluq yeni materialın öyrənilməsini çox çətinləşdirə bilər. Çox vaxt belə olur ki, uşaq nəyisə başa düşmədiyindən utanır və ya müəllimdən soruşmağa qorxur, lakin mövzunu özbaşına mənimsəyə bilmir və çətinliklər başlayır.

Problemin həlli

Bu tələlərdən qaçmağın bir neçə yolu var. Birincisi, məktəblilərin valideynləri övladının ümumilikdə proqramın, xüsusən də əhatə olunan mövzuların öhdəsindən necə gəldiyinə diqqət yetirməlidirlər. Bu, uşağa ciddi nəzarət və ya nəzarət formasında olmamalı, məqsəd öyrənməyə məsuliyyətli və ciddi yanaşmanın formalaşdırılması olmalıdır. Bunun açarı etibarlı münasibətdir, amma qorxu deyil.

Məktəbdə olduqca yaygın bir vəziyyət, uşağın yeni bir mövzunu tam başa düşməməsi, sinif yoldaşlarının lağ etməsindən və müəllimin bəyənməməsindən qorxması və buna görə də tərəddüdləri barədə susmağa üstünlük verməsidir. Müəllimlərlə münasibətlər də müxtəlifdir, təəssüf ki, təcrübənin göstərdiyi kimi, bütün müəllimlər uşaqlara münasibət tapa bilmirlər. Və bir neçə çıxış variantı var:

• ziyarət edin əlavə dərslər məktəbdə, əgər varsa;
• repetitorla dərslər;
• xüsusi təhsil resurslarından istifadə etməklə internet vasitəsilə təlim.

İlk iki halda, xüsusən də repetitorluğa gəldikdə, vaxt və maliyyə resursları ilə bağlı çatışmazlıqlar var. Üçüncüsü rahatdır, çünki bu təlim seçimi:

• pulsuz;
• istədiyiniz vaxtda təhsil ala bilərsiniz;
• şagird üçün heç bir psixoloji diskomfort, istehza qorxusu və s.
• Bir şey ilk dəfə aydın deyilsə, hər zaman video dərsə yenidən baxa bilərsiniz.

Şübhəsiz ki müsbət cəhətləri burada daha çox şey var, ona görə də valideynlər nəzərə almalıdırlar ki, onların övladına əlavə fəaliyyətlər üçün məhz belə bir seçim təklif oluna bilər. Tamamilə mümkündür ki, tələbə əvvəlcə bu təklifi həvəslə qəbul etməsə də, sınaqdan keçirdikdən sonra onun üstünlüklərini qiymətləndirəcək. İldən-ilə məktəbdə fənlərin yükü artır, 7-ci sinifdə artıq kifayət qədər ciddidir.

Onlayn resursumuzda uşaq onun üçün çətin ola biləcək bir mövzuda asanlıqla dərs tapa bilər, məsələn, “Çoxhədli. Standart formaya endirilməsi”. Bunu başa düşdükdən sonra o, daha sadə və asanlıqla başqa materialı başa düşə və mənimsəyə biləcək.

- polinomlar. Bu yazıda biz çoxhədlilər haqqında bütün ilkin və zəruri məlumatları təsvir edəcəyik. Bunlara, ilk növbədə, polinomun şərtlərinin, xüsusən də sərbəst terminin və oxşar terminlərin müşayiət olunan tərifləri ilə çoxhədlinin tərifi daxildir. İkincisi, standart formalı çoxhədlilər üzərində dayanacağıq, müvafiq tərifi verəcəyik və onlara nümunələr verəcəyik. Nəhayət, çoxhədlinin dərəcəsinin tərifini təqdim edəcəyik, onun necə tapılacağını anlayacağıq və polinomun şərtlərinin əmsalları haqqında danışacağıq.

Səhifə naviqasiyası.

Polinom və onun terminləri - təriflər və nümunələr

7-ci sinifdə çoxhədlilər monomiallardan dərhal sonra öyrənilir, çünki bu başa düşüləndir polinom tərifi monomiallar vasitəsilə verilir. Polinomun nə olduğunu izah etmək üçün bu tərifi verək.

Tərif.

Polinom monomialların cəmidir; Monoforal çoxhədlinin xüsusi halı hesab olunur.

