9. Davamlı təsadüfi dəyər, onun ədədi xüsusiyyətləri
Davamlı təsadüfi dəyişən iki funksiyadan istifadə etməklə təyin edilə bilər. X təsadüfi kəmiyyətinin inteqral ehtimal paylama funksiyası bərabərliklə təyin olunan funksiya adlanır 
.
İnteqral funksiyası verir ümumi üsul həm diskret, həm də davamlı təsadüfi dəyişənlərin təyin edilməsi. Davamlı təsadüfi dəyişən halında. Bütün hadisələr: eyni ehtimala malikdir, bu intervalda inteqral funksiyanın artımına bərabərdir, yəni. Məsələn, 26-cı misalda göstərilən diskret təsadüfi dəyişən üçün bizdə:
Beləliklə, nəzərdən keçirilən funksiyanın inteqral funksiyasının qrafiki Ox oxuna paralel iki şüa və üç seqmentin birləşməsidir.
Misal 27. Davamlı təsadüfi dəyişən X inteqral ehtimal paylama funksiyası ilə müəyyən edilir
.
İnteqral funksiyanın qrafikini qurun və sınaq nəticəsində X təsadüfi kəmiyyətinin (0,5;1,5) intervalında qiymət alması ehtimalını tapın.
Həll. Interval üzrə 
qrafik y = 0 düz xəttidir. 0-dan 2-yə qədər intervalda tənliklə verilən parabola var. 
. Interval üzrə 
Qrafik y = 1 düz xəttidir.
Test nəticəsində X təsadüfi kəmiyyətinin (0,5;1,5) intervalında qiymət alması ehtimalı düsturdan istifadə etməklə tapılır.
Beləliklə, .
İnteqral ehtimal paylama funksiyasının xüsusiyyətləri:
Davamlı təsadüfi dəyişənin paylanma qanununu başqa bir funksiyadan istifadə etməklə təyin etmək rahatdır, yəni: ehtimal sıxlığı funksiyaları
.
X təsadüfi kəmiyyətinin qəbul etdiyi dəyərin intervala düşməsi ehtimalı 
, bərabərliyi ilə müəyyən edilir 
.
Funksiyanın qrafiki adlanır paylanma əyrisi. Həndəsi olaraq, təsadüfi dəyişən X-in intervala düşmə ehtimalı paylanma əyrisi, Ox oxu və düz xətlərlə məhdudlaşan müvafiq əyrixətti trapezoidin sahəsinə bərabərdir. 
.
Ehtimal sıxlığı funksiyasının xüsusiyyətləri:
9.1. Davamlı təsadüfi dəyişənlərin ədədi xarakteristikaları
Gözlənilən dəyər davamlı X təsadüfi kəmiyyətinin (orta dəyəri) bərabərliyi ilə müəyyən edilir 
.
M(X) ilə işarələnir A. Davamlı təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisinə bənzəyir diskret kəmiyyət, xassələri:
Fərqlilik diskret təsadüfi dəyişən X adlanır gözlənilən dəyər təsadüfi dəyişənin onun riyazi gözləntisindən sapmasının kvadratı, yəni. . Davamlı təsadüfi dəyişən üçün dispersiya düsturla verilir 
.
Dispersiya aşağıdakı xüsusiyyətlərə malikdir:
Sonuncu xüsusiyyət davamlı təsadüfi dəyişənin dispersiyasını tapmaq üçün istifadə etmək üçün çox rahatdır.
Standart kənarlaşma anlayışı eyni şəkildə təqdim olunur. Davamlının standart sapması təsadüfi dəyişən X dispersiyanın kvadrat kökü adlanır, yəni. 
.
Misal 28. Davamlı təsadüfi dəyişən X ehtimal sıxlığı funksiyası ilə müəyyən edilir 
(10;12) intervalında, bu intervaldan kənarda funksiyanın qiyməti 0-dır. 1) parametrin qiymətini tapın. A, 2) riyazi gözlənti M(X), dispersiya 
, standart kənarlaşma, 3) inteqral funksiya 
və inteqral və diferensial funksiyaların qrafiklərini qurur.
1). Parametr tapmaq üçün A düsturdan istifadə edin 
. Biz alacağıq. Beləliklə, 
.
2). Riyazi gözləntiləri tapmaq üçün aşağıdakı düsturdan istifadə edirik: , ondan belə çıxır 
.
Düsturdan istifadə edərək fərqi tapacağıq: 
, yəni. .
Bunu əldə etdiyimiz düsturdan istifadə edərək standart kənarlaşmanı tapaq: 
.
3). İnteqral funksiya ehtimal sıxlığı funksiyası ilə aşağıdakı kimi ifadə edilir: 
. Beləliklə, 
saat 
, = 0 at 
u = 1 at 
.
Bu funksiyaların qrafikləri Şəkildə təqdim olunur. 4. və şək. 5.
Şəkil 4 Şəkil 5.
9.2. Davamlı təsadüfi dəyişənin vahid ehtimal paylanması
Davamlı təsadüfi dəyişən X-in ehtimal paylanması bərabər şəkildə intervalda, əgər onun ehtimal sıxlığı bu intervalda sabitdirsə və bu intervaldan kənarda sıfıra bərabərdirsə, yəni. . Bu vəziyyətdə bunu göstərmək asandır 
.
Əgər interval 
intervalda olur, onda 
.
Misal 29. Ani siqnal hadisəsi saat birlə saat beş arasında baş verməlidir. Siqnalın gözləmə müddəti təsadüfi dəyişən X-dir. Siqnalın günorta saat iki ilə üç arasında aşkarlanması ehtimalını tapın.
Həll. X təsadüfi dəyişəni vahid paylanmaya malikdir və düsturdan istifadə edərək siqnalın günorta saat 2 ilə 3 arasında olması ehtimalının bərabər olduğunu tapırıq. 
.
Tədris və digər ədəbiyyatlarda çox vaxt ədəbiyyatda vasitəsilə işarələnir 
.
9.3. Davamlı təsadüfi dəyişənin normal ehtimal paylanması
Davamlı təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanması, onun ehtimal paylanma qanunu ehtimal sıxlığı ilə müəyyən edilirsə, normal adlanır. 
. Belə miqdarlar üçün A- gözlənilən dəyər, 
- standart sapma.
Teorem. Normal paylanmış fasiləsiz təsadüfi dəyişənin verilmiş intervala düşmə ehtimalı 
düsturla müəyyən edilir 
, Harada 
- Laplas funksiyası.
Bu teoremin nəticəsidir üç qayda siqma, yəni. Demək olar ki, normal paylanmış, davamlı təsadüfi dəyişən X intervalda öz dəyərlərini alır 
. Bu qayda düsturdan əldə edilə bilər 
, formullaşdırılmış teoremin xüsusi halıdır.
Misal 30. Televizorun işləmə müddəti 15 il zəmanət müddəti və 3 il standart sapma ilə normal paylama qanununa tabe olan X təsadüfi dəyişəndir. Televiziyanın 10 ildən 20 ilə qədər işləmə ehtimalını tapın.
Həll. Məsələnin şərtlərinə görə riyazi gözlənti A= 15, standart kənarlaşma.
tapaq . Beləliklə, televizorun 10 ildən 20 ilə qədər işləmə ehtimalı 0,9-dan çoxdur.
9.4.Çebışev bərabərsizliyi
Baş verir Çebışev lemması. Təsadüfi dəyişən X yalnız mənfi olmayan dəyərlər qəbul edirsə və riyazi gözləntiyə malikdirsə, onda hər hansı müsbət üçün V
.
Nəzərə alsaq ki, əks hadisələrin ehtimallarının cəmi olaraq, biz bunu əldə edirik 
.
Çebışev teoremi. Təsadüfi dəyişən X sonlu dispersiyaya malikdirsə 
və riyazi gözlənti M(X), sonra hər hansı müsbət üçün 
bərabərsizlik doğrudur
.
Bu, haradan gəlir 
.
Misal 31. Parçaların bir partiyası istehsal edilmişdir. Hissələrin orta uzunluğu 100 sm, standart sapma isə 0,4 sm-dir. Təsadüfi olaraq götürülmüş hissənin uzunluğunun ən azı 99 sm olması ehtimalından aşağı qiymətləndirin. və 101 sm-dən çox deyil.
Həll. Fərqlilik. Riyazi gözlənti 100-dür. Buna görə də sözügedən hadisənin ehtimalını aşağıdan təxmin etmək 
Çebışev bərabərsizliyini tətbiq edək ki, burada 
, Sonra 
.
10. Riyazi statistikanın elementləri
Statistik məcmu homojen obyektlərin və ya hadisələrin toplusunu adlandırın. Nömrə P bu çoxluğun elementləri kolleksiyanın həcmi adlanır. Müşahidə olunan dəyərlər 
X xüsusiyyəti deyilir seçimlər. Seçimlər artan ardıcıllıqla düzülürsə, onda alırıq diskret variasiya seriyası. Qruplaşdırma vəziyyətində, intervallara görə seçim olur interval variasiya seriyası. Altında tezlik t xarakterik dəyərlər verilmiş variantı olan əhalinin sayını başa düşür.
Statistik populyasiyanın tezliyinin həcminə nisbəti deyilir nisbi tezlik işarə: 
.
Seçimlər arasında əlaqə variasiya seriyası və onların tezlikləri deyilir nümunənin statistik paylanması. Statistik paylanmanın qrafik təsviri ola bilər çoxbucaqlı tezlik
Misal 32. 25 birinci kurs tələbəsi arasında sorğu aparılaraq onların yaşı ilə bağlı aşağıdakı məlumatlar əldə edilmişdir: 
. Bəstələmək statistik paylanma tələbələri yaşa görə, variasiya diapazonunu tapın, tezlik çoxbucaqlısını qurun və nisbi tezliklərin bir sıra paylamalarını tərtib edin.
Həll. Sorğudan əldə edilən məlumatlardan istifadə edərək, nümunənin statistik paylanmasını yaradacağıq
|
Variasiya nümunəsinin diapazonu 23 – 17 = 6-dır. Tezlik poliqonunu qurmaq üçün koordinatları olan nöqtələr qurun. 
və onları sıra ilə birləşdirin.
Nisbi tezlik paylama seriyası formaya malikdir:
|
10.1. Variasiya sıralarının ədədi xarakteristikaları
Nümunə X xüsusiyyətinin bir sıra tezlik paylanması ilə verilsin:
|
|
|
|
||
|
|
|
Bütün tezliklərin cəmi bərabərdir P.
Nümunənin arifmetik ortası miqdarını adlandırın 
.
Fərqlilik və ya X xarakteristikasının qiymətlərinin arifmetik ortasına nisbətdə dispersiya ölçüsünə dəyər deyilir. 
. Standart sapma dispersiyanın kvadrat köküdür, yəni. .
Standart kənarlaşmanın nümunənin arifmetik ortasına nisbəti, faizlə ifadə edilir. variasiya əmsalı:
.
Empirik nisbi tezlik paylanması funksiyası hər bir dəyər üçün hadisənin nisbi tezliyini təyin edən funksiyanı çağırın 
, yəni. 
, Harada 
- variantların sayı, daha kiçik X, A P- nümunə ölçüsü.
