Sahə tapmaq problemində olduğu kimi, inamlı rəsm bacarıqlarına ehtiyacınız var - bu, demək olar ki, ən vacib şeydir (çünki inteqralların özləri çox vaxt asan olacaq). Istifadə edərək, bacarıqlı və sürətli qrafik üsullarını mənimsəyə bilərsiniz tədris materialları və Qrafiklərin həndəsi çevrilmələri. Amma əslində mən artıq bir neçə dəfə dərsdə rəsmlərin əhəmiyyətindən danışmışam.
Ümumiyyətlə, inteqral hesablamada çox maraqlı tətbiqlər var müəyyən inteqral bir fiqurun sahəsini, inqilab cisminin həcmini, qövs uzunluğunu, inqilabın səth sahəsini və daha çoxunu hesablaya bilərsiniz. Beləliklə, əyləncəli olacaq, zəhmət olmasa optimist olun!
Koordinat müstəvisində düz bir fiqur təsəvvür edin. Təqdim edildi? ... Görəsən kim nə təqdim etdi... =))) Artıq onun ərazisini tapmışıq. Ancaq əlavə olaraq, bu rəqəm iki şəkildə fırlana və fırlana bilər:
– absis oxu ətrafında;
– ordinat oxu ətrafında.
Bu məqalə hər iki halı araşdıracaq. İkinci fırlanma üsulu xüsusilə maraqlıdır, ən çox çətinliklərə səbəb olur, lakin əslində həll x oxu ətrafında daha çox yayılmış fırlanma ilə demək olar ki, eynidir. Bonus olaraq qayıdacağam fiqurun sahəsini tapmaq problemi, və mən sizə sahəni ikinci şəkildə - ox boyunca necə tapacağınızı söyləyəcəyəm. Material mövzuya yaxşı uyğun gəldiyi üçün bu o qədər də bonus deyil.
Ən məşhur fırlanma növü ilə başlayaq.
bir ox ətrafında düz fiqur
Misal 1
Fiqurun fırlanması ilə əldə edilən bədənin həcmini hesablayın, xətlərlə məhdudlaşır, ox ətrafında.
Həll: Ərazinin tapılması problemində olduğu kimi, həlli rəsmlə başlayır düz fiqur . Yəni müstəvidə xətlərlə məhdudlaşan bir fiqur qurmaq lazımdır və tənliyin oxu müəyyən etdiyini unutma. Rəsmi necə daha səmərəli və tez tamamlamaq olar, səhifələrdə tapa bilərsiniz Elementar funksiyaların qrafikləri və xassələri Və Müəyyən inteqral. Fiqurun sahəsini necə hesablamaq olar. Bu Çin xatırlatmasıdır və davam edir bu dəqiqə Mən daha dayanmıram.
Buradakı rəsm olduqca sadədir:
İstədiyiniz düz fiqur, ox ətrafında fırlanandır, nəticədə ox ətrafında simmetrik olan bir az ovoid uçan nəlbəkidir. Əslində, bədənin riyazi adı var, amma mən arayış kitabında bir şeyi aydınlaşdırmaq üçün çox tənbələm, buna görə də davam edirik.
Bir inqilab cisminin həcmini necə hesablamaq olar?
İnqilab cismin həcmi düsturdan istifadə etməklə hesablana bilər:
Düsturda ədəd inteqraldan əvvəl olmalıdır. Belə oldu - həyatda fırlanan hər şey bu sabitlə bağlıdır.
Düşünürəm ki, tamamlanmış rəsmdən "a" və "ol" inteqrasiyasının sərhədlərini necə təyin edəcəyinizi təxmin etmək asandır.
Funksiya... bu funksiya nədir? Rəsmə baxaq. Müstəvi fiquru yuxarıdakı parabolanın qrafiki ilə məhdudlaşır. Bu, düsturda nəzərdə tutulan funksiyadır.
Praktik tapşırıqlarda düz bir fiqur bəzən oxun altında yerləşə bilər. Bu heç nəyi dəyişmir - düsturdakı inteqran kvadratdır: , beləliklə inteqral həmişə qeyri-mənfidir, bu çox məntiqlidir.
İstifadə edərək inqilab cismin həcmini hesablayaq bu formula:
Artıq qeyd etdiyim kimi, inteqral demək olar ki, həmişə sadə olur, əsas odur ki, diqqətli olun.
Cavab verin: 
Cavabınızda ölçüləri - kub vahidlərini göstərməlisiniz. Yəni fırlanma bədənimizdə təxminən 3,35 "kub" var. Niyə kub vahidlər? Çünki ən universal formula. Kub santimetr ola bilər, kubmetr ola bilər, kub kilometr ola bilər və s., təsəvvürünüzdə uçan boşqabın içinə nə qədər yaşıl adam qoya bilərsiniz.
Misal 2
Bədənin həcmini tapın, fırlanma ilə əmələ gəlir xətlərlə məhdudlaşan fiqurun oxu ətrafında , ,
Bu bir nümunədir müstəqil qərar. Tam həll və dərsin sonunda cavab.
Praktikada da tez-tez rast gəlinən daha iki mürəkkəb problemi nəzərdən keçirək.
Misal 3
, və xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun absis oxu ətrafında fırlanmaqla əldə edilən bədənin həcmini hesablayın.
Həll: Tənliyin oxu müəyyən etdiyini unutmadan , , , xətləri ilə hüdudlanmış yastı fiqurunu rəsmdə təsvir edək:
İstədiyiniz rəqəm mavi rənglə kölgələnir. O, öz oxu ətrafında fırlananda dörd küncü olan sürreal pişiyə çevrilir.
İnqilab cismin həcmini kimi hesablayaq cisimlərin həcmindəki fərq.
Əvvəlcə qırmızı ilə dairəvi şəkildə çəkilmiş fiqura baxaq. Bir ox ətrafında fırlandıqda, kəsilmiş bir konus əldə edilir. Bu kəsilmiş konusun həcmini ilə işarə edək.
Dairələnmiş rəqəmə nəzər salın yaşıl. Bu rəqəmi ox ətrafında döndərsəniz, kəsilmiş bir konus da alacaqsınız, yalnız bir az daha kiçikdir. Onun həcmini ilə işarə edək.
Və açıq-aydın, həcm fərqi bizim "donut" un həcmidir.
Bir inqilab cisminin həcmini tapmaq üçün standart düsturdan istifadə edirik: 
1) Qırmızı rənglə çevrələnmiş fiqur yuxarıdan düz xətt ilə məhdudlaşır, buna görə də:
2) Yaşıl rənglə çevrələnmiş fiqur yuxarıdan düz xətt ilə məhdudlaşır, buna görə də:
3) İstədiyiniz fırlanma gövdəsinin həcmi: 
Cavab verin: 
Maraqlıdır ki, içində bu halda həlli, kəsilmiş konusun həcmini hesablamaq üçün məktəb düsturundan istifadə edərək yoxlanıla bilər.
Qərarın özü tez-tez daha qısa yazılır, belə bir şey: 
İndi bir az dincələk və sizə həndəsi illüziyalar haqqında danışaq.
İnsanlar tez-tez cildlərlə əlaqəli illüziyalara sahib olurlar, bunu Perelman (başqası) kitabda qeyd etdi Əyləncəli həndəsə. Həll edilmiş problemdəki düz rəqəmə baxın - ərazisi kiçik görünür və inqilab gövdəsinin həcmi çox böyük görünən 50 kub vahiddən bir qədər çoxdur. Yeri gəlmişkən, orta hesabla bir insan bütün həyatı boyu 18 kvadratmetrlik bir otaq ekvivalenti qədər maye içir ki, bu da əksinə, çox kiçik bir həcm kimi görünür.
