Gözləmə təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanmasıdır
Riyazi gözlənti, tərif, diskret və fasiləsiz təsadüfi dəyişənlərin riyazi gözləntiləri, seçmə, şərti gözlənti, hesablama, xassələr, problemlər, gözləntilərin qiymətləndirilməsi, dispersiya, paylanma funksiyası, düsturlar, hesablama nümunələri.
Məzmunu genişləndirin
Məzmunu yığcamlaşdırın
Riyazi gözlənti tərifdir
Ən vacib anlayışlardan biridir riyazi statistika və təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin və ya ehtimallarının paylanmasını xarakterizə edən ehtimal nəzəriyyəsi. Adətən təsadüfi dəyişənin bütün mümkün parametrlərinin çəkili ortası kimi ifadə edilir. Texniki analizdə, ədəd seriyalarının tədqiqində, davamlı və vaxt aparan proseslərin öyrənilməsində geniş istifadə olunur. Bu var vacibdir maliyyə bazarlarında alqı-satqı zamanı risklərin qiymətləndirilməsində, qiymət göstəricilərinin proqnozlaşdırılmasında qumar nəzəriyyəsində oyun taktikasının strategiya və üsullarının işlənib hazırlanmasında istifadə olunur.
Riyazi gözləntidir təsadüfi dəyişənin orta qiyməti, təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanması ehtimal nəzəriyyəsində nəzərə alınır.
Riyazi gözləntidir ehtimal nəzəriyyəsində təsadüfi dəyişənin orta qiymətinin ölçüsü. Təsadüfi dəyişən gözləntisi x ilə işarələnir M(x).
Riyazi gözləntidir
Riyazi gözləntidir ehtimal nəzəriyyəsində, bunun ala biləcəyi bütün mümkün dəyərlərin orta çəkisi təsadüfi dəyər.
Riyazi gözləntidir təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərinin məhsullarının cəmi və bu dəyərlərin ehtimalları.
Riyazi gözləntidir Müəyyən bir qərardan əldə edilən orta mənfəət, bir şərtlə ki, belə bir qərar nəzəriyyə çərçivəsində nəzərdən keçirilə bilsin böyük rəqəmlər və uzun məsafə.
Riyazi gözləntidir qumar nəzəriyyəsində, hər bir mərc üçün orta hesabla bir oyunçunun qazana və ya itirə biləcəyi uduşların miqdarı. Qumar dili ilə desək, buna bəzən "oyunçu kənarı" (oyunçu üçün müsbət olarsa) və ya "ev kənarı" (oyunçu üçün mənfi olarsa) deyilir.
Riyazi gözləntidir uduş başına mənfəətin faizinin orta mənfəətə vurulması, zərər ehtimalının orta itkiyə vurulması.
Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri riyazi nəzəriyyə
Təsadüfi dəyişənin mühüm ədədi xüsusiyyətlərindən biri onun riyazi gözləntisidir. Təsadüfi dəyişənlər sistemi anlayışını təqdim edək. Gəlin eyni təsadüfi təcrübənin nəticələri olan təsadüfi dəyişənlər toplusunu nəzərdən keçirək. Əgər sistemin mümkün dəyərlərindən biridirsə, onda hadisə Kolmoqorovun aksiomlarını təmin edən müəyyən bir ehtimala uyğundur. Təsadüfi dəyişənlərin hər hansı mümkün qiymətləri üçün müəyyən edilmiş funksiyaya birgə paylama qanunu deyilir. Bu funksiya hər hansı bir hadisənin ehtimalını hesablamağa imkan verir. Xüsusilə, çoxluqdan qiymət alan və təsadüfi dəyişənlərin birgə paylanma qanunu ehtimallarla verilir.
“Riyazi gözlənti” termini Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) tərəfindən təqdim edilmişdir və ilk dəfə 17-ci əsrdə qumar nəzəriyyəsində Blez Paskal və Kristianın əsərlərində ortaya çıxan “uduşların gözlənilən dəyəri” anlayışından irəli gəlir. Huygens. Lakin bu konsepsiyanın ilk tam nəzəri anlayışı və qiymətləndirilməsi Pafnuty Lvoviç Çebışev (19-cu əsrin ortaları) tərəfindən verilmişdir.
Təsadüfi ədədi dəyişənlərin paylanma qanunu (paylanma funksiyası və paylanma seriyası və ya ehtimal sıxlığı) təsadüfi dəyişənin davranışını tamamilə təsvir edir. Lakin bir sıra məsələlərdə tədqiq olunan kəmiyyətin bəzi ədədi xüsusiyyətlərini bilmək kifayətdir (məsələn, onun orta qiyməti və mümkün sapma ondan) verilən suala cavab vermək. Təsadüfi dəyişənlərin əsas ədədi xarakteristikaları riyazi gözlənti, dispersiya, rejim və mediadır.
Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi onun mümkün qiymətlərinin və onlara uyğun ehtimalların məhsullarının cəmidir. Bəzən riyazi gözləntiyə çəkili ortalama deyilir, çünki çox sayda təcrübədə təsadüfi dəyişənin müşahidə olunan dəyərlərinin arifmetik ortasına təxminən bərabərdir. Tərifdən riyazi gözlənti buradan belə nəticə çıxır ki, onun qiyməti təsadüfi kəmənin mümkün olan ən kiçik qiymətindən az deyil və ən böyüyündən böyük deyil. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi qeyri-təsadüfi (sabit) dəyişəndir.
Riyazi gözlənti sadədir fiziki məna: vahid kütləni düz xətt üzərində yerləşdirsəniz, bəzi nöqtələrdə bir qədər kütlə yerləşdirsəniz (üçün diskret paylama) və ya müəyyən bir sıxlıqla (mütləq fasiləsiz paylama üçün) "yaxmaq", onda riyazi gözləntiyə uyğun gələn nöqtə xəttin "ağırlıq mərkəzi" nin koordinatı olacaqdır.
Təsadüfi dəyişənin orta qiyməti, onun "nümayəndəsi" olan və onu təxminən təxmini hesablamalarda əvəz edən müəyyən bir ədəddir. "Çıraqın orta işləmə müddəti 100 saatdır" və ya "orta təsir nöqtəsi hədəfə nisbətən 2 m sağa sürüşdürülür" dedikdə, təsadüfi dəyişənin yerini təsvir edən müəyyən bir ədədi xarakteristikasını göstəririk. ədədi oxda, yəni. "Mövqe xüsusiyyətləri".
