üçün güvən intervalı riyazi gözlənti - bu, məlum ehtimalla ümumi əhalinin riyazi gözləntilərini ehtiva edən məlumatlardan hesablanmış intervaldır. Riyazi gözlənti üçün təbii qiymətləndirmə onun müşahidə edilən qiymətlərinin arifmetik ortasıdır. Buna görə də, dərs boyu “orta” və “orta dəyər” terminlərindən istifadə edəcəyik. Etibar intervalının hesablanması problemlərində ən çox tələb olunan cavab “Orta qiymətin [müəyyən bir problemdə dəyərin] etibarlılıq intervalı [kiçik dəyərdən] [daha böyük dəyərə]” kimi bir şeydir. Etibar intervalından istifadə edərək, yalnız orta dəyərləri deyil, həm də ümumi əhalinin müəyyən bir xüsusiyyətinin nisbətini qiymətləndirə bilərsiniz. Dərsdə yeni təriflərə və düsturlara çatacağımız orta dəyərlər, dispersiya, standart sapma və səhvlər müzakirə olunur. Nümunə və populyasiyanın xüsusiyyətləri .
Ortanın nöqtə və interval təxminləri
Əgər populyasiyanın orta qiyməti ədədlə (nöqtə ilə) qiymətləndirilirsə, onda əhalinin naməlum orta qiymətinin qiymətləndirilməsi kimi müşahidələr seçməsindən hesablanan xüsusi orta qiymət götürülür. Bu halda, seçmə orta dəyəri təsadüfi dəyişən- əhalinin orta dəyəri ilə üst-üstə düşmür. Buna görə də, nümunə ortalamasını göstərərkən eyni zamanda seçmə xətasını da göstərməlisiniz. Nümunə götürmə xətasının ölçüsü orta ilə eyni vahidlərlə ifadə edilən standart xətadır. Buna görə də tez-tez aşağıdakı qeydlərdən istifadə olunur: .
Ortanın qiymətləndirilməsini müəyyən bir ehtimalla əlaqələndirmək lazımdırsa, əhaliyə maraq parametri bir rəqəmlə deyil, intervalla qiymətləndirilməlidir. Etibar intervalı müəyyən bir ehtimala malik olan intervaldır P təxmini əhali göstəricisinin qiyməti tapılır. Ehtimal olunduğu etimad intervalı P = 1 - α təsadüfi dəyişən tapılır, aşağıdakı kimi hesablanır:
,
α = 1 - P, bu statistikaya dair demək olar ki, hər hansı bir kitaba əlavədə tapıla bilər.
Təcrübədə ümumi orta və dispersiya məlum deyildir, ona görə də ümumi dispersiya seçmə dispersiya ilə, ümumi orta göstərici isə seçmə ortası ilə əvəz olunur. Beləliklə, əksər hallarda etimad intervalı aşağıdakı kimi hesablanır:
.
Etibar intervalı düsturu, əgər populyasiyanın orta sayını qiymətləndirmək üçün istifadə edilə bilər
- əhalinin standart sapması məlumdur;
- və ya əhalinin standart sapması naməlumdur, lakin nümunənin ölçüsü 30-dan çoxdur.
Nümunə orta populyasiya ortasının qərəzsiz qiymətləndirilməsidir. Öz növbəsində, nümunə variasiyası 
populyasiya fərqinin qərəzsiz qiymətləndirilməsi deyil. Nümunə dispersiya düsturunda əhali fərqinin qərəzsiz qiymətləndirilməsini əldə etmək üçün seçmə ölçüsü n ilə əvəz edilməlidir n-1.
Misal 1. Müəyyən bir şəhərdə təsadüfi seçilmiş 100 kafedən məlumat toplanmışdır ki, onlardakı işçilərin orta sayı 4,6 standart sapma ilə 10,5 nəfərdir. Müəyyənləşdirmək etimad intervalı Kafe işçilərinin 95%-i.
burada əhəmiyyətlilik səviyyəsi üçün standart normal paylanmanın kritik qiyməti α = 0,05 .
Belə ki, kafe işçilərinin orta sayı üçün 95%-lik inam intervalı 9,6-11,4 arasında dəyişib.
Misal 2. 64 müşahidə populyasiyasından təsadüfi bir nümunə üçün aşağıdakı ümumi dəyərlər hesablandı:
müşahidələrdəki dəyərlərin cəmi,
dəyərlərin ortadan kvadrat sapmalarının cəmi 
.
Riyazi gözlənti üçün 95% etimad intervalını hesablayın.
Standart kənarlaşmanı hesablayaq:
,
Orta dəyəri hesablayaq:
.
Etibar intervalı üçün dəyərləri ifadə ilə əvəz edirik:
burada əhəmiyyətlilik səviyyəsi üçün standart normal paylanmanın kritik qiyməti α = 0,05 .
Biz əldə edirik:
Beləliklə, bu seçmənin riyazi gözləntisi üçün 95% inam intervalı 7,484 ilə 11,266 arasında dəyişdi.
Misal 3. 100 müşahidədən ibarət təsadüfi populyasiya nümunəsi üçün hesablanmış orta göstərici 15,2, standart kənarlaşma isə 3,2-dir. Gözlənilən dəyər üçün 95% etimad intervalını, sonra isə 99% etimad intervalını hesablayın. Nümunə gücü və onun dəyişməsi dəyişməz qalsa və etimad əmsalı artarsa, etimad intervalı daralacaq, yoxsa genişlənəcək?
Bu dəyərləri etimad intervalı üçün ifadə ilə əvəz edirik:
burada əhəmiyyətlilik səviyyəsi üçün standart normal paylanmanın kritik qiyməti α = 0,05 .
Biz əldə edirik:
.
Beləliklə, bu nümunənin orta dəyəri üçün 95% etimad intervalı 14,57 ilə 15,82 arasında dəyişdi.