Yazılı tərif sizə istədiyiniz qədər çoxhədli nümunələr verməyə imkan verir. 5, 0, −1, x, 5 a b 3, x 2 0,6 x (−2) y 12 və s. polinomdur. Həmçinin, tərifinə görə, 1+x, a 2 +b 2 və çoxhədlidir.

Çoxhədlilərin təsvirinin rahatlığı üçün çoxhədli terminin tərifi təqdim olunur.

Tərif.

Polinom şərtlərçoxhədlinin tərkib monomiyallarıdır.

Məsələn, 3 x 4 −2 x y+3−y 3 çoxhədli dörd hədddən ibarətdir: 3 x 4 , −2 x y , 3 və −y 3 . Monomial bir hədddən ibarət çoxhədli hesab olunur.

Tərif.

İki və üç üzvdən ibarət polinomların xüsusi adları var - binom Və üçbucaqlı müvafiq olaraq.

Deməli, x+y binom, 2 x 3 q−q x x x+7 b isə üçhəcmlidir.

Məktəbdə ən çox onunla işləmək məcburiyyətindəyik xətti binom a x+b , burada a və b bəzi ədədlərdir, x isə dəyişəndir, həmçinin c kvadrat üçbucaqlı a·x 2 +b·x+c, burada a, b və c bəzi ədədlərdir, x isə dəyişəndir. Xətti binomialların nümunələri: x+1 , x 7,2−4 və nümunələr kvadrat trinomiallar: x 2 +3 x−5 və .

Qeydlərindəki polinomlar oxşar terminlərə malik ola bilər. Məsələn, 1+5 x−3+y+2 x polinomunda oxşar həddlər 1 və −3, həmçinin 5 x və 2 x-dir. Onların öz xüsusi adı var - çoxhədlinin oxşar şərtləri.

Tərif.

Çoxhədlinin oxşar şərtləri polinomda oxşar terminlər deyilir.

Əvvəlki misalda 1 və −3, həmçinin 5 x və 2 x cütlüyü çoxhədlinin oxşar şərtləridir. Bənzər şərtləri olan çoxhədlilərdə onların formasını sadələşdirmək üçün oxşar terminləri azalda bilərsiniz.

Standart formanın polinomu

Çoxhədlilər üçün, eləcə də monomiyallar üçün sözdə var standart görünüş. Müvafiq tərifi səsləndirək.

əsasında bu tərif, standart formalı çoxhədlilərə misal verə bilərik. Beləliklə, 3 x 2 −x y+1 və polinomları standart formada yazılmışdır. Və 5+3 x 2 −x 2 +2 x z və x+x y 3 x z 2 +3 z ifadələri standart formanın çoxhədliləri deyil, çünki onların birincisində oxşar 3 x 2 və −x 2 həddi var və ikincisi – monomial x·y 3 ·x·z 2 , forması standartdan fərqlidir.

Qeyd edək ki, lazım gələrsə, polinomu həmişə standart formaya endirə bilərsiniz.

Standart formalı çoxhədlərlə bağlı başqa bir anlayış çoxhədlinin sərbəst termini anlayışıdır.

Tərif.

Çoxhədlinin sərbəst şərti hərf hissəsi olmayan standart formalı çoxhədlinin üzvüdür.

Başqa sözlə, əgər standart formalı çoxhəddə ədəd olarsa, o, sərbəst üzv adlanır. Məsələn, 5 x 2 z+5 çoxhədlinin sərbəst üzvüdür, lakin 7 a+4 a b+b 3 çoxhədlinin sərbəst üzvü yoxdur.

Çoxhədlinin dərəcəsi - onu necə tapmaq olar?

Başqa bir vacib müşayiət edən tərifçoxhədlinin dərəcəsini təyin etməkdir. Birincisi, standart formanın çoxhədli dərəcəsini müəyyənləşdiririk; bu tərif onun tərkibində olan monomialların dərəcələrinə əsaslanır.

Tərif.

Standart formalı çoxhədlinin dərəcəsi onun qeydinə daxil olan monomialların səlahiyyətlərinin ən böyüyüdür.

