Ev Kaplanmış dil a nöqtəsinə simmetrik olan nöqtəni tapın. Xətt üzərində simmetrik nöqtəni necə tapmaq olar

Kaplanmış dil

a nöqtəsinə simmetrik olan nöqtəni tapın. Xətt üzərində simmetrik nöqtəni necə tapmaq olar

Bizə xətti tənliklə təyin olunan müəyyən düz xətt və onun koordinatları (x0, y0) ilə təyin olunan və bu xətt üzərində olmayan bir nöqtə verilsin. Verilmiş düz xətt üzrə verilmiş nöqtəyə simmetrik olacaq, yəni müstəvi bu düz xətt boyunca əqli olaraq yarıya qədər əyilmişsə, onunla üst-üstə düşəcək bir nöqtə tapmaq tələb olunur.

Təlimatlar

1. Aydındır ki, hər iki nöqtə - verilən və arzu olunan - eyni xətt üzərində yerləşməlidir və bu xətt verilmiş birinə perpendikulyar olmalıdır. Beləliklə, məsələnin birinci hissəsi hansısa verilmiş xəttə perpendikulyar olacaq və eyni zamanda verilmiş nöqtədən keçən xəttin tənliyini tapmaqdır.

2. Düz xətt iki yolla müəyyən edilə bilər. Xəttin kanonik tənliyi belə görünür: Ax + By + C = 0, burada A, B və C sabitlərdir. Siz həmçinin istifadə edərək düz xətt təyin edə bilərsiniz xətti funksiya: y = kx + b, burada k - bucaq göstəricisi, b - yerdəyişmə Bu iki üsul bir-birini əvəz edir və bir-birindən digərinə keçmək mümkündür. Əgər Axe + By + C = 0, onda y = – (Ax + C)/B. Başqa sözlə, y = kx + b xətti funksiyasında bucaq göstəricisi k = -A/B, yerdəyişmə isə b = -C/B olur. Əldə olan vəzifə üçün əsaslanaraq düşünmək daha rahatdır kanonik tənlik düz.

3. Əgər iki xətt bir-birinə perpendikulyardırsa və birinci xəttin tənliyi Ax + By + C = 0 olarsa, 2-ci xəttin tənliyi Bx – Ay + D = 0 kimi görünməlidir, burada D sabitdir. D-nin müəyyən qiymətini aşkar etmək üçün perpendikulyar xəttin hansı nöqtədən keçdiyini əlavə olaraq bilmək lazımdır. IN bu halda bu nöqtədir (x0, y0) nəticədə D bərabərliyi təmin etməlidir: Bx0 – Ay0 + D = 0, yəni D = Ay0 – Bx0.

4. Perpendikulyar xətt aşkar edildikdən sonra onun verilmiş nöqtə ilə kəsişmə nöqtəsinin koordinatlarını hesablamaq lazımdır. Bunun üçün sistemi həll etməliyik xətti tənliklər:Ax + By + C = 0,Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Onun həlli xətlərin kəsişmə nöqtəsinin koordinatları rolunu oynayan (x1, y1) ədədlərini verəcəkdir.

5. İstənilən nöqtə aşkar edilmiş xətt üzərində uzanmalı və onun kəsişmə nöqtəsinə olan məsafəsi kəsişmə nöqtəsindən nöqtəyə (x0, y0) qədər olan məsafəyə bərabər olmalıdır. Beləliklə (x0, y0) nöqtəsinə simmetrik olan nöqtənin koordinatlarını tənliklər sistemini həll etməklə tapmaq olar: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Ancaq bunu daha asan edə bilərsiniz. Əgər (x0, y0) və (x, y) nöqtələri (x1, y1) nöqtəsindən bərabər məsafədədirsə və hər üç nöqtə eyni düz xətt üzərində yerləşirsə, onda: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0 deməli, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Bu dəyərləri birinci sistemin ikinci tənliyinə əvəz etməklə və ifadələri sadələşdirərək, onun sağ tərəfinin sol tərəflə eyni olmasına əmin olmaq asandır. Bundan əlavə, birinci tənliyi daha sonra nəzərdən keçirməyin mənası yoxdur, çünki (x0, y0) və (x1, y1) nöqtələrinin onu təmin etdiyi və (x, y) nöqtəsinin açıq şəkildə eyni xətt üzərində yerləşdiyi məlumdur. .

Tapşırıq düz xəttə nisbətən nöqtəyə simmetrik olan nöqtənin koordinatlarını tapmaqdır . Mən addımları özünüz yerinə yetirməyi təklif edirəm, lakin həll alqoritmini ara nəticələrlə təsvir edəcəyəm:

1) Xəttə perpendikulyar olan xətti tapın.

2) Xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapın: .

Hər iki hərəkət bu dərsdə ətraflı müzakirə olunur.

3) Nöqtə seqmentin orta nöqtəsidir. Biz orta və uclardan birinin koordinatlarını bilirik. By seqmentin orta nöqtəsinin koordinatları üçün düsturlar Biz tapdıq .

Məsafənin də 2,2 vahid olduğunu yoxlamaq yaxşı olardı.

Burada hesablamalarda çətinliklər yarana bilər, lakin mikrokalkulyator qüllədə böyük köməkdir, hesablamağa imkan verir. adi fraksiyalar. Mən sizə dəfələrlə məsləhət vermişəm və yenə də tövsiyə edəcəyəm.

İki paralel xətt arasındakı məsafəni necə tapmaq olar?

Misal 9

İki paralel xətt arasındakı məsafəni tapın

Bu başqa bir nümunədir müstəqil qərar. Mən sizə bir az ipucu verəcəyəm: bunu həll etməyin sonsuz bir çox yolu var. Dərsin sonunda brifinq, amma özünüz üçün təxmin etməyə çalışmaq daha yaxşıdır, düşünürəm ki, ixtiranız yaxşı inkişaf etmişdir.