Misal 33. 32-ci misalın şərtlərinə uyğun olaraq ədədi xarakteristikaları tapın 
.
Həll. Düsturdan istifadə edərək nümunənin arifmetik ortasını tapaq, sonra .
X əlamətinin dispersiyasını aşağıdakı düsturla tapırıq: , yəni. Nümunənin standart sapması 
. Dəyişmə əmsalı 
.
10.2. Nisbi tezlik üzrə ehtimalın qiymətləndirilməsi. Etibar intervalı
Qoy həyata keçirilsin P hər birində A hadisəsinin baş vermə ehtimalı sabit və bərabər olan müstəqil sınaqlar R. Bu halda, nisbi tezliyin hər sınaqda mütləq qiymətdə A hadisəsinin baş vermə ehtimalından fərqlənməsi ehtimalı Laplas inteqral funksiyasının dəyərinin təxminən iki qatına bərabərdir: 
.
Interval qiymətləndirilməsi statistik əhalinin təxmin edilən parametrini əhatə edən intervalın ucları olan iki rəqəmlə müəyyən edilən belə bir qiymətləndirmə çağırın.
Etibar intervalı
verilmiş olan interval adlanır güvən ehtimalı 
statistik əhalinin təxmin edilən parametrini əhatə edir. Naməlum kəmiyyəti əvəz etdiyimiz düsturu nəzərə alsaq R onun təxmini dəyərinə 
Nümunə məlumatlarından əldə edirik: 
. Bu düstur nisbi tezliyə görə ehtimalı qiymətləndirmək üçün istifadə olunur. Nömrələri 
Və 
aşağı və müvafiq olaraq yuxarı adlanır etibar sərhədləri, - verilmiş etimad ehtimalı üçün maksimum xəta 
.
Misal 34. Zavod sexi elektrik lampaları istehsal edir. 625 lampa yoxlanılarkən 40-da nasazlıq aşkar edilib. Fabrik emalatxanası tərəfindən istehsal olunan qüsurlu işıq lampalarının faiz nisbətinin 0,95 etibarlılıq ehtimalı ilə sərhədlərini tapın.
Həll. Tapşırığın şərtlərinə uyğun olaraq. Formuladan istifadə edirik 
. Əlavənin 2-ci cədvəlindən istifadə edərək, Laplas inteqral funksiyasının qiymətinin 0,475-ə bərabər olduğu arqumentin qiymətini tapırıq. Bunu anlayırıq 
. Beləliklə, . Buna görə də 0,95 ehtimalı ilə deyə bilərik ki, emalatxananın istehsal etdiyi qüsurların xüsusi çəkisi yüksəkdir, yəni 6,2%-dən 6,6%-ə qədər dəyişir.
10.3. Statistikada parametrlərin qiymətləndirilməsi
Tədqiq olunan bütün əhalinin kəmiyyət xarakteristikası X olsun ( əhali) Var normal paylanma.
Standart sapma məlumdursa, o zaman etimad intervalı, riyazi gözləntiləri əhatə edir A 
, Harada P- nümunə ölçüsü, 
- nümunə arifmetik orta, t Laplas inteqral funksiyasının arqumentidir, burada 
. Bu vəziyyətdə nömrə 
qiymətləndirmə dəqiqliyi adlanır.
Əgər standart sapma naməlumdursa, o zaman nümunə məlumatlarından Tələbə paylanmasına malik təsadüfi dəyişən qurmaq olar. P– yalnız bir parametrlə müəyyən edilən 1 dərəcə sərbəstlik P və naməlumlardan asılı deyil A Və . Kiçik nümunələr üçün belə tələbənin t-paylanması 
kifayət qədər qənaətbəxş qiymətlər verir. Sonra riyazi gözləntiləri əhatə edən inam intervalı A Bu xüsusiyyətin müəyyən bir etibarlılıq ehtimalı şərtindən tapılır 
, burada S düzəldilmiş orta kvadratdır, 
- Məlumatlardan tapılan tələbə əmsalı 
əlavənin 3-cü cədvəlindən.
Etibarlılıq ehtimalı ilə bu xarakteristikanın standart kənarlaşmasını əhatə edən inam intervalı aşağıdakı düsturlardan istifadə etməklə tapılır: və , burada 
dəyərlər cədvəlindən tapılır q
görə.
10.4. Təsadüfi dəyişənlər arasında asılılıqların öyrənilməsi üçün statistik üsullar
Y-nin X-dən korrelyasiya asılılığı şərti ortanın funksional asılılığıdır 
-dan X. tənlik 
X-də Y-nin reqressiya tənliyini təmsil edir və 
- X-in Y-yə reqressiya tənliyi.
Korrelyasiya asılılığı xətti və ya əyri xətti ola bilər. Xətti korrelyasiya asılılığı vəziyyətində düz reqressiya xəttinin tənliyi aşağıdakı formaya malikdir: 
, yamac olduğu yerdə A X üzərində Y reqressiyanın düz xətti X üzərində Y nümunə reqressiya əmsalı adlanır və işarələnir 
.
Kiçik nümunələr üçün məlumatlar qruplaşdırılmır, parametrlər 
üsuluna görə tapılır ən kiçik kvadratlar normal tənliklər sistemindən:
, Harada P– qarşılıqlı əlaqəli kəmiyyətlərin cütlərinin qiymətlərinin müşahidələrinin sayı.
Seçici xətti əmsal korrelyasiya 
Y və X arasında sıx əlaqəni göstərir. Korrelyasiya əmsalı düsturdan istifadə etməklə tapılır 
, və 
, yəni:
X üzərində Y düz reqressiya xəttinin nümunə tənliyi formaya malikdir:
.
X və Y xüsusiyyətlərinin çoxlu müşahidəsi ilə eyni dəyərə malik iki girişli korrelyasiya cədvəli tərtib edilir. X müşahidə olunur 
dəfə, eyni məna saat müşahidə olunur 
dəfə, eyni cüt 
müşahidə olunur 
bir dəfə.
Misal 35. X və Y işarələrinin müşahidələri cədvəli verilmişdir.
|
X üzərində Y düz reqressiya xəttinin nümunə tənliyini tapın.
Həll. Öyrənilən əlamətlər arasındakı əlaqəni Y-nin X üzərində düz reqressiya xəttinin tənliyi ilə ifadə etmək olar: . Tənliyin əmsallarını hesablamaq üçün hesablama cədvəli yaradaq:
Müşahidə nömrəsi. |
|
|
||
Fəsil 6. Davamlı təsadüfi dəyişənlər.
§ 1. Fasiləsiz təsadüfi kəmiyyətin sıxlığı və paylanma funksiyası.
Davamlı təsadüfi dəyişənin dəyərlər dəsti saysızdır və adətən bəzi sonlu və ya sonsuz intervalı təmsil edir.
Ehtimal fəzasında (W, S, P) müəyyən edilmiş x(w) təsadüfi dəyişən adlanır davamlı(tamamilə davamlı) W, əgər hər hansı bir x üçün paylanma funksiyası Fx(x) inteqral kimi təqdim oluna bilən qeyri-mənfi funksiya varsa
Funksiya funksiya adlanır ehtimal paylama sıxlıqları.
Tərif paylama sıxlığı funksiyasının xüsusiyyətlərini nəzərdə tutur:
1..gif" eni="97" hündürlük="51">
3. Davamlılıq nöqtələrində paylanma sıxlığı paylanma funksiyasının törəməsinə bərabərdir: .
4. Paylanma sıxlığı təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanununu müəyyən edir, çünki təsadüfi dəyişənin intervala düşmə ehtimalını müəyyən edir:
5. Davamlı təsadüfi dəyişənin xüsusi qiymət alması ehtimalı sıfırdır: . Beləliklə, aşağıdakı bərabərliklər etibarlıdır:
Paylanma sıxlığı funksiyasının qrafiki adlanır paylanma əyrisi, və paylanma əyrisi və x oxu ilə məhdudlaşan sahə vahidə bərabərdir. Onda həndəsi cəhətdən Fx(x) paylanma funksiyasının x0 nöqtəsindəki qiyməti paylanma əyrisi və x oxu ilə məhdudlaşan və x0 nöqtəsinin solunda yerləşən sahədir.
Tapşırıq 1. Davamlı təsadüfi dəyişənin sıxlıq funksiyası aşağıdakı formaya malikdir:
C sabitini təyin edin, Fx(x) paylama funksiyasını qurun və ehtimalı hesablayın.
Həll. C sabiti əldə etdiyimiz şərtdən tapılır:
buradan C=3/8.
Fx(x) paylama funksiyasını qurmaq üçün qeyd edin ki, interval x arqumentinin dəyər diapazonunu (rəqəmli ox) üç hissəyə bölür: https://pandia.ru/text/78/107/images/image017_17 .gif" eni="264" hündürlük="49">
yarımoxda x sıxlığı sıfır olduğundan. İkinci halda
Nəhayət, sonuncu halda, x>2 olduqda,
Yarım oxda sıxlıq yox olduğundan. Beləliklə, paylama funksiyası alınır
Ehtimal Düsturdan istifadə edərək hesablayaq. Beləliklə,
§ 2. Davamlı təsadüfi kəmiyyətin ədədi xarakteristikaları
Gözlənilən dəyər fasiləsiz paylanmış təsadüfi dəyişənlər üçün https://pandia.ru/text/78/107/images/image028_11.gif" width="205" height="56 src=">, formula ilə müəyyən edilir.
sağdakı inteqral mütləq yaxınlaşarsa.
Dispersiya x düsturundan istifadə etməklə hesablana bilər 
, həm də diskret vəziyyətdə olduğu kimi, https://pandia.ru/text/78/107/images/image031_11.gif" width="123" height="49 src="> düsturuna uyğun olaraq.
Diskret təsadüfi dəyişənlər üçün 5-ci fəsildə verilmiş riyazi gözləntilərin və dispersiyanın bütün xassələri davamlı təsadüfi dəyişənlər üçün də etibarlıdır.
Problem 2. Problem 1-dən x təsadüfi dəyişəni üçün riyazi gözlənti və dispersiyanı hesablayın .
Həll.
Və bu deməkdir
https://pandia.ru/text/78/107/images/image035_9.gif" eni="184" hündürlük="69 src=">
Sıxlıq qrafiki vahid paylamaşəkə baxın. .
Şəkil 6.2. Paylanma funksiyası və paylanma sıxlığı. vahid qanun
Vahid paylanmış təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyası Fx(x) bərabərdir
Fx(x)= 
Gözləmə və fərqlilik; .
Eksponensial (eksponensial) paylanma. Mənfi olmayan dəyərləri qəbul edən davamlı təsadüfi dəyişən x, təsadüfi dəyişənin ehtimal sıxlığının paylanması bərabər olduqda l>0 parametri ilə eksponensial paylanmaya malikdir.
рx(x)= 
düyü. 6.3. Eksponensial qanunun paylanma funksiyası və paylanma sıxlığı.
Eksponensial paylanmanın paylama funksiyası formaya malikdir
Fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image041_8.gif" width="17" height="41">.gif" width="13" height="15"> və onun paylanma sıxlığı bərabər olarsa
.
Vasitəsilə parametrləri və parametrləri ilə normal qanuna uyğun paylanmış bütün təsadüfi dəyişənlər toplusunu bildirir.