Ehtimal nəzəriyyəsində mövqenin xüsusiyyətlərindən mühüm rol oynayır təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini oynayır, buna bəzən sadəcə təsadüfi dəyişənin orta qiyməti deyilir.
Təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirin X, mümkün dəyərlərə malikdir x1, x2, …, xn ehtimallarla p1, p2, …, pn. Bu dəyərlərin müxtəlif ehtimallara malik olduğunu nəzərə alaraq, təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin x oxundakı mövqeyini bəzi rəqəmlərlə xarakterizə etməliyik. Bu məqsədlə dəyərlərin “çəkili orta” adlanandan istifadə edilməsi təbiidir xi, və orta hesablama zamanı hər bir xi dəyəri bu dəyərin ehtimalına mütənasib “çəki” ilə nəzərə alınmalıdır. Beləliklə, təsadüfi dəyişənin ortasını hesablayacağıq X, işarə etdiyimiz M |X|:
Bu çəkili orta təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi adlanır. Beləliklə, biz ehtimal nəzəriyyəsinin ən vacib anlayışlarından birini - riyazi gözləmə anlayışını nəzərə aldıq. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərinin məhsullarının və bu dəyərlərin ehtimallarının cəmidir.
Xçox sayda təcrübədə təsadüfi dəyişənin müşahidə olunan qiymətlərinin arifmetik ortası ilə özünəməxsus asılılıq ilə əlaqələndirilir. Bu asılılıq tezlik və ehtimal arasındakı asılılıqla eyni tipdədir, yəni: çox sayda təcrübə ilə təsadüfi dəyişənin müşahidə dəyərlərinin arifmetik ortası onun riyazi gözləntisinə yaxınlaşır (ehtimalda birləşir). Tezlik və ehtimal arasında əlaqənin mövcudluğundan nəticə etibarı ilə arifmetik orta ilə riyazi gözlənti arasında oxşar əlaqənin mövcudluğunu çıxarmaq olar. Həqiqətən, təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirin X, paylama seriyası ilə xarakterizə olunur:
Qoy istehsal olunsun N hər birində dəyəri olan müstəqil təcrübələr X müəyyən dəyər alır. Fərz edək ki, dəyər x1 meydana çıxdı m1 dəfə, dəyər x2 meydana çıxdı m2 dəfə, ümumi məna xi dəfə ortaya çıxdı. Riyazi gözləntidən fərqli olaraq X dəyərinin müşahidə olunan dəyərlərinin arifmetik ortasını hesablayaq. M|X| işarə edirik M*|X|:
Təcrübələrin sayının artması ilə N tezliklər pi müvafiq ehtimallara yaxınlaşacaq (ehtimalla yaxınlaşacaq). Beləliklə, təsadüfi dəyişənin müşahidə olunan dəyərlərinin arifmetik ortası M|X| təcrübələrin sayının artması ilə riyazi gözləntisinə yaxınlaşacaq (ehtimalda yaxınlaşacaq). Arifmetik orta ilə yuxarıda ifadə olunmuş riyazi gözlənti arasındakı əlaqə böyük ədədlər qanununun formalarından birinin məzmununu təşkil edir.
Biz artıq bilirik ki, böyük ədədlər qanununun bütün formaları bəzi ortaların çoxlu sayda təcrübədə sabit olduğunu bildirir. Burada söhbət eyni kəmiyyətin bir sıra müşahidələrindən arifmetik ortanın sabitliyindən gedir. Az sayda təcrübə ilə onların nəticələrinin arifmetik ortası təsadüfi olur; eksperimentlərin sayının kifayət qədər artması ilə "demək olar ki, qeyri-təsadüfi" olur və sabitləşərək sabit bir dəyərə - riyazi gözləntiyə yaxınlaşır.
Çox sayda təcrübə üzərində orta göstəricilərin sabitliyi eksperimental olaraq asanlıqla yoxlanıla bilər. Məsələn, laboratoriyada cəsədi dəqiq tərəzilərdə çəkərkən, çəkmə nəticəsində hər dəfə yeni qiymət alırıq; Müşahidə xətasını azaltmaq üçün bədəni bir neçə dəfə çəkirik və alınan dəyərlərin arifmetik ortasından istifadə edirik. Təcrübələrin (çəkilərin) sayının daha da artması ilə arifmetik ortanın bu artıma getdikcə daha az reaksiya verdiyini və kifayət qədər çox sayda təcrübə ilə praktiki olaraq dəyişməyi dayandırdığını görmək asandır.
Qeyd etmək lazımdır ki ən mühüm xüsusiyyət təsadüfi dəyişənin mövqeyi - riyazi gözlənti - bütün təsadüfi dəyişənlər üçün mövcud deyil. Müvafiq cəm və ya inteqral ayrıldığı üçün riyazi gözləntiləri olmayan belə təsadüfi dəyişənlərə misallar tərtib etmək mümkündür. Bununla belə, bu cür hallar təcrübə üçün o qədər də maraqlı deyil. Tipik olaraq, məşğul olduğumuz təsadüfi dəyişənlər məhdud mümkün dəyərlərə malikdir və əlbəttə ki, riyazi gözləntilərə malikdir.
Təsadüfi dəyişənin mövqeyinin ən vacib xüsusiyyətlərindən - riyazi gözləntidən əlavə, praktikada bəzən mövqenin digər xüsusiyyətlərindən, xüsusən də təsadüfi dəyişənin rejimi və mediandan istifadə olunur.
Təsadüfi dəyişənin rejimi onun ən çox ehtimal olunan qiymətidir. “Ən çox ehtimal olunan dəyər” termini, qəti desək, yalnız fasiləsiz kəmiyyətlərə aiddir; üçün davamlı dəyər Rejim, ehtimal sıxlığının maksimum olduğu dəyərdir. Rəqəmlər, müvafiq olaraq, fasiləsiz və davamlı təsadüfi dəyişənlər üçün rejimi göstərir.