İki düz xətt arasındakı bucaq

Hər künc bir tıxacdır:

Həndəsədə iki düz xətt arasındakı bucaq DAHA KİÇİ bucaq kimi qəbul edilir və ondan avtomatik nəticə çıxarır ki, o, geniş ola bilməz. Şəkildə qırmızı qövslə göstərilən bucaq kəsişən xətlər arasındakı bucaq hesab edilmir. Və onun "yaşıl" qonşusu və ya əks yönümlüdür"moruq" küncü.

Əgər xətlər perpendikulyardırsa, onda 4 bucaqdan hər hansı birini aralarındakı bucaq kimi qəbul etmək olar.

Bucaqlar necə fərqlidir? Orientasiya. Birincisi, bucağın "sürüşdüyü" istiqamət əsaslıdır. İkincisi, mənfi yönümlü bucaq mənfi işarə ilə yazılır, məsələn, əgər .

Bunu sənə niyə dedim? Görünür, biz adi bucaq anlayışı ilə başa düşə bilərik. Fakt budur ki, bucaqları tapacağımız düsturlar asanlıqla mənfi nəticə ilə nəticələnə bilər və bu sizi təəccübləndirməməlidir. Mənfi işarəsi olan bucaq daha pis deyil və çox spesifikdir həndəsi məna. Rəsmdə mənfi bir bucaq üçün onun istiqamətini oxla (saat istiqamətində) göstərməyi unutmayın.

İki düz xətt arasındakı bucağı necə tapmaq olar?İki iş düsturu var:

Misal 10

Xətlər arasındakı bucağı tapın

Həll Və Birinci üsul

-dəki tənliklərlə verilmiş iki düz xətti nəzərdən keçirin ümumi görünüş:

Düzdürsə perpendikulyar deyil, Bu yönümlü Aralarındakı bucaq düsturla hesablana bilər:

Məxrəcə çox diqqət yetirək - bu dəqiqdir skalyar məhsul düz xətlərin yönləndirici vektorları:

Əgər , onda düsturun məxrəci sıfıra çevrilir və vektorlar ortoqonal, xətlər isə perpendikulyar olacaqdır. Məhz buna görə də düsturda düz xətlərin qeyri-perpendikulyarlığı ilə bağlı qeyd-şərt qoyulmuşdur.

Yuxarıda göstərilənlərə əsasən, həlli iki mərhələdə rəsmiləşdirmək rahatdır:

1) Xətlərin istiqamət vektorlarının skalyar hasilini hesablayaq:

2) Düsturdan istifadə edərək düz xətlər arasındakı bucağı tapın:

Tərs funksiyadan istifadə edərək bucağın özünü tapmaq asandır. Bu vəziyyətdə, arktangentin qəribəliyindən istifadə edirik (bax. Qrafiklər və Xüsusiyyətlər elementar funksiyalar ):

Cavab verin:

Cavabda qeyd edirik dəqiq qiymət, həmçinin kalkulyatordan istifadə etməklə hesablanmış təxmini dəyər (tercihen həm dərəcələrdə, həm də radyanlarda).

Yaxşı, mənfi, mənfi, böyük bir şey deyil. Budur həndəsi təsvir:

Təəccüblü deyil ki, bucağın mənfi yönlü olduğu ortaya çıxdı, çünki problemin ifadəsində birinci nömrə düz xəttdir və bucağın “açılması” məhz onunla başlamışdır.

Əgər həqiqətən müsbət bucaq əldə etmək istəyirsinizsə, xətləri dəyişdirməlisiniz, yəni ikinci tənlikdən əmsalları götürməlisiniz. , və birinci tənlikdən əmsalları götürün. Bir sözlə, birbaşa ilə başlamaq lazımdır .

Gizlətməyəcəyəm, düz xətləri özüm sıra ilə seçirəm ki, bucaq müsbət olsun. Daha gözəldir, amma başqa heç nə yoxdur.

Həllinizi yoxlamaq üçün bir iletki götürüb bucağı ölçə bilərsiniz.

İkinci üsul

Düz xətlər yamaclı tənliklərlə verilirsə və perpendikulyar deyil, Bu yönümlü Aralarındakı bucağı düsturla tapmaq olar:

Xətlərin perpendikulyarlıq şərti bərabərliklə ifadə edilir ki, ondan yeri gəlmişkən, perpendikulyar xətlərin bucaq əmsalları arasında çox faydalı əlaqə yaranır: bəzi məsələlərdə istifadə olunur.

Həll alqoritmi əvvəlki paraqrafa bənzəyir. Ancaq əvvəlcə düz xətlərimizi tələb olunan formada yenidən yazaq:

Beləliklə, yamaclar:

1) Xətlərin perpendikulyar olub olmadığını yoxlayaq:
, yəni xətlər perpendikulyar deyil.

2) Düsturdan istifadə edin:

Cavab verin:

Düz xətlərin tənlikləri ilkin olaraq bucaq əmsalı ilə təyin edildikdə ikinci üsuldan istifadə etmək məqsədəuyğundur. Qeyd etmək lazımdır ki, ən azı bir düz xətt ordinat oxuna paraleldirsə, düstur ümumiyyətlə tətbiq edilmir, çünki belə düz xətlər üçün yamac müəyyən edilmir (bax. Müstəvidə düz xəttin tənliyi).

Üçüncü bir həll yolu var. İdeya dərsdə müzakirə olunan düsturdan istifadə edərək xətlərin istiqamət vektorları arasındakı bucağı hesablamaqdır Vektorların nöqtə hasili:

Burada artıq istiqamətlənmiş bir bucaqdan danışırıq, ancaq "yalnız bir bucaq" haqqında danışırıq, yəni nəticə mütləq müsbət olacaqdır. Tutmaq odur ki, siz küt bucaqla nəticələnə bilərsiniz (lazım olanı deyil). Bu vəziyyətdə, düz xətlər arasındakı bucağın daha kiçik bir bucaq olduğunu qeyd etməli və nəticədə qövs kosinusunu "pi" radyanlarından (180 dərəcə) çıxarmalı olacaqsınız.