Nümunələr verək. 5 x 3 −4 çoxhədlinin dərəcəsi 3-ə bərabərdir, çünki ona daxil olan 5 x 3 və −4 monohədləri müvafiq olaraq 3 və 0 dərəcələrinə malikdir, bu ədədlərin ən böyüyü 3-dür ki, bu da polinomun dərəcəsidir. tərifinə görə. Və polinomun dərəcəsi 4 x 2 y 3 −5 x 4 y+6 x 2+3=5, 4+1=5 və 1 ədədlərinin ən böyüyünə, yəni 5-ə bərabərdir.

İndi gəlin istənilən formalı çoxhədlinin dərəcəsini necə tapmağı öyrənək.

Tərif.

İxtiyari formalı çoxhədlinin dərəcəsi standart formanın uyğun çoxhədli dərəcəsini adlandırın.

Deməli, əgər çoxhədli standart formada yazılmayıbsa və onun dərəcəsini tapmaq lazımdırsa, onda ilkin çoxhədlini standart formaya endirməli və nəticədə çoxhədlinin dərəcəsini tapmaq lazımdır - bu, tələb olunan çoxhədli olacaqdır. Məsələnin həllinə baxaq.

Misal.

Çoxhədlinin dərəcəsini tapın 3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12.

Həll.

Əvvəlcə polinomu standart formada təqdim etməlisiniz:
3 a 12 −2 a b c a c b+y 2 z 2 −2 a 12 −a 12 = =(3 a 12 −2 a 12 −a 12)− 2·(a·a)·(b·b)·(c·c)+y 2 ·z 2 = =−2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2.

Standart formanın nəticə polinomuna iki monohəd −2·a 2 ·b 2 ·c 2 və y 2 ·z 2 daxildir. Onların güclərini tapaq: 2+2+2=6 və 2+2=4. Aydındır ki, bu səlahiyyətlərin ən böyüyü 6-dır ki, bu da tərifinə görə standart formalı çoxhədlinin gücüdür. −2 a 2 b 2 c 2 +y 2 z 2, və buna görə də orijinal çoxhədlinin dərəcəsi., 2 x−0,5 x y+3 x+7 çoxhədlinin 3 x və 7 ədədi.

Biblioqrafiya.

• Cəbr: dərs kitabı 7-ci sinif üçün ümumi təhsil qurumlar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tərəfindən redaktə edilmiş S. A. Telyakovski. - 17-ci nəşr. - M.: Təhsil, 2008. - 240 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Mordkoviç A.G. Cəbr. 7-ci sinif. Saat 14:00-da 1-ci hissə. Tələbələr üçün dərslik təhsil müəssisələri/ A. G. Mordkoviç. - 17-ci nəşr, əlavə edin. - M.: Mnemosyne, 2013. - 175 s.: xəstə. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Cəbr və başladı riyazi analiz. 10-cu sinif: dərslik. ümumi təhsil üçün qurumlar: əsas və profil. səviyyələri / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. İ. Şabunin]; tərəfindən redaktə edilmiş A. B. Jizhchenko. - 3-cü nəşr. - M.: Təhsil, 2010.- 368 s. : xəstə. - ISBN 978-5-09-022771-1.
• Qusev V. A., Mordkoviç A. G. Riyaziyyat (texniki məktəblərə daxil olanlar üçün dərslik): Proc. müavinət.- M.; Daha yüksək məktəb, 1984.-351 s., xəstə.

19. Düsturu götürək

biz bunu belə oxuyuruq: “a və b ədədləri arasındakı fərq”. Bu düsturda a rəqəmini sıfırla əvəz edə bilərik; sonra üz tutacaq

0 – b və ya sadəcə –b-də.

Sıfırdan b çıxarmaq nisbi ədədlərin çıxılması haqqında bildiklərimizə əsasən əks işarə ilə alınan b ədədini sıfıra əlavə etmək deməkdir. Buna görə də –b ifadəsi b ədədinin tərs işarəsi kimi başa düşülməlidir. Əgər, məsələn, b = +5, onda –b = –5; əgər b = –4, onda –b = +4 və s.+a ifadəsini yazsaq, o zaman a rəqəminə bərabər ədəd başa düşülməlidir. Əgər a = +5, onda +a = +5; a = –4 olarsa, +a = 4 və s.