Əgər paylama poliqonunda (paylanma əyrisi) birdən çox maksimum varsa, paylanma “multimodal” adlanır.
Bəzən elə paylamalar olur ki, onların ortasında maksimum deyil, minimumu olur. Belə paylamalar “antimodal” adlanır.
IN ümumi hal təsadüfi dəyişənin rejimi və riyazi gözləntisi üst-üstə düşmür. Xüsusi halda, paylanma simmetrik və modal olduqda (yəni rejimi var) və riyazi gözlənti olduqda, o zaman paylanmanın simmetriya rejimi və mərkəzi ilə üst-üstə düşür.
Başqa bir mövqe xarakteristikasından tez-tez istifadə olunur - təsadüfi dəyişənin sözdə medianı. Bu xarakteristika adətən yalnız fasiləsiz təsadüfi dəyişənlər üçün istifadə olunur, baxmayaraq ki, o, fasiləsiz dəyişən üçün formal olaraq müəyyən edilə bilər. Həndəsi olaraq median paylanma əyrisi ilə əhatə olunan sahənin yarıya bölündüyü nöqtənin absisidir.
Simmetrik modal paylanma vəziyyətində median riyazi gözlənti və rejimlə üst-üstə düşür.
Riyazi gözlənti təsadüfi dəyişənin orta qiymətidir - təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanmasının ədədi xarakteristikasıdır. Ən ümumi şəkildə, təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi X(w) ehtimal ölçüsünə görə Lebeq inteqralı kimi müəyyən edilir R orijinal ehtimal fəzasında:
Riyazi gözlənti Lebesq inteqralı kimi də hesablana bilər X ehtimal paylanması ilə px miqdarlar X:
Sonsuz riyazi gözlənti ilə təsadüfi dəyişən anlayışı təbii şəkildə müəyyən edilə bilər. Tipik bir nümunə bəzi təsadüfi gəzintilərdə dönüş vaxtları kimi xidmət edir.
Riyazi gözləmənin köməyi ilə bir çox ədədi və funksional xüsusiyyətlər paylanmalar (təsadüfi kəmiyyətdən uyğun funksiyaların riyazi gözləntiləri kimi), məsələn, yaradan funksiya, xarakterik funksiya, hər hansı düzülüş momentləri, xüsusən dispersiya, kovariasiya.
Riyazi gözlənti təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin yerləşməsinin xarakterik bir xüsusiyyətidir (onun paylanmasının orta dəyəri). Bu qabiliyyətdə riyazi gözlənti bəzi "tipik" paylama parametri kimi xidmət edir və onun rolu mexanikada statik momentin - kütlə paylanmasının ağırlıq mərkəzinin koordinatının roluna bənzəyir. Onun köməyi ilə paylanmanın ümumi şəkildə təsvir olunduğu yerin digər xüsusiyyətlərindən - medianlar, rejimlər, riyazi gözlənti onun və müvafiq səpilmə xarakteristikasının - dispersiyanın - ehtimal nəzəriyyəsinin həddi teoremlərində malik olduğu daha böyük dəyərlə fərqlənir. Riyazi gözləntinin mənası böyük ədədlər qanunu (Çebışev bərabərsizliyi) və böyük ədədlərin gücləndirilmiş qanunu ilə ən dolğun şəkildə açılır.
Diskret təsadüfi dəyişənin gözləntiləri
Bir neçə ədədi dəyərdən birini götürə bilən bəzi təsadüfi dəyişən olsun (məsələn, zar atarkən xalların sayı 1, 2, 3, 4, 5 və ya 6 ola bilər). Çox vaxt praktikada belə bir dəyər üçün sual yaranır: çox sayda testlə "orta hesabla" hansı dəyər alır? Riskli əməliyyatların hər birindən orta gəlirimiz (və ya zərərimiz) nə qədər olacaq?
Tutaq ki, bir növ lotereya var. Biz başa düşmək istəyirik ki, onda iştirak etmək sərfəli olub-olmaması (və ya hətta dəfələrlə, müntəzəm olaraq iştirak etmək). Deyək ki, hər dördüncü bilet qalibdir, mükafat 300 rubl, istənilən biletin qiyməti isə 100 rubl olacaq. Sonsuz sayda iştirakla belə olur. Dörddə üçdə biz itirəcəyik, hər üç itki 300 rubla başa gələcək. Hər dördüncü halda biz 200 rubl qazanacağıq. (mükafat minus dəyəri), yəni dörd iştirak üçün orta hesabla 100 rubl, biri üçün orta hesabla 25 rubl itiririk. Ümumilikdə xarabalığımızın orta qiyməti bir bilet üçün 25 rubl olacaq.
atırıq zar. Əgər aldadıcı deyilsə (ağırlıq mərkəzini dəyişmədən və s.), onda bir anda orta hesabla neçə xalımız olacaq? Hər variantın eyni ehtimal olduğu üçün sadəcə arifmetik ortanı götürüb 3,5 alırıq. Bu ORTA olduğundan, heç bir xüsusi rulonun 3,5 xal verməyəcəyinə qəzəblənməyə ehtiyac yoxdur - yaxşı, bu kubun belə bir rəqəmlə üzü yoxdur!
İndi nümunələrimizi ümumiləşdirək:
İndi verilmiş şəkilə baxaq. Solda təsadüfi dəyişənin paylanması cədvəli var. X dəyəri n mümkün dəyərdən birini qəbul edə bilər (yuxarı sətirdə göstərilir). Başqa mənalar ola bilməz. Hər birinin altında mümkün məna onun ehtimalı aşağıda yazılmışdır. Sağda düstur var, burada M(X) riyazi gözlənti adlanır. Bu dəyərin mənası ondan ibarətdir ki, çox sayda testlə (böyük bir nümunə ilə) orta dəyər eyni riyazi gözləntiyə meyl edəcəkdir.
Yenidən eyni oyun kubuna qayıdaq. Atma zamanı xalların sayının riyazi gözləntisi 3,5-dir (inanmırsınızsa, düsturdan istifadə edərək özünüz hesablayın). Tutaq ki, bir neçə dəfə atdın. Nəticələr 4 və 6 idi. Orta qiymət 5 idi, bu da 3,5-dən çox uzaqdır. Bir dəfə də atdılar, 3 aldılar, yəni orta hesabla (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Nə isə, riyazi gözləntidən uzaq. İndi dəli bir təcrübə edin - kubu 1000 dəfə yuvarlayın! Və orta göstərici tam olaraq 3,5 olmasa belə, buna yaxın olacaq.