Arzu edənlər problemi üçüncü yolla həll edə bilərlər. Ancaq yenə də geniş yayılmış olduğu üçün birinci yanaşmaya yönəlmiş bucaqla yapışmağı məsləhət görürəm.

Misal 11

Xətlər arasındakı bucağı tapın.

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Bunu iki yolla həll etməyə çalışın.

Nağıl nədənsə yolda söndü... Çünki ölməz Kaşchey yoxdur. Mən varam və mən xüsusilə buxarlanmıram. Düzünü desəm, məqalənin daha uzun olacağını düşündüm. Ancaq yenə də yeni aldığım papağımı və eynəyimi götürüb sentyabr gölünün suyunda çimməyə gedəcəm. Yorğunluğu və mənfi enerjini mükəmməl şəkildə aradan qaldırır.

Əvvəl tezliklə görüşərik!

Və unutmayın, Baba Yaga ləğv edilməyib =)

Həll və cavablar:

Misal 3:Həll : Xəttin istiqamət vektorunu tapaq :

Nöqtədən istifadə edərək istədiyiniz xəttin tənliyini tərtib edək və istiqamət vektoru . İstiqamət vektorunun koordinatlarından biri sıfır olduğundan, tənlik. formada yenidən yazaq:

Cavab verin :

Misal 5:Həll :
1) Xəttin tənliyi iki nöqtəni təşkil edək :

2) Xəttin tənliyi iki nöqtəni təşkil edək :

3) Dəyişənlər üçün uyğun əmsallar mütənasib deyil: , yəni xətlərin kəsişməsi deməkdir.
4) Bir nöqtə tapın :

Qeyd : burada sistemin birinci tənliyi 5-ə vurulur, sonra 2-ci 1-ci tənlikdən həd-həd çıxarılır.
Cavab verin :

Oh-oh-oh-oh-oh... yaxşı, çətindi, sanki özünə bir cümlə oxuyurdu =) Ancaq istirahət sonradan kömək edəcək, xüsusən də bu gündən uyğun aksesuarları aldım. Ona görə də birinci bölməyə keçək, ümid edirəm ki, məqalənin sonuna kimi şən əhval-ruhiyyəni qoruyacağam.

İki düz xəttin nisbi mövqeyi

Bu, tamaşaçıların xorla oxuduğu zaman olur. İki düz xətt ola bilər:

1) uyğunluq;

2) paralel olsun: ;

3) və ya bir nöqtədə kəsişir: .

Dumilər üçün kömək : Riyazi kəsişmə işarəsini xatırlayın, çox tez-tez görünəcək. Qeyd, xəttin nöqtədəki xətt ilə kəsişdiyini bildirir.

İki xəttin nisbi mövqeyini necə təyin etmək olar?

Birinci halda başlayaq:

İki xətt yalnız və yalnız onların müvafiq əmsalları mütənasib olduqda üst-üstə düşür, yəni bərabərliklərin təmin olunduğu bir ədəd “lambda” var

Düz xətləri nəzərdən keçirək və müvafiq əmsallardan üç tənlik yaradaq: . Hər bir tənlikdən belə çıxır ki, bu xətlər üst-üstə düşür.

Həqiqətən, əgər tənliyin bütün əmsalları –1-ə (işarələri dəyişdirin) və tənliyin bütün əmsallarını vurun 2-yə kəsildikdə, eyni tənliyi alırsınız: .

İkinci hal, xətlər paralel olduqda:

Dəyişənlərin əmsalları mütənasib olduqda iki xətt paraleldir: , Amma.

Nümunə olaraq iki düz xətti nəzərdən keçirək. Dəyişənlər üçün müvafiq əmsalların mütənasibliyini yoxlayırıq:

Bununla belə, tamamilə aydındır.

Üçüncü hal, xətlər kəsişdikdə:

İki xətt yalnız və yalnız dəyişənlərin əmsalları mütənasib olmadıqda kəsişir, yəni “lambda”nın elə bir dəyəri YOXDUR ki, bərabərliklər təmin olunsun

Beləliklə, düz xətlər üçün bir sistem yaradacağıq:

Birinci tənlikdən belə çıxır ki, , ikinci tənlikdən isə: , deməkdir sistem uyğunsuzdur(həll yoxdur). Beləliklə, dəyişənlərin əmsalları mütənasib deyil.

Nəticə: xətlər kəsişir

Praktik problemlərdə siz indicə müzakirə olunan həll sxemindən istifadə edə bilərsiniz. Yeri gəlmişkən, bu, sinifdə baxdığımız vektorların kollinearlığını yoxlamaq alqoritmini çox xatırladır. Vektorların xətti (in) asılılığı anlayışı. Vektorların əsasları. Ancaq daha sivil bir qablaşdırma var:

Misal 1

Anlamaq üçün qarşılıqlı tənzimləmə birbaşa:

Həll düz xətlərin istiqamətləndirici vektorlarının öyrənilməsinə əsaslanaraq:

a) Tənliklərdən xətlərin istiqamət vektorlarını tapırıq: .

, bu o deməkdir ki, vektorlar kollinear deyil və xətlər kəsişir.

Hər halda, yol ayrıcında işarələri olan bir daş qoyacağam:

Qalanlar daşın üstündən tullanır və düz Ölümsüz Kaşçeyə doğru irəliləyirlər =)

b) Xətlərin istiqamət vektorlarını tapın:

Xətlər eyni istiqamət vektoruna malikdir, yəni ya paralel, ya da üst-üstə düşür. Burada determinantı saymağa ehtiyac yoxdur.

Aydındır ki, naməlumların əmsalları mütənasibdir və .

Bərabərliyin doğru olub olmadığını öyrənək:

Beləliklə,

c) Xətlərin istiqamət vektorlarını tapın:

Bu vektorların koordinatlarından ibarət determinantı hesablayaq:
, buna görə də istiqamət vektorları kollineardır. Xətlər ya paralel, ya da üst-üstə düşür.