Normal paylanmış təsadüfi kəmənin paylanma funksiyası bərabərdir
.
düyü. 6.4. Paylanma funksiyası və normal paylanma sıxlığı
Normal paylanmanın parametrləri riyazi gözləntidir https://pandia.ru/text/78/107/images/image048_6.gif" width="64 height=24" height="24">
Xüsusi halda nə vaxt https://pandia.ru/text/78/107/images/image050_6.gif" width="44" height="21 src="> normal paylanma adlanır. standart, və belə paylamaların sinfi https://pandia.ru/text/78/107/images/image052_6.gif" width="119" height="49"> ilə işarələnir,
və paylama funksiyası
Belə bir inteqral analitik olaraq hesablana bilməz (“kvadratlar”da götürülmür) və buna görə də funksiya üçün cədvəllər tərtib edilmişdir. Funksiya 4-cü fəsildə təqdim olunan Laplas funksiyası ilə bağlıdır
,
aşağıdakı əlaqə ilə 
. İxtiyari parametr dəyərləri vəziyyətində https://pandia.ru/text/78/107/images/image043_5.gif" width="21" height="21 src="> təsadüfi dəyişənin paylanma funksiyası Laplas funksiyası ilə əlaqədən istifadə etməklə bağlıdır:
.
Buna görə də, normal paylanmış təsadüfi dəyişənin intervala düşmə ehtimalı düsturdan istifadə etməklə hesablana bilər.
.
Mənfi olmayan x təsadüfi kəmiyyəti loqarifmi h=lnx normal qanuna tabe olarsa lognormal paylanmış adlanır. Lognormal olaraq paylanmış təsadüfi kəmənin gözlənilən dəyəri və dispersiyası Mx= və Dx=-dir.
Tapşırıq 3. Təsadüfi dəyişən verilsin https://pandia.ru/text/78/107/images/image065_5.gif" width="81" height="23">.
Həll. Burada https://pandia.ru/text/78/107/images/image068_5.gif" width="573" height="45">
Laplas paylanması fx(x)=https://pandia.ru/text/78/107/images/image070_5.gif" width="23" height="41"> funksiyası ilə verilir və kurtozis gx=3-dür.
Şəkil 6.5. Laplas paylama sıxlığı funksiyası.
Təsadüfi dəyişən x üzərində paylanır Weibull qanunu, https://pandia.ru/text/78/107/images/image072_5.gif" width="189" height="53">-ə bərabər paylanma sıxlığı funksiyası varsa
Weibull paylanması bir çox texniki cihazların nasazsız işləmə müddətlərini idarə edir. Bu profilin tapşırıqlarında mühüm xüsusiyyət l(t)= münasibəti ilə təyin olunan t yaşının öyrənilən elementlərinin uğursuzluq dərəcəsidir (ölüm əmsalı) l(t). Əgər a=1 olarsa, Veybul paylanması eksponensial paylanmaya, a=2 olarsa - sözdə paylanmaya çevrilir. Rayleigh.
Weibull paylanmasının riyazi gözləntiləri: -https://pandia.ru/text/78/107/images/image075_4.gif" width="219" height="45 src=">, burada Г(а) Eylerdir. funksiyası..
IN müxtəlif vəzifələr Tətbiqi statistikada tez-tez sözdə "kəsilmiş" paylamalara rast gəlinir. Məsələn, vergi orqanları illik gəlirləri vergi qanunları ilə müəyyən edilmiş c0 həddi keçən fiziki şəxslərin gəlirlərinin bölüşdürülməsində maraqlıdırlar. Bu paylanmalar təxminən Pareto paylanması ilə üst-üstə düşür. Pareto paylanması funksiyalarla verilir
Fx(x)=P(x
Burada https://pandia.ru/text/78/107/images/image081_4.gif" width="60" height="21 src=">.
Tapşırıq 4. Təsadüfi dəyişən seqmentdə bərabər paylanmışdır. Təsadüfi dəyişənin sıxlığını tapın.
Həll. Problem şərtlərindən belə çıxır
Sonrakı, funksiya intervalda monoton və diferensiallanan funksiyadır və tərs funksiyaya malikdir 
törəməsi bərabər olan , Buna görə də,
§ 5. Davamlı təsadüfi dəyişənlər cütü
İki davamlı təsadüfi dəyişən x və h verilsin. Sonra (x, h) cütü müstəvidə “təsadüfi” nöqtəni təyin edir. (x, h) cütü adlanır təsadüfi vektor və ya ikiölçülü təsadüfi dəyişən.
Birgə paylama funksiyası təsadüfi dəyişənlər x və h və funksiya F(x, y)=Phttps://pandia.ru/text/78/107/images/image093_3.gif" width="173" height="25"> adlanır. birgə sıxlıq x və h təsadüfi dəyişənlərin ehtimal paylanması elə funksiya adlanır ki 
.
Birgə paylanma sıxlığının bu tərifinin mənası aşağıdakı kimidir. “Təsadüfi nöqtənin” (x, h) müstəvidə bölgəyə düşməsi ehtimalı üçölçülü fiqurun – səthlə məhdudlaşan “əyrixətti” silindrin həcmi kimi hesablanır https://pandia.ru/ mətn/78/107/images/image098_3. gif" eni="211" hündürlük="39 src=">
İki təsadüfi dəyişənin birgə paylanmasının ən sadə nümunəsi ikiölçülüdür setdə vahid paylamaA. Sahəsi ilə məhdudlaşmış M çoxluğu verilsin.O, aşağıdakı birgə sıxlıqla müəyyən edilən (x, h) cütünün paylanması kimi müəyyən edilir:
Tapşırıq 5.İki ölçülü təsadüfi vektor (x, h) üçbucağın daxilində bərabər paylansın. x>h bərabərsizliyinin ehtimalını hesablayın.
Həll. Göstərilən üçbucağın sahəsi bərabərdir (bax. Şəkil №?). İkiölçülü vahid paylanmanın tərifi sayəsində x, h təsadüfi dəyişənlərin birgə sıxlığı bərabərdir.
Hadisə çoxluğa uyğun gəlir 
bir təyyarədə, yəni yarım təyyarədə. Sonra ehtimal
B yarım müstəvisində birləşmə sıxlığı https://pandia.ru/text/78/107/images/image102_2.gif" width="15" height="17"> dəstindən kənarda sıfıra bərabərdir. yarım müstəvi B iki çoxluğa bölünür və https://pandia.ru/text/78/107/images/image110_1.gif" width="17" height="23"> və , ikinci inteqral isə bərabərdir sıfır, çünki orada birgə sıxlıq sıfıra bərabərdir. Buna görə də
Əgər (x, h) cütü üçün birgə paylanma sıxlığı verilirsə, onda hər iki komponentin sıxlığı x və h adlanır. özəl sıxlıqlar və düsturlarla hesablanır:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image116_1.gif" eni="224" hündürlük="23 src=">
Sıxlıqları рx(х), рh(у) olan fasiləsiz paylanmış təsadüfi dəyişənlər üçün müstəqillik o deməkdir ki,
Tapşırıq 6.Əvvəlki məsələnin şərtlərində x və h təsadüfi vektorunun komponentlərinin müstəqil olub-olmadığını müəyyən edin?
Həll. Gəlin qismən sıxlıqları hesablayaq və . Bizdə:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image119_1.gif" eni="283" hündürlük="61 src=">
Aydındır ki, bizim halda https://pandia.ru/text/78/107/images/image121_1.gif" width="64" height="25"> x və h kəmiyyətlərinin birgə sıxlığıdır və j( x, y) iki arqumentin funksiyasıdır, onda
https://pandia.ru/text/78/107/images/image123_1.gif" eni="184" hündürlük="152 src=">
Tapşırıq 7.Əvvəlki məsələnin şərtlərində hesablayın.
Həll. Yuxarıdakı düstura görə bizdə:
.
Üçbucağı kimi təmsil edir
https://pandia.ru/text/78/107/images/image127_1.gif" eni="479" hündürlük="59">
§ 5. İki fasiləsiz təsadüfi kəmiyyətin cəminin sıxlığı
Qoy x və h sıxlıqları olan müstəqil təsadüfi dəyişənlər olsun https://pandia.ru/text/78/107/images/image128_1.gif" width="43" height="25">. Təsadüfi kəmiyyətin sıxlığı x + h düsturla hesablanır qıvrım
https://pandia.ru/text/78/107/images/image130_0.gif" width="39" height="19 src=">. Cəmin sıxlığını hesablayın.
Həll. x və h parametri ilə eksponensial qanuna görə paylandığı üçün onların sıxlıqları bərabərdir.
Beləliklə,
https://pandia.ru/text/78/107/images/image134_0.gif" width="339 height=51" height="51">
Əgər x<0, то в этой формуле аргумент https://pandia.ru/text/78/107/images/image136_0.gif" width="65" height="25">mənfidir və buna görə də . Buna görə də, əgər https://pandia.ru/text/78/107/images/image140_0.gif" width="359 height=101" height="101">
Beləliklə, cavabı aldıq:
https://pandia.ru/text/78/107/images/image142_0.gif" width="40" height="41 "> normal olaraq 0 və 1 parametrləri ilə paylanır. X1 və x2 təsadüfi dəyişənlər müstəqildir və normaldır müvafiq olaraq a1 və a2 parametrləri olan paylanmalar.x1 + x2 normal paylanmaya malik olduğunu sübut edin.x1, x2,...xn təsadüfi dəyişənlər paylanmış və müstəqildir və eyni sıxlıq funksiyasına malikdir.
.
Dəyərlərin paylanma funksiyasını və paylanma sıxlığını tapın:
a) h1 = min (x1, x2, ...xn) ; b) h(2) = maks (x1,x2, ... xn)
Təsadüfi dəyişənlər x1, x2, ... xn müstəqildir və [a, b] intervalında bərabər paylanmışdır. Kəmiyyətlərin paylanmasının paylanma funksiyalarını və sıxlıq funksiyalarını tapın
x(1) = min (x1,x2, ... xn) və x(2)= max(x1, x2, ...xn).
Sübut edin ki, Mhttps://pandia.ru/text/78/107/images/image147_0.gif" width="176" height="47">.
Təsadüfi kəmiyyət Koşi qanununa əsasən paylanır Tapın: a) a əmsalı; b) paylanma funksiyası; c) intervala düşmə ehtimalı (-1, 1). Göstərin ki, x-in riyazi gözləntisi mövcud deyil. Təsadüfi kəmiyyət l (l>0) parametri ilə Laplas qanununa tabedir: a əmsalını tapın; paylanma sıxlığı qrafiklərini və paylanma funksiyalarını qurmaq; Mx və Dx tapın; hadisələrin ehtimallarını tapın (|x|< и {çxç<}. Случайная величина x подчинена закону Симпсона на отрезке [-а, а], т. е. график её плотности распределения имеет вид:
Paylanma sıxlığı üçün düstur yazın, Mx və Dx-i tapın.
Hesablama tapşırıqları.
Təsadüfi bir A nöqtəsi R radiuslu dairədə vahid paylanmaya malikdir. Nöqtənin dairənin mərkəzinə qədər olan r məsafəsinin riyazi gözləntisini və dispersiyasını tapın. r2 dəyərinin seqmentdə bərabər paylandığını göstərin. 