Yuxarıda təsvir edilən lotereya üçün riyazi gözləntiləri hesablayaq. Plitə belə görünəcək:
Sonra riyazi gözlənti yuxarıda müəyyən etdiyimiz kimi olacaq:
Başqa bir şey odur ki, daha çox seçim olsaydı, formul olmadan "barmaqlarda" etmək çətin olardı. Tutaq ki, biletlərin 75% -i itirilir, 20% -i uduşlu biletlər və 5% -i xüsusilə qalib gəlir.
İndi riyazi gözləmənin bəzi xüsusiyyətləri.
Bunu sübut etmək asandır:
Sabit amil riyazi gözləntinin əlaməti kimi götürülə bilər, yəni:
Bu, riyazi gözləntinin xətti xüsusiyyətinin xüsusi halıdır.
Riyazi gözləntinin xətti olmasının başqa bir nəticəsi:
yəni təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri təsadüfi dəyişənlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.
X, Y müstəqil təsadüfi dəyişənlər olsun, Sonra:
Bunu sübut etmək də asandır) Çalışın XYözü təsadüfi bir dəyişəndir və əgər ilkin dəyərlər ala bilsəydi n Və m dəyərlərinə uyğun olaraq XY nm dəyərləri qəbul edə bilər. Hər bir dəyərin ehtimalı müstəqil hadisələrin ehtimallarının vurulması faktına əsasən hesablanır. Nəticədə bunu alırıq:
Davamlı təsadüfi dəyişənin gözləntiləri
Davamlı təsadüfi dəyişənlər paylanma sıxlığı (ehtimal sıxlığı) kimi bir xüsusiyyətə malikdirlər. Təsadüfi dəyişənin real ədədlər dəstindən bəzi dəyərləri daha tez-tez, bəzilərini isə daha az qəbul etməsi vəziyyəti mahiyyətcə xarakterizə edir. Məsələn, bu qrafiki nəzərdən keçirin:
Burada X- faktiki təsadüfi dəyişən, f(x)- paylanma sıxlığı. Bu qrafikə əsasən, təcrübələr zamanı dəyər Xçox vaxt sıfıra yaxın bir ədəd olacaqdır. Şanslar aşılır 3 ya da kiçik olsun -3 daha sırf nəzəri.
Məsələn, vahid paylama olsun:
Bu, intuitiv anlayışa olduqca uyğundur. Tutaq ki, əgər biz vahid paylanma ilə çoxlu təsadüfi real ədədlər alsaq, seqmentin hər biri |0; 1| , onda arifmetik orta təxminən 0,5 olmalıdır.
Diskret təsadüfi dəyişənlər üçün tətbiq olunan riyazi gözləntinin xassələri - xəttilik və s. burada da tətbiq edilir.
Riyazi gözlənti ilə digər statistik göstəricilər arasında əlaqə
Statistik təhlildə riyazi gözlənti ilə yanaşı, hadisələrin bircinsliyini və proseslərin sabitliyini əks etdirən bir-birindən asılı olan göstəricilər sistemi mövcuddur. Variasiya göstəriciləri çox vaxt müstəqil məna daşımır və məlumatların sonrakı təhlili üçün istifadə olunur. İstisna qiymətli statistik xarakteristikası olan məlumatların homojenliyini xarakterizə edən variasiya əmsalıdır.
Statistika elmində proseslərin dəyişkənlik və ya sabitlik dərəcəsi bir neçə göstəricidən istifadə etməklə ölçülə bilər.
Ən çox mühüm göstəricidir, təsadüfi dəyişənin dəyişkənliyini xarakterizə edən, edir Dispersiya, riyazi gözlənti ilə ən sıx və birbaşa əlaqəlidir. Bu parametr statistik təhlilin digər növlərində (hipotezaların yoxlanılması, səbəb-nəticə əlaqələrinin təhlili və s.) fəal şəkildə istifadə olunur. Orta xətti kənarlaşma kimi, dispersiya da orta dəyər ətrafında məlumatların yayılmasının dərəcəsini əks etdirir.
İşarələrin dilini sözlərin dilinə çevirmək faydalıdır. Belə çıxır ki, dispersiya kənarlaşmaların orta kvadratıdır. Yəni əvvəlcə orta dəyər hesablanır, sonra hər bir orijinal və orta dəyər arasındakı fərq alınır, kvadrata alınır, əlavə edilir və sonra əhalidəki dəyərlərin sayına bölünür. Fərdi qiymətlə orta göstərici arasındakı fərq sapma ölçüsünü əks etdirir. Bütün kənarlaşmaların yalnız müsbət ədədlərə çevrilməsi və onları yekunlaşdırarkən müsbət və mənfi sapmaların qarşılıqlı şəkildə məhv edilməsinin qarşısını almaq üçün kvadrat şəklində tərtib edilmişdir. Sonra, kvadratdan kənara çıxanları nəzərə alaraq, sadəcə arifmetik ortanı hesablayırıq. Orta - kvadrat - sapmalar. Kənarlaşmalar kvadratlaşdırılır və orta hesablanır. Sehrli “dispersiya” sözünün cavabı cəmi üç sözdən ibarətdir.
Bununla belə, in təmiz forma arifmetik orta və ya indeks kimi dispersiya istifadə edilmir. Bu, daha çox statistik təhlilin digər növləri üçün istifadə olunan köməkçi və ara göstəricidir. Onun normal ölçü vahidi belə yoxdur. Formula əsasən, bu, orijinal məlumatın ölçü vahidinin kvadratıdır.
Bir təsadüfi dəyişəni ölçək N dəfə, məsələn, küləyin sürətini on dəfə ölçür və orta dəyəri tapmaq istəyirik. Orta qiymət paylama funksiyası ilə necə bağlıdır?