Ümumiyyətlə, SSRİ-də təhsil sistemi doğrudan da ən yaxşı sistem idi. Perelmanın 1950-ci ildə nəşr olunan eyni kitabı, yumoristin dediyi kimi, çox yaxşı inkişaf edir, başa düşür və orijinal axtarmağı öyrədir. qeyri-standart həllər problemlər. Bu yaxınlarda bəzi fəsilləri böyük maraqla yenidən oxudum, tövsiyə edirəm, hətta humanistlər üçün də əlçatandır. Xeyr, boş vaxt təklif etdiyimə gülümsəməyə ehtiyac yoxdur, erudisiya və ünsiyyətdə geniş üfüqlər əla şeydir.
Lirik bir təxribatdan sonra yaradıcı bir tapşırığı həll etmək kifayətdir:
Misal 4
, xətləri ilə hüdudlanmış düz fiqurun oxu ətrafında fırlanma nəticəsində əmələ gələn cismin həcmini hesablayın , burada .
Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Nəzərə alın ki, bütün hallar bandda baş verir, başqa sözlə, inteqrasiyanın hazır hədləri əslində verilir. Qrafikləri düzgün çəkin triqonometrik funksiyalar, haqqında dərs materialını xatırlatmağa icazə verin qrafiklərin həndəsi çevrilmələri: arqument ikiyə bölünürsə: , onda qrafiklər ox boyunca iki dəfə uzanır. Ən azı 3-4 xal tapmaq məsləhətdir triqonometrik cədvəllərə əsasən rəsmini daha dəqiq tamamlamaq üçün. Tam həll və dərsin sonunda cavab. Yeri gəlmişkən, vəzifə rasional olaraq həll edilə bilər və çox rasional deyil.
Fırlanma ilə əmələ gələn cismin həcminin hesablanması
bir ox ətrafında düz fiqur
İkinci abzas birincidən daha maraqlı olacaq. Ordinat oxu ətrafında bir inqilab cisminin həcmini hesablamaq vəzifəsi də kifayət qədər tez-tez rast gəlinir. testlər. Yol boyu nəzərə alınacaq fiqurun sahəsini tapmaq problemi ikinci üsul ox boyunca inteqrasiyadır, bu, yalnız bacarıqlarınızı təkmilləşdirməyə imkan vermir, həm də sizə ən sərfəli həll yolunu tapmağı öyrədir. Bunda həm də praktik həyat mənası var! Riyaziyyatın tədrisi metodikası üzrə müəllimimin təbəssümlə xatırladığı kimi, bir çox məzunlar ona təşəkkür etdilər: “Fənniz bizə çox kömək etdi, indi biz effektiv menecerlərik və işçiləri optimal şəkildə idarə edirik”. Fürsətdən istifadə edərək, mən də ona böyük minnətdarlığımı bildirirəm, xüsusən də əldə etdiyim bilikləri təyinatı üzrə istifadə etdiyim üçün =).
Mən bunu hər kəsə, hətta tam dummilərə də tövsiyə edirəm. Üstəlik, ikinci paraqrafda öyrənilən material ikiqat inteqralların hesablanmasında əvəzsiz kömək edəcəkdir..
Misal 5
, , xətləri ilə məhdudlaşan yastı fiqur verilmişdir.
1) Bu xətlərlə məhdudlaşan düz fiqurun sahəsini tapın.
2) Bu xətlərlə hüdudlanmış yastı fiqurun ox ətrafında fırlanması ilə alınan cismin həcmini tapın.
Diqqət! Yalnız ikinci nöqtəni oxumaq istəsəniz belə, birinci Mütləq birincisini oxu!
Həll: Tapşırıq iki hissədən ibarətdir. Meydandan başlayaq.
1) Gəlin bir rəsm çəkək:
Asanlıqla görmək olar ki, funksiya parabolanın yuxarı qolunu, funksiya isə parabolanın aşağı budağını təyin edir. Qarşımızda "yan tərəfində yatan" mənasız bir parabola var.
Sahəsi tapılmalı olan istənilən rəqəm mavi rəngə boyanmışdır.
Fiqurun sahəsini necə tapmaq olar? Bunu sinifdə müzakirə olunan "adi" şəkildə tapmaq olar Müəyyən inteqral. Fiqurun sahəsini necə hesablamaq olar. Bundan əlavə, rəqəmin sahəsi sahələrin cəmi kimi tapılır:
- seqmentdə 
;
- seqmentdə.
Buna görə də:
Bu vəziyyətdə adi həll niyə pisdir? Əvvəlcə iki inteqral aldıq. İkincisi, inteqrallar köklərdir və inteqrallardakı köklər hədiyyə deyil və üstəlik, inteqrasiyanın sərhədlərini əvəz etməkdə çaşqınlıq yarana bilər. Əslində, inteqrallar, əlbəttə ki, öldürücü deyil, amma praktikada hər şey daha kədərli ola bilər, mən sadəcə problem üçün "daha yaxşı" funksiyaları seçdim.
Daha rasional bir həll var: tərs funksiyalara keçid və ox boyunca inteqrasiyadan ibarətdir.
Tərs funksiyalara necə çatmaq olar? Kobud desək, “x”i “y” vasitəsilə ifadə etmək lazımdır. Əvvəlcə parabolaya baxaq:
Bu kifayətdir, lakin gəlin əmin edək ki, eyni funksiya aşağı budaqdan alına bilər:
Düz bir xətt ilə daha asandır:
İndi oxa baxın: izah etdiyiniz kimi vaxtaşırı başınızı sağa 90 dərəcə əyin (bu zarafat deyil!). Bizə lazım olan rəqəm qırmızı nöqtəli xətt ilə göstərilən seqmentdə yerləşir. Bu halda, seqmentdə düz xətt parabolanın üstündə yerləşir, yəni fiqurun sahəsi sizə artıq tanış olan düsturdan istifadə edərək tapılmalıdır: 
. Düsturda nə dəyişdi? Sadəcə bir məktub və başqa heç nə.
! Qeyd: Ox boyunca inteqrasiyanın hədləri təyin edilməlidir ciddi şəkildə aşağıdan yuxarıya!
Ərazinin tapılması:
Beləliklə, seqmentdə: 
Xahiş edirəm, inteqrasiyanı necə həyata keçirdiyimi qeyd edin, bu ən rasional yoldur və tapşırığın növbəti bəndində bunun səbəbi aydın olacaq.
İnteqrasiyanın düzgünlüyünə şübhə edən oxucular üçün törəmələri tapacağam: 
Orijinal inteqral funksiyası alındı, bu da inteqrasiyanın düzgün aparıldığını bildirir.
Cavab verin:
2) Bu fiqurun ox ətrafında fırlanması ilə əmələ gələn cismin həcmini hesablayaq.
Rəsmi bir az fərqli dizaynda yenidən çəkəcəyəm:
Beləliklə, mavi ilə kölgələnmiş fiqur ox ətrafında fırlanır. Nəticə öz oxu ətrafında fırlanan “havada uçan kəpənək”dir.
Fırlanma cisminin həcmini tapmaq üçün ox boyunca inteqrasiya edəcəyik. Əvvəlcə tərs funksiyalara keçməliyik. Bu, artıq edilmiş və əvvəlki paraqrafda ətraflı təsvir edilmişdir.
İndi başımızı yenidən sağa əyib rəqəmimizi öyrənirik. Aydındır ki, fırlanma cisminin həcmi həcm fərqi kimi tapılmalıdır.
Qırmızı rənglə çevrələnmiş şəkli ox ətrafında döndəririk, nəticədə kəsilmiş konus yaranır. Bu həcmi ilə işarə edək.
Yaşıl rənglə çevrələnmiş rəqəmi ox ətrafında döndəririk və yaranan fırlanma gövdəsinin həcmi ilə işarə edirik.
Kəpənəkimizin həcmi həcm fərqinə bərabərdir.
Bir inqilab cisminin həcmini tapmaq üçün düsturdan istifadə edirik: 
Əvvəlki paraqrafdakı düsturdan nə fərqi var? Yalnız məktubda.