Yenidən bu dəyərləri etimad intervalının ifadəsi ilə əvəz edirik:
burada əhəmiyyətlilik səviyyəsi üçün standart normal paylanmanın kritik qiyməti α = 0,01 .
Biz əldə edirik:
.
Beləliklə, bu nümunənin orta dəyəri üçün 99% inam intervalı 14.37 ilə 16.02 arasında dəyişdi.
Gördüyümüz kimi etimad əmsalı artdıqca standart normal paylanmanın kritik qiyməti də artır və deməli, intervalın başlanğıc və son nöqtələri ortadan daha uzaqda yerləşir və beləliklə, riyazi gözlənti üçün inam intervalı artır. .
Xüsusi çəkisinin nöqtə və interval təxminləri
Bəzi nümunə atributunun payı nöqtə təxmini kimi şərh edilə bilər xüsusi çəkisi səhümumi əhali üçün eyni xüsusiyyətə malikdir. Əgər bu dəyəri ehtimalla əlaqələndirmək lazımdırsa, onda xüsusi çəkisinin etibarlılıq intervalı hesablanmalıdır. səh ehtimalı olan əhali üçün xarakterikdir P = 1 - α :
.
Misal 4. Bəzi şəhərlərdə iki namizəd var A Və B bələdiyyə sədrliyinə namizədliyini irəli sürürlər. 200 şəhər sakini arasında təsadüfi sorğu keçirilib, onlardan 46%-i namizədə səs verəcəklərini bildirib. A, 26% - namizəd üçün B 28%-i isə kimə səs verəcəyini bilmir. Namizədi dəstəkləyən şəhər sakinlərinin nisbəti üçün 95% etimad intervalını müəyyən edin A.
Hər hansı bir nümunə ümumi əhali haqqında yalnız təxmini bir fikir verir və bütün seçmə statistik xüsusiyyətləri (orta, rejim, dispersiya ...) bəzi təxmini və ya ümumi parametrlərin təxmini demək olar ki, əksər hallarda hesablamaq mümkün olmur. ümumi əhalinin əlçatmazlığına (Şəkil 20) .
Şəkil 20. Seçmə xətası
Ancaq müəyyən bir ehtimal dərəcəsi ilə statistik xarakteristikanın həqiqi (ümumi) dəyərinin olduğu intervalı təyin edə bilərsiniz. Bu interval adlanır d güvən intervalı (CI).
Beləliklə, 95% ehtimalı ilə ümumi orta dəyər daxilindədir
dan, (20)
Harada t – cədvəl dəyəri Tələbə üçün test α =0,05 və f= n-1
Bu vəziyyətdə 99% CI da tapıla bilər t üçün seçilmişdir α =0,01.
Etibar intervalının praktiki əhəmiyyəti nədir?
Geniş etimad intervalı onu göstərir ki, seçmə ortası əhali ortasını dəqiq əks etdirmir. Bu adətən qeyri-kafi nümunə ölçüsü və ya onun heterojenliyi ilə bağlıdır, yəni. böyük dispersiya. Hər ikisini verirlər böyük səhv orta və müvafiq olaraq daha geniş CI. Və bu, tədqiqatın planlaşdırılması mərhələsinə qayıtmaq üçün əsasdır.
CI-nin yuxarı və aşağı hədləri nəticələrin klinik cəhətdən əhəmiyyətli olub-olmayacağını təxmin edir
Qrup xassələrinin öyrənilməsinin nəticələrinin statistik və klinik əhəmiyyəti məsələsi üzərində bir qədər ətraflı dayanaq. Unutmayaq ki, statistikanın vəzifəsi nümunə məlumatlarına əsaslanaraq ümumi populyasiyalardakı ən azı bəzi fərqləri aşkar etməkdir. Klinisyenlər üçün problem diaqnoz və ya müalicəyə kömək edəcək fərqləri (yalnız hər hansı bir deyil) aşkar etməkdir. Və statistik nəticələr həmişə klinik nəticələr üçün əsas deyil. Beləliklə, hemoglobinin statistik əhəmiyyətli dərəcədə 3 q/l azalması narahatlıq doğurmur. Və əksinə, əgər insan orqanizmində hansısa problem bütün əhali səviyyəsində geniş yayılmayıbsa, bu, bu problemlə məşğul olmamaq üçün səbəb deyil.
|
Bu vəziyyətə baxaq misal. Tədqiqatçılar bir növ yoluxucu xəstəlikdən əziyyət çəkən oğlanların böyümə baxımından yaşıdlarından geri qalıb-qalmadıqları ilə maraqlandılar. Bu məqsədlə həyata keçirilib nümunə sorğu, bu xəstəlikdən əziyyət çəkən 10 oğlan iştirak etdi. Nəticələr Cədvəl 23-də təqdim olunur. Cədvəl 23. Statistik emalın nəticələri
Bu hesablamalardan belə çıxır ki, nümunə ortalama hündürlük 10 yaşında bəziləri əziyyət çəkən oğlanlar infeksiya, normala yaxın (132,5 sm). Bununla belə, inam intervalının aşağı həddi (126,6 sm) bu uşaqların həqiqi orta boyunun “qısa boy” anlayışına uyğun olmasının 95% ehtimalının olduğunu göstərir, yəni. bu uşaqlar geridə qalırlar. Bu nümunədə etimad intervalı hesablamalarının nəticələri klinik cəhətdən əhəmiyyətlidir. |
|||||||||||||||||||
Statistik məsələlərin həlli üsullarından biri etimad intervalının hesablanmasıdır. Daha çox üstünlük verilən alternativ kimi istifadə olunur nöqtə təxmini kiçik bir nümunə ölçüsü ilə. Qeyd etmək lazımdır ki, etimad intervalının hesablanması prosesinin özü kifayət qədər mürəkkəbdir. Ancaq Excel alətləri bunu bir qədər asanlaşdırır. Bunun praktikada necə edildiyini öyrənək.