Təsadüfi dəyişənin paylanma sıxlığı aşağıdakı formaya malikdir: 
C sabitini, paylanma funksiyası F(x) və ehtimalı hesablayın 
Təsadüfi dəyişənin paylanma sıxlığı aşağıdakı formaya malikdir: 
C sabitini, paylanma funksiyası F(x) və ehtimalı hesablayın 
Təsadüfi dəyişənin paylanma sıxlığı aşağıdakı formaya malikdir: 
C sabitini, paylanma funksiyası F(x), , dispersiya və ehtimalı hesablayın.Təsadüfi dəyişənin paylanma funksiyası var. 
Təsadüfi dəyişənin sıxlığını, riyazi gözləntiləri, dispersiyanı və ehtimalı hesablayın. 
təsadüfi dəyişənin paylanma funksiyası ola bilər. Bu kəmiyyətin ədədi xarakteristikalarını tapın: Mx və Dx. Təsadüfi dəyişən seqmentdə bərabər paylanmışdır. Paylanma sıxlığını yazın. Paylanma funksiyasını tapın. Təsadüfi dəyişənin seqmentə və seqmentə düşmə ehtimalını tapın. Paylanma sıxlığı x bərabərdir
.
c sabitini, paylanma sıxlığını h = və ehtimalı tapın
P (0,25 Kompüterin uğursuz işləmə müddəti l = 0,05 (saatda uğursuzluq) parametri ilə eksponensial qanuna uyğun olaraq paylanır, yəni sıxlıq funksiyasına malikdir. p(x) = Müəyyən bir problemin həlli maşının 15 dəqiqə ərzində problemsiz işləməsini tələb edir. Problemin həlli zamanı nasazlıq baş verərsə, səhv yalnız həll yolu başa çatdıqdan sonra aşkar edilir və problem yenidən həll edilir. Tapın: a) məsələnin həlli zamanı heç bir uğursuzluğun baş verməməsi ehtimalı; b) problemin həll olunacağı orta vaxt. 24 sm uzunluğunda bir çubuq iki hissəyə parçalanır; Qırılma nöqtəsinin çubuğun bütün uzunluğu boyunca bərabər paylandığını düşünəcəyik. Çubuğun əksəriyyətinin orta uzunluğu nə qədərdir? 12 sm uzunluğunda bir parça təsadüfi olaraq iki hissəyə kəsilir. Kəsmə nöqtəsi seqmentin bütün uzunluğu boyunca bərabər paylanır. Seqmentin kiçik hissəsinin orta uzunluğu nə qədərdir? Təsadüfi dəyişən seqmentdə bərabər paylanmışdır. Təsadüfi kəmiyyətin paylanma sıxlığını tapın a) h1 = 2x + 1; b) h2 =-ln(1-x); c) h3 =. Göstərin ki, əgər x davamlı paylama funksiyasına malikdirsə F(x) = P(x Seqmentlər üzrə vahid paylanma qanunları ilə və müvafiq olaraq iki müstəqil kəmiyyətin x və h cəminin sıxlıq funksiyasını və paylanma funksiyasını tapın. x və h təsadüfi dəyişənlər müstəqildir və müvafiq olaraq seqmentlər üzrə bərabər paylanmışdır. x+h cəminin sıxlığını hesablayın. x və h təsadüfi dəyişənlər müstəqildir və müvafiq olaraq seqmentlər üzrə bərabər paylanmışdır. x+h cəminin sıxlığını hesablayın. x və h təsadüfi dəyişənlər müstəqildir və müvafiq olaraq seqmentlər üzrə bərabər paylanmışdır. x+h cəminin sıxlığını hesablayın. Təsadüfi dəyişənlər müstəqildir və sıxlıqla eksponensial paylanmaya malikdir Paylanma funksiyası təsadüfi dəyişən X funksiyası adlanır F(X), hər biri üçün ifadə edilir X təsadüfi dəyişən olma ehtimalı X-dən aşağı qiymət alacaq X:. Funksiya F(X) bəzən deyilir inteqral paylama funksiyası, və ya paylanmanın inteqral qanunu. Təsadüfi dəyər Xçağırdı davamlı, əgər onun paylanma funksiyası hər hansı bir nöqtədə fasiləsizdirsə və ayrı-ayrı nöqtələr istisna olmaqla, hər yerdə diferensiallana bilirsə. Nümunələr davamlı təsadüfi dəyişənlər: dönərin verilmiş ölçüyə çevirdiyi hissənin diametri, insanın hündürlüyü, mərminin uçuş məsafəsi və s. Teorem. Davamlı təsadüfi dəyişənin hər hansı fərdi qiymətinin olma ehtimalı sıfırdır Nəticə.Əgər X fasiləsiz təsadüfi kəmiyyətdir, onda təsadüfi dəyişənin intervala düşmə ehtimalı Davamlı təsadüfi dəyişən olarsa X yalnız arasında dəyərlər götürə bilər Aəvvəl b(Harada A Və b- bəzi sabitlər), onda onun paylanma funksiyası bütün qiymətlər üçün sıfıra bərabərdir Diskret təsadüfi kəmiyyətlərin paylanma funksiyalarının bütün xassələri davamlı təsadüfi dəyişənlərin paylanma funksiyaları üçün də ödənilir. Paylanma funksiyasından istifadə edərək fasiləsiz təsadüfi dəyişənin təyin edilməsi yeganə yol deyil. Ehtimal sıxlığı
(paylanma sıxlığı və ya sıxlıq)
R(X) davamlı təsadüfi dəyişən X paylanma funksiyasının törəməsi adlanır Ehtimal sıxlığı R(X), həmçinin paylama funksiyası F(X), paylanma qanununun formalarından biridir, lakin paylama funksiyasından fərqli olaraq, yalnız üçün mövcuddur davamlı təsadüfi dəyişənlər. Ehtimal sıxlığı bəzən deyilir diferensial funksiya və ya diferensial paylanma qanunu. Ehtimal sıxlığı qrafiki paylanma əyrisi adlanır. Xüsusiyyətlər davamlı təsadüfi dəyişənin ehtimal sıxlığı: düyü. 8.1 düyü. 8.2 4.
Həndəsi olaraq, ehtimal sıxlığının xüsusiyyətləri onun qrafikinin - paylama əyrisinin - absis oxundan aşağı olmadığını və paylama əyrisi və absis oxu ilə məhdudlaşan fiqurun ümumi sahəsinin birinə bərabər olduğunu bildirir. Misal 8.1. Elektrikli saatın əqrəbi hər dəqiqə sürətlə hərəkət edir. Saatına baxdın. Göstərirlər A dəqiqə. O zaman sizin üçün müəyyən bir anda əsl vaxt təsadüfi dəyişən olacaqdır. Onun paylanma funksiyasını tapın. Həll. Aydındır ki, əsl vaxt paylama funksiyası hamı üçün 0-a bərabərdir HAQQINDA düyü. 8.3 Misal 8.2. Bəzi təsadüfi dəyişənin paylama funksiyası funksiyadır Həll. Bu funksiyanın bütün dəyərləri seqmentə aiddir Bərabərliklər də mövcuddur: Buna görə də funksiya Misal 8.3. Bəzi təsadüfi dəyişənin paylama funksiyası funksiyadır Həll. Bu funksiya təsadüfi dəyişənin paylama funksiyası deyil, çünki arasında düyü. 8.5 Misal 8.4. Təsadüfi dəyər X paylanma funksiyası ilə verilir Əmsal tapın A və təsadüfi dəyişənin ehtimal sıxlığı X. Bərabərsizlik ehtimalını təyin edin Həll. Paylanma sıxlığı paylama funksiyasının birinci törəməsinə bərabərdir Əmsal A bərabərlikdən istifadə etməklə müəyyən edilir Eyni nəticəni funksiyanın davamlılığından istifadə etməklə də əldə etmək olar Beləliklə, Buna görə də ehtimal sıxlığı formaya malikdir Ehtimal Misal 8.5. Təsadüfi dəyər X ehtimal sıxlığına malikdir (Koşi qanunu) Əmsal tapın A və təsadüfi dəyişənin olma ehtimalı X intervaldan müəyyən dəyər alacaq Həll.əmsalı tapaq A bərabərlikdən Beləliklə, Belə ki, Təsadüfi dəyişən olma ehtimalı X intervaldan müəyyən dəyər alacaq Bu təsadüfi kəmənin paylanma funksiyasını tapaq P düyü. 8.6 Həll. Qrafikdən istifadə edərək, verilmiş təsadüfi dəyişənin ehtimal paylama sıxlığının analitik ifadəsini yazırıq. Paylanma funksiyasını tapaq. Əgər Əgər Əgər Əgər Buna görə də paylama funksiyası formaya malikdir
Fəsil 1. Diskret təsadüfi dəyişən
§
1. Təsadüfi dəyişən anlayışları. Diskret təsadüfi kəmənin paylanma qanunu. Tərif
: Təsadüfi, sınaq nəticəsində, əvvəlcədən bilinməyən və təsadüfi səbəblərdən asılı olaraq, mümkün qiymətlər toplusundan yalnız bir qiymət alan kəmiyyətdir. Təsadüfi dəyişənlərin iki növü var: diskret və davamlı. Tərif
: X təsadüfi dəyişən adlanır diskret
(fasiləsiz) əgər onun dəyərlər dəsti sonlu və ya sonsuzdur, lakin hesablana bilirsə. Başqa sözlə, mümkün dəyərlər Diskret təsadüfi dəyişən yenidən nömrələnə bilər. Təsadüfi dəyişən onun paylanma qanunundan istifadə edərək təsvir edilə bilər. Tərif
: Diskret təsadüfi kəmənin paylanma qanunu
təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətləri ilə onların ehtimalları arasındakı uyğunluğu çağırın. Diskret təsadüfi dəyişən X-in paylanma qanunu cədvəl şəklində göstərilə bilər, onun birinci sətirində təsadüfi dəyişənin bütün mümkün qiymətləri artan qaydada, ikinci sətirdə isə bunların müvafiq ehtimalları göstərilir. dəyərlər, yəni. burada р1+ р2+…+ рn=1 Belə cədvəl diskret təsadüfi dəyişənin paylanma sırası adlanır. Təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlər çoxluğu sonsuzdursa, p1+ p2+…+ pn+… seriyası birləşir və onun cəmi 1-ə bərabərdir. Diskret təsadüfi dəyişən X-in paylanma qanunu qrafik şəkildə təsvir edilə bilər, bunun üçün düzbucaqlı koordinat sistemində nöqtələri ardıcıl olaraq koordinatları (xi; pi), i=1,2,…n birləşdirən sınıq xətt qurulur. Nəticə xətti adlanır paylama poliqonu
(şək. 1). Üzvi kimya" href="/text/category/organicheskaya_hiimya/" rel="bookmark">üzvi kimya müvafiq olaraq 0,7 və 0,8-dir. X təsadüfi dəyişəni üçün paylanma qanununu tərtib edin - tələbənin keçəcəyi imtahanların sayı. Həll.