Amma bu yaxınlarda haqqında danışdığım inteqrasiyanın üstünlüyünü tapmaq daha asandır 
, əvvəlcə inteqranı 4-cü gücə qaldırmaqdansa.
Cavab verin: 
Ancaq xəstə kəpənək deyil.
Qeyd edək ki, eyni düz fiqur ox ətrafında fırlanırsa, təbii olaraq fərqli həcmdə, tamamilə fərqli bir fırlanma bədəni əldə edəcəksiniz.
Misal 6
Xətlər və ox ilə məhdudlaşan düz bir fiqur verilmişdir.
1) Tərs funksiyalara keçin və dəyişən üzərində inteqrasiya edərək bu xətlərlə məhdudlaşan müstəvi fiqurun sahəsini tapın.
2) Bu xətlərlə hüdudlanmış yastı fiqurun ox ətrafında fırlanması ilə alınan cismin həcmini hesablayın.
Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Maraqlananlar rəqəmin sahəsini "adi" şəkildə tapa bilər və bununla da 1) nöqtəsini yoxlaya bilərlər. Ancaq təkrar edirəm, düz bir fiqurun ox ətrafında döndərsəniz, fərqli həcmdə tamamilə fərqli bir fırlanma gövdəsi alacaqsınız, yeri gəlmişkən, düzgün cavab (həmçinin problemləri həll etməyi sevənlər üçün).
Tapşırığın təklif olunan iki bəndinin tam həlli dərsin sonundadır.
Bəli, fırlanma cisimlərini və inteqrasiyanın sərhədlərini başa düşmək üçün başınızı sağa əyməyi unutmayın!
Dərsin növü: birləşdirilmiş.
Dərsin məqsədi: inteqrallardan istifadə edərək inqilab cisimlərinin həcmlərini hesablamağı öyrənin.
Tapşırıqlar:
- bir sıra həndəsi fiqurlardan əyrixətti trapesiyaları müəyyən etmək bacarığını möhkəmləndirmək və əyrixətti trapesiyaların sahələrini hesablamaq bacarığını inkişaf etdirmək;
- üçölçülü fiqur anlayışı ilə tanış olmaq;
- fırlanma cisimlərinin həcmlərini hesablamağı öyrənmək;
- məntiqi təfəkkürün, səriştəli riyazi nitqin, rəsmlər qurarkən dəqiqliyin inkişafına kömək etmək;
- fənnə marağı, riyazi anlayışlar və təsvirlərlə işləmək, son nəticəyə nail olmaq üçün iradə, müstəqillik və əzmkarlıq tərbiyə etmək.
Dərslər zamanı
I. Təşkilati məqam.
Qrupdan salamlar. Dərsin məqsədlərini tələbələrə çatdırın.
Refleksiya. Sakit melodiya.
– Bugünkü dərsə bir məsəllə başlamaq istərdim. “Bir zamanlar hər şeyi bilən bir müdrik yaşayırdı. Bir adam sübut etmək istəyirdi ki, müdrik hər şeyi bilmir. O, ovuclarında kəpənək tutaraq soruşdu: “Mənə de görüm, müdrik, hansı kəpənək mənim əlimdədir: ölü, yoxsa diri?” Özü də belə fikirləşir: “Əgər diri desə, onu öldürəcəyəm, onu azad edəcəm”. Arif fikirləşdikdən sonra cavab verdi: "Hər şey sənin əlindədir". (Təqdimat.Slayd)
– Odur ki, bu gün səmərəli işləyək, yeni biliklər anbarına yiyələnək və əldə etdiyimiz bacarıq və bacarıqları gələcək həyatda və əməli fəaliyyətdə tətbiq edək. "Hər şey sənin əlindədir".
II. Əvvəllər öyrənilmiş materialın təkrarlanması.
– Gəlin əvvəllər öyrənilmiş materialın əsas məqamlarını xatırlayaq. Bunun üçün tapşırığı yerinə yetirək “İstisna edin lazımsız söz”. (Slayd.)
(Tələbə şəxsiyyət vəsiqəsinə gedir. Əlavə sözü silmək üçün silgidən istifadə edir.)
- Düzdü "Diferensial". Qalan sözləri bir kimi adlandırmağa çalışın ümumi mənada. (İnteqral hesablama.)
– Gəlin inteqral hesabla bağlı əsas mərhələləri və anlayışları xatırlayaq.
“Riyazi dəstə”.
Məşq edin. Boşluqları bərpa edin. (Tələbə çıxır və qələmlə tələb olunan sözləri yazır.)
– İnteqralların tətbiqi ilə bağlı bir mücərrəd daha sonra eşidəcəyik.
Noutbuklarda işləmək.
– Nyuton-Leybniz düsturu ingilis fiziki İsaak Nyuton (1643-1727) və alman filosofu Qotfrid Leybniz (1646-1716) tərəfindən yaradılmışdır. Və bu təəccüblü deyil, çünki riyaziyyat təbiətin özü tərəfindən danışılan dildir.
– Həll edərkən necə düşünək praktiki tapşırıqlar bu düsturdan istifadə olunur.
Misal 1: Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın
Həlli: Koordinat müstəvisində funksiyaların qrafiklərini quraq . Tapılmalı olan fiqurun sahəsini seçək.
III. Yeni materialın öyrənilməsi.
- Ekrana diqqət yetirin. Birinci şəkildə nə göstərilib? (Slayd) (Şəkil düz bir fiqur göstərir.)
- İkinci şəkildə nə göstərilib? Bu rəqəm düzdür? (Slayd) (Şəkil üçölçülü rəqəmi göstərir.)
- Kosmosda, yerdə və içində Gündəlik həyat Biz təkcə düz fiqurlarla deyil, həm də üçölçülü fiqurlarla qarşılaşırıq, lakin belə cisimlərin həcmini necə hesablaya bilərik? Məsələn, planetin, kometin, meteoritin həcmi və s.
– İnsanlar həm ev tikəndə, həm də bir qabdan digərinə su tökəndə həcm haqqında düşünürlər. Həcmi hesablamaq üçün qaydalar və üsullar ortaya çıxmalı idi ki, onların nə qədər dəqiq və əsaslı olması başqa məsələdir;
Tələbədən mesaj. (Tyurina Vera.)
1612-ci il məşhur astronom İohannes Keplerin yaşadığı Avstriyanın Linz şəhərinin sakinləri üçün xüsusilə üzümçülük üçün çox məhsuldar olmuşdur. İnsanlar şərab çəlləkləri hazırlayırdılar və onların həcmlərini praktiki olaraq necə təyin edəcəyini bilmək istəyirdilər. (Slayd 2)
– Beləliklə, Keplerin nəzərdən keçirilən əsərləri 17-ci əsrin son rübündə yekunlaşan bütöv bir tədqiqat axınının başlanğıcını qoydu. İ.Nyuton və G.V.-nin əsərlərində dizayn. Leibniz diferensial və inteqral hesablamalar. Həmin dövrdən etibarən riyazi biliklər sistemində dəyişənlərin riyaziyyatı aparıcı yer tuturdu.
– Bu gün siz və mən belə praktik fəaliyyətlərlə məşğul olacağıq, ona görə də
Dərsimizin mövzusu: "Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək fırlanma cisimlərinin həcmlərinin hesablanması." (Slayd)
– İnqilab bədəninin tərifini tamamlayaraq öyrənəcəksiniz növbəti tapşırıq.
"Labirint".
labirint ( yunan sözü) zindana girmək deməkdir. Labirint cığırların, keçidlərin və bir-birini birləşdirən otaqların mürəkkəb şəbəkəsidir.
Ancaq tərif oxlar şəklində ipuçları buraxaraq "sındırıldı".
Məşq edin. Qarışıq vəziyyətdən çıxış yolu tapın və tərifi yazın.
Slayd. “Xəritə təlimatı” Həcmlərin hesablanması.
Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək, müəyyən bir cismin, xüsusən də fırlanma bədəninin həcmini hesablaya bilərsiniz.