Buna görə də formula

nəticə və ya mənada fərq qoymadan başa düşə bilərik

və ya mənada

Beləliklə, biz həmişə çıxma əməliyyatını toplama ilə əvəz edə və hər hansı fərqi iki ədədin cəmi kimi başa düşə bilərik:
a – b a və (–b) ədədlərinin cəmidir.
x – y x və (–y) ədədlərinin cəmidir
–a – b (–a) və (–b) ədədlərinin cəmidir və s.

Arifmetika nöqteyi-nəzərindən bir neçə əlavə və çıxmaların baş verdiyi düsturlar, məsələn,

a – b + c + d – e – f,

biz indi cəbr nöqteyi-nəzərindən yalnız cəmi kimi başa düşə bilərik, yəni:

a – b + c + d – e – f = (+a) + (–b) + (+c) + (+d) + (–e) + (–f).

Buna görə də, bu cür ifadələri "cəbri cəmi" adı ilə çağırmaq adətdir.

20. Bəzi cəbri cəmi götürək

a – b – c və ya –3bc² + 2ab – 4a²b və s.

Bu ifadələri adla çağırmaq adətdir polinom, və bu söz “cəm” sözünü və ya “cəbri cəmi” adını əvəz edir. Biz bunu bilirik

a – b – c = (+a) + (–b) + (–c)
–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) və s.

Ayrı-ayrılıqda hər bir termin çoxhədlinin üzvü adlanır.

Birinci çoxhədli

üç termindən ibarətdir: (+a), (–b) və (+c).

İkinci çoxhədli

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b,

dörd termindən ibarətdir: (–abc), (–3bc²), (+2ab) və (–4a²b).

Məbləğlər istənilən qaydada yenidən təşkil edilə bilər:

–abc – 3bc² + 2ab – 4a²b = (–abc) + (–3bc²) + (+2ab) + (–4a²b) =
= (+2ab) + (–3bc²) + (–4a²b) + (–abc) = 2ab – 3bc² – 4a²b – abc.

Cəmin bu xassəsini indi başqa cür ifadə etmək olar: çoxhədlinin şərtləri istənilən ardıcıllıqla yenidən təşkil edilə bilər. Bu, yuxarıda –abc – 3bc² + 2ab – 4a²b polinomu üçün edildi, üstəlik, (+2ab) termini indi öndə olsun. Bu, ifadəni bir qədər sadələşdirməyə imkan verdi: qarşısında + işarəsini yazmaq lazım deyil. Əlbəttə ki, bu cür yenidən tənzimləmələr əvvəlcə hər bir termini mötərizədə (yuxarıda olduğu kimi) əlavə etmədən dərhal edilməlidir.

Başqa bir misal:

1 – 3a + 2a² – a³ + 3a 4 = 3a 4 – a³ + 2a² – 3a + 1.

Bu çoxhədlinin birinci üzvü əvvəlcə (+1) idi - vahiddən əvvəl + işarəsi nəzərdə tutulurdu; bu üzvü birincidən başqa yerə köçürdükdə (yuxarıda onu sonuncu yerə köçürdük), onda bu + işarəsini atlamaq olmaz.

Qeyd edə bilərik ki, əvvəlki misalda çoxhədlinin şərtlərini yenidən təşkil etməklə müəyyən bir ardıcıllığa nail olmuşuq: birinci yerdə a hərfi ilə 4-cü dərəcəyə, sonrakı yerdə isə a hərfi olan termindir. 3-cü gücə, sonra a hərfi ilə 3-cü dərəcəyə 2-ci dərəcəyə, sonra - 1-ci dərəcəyə a və nəhayət, ümumiyyətlə a hərfi olmayan bir termin gəlir.

Çoxhədlinin şərtlərinin bu cür düzülüşü “polinom a hərfinin azalan dərəcələrində düzülüb” sözləri ilə ifadə edilir.

Bu tənzimləmənin digər nümunələri:

3x 5 – 2ax 3 + b (x hərfinin azalan gücündə)
a 4 – a 3 b + a 2 b 2 – ab 3 + b 4 (a hərfinin azalan dərəcələrində)
3ab 5 – 4a 3 b 3 + 5a 4 b 2 – 2a 6 (b hərfinin azalan dərəcələrində)
4x 4 – 3x 3 + 2x 3 (x hərfinin azalan gücündə).