Bu üsul müxtəlif intervalların qiymətləndirilməsi üçün istifadə olunur statistik kəmiyyətlər. Bu hesablamanın əsas vəzifəsi nöqtə qiymətləndirməsinin qeyri-müəyyənliklərindən xilas olmaqdır.
Excel-də istifadə edərək hesablamalar aparmaq üçün iki əsas seçim var bu üsul: dispersiya məlum olduqda və bilinməyəndə. Birinci halda, funksiya hesablamalar üçün istifadə olunur TRUST.NORM, ikincidə isə - Etibarlı.Tələbə.
Metod 1: GÜVƏN NORMASI funksiyası
Operator TRUST.NORM statistik funksiyalar qrupuna aid olan , ilk dəfə Excel 2010-da ortaya çıxdı. Bu proqramın əvvəlki versiyaları onun analoqundan istifadə edir. GÜVƏNİN. Bu operatorun məqsədi əhali ortalaması üçün normal paylanmış inam intervalını hesablamaqdır.
Onun sintaksisi aşağıdakı kimidir:
CONFIDENCE.NORM(alfa;standart_off;ölçü)
"Alfa"— etimad səviyyəsini hesablamaq üçün istifadə olunan əhəmiyyət səviyyəsini göstərən arqument. Etibar səviyyəsi aşağıdakı ifadəyə bərabərdir:
(1-"Alfa")*100
« Standart sapma» - Bu arqumentdir, mahiyyəti adından bəllidir. Bu, təklif olunan nümunənin standart sapmasıdır.
"Ölçü"— nümunə ölçüsünü müəyyən edən arqument.
Bu operator üçün bütün arqumentlər tələb olunur.
Funksiya GÜVƏNİNəvvəlki ilə eyni arqumentlərə və imkanlara malikdir. Onun sintaksisi belədir:
TRUST(alfa, standart_off, ölçü)
Göründüyü kimi, fərqlər yalnız operatorun adındadır. Müəyyən edilmiş funksiya uyğunluq səbəbi ilə Excel 2010 və daha yeni versiyalarda xüsusi kateqoriyada qalıb "Uyğunluq". Excel 2007 və daha əvvəlki versiyalarında o, əsas statistik operatorlar qrupunda mövcuddur.
Etibar intervalının həddi aşağıdakı düsturla müəyyən edilir:
X+(-)GÜVƏN NORMASI
Harada X seçilmiş diapazonun ortasında yerləşən orta nümunə dəyəridir.
İndi konkret bir nümunədən istifadə edərək etimad intervalının necə hesablanacağına baxaq. Cədvəldə sadalanan müxtəlif nəticələrlə nəticələnən 12 sınaq aparıldı. Bu, bizim ümumiliyimizdir. Standart kənarlaşma 8-dir. Etibar intervalını 97% etibarlılıq səviyyəsində hesablamalıyıq.
- Məlumatın işlənməsinin nəticəsinin göstəriləcəyi xananı seçin. Düyməni basın "Funksiya daxil et".
- Görünür Funksiya Sihirbazı. Kateqoriyaya keçin "Statistika" və adını vurğulayın "TRUST.NORM". Bundan sonra, düyməni basın "TAMAM".
- Arqumentlər pəncərəsi açılır. Onun sahələri təbii olaraq arqumentlərin adlarına uyğun gəlir.
Kursoru birinci sahəyə qoyun - "Alfa". Burada əhəmiyyət səviyyəsini göstərməliyik. Xatırladığımız kimi, etibar səviyyəmiz 97% təşkil edir. Eyni zamanda, bunun belə hesablandığını dedik:(1-etibar səviyyəsi)/100
Yəni, dəyəri əvəz edərək, əldə edirik:
Sadə hesablamalarla arqumentin olduğunu öyrənirik "Alfa" bərabərdir 0,03 . Bu dəyəri sahəyə daxil edin.
Məlum olduğu kimi, şərtlə standart sapma bərabərdir 8 . Buna görə də sahədə "Standart sapma" sadəcə bu nömrəni yazın.
Sahədə "Ölçü" yerinə yetirilən test elementlərinin sayını daxil etməlisiniz. Xatırladığımız kimi, onların 12 . Ancaq düsturu avtomatlaşdırmaq və hər dəfə yeni bir sınaq keçirdikdə redaktə etməmək üçün bu dəyəri adi bir nömrə ilə deyil, operatordan istifadə edərək təyin edək. YOXLAYIN. Beləliklə, kursoru sahəyə yerləşdirək "Ölçü", və sonra düstur çubuğunun solunda yerləşən üçbucağın üzərinə klikləyin.
Son istifadə edilmiş funksiyaların siyahısı görünür. Əgər operator YOXLAYIN bu yaxınlarda istifadə etdiniz, bu siyahıda olmalıdır. Bu halda, sadəcə onun adına klikləmək lazımdır. Əks halda, tapmasanız, mətləbə keçin "Digər funksiyalar...".
- Artıq tanış biri görünür Funksiya Sihirbazı. Yenidən qrupa qayıdaq "Statistika". Orada adı vurğulayırıq "YOXLAYIN". Düyməni basın "TAMAM".
- Yuxarıdakı ifadə üçün arqumentlər pəncərəsi görünür. Bu funksiya müəyyən diapazonda rəqəmli dəyərləri ehtiva edən hüceyrələrin sayını hesablamaq üçün nəzərdə tutulmuşdur. Onun sintaksisi aşağıdakı kimidir:
COUNT(dəyər1,dəyər2,...)