“Lambda” mütənasiblik əmsalı birbaşa kollinear istiqamət vektorlarının nisbətindən asanlıqla görmək olar. Bununla belə, bunu tənliklərin öz əmsalları vasitəsilə də tapmaq olar: .

İndi bərabərliyin doğru olub olmadığını öyrənək. Hər iki pulsuz şərt sıfırdır, buna görə də:

Alınan dəyər bu tənliyi təmin edir (ümumiyyətlə istənilən ədəd onu təmin edir).

Beləliklə, xətlər üst-üstə düşür.

Cavab verin:

Çox tezliklə şifahi olaraq müzakirə olunan problemi bir neçə saniyə ərzində həll etməyi öyrənəcəksiniz (və ya artıq öyrənmisiniz). Bu baxımdan, müstəqil bir həll üçün bir şey təklif etməkdə heç bir məna görmürəm, həndəsi təmələ başqa bir vacib kərpic qoymaq daha yaxşıdır:

Verilmiş birinə paralel xətti necə qurmaq olar?

Bunu bilməmək üçün ən sadə tapşırıq Bülbül qulduru şiddətlə cəzalandırır.

Misal 2

Düz xətt tənliklə verilir. Nöqtədən keçən paralel xəttin tənliyini yazın.

Həll: Naməlum xətti hərflə işarə edək. Şərt onun haqqında nə deyir? Düz xətt nöqtədən keçir. Əgər xətlər paraleldirsə, o zaman aydındır ki, “tse” düz xəttinin istiqamət vektoru “de” düz xəttini qurmaq üçün də uyğundur.

İstiqamət vektorunu tənlikdən çıxarırıq:

Cavab verin:

Nümunə həndəsə sadə görünür:

Analitik sınaqdan ibarətdir növbəti addımlar:

1) Xətlərin eyni istiqamət vektoruna malik olmasını yoxlayırıq (xəttin tənliyi düzgün sadələşdirilməyibsə, vektorlar kollinear olacaq).

2) Nöqtənin yaranan tənliyə cavab verib-vermədiyini yoxlayın.

Əksər hallarda analitik test asanlıqla şifahi şəkildə həyata keçirilə bilər. İki bərabərliyə baxın və bir çoxunuz heç bir rəsm çəkmədən xətlərin paralelliyini tez müəyyən edəcəksiniz.

Bu gün müstəqil həllər üçün nümunələr yaradıcı olacaq. Çünki hələ də Baba Yaga ilə rəqabət aparmalı olacaqsınız və o, bilirsiniz ki, hər cür tapmacaları sevir.

Misal 3

Əgər xəttinə paralel nöqtədən keçən xətt üçün tənlik yazın

Bunu həll etməyin rasional və o qədər də rasional olmayan yolu var. Ən qısa yol dərsin sonundadır.

Paralel xətlərlə bir az işlədik və sonra onlara qayıdacağıq. Üst-üstə düşən xətlər məsələsi az maraq doğurur, ona görə də sizə tanış olan problemi nəzərdən keçirək. məktəb kurikulumu:

İki xəttin kəsişmə nöqtəsini necə tapmaq olar?

Düzdürsə nöqtəsində kəsişir, onda onun koordinatları həll yoludur xətti tənliklər sistemləri

Xətlərin kəsişmə nöqtəsini necə tapmaq olar? Sistemi həll edin.

Buyurunuz iki naməlumlu iki xətti tənlik sisteminin həndəsi mənası- bunlar bir müstəvidə iki kəsişən (ən çox) xəttdir.

Misal 4

Xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapın

Həll: Həll etməyin iki yolu var - qrafik və analitik.

Qrafik üsul sadəcə verilmiş xətləri çəkmək və kəsişmə nöqtəsini birbaşa rəsmdən tapmaqdır:

Məqsədimiz budur: . Yoxlamaq üçün onun koordinatlarını xəttin hər bir tənliyinə əvəz etməlisiniz, onlar həm oraya, həm də oraya uyğun olmalıdır. Başqa sözlə, bir nöqtənin koordinatları sistemin həllidir. Əslində, biz qrafik həll yoluna baxdıq xətti tənliklər sistemləri iki tənlik, iki naməlum.

Qrafik üsul, əlbəttə ki, pis deyil, lakin nəzərə çarpan çatışmazlıqlar var. Xeyr, məsələ yeddinci sinif şagirdlərinin bu cür qərar verməsində deyil, məsələ ondadır ki, düzgün və DƏQQİ rəsm yaratmaq üçün vaxt lazımdır. Bundan əlavə, bəzi düz xətləri qurmaq o qədər də asan deyil və kəsişmə nöqtəsi özü də otuzuncu səltənətdə notebook vərəqindən kənarda yerləşə bilər.

Buna görə də kəsişmə nöqtəsinin analitik üsulla axtarılması daha məqsədəuyğundur. Sistemi həll edək:

Sistemi həll etmək üçün tənliklərin müddət üzrə əlavə edilməsi üsulundan istifadə edilmişdir. Müvafiq bacarıqları inkişaf etdirmək üçün dərs alın Tənliklər sistemini necə həll etmək olar?

Cavab verin:

Yoxlama əhəmiyyətsizdir - kəsişmə nöqtəsinin koordinatları sistemin hər bir tənliyini təmin etməlidir.

Misal 5

Əgər xətlər kəsişirsə, onların kəsişmə nöqtəsini tapın.

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Tapşırığı bir neçə mərhələyə bölmək rahatdır. Vəziyyətin təhlili bunun zəruri olduğunu göstərir:
1) Düz xəttin tənliyini yazın.
2) Düz xəttin tənliyini yazın.
3) Xətlərin nisbi mövqeyini tapın.
4) Əgər xətlər kəsişirsə, onda kəsişmə nöqtəsini tapın.

Fəaliyyət alqoritminin işlənməsi bir çox həndəsi məsələlər üçün xarakterikdir və mən dəfələrlə buna diqqət yetirəcəyəm.