İmtahan nəticəsində hesab edilən təsadüfi dəyişən X aşağıdakı qiymətlərdən birini qəbul edə bilər: x1=0, x2=1, x3=2. Bu dəyərlərin ehtimalını tapaq.Hadisələri işarə edək: https://pandia.ru/text/78/455/images/image004_81.jpg" eni="259" hündürlük="66 src="> Beləliklə, X təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanunu cədvəllə verilir: Nəzarət: 0,6+0,38+0,56=1. §
2. Paylanma funksiyası Təsadüfi dəyişənin tam təsviri paylama funksiyası ilə də verilir. Tərif: Diskret təsadüfi dəyişən X-in paylanma funksiyası
hər bir x dəyəri üçün X təsadüfi dəyişənin x-dən kiçik qiymət alması ehtimalını təyin edən F(x) funksiyası adlanır: F(x)=P(X<х) Həndəsi olaraq paylanma funksiyası X təsadüfi dəyişənin say xəttində x nöqtəsinin solunda yerləşən nöqtə ilə ifadə olunan dəyəri alması ehtimalı kimi şərh edilir.
1)0≤ F(x) ≤1; 2) F(x) (-∞;+∞) üzərində azalmayan funksiyadır; 3) F(x) - x= xi (i=1,2,...n) nöqtələrində solda davamlı və bütün digər nöqtələrdə davamlı; 4) F(-∞)=P (X<-∞)=0 как вероятность невозможного события Х<-∞, F(+∞)=P(X<+∞)=1 как вероятность достоверного события Х<-∞. Diskret təsadüfi kəmiyyət X-in paylanma qanunu cədvəl şəklində verilirsə: onda F(x) paylanma funksiyası düsturla müəyyən edilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> x≤ x1 üçün 0, r1 x1-də< х≤ x2, F(x)= x2-də р1 + р2< х≤ х3 x> xn üçün 1. Onun qrafiki Şəkil 2-də göstərilmişdir: §
3. Diskret təsadüfi kəmiyyətin ədədi xarakteristikaları. Əhəmiyyətli ədədi xüsusiyyətlərdən biri riyazi gözləntidir. Tərif: Riyazi gözlənti M(X)
diskret təsadüfi dəyişən X onun bütün dəyərlərinin və onlara uyğun ehtimalların məhsullarının cəmidir: M(X) =
∑ xiри= x1р1 + x2р2+…+ xnрn Riyazi gözlənti təsadüfi dəyişənin orta qiymətinin xarakteristikası kimi çıxış edir. Riyazi gözləmənin xüsusiyyətləri:
1)M(C)=C, burada C sabit qiymətdir; 2)M(C X)=C M(X), 3)M(X±Y)=M(X) ±M(Y); 4)M(X Y)=M(X) M(Y), burada X, Y müstəqil təsadüfi dəyişənlərdir; 5)M(X±C)=M(X)±C, burada C sabit qiymətdir; Diskret təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin orta dəyəri ətrafında dispersiya dərəcəsini xarakterizə etmək üçün dispersiyadan istifadə olunur. Tərif:
Fərqlilik
D
(
X
)
təsadüfi dəyişən X təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisindən kvadrat sapmasının riyazi gözləntisidir:
Dispersiya xüsusiyyətləri:
1)D(C)=0, burada C sabit qiymətdir; 2)D(X)>0, burada X təsadüfi dəyişəndir; 3)D(C X)=C2 D(X), burada C sabit qiymətdir; 4)D(X+Y)=D(X)+D(Y), burada X, Y müstəqil təsadüfi dəyişənlərdir; Dispersiyanı hesablamaq üçün düsturdan istifadə etmək çox vaxt rahatdır: D(X)=M(X2)-(M(X))2, burada M(X)=∑ xi2рi= x12р1 + x22р2+…+ xn2рn D(X) dispersiyasının kvadrat təsadüfi kəmiyyət ölçüsü var ki, bu da həmişə əlverişli deyil. Buna görə də, √D(X) dəyəri təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin dispersiyasının göstəricisi kimi də istifadə olunur. Tərif: Standart sapma σ(X)
X təsadüfi dəyişəni dispersiyanın kvadrat kökü adlanır: Tapşırıq № 2. Diskret təsadüfi dəyişən X paylama qanunu ilə müəyyən edilir: P2, paylanma funksiyası F(x)-i tapın və onun qrafikini, həmçinin M(X), D(X), σ(X) qrafikini çəkin. Həll:
X təsadüfi kəmiyyətinin mümkün qiymətlərinin ehtimallarının cəmi 1-ə bərabər olduğundan, onda Р2=1- (0,1+0,3+0,2+0,3)=0,1 F(x)=P(X) paylanma funksiyasını tapaq Həndəsi cəhətdən bu bərabərliyi aşağıdakı kimi şərh etmək olar: F(x) təsadüfi dəyişənin say oxunda x nöqtəsinin solunda yerləşən nöqtə ilə ifadə olunan qiyməti alma ehtimalıdır. Əgər x≤-1 olarsa, onda F(x)=0, çünki (-∞;x) üzərində bu təsadüfi dəyişənin tək qiyməti yoxdur; Əgər -1<х≤0, то F(х)=Р(Х=-1)=0,1, т. к. в промежуток (-∞;х) попадает только одно значение x1=-1; Əgər 0<х≤1, то F(х)=Р(Х=-1)+ Р(Х=0)=0,1+0,1=0,2, т. к. в промежуток (-∞;x) iki qiymət var x1=-1 və x2=0; Əgər 1<х≤2, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)= 0,1+0,1+0,3=0,5, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают три значения x1=-1, x2=0 и x3=1; Əgər 2<х≤3, то F(х)=Р(Х=-1) + Р(Х=0)+ Р(Х=1)+ Р(Х=2)= 0,1+0,1+0,3+0,2=0,7, т. к. в промежуток (-∞;х) попадают четыре значения x1=-1, x2=0,x3=1 и х4=2; Əgər x>3 olarsa, onda F(x)=P(X=-1) + P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+P(X=3)= 0,1 +0,1 +0,3+0,2+0,3=1, çünki dörd qiymət x1=-1, x2=0, x3=1, x4=2 (-∞;x) və x5=3 intervalına düşür. https://pandia.ru/text/78/455/images/image006_89.gif" eni="14 hündürlük=2" hündürlük="2"> x≤-1-də 0, -1-də 0,1<х≤0, 0-da 0.2<х≤1, F(x)= 1-də 0,5<х≤2, 2-də 0,7<х≤3, 1-də x>3 F(x) funksiyasını qrafik olaraq təqdim edək (şək. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image014_24.jpg" eni="158 hündürlük=29" hündürlük="29">≈1,2845. §
4. Binom paylanma qanunu diskret təsadüfi dəyişən, Puasson qanunu. Tərif: binomial
diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanması qanunu adlanır X - hər birində A hadisəsi p ehtimalı ilə baş verə bilən və ya q = 1-p ehtimalı ilə baş verməyən n müstəqil təkrar sınaqda A hadisəsinin baş vermələrinin sayı. Onda P(X=m) - n sınaqda A hadisəsinin düz m dəfə baş vermə ehtimalı Bernulli düsturu ilə hesablanır: Р(Х=m)=Сmnpmqn-m İkili qanuna görə paylanmış X təsadüfi kəmiyyətinin riyazi gözləntiləri, dispersiyası və standart sapması müvafiq olaraq düsturlardan istifadə etməklə tapılır: https://pandia.ru/text/78/455/images/image016_31.gif" width="26"> Hər sınaqda A hadisəsinin baş vermə ehtimalı - "beşin atılması" eynidir və 1/6-ya bərabərdir. , yəni P(A)=p=1/6, onda P(A)=1-p=q=5/6, burada - "A ala bilməmək." X təsadüfi dəyişəni aşağıdakı qiymətləri qəbul edə bilər: 0;1;2;3. Bernoulli düsturundan istifadə edərək X-in mümkün qiymətlərinin hər birinin ehtimalını tapırıq: Р(Х=0)=Р3(0)=С03р0q3=1 (1/6)0 (5/6)3=125/216; Р(Х=1)=Р3(1)=С13р1q2=3 (1/6)1 (5/6)2=75/216; Р(Х=2)=Р3(2)=С23р2q =3 (1/6)2 (5/6)1=15/216; Р(Х=3)=Р3(3)=С33р3q0=1 (1/6)3 (5/6)0=1/216. Bu. X təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanunu aşağıdakı formaya malikdir: Nəzarət: 125/216+75/216+15/216+1/216=1. X təsadüfi kəmiyyətinin ədədi xarakteristikalarını tapaq: M(X)=np=3 (1/6)=1/2, D(X)=npq=3 (1/6) (5/6)=5/12, Tapşırıq № 4. Avtomatik maşın hissələri möhürləyir. İstehsal edilmiş hissənin qüsurlu olma ehtimalı 0,002-dir. 1000 seçilmiş hissə arasında olma ehtimalını tapın: a) 5 qüsurlu; b) ən azı biri qüsurludur. Həll:
n=1000 ədədi böyükdür, qüsurlu hissənin əmələ gəlməsi ehtimalı p=0,002 azdır və nəzərdən keçirilən hadisələr (hissə qüsurlu olur) müstəqildir, buna görə də Puasson düsturu yerinə yetirilir: Рn(m)= e-
λ
λm λ=np=1000 0,002=2 tapaq. a) 5 qüsurlu hissənin olma ehtimalını tapın (m=5): Р1000(5)= e-2
25
= 32 0,13534
= 0,0361 b) Ən azı bir qüsurlu hissənin olma ehtimalını tapın. A hadisəsi - “seçilmiş hissələrdən ən azı biri nasazdır” əks hadisə- “bütün seçilmiş hissələr qüsurlu deyil.” Buna görə də, P(A) = 1-P(). Beləliklə, istənilən ehtimal bərabərdir: P(A)=1-P1000(0)=1- e-2
20
= 1- e-2=1-0,13534≈0,865. Müstəqil iş üçün tapşırıqlar.
1.1
1.2.
Dağılmış təsadüfi dəyişən X paylama qanunu ilə müəyyən edilir: p4-ü, F(X) paylama funksiyasını tapın və onun qrafikini, həmçinin M(X), D(X), σ(X) qrafikini çəkin. 1.3.
Qutuda 9 marker var, 2-si artıq yazmır. Təsadüfi olaraq 3 marker götürün. Təsadüfi dəyişən X götürülənlər arasında yazı markerlərinin sayıdır. Təsadüfi dəyişənin paylanma qanununu tərtib edin. 1.4.
Kitabxananın rəfində təsadüfi şəkildə düzülmüş 6 dərslik var, onlardan 4-ü cildlidir. Kitabxanaçı təsadüfi qaydada 4 dərsliyi götürür. Təsadüfi dəyişən X götürülənlər arasında cildlənmiş dərsliklərin sayıdır. Təsadüfi dəyişənin paylanma qanununu tərtib edin. 1.5.
Biletdə iki tapşırıq var. Birinci məsələnin düzgün həlli ehtimalı 0,9, ikincisi isə 0,7-dir. Təsadüfi dəyişən X biletdəki düzgün həll edilmiş problemlərin sayıdır. Paylanma qanununu tərtib edin, bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini və dispersiyasını hesablayın, həmçinin F(x) paylanma funksiyasını tapın və onun qrafikini qurun. 1.6.