Arqument qrupu "Dəyərlər" rəqəmli məlumatlarla doldurulmuş xanaların sayını hesablamaq istədiyiniz diapazona istinaddır. Ümumilikdə 255-ə qədər belə arqument ola bilər, lakin bizim vəziyyətimizdə yalnız birinə ehtiyacımız var.
Kursoru sahəyə qoyun "Dəyər1" və sol siçan düyməsini basıb saxlayın, vərəqdə kolleksiyamızı ehtiva edən diapazonu seçin. Sonra onun ünvanı sahədə göstəriləcək. Düyməni basın "TAMAM".
- Bundan sonra proqram hesablama aparacaq və nəticəni yerləşdiyi xanada göstərəcək. Bizim xüsusi vəziyyətimizdə formula belə görünürdü:
GÜVƏN NORMASI(0.03,8,SAYI(B2:B13))
Hesablamaların ümumi nəticəsi belə oldu 5,011609 .
- Ancaq bu hamısı deyil. Yadda saxladığımız kimi, etibarlılıq intervalı həddi hesablama nəticəsini seçmə ortadan əlavə edib çıxmaqla hesablanır. TRUST.NORM. Bu yolla etimad intervalının müvafiq olaraq sağ və sol sərhədləri hesablanır. Nümunə orta özü operatordan istifadə edərək hesablana bilər ORTA.
Bu operator seçilmiş ədədlər diapazonunun arifmetik ortasını hesablamaq üçün nəzərdə tutulmuşdur. Aşağıdakı olduqca sadə sintaksisə malikdir:
ORTA (rəqəm 1, 2 nömrə,…)
Arqument "Nömrə" ya ayrı ola bilər ədədi dəyər, və onları ehtiva edən hüceyrələrə və ya hətta bütün diapazonlara keçid.
Beləliklə, orta dəyərin hesablanmasının göstəriləcəyi xananı seçin və düyməni basın "Funksiya daxil et".
- Açılır Funksiya Sihirbazı. Kateqoriyaya qayıdırıq "Statistika" və siyahıdan ad seçin "ORTA". Həmişə olduğu kimi, düyməni basın "TAMAM".
- Arqumentlər pəncərəsi açılır. Kursoru sahəyə qoyun "Nömrə 1" və sol siçan düyməsini basıb saxlayın, bütün dəyərlər diapazonunu seçin. Sahədə koordinatlar göstərildikdən sonra düyməni basın "TAMAM".
- Ondan sonra ORTA vərəq elementində hesablama nəticəsini göstərir.
- Hesablama aparırıq sağ sərhəd etimad intervalı. Bunu etmək üçün ayrı bir hüceyrə seçin və işarə qoyun «=»
və funksiya hesablamalarının nəticələrinin yerləşdiyi vərəq elementlərinin məzmununu əlavə edin ORTA Və TRUST.NORM. Hesablamanı yerinə yetirmək üçün düyməni basın Daxil edin. Bizim vəziyyətimizdə aşağıdakı düstur aldıq:
Hesablama nəticəsi: 6,953276
- Eyni şəkildə güvən intervalının sol həddini hesablayırıq, yalnız bu dəfə hesablama nəticəsindən ORTA operator hesablamasının nəticəsini çıxarın TRUST.NORM. Nümunəmiz üçün ortaya çıxan düstur aşağıdakı növdür:
Hesablama nəticəsi: -3,06994
- Etibar intervalını hesablamaq üçün bütün addımları ətraflı təsvir etməyə çalışdıq, buna görə də hər bir düsturu ətraflı təsvir etdik. Ancaq bütün hərəkətləri bir formulada birləşdirə bilərsiniz. Etibar intervalının sağ sərhədinin hesablanması aşağıdakı kimi yazıla bilər:
ORTA(B2:B13)+GÜVƏN.NORMASI(0.03,8, SAYI(B2:B13))
- Sol sərhəd üçün oxşar hesablama belə görünür:
ORTA (B2:B13)-GÜVƏN.NORM (0.03,8, SAYI(B2:B13))
Metod 2: TRUSTED STUDENT funksiyası
Bundan əlavə, Excel inam intervalının hesablanması ilə əlaqəli başqa bir funksiyaya malikdir - Etibarlı.Tələbə. O, yalnız Excel 2010-da ortaya çıxdı. Bu operator Tələbə paylanmasından istifadə edərək əhalinin etibar intervalını hesablayır. Dispersiya və müvafiq olaraq standart sapma naməlum olduqda istifadə etmək çox rahatdır. Operator sintaksisi belədir:
CONFIDENCE.STUDENT(alfa,standart_off,ölçü)
Göründüyü kimi, bu halda operatorların adları dəyişməz qalıb.
Əvvəlki üsulda nəzərdən keçirdiyimiz eyni populyasiya nümunəsindən istifadə edərək naməlum standart sapma ilə etimad intervalının sərhədlərini necə hesablayacağımıza baxaq. Gəlin son dəfə 97% etibar səviyyəsini götürək.
- Hesablamanın aparılacağı xananı seçin. Düyməni basın "Funksiya daxil et".
- Açılanda Funksiya Sihirbazı kateqoriyaya keçin "Statistika". Bir ad seçin "Etibarlı TƏLƏBƏ". Düyməni basın "TAMAM".
- Göstərilən operator üçün arqumentlər pəncərəsi işə salınır.
Sahədə "Alfa", etimad səviyyəsinin 97% olduğunu nəzərə alsaq, rəqəmi yazırıq 0,03 . İkinci dəfə bu parametrin hesablanması prinsipləri üzərində dayanmayacağıq.
Bundan sonra kursoru sahəyə qoyun "Standart sapma". Bu dəfə bu göstərici bizə məlum deyil və hesablanmalıdır. Bu, xüsusi bir funksiyadan istifadə etməklə edilir - STDEV.V. Bu operatorun pəncərəsini açmaq üçün düsturlar sətrinin sol tərəfindəki üçbucağın üzərinə klikləyin. Açılan siyahıda istədiyiniz adı tapmasaq, elementə keçin "Digər funksiyalar...".