Tam həll və dərsin sonunda cavab:

Dərsin ikinci hissəsinə çatana qədər bir cüt ayaqqabı belə köhnəlməmişdi:

Perpendikulyar xətlər. Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə.
Düz xətlər arasındakı bucaq

Tipik və çox ilə başlayaq mühüm vəzifə. Birinci hissədə biz buna paralel düz bir xətt çəkməyi öyrəndik və indi toyuq ayaqları üzərindəki daxma 90 dərəcə dönəcək:

Verilmiş birinə perpendikulyar bir xətti necə qurmaq olar?

Misal 6

Düz xətt tənliklə verilir. Nöqtədən keçən xəttə perpendikulyar tənlik yazın.

Həll: Şərtlə məlumdur ki . Xəttin istiqamət vektorunu tapmaq yaxşı olardı. Xətlər perpendikulyar olduğundan hiylə sadədir:

Tənlikdən normal vektoru “çıxarırıq”: düz xəttin istiqamət vektoru olacaq.

Nöqtə və istiqamət vektorundan istifadə edərək düz xəttin tənliyini tərtib edək:

Cavab verin:

Həndəsi eskizi genişləndirək:

Hmmm... Narıncı göy, narıncı dəniz, narıncı dəvə.

Həllin analitik yoxlanışı:

1) Tənliklərdən istiqamət vektorlarını çıxarırıq və köməyi ilə vektorların skalyar hasili xətlərin doğrudan da perpendikulyar olduğu qənaətinə gəlirik: .

Yeri gəlmişkən, normal vektorlardan istifadə edə bilərsiniz, daha da asandır.

2) Nöqtənin yaranan tənliyə cavab verib-vermədiyini yoxlayın .

Test, yenə də şifahi olaraq həyata keçirmək asandır.

Misal 7

Tənlik məlumdursa, perpendikulyar xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapın və dövr.

Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir. Problemdə bir neçə hərəkət var, ona görə də həll nöqtəsini nöqtə-nöqtədə formalaşdırmaq rahatdır.

Maraqlı səyahətimiz davam edir:

Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə

Qarşımızda çayın düz bir zolağı var və vəzifəmiz ona ən qısa yolla çatmaqdır. Heç bir maneə yoxdur və ən optimal marşrut perpendikulyar boyunca hərəkət etmək olacaq. Yəni bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafə perpendikulyar seqmentin uzunluğudur.

Həndəsədə məsafə ənənəvi olaraq yunan hərfi “rho” ilə işarələnir, məsələn: – “em” nöqtəsindən “de” düz xəttinə qədər olan məsafə.

Nöqtədən xəttə qədər olan məsafə düsturu ilə ifadə edilir

Misal 8

Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafəni tapın

Həll: yalnız rəqəmləri düsturda diqqətlə əvəz etmək və hesablamaları aparmaq lazımdır:

Cavab verin:

Gəlin rəsm çəkək:

Nöqtədən xəttə qədər tapılan məsafə tam olaraq qırmızı seqmentin uzunluğuna bərabərdir. Damalı kağızda 1 ədəd miqyasda bir rəsm çəksəniz. = 1 sm (2 hüceyrə), sonra məsafəni adi bir hökmdarla ölçmək olar.

Eyni rəsm əsasında başqa bir tapşırığı nəzərdən keçirək:

1) Xəttə perpendikulyar olan xətti tapın.

2) Xətlərin kəsişmə nöqtəsini tapın: .

Hər iki hərəkət bu dərsdə ətraflı müzakirə olunur.

3) Nöqtə seqmentin orta nöqtəsidir. Biz orta və uclardan birinin koordinatlarını bilirik. By seqmentin orta nöqtəsinin koordinatları üçün düsturlar Biz tapdıq .

Məsafənin də 2,2 vahid olduğunu yoxlamaq yaxşı olardı.

Burada hesablamalarda çətinliklər yarana bilər, lakin adi fraksiyaları hesablamağa imkan verən mikrokalkulyator qüllədə böyük köməklik göstərir. Mən sizə dəfələrlə məsləhət vermişəm və yenə də tövsiyə edəcəyəm.

İki paralel xətt arasındakı məsafəni necə tapmaq olar?

Misal 9

İki paralel xətt arasındakı məsafəni tapın

Bu, özünüz qərar verməyiniz üçün başqa bir nümunədir. Mən sizə bir az ipucu verəcəyəm: bunu həll etməyin sonsuz bir çox yolu var. Dərsin sonunda brifinq, amma özünüz üçün təxmin etməyə çalışmaq daha yaxşıdır, düşünürəm ki, ixtiranız yaxşı inkişaf etmişdir.

İki düz xətt arasındakı bucaq

Əgər xətlər perpendikulyardırsa, onda 4 bucaqdan hər hansı birini aralarındakı bucaq kimi qəbul etmək olar.

Bucaqlar necə fərqlidir? Orientasiya. Birincisi, bucağın "sürüşdüyü" istiqamət əsaslıdır. İkincisi, mənfi yönümlü bucaq mənfi işarə ilə yazılır, məsələn, əgər .

Bunu sənə niyə dedim? Görünür, biz adi bucaq anlayışı ilə başa düşə bilərik. Fakt budur ki, bucaqları tapacağımız düsturlar asanlıqla mənfi nəticə ilə nəticələnə bilər və bu sizi təəccübləndirməməlidir. Mənfi işarəsi olan bir bucaq daha pis deyil və çox xüsusi bir həndəsi məna daşıyır. Rəsmdə mənfi bir bucaq üçün onun istiqamətini oxla (saat istiqamətində) göstərməyi unutmayın.