Tez-tez tərs "artan dərəcələr" tənzimləməsindən istifadə olunur, burada seçilmiş hərfin dərəcəsi tədricən artır və 1-ci termində ya bu hərf ümumiyyətlə yoxdur, ya da digər terminlərlə müqayisədə burada ən aşağı dərəcəyə malikdir. Əvvəlki misalların ikincisində deyə bilərik ki, burada çoxhədli b hərfinin artan dərəcələrində düzülüb. Budur nümunələr:
3 – 2a + 3a 2 – 4a 3 (a hərfinin artan gücü ilə);
–x + x 2 – 3x 3 – 4x 4 (x hərfinin artan gücü ilə);
ax 2 – bx 3 + cx 5 – dx 6 (x hərfinin artan güclərində);
a 3 – 2ab + b 2 (b hərfinin artan dərəcələrində və ya a hərfinin azalan dərəcələrində);
3x 5 – 4yx 4 – 5y 3 x 2 – 6y 4 x (x hərfinin azalan dərəcələrində və ya y hərfinin artan dərəcələrində).

21. İki hədli çoxhədli deyilir binom(məsələn, 3a + 2b), təxminən üç termin - üçbucaqlı (məsələn, 2a² - 3ab + 4b²) və s. bir terminə yaxın çoxhədli. Onda təbii ki, “polinom” adı yersizdir və “monnomial” adı işlədilir. Hər hansı bir çoxhədlinin ayrılıqda götürülən hər bir üzvü monohəddir. Ən sadə monomialların nümunələri:

2; –3a; a²; 4x³; -5x4; ab; ab²; -3abc; və s.

Yuxarıda yazılmış monomialların demək olar ki, hamısı iki və ya daha çox faktorun məhsuludur və onların əksəriyyətində həm ədədi, həm də əlifba sırası var. Məsələn, monomial –3abc ədədi –3 amilinə və a, b və c hərf faktoruna malikdir; monomial 4x³ ədədi əmsalı +4 (+ işarəsi nəzərdə tutulur) və hərfi x³ əmsalı var və s. Əgər biz bir neçə ədədi (həmçinin əlifba ilə) bir monomial yazsaq, aşağıdakı kimi

,

onda ədədi amillərin yaxınlıqda olması üçün amilləri yenidən təşkil etmək daha rahatdır, yəni.

,

bu ədədi amilləri çoxaldın və alın

–4a²bc² (nöqtələr, vurma işarələri atlanır).

Əksər hallarda ədədi amilin qabağa yazılması da adətdir. Onlar yazır:

4a, 4 deyil
–3a²b, a²(–3)b deyil

Monomialın ədədi amilinə əmsal deyilir.

Əgər ədədi amil monomialda yazılmayıbsa, məsələn, ab, onda siz həmişə onu nəzərdə tuta bilərsiniz. Həqiqətən

a = (+1) ∙ a; ab = (+1)ab;
–a = (–1) ∙ a; a³ = (–1) ∙ a³ və s.

Beləliklə, a², ab, ab² monomiallarının hər birinin əmsalı 1 (daha doğrusu: +1) var. –ab, –a², –ab² və s. monomialları yazsaq, onda onların –1 əmsalı olmalıdır.

22. Çoxhədli və monomiyalların daha mürəkkəb nümunələri.

(a + b)² + 3(a – b)² ... bu düstur iki şərtin cəmini ifadə edir: birinci a və b ədədlərinin cəminin kvadratı, ikincisi isə ədədin hasilidir. 3 eyni ədədlərin fərqinin kvadratı ilə. Buna görə də, bu düstur binom kimi tanınmalıdır: birinci hədd (a + b)² və ikinci 3(a – b)²-dir. (a + b)² ifadəsini ayrıca götürsək, əvvəlki birinə görə o, monomial hesab edilməlidir və onun əmsalı = +1.

a(b – 1) – b(a – 1) – (a – 1)(b – 1) ... üçbucaqlı kimi tanınmalıdır (üç üzvün cəmi): birinci hədd a(b – 1) ) və onun əmsalı = +1 , ikinci həddi –b(a – 1), əmsalı = –1, üçüncü həddi –(a – 1)(b – 1), əmsalı = – 1.