- başlayır Funksiya Sihirbazı. Kateqoriyaya keçid "Statistika" və içindəki adı qeyd edin "STDEV.B". Sonra düyməni basın "TAMAM".
- Arqumentlər pəncərəsi açılır. Operatorun vəzifəsi STDEV.V nümunənin standart kənarlaşmasını müəyyən etməkdir. Onun sintaksisi belə görünür:
STANDART QAYMA.B(nömrə1;rəqəm2;…)
Arqumentin olduğunu təxmin etmək çətin deyil "Nömrə" seçim elementinin ünvanıdır. Seçim bir massivdə yerləşdirilibsə, bu aralığa keçid təmin etmək üçün yalnız bir arqumentdən istifadə edə bilərsiniz.
Kursoru sahəyə qoyun "Nömrə 1" və həmişə olduğu kimi, sol siçan düyməsini basıb, kolleksiyanı seçin. Koordinatlar sahədə olduqdan sonra düyməni basmağa tələsməyin "TAMAM", çünki nəticə səhv olacaq. Əvvəlcə operator arqumentləri pəncərəsinə qayıtmalıyıq Etibarlı.Tələbə son arqumenti əlavə etmək üçün. Bunu etmək üçün düstur çubuğunda müvafiq adı vurun.
- Artıq tanış olan funksiya üçün arqument pəncərəsi yenidən açılır. Kursoru sahəyə qoyun "Ölçü". Yenə operatorların seçiminə keçmək üçün artıq tanış olduğumuz üçbucağın üzərinə klikləyin. Anladığınız kimi, bizə bir ad lazımdır "YOXLAYIN". İstifadə etdiyimizdən bu funksiyaəvvəlki üsulda hesablayarkən, bu siyahıda mövcuddur, ona görə də üzərinə klikləyin. Əgər tapmasanız, birinci üsulda təsvir olunan alqoritmə əməl edin.
- Bir dəfə arqumentlər pəncərəsində YOXLAYIN, kursoru sahəyə qoyun "Nömrə 1" və siçan düyməsini basılı tutaraq kolleksiyanı seçin. Sonra düyməni basın "TAMAM".
- Bundan sonra proqram hesablama aparır və inam intervalının dəyərini göstərir.
- Sərhədləri müəyyən etmək üçün yenidən nümunə ortasını hesablamalıyıq. Amma nəzərə alsaq ki, hesablama alqoritmi düsturdan istifadə edir ORTAəvvəlki üsulda olduğu kimi və hətta nəticə dəyişməyib, biz ikinci dəfə bu barədə ətraflı danışmayacağıq.
- Hesablama nəticələrinin əlavə edilməsi ORTA Və Etibarlı.Tələbə, etimad intervalının sağ sərhədini alırıq.
- Operatorun hesablama nəticələrindən çıxılması ORTA hesablama nəticəsi Etibarlı.Tələbə, etimad intervalının sol həddi var.
- Hesablama bir düsturla yazılıbsa, bizim vəziyyətimizdə sağ sərhədin hesablanması belə görünəcək:
ORTA(B2:B13)+GÜVƏN.TƏLƏBƏ(0.03,STDEV.B(B2:B13), COUNT(B2:B13))
- Buna görə, sol haşiyənin hesablanması düsturu belə görünəcək:
ORTA(B2:B13)-İNAM.TƏLƏBƏ(0.03,STDEV.B(B2:B13), COUNT(B2:B13))
Gördüyünüz kimi, alətlər Excel proqramları etimad intervalının və onun hüdudlarının hesablanmasını əhəmiyyətli dərəcədə sadələşdirməyə imkan verir. Bu məqsədlər üçün dispersiyaları məlum və naməlum olan nümunələr üçün ayrıca operatorlardan istifadə olunur.
Hədəf– tələbələrə statistik parametrlərin etibarlılıq intervallarının hesablanması alqoritmlərini öyrətmək.
Verilənlərin statistik işlənməsi zamanı hesablanmış arifmetik orta, variasiya əmsalı, korrelyasiya əmsalı, fərq meyarları və digər nöqtə statistikaları etimad intervalı daxilində göstəricinin daha kiçik və daha böyük istiqamətlərdə mümkün dalğalanmalarını göstərən kəmiyyət etibar hədlərini almalıdır.
Misal 3.1
.
Meymunların qan serumunda kalsiumun paylanması, əvvəllər müəyyən edildiyi kimi, aşağıdakı nümunə göstəriciləri ilə xarakterizə olunur: = 11,94 mq%; 
= 0,127 mq%; n= 100. Ümumi orta üçün etimad intervalını müəyyən etmək tələb olunur ( 
) inamlı ehtimalla P
= 0,95.
Ümumi orta müəyyən bir ehtimalla intervalda yerləşir:
, Harada 
– nümunə arifmetik orta; t- Tələbə imtahanı; 
– orta hesab xətası.
“Tələbənin t-test dəyərləri” cədvəlindən istifadə edərək dəyəri tapırıq
0,95 əminlik ehtimalı və sərbəstlik dərəcələrinin sayı ilə k= 100-1 = 99. 1,982-yə bərabərdir. Arifmetik orta və statistik xətanın dəyərləri ilə birlikdə onu düsturla əvəz edirik:
və ya 11.69 
12,19
Beləliklə, 95% ehtimalla bu normal paylanmanın ümumi ortalamasının 11,69 ilə 12,19 mq% arasında olduğunu ifadə etmək olar.
Misal 3.2
. üçün 95% etimad intervalının sərhədlərini təyin edin ümumi variasiya (
) kalsiumun meymunların qanında paylanması, əgər məlumdursa 
= 1.60, at n
= 100.