İki düz xətt arasındakı bucağı necə tapmaq olar?İki iş düsturu var:

Misal 10

Xətlər arasındakı bucağı tapın

Həll Və Birinci üsul

Ümumi formada tənliklərlə müəyyən edilmiş iki düz xətti nəzərdən keçirək:

Düzdürsə perpendikulyar deyil, Bu yönümlü Aralarındakı bucaq düsturla hesablana bilər:

Məxrəcə çox diqqət yetirək - bu dəqiqdir skalyar məhsul düz xətlərin yönləndirici vektorları:

Yuxarıda göstərilənlərə əsasən, həlli iki mərhələdə rəsmiləşdirmək rahatdır:

1) Xətlərin istiqamət vektorlarının skalyar hasilini hesablayaq:
, yəni xətlər perpendikulyar deyil.

2) Düsturdan istifadə edərək düz xətlər arasındakı bucağı tapın:

Tərs funksiyadan istifadə edərək bucağın özünü tapmaq asandır. Bu vəziyyətdə, arktangentin qəribəliyindən istifadə edirik (bax. Elementar funksiyaların qrafikləri və xassələri):

Cavab verin:

Cavabınızda biz dəqiq dəyəri, eləcə də kalkulyatordan istifadə etməklə hesablanmış təxmini dəyəri (tercihen həm dərəcə, həm də radyanla) göstəririk.

Problemin formalaşdırılması. Bir nöqtəyə simmetrik olan nöqtənin koordinatlarını tapın təyyarəyə nisbətən.

Həll planı.

1. Verilmiş müstəviyə perpendikulyar olan və nöqtədən keçən düz xəttin tənliyini tapın. . Düz xətt verilmiş müstəviyə perpendikulyar olduğundan, onun istiqamət vektoru kimi təyyarənin normal vektoru götürülə bilər, yəni.

Beləliklə, düz xəttin tənliyi olacaqdır

2. Nöqtəni tapın düz xəttin kəsişməsi və təyyarələr (bax problem 13).

3. Nöqtə nöqtənin olduğu seqmentin orta nöqtəsidir nöqtəyə simmetrik olan nöqtədir , Buna görə də

Problem 14. Müstəviyə nisbətən nöqtəyə simmetrik olan nöqtəni tapın.

Verilmiş müstəviyə perpendikulyar nöqtədən keçən düz xəttin tənliyi belə olacaq:

Xəttlə müstəvinin kəsişmə nöqtəsini tapaq.

Harada – xəttin və müstəvinin kəsişmə nöqtəsi seqmentin ortasıdır

Bunlar. .

Homojen müstəvi koordinatları. Təyyarədə afin çevrilmələri.

Qoy M X Və saat

M(X, saatMae (X, saat, 1) fəzada (şək. 8).

Mae (X, saat

Mae (X, saat hu.

(hx, hy, h), h  0,

Şərh

h(Misal üçün, h

Əslində nəzərə alaraq h

Şərh

Misal 1.

b) bir bucaq (şək. 9).

1-ci addım.

2-ci addım. bucaqla fırladın

müvafiq çevrilmənin matrisi.

3-cü addım. A(a,) vektoruna köçürün b)

müvafiq çevrilmənin matrisi.

Misal 3

 x oxu boyunca və

1-ci addım.

müvafiq çevrilmənin matrisi.

2-ci addım.

3-cü addım.

nəhayət alacağıq

Şərh

[R],[D],[M],[T],

Qoy M- koordinatları olan təyyarənin ixtiyari nöqtəsi X Və saat, verilmiş düzxətli koordinat sisteminə nisbətən hesablanmışdır. Bu nöqtənin homojen koordinatları eyni zamanda sıfırdan fərqli x 1, x 2, x 3 ədədlərinin istənilən üçlüyüdür, verilmiş x və y ədədləri ilə aşağıdakı əlaqələrlə əlaqələndirilir:

Kompüter qrafikası məsələlərini həll edərkən homojen koordinatlar adətən aşağıdakı kimi daxil edilir: ixtiyari bir nöqtəyə M(X, saat) təyyarəyə bir nöqtə təyin edilir Mae (X, saat, 1) fəzada (şək. 8).

Qeyd edək ki, başlanğıcı birləşdirən xəttdə ixtiyari bir nöqtə, 0(0, 0, 0) nöqtəsi ilə nöqtə Mae (X, saat, 1), formanın üçlü ədədi ilə verilə bilər (hx, hy, h).

hx, hy koordinatları olan vektor 0 (0, 0, 0) və nöqtələri birləşdirən düz xəttin istiqamət vektorudur. Mae (X, saat, 1). Bu xətt z = 1 müstəvisini koordinat müstəvisinin (x, y) nöqtəsini unikal şəkildə təyin edən (x, y, 1) nöqtəsində kəsişir. hu.

Beləliklə, (x, y) koordinatları olan ixtiyari bir nöqtə ilə formanın üçlü ədədlər dəsti arasında

(hx, hy, h), h  0,

hx, hy, h ədədlərini bu nöqtənin yeni koordinatları kimi nəzərdən keçirməyə imkan verən (bir-bir) uyğunluq qurulur.

Şərh

Proyektiv həndəsədə geniş istifadə olunan homojen koordinatlar qeyri-münasib elementləri (əsasən proyeksiya müstəvisinin tanış Evklid müstəvisindən fərqləndiyi elementləri) effektiv şəkildə təsvir etməyə imkan verir. Təqdim edilmiş homojen koordinatların təqdim etdiyi yeni imkanlar haqqında daha ətraflı məlumat bu fəslin dördüncü bölməsində müzakirə olunur.

Homojen koordinatlar üçün proyektiv həndəsədə aşağıdakı qeydlər qəbul edilir:

x:y:1 və ya daha ümumi olaraq x1:x2:x3

(unutmayın ki, burada x 1, x 2, x 3 ədədlərinin eyni anda sıfıra çevrilməməsi mütləq tələb olunur).

Homojen koordinatların istifadəsi hətta ən sadə məsələlərin həllində də əlverişlidir.