Və ya zərləri çox sayda atacağıq. Hər atışda zarda görünəcək xalların sayı təsadüfi dəyişəndir və 1-dən 6-a qədər istənilən təbii qiymət ala bilər. Bütün zar atışları üçün hesablanmış atılan xalların arifmetik ortası da təsadüfi dəyişəndir, lakin böyükdür. Nçox konkret rəqəmə - riyazi gözləntiyə meyllidir Mx. IN bu halda Mx = 3.5.
Bu dəyəri necə əldə etdiniz? İcazə verin N testlər n1 1 xal qazandıqdan sonra n2 bir dəfə - 2 xal və s. Sonra bir xalın düşdüyü nəticələrin sayı:
Eynilə, 2, 3, 4, 5 və 6 balların yuvarlandığı nəticələr üçün.
İndi fərz edək ki, x təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanununu bilirik, yəni bilirik ki, x təsadüfi kəmiyyəti p1, p2, ..., ehtimalları ilə x1, x2, ..., xk qiymətləri ala bilər. pk.
X təsadüfi dəyişənin Mx riyazi gözləntisi bərabərdir:
Riyazi gözlənti həmişə bəzi təsadüfi dəyişənin ağlabatan qiymətləndirilməsi deyil. Beləliklə, orta hesabla əmək haqqı median məfhumundan, yəni elə bir dəyərdən istifadə etmək daha məqsədəuyğundur ki, ortadan aşağı əmək haqqı alan insanların sayı ilə daha böyük sayı üst-üstə düşsün.
x təsadüfi kəmiyyətinin x1/2-dən kiçik olması ehtimalı p1 və x təsadüfi kəmiyyətinin x1/2-dən böyük olması ehtimalı p2 eyni və 1/2-yə bərabərdir. Median bütün paylamalar üçün unikal olaraq müəyyən edilmir.
Standart və ya standart sapma statistikada müşahidə məlumatlarının və ya çoxluqların ORTA qiymətdən kənarlaşma dərəcəsi deyilir. s və ya s hərfləri ilə işarələnir. Kiçik standart sapma verilənlərin orta dəyər ətrafında çoxluq təşkil etdiyini, böyük standart sapma isə ilkin məlumatların ondan uzaqda yerləşdiyini göstərir. Standart sapma bərabərdir kvadrat kök dispersiya adlanan kəmiyyət. İlkin məlumatların orta dəyərdən kənara çıxan kvadrat fərqlərinin cəminin ortasıdır. Təsadüfi dəyişənin standart sapması dispersiyanın kvadrat köküdür:
Misal. Hədəfdə atəş açarkən sınaq şəraitində təsadüfi dəyişənin dispersiyasını və standart sapmasını hesablayın:
Variasiya- əhali vahidləri arasında xarakteristikanın dəyərinin dəyişməsi, dəyişkənliyi. Tədqiq olunan populyasiyada tapılan bir xüsusiyyətin fərdi ədədi qiymətləri dəyərlərin variantları adlanır. üçün qeyri-kafi orta dəyər tam xüsusiyyətləriəhali bizi orta dəyərləri tədqiq olunan xarakteristikanın dəyişkənliyini (variasiyasını) ölçməklə bu ortaların tipikliyini qiymətləndirməyə imkan verən göstəricilərlə əlavə etməyə məcbur edir. Dəyişmə əmsalı düsturla hesablanır:
Variasiya diapazonu(R) tədqiq olunan populyasiyada atributun maksimum və minimum dəyərləri arasındakı fərqi təmsil edir. Bu göstərici ən çox verir ümumi fikir tədqiq olunan xarakteristikanın dəyişkənliyi haqqında, çünki bu, yalnız variantların məhdudlaşdırıcı dəyərləri arasındakı fərqi göstərir. Xarakteristikanın həddindən artıq dəyərlərindən asılılıq variasiya sahəsinə qeyri-sabit, təsadüfi xarakter verir.
Orta xətti kənarlaşma təhlil edilən əhalinin bütün dəyərlərinin orta dəyərindən mütləq (modul) sapmalarının arifmetik ortasını təmsil edir:
Qumar nəzəriyyəsində riyazi gözlənti
Riyazi gözləntidir Bir qumarbazın müəyyən bir mərcdə qazana və ya itirə biləcəyi orta pul məbləği. Bu, oyunçu üçün çox vacib bir anlayışdır, çünki əksər oyun vəziyyətlərinin qiymətləndirilməsi üçün əsasdır. Riyazi gözlənti həm də əsas kart planlarını və oyun vəziyyətlərini təhlil etmək üçün optimal vasitədir.
Tutaq ki, bir dostunuzla sikkə oyunu oynayırsınız, nə olursa olsun, hər dəfə 1 dollara bərabər mərc edirsiniz. Quyruqlar qazanmaq deməkdir, başlar uduzmaq deməkdir. Ehtimallar bir-birdir ki, o, baş verəcək, ona görə də 1 dollardan 1 dollara qədər mərc edirsiniz. Beləliklə, sizin riyazi gözləntiniz sıfırdır, çünki Riyazi nöqteyi-nəzərdən, iki atışdan sonra, yoxsa 200-dən sonra lider olacağınızı və ya uduzacağınızı bilə bilməzsiniz.
Saatlıq qazancınız sıfırdır. Saatlıq uduşlar bir saat ərzində qazanacağınızı gözlədiyiniz pul məbləğidir. Bir saatda 500 dəfə sikkə ata bilərsiniz, amma nə qazanacaqsınız, nə də uduzacaqsınız, çünki... şansınız nə müsbət, nə də mənfidir. Baxsanız, ciddi oyunçu baxımından bu mərc sistemi pis deyil. Ancaq bu sadəcə vaxt itkisidir.
Amma tutaq ki, kimsə eyni oyunda sizin 1 dollarınıza qarşı 2 dollar mərc etmək istəyir. Onda dərhal hər mərcdən 50 sent müsbət gözləntiləriniz var. Niyə 50 qəpik? Orta hesabla, bir mərc qazanırsınız və ikincisini itirirsiniz. Birinci dollara mərc et və 1 dollar itirəcəksən, ikinciyə mərc et və 2 dollar qazanacaqsan. Siz iki dəfə 1 dollar mərc edirsiniz və 1 dollar irəlidəsiniz. Beləliklə, bir dollarlıq mərcinizin hər biri sizə 50 sent verdi.