Problemi həll etmək üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edə bilərsiniz:
Harada 
– dispersiyanın statistik xətası.
Düsturdan istifadə edərək seçmə dəyişmə xətasını tapırıq: 
. 0,11-ə bərabərdir. Məna t- etibarlılıq ehtimalı 0,95 və sərbəstlik dərəcələrinin sayı olan meyar k= 100–1 = 99 əvvəlki misaldan məlumdur.
Düsturdan istifadə edək və əldə edək:
və ya 1.38 
1,82
Daha dəqiq desək, ümumi dispersiyaya inam intervalı istifadə etməklə qurula bilər 
(xi-kvadrat) - Pearson testi. Bu meyar üçün kritik nöqtələr xüsusi cədvəldə verilmişdir. Kriteriyadan istifadə edərkən 
Etibar intervalını qurmaq üçün ikitərəfli əhəmiyyət səviyyəsindən istifadə olunur. Aşağı hədd üçün əhəmiyyət səviyyəsi düsturdan istifadə etməklə hesablanır 
, üst üçün - 
. Məsələn, etimad səviyyəsi üçün 
=
0,99
= 0,010,
= 0,990. Müvafiq olaraq, kritik dəyərlərin paylanması cədvəlinə görə 
, hesablanmış inam səviyyələri və sərbəstlik dərəcələrinin sayı ilə k= 100 – 1= 99, qiymətləri tapın 
Və 
. alırıq 
135,80-ə bərabərdir və 
70.06-a bərabərdir.
Istifadə edərək ümumi variasiya üçün etibarlılıq hədlərini tapmaq 
Düsturlardan istifadə edək: aşağı sərhəd üçün 
, yuxarı sərhəd üçün 
. Tapılan dəyərləri problem məlumatları ilə əvəz edək 
düsturlara: 
=
1,17;
= 2.26. Beləliklə, bir güvən ehtimalı ilə P= 0,99 və ya 99% ümumi dispersiya 1,17 ilə 2,26 mq% daxil olmaqla diapazonda olacaq.
Misal 3.3 . Liftə daxil olan partiyadan 1000 buğda toxumu arasında 120 toxumda erqota yoluxma aşkar edilib. Verilmiş buğda partiyasında yoluxmuş toxumların ümumi nisbətinin ehtimal olunan sərhədlərini müəyyən etmək lazımdır.
Aşağıdakı düsturdan istifadə edərək ümumi payın bütün mümkün dəyərləri üçün etimad hədlərini müəyyən etmək məsləhətdir:
,
Harada n - müşahidələrin sayı; m– qruplardan birinin mütləq ölçüsü; t- normallaşdırılmış sapma.
Yoluxmuş toxumların nümunə nisbəti 
və ya 12%. Etibarlı ehtimalla R= 95% normallaşdırılmış sapma ( t- Tələbə imtahanı k
=
)t
= 1,960.
Mövcud məlumatları düsturla əvəz edirik:
Beləliklə, etimad intervalının sərhədləri bərabərdir 
= 0,122–0,041 = 0,081 və ya 8,1%; 
= 0,122 + 0,041 = 0,163 və ya 16,3%.
Beləliklə, 95% əminliklə demək olar ki, yoluxmuş toxumların ümumi nisbəti 8,1 ilə 16,3% arasındadır.
Misal 3.4 . Meymunların qan zərdabında kalsiumun (mq%) dəyişməsini xarakterizə edən variasiya əmsalı 10,6%-ə bərabər olmuşdur. Nümunə ölçüsü n= 100. Ümumi parametr üçün 95% inam intervalının sərhədlərini müəyyən etmək lazımdır. CV.
Ümumi dəyişmə əmsalı üçün inam intervalının hədləri CV aşağıdakı düsturlarla müəyyən edilir:
Və 
, Harada K
düsturla hesablanan aralıq qiymət 
.
Ehtimalla bunu bilmək R= 95% normallaşdırılmış sapma (Tələbə testi k
=
)t
= 1.960, gəlin əvvəlcə dəyəri hesablayaq KİMƏ:
.
və ya 9,3%
və ya 12,3%
Beləliklə, 95% etibarlılıq səviyyəsi ilə ümumi dəyişmə əmsalı 9,3 ilə 12,3% arasındadır. Təkrar nümunələrlə, dəyişmə əmsalı 12,3%-dən çox olmayacaq və 100-dən 95 halda 9,3%-dən aşağı olmayacaq.
Özünə nəzarət üçün suallar:
Müstəqil həll üçün problemlər.
1. Xolmogori melez inəklərin laktasiya dövründə süddə yağın orta faizi aşağıdakı kimi olmuşdur: 3,4; 3.6; 3.2; 3.1; 2.9; 3.7; 3.2; 3.6; 4.0; 3.4; 4.1; 3.8; 3.4; 4.0; 3.3; 3.7; 3.5; 3.6; 3.4; 3.8. 95% etibarlılıq səviyyəsində ümumi orta üçün etimad intervallarını təyin edin (20 bal).
2. 400 hibrid çovdar bitkisində ilk çiçəklər əkindən orta hesabla 70,5 gün sonra yaranıb. Standart sapma 6,9 gün idi. Əhəmiyyət səviyyəsində ümumi orta və dispersiya üçün orta və etibarlılıq intervallarının xətasını müəyyən edin W= 0,05 və W= 0,01 (25 xal).
3. Bağ çiyələklərinin 502 nümunəsinin yarpaqlarının uzunluğu öyrənilərkən aşağıdakı məlumatlar əldə edilmişdir:
= 7,86 sm; σ = 1,32 sm, 
=± 0,06 sm 0,01 əhəmiyyətlilik səviyyələri ilə arifmetik ortalama üçün etibarlılıq intervallarını təyin edin; 0,02; 0.05. (25 xal).