İnqilab cismi əyri trapesiyanı öz əsası ətrafında fırlatmaqla əldə edilən cisimdir (şək. 1, 2).
Fırlanma cisminin həcmi düsturlardan biri ilə hesablanır:
1.
OX oxu ətrafında.
2. 
, əgər əyri trapezoidin fırlanması op-amp oxunun ətrafında.
Hər bir tələbə bir təlimat kartı alır. Müəllim əsas məqamları vurğulayır.
– Müəllim lövhədəki misalların həlli yollarını izah edir.
dan bir parçaya nəzər salın məşhur nağıl A. S. Puşkin "Çar Saltanın, onun şanlı və qüdrətli qəhrəmanı Şahzadə Guidon Saltanoviçin və gözəl şahzadə qu quşunun nağılı" (Slayd 4):
…..
Sərxoş qasid gətirdi
Həmin gün sifariş aşağıdakı kimidir:
"Kral boyarlarına əmr edir,
Vaxt itirmədən,
Və kraliça və nəsil
Gizlicə suyun uçurumuna atın”.
Ediləcək bir şey yoxdur: boyarlar,
Suveren üçün narahatçılıq
Və gənc kraliçaya,
Onun yataq otağına bir izdiham gəldi.
Padşahın vəsiyyətini elan etdilər -
Onun və oğlunun pis bir payı var,
Biz fərmanı ucadan oxuyuruq,
Və eyni saatda kraliça
Məni oğlumla bir çəlləyə saldılar,
Onlar qatran vurub uzaqlaşdılar
Və məni okiyana buraxdılar -
Çar Saltan belə əmr etdi.
Barelin həcmi nə qədər olmalıdır ki, kraliça və oğlu ona sığsın?
- Aşağıdakı vəzifələri nəzərdən keçirin
1. Xətlərlə hüdudlanmış əyrixətti trapezoidin ordinat oxu ətrafında fırlanması ilə alınan cismin həcmini tapın: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.
Cavab: 1163 santimetr 3 .
Parabolik trapesiyanı absis oxu ətrafında fırlatmaqla alınan cismin həcmini tapın y = , x = 4, y = 0.
IV. Yeni materialın birləşdirilməsi
Nümunə 2. Ləçəkin x oxu ətrafında fırlanması ilə əmələ gələn bədənin həcmini hesablayın. y = x 2 , y 2 = x.
Funksiyanın qrafiklərini quraq. y = x 2 , y 2 = x. Cədvəl y2 = x formaya çevirmək y= .
bizdə var V = V 1 – V 2 Hər bir funksiyanın həcmini hesablayaq
– İndi gəlin Moskvada Şabolovkada görkəmli rus mühəndisi, fəxri akademik V. G. Şuxovun layihəsi ilə tikilmiş radiostansiyanın qülləsinə baxaq. O, hissələrdən ibarətdir - fırlanma hiperboloidləri. Üstəlik, onların hər biri bitişik dairələri birləşdirən düz metal çubuqlardan hazırlanır (şəkil 8, 9).
- Problemi nəzərdən keçirək.
Hiperbola qövslərinin fırlanması ilə alınan cismin həcmini tapın 
Şəkildə göstərildiyi kimi, xəyali oxu ətrafında. 8, harada
kub vahidlər
Qrup tapşırıqları. Şagirdlər tapşırıqlarla püşkatma aparır, whatman kağızı üzərində rəsmlər çəkir, qrup nümayəndələrindən biri işi müdafiə edir.
1-ci qrup.
Vur! Vur! Daha bir zərbə!
Top qapıya uçur - BALL!
Və bu qarpız topudur
Yaşıl, yuvarlaq, dadlı.
Daha yaxşı baxın - nə top!
O, dairələrdən başqa heç nədən ibarət deyil.
Qarpızı dairələrə kəsin
Və onları dadın.
Məhdud funksiyanın OX oxu ətrafında fırlanma ilə alınan cismin həcmini tapın
Xəta! Əlfəcin müəyyən edilməyib.
– Zəhmət olmasa deyin, bu rəqəmlə harada rastlaşırıq?
ev. 1 qrup üçün tapşırıq. SİLİNDİR (slayd) .
"Silindr - bu nədir?" – atamdan soruşdum.
Ata güldü: Üst papaq papaqdır.
Düzgün fikrə sahib olmaq üçün,
Silindr, deyək ki, qalay qutusudur.
Buxar qayıq borusu - silindr,
Damımızdakı boru da,
Bütün borular bir silindrə bənzəyir.
Mən belə bir misal verdim -
Kaleydoskop mənim sevgim,
Gözünü ondan çəkə bilmirsən,
Həm də silindr kimi görünür.
- Məşq edin. Ev tapşırığı funksiyanın qrafikini çəkin və həcmi hesablayın.
2-ci qrup. KONUS (slayd).
Ana dedi: İndi də
Mənim hekayəm konus haqqında olacaq.
Hündür papaqda ulduz izləyicisi
Bütün il boyu ulduzları sayar.
KONUS - ulduzları seyr edən şlyapa.
O, belədir. Anladın? Bu belədir.
Ana masada dayanmışdı,
Butulkalara yağ tökdüm.
- Quni haradadır? Huni yoxdur.
Onu axtarın. Kənarda durmayın.
- Ana, mən yerindən tərpənməyəcəyəm.
Bizə konus haqqında daha çox məlumat verin.
– Huni suvarma qabı konus şəklindədir.
Gəl, onu mənim üçün tez tap.
Mən huni tapa bilmədim
Ancaq ana çanta düzəltdi,
Kartonu barmağıma sardım
Və o, məharətlə onu kağız klipi ilə bağladı.
Yağ axır, ana xoşbəxtdir,
Konus düz çıxdı.
Məşq edin. Absis oxu ətrafında fırlanmaqla əldə edilən cismin həcmini hesablayın
ev. 2-ci qrup üçün tapşırıq. PİRAMİDA(slayd).
Şəkli gördüm. Bu şəkildə
Qumlu səhrada PİRAMİDA var.
Piramidada hər şey qeyri-adi,
Bunda bir növ sirr və sirr var.
Və Qırmızı Meydandakı Spasskaya Qülləsi
Həm uşaqlar, həm də böyüklər üçün çox tanışdır.
Qülləyə baxsan, adi görünür,
Üstündə nə var? Piramida!
Məşq edin. Ev tapşırığı: funksiyanın qrafikini çəkin və piramidanın həcmini hesablayın
– İnteqraldan istifadə edərək cisimlərin həcmləri üçün əsas düstur əsasında müxtəlif cisimlərin həcmlərini hesabladıq.
Bu, müəyyən inteqralın riyaziyyatın öyrənilməsi üçün əsas olduğunun başqa bir təsdiqidir.
- Yaxşı, indi bir az dincələk.
Bir cüt tapın.
Riyazi domino melodiya çalır.
"Mənim axtardığım yol heç vaxt unudulmayacaq..."
Tədqiqat işi. İnteqralın iqtisadiyyat və texnologiyada tətbiqi.
Güclü tələbələr və riyazi futbol üçün testlər.
Riyaziyyat simulyatoru.
2. Verilmiş funksiyanın bütün əks törəmələrinin çoxluğuna deyilir
B) funksiya,
B) fərqləndirmə.
7. Xətlərlə hüdudlanmış əyrixətti trapezoidin absis oxu ətrafında fırlanması ilə alınan cismin həcmini tapın:
D/Z. İnqilab cisimlərinin həcmlərini hesablayın.
Refleksiya.
Formada əksin qəbulu sinxronizasiya(beş sətir).
1-ci sətir – mövzu adı (bir isim).
2-ci sətir – mövzunun iki sözlə, iki sifətlə təsviri.
3-cü sətir – bu mövzu daxilində hərəkətin üç sözlə təsviri.