Bəzən çoxhədlinin hədlərinin sayı süni şəkildə azaldılır. Belə ki, üçbucaqlı

məsələn, binomial hesab edilə bilər və a + b, məsələn, bir termin (bir termin) hesab olunur. Bunu daha aydın etmək üçün mötərizələrdən istifadə edin:

Sonra (a + b) termini +1 əmsalına malikdir

[həqiqətən (a + b) = (+1)(a + b)].

Çoxhədlinin faktorlara ayrılmasını tələb edən, verilmiş ifadənin ümumi amilini təyin edin. Bunu etmək üçün əvvəlcə ifadənin bütün üzvlərinə daxil olan dəyişənləri mötərizədə çıxarın. Üstəlik, bu dəyişənlər ən aşağı göstəriciyə malik olmalıdır. Sonra polinomun əmsallarının hər birinin ən böyük ortaq bölənini hesablayın. Yaranan ədədin modulu ümumi çarpanın əmsalı olacaqdır.

Misal. 5m³–10m²n²+5m² üzərində yayılır. m²-ni mötərizədə yerləşdirin, çünki bu ifadənin hər üzvündə m dəyişəni və onun ən kiçik göstəricisi ikidir. Ümumi çarpan amilini hesablayın. Beşə bərabərdir. Beləliklə, bu ifadənin ümumi əmsalı 5m²-dir. Beləliklə: 5m³–10m²n²+5m²=5m²(m–2n²+1).

Əgər ifadənin ümumi faktoru yoxdursa, qruplaşdırma metodundan istifadə edərək onu genişləndirməyə çalışın. Bunu etmək üçün ümumi amilləri olan üzvləri qruplara birləşdirin. Mötərizədə hər qrupun ümumi amilini yerləşdirin. Mötərizədə bütün yaradılmış qrupların ümumi faktorunu çıxarın.

Misal. a³–3a²+4a–12 çoxhədlini çarpanlayın. Aşağıdakı kimi qruplaşdırın: (a³–3a²)+(4a–12). Birinci qrupda a² ümumi amilini, ikinci qrupda isə 4 ümumi faktorunu çıxarın. Beləliklə: a²(a–3)+4(a–3). Mötərizədə a–3 çoxhədlini çıxarın və alın: (a–3)(a²+4). Buna görə a³–3a²+4a–12=(a–3)(a²+4).

Bəziləri polinomlar qısaldılmış vurma düsturlarından istifadə etməklə faktorlara bölünür. Bunun üçün qruplaşdıraraq və ya mötərizədə ümumi amili çıxararaq çoxhədlini istədiyiniz formaya gətirin. Sonra müvafiq qısaldılmış vurma düsturunu tətbiq edin.

Misal. Çoxhədlini 4x²–m²+2mn–n² çarpanlayın. Mötərizədə -1 çıxararkən son üç termini mötərizədə birləşdirin. Alın: 4x²–(m²–2mn+n²). Mötərizədə olan ifadə fərqin kvadratı kimi göstərilə bilər. Beləliklə: (2x)²–(m–n)². Bu kvadratların fərqidir, onu yaza bilərik: (2x–m+n)(2x+m+n). Beləliklə, 4x²–m²+2mn–n²=(2x–m+n)(2x+m+n).

Bəzi çoxhədlilər metoddan istifadə edərək faktorlara bölünə bilər qeyri-müəyyən əmsallar. Beləliklə, hər bir çoxhədli (y–t)(my²+ny+k) şəklində təmsil oluna bilər, burada t, m, n, k ədədi əmsallardır. Nəticə etibarilə, vəzifə bu əmsalların dəyərlərini təyin etməkdən ibarətdir. Bu, bu bərabərliyə əsasən edilir: (y–t)(my²+ny+k)=my³+(n–mt)y²+(k–nt)y–tk.