4. 150 yetkin kişi üzərində aparılan araşdırmada orta boy 167 sm idi və σ = 6 sm. Etibarlılıq ehtimalı 0,99 və 0,95 olan ümumi orta və ümumi dispersiyanın hədləri nədir? (25 xal).
5. Meymunların qan zərdabında kalsiumun paylanması aşağıdakı selektiv göstəricilərlə xarakterizə olunur:
= 11,94 mq%, σ
= 1,27, n
= 100. Bu paylanmanın ümumi orta dəyəri üçün 95% inam intervalını qurun. Variasiya əmsalını hesablayın (25 bal).
6. Öyrənilmişdir ümumi məzmun 37 və 180 günlük albinos siçovullarının qan plazmasında azot. Nəticələr 100 sm 3 plazma üçün qramla ifadə edilir. 37 günlük 9 siçovulda: 0,98; 0,83; 0,99; 0,86; 0,90; 0,81; 0,94; 0,92; 0,87. 180 günlük yaşda 8 siçovulda: 1.20; 1.18; 1.33; 1.21; 1.20; 1,07; 1.13; 1.12. Fərq üçün etimad intervallarını 0,95 (50 bal) etibar səviyyəsində təyin edin.
7. Meymunların qan zərdabında kalsiumun (mq%) paylanmasının ümumi dispersiyasının 95%-lik inam intervalının sərhədlərini müəyyən edin, əgər bu paylanma üçün nümunənin ölçüsü n = 100 olarsa, nümunə dispersiyasının statistik xətası. s σ 2 = 1.60 (40 xal).
8. 40 buğda sünbülcüklərinin uzunluq üzrə paylanmasının ümumi dispersiyasının (σ 2 = 40,87 mm 2) 95%-lik inam intervalının sərhədlərini müəyyən edin. (25 xal).
9. Siqaret çəkmə obstruktiv ağciyər xəstəliklərinə meyl yaradan əsas amil hesab olunur. Passiv siqaret çəkmə belə amil hesab edilmir. Alimlər passiv siqaretin zərərsizliyinə şübhə ilə yanaşdılar və keçiriciliyi araşdırdılar tənəffüs sistemi siqaret çəkməyənlərdə, passiv və aktiv siqaret çəkənlərdə. Tənəffüs yollarının vəziyyətini xarakterizə etmək üçün funksiya göstəricilərindən birini götürdük xarici tənəffüs– maksimum orta ekspiratuar axın sürəti. Bu göstəricinin azalması tənəffüs yollarının tıxanmasının əlamətidir. Anket məlumatları cədvəldə göstərilmişdir.
|
Müayinə olunanların sayı |
Maksimum orta ekspiratuar axın sürəti, l/s |
||
|
Standart sapma |
|||
|
Siqaret çəkməyənlər |
|||
|
siqaret çəkilməyən ərazidə işləmək | |||
|
dumanlı otaqda işləmək | |||
|
Siqaret çəkmək |
|||
|
az sayda siqaret çəkmək | |||
|
siqaret çəkənlərin orta sayı | |||
|
çoxlu sayda siqaret çəkmək | |||
Cədvəl məlumatlarından istifadə edərək, hər bir qrup üçün ümumi orta və ümumi variasiya üçün 95% etimad intervallarını tapın. Qruplar arasında hansı fərqlər var? Nəticələri qrafik şəkildə təqdim edin (25 xal).
10. Nümunə dispersiyasının statistik xətası 64 cücələrdəki donuz balalarının sayında ümumi dispersiya üçün 95% və 99% inam intervallarının sərhədlərini müəyyən edin. s σ 2 = 8,25 (30 xal).
11. Dovşanların orta çəkisinin 2,1 kq olduğu məlumdur. Ümumi orta və dispersiya üçün 95% və 99% etibar intervallarının sərhədlərini müəyyən edin. n= 30, σ = 0,56 kq (25 xal).
12. Başın taxıl tərkibi 100 sünbül üçün ölçüldü ( X), qulaq uzunluğu ( Y) və sünbüldəki taxıl kütləsi ( Z). Ümumi orta və dispersiya üçün inam intervallarını tapın P 1
= 0,95, P 2
= 0,99, P 3
= 0.999 əgər
= 19, = 6,766 sm, = 0,554 q; σ x 2 = 29,153, σ y 2 = 2. 111, σ z 2 = 0. 064. (25 xal).
13. Payızlıq buğdanın təsadüfi seçilmiş 100 sünbüldə sünbülcüklərin sayı sayılır. Nümunə kütləsi aşağıdakı göstəricilərlə xarakterizə olunur:
= 15 spikelet və σ = 2,28 ədəd. Orta nəticənin hansı dəqiqliklə alındığını müəyyənləşdirin ( 
) və 95% və 99% əhəmiyyətlilik səviyyələrində (30 bal) ümumi orta və variasiya üçün etimad intervalı qurun.
14. Fosil mollyuska qabıqlarında qabırğaların sayı Ortambonitlər kalliqramma:
Məlumdur ki n = 19, σ = 4.25. Əhəmiyyət səviyyəsində ümumi orta və ümumi dispersiya üçün etimad intervalının sərhədlərini müəyyən edin W = 0,01 (25 xal).
15. Əmtəəlik südçülük fermasında süd məhsuldarlığını təyin etmək üçün gündəlik 15 baş inəyin məhsuldarlığı müəyyən edilmişdir. İlin məlumatlarına görə, hər inək gündə orta hesabla aşağıdakı miqdarda süd verir (l): 22; 19; 25; 20; 27; 17; otuz; 21; 18; 24; 26; 23; 25; 20; 24. Ümumi dispersiya və arifmetik orta üçün etimad intervallarını qurun. Hər inəkdən orta illik süd məhsuldarlığının 10.000 litr olmasını gözləmək olarmı? (50 xal).