Üç atıcı hədəfə atəş açır. Bir atışla hədəfi vurma ehtimalı birinci atıcı üçün 0,5, ikinci üçün 0,8, üçüncü üçün isə 0,7-dir. Təsadüfi dəyişən X, atıcılar hər dəfə bir atəş açdıqları təqdirdə hədəfə vurulan vuruşların sayıdır. M(X),D(X) paylanma qanununu tapın. 1.7.
Basketbolçu topu səbətə atır, hər vuruşa dəymə ehtimalı 0,8. Hər vuruş üçün o, 10 xal alır və qaçırsa, ona heç bir xal verilmir. X təsadüfi dəyişəni üçün paylama qanununu tərtib edin - basketbolçunun 3 atışda aldığı xalların sayı. M(X),D(X), eləcə də onun 10 baldan çox alma ehtimalını tapın. 1.8.
Kartların üzərinə hərflər yazılır, cəmi 5 sait və 3 samit. 3 kart təsadüfi seçilir və hər dəfə götürülmüş kart geri qaytarılır. Təsadüfi dəyişən X götürülənlər arasında saitlərin sayıdır. Paylanma qanununu tərtib edin və M(X),D(X),σ(X) tapın. 1.9.
Orta hesabla, müqavilələrin 60% -i Sığorta Şirkəti sığorta hadisəsinin baş verməsi ilə əlaqədar sığorta məbləğlərini ödəyir. X təsadüfi dəyişəni üçün paylama qanununu tərtib edin - təsadüfi seçilmiş dörd müqavilə arasında sığorta məbləğinin ödənildiyi müqavilələrin sayı. Bu kəmiyyətin ədədi xarakteristikalarını tapın. 1.10.
Radiostansiya ikitərəfli rabitə qurulana qədər müəyyən fasilələrlə çağırış işarələrini (dörddən çox olmayan) göndərir. Zəng işarəsinə cavab alma ehtimalı 0,3-dür. Təsadüfi dəyişən X göndərilən zəng işarələrinin sayıdır. Paylanma qanununu tərtib edin və F(x) tapın. 1.11.
3 açar var, onlardan yalnız biri kilidə uyğundur. Təsadüfi dəyişən X-nin paylanması qanununu tərtib edin, əgər sınanmış açar sonrakı cəhdlərdə iştirak etmirsə, kilidi açmaq cəhdlərinin sayı. M(X),D(X) tapın. 1.12.
Etibarlılıq üçün üç cihazın ardıcıl müstəqil sınaqları aparılır. Hər bir sonrakı cihaz yalnız əvvəlkinin etibarlı olduğu halda sınaqdan keçirilir. Hər bir cihaz üçün testdən keçmə ehtimalı 0,9-dur. Test edilmiş cihazların təsadüfi dəyişən X sayı üçün paylama qanununu tərtib edin. 1.13
.X diskret təsadüfi dəyişənin üç mümkün qiyməti var: x1=1, x2, x3 və x1<х2<х3. Вероятность того, что Х примет значения х1 и х2, соответственно равны 0,3 и 0,2. Известно, что М(Х)=2,2, D(X)=0,76. Составить закон распределения случайной величины. 1.14.
Elektron cihaz blokunda 100 eyni element var. T zamanı hər bir elementin sıradan çıxma ehtimalı 0,002-dir. Elementlər müstəqil işləyir. T zamanı ərzində ikidən çox olmayan elementin sıradan çıxma ehtimalını tapın. 1.15.
Dərslik 50 min nüsxə tirajla nəşr edilmişdir. Dərsliyin səhv bağlanma ehtimalı 0,0002-dir. Sirkulyasiyada aşağıdakıların olma ehtimalını tapın: a) dörd qüsurlu kitab, b) ikidən az qüsurlu kitab. 1
.16.
Hər dəqiqə ATS-ə daxil olan zənglərin sayı λ=1,5 parametri ilə Puasson qanununa əsasən paylanır. Bir dəqiqədən sonra aşağıdakıların gəlməsi ehtimalını tapın: a) iki zəng; b) ən azı bir zəng. 1.17.
Z=3X+Y olarsa M(Z),D(Z)-i tapın. 1.18.
İki müstəqil təsadüfi dəyişənin paylanma qanunları verilmişdir: Z=X+2Y olarsa M(Z),D(Z)-i tapın. Cavablar:
https://pandia.ru/text/78/455/images/image007_76.gif" height="110"> 1.1.
p3=0,4; x≤-2-də 0, -2-də 0,3<х≤0, F(x)= 0-da 0.5<х≤2, 2-də 0,9<х≤5, 1-də x>5 -1-də 0,3<х≤0, 0-da 0.4<х≤1, F(x)= 1-də 0,6<х≤2, 2-də 0,7<х≤3, 1-də x>3 M(X)=1; D(X)=2,6; σ(X) ≈1,612. https://pandia.ru/text/78/455/images/image025_24.gif" eni="2 hündürlük=98" hündürlük="98"> x≤0-da 0, 0-da 0.03<х≤1, F(x)= 1-də 0,37<х≤2, x>2 üçün 1 M(X)=2; D(X)=0,62 M(X)=2,4; D(X)=0,48, P(X>10)=0,896 1.
8
.
M(X)=15/8; D(X)=45/64; σ(X) ≈ M(X)=2,4; D(X)=0,96 https://pandia.ru/text/78/455/images/image008_71.gif" width="14"> 1.11.
M(X)=2; D(X)=2/3 1.14.
1,22 e-0,2≈0,999 1.15.
a) 0,0189; b) 0,00049 1.16.
a)0,0702; b) 0,77687 1.17.
3,8; 14,2 1.18.
11,2; 4. Fəsil 2. Davamlı təsadüfi dəyişən
Tərif: Davamlı
bütün mümkün dəyərləri say xəttinin sonlu və ya sonsuz diapazonunu tamamilə dolduran bir kəmiyyətdir. Aydındır ki, fasiləsiz təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin sayı sonsuzdur. Fasiləsiz təsadüfi dəyişən paylama funksiyasından istifadə etməklə təyin edilə bilər. Tərif: F paylama funksiyası
fasiləsiz təsadüfi dəyişən X hər bir dəyər üçün müəyyən edən F(x) funksiyası adlanır. R Paylanma funksiyası bəzən məcmu paylama funksiyası adlanır. Paylanma funksiyasının xüsusiyyətləri:
1)1≤ F(x) ≤1 2) Davamlı təsadüfi dəyişən üçün paylama funksiyası istənilən nöqtədə fasiləsizdir və ayrı-ayrı nöqtələr istisna olmaqla, hər yerdə diferensiallana bilir. 3) X təsadüfi dəyişənin (a;b), [a;b], [a;b] intervallarından birinə düşmə ehtimalı F(x) funksiyasının qiymətləri arasındakı fərqə bərabərdir. a və b nöqtələrində, yəni. R(a)<Х 4) X davamlı təsadüfi dəyişənin bir ayrı qiymət alması ehtimalı 0-dır. 5) F(-∞)=0, F(+∞)=1 Paylanma funksiyasından istifadə edərək fasiləsiz təsadüfi dəyişənin təyin edilməsi yeganə yol deyil. Ehtimalın paylanma sıxlığı (paylanma sıxlığı) anlayışını təqdim edək. Tərif
:
Ehtimalın paylanması sıxlığı
f
(
x
)
fasiləsiz təsadüfi dəyişən X-in paylanma funksiyasının törəməsidir, yəni: Ehtimal sıxlığı funksiyası bəzən diferensial paylanma funksiyası və ya diferensial paylanma qanunu adlanır. f(x) ehtimal sıxlığının paylanmasının qrafiki adlanır ehtimal paylama əyrisi
.
Ehtimal sıxlığının paylanmasının xüsusiyyətləri:
1) f(x) ≥0, xhttps://pandia.ru/text/78/455/images/image029_10.jpg" width="285" height="141">.gif" eni="14" hündürlükdə ="62 src="> x≤2-də 0, f(x)= c(x-2) 2-də<х≤6, x>6 üçün 0. Tapın: a) c-nin qiymətini; b) paylanma funksiyası F(x) və onun qrafiki; c) P(3≤x<5) Həll:
+
∞ a) Normallaşma şərtindən c-nin qiymətini tapırıq: ∫ f(x)dx=1. Buna görə -∞ https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38 src="> -∞ 2 2 x əgər 2<х≤6, то F(x)= ∫ 0dx+∫ 1/8(х-2)dx=1/8(х2/2-2х) = 1/8(х2/2-2х - (4/2-4))= 1/8(x2/2-2x+2)=1/16(x-2)2; Gif" eni="14" hündürlüyü="62"> x≤2-də 0, F(x)= (x-2)2/16-da 2<х≤6, x>6 üçün 1. F(x) funksiyasının qrafiki şək 3-də göstərilmişdir https://pandia.ru/text/78/455/images/image034_23.gif" eni="14" hündürlük="62 src="> x≤0-da 0, F(x)= (3 arktan x)/π 0-da<х≤√3, x>√3 üçün 1. f(x) diferensial paylanma funksiyasını tapın Həll:
f(x)= F’(x) olduğundan https://pandia.ru/text/78/455/images/image011_36.jpg" eni="118" hündürlük="24"> Daha əvvəl dispers təsadüfi dəyişənlər üçün müzakirə edilən riyazi gözləmə və dispersiyanın bütün xassələri davamlı olanlar üçün də etibarlıdır. Tapşırıq №3. X təsadüfi dəyişəni f(x) diferensial funksiyası ilə müəyyən edilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image036_19.gif" height="38"> -∞ 2 X3/9 + x2/6 = 8/9-0+9/6-4/6=31/18, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> +∞ D(X)= ∫ x2 f(x)dx-(M(x))2=∫ x2 x/3 dx+∫1/3x2 dx=(31/18)2=x4/12 + x3/9 - - (31/18)2=16/12-0+27/9-8/9-(31/18)2=31/9- (31/18)2==31/9(1-31/36)=155/324, https://pandia.ru/text/78/455/images/image032_23.gif" height="38"> P(1<х<5)= ∫ f(x)dx=∫ х/3 dx+∫ 1/3 dx+∫ 0 dx= х2/6 +1/3х = 4/6-1/6+1-2/3=5/6. Müstəqil həll üçün problemlər.
2.1.
Fasiləsiz təsadüfi dəyişən X paylama funksiyası ilə müəyyən edilir: x≤0-da 0, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 üçün 0, F(x)= - π/6-da cos 3x<х≤ π/3, x> π/3 üçün 1. f(x) diferensial paylanma funksiyasını tapın və həmçinin Р(2π /9<Х< π /2). 2.3.
x≤2-də 0, f(x)= c x 2-də<х≤4, x>4 üçün 0. 2.4.
Fasiləsiz təsadüfi dəyişən X paylanma sıxlığı ilə müəyyən edilir: x≤0-da 0, f(x)= 0-da c √x<х≤1, x>1 üçün 0. Tapın: a) c rəqəmi; b) M(X), D(X). 2.5.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image041_3.jpg" width="36" height="39"> x at, 0-da x. Tapın: a) F(x) və onun qrafikini qurun; b) M(X),D(X), σ(X); c) dörddə olma ehtimalı müstəqil testlər X dəyəri (1;4) intervalına aid dəyərin düz 2 qatını alacaq. 2.6.