Məsələn, miqyasda dəyişikliklərlə bağlı məsələləri nəzərdən keçirək. Ekran cihazı yalnız tam ədədlərlə işləyirsə (və ya yalnız tam ədədlərlə işləmək lazımdırsa), onda ixtiyari dəyər üçün h(Misal üçün, h= 1) koordinatları homojen olan nöqtə

təsəvvür etmək mümkün deyil. Lakin h-nin ağlabatan seçimi ilə bu nöqtənin koordinatlarının tam ədədlər olmasını təmin etmək olar. Xüsusilə, nəzərdən keçirilən nümunə üçün h = 10 üçün

Başqa bir işə baxaq. Transformasiya nəticələrinin hesab daşmasına səbəb olmasının qarşısını almaq üçün koordinatları (80000 40000 1000) olan bir nöqtə üçün, məsələn, h=0,001 götürə bilərsiniz. Nəticədə (80 40 1) alırıq.

Verilmiş misallar hesablamalar apararkən homojen koordinatlardan istifadənin faydalı olduğunu göstərir. Bununla belə, kompüter qrafikasında homojen koordinatların tətbiqinin əsas məqsədi onların həndəsi çevrilmələrə tətbiqində şübhəsiz rahatlığıdır.

Homojen koordinatların üçqatından və üçüncü dərəcəli matrislərdən istifadə edərək, müstəvidə istənilən affin çevrilmə təsvir edilə bilər.

Əslində nəzərə alaraq h= 1, iki girişi müqayisə edin: * simvolu ilə işarələnmiş və aşağıdakı matris:

Görmək asandır ki, sonuncu münasibətin sağ tərəfindəki ifadələri vurduqdan sonra həm (*) düsturunu, həm də 1=1 düzgün ədədi bərabərliyi əldə edirik.

Şərh

Bəzən ədəbiyyatda başqa bir qeyd istifadə olunur - sütunlu qeyd:

Bu qeyd yuxarıdakı sətir-sətir qeydinə bərabərdir (və ondan köçürməklə əldə edilir).

İxtiyari afin çevrilmə matrisinin elementləri açıq həndəsi məna daşımır. Buna görə də, bu və ya digər xəritələşdirməni həyata keçirmək, yəni verilmiş həndəsi təsvirə uyğun olaraq müvafiq matrisin elementlərini tapmaq üçün xüsusi texnika lazımdır. Tipik olaraq, baxılan problemin mürəkkəbliyinə və yuxarıda təsvir edilən xüsusi hallara uyğun olaraq bu matrisin qurulması bir neçə mərhələyə bölünür.

Hər bir mərhələdə yuxarıda göstərilən A, B, C və ya D hallarının bu və ya digərinə uyğun gələn, dəqiq müəyyən edilmiş həndəsi xassələrə malik matris axtarılır.

Müvafiq üçüncü dərəcəli matrisləri yazaq.

A. Fırlanma matrisi

B. Dilatasiya matrisi

B. Refleks matrisi

D. Transfer matrisi (tərcümə)

Müstəvinin affin çevrilmələrinin nümunələrini nəzərdən keçirək.

Misal 1.

A nöqtəsi ətrafında fırlanma matrisini qurun (a,b) bir bucaq (şək. 9).

1-ci addım. Fırlanma mərkəzini koordinatların başlanğıcına uyğunlaşdırmaq üçün vektora köçürmə – A (-a, -b);

müvafiq çevrilmənin matrisi.

2-ci addım. bucaqla fırladın

müvafiq çevrilmənin matrisi.

3-cü addım. A(a,) vektoruna köçürün b) fırlanma mərkəzini əvvəlki vəziyyətinə qaytarmaq;

müvafiq çevrilmənin matrisi.

Matrisləri yazıldığı ardıcıllıqla vuraq:

Nəticədə tapırıq ki, istənilən çevrilmə (matris qeydində) belə görünəcək:

Yaranan matrisin elementlərini (xüsusilə də sonuncu cərgədə) yadda saxlamaq o qədər də asan deyil. Eyni zamanda, üç vurulan matrisin hər biri müvafiq xəritələşdirmənin həndəsi təsvirindən asanlıqla qurula bilər.

Misal 3

Uzatma əmsalları olan bir uzanma matrisi qurun x oxu boyunca və ordinat oxu boyunca və mərkəzi A(a, b) nöqtəsində.

1-ci addım. Dartma mərkəzini koordinatların başlanğıcına uyğunlaşdırmaq üçün -A(-a, -b) vektoruna köçürün;

müvafiq çevrilmənin matrisi.

2-ci addım. Müvafiq olaraq  və  əmsallı koordinat oxları boyunca uzanma; çevrilmə matrisi formaya malikdir

3-cü addım. Gərginlik mərkəzini əvvəlki vəziyyətinə qaytarmaq üçün A(a, b) vektoruna köçürün; müvafiq çevrilmə matrisi –

Matrislərin eyni ardıcıllıqla vurulması

nəhayət alacağıq

Şərh

Bənzər bir şəkildə düşünmə, yəni təklif olunan çevrilməni matrislər tərəfindən dəstəklənən mərhələlərə bölmək[R],[D],[M],[T], Onun həndəsi təsvirindən istənilən afin çevrilmənin matrisini qurmaq olar.

Shift əlavə etməklə, miqyaslama və fırlanma isə vurma ilə həyata keçirilir.

Ölçəkləmə Transformasiyası (dilatasiya) mənşəyə nisbətən aşağıdakı formaya malikdir:

və ya matris şəklində:

Harada Dx,Dy oxlar boyu miqyaslama faktorlarıdır və

- miqyaslama matrisi.

D > 1 olduqda genişlənmə baş verir, 0 olduqda<=D<1- сжатие

Fırlanma çevrilməsi mənşəyə nisbətən formaya malikdir:

və ya matris şəklində:

burada φ fırlanma bucağıdır və

- fırlanma matrisi.

Şərh: Fırlanma matrisinin sütunları və cərgələri qarşılıqlı ortoqonal vahid vektorlardır. Əslində, cərgə vektorlarının uzunluqlarının kvadratları birinə bərabərdir:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 və (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

sıra vektorlarının skalyar hasilidir

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Vektorların skalyar hasilindən bəri A · B = |A| ·| B| ·cosψ, harada | A| - vektor uzunluğu A, |B| - vektor uzunluğu B, və ψ aralarındakı ən kiçik müsbət bucaqdır, onda uzunluğu 1 olan iki cərgə vektorunun skalyar hasilinin 0 bərabərliyindən belə nəticə çıxır ki, aralarındakı bucaq 90 °-dir.