Misal. 2a³–a²–7a+2 çoxhədlini çarpanlayın. Üçüncü dərəcəli çoxhədli üçün ikinci hissədən aşağıdakı bərabərlikləri düzəldin: m=2; n–mt=–1; k–nt=–7; –tk=2. Onları bir sistem olaraq yazın. Bunu həll et. Siz t=2 dəyərlərini tapacaqsınız; n=3; k=–1. Hesablanmış əmsalları düsturun birinci hissəsi ilə əvəz etsəniz, alırsınız: 2a³–a²–7a+2=(a–2)(2a²+3a–1).

Mənbələr:

• Çoxhədlilərin faktorinqi
• polinomu necə faktor etmək olar

Riyaziyyat Elmi müxtəlif strukturları, ədədlərin ardıcıllığını, onlar arasındakı əlaqələri öyrənir, tənliklər qurur və həll edir. Bu, digər elm sahələrində öyrənilən real obyektlərin ideala yaxın xassələrini aydın şəkildə təsvir edə bilən formal dildir. Belə strukturlardan biri polinomdur.

Təlimatlar

Çoxhədli və ya (yunanca "poli" - çox və latınca "nomen" - ad) - elementar funksiyalar klassik cəbr və cəbr həndəsəsi. Bu, bir dəyişənin funksiyasıdır, F(x) = c_0 + c_1*x + ... + c_n*x^n formasına malikdir, burada c_i sabit əmsallardır, x dəyişəndir.

Polinomlardan bir çox sahələrdə, o cümlədən sıfır, mənfi və mürəkkəb ədədlərin tədqiqi, qruplar, halqalar, düyünlər, çoxluqlar nəzəriyyəsi və s. Polinom hesablamalarından istifadə müxtəlif obyektlərin xassələrinin ifadəsini xeyli asanlaşdırır.

Əsas təriflər:
Çoxhədlinin hər bir üzvü monohəd adlanır.
İki monomiyaldan ibarət çoxhədliyə binom və ya binom deyilir.
Polinom əmsalları – real və ya mürəkkəb ədədlər.
Əgər əmsal 1-ə bərabərdirsə, o zaman vahid (azaldılmış) adlanır.
Hər bir monomialdakı dəyişənin dərəcələri mənfi olmayan tam ədədlərdir, maksimum dərəcə çoxhədlinin dərəcəsini təyin edir və onun tam dərəcəsi tam adlanır, məbləğinə bərabərdir bütün dərəcələr.
Sıfır dərəcəyə uyğun monomial sərbəst termin adlanır.
Hamısının ümumi dərəcəsi eyni olan çoxhədliyə homojen deyilir.

Tez-tez istifadə olunan bəzi çoxhədlilər onları təyin edən alimin, eləcə də təyin etdikləri funksiyaların adı ilə adlandırılır. Məsələn, Nyutonun binomialı gücləri hesablamaq üçün bir polinomu fərdi şərtlərə parçalamaq üçündür. Bunlar məktəb kurikulumundan məlum olan cəmin və fərqin kvadratları üçün qeydlərdir (a + b)^2 – a^2 + 2*a*b + b^2, (a – b)^2 = a^2 – 2*a*b + b^2 və kvadratlar fərqi (a^2 – b^2) = (a - b)*(a + b).

Çoxhədlinin qeydində mənfi dərəcələrə yol versək, çoxhədli və ya Laurent seriyası alırıq; Çebışev çoxhədli yaxınlaşma nəzəriyyəsində istifadə olunur; Hermit çoxhədli - ehtimal nəzəriyyəsində; Lagrange - üçün ədədi inteqrasiya və interpolyasiya; Taylor - funksiyanı yaxınlaşdırarkən və s.

Qeyd

Kitablarda (Ustad və Marqarita) və filmlərdə (Stalker) personajlar riyazi problemləri həll edərkən Nyutonun binomialı tez-tez xatırlanır. Bu termin hamıya məlumdur və buna görə də ən məşhur çoxhədli hesab olunur.

İpucu 3: 90-ı iki qarşılıqlı əsas amilə necə amil etmək olar

Qarşılıqlı əsas amillər birdən başqa ümumi bölənləri olmayan ədədlərdir. Alqoritm olduqca sadədir, bir nümunədən istifadə edərək nəzərdən keçirməyə çalışın: 90 rəqəmini iki qarşılıqlı əsas faktora ayırın.