Fasiləsiz X təsadüfi kəmiyyətinin ehtimal paylama sıxlığı verilir: f(x)= 2(x-2) x-də, 0-da x. Tapın: a) F(x) və onun qrafikini qurun; b) M(X),D(X), σ (X); c) üç müstəqil sınaqda X-in dəyərinin seqmentə aid dəyərin düz 2 qatını alması ehtimalı . 2.7.
f(x) funksiyası aşağıdakı kimi verilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image045_4.jpg" width="43" height="38 src=">.jpg" width="16" height="15">[-√ 3/2; √3/2]. 2.8.
f(x) funksiyası aşağıdakı kimi verilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image046_5.jpg" eni="45" hündürlük="36 src="> .jpg" eni="16" hündürlük="15">[- π /4; π /4]. Tapın: a) funksiyanın bəzi X təsadüfi kəmiyyətinin ehtimal sıxlığı olacağı c sabitinin qiymətini; b) paylanma funksiyası F(x). 2.9.
(3;7) intervalında cəmlənmiş X təsadüfi kəmiyyəti F(x)= paylanma funksiyası ilə təyin olunur. Bunun ehtimalını tapın təsadüfi dəyişən X dəyəri alacaq: a) 5-dən az, b) 7-dən az deyil. 2.10.
Təsadüfi dəyişən X, intervalda cəmlənmişdir (-1;4), F(x)= paylanma funksiyası ilə verilir. Bunun ehtimalını tapın təsadüfi dəyişən X dəyəri alacaq: a) 2-dən az, b) 4-dən az deyil. 2.11.
https://pandia.ru/text/78/455/images/image049_6.jpg" width="43" height="44 src="> .jpg" width="16" height="15">. Tapın: a) c ədədi; b) M(X); c) ehtimal P(X> M(X)). 2.12.
Təsadüfi dəyişən diferensial paylama funksiyası ilə müəyyən edilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image050_3.jpg" eni="60" hündürlük="38 src=">.jpg" eni="16 hündürlük=15" hündürlük="15"> . Tapın: a) M(X); b) ehtimal P(X≤M(X)) 2.13.
Rem paylanması ehtimal sıxlığı ilə verilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image052_5.jpg" width="46" height="37"> x ≥0 üçün. Sübut edin ki, f(x) həqiqətən də ehtimal sıxlığı funksiyasıdır. 2.14.
Fasiləsiz X təsadüfi kəmiyyətinin ehtimal paylama sıxlığı verilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image054_3.jpg" width="174" height="136 src=">(Şəkil 4) 2.16.
X təsadüfi dəyişəni qanuna uyğun olaraq paylanır. düz üçbucaq"(0;4) intervalında (şək. 5). Bütün say xəttində f(x) ehtimal sıxlığının analitik ifadəsini tapın. Cavablar
x≤0-da 0, f(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤ π/6 üçün 0, π/6-da F(x)= 3sin 3x<х≤ π/3, x> π/3 üçün 0. Davamlı təsadüfi dəyişən X var vahid qanun X-nin bütün mümkün qiymətlərini ehtiva edən müəyyən bir interval (a;b) üzrə paylanma, əgər ehtimal paylanması sıxlığı f(x) bu intervalda sabitdirsə və onun xaricində 0-a bərabərdirsə, yəni. x≤a üçün 0, a üçün f(x)=<х x≥b üçün 0. f(x) funksiyasının qrafiki şəkildə göstərilmişdir. 1 F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image077_3.jpg" width="30" height="37">, D(X)=, σ(X)=. Tapşırıq №1. X təsadüfi dəyişəni seqmentdə bərabər paylanmışdır. Tapın: a) ehtimalın paylanması sıxlığı f(x) və onun qrafikini qurun; b) paylanma funksiyası F(x) və onun qrafiki; c) M(X),D(X), σ(X). Həll:
Yuxarıda müzakirə olunan düsturlardan istifadə edərək a=3, b=7 ilə tapırıq: https://pandia.ru/text/78/455/images/image081_2.jpg" eni="22" hündürlük="39"> 3≤х≤7-də, x>7 üçün 0 Onun qrafikini quraq (şək. 3): https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86 src="> 0 at x≤3, F(x)= https://pandia.ru/text/78/455/images/image084_3.jpg" eni="203" hündürlük="119 src=">Şəkil 4 D(X) = ==https://pandia.ru/text/78/455/images/image089_1.jpg" width="37" height="43">==https://pandia.ru/text/ 78/455/images/image092_10.gif" eni="14" hündürlük="49 src="> x-də 0<0, f(x)= x≥0 üçün λе-λх. Eksponensial qanuna görə paylanmış X təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyası düsturla verilir: https://pandia.ru/text/78/455/images/image094_4.jpg" width="191" height="126 src=">fig..jpg" width="22" height="30"> , D(X)=, σ (Х)= Beləliklə, riyazi gözlənti və eksponensial paylanmanın standart kənarlaşması bir-birinə bərabərdir. X-in (a;b) intervalına düşmə ehtimalı düsturla hesablanır: P(a<Х Tapşırıq № 2. Cihazın orta nasazlıqsız işləmə müddəti 100 saatdır.Aparatın nasazlıqsız işləmə müddətinin eksponensial paylanma qanununa malik olduğunu fərz etsək, tapın: a) ehtimalın paylanma sıxlığı; b) paylanma funksiyası; c) cihazın nasazlıqsız işləmə müddətinin 120 saatdan çox olma ehtimalı. Həll:
Şərtə görə, riyazi paylanma M(X)=https://pandia.ru/text/78/455/images/image098_10.gif" height="43 src="> 0 at x<0, a) x≥0 üçün f(x)= 0,01e -0,01x. b) x-də F(x)= 0<0, x≥0-da 1-e -0,01x. c) Paylanma funksiyasından istifadə edərək istənilən ehtimalı tapırıq: P(X>120)=1-F(120)=1-(1- e -1.2)= e -1.2≈0.3. §
3.Normal paylanma qanunu Tərif:
Davamlı təsadüfi dəyişən X var normal paylanma qanunu (Gauss qanunu),
onun paylanma sıxlığı formaya malikdirsə: burada m=M(X), σ2=D(X), σ>0. Normal paylanma əyrisi adlanır normal və ya Qauss əyrisi
(Şəkil 7) Normal qanuna görə paylanmış X təsadüfi kəmiyyətinin paylanma funksiyası Laplas funksiyası F (x) vasitəsilə aşağıdakı düsturla ifadə edilir: Laplas funksiyası haradadır. Şərh:
Ф(x) funksiyası təkdir (Ф(-х)=-Ф(х)), əlavə olaraq x>5 üçün Ф(х) ≈1/2 qəbul edə bilərik. F(x) paylanma funksiyasının qrafiki Şəkildə göstərilmişdir. 8 https://pandia.ru/text/78/455/images/image106_4.jpg" eni="218" hündürlük="33"> Sapmanın mütləq qiymətinin müsbət δ ədədindən kiçik olması ehtimalı düsturla hesablanır: Xüsusilə, m=0 üçün aşağıdakı bərabərlik yerinə yetirilir: "Üç Siqma Qaydası"
Əgər X təsadüfi kəmiyyəti m və σ parametrləri ilə normal paylanma qanununa malikdirsə, onda onun qiymətinin (a-3σ; a+3σ) intervalında olması demək olar ki, dəqiqdir, çünki https://pandia.ru/text/78/455/images/image110_2.jpg" eni="157" hündürlük="57 src=">a) b) Düsturdan istifadə edək: https://pandia.ru/text/78/455/images/image112_2.jpg" eni="369" hündürlük="38 src="> Ф(х) funksiya qiymətləri cədvəlindən Ф(1.5)=0.4332, Ф(1)=0.3413 tapırıq. Beləliklə, istədiyiniz ehtimal: P(28 Müstəqil iş üçün tapşırıqlar
3.1.
X təsadüfi kəmiyyəti (-3;5) intervalında bərabər paylanmışdır. Tapın: b) paylanma funksiyası F(x); c) ədədi xarakteristikalar; d) ehtimalı P(4<х<6). 3.2.
X təsadüfi dəyişəni seqmentdə bərabər paylanmışdır. Tapın: a) paylanma sıxlığı f(x); b) paylanma funksiyası F(x); c) ədədi xarakteristikalar; d) ehtimal P(3≤х≤6). 3.3.
Magistral yolda avtomatik svetofor var ki, orada yaşıl işıq 2 dəqiqə, sarı 3 saniyə, qırmızı 30 saniyə yanır və s. Avtomobil magistralda təsadüfi vaxtda hərəkət edir. Avtomobilin svetofordan dayanmadan keçməsi ehtimalını tapın. 3.4.
Metro qatarları müntəzəm olaraq 2 dəqiqəlik fasilələrlə hərəkət edir. Sərnişin təsadüfi vaxtda platformaya daxil olur. Bir sərnişinin qatar üçün 50 saniyədən çox gözləməli olma ehtimalı nədir? X təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapın - qatarın gözləmə müddəti. 3.5.
Paylanma funksiyası ilə verilən eksponensial paylanmanın dispersiyasını və standart kənarlaşmasını tapın: F(x)= x-də 0<0, x≥0 üçün 1-8x. 3.6.
Davamlı təsadüfi dəyişən X ehtimalın paylanma sıxlığı ilə müəyyən edilir: x-də f(x)= 0<0, x≥0-da 0,7 e-0,7x. a) Nəzərdən keçirilən təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanununu adlandırın. b) F(X) paylanma funksiyasını və X təsadüfi kəmiyyətinin ədədi xarakteristikalarını tapın. 3.7.
X təsadüfi dəyişəni ehtimal paylama sıxlığı ilə müəyyən edilmiş eksponensial qanuna uyğun olaraq paylanır: x-də f(x)= 0<0, x≥0-da 0,4 e-0,4 x. Test nəticəsində X-in (2.5;5) intervalından qiymət alması ehtimalını tapın. 3.8.
Davamlı təsadüfi dəyişən X paylama funksiyası ilə müəyyən edilmiş eksponensial qanuna uyğun olaraq paylanır: F(x)= x-də 0<0, x≥0-da 1-0,6x Test nəticəsində X-in seqmentdən qiymət alması ehtimalını tapın. 3.9.
Normal paylanmış təsadüfi kəmənin gözlənilən qiyməti və standart kənarlaşması müvafiq olaraq 8 və 2-dir.Tap: a) paylanma sıxlığı f(x); b) sınaq nəticəsində X-in (10;14) intervalından qiymət alması ehtimalı. 3.10.
Təsadüfi dəyişən X normal olaraq 3,5 riyazi gözlənti və 0,04 dispersiya ilə paylanır. Tapın: a) paylanma sıxlığı f(x); b) sınaq nəticəsində X-in seqmentdən qiymət alması ehtimalı . 3.11.
X təsadüfi kəmiyyəti normal olaraq M(X)=0 və D(X)=1 ilə paylanır. Hadisələrdən hansının: |X|≤0.6 və ya |X|≥0.6 ehtimalı daha çoxdur? 3.12.
X təsadüfi dəyişəni M(X)=0 və D(X)=1 ilə normal paylanır.Bir sınaq zamanı hansı intervaldan (-0,5;-0,1) və ya (1;2) qiymət almaq ehtimalı daha yüksəkdir? 3.13.