4-cü sətir dörd sözdən ibarət bir cümlədir, mövzuya münasibəti göstərir (bütün bir cümlə).
5-ci sətir mövzunun mahiyyətini təkrarlayan sinonimdir.
- Həcmi.
- Müəyyən inteqral, inteqral funksiya.
- Biz qururuq, fırlanırıq, hesablayırıq.
- Əyri trapesiyanı fırlatmaqla əldə edilən cisim (əsas ətrafında).
- Fırlanma gövdəsi (həcmli həndəsi bədən).
Nəticə (slayd).
- Müəyyən bir inteqral riyaziyyatın öyrənilməsi üçün müəyyən bir bünövrədir və praktiki məsələlərin həllinə əvəzsiz töhfə verir.
- “İnteqral” mövzusu riyaziyyat və fizika, biologiya, iqtisadiyyat və texnologiya arasında əlaqəni aydın şəkildə nümayiş etdirir.
- İnkişaf müasir elm inteqraldan istifadə etmədən təsəvvür etmək mümkün deyil. Bu baxımdan onu orta ixtisas təhsili çərçivəsində öyrənməyə başlamaq lazımdır!
Qiymətləndirmə. (Şərhlə.)
Böyük Lobster Xəyyam riyaziyyatçı, şair, filosofdur. O, bizi öz taleyimizin sahibi olmağa təşviq edir. Onun əsərindən bir parçanı dinləyək:
Deyəcəksən, bu həyat bir anlıqdır.
Onu qiymətləndirin, ondan ilham alın.
Nə qədər xərcləsən, o da elə keçəcək.
Unutma: o, sənin yaradıcılığındır.
Mövzu: “Müəyyən inteqraldan istifadə edərək inqilab cisimlərinin həcmlərinin hesablanması”
Dərsin növü: birləşdirilmiş.
Dərsin məqsədi: inteqrallardan istifadə edərək inqilab cisimlərinin həcmlərini hesablamağı öyrənin.
Tapşırıqlar:
bir sıradan əyri trapesiyaları müəyyən etmək bacarığını möhkəmləndirmək həndəsi fiqurlarəyrixətti trapesiyaların sahələrini hesablamaq vərdişlərinə məşq etmək;
üçölçülü fiqur anlayışı ilə tanış olmaq;
fırlanma cisimlərinin həcmlərini hesablamağı öyrənmək;
məntiqi təfəkkürün, səriştəli riyazi nitqin, rəsmlər qurarkən dəqiqliyin inkişafına kömək etmək;
fənnə marağı, riyazi anlayışlar və təsvirlərlə işləmək, son nəticəyə nail olmaq üçün iradə, müstəqillik və əzmkarlıq tərbiyə etmək.
Dərslər zamanı
I. Təşkilati məqam.
Qrupdan salamlar. Dərsin məqsədlərini tələbələrə çatdırın.
Bugünkü dərsə bir məsəllə başlamaq istərdim. “Bir zamanlar hər şeyi bilən bir müdrik yaşayırdı. Bir adam sübut etmək istəyirdi ki, müdrik hər şeyi bilmir. O, ovuclarında kəpənək tutaraq soruşdu: “Mənə de görüm, müdrik, hansı kəpənək mənim əlimdədir: ölü, yoxsa diri?” Və düşünür: “Əgər diri desə, onu öldürərəm; Müdrik düşündükdən sonra cavab verdi: “Hər şey sənin əlindədir”.
Odur ki, bu gün səmərəli işləyək, yeni biliklər anbarına yiyələnək və əldə etdiyimiz bacarıq və bacarıqları gələcək həyatda və praktik fəaliyyətdə tətbiq edəcəyik “Hər şey sənin əlindədir”.
II. Əvvəllər öyrənilmiş materialın təkrarlanması.
Əvvəllər öyrənilmiş materialın əsas məqamlarını xatırlayaq. Bunun üçün gəlin “Əlavə sözü sil” tapşırığını yerinə yetirək.
(Tələbələr əlavə bir söz deyirlər.)
Sağ "Diferensial". Qalan sözləri bir ümumi sözlə adlandırmağa çalışın. (İnteqral hesablama.)
İnteqral hesablama ilə əlaqəli əsas mərhələləri və anlayışları xatırlayaq.
Məşq edin. Boşluqları bərpa edin. (Tələbə çıxır və markerlə tələb olunan sözləri yazır.)
Noutbuklarda işləmək.
Nyuton-Leybnits düsturu ingilis fiziki İsaak Nyuton (1643-1727) və alman filosofu Qotfrid Leybniz (1646-1716) tərəfindən yaradılmışdır. Və bu təəccüblü deyil, çünki riyaziyyat təbiətin özü tərəfindən danışılan dildir.
Bu düsturun praktiki məsələlərin həllində necə istifadə olunduğunu nəzərdən keçirək.
Misal 1: Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın 
Həll: Koordinat müstəvisində funksiyaların qrafiklərini quraq . Tapılmalı olan fiqurun sahəsini seçək.
III. Yeni materialın öyrənilməsi.
Ekrana diqqət yetirin. Birinci şəkildə nə göstərilib? (Şəkil düz bir fiqur göstərir.)
İkinci şəkildə nə göstərilir? Bu rəqəm düzdür? (Şəkil üçölçülü rəqəmi göstərir.)
Kosmosda, yerdə və gündəlik həyatda biz təkcə düz fiqurlarla deyil, həm də üçölçülü fiqurlarla qarşılaşırıq, lakin belə cisimlərin həcmini necə hesablaya bilərik? Məsələn: planetin, kometin, meteoritin həcmi və s.
İnsanlar həm ev tikərkən, həm də bir qabdan digərinə su tökərkən həcm haqqında düşünürlər. Həcmi hesablamaq üçün qaydalar və üsullar ortaya çıxmalı idi ki, onların nə qədər dəqiq və əsaslı olması başqa məsələdir;
1612-ci il məşhur astronom İohannes Keplerin yaşadığı Avstriyanın Linz şəhərinin sakinləri üçün xüsusilə üzümçülük üçün çox məhsuldar olmuşdur. İnsanlar şərab çəlləkləri hazırlayırdılar və onların həcmlərini praktiki olaraq necə təyin edəcəyini bilmək istəyirdilər.
Beləliklə, Keplerin nəzərdən keçirilən əsərləri 17-ci əsrin son rübündə yekunlaşan bütün tədqiqat axınının başlanğıcını qoydu. İ.Nyuton və G.V.-nin əsərlərində dizayn. Leibniz diferensial və inteqral hesablamalar. Həmin dövrdən etibarən riyazi biliklər sistemində dəyişənlərin riyaziyyatı aparıcı yer tuturdu.
Bu gün siz və mən belə praktik fəaliyyətlərlə məşğul olacağıq, ona görə də
Dərsimizin mövzusu: "Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək fırlanma cisimlərinin həcmlərinin hesablanması."
Aşağıdakı tapşırığı yerinə yetirməklə inqilab cəsədinin tərifini öyrənəcəksiniz.
"Labirint".
Məşq edin. Qarışıq vəziyyətdən çıxış yolu tapın və tərifi yazın.
IVHəcmlərin hesablanması.
Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək, müəyyən bir cismin, xüsusən də fırlanma bədəninin həcmini hesablaya bilərsiniz.
İnqilab cismi əyri trapesiyanı öz əsası ətrafında fırlatmaqla əldə edilən cisimdir (şək. 1, 2).
İnqilab cismin həcmi düsturlardan biri ilə hesablanır:
1.
OX oxu ətrafında.
2. 
, əgər əyri trapezoidin fırlanması op-amp oxunun ətrafında.
Şagirdlər dəftərə əsas düsturları yazırlar.
Müəllim lövhədəki misalların həlli yollarını izah edir.
1. Xətlərlə hüdudlanmış əyrixətti trapezoidin ordinat oxu ətrafında fırlanması ilə alınan cismin həcmini tapın: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.
Həll.
Cavab: 1163 sm3.