16. Kənd təsərrüfatı müəssisəsi üzrə orta buğda məhsuldarlığını müəyyən etmək üçün 1, 3, 2, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 11 və 2 hektar sınaq sahələrində biçin aparılmışdır. Sahələrdən məhsuldarlıq (c/ha) 39,4; 38; 35,8; 40; 35; 42,7; 39.3; 41,6; 33; 42; müvafiq olaraq 29. Ümumi dispersiya və arifmetik orta üçün etimad intervalları qurun. Kənd təsərrüfatının orta məhsuldarlığının 42 sent/ha olacağını gözləmək olarmı? (50 xal).
Etibar intervalı bizə statistika sahəsindən gəlir. Bu, yüksək etibarlılıq dərəcəsi ilə naməlum bir parametri qiymətləndirməyə xidmət edən müəyyən bir diapazondur. Bunu izah etməyin ən asan yolu bir nümunədir.
Tutaq ki, bəzi təsadüfi dəyişəni, məsələn, serverin müştəri sorğusuna cavab sürətini öyrənmək lazımdır. İstifadəçi hər dəfə konkret saytın ünvanını yazdıqda, server müxtəlif sürətlərdə cavab verir. Beləliklə, tədqiq olunan cavab müddəti təsadüfi olur. Beləliklə, etimad intervalı bu parametrin sərhədlərini müəyyən etməyə imkan verir və sonra 95% ehtimalla serverin hesabladığımız diapazonda olacağını deyə bilərik.
Yaxud da neçə nəfərin bu haqda məlumatlı olduğunu öyrənməlisiniz ticarət nişanışirkətlər. Etibar intervalı hesablandıqda, məsələn, 95% ehtimalla bundan xəbərdar olan istehlakçıların payının 27% -dən 34% -ə qədər olduğunu söyləmək mümkün olacaq.
Kəmiyyət bu terminlə sıx bağlıdır güvən ehtimalı. İstədiyiniz parametrin etibarlılıq intervalına daxil olma ehtimalını təmsil edir. İstədiyimiz diapazonun nə qədər böyük olacağı bu dəyərdən asılıdır. Aldığı dəyər nə qədər böyükdürsə, etimad intervalı da bir o qədər daralır və əksinə. Tipik olaraq 90%, 95% və ya 99% olaraq təyin olunur. 95% dəyəri ən populyardır.
Bu göstərici həm də müşahidələrin dağılmasından təsirlənir və onun tərifi tədqiq olunan xarakteristikanın tabe olduğu fərziyyəsinə əsaslanır. Onun fikrincə, normal, ehtimal sıxlığı ilə təsvir edilə bilən fasiləsiz təsadüfi kəmiyyətin bütün ehtimallarının paylanmasıdır. haqqında fərziyyə varsa normal paylanma səhv olduğu ortaya çıxdı, qiymətləndirmə səhv ola bilər.
Əvvəlcə etimad intervalının necə hesablanacağını anlayaq. Burada iki mümkün hal var. Dispersiya (təsadüfi dəyişənin yayılma dərəcəsi) məlum ola bilər və ya olmaya da bilər. Əgər məlumdursa, onda inam intervalımız aşağıdakı düsturla hesablanır:
xsr - t*σ / (sqrt(n))<= α <= хср + t*σ / (sqrt(n)), где
α - işarə,
t - Laplace paylama cədvəlindən parametr,
σ dispersiyanın kvadrat köküdür.
Dispersiya naməlumdursa, istənilən xüsusiyyətin bütün dəyərlərini bildiyimiz təqdirdə hesablana bilər. Bunu etmək üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edin:
σ2 = х2ср - (хср)2, burada
х2ср - tədqiq olunan xarakteristikanın kvadratlarının orta qiyməti,
(хср)2 bu xarakteristikanın kvadratıdır.
Bu halda etimad intervalının hesablandığı düstur bir qədər dəyişir:
xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n)), где
xsr - nümunə orta,
α - işarə,
t Tələbə paylama cədvəlindən istifadə edərək tapılan parametrdir t = t(ɣ;n-1),
sqrt(n) - ümumi nümunə ölçüsünün kvadrat kökü,
s dispersiyanın kvadrat köküdür.
Bu misalı nəzərdən keçirək. Tutaq ki, 7 ölçmənin nəticələrinə əsasən tədqiq olunan xarakteristikanın 30-a, seçmə dispersiyasının isə 36-ya bərabər olması müəyyən edilmişdir. 99% ehtimalı ilə həqiqi olanı ehtiva edən inam intervalını tapmaq lazımdır. ölçülmüş parametrin dəyəri.
Əvvəlcə t-nin nəyə bərabər olduğunu müəyyən edək: t = t (0,99; 7-1) = 3,71. Yuxarıdakı düsturdan istifadə edərək əldə edirik:
xsr - t*s / (sqrt(n))<= α <= хср + t*s / (sqrt(n))
30 - 3,71*36 / (sqrt(7))<= α <= 30 + 3.71*36 / (sqrt(7))
21.587 <= α <= 38.413
Dispersiya üçün etimad intervalı həm məlum orta, həm də riyazi gözləntiyə dair heç bir məlumat olmadıqda hesablanır və yalnız dispersiyanın nöqtə qərəzsiz qiymətləndirilməsinin dəyəri məlumdur. Burada onu hesablamaq üçün düsturlar verməyəcəyik, çünki onlar olduqca mürəkkəbdir və istəsən, həmişə İnternetdə tapıla bilər.
Yalnız qeyd edək ki, Excel və ya bu şəkildə adlandırılan bir şəbəkə xidmətindən istifadə edərək etibarlılıq intervalını təyin etmək rahatdır.