Səhm başına cari qiymət M(X)=10 den olan normal paylanma qanunundan istifadə etməklə modelləşdirilə bilər. vahidlər və σ (X)=0,3 den. vahidlər Tapın: a) cari səhm qiymətinin 9,8 den olması ehtimalı. vahidlər 10,4 günə qədər vahidlər; b) “üç siqma qaydasından” istifadə edərək, cari səhm qiymətinin yerləşəcəyi sərhədləri tapın. 3.14.
Maddənin çəkisi sistematik səhvlər olmadan aparılır. Təsadüfi ölçmə xətaları orta kvadrat nisbəti σ=5g olan normal qanuna tabedir. Dörd müstəqil təcrübədə üç çəkidə xətanın mütləq 3r qiymətində baş verməməsi ehtimalını tapın. 3.15.
X təsadüfi kəmiyyəti normal olaraq M(X)=12.6 ilə paylanır. Təsadüfi dəyişənin (11.4;13.8) intervalına düşmə ehtimalı 0.6826-dır. Standart kənarlaşma σ tapın. 3.16.
X təsadüfi kəmiyyəti M(X)=12 və D(X)=36 ilə normal paylanır.0,9973 ehtimalı ilə test nəticəsində X təsadüfi kəmiyyətinin düşəcəyi intervalı tapın. 3.17.
Avtomatik maşın tərəfindən hazırlanmış hissə, onun idarə olunan parametrinin nominal dəyərdən X sapması modul 2 ölçü vahidindən çox olarsa, qüsurlu sayılır. Ehtimal olunur ki, X təsadüfi kəmiyyət M(X)=0 və σ(X)=0,7 ilə normal paylanmışdır. Maşın qüsurlu hissələrin neçə faizini istehsal edir? 3.18.
Hissənin X parametri nominal dəyərə bərabər olan 2 riyazi gözlənti və 0,014 standart sapma ilə normal şəkildə paylanır. X-in nominal qiymətdən kənara çıxmasının nominal dəyərin 1%-dən çox olmama ehtimalını tapın. Cavablar
https://pandia.ru/text/78/455/images/image116_9.gif" eni="14" hündürlük="110 src="> b) x≤-3 üçün 0, F(x)= sol"> 3.10.
a)f(x)=, b) Р(3,1≤Х≤3,7) ≈0,8185. 3.11.
|x|≥0,6. 3.12.
(-0,5;-0,1). 3.13.
a) P(9,8≤Х≤10,4) ≈0,6562. 3.14.
0,111. 3.15.
σ=1.2. 3.16.
(-6;30). 3.17.
0,4%. Dispersiya Mümkün dəyərləri bütün Ox oxuna aid olan davamlı təsadüfi dəyişən X bərabərliklə müəyyən edilir: Xidmətin məqsədi. Onlayn kalkulyator hansı problemləri həll etmək üçün nəzərdə tutulmuşdur paylanma sıxlığı f(x) və ya paylama funksiyası F(x) (misal bax). Adətən belə tapşırıqlarda tapmaq lazımdır riyazi gözlənti, standart kənarlaşma, f(x) və F(x) qrafik funksiyaları. Təlimatlar. Mənbə məlumatının növünü seçin: paylanma sıxlığı f(x) və ya paylama funksiyası F(x). Paylanma sıxlığı f(x) verilmişdir: Paylanma funksiyası F(x) verilmişdir: Davamlı təsadüfi dəyişən ehtimal sıxlığı ilə müəyyən edilir Təsadüfi dəyişən X adlanır davamlı
, əgər onun paylanma funksiyası F(X)=P(X).< x) непрерывна и имеет производную.
.
. Onların cəminin paylanma sıxlığını tapın. Müstəqil x və h təsadüfi dəyişənlərin cəminin paylanmasını tapın, burada x interval üzrə vahid paylanmaya, h isə l parametri ilə eksponensial paylanmaya malikdir. P tapın 
, əgər x varsa: a) a və s2 parametrləri ilə normal paylanma; b) l parametri ilə eksponensial paylanma; c) seqment üzrə vahid paylanma [-1;1]. x, h-nin birgə paylanması kvadrat şəklində vahiddir
K = (x, y): |x| +|y|£ 2). Ehtimal tapın 
. x və h müstəqildirmi? X və h təsadüfi dəyişənlər cütü K= üçbucağının daxilində bərabər paylanmışdır. x və h sıxlıqlarını hesablayın. Bu təsadüfi dəyişənlər müstəqildirmi? Ehtimalını tapın. x və h təsadüfi dəyişənlər müstəqildir və seqmentlər və [-1,1] üzrə bərabər paylanmışdır. Ehtimalını tapın. İki ölçülü təsadüfi dəyişən (x, h) təpələri (2,0), (0,2), (-2, 0), (0,-2) olan kvadratda bərabər paylanmışdır. (1, -1) nöqtəsində birgə paylama funksiyasının qiymətini tapın. Təsadüfi vektor (x, h) başlanğıcda mərkəzi olan 3 radiuslu dairə daxilində bərabər paylanmışdır. Birgə paylanma sıxlığı üçün ifadə yazın. Bu təsadüfi dəyişənlərin asılı olub olmadığını müəyyənləşdirin. Ehtimal hesablayın. Bir cüt təsadüfi dəyişən x və h təpələri (-6,0), (-3,4), (3,4), (6,0) nöqtələrində olan trapesiya daxilində bərabər paylanmışdır. Bu təsadüfi dəyişənlər cütü üçün birgə paylanma sıxlığını və komponentlərin sıxlığını tapın. x və h asılıdır? Təsadüfi cüt (x, h) yarımdairə daxilində bərabər paylanmışdır. x və h sıxlıqlarını tapın, onların asılılığı məsələsini araşdırın. İki təsadüfi dəyişənin x və h birgə sıxlığı bərabərdir 
.
x, h sıxlıqlarını tapın. x və h-dən asılılıq məsələsini araşdırın. Təsadüfi cüt (x, h) dəstdə bərabər paylanmışdır. x və h sıxlıqlarını tapın, onların asılılığı məsələsini araşdırın. M(xh) tapın. Təsadüfi dəyişənlər x və h müstəqildir və Find parametri ilə eksponensial qanuna əsasən paylanır.
.
bu intervalın açıq və ya qapalı olmasından asılı deyil, yəni.
və dəyərlər üçün vahid 
.Davamlı təsadüfi dəyişən üçün
.
.
və vahid üçün 
. Zaman bərabər axır. Buna görə də əsl vaxtın olma ehtimalı azdır A+ 0,5 dəqiqə, 0,5-ə bərabərdir, çünki ondan sonra keçib-keçməməsi eyni dərəcədə ehtimal olunur A yarım dəqiqədən az və ya çox. Həqiqi vaxtın daha az olması ehtimalı A+ 0,25 dəq, 0,25-ə bərabərdir (bu zamanın ehtimalı həqiqi vaxtın böyük olması ehtimalından üç dəfə azdır A+ 0,25 dəq və onların cəmi əks hadisələrin ehtimallarının cəmi kimi birə bərabərdir). Oxşar şəkildə düşünsək, həqiqi vaxtın olma ehtimalının az olduğunu görürük A+ 0,6 dəq, 0,6-ya bərabərdir. Ümumiyyətlə, əsl vaxtın daha az olması ehtimalı A
+ + α
min 
, bərabərdir α
. Beləliklə, həqiqi vaxt paylama funksiyası aşağıdakı ifadəyə malikdir:
on hər yerdə davamlıdır və onun törəməsi iki istisna olmaqla, bütün nöqtələrdə davamlıdır: x = a Və x = a+ 1. Bu funksiyanın qrafiki belə görünür (şək. 8.3):
, yəni. 
. Funksiya F(X) azalmayandır: intervalda 
intervalda sabitdir, sıfıra bərabərdir 
arasında artır 
həm də sabitdir, birliyə bərabərdir (bax. Şəkil 8.4). Funksiya hər nöqtədə davamlıdır X Onun tərifinin 0 sahəsi - interval 
, buna görə də solda davamlıdır, yəni. bərabərlik qorunur
,
.
,
.
paylanma funksiyasına xas olan bütün xassələri ödəyir. Beləliklə, bu funksiya 
bəzi təsadüfi dəyişənin paylanma funksiyasıdır X.
azalır və davamlı deyil. Funksiya qrafiki Şəkildə göstərilmişdir. 8.5.
.
,
.
nöqtədə 
,
.
.
təsadüfi dəyişənlərin vuruşları X müəyyən bir dövrdə düsturla hesablanır
.
. Bu təsadüfi dəyişənin paylanma funksiyasını tapın.
,
.
.
, bərabərdir
Misal 8.6. Təsadüfi dəyişənin ehtimal sıxlığı qrafası XŞəkildə göstərilmişdir. 8.6 (Simpson qanunu). Bu təsadüfi dəyişənin ehtimal sıxlığı və paylanma funksiyası üçün ifadə yazın.
, Bu 
.
, Bu .
, Bu
, Bu
1.2.
p4=0,1; x≤-1-də 0,
(Şəkil 5)
https://pandia.ru/text/78/455/images/image038_17.gif" width="14" height="86"> x≤a üçün 0,
,
Normal əyri x=m düz xəttinə nisbətən simmetrikdir, x=a-da maksimuma malikdir, -ə bərabərdir.
,
(Rayleigh paylanması qanunu - radiotexnikada istifadə olunur). M(x) , D(x) tapın.
Fasiləsiz təsadüfi dəyişənin paylanma funksiyası təsadüfi dəyişənin verilmiş intervala düşmə ehtimalını hesablamaq üçün istifadə olunur:
P(α< X < β)=F(β) - F(α)
Üstəlik, davamlı təsadüfi dəyişən üçün onun sərhədlərinin bu intervala daxil olub-olmamasının əhəmiyyəti yoxdur:
P(α< X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Paylanma sıxlığı
fasiləsiz təsadüfi dəyişənə funksiya deyilir
f(x)=F’(x) , paylanma funksiyasının törəməsi.Paylanma sıxlığının xassələri
1. Təsadüfi dəyişənin paylanma sıxlığı x-in bütün qiymətləri üçün mənfi deyil (f(x) ≥ 0).
2. Normallaşma vəziyyəti:
Normallaşma şərtinin həndəsi mənası: paylanma sıxlığı əyrisi altında olan sahə vahidə bərabərdir.
3. X təsadüfi kəmiyyətinin α-dan β-a qədər olan intervala düşmə ehtimalı düsturdan istifadə etməklə hesablana bilər. 
Həndəsi olaraq, fasiləsiz təsadüfi dəyişən X-in intervala (α, β) düşmə ehtimalı bu intervala əsaslanan paylanma sıxlığı əyrisi altında əyrixətti trapezoidin sahəsinə bərabərdir.
4. Paylanma funksiyası sıxlıq baxımından aşağıdakı kimi ifadə edilir:
X nöqtəsində paylanma sıxlığının dəyəri bu dəyəri qəbul etmə ehtimalına bərabər deyil, davamlı təsadüfi dəyişən üçün yalnız verilmiş intervala düşmə ehtimalından danışmaq olar. qoy)