2. Parabolik trapesiyanı x oxu ətrafında fırlatmaqla alınan cismin həcmini tapın. y = , x = 4, y = 0.
Həll.
V. Riyaziyyat simulyatoru.
2. Verilmiş funksiyanın bütün əks törəmələrinin çoxluğuna deyilir
A) qeyri-müəyyən inteqral;
B) funksiya,
B) fərqləndirmə.
7. Xətlərlə hüdudlanmış əyrixətti trapezoidin absis oxu ətrafında fırlanması ilə alınan cismin həcmini tapın:
D/Z. Yeni materialın birləşdirilməsi
Ləçəkin x oxu ətrafında fırlanması ilə əmələ gələn bədənin həcmini hesablayın y = x2, y2 = x.
Funksiyanın qrafiklərini quraq. y = x2, y2 = x. y2 = x qrafikini y = formasına çevirək.
Bizdə V = V1 - V2 var Gəlin hər bir funksiyanın həcmini hesablayaq:
Nəticə:
Müəyyən inteqral riyaziyyatın öyrənilməsi üçün müəyyən əsasdır və praktiki məsələlərin həllinə əvəzsiz töhfə verir.
“İnteqral” mövzusu riyaziyyat və fizika, biologiya, iqtisadiyyat və texnologiya arasında əlaqəni aydın şəkildə nümayiş etdirir.
Müasir elmin inkişafını inteqraldan istifadə etmədən təsəvvür etmək mümkün deyil. Bu baxımdan onu orta göstərici çərçivəsində öyrənməyə başlamaq lazımdır xüsusi təhsil!
VI. Qiymətləndirmə.(Şərhlə.)
Böyük Ömər Xəyyam - riyaziyyatçı, şair, filosof. O, bizi öz taleyimizin sahibi olmağa təşviq edir. Onun əsərindən bir parçanı dinləyək:
Deyirsən, bu həyat bir anlıqdır.
Onu qiymətləndirin, ondan ilham alın.
Nə qədər xərcləsən, o da elə keçəcək.
Unutma: o, sənin yaradıcılığındır.
bir ox ətrafında düz fiqur
Misal 3
, , xətləri ilə məhdudlaşan yastı fiqur verilmişdir.
1) Bu xətlərlə məhdudlaşan düz fiqurun sahəsini tapın.
2) Bu xətlərlə hüdudlanmış yastı fiqurun ox ətrafında fırlanması ilə alınan cismin həcmini tapın.
Diqqət! Yalnız ikinci nöqtəni oxumaq istəsəniz belə, birinci Mütləq birincisini oxu!
Həll: Tapşırıq iki hissədən ibarətdir. Meydandan başlayaq.
1) Gəlin bir rəsm çəkək:
Asanlıqla görmək olar ki, funksiya parabolanın yuxarı qolunu, funksiya isə parabolanın aşağı budağını təyin edir. Qarşımızda "yan tərəfində yatan" mənasız bir parabola var.
Sahəsi tapılmalı olan istənilən rəqəm mavi rəngə boyanmışdır.
Fiqurun sahəsini necə tapmaq olar? Bunu "normal" şəkildə tapmaq olar. Bundan əlavə, rəqəmin sahəsi sahələrin cəmi kimi tapılır:
- seqmentdə 
;
- seqmentdə.
Buna görə də:
Daha rasional bir həll var: tərs funksiyalara keçid və ox boyunca inteqrasiyadan ibarətdir.
Tərs funksiyalara necə çatmaq olar? Kobud desək, “x”i “y” vasitəsilə ifadə etmək lazımdır. Əvvəlcə parabolaya baxaq:
Bu kifayətdir, lakin gəlin əmin edək ki, eyni funksiya aşağı budaqdan alına bilər:
Düz bir xətt ilə daha asandır:
İndi oxa baxın: izah etdiyiniz kimi vaxtaşırı başınızı sağa 90 dərəcə əyin (bu zarafat deyil!). Bizə lazım olan rəqəm qırmızı nöqtəli xətt ilə göstərilən seqmentdə yerləşir. Bu halda, seqmentdə düz xətt parabolanın üstündə yerləşir, yəni fiqurun sahəsi sizə artıq tanış olan düsturdan istifadə edərək tapılmalıdır: 
. Düsturda nə dəyişdi? Sadəcə bir məktub və başqa heç nə.
! Qeyd : Ox inteqrasiya məhdudiyyətləri yerləşdirilməlidirciddi şəkildə aşağıdan yuxarıya !
Ərazinin tapılması:
Beləliklə, seqmentdə:
Xahiş edirəm, inteqrasiyanı necə həyata keçirdiyimi qeyd edin, bu ən rasional yoldur və tapşırığın növbəti bəndində bunun səbəbi aydın olacaq.
İnteqrasiyanın düzgünlüyünə şübhə edən oxucular üçün törəmələri tapacağam:
Orijinal inteqral funksiyası alındı, bu da inteqrasiyanın düzgün aparıldığını bildirir.
Cavab verin:
2) Bu fiqurun ox ətrafında fırlanması ilə əmələ gələn cismin həcmini hesablayaq.
Rəsmi bir az fərqli dizaynda yenidən çəkəcəyəm:
Beləliklə, mavi ilə kölgələnmiş fiqur ox ətrafında fırlanır. Nəticə öz oxu ətrafında fırlanan “havada uçan kəpənək”dir.
Fırlanma cisminin həcmini tapmaq üçün ox boyunca inteqrasiya edəcəyik. Əvvəlcə tərs funksiyalara keçməliyik. Bu, artıq edilmiş və əvvəlki paraqrafda ətraflı təsvir edilmişdir.
İndi başımızı yenidən sağa əyib rəqəmimizi öyrənirik. Aydındır ki, fırlanma cisminin həcmi həcm fərqi kimi tapılmalıdır.
Qırmızı rənglə çevrələnmiş şəkli ox ətrafında döndəririk, nəticədə kəsilmiş konus yaranır. Bu həcmi ilə işarə edək.
Yaşıl rənglə çevrələnmiş rəqəmi ox ətrafında döndəririk və yaranan fırlanma gövdəsinin həcmi ilə işarə edirik.
Kəpənəkimizin həcmi həcm fərqinə bərabərdir.
Bir inqilab cisminin həcmini tapmaq üçün düsturdan istifadə edirik: 
Əvvəlki paraqrafdakı düsturdan nə fərqi var? Yalnız məktubda.
Amma bu yaxınlarda haqqında danışdığım inteqrasiyanın üstünlüyünü tapmaq daha asandır 
, əvvəlcə inteqranı 4-cü gücə qaldırmaqdansa.
Cavab verin: 
Qeyd edək ki, eyni düz fiqur ox ətrafında fırlanırsa, təbii olaraq fərqli həcmdə, tamamilə fərqli bir fırlanma bədəni əldə edəcəksiniz.
Misal 7
və əyriləri ilə məhdudlaşan fiqurun oxu ətrafında fırlanma nəticəsində əmələ gələn cismin həcmini hesablayın.
Həll: Gəlin rəsm çəkək:
Yol boyu bəzi başqa funksiyaların qrafikləri ilə də tanış oluruq. Bu maraqlı bir qrafikdir hətta fəaliyyət göstərir ….
İnqilab bədəninin həcmini tapmaq üçün mavi rənglə kölgələdiyim fiqurun sağ yarısını istifadə etmək kifayətdir. Hər iki funksiya cütdür, onların qrafikləri oxa görə simmetrikdir, bizim rəqəmimiz isə simmetrikdir. Belə kölgəli sağ hissə, ox ətrafında fırlanan, əlbəttə ki, sol unhatched hissəsi ilə üst-üstə düşəcək.
Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək bir inqilab cisminin həcmini necə hesablamaq olar?