Bir sikkə bir saat ərzində 500 dəfə görünsə, saatlıq uduşunuz artıq 250 dollar olacaq, çünki... Orta hesabla bir dollar 250 dəfə uduzmuşsunuz və iki dollar 250 dəfə udmuşsunuz. $500 minus $250 $250-ə bərabərdir, bu da ümumi uduşdur. Nəzərə alın ki, hər mərcdə qazandığınız orta məbləğ olan gözlənilən dəyər 50 sentdir. Bir dollara 500 dəfə mərc etməklə 250 dollar qazandınız, bu da hər mərc üçün 50 sentə bərabərdir.
Riyazi gözləmənin qısamüddətli nəticələrlə heç bir əlaqəsi yoxdur. Sizə qarşı 2 dollar mərc etmək qərarına gələn rəqibiniz ardıcıl olaraq ilk on rulonda sizi məğlub edə bilərdi, lakin siz 2-dən 1-ə qədər mərc üstünlüyünə malik olduğunuz halda, hər şey bərabər olarkən, hər hansı bir mərcdə hər $1 mərcdən 50 sent qazanacaqsınız. hallar. Xərcləri rahat şəkildə ödəmək üçün kifayət qədər pulunuz varsa, bir mərc və ya bir neçə mərcdə qalib və ya uduzmağınızın heç bir fərqi yoxdur. Eyni şəkildə mərc etməyə davam etsəniz, o zaman üçün uzun müddət Vaxt keçdikcə uduşlarınız fərdi rulonlarda gözlənilən dəyərlərin cəminə yaxınlaşacaq.
Hər dəfə ən yaxşı mərc etdiyiniz zaman (uzunmüddətli perspektivdə sərfəli ola biləcək mərc), əmsallar sizin xeyrinizə olduqda, onu itirməyinizdən və ya itirməməyinizdən asılı olmayaraq, siz mütləq nəyisə udacaqsınız. əl verdi. Əksinə, əmsallar sizə qarşı olan zaman underdog mərcini (uzun müddətdə sərfəli olmayan mərc) etsəniz, qalib olub-olmamağınızdan asılı olmayaraq nəyisə itirərsiniz.
Gözləntiləriniz müsbətdirsə, ən yaxşı nəticə ilə mərc edirsiniz və əmsallar sizin tərəfinizdədirsə, müsbətdir. Ən pis nəticə ilə mərc etdiyiniz zaman, əmsallar sizə qarşı olduqda baş verən mənfi bir gözləntiniz var. Ciddi oyunçular yalnız ən yaxşı nəticəyə mərc qoyurlar; ən pisi baş verərsə, qatlanırlar. Ehtimallar sizin xeyrinizə nə deməkdir? Siz real bahislərin gətirdiyindən daha çox qazana bilərsiniz. Eniş başlıqlarının real ehtimalı 1-ə 1-dir, lakin ehtimal nisbətinə görə siz 2-1 alırsınız. Bu vəziyyətdə şanslar sizin xeyrinizədir. Hər mərc üçün 50 sent müsbət gözlənti ilə mütləq ən yaxşı nəticəni əldə edəcəksiniz.
Riyazi gözləmənin daha mürəkkəb bir nümunəsidir. Bir dost birdən beşə qədər rəqəmləri yazır və 1 dollara qarşı 5 dollar mərc edir ki, siz rəqəmi təxmin etməyəcəksiniz. Belə bir mərclə razılaşmalısınız? Burada gözlənti nədir?
Orta hesabla dörd dəfə səhv edəcəksiniz. Buna əsasən, rəqəmi təxmin etməyinizə qarşı əmsallar 4-ə 1-dir. Bir cəhddə dollar itirmə ehtimalınız. Bununla belə, siz 4-ə 1-ə uduzma ehtimalı ilə 5-ə 1-ə qalib gəlirsiniz. Beləliklə, əmsallar sizin xeyrinizədir, siz mərc edib ən yaxşı nəticəyə ümid edə bilərsiniz. Bu mərcinizi beş dəfə etsəniz, orta hesabla dörd dəfə 1 dollar itirəcək və bir dəfə 5 dollar qazanacaqsınız. Buna əsasən, hər beş cəhd üçün hər mərc üçün 20 sent müsbət riyazi gözlənti ilə 1 dollar qazanacaqsınız.
Yuxarıdakı misalda olduğu kimi, mərc etdiyindən daha çox qazanacaq olan oyunçu şansa əl atır. Əksinə, mərc etdiyindən daha az qazanacağını gözlədiyi zaman şansını puça çıxarır. Bahisçinin ya müsbət, ya da mənfi gözləntiləri ola bilər ki, bu da onun qazanması və ya əmsalları məhv etməsindən asılıdır.
Əgər siz 4-dən 1-ə udmaq şansı ilə 10 dollar qazanmaq üçün 50 dollar mərc etsəniz, 2 dollar mənfi gözlənti alacaqsınız, çünki Orta hesabla, dörd dəfə 10 dollar qazanacaqsınız və bir dəfə 50 dollar itirəcəksiniz, bu, hər mərc üçün itkinin 10 dollar olacağını göstərir. Ancaq 10 dollar qazanmaq üçün 30 dollar mərc edirsinizsə, eyni əmsalı 4-ə 1 qazanırsınızsa, bu halda 2 dollar müsbət gözləntiləriniz var, çünki 10 dollar qazanc üçün yenidən dörd dəfə 10 dollar qazanır və bir dəfə 30 dollar itirirsiniz. Bu nümunələr göstərir ki, birinci mərc pisdir, ikincisi isə yaxşıdır.
Riyazi gözlənti istənilən oyun vəziyyətinin mərkəzidir. Bukmeker kontoru futbol azarkeşlərini 10 dollar qazanmaq üçün 11 dollar mərc etməyə təşviq etdikdə, onun hər 10 dollardan 50 sent müsbət gözləntiləri var. Əgər kazino, keçid xəttindən hətta pul ödəyirsə, o zaman kazinonun müsbət gözləntisi hər 100 dollar üçün təxminən 1,40 dollar olacaq, çünki Bu oyun elə qurulub ki, bu xəttə mərc edən hər kəs orta hesabla 50,7% uduzur və ümumi vaxtın 49,3%-ni qazanır. Şübhəsiz ki, dünyanın hər yerindən kazino sahiblərinə böyük qazanc gətirən bu zahirən minimal müsbət gözləntilərdir. Vegas World kazinosunun sahibi Bob Stupak qeyd etdiyi kimi, “kifayət qədər uzun məsafədə yüzdə bir mənfi ehtimalın mində biri məhv edəcək. ən zəngin adam dünyada".