Kosmosda düz xətt həmişə iki paralel olmayan müstəvilərin kəsişmə xətti kimi müəyyən edilə bilər. Bir müstəvinin tənliyi ikinci müstəvinin tənliyidirsə, xəttin tənliyi belə verilir.

Burada qeyri-kollinear
. Bu tənliklər deyilir ümumi tənliklər düz kosmosda.

Xəttin kanonik tənlikləri

Verilmiş xətt üzərində və ya ona paralel olan sıfırdan fərqli istənilən vektor bu xəttin istiqamət vektoru adlanır.

Məsələ məlumdursa
düz xətt və onun istiqamət vektoru
, onda xəttin kanonik tənlikləri formaya malikdir:

. (9)

Xəttin parametrik tənlikləri

Xəttin kanonik tənlikləri verilsin

Buradan xəttin parametrik tənliklərini əldə edirik:

(10)

Bu tənliklər xəttin və təyyarənin kəsişmə nöqtəsini tapmaq üçün faydalıdır.

İki nöqtədən keçən xəttin tənliyi
Və
formaya malikdir:

Düz xətlər arasındakı bucaq

Düz xətlər arasındakı bucaq

Və

onların istiqamət vektorları arasındakı bucağa bərabərdir. Beləliklə, (4) düsturu ilə hesablana bilər:

Paralel xətlər üçün şərt:

Təyyarələrin perpendikulyar olması şərti:

Bir xəttdən nöqtənin məsafəsi

P deyək ki, nöqtə verilib
və düz

Xəttin kanonik tənliklərindən nöqtəni bilirik
, xəttə aid olan və onun istiqamət vektoru
. Sonra nöqtənin məsafəsi
düz xəttdən vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqramın hündürlüyünə bərabərdir Və
. Beləliklə,

Xətlərin kəsişməsi şərti

İki paralel olmayan xətt

yalnız və yalnız o halda kəsişir

Düz xəttin və təyyarənin nisbi mövqeyi.

Düz xətt verilsin
və təyyarə. Künc onların arasında düsturla tapıla bilər

Problem 73. Xəttin kanonik tənliklərini yazın

(11)

Həll. (9) xəttinin kanonik tənliklərini yazmaq üçün xəttə aid olan istənilən nöqtəni və xəttin istiqamət vektorunu bilmək lazımdır.

vektoru tapaq , bu xəttə paralel. Bu müstəvilərin normal vektorlarına perpendikulyar olması lazım olduğundan, yəni.

,
, Bu

Düz xəttin ümumi tənliklərindən bunu əldə edirik
,
. Sonra

Məsələdən bəri
xəttin hər hansı bir nöqtəsi, onda onun koordinatları xəttin tənliklərini təmin etməlidir və onlardan biri göstərilə bilər, məsələn,
, (11) sistemindən digər iki koordinatı tapırıq:

Buradan,
.

Beləliklə, istənilən xəttin kanonik tənlikləri formaya malikdir:

və ya
.

Problem 74.

Və
.

Həll. Birinci xəttin kanonik tənliklərindən nöqtənin koordinatları məlumdur
xəttinə aid olan və istiqamət vektorunun koordinatları
. İkinci xəttin kanonik tənliklərindən nöqtənin koordinatları da məlumdur
və istiqamət vektorunun koordinatları
.

Paralel xətlər arasındakı məsafə nöqtənin məsafəsinə bərabərdir
ikinci düz xəttdən. Bu məsafə düsturla hesablanır

vektorun koordinatlarını tapaq
.

Gəlin vektor məhsulunu hesablayaq
:

Problem 75. Bir nöqtə tapın simmetrik nöqtə
nisbətən düz

Həll. Verilmiş xəttə perpendikulyar və nöqtədən keçən müstəvi tənliyini yazaq . Onun normal vektoru kimi düz xəttin istiqamət vektorunu götürə bilərsiniz. Sonra
. Beləliklə,

Gəlin bir məqam tapaq
bu xəttlə P müstəvisinin kəsişmə nöqtəsi. Bunun üçün (10) tənliklərindən istifadə edərək xəttin parametrik tənliklərini yazırıq, alırıq.

Beləliklə,
.

Qoy
nöqtəyə simmetrikdir
bu xəttə nisbətən. Sonra işarə edin
orta nöqtə
. Bir nöqtənin koordinatlarını tapmaq üçün Seqmentin orta nöqtəsinin koordinatları üçün düsturlardan istifadə edirik:

,
,
.

Belə ki,
.

Problem 76. Xəttdən keçən təyyarənin tənliyini yazın
Və

a) bir nöqtə vasitəsilə
;

b) müstəviyə perpendikulyar.

Həll. Bu xəttin ümumi tənliklərini yazaq. Bunu etmək üçün iki bərabərliyi nəzərdən keçirin:

Bu o deməkdir ki, istənilən təyyarə generatorları olan təyyarələr dəstəsinə aiddir və onun tənliyini (8) şəklində yazmaq olar:

a) Gəlin tapaq
Və təyyarənin nöqtədən keçməsi şərtindən
, buna görə də onun koordinatları müstəvi tənliyini təmin etməlidir. Nöqtənin koordinatlarını əvəz edək
bir dəstə təyyarənin tənliyinə:

Dəyəri tapıldı
Onu (12) tənliyində əvəz edək. İstənilən təyyarənin tənliyini alırıq:

b) Gəlin tapaq
Və istənilən müstəvinin müstəviyə perpendikulyar olması şərtindən. Verilmiş müstəvinin normal vektoru
, istədiyiniz müstəvinin normal vektoru (bax təyyarələr dəstəsinin tənliyinə (12).