Bundan başqa müəyyən inteqraldan istifadə edərək müstəvi fiqurun sahəsini tapmaq mövzunun ən mühüm tətbiqi fırlanma cisminin həcminin hesablanması. Material sadədir, lakin oxucu hazır olmalıdır: siz həll etməyi bacarmalısınız qeyri-müəyyən inteqrallar orta mürəkkəblik və Newton-Leibniz düsturunu tətbiq edin müəyyən inteqral . Sahə tapmaq problemində olduğu kimi, inamlı rəsm bacarıqlarına ehtiyacınız var - bu, demək olar ki, ən vacib şeydir (çünki inteqralların özləri çox vaxt asan olacaq). Metodik materialın köməyi ilə səriştəli və sürətli qrafik üsullarını mənimsəyə bilərsiniz . Amma əslində mən artıq bir neçə dəfə dərsdə rəsmlərin əhəmiyyətindən danışmışam. .
Ümumiyyətlə, müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək, inteqral hesablamada bir çox maraqlı tətbiqlər var, bir fiqurun sahəsini, fırlanma cismin həcmini, qövsün uzunluğunu, səth sahəsini hesablaya bilərsiniz; bədən və daha çox. Beləliklə, əyləncəli olacaq, zəhmət olmasa optimist olun!
Koordinat müstəvisində düz bir fiqur təsəvvür edin. Təqdim edildi? ... Görəsən kim nə təqdim etdi... =))) Artıq onun ərazisini tapmışıq. Ancaq əlavə olaraq, bu rəqəm iki şəkildə fırlana və fırlana bilər:
– x oxu ətrafında; – ordinat oxu ətrafında.
Bu məqalə hər iki halı araşdıracaq. İkinci fırlanma üsulu xüsusilə maraqlıdır, ən çox çətinliklərə səbəb olur, lakin əslində həll x oxu ətrafında daha çox yayılmış fırlanma ilə demək olar ki, eynidir. Bonus olaraq qayıdacağam fiqurun sahəsini tapmaq problemi , və mən sizə sahəni ikinci şəkildə - ox boyunca necə tapacağınızı söyləyəcəyəm. Material mövzuya yaxşı uyğun gəldiyi üçün bu o qədər də bonus deyil.
Ən məşhur fırlanma növü ilə başlayaq.
Misal 1
Xətlərlə hüdudlanmış bir fiqurun ox ətrafında fırlanması ilə əldə edilən cismin həcmini hesablayın.
Həll:Ərazinin tapılması problemində olduğu kimi, həll düz bir fiqurun çəkilməsi ilə başlayır. Yəni, bir müstəvidə xətlərlə məhdudlaşan bir fiqur qurmaq lazımdır və tənliyin oxu müəyyən etdiyini unutma. Rəsmi necə daha səmərəli və tez tamamlamaq olar, səhifələrdə tapa bilərsiniz Elementar funksiyaların qrafikləri və xassələri Və Müəyyən inteqral. Fiqurun sahəsini necə hesablamaq olar . Bu Çin xatırlatmasıdır və bu nöqtədə daha çox dayanmayacağam.
Buradakı rəsm olduqca sadədir:
İstədiyiniz düz fiqur mavi rənglə kölgələnir; bu, ox ətrafında fırlanandır. Fırlanma nəticəsində ox ətrafında simmetrik olan bir qədər yumurtavari uçan nəlbəki yaranır. Əslində, bədənin riyazi adı var, amma mən istinad kitabına baxmaq üçün çox tənbələm, ona görə də davam edirik.
Bir inqilab cisminin həcmini necə hesablamaq olar?
Bir inqilab cisminin həcmi düsturla hesablana bilər:
Düsturda ədəd inteqraldan əvvəl olmalıdır. Belə oldu - həyatda fırlanan hər şey bu sabitlə bağlıdır.
Düşünürəm ki, tamamlanmış rəsmdən "a" və "ol" inteqrasiyasının sərhədlərini necə təyin edəcəyinizi təxmin etmək asandır.
Funksiya... bu funksiya nədir? Rəsmə baxaq. Düz fiqur yuxarıdakı parabola qrafiki ilə məhdudlaşır. Bu, düsturda nəzərdə tutulan funksiyadır.
Praktik tapşırıqlarda düz bir fiqur bəzən oxun altında yerləşə bilər. Bu heç nəyi dəyişmir - düsturdakı funksiya kvadratdır: beləliklə inqilab cisminin həcmi həmişə mənfi deyil, bu çox məntiqlidir.
Bu düsturdan istifadə edərək bir inqilab cismin həcmini hesablayaq: 
Artıq qeyd etdiyim kimi, inteqral demək olar ki, həmişə sadə olur, əsas odur ki, diqqətli olun.
Cavab: 
Cavabınızda ölçüləri - kub vahidlərini göstərməlisiniz. Yəni fırlanma bədənimizdə təxminən 3,35 "kub" var. Niyə kub vahidlər? Çünki ən universal formula. Kub santimetr ola bilər, kubmetr ola bilər, kub kilometr ola bilər və s., təsəvvürünüzdə uçan boşqabın içinə nə qədər yaşıl adam qoya bilərsiniz.
Misal 2
Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun oxu ətrafında fırlanma nəticəsində əmələ gələn cismin həcmini tapın,
Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Tam həll və dərsin sonunda cavab.
Praktikada da tez-tez rast gəlinən daha iki mürəkkəb problemi nəzərdən keçirək.
Misal 3
, və xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun absis oxu ətrafında fırlanmaqla əldə edilən bədənin həcmini hesablayın.
Həll: Rəsmdə ,,, xətləri ilə məhdudlaşmış düz bir fiqur təsvir edək, tənliyin oxu müəyyən etdiyini unutmadan:
İstədiyiniz rəqəm mavi rənglə kölgələnir. O, öz oxu ətrafında fırlananda dörd küncü olan sürreal pişiyə çevrilir.
İnqilab cismin həcmini kimi hesablayaq cisimlərin həcmindəki fərq.
Əvvəlcə qırmızı ilə dairəvi şəkildə çəkilmiş fiqura baxaq. Bir ox ətrafında fırlandıqda, kəsilmiş bir konus əldə edilir. Bu kəsilmiş konusun həcmini ilə işarə edək.
Yaşıl rəngdə dairəvi olan rəqəmə nəzər salın. Bu rəqəmi ox ətrafında döndərsəniz, kəsilmiş bir konus da alacaqsınız, yalnız bir az daha kiçikdir. Onun həcmini ilə işarə edək.
Və açıq-aydın, həcm fərqi bizim "donut" un həcmidir.
Bir inqilab cisminin həcmini tapmaq üçün standart düsturdan istifadə edirik:
1) Qırmızı rənglə çevrələnmiş fiqur yuxarıdan düz xətt ilə məhdudlaşır, buna görə də:
2) Yaşıl rənglə çevrələnmiş fiqur yuxarıdan düz xətt ilə məhdudlaşır, buna görə də:
3) İstədiyiniz fırlanma gövdəsinin həcmi:
Cavab:
Maraqlıdır ki, bu vəziyyətdə həll kəsilmiş konusun həcmini hesablamaq üçün məktəb düsturu ilə yoxlanıla bilər.
Qərarın özü tez-tez daha qısa yazılır, belə bir şey:
İndi bir az dincələk və sizə həndəsi illüziyalar haqqında danışaq.
İnsanlar tez-tez kitabda Perelmanın (o deyil) qeyd etdiyi cildlərlə əlaqəli illüziyalara sahibdirlər. Əyləncəli həndəsə. Həll edilmiş problemdəki düz rəqəmə baxın - ərazisi kiçik görünür və inqilab gövdəsinin həcmi çox böyük görünən 50 kub vahiddən bir qədər çoxdur. Yeri gəlmişkən, orta hesabla bir insan bütün həyatı boyu 18 kvadratmetrlik bir otaq ekvivalenti qədər maye içir ki, bu da əksinə, çox kiçik bir həcm kimi görünür.