Poker oynayarkən gözlənti
Poker oyunu riyazi gözləntilərin nəzəriyyəsi və xassələrindən istifadə baxımından ən illüstrativ və illüstrativ nümunədir.
Pokerdə gözlənilən dəyər müəyyən bir qərardan orta mənfəətdir, bir şərtlə ki, belə bir qərar böyük ədədlər və uzaq məsafələr nəzəriyyəsi çərçivəsində nəzərdən keçirilə bilər. Uğurlu poker oyunu həmişə müsbət gözlənilən dəyəri olan hərəkətləri qəbul etməkdir.
Poker oynayarkən riyazi gözləntinin riyazi mənası ondan ibarətdir ki, biz qərar qəbul edərkən tez-tez təsadüfi dəyişənlərlə qarşılaşırıq (rəqibin əlində hansı kartların olduğunu, mərcin sonrakı raundlarında hansı kartların gələcəyini bilmirik). Həlllərin hər birini kifayət qədər böyük seçmə ilə təsadüfi dəyişənin orta qiymətinin onun riyazi gözləntisinə meyl edəcəyini bildirən böyük ədədlər nəzəriyyəsi nöqteyi-nəzərindən nəzərdən keçirməliyik.
Riyazi gözləntilərin hesablanması üçün xüsusi düsturlar arasında aşağıdakılar pokerdə daha çox tətbiq olunur:
Poker oynayarkən gözlənilən dəyər həm mərclər, həm də zənglər üçün hesablana bilər. Birinci halda, qatlanan kapital, ikincidə, bankın öz şansları nəzərə alınmalıdır. Müəyyən bir hərəkətin riyazi gözləntisini qiymətləndirərkən, bir qatın həmişə sıfır gözləntiyə malik olduğunu xatırlamalısınız. Beləliklə, kartları atmaq hər zaman hər hansı bir mənfi hərəkətdən daha sərfəli qərar olacaq.
Gözləmə risk etdiyiniz hər dollar üçün nə gözləyə biləcəyinizi (mənfəət və ya zərər) söyləyir. Kazinolar pul qazanır, çünki onlarda oynanılan bütün oyunların riyazi gözləntisi kazinonun xeyrinədir. Kifayət qədər uzun oyunlar seriyası ilə müştərinin pulunu itirəcəyini gözləmək olar, çünki "əməllər" kazinonun xeyrinədir. Bununla belə, peşəkar kazino oyunçuları öz oyunlarını qısa müddətlərlə məhdudlaşdırır və bununla da əmsalları öz xeyrinə yığırlar. Eyni şey investisiyaya da aiddir. Gözləntiləriniz müsbətdirsə, qısa müddət ərzində bir çox əməliyyatlar edərək daha çox pul qazana bilərsiniz. Gözləmə, qazandığınız qazancın faizinin orta qazancınıza vurulması və itki ehtimalınızın orta itki ilə vurulmasıdır.
Pokerə riyazi gözlənti baxımından da baxmaq olar. Müəyyən bir hərəkətin sərfəli olduğunu düşünə bilərsiniz, lakin bəzi hallarda bu, ən yaxşısı olmaya bilər, çünki başqa bir hərəkət daha sərfəlidir. Deyək ki, siz beş kartlı tirajlı pokerdə tam bir ev vurdunuz. Rəqibiniz mərc edir. Bilirsən ki, mərci qaldırsan, cavab verəcək. Ona görə də yüksəltmək ən yaxşı taktika kimi görünür. Ancaq mərcinizi qaldırsanız, qalan iki oyunçu mütləq qatlanacaq. Ancaq zəng etsəniz, arxanızdakı digər iki oyunçunun da eyni şeyi edəcəyinə tam əminsiniz. Siz mərcinizi qaldırdığınız zaman bir vahid alırsınız və sadəcə zəng etdiyiniz zaman iki alırsınız. Beləliklə, zəng etmək sizə daha yüksək müsbət gözlənilən dəyər verir və ən yaxşı taktika olacaqdır.
Riyazi gözlənti həm də hansı poker taktikasının daha az gəlirli, hansının daha sərfəli olduğu barədə fikir verə bilər. Məsələn, müəyyən bir əllə oynayırsınızsa və itkinizin ante daxil olmaqla orta hesabla 75 sent olacağını düşünürsünüzsə, o zaman o əli oynamalısınız, çünki ante $1 olanda bu qatlanmaqdan daha yaxşıdır.
Başqa mühüm səbəb riyazi gözləntinin mahiyyətini başa düşmək odur ki, mərcdə udub-udmamağınızdan asılı olmayaraq, bu sizə rahatlıq hissi bəxş edir: əgər yaxşı mərc etmisinizsə və ya vaxtında qatlasanız, onda siz biləcəksiniz ki, siz müəyyən bir məbləğdə pul qazanmısınız və ya qənaət etmişsiniz. zəif oyunçu xilas edə bilmədi. Rəqibiniz daha güclü əl çəkdiyi üçün əsəbləşirsinizsə, qatlama daha çətindir. Bütün bunlarla mərc əvəzinə oynamamaqla qənaət etdiyiniz pullar gecə və ya ay ərzində qazandığınız uduşlara əlavə olunur.
Sadəcə unutmayın ki, əllərinizi dəyişsəniz, rəqibiniz sizə zəng edərdi və Pokerin Əsas Teorem məqaləsində görəcəyiniz kimi, bu sizin üstünlüklərinizdən yalnız biridir. Bu baş verəndə xoşbəxt olmalısan. Siz hətta əlinizi itirməkdən həzz almağı öyrənə bilərsiniz, çünki bilirsiniz ki, mövqeyinizdəki digər oyunçular daha çox itirəcəkdilər.