Ümumiyyətlə, SSRİ-də təhsil sistemi doğrudan da ən yaxşı sistem idi. Perelmanın 1950-ci ildə yazdığı eyni kitabı, yumoristin dediyi kimi, çox yaxşı inkişaf edir, düşünür və problemlərə orijinal, qeyri-standart həll yolları axtarmağı öyrədir. Bu yaxınlarda bəzi fəsilləri böyük maraqla yenidən oxudum, tövsiyə edirəm, hətta humanistlər üçün də əlçatandır. Xeyr, boş vaxt təklif etdiyimə gülümsəməyə ehtiyac yoxdur, erudisiya və ünsiyyətdə geniş üfüqlər əla şeydir.
Lirik bir təxribatdan sonra yaradıcı bir tapşırığı həll etmək kifayətdir:
Misal 4
Xətlərlə hüdudlanmış düz fiqurun oxu ətrafında fırlanma nəticəsində əmələ gələn cismin həcmini hesablayın, burada.
Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Nəzərə alın ki, qrupda hər şey baş verir, başqa sözlə, inteqrasiyanın praktiki olaraq hazır hədləri verilir. Həmçinin triqonometrik funksiyaların qrafiklərini düzgün çəkməyə çalışın, əgər arqument ikiyə bölünürsə: onda qrafiklər ox boyunca iki dəfə uzanır; Ən azı 3-4 xal tapmağa çalışın triqonometrik cədvəllərə əsasən və rəsmini daha dəqiq tamamlayın. Tam həll və dərsin sonunda cavab. Yeri gəlmişkən, vəzifə rasional olaraq həll edilə bilər və çox rasional deyil.
Düz fiqurun ox ətrafında fırlanması ilə əmələ gələn cismin həcminin hesablanması
İkinci abzas birincidən daha maraqlı olacaq. Ordinat oxu ətrafında bir inqilab cisminin həcmini hesablamaq vəzifəsi də sınaq işində kifayət qədər ümumi bir qonaqdır. Yol boyu nəzərə alınacaq fiqurun sahəsini tapmaq problemi ikinci üsul ox boyunca inteqrasiyadır, bu, yalnız bacarıqlarınızı təkmilləşdirməyə imkan vermir, həm də sizə ən sərfəli həll yolunu tapmağı öyrədir. Bunda həm də praktik həyat mənası var! Riyaziyyatın tədrisi metodikası üzrə müəllimimin təbəssümlə xatırladığı kimi, bir çox məzunlar ona təşəkkür etdilər: “Fənniz bizə çox kömək etdi, indi biz effektiv menecerlərik və işçiləri optimal şəkildə idarə edirik”. Fürsətdən istifadə edərək, mən də ona böyük minnətdarlığımı bildirirəm, xüsusən də əldə etdiyim bilikləri təyinatı üzrə istifadə etdiyim üçün =).
Misal 5
,, xətləri ilə məhdudlaşan düz fiqur verilmişdir.
1) Bu xətlərlə məhdudlaşan düz fiqurun sahəsini tapın. 2) Bu xətlərlə hüdudlanmış yastı fiqurun ox ətrafında fırlanması ilə alınan cismin həcmini tapın.
Diqqət! Yalnız ikinci nöqtəni oxumaq istəsəniz belə, birinci Mütləq birincisini oxu!
Həll: Tapşırıq iki hissədən ibarətdir. Meydandan başlayaq.
1) Gəlin bir rəsm çəkək:
Asanlıqla görmək olar ki, funksiya parabolanın yuxarı qolunu, funksiya isə parabolanın aşağı budağını təyin edir. Qarşımızda "yan tərəfində yatan" mənasız bir parabola var.
Sahəsi tapılmalı olan istənilən rəqəm mavi rəngə boyanmışdır.
Fiqurun sahəsini necə tapmaq olar? Bunu sinifdə müzakirə olunan "adi" şəkildə tapmaq olar Müəyyən inteqral. Fiqurun sahəsini necə hesablamaq olar
. Üstəlik, rəqəmin sahəsi sahələrin cəmi kimi tapılır: – seqmentdə 
; - seqmentdə.
Buna görə də:
Bu vəziyyətdə adi həll niyə pisdir? Əvvəlcə iki inteqral aldıq. İkincisi, inteqrallar köklərdir və inteqrallardakı köklər hədiyyə deyil və üstəlik, inteqrasiyanın sərhədlərini əvəz etməkdə çaşqınlıq yarana bilər. Əslində, inteqrallar, əlbəttə ki, öldürücü deyil, amma praktikada hər şey daha kədərli ola bilər, mən sadəcə problem üçün "daha yaxşı" funksiyaları seçdim.
Daha rasional bir həll var: tərs funksiyalara keçid və ox boyunca inteqrasiyadan ibarətdir.
Tərs funksiyalara necə çatmaq olar? Kobud desək, “x”i “y” vasitəsilə ifadə etmək lazımdır. Əvvəlcə parabolaya baxaq:
Bu kifayətdir, lakin gəlin əmin edək ki, eyni funksiya aşağı budaqdan alına bilər:
Düz bir xətt ilə daha asandır:
İndi oxa baxın: izah etdiyiniz kimi vaxtaşırı başınızı sağa 90 dərəcə əyin (bu zarafat deyil!). Bizə lazım olan rəqəm qırmızı nöqtəli xətt ilə göstərilən seqmentdə yerləşir. Bu halda, seqmentdə düz xətt parabolanın üstündə yerləşir, yəni fiqurun sahəsi sizə artıq tanış olan düsturdan istifadə edərək tapılmalıdır: 
. Düsturda nə dəyişdi? Sadəcə bir məktub və başqa heç nə.
! Qeyd: Ox boyunca inteqrasiya limitləri təyin edilməlidirciddi şəkildə aşağıdan yuxarıya !
Ərazinin tapılması:
Beləliklə, seqmentdə: 
Xahiş edirəm, inteqrasiyanı necə həyata keçirdiyimi qeyd edin, bu ən rasional yoldur və tapşırığın növbəti bəndində bunun səbəbi aydın olacaq.
İnteqrasiyanın düzgünlüyünə şübhə edən oxucular üçün törəmələri tapacağam:
Orijinal inteqral funksiyası alındı, bu da inteqrasiyanın düzgün aparıldığını bildirir.
Cavab:
2) Bu fiqurun ox ətrafında fırlanması ilə əmələ gələn cismin həcmini hesablayaq.
Rəsmi bir az fərqli dizaynda yenidən çəkəcəyəm:
Beləliklə, mavi ilə kölgələnmiş fiqur ox ətrafında fırlanır. Nəticə öz oxu ətrafında fırlanan “havada uçan kəpənək”dir.
Fırlanma cisminin həcmini tapmaq üçün ox boyunca inteqrasiya edəcəyik. Əvvəlcə tərs funksiyalara keçməliyik. Bu, artıq edilmiş və əvvəlki paraqrafda ətraflı təsvir edilmişdir.
İndi başımızı yenidən sağa əyib rəqəmimizi öyrənirik. Aydındır ki, fırlanma cisminin həcmi həcm fərqi kimi tapılmalıdır.
Qırmızı rənglə çevrələnmiş şəkli ox ətrafında döndəririk, nəticədə kəsilmiş konus yaranır. Bu həcmi ilə işarə edək.
Yaşıl rənglə çevrələnmiş rəqəmi ox ətrafında döndəririk və nəticədə meydana gələn inqilab gövdəsinin həcmi ilə işarə edirik.
Kəpənəkimizin həcmi həcm fərqinə bərabərdir.
Bir inqilab cisminin həcmini tapmaq üçün düsturdan istifadə edirik: 
Əvvəlki paraqrafdakı düsturdan nə fərqi var? Yalnız məktubda.
Amma bu yaxınlarda haqqında danışdığım inteqrasiyanın üstünlüyünü tapmaq daha asandır 
, əvvəlcə inteqranı 4-cü gücə qaldırmaqdansa.