Başlanğıcda sikkə oyunu nümunəsində müzakirə edildiyi kimi, saatlıq mənfəət nisbəti riyazi gözlənti ilə bağlıdır və bu konsepsiya peşəkar oyunçular üçün xüsusilə vacibdir. Poker oynamağa getdiyiniz zaman bir saatlıq oyunda nə qədər qazana biləcəyinizi zehni olaraq təxmin etməlisiniz. Əksər hallarda siz öz intuisiyanıza və təcrübənizə etibar etməli olacaqsınız, lakin bəzi riyaziyyatdan da istifadə edə bilərsiniz. Məsələn, siz lotereya oyunu oynayırsınız və görürsünüz ki, üç oyunçu 10 dollar mərc edir və sonra iki kart alver edir, bu çox pis taktikadır, siz başa düşə bilərsiniz ki, onlar hər dəfə 10 dollar mərc edəndə təxminən 2 dollar itirirlər. Onların hər biri bunu saatda səkkiz dəfə edir, yəni hər üçü saatda təxminən 48 dollar itirirlər. Siz təxminən bərabər olan qalan dörd oyunçudan birisiniz, ona görə də bu dörd oyunçu (və siz də onların arasında) hər biri saatda 12 dollar qazanc əldə etməklə 48 dolları bölməlidir. Bu halda saatlıq əmsalınız sadəcə olaraq üç pis oyunçunun bir saat ərzində itirdiyi pul məbləğindəki payınıza bərabərdir.
Uzun müddət ərzində oyunçunun ümumi uduşları onun fərdi əlində olan riyazi gözləntilərinin cəmidir. Müsbət gözlənti ilə nə qədər çox əl oynasanız, bir o qədər çox qazanarsınız və əksinə, mənfi gözlənti ilə nə qədər çox əl oynasanız, bir o qədər çox itirərsiniz. Nəticədə, müsbət gözləntilərinizi maksimuma çatdıra və ya mənfi gözləntilərinizi rədd edə biləcək bir oyun seçməlisiniz ki, saatlıq qazancınızı maksimuma çatdıra biləsiniz.
Oyun strategiyasında müsbət riyazi gözlənti
Əgər kartları saymağı bilirsinizsə, onlar fərqinə varıb sizi çölə atmasalar, kazinoda üstünlüyə sahib ola bilərsiniz. Kazinolar sərxoş oyunçuları sevir və kart sayan oyunçulara dözmürlər. Üstünlük, zamanla itirdiyinizdən daha çox dəfə qazanmaq imkanı verəcək. Yaxşı idarəetmə gözlənilən dəyər hesablamalarından istifadə edərkən kapital sizin üstünlüyünüzdən daha çox gəlir əldə etməyə və itkilərinizi azaltmağa kömək edə bilər. Üstünlük olmadan, pulu xeyriyyəçiliyə vermək daha yaxşıdır. Birjadakı oyunda üstünlük itkilərdən, qiymət fərqlərindən və komissiyalardan daha çox qazanc yaradan oyun sistemi tərəfindən verilir. Heç bir pul idarəçiliyi pis oyun sistemini xilas edə bilməz.
Müsbət gözlənti sıfırdan böyük bir dəyər kimi müəyyən edilir. Bu rəqəm nə qədər çox olarsa, statistik gözləntilər bir o qədər güclü olar. Əgər dəyər sıfırdan azdırsa, riyazi gözlənti də mənfi olacaq. Mənfi dəyərin modulu nə qədər böyükdürsə, vəziyyət bir o qədər pisdir. Nəticə sıfırdırsa, gözləmə fasiləsizdir. Yalnız müsbət riyazi gözləntiniz və ağlabatan oyun sisteminiz olduqda qalib gələ bilərsiniz. İntuisiya ilə oynamaq fəlakətə gətirib çıxarır.
Riyazi gözlənti və birja ticarəti
Riyazi gözlənti maliyyə bazarlarında birja ticarətini həyata keçirərkən kifayət qədər geniş istifadə olunan və populyar statistik göstəricidir. İlk növbədə, bu parametr ticarətin uğurunu təhlil etmək üçün istifadə olunur. Təxmin etmək çətin deyil ki, bu dəyər nə qədər yüksək olarsa, öyrənilən ticarəti uğurlu hesab etmək üçün bir o qədər çox səbəb var. Əlbəttə ki, treyderin işinin təhlili bu parametrdən istifadə etməklə həyata keçirilə bilməz. Bununla belə, hesablanmış dəyər işin keyfiyyətinin qiymətləndirilməsinin digər üsulları ilə birlikdə təhlilin düzgünlüyünü əhəmiyyətli dərəcədə artıra bilər.
Riyazi gözlənti tez-tez depozit üzrə yerinə yetirilən işi tez qiymətləndirməyə imkan verən ticarət hesablarının monitorinqi xidmətlərində hesablanır. İstisnalara "oturmaq" sərfəli olmayan ticarətlərdən istifadə edən strategiyalar daxildir. Treyder bir müddət bəxti gətirə bilər və buna görə də işində heç bir itki olmaya bilər. Bu zaman yalnız riyazi gözləntiyə əsaslanmaq mümkün olmayacaq, çünki işdə istifadə olunan risklər nəzərə alınmayacaq.
Bazar ticarətində riyazi gözlənti ən çox hər hansı ticarət strategiyasının gəlirliliyini proqnozlaşdırarkən və ya treyderin əvvəlki ticarətinin statistik məlumatlarına əsaslanaraq gəlirini proqnozlaşdırarkən istifadə olunur.
Pulun idarə edilməsinə gəldikdə, mənfi gözləntilərlə ticarət edərkən, mütləq yüksək gəlir gətirə biləcək heç bir pul idarəetmə sxeminin olmadığını başa düşmək çox vacibdir. Bu şərtlər altında birjada oynamağa davam etsəniz, pulunuzu necə idarə etdiyinizdən asılı olmayaraq, başlanğıcda nə qədər böyük olsa da, bütün hesabınızı itirəcəksiniz.
Bu aksiom yalnız mənfi gözləntiləri olan oyunlar və ya ticarətlər üçün deyil, eyni şansları olan oyunlar üçün də doğrudur. Buna görə də, uzunmüddətli perspektivdə qazanc əldə etmək şansınız yalnız müsbət gözlənilən dəyərlə əməliyyatlar aparmağınızdır.
Mənfi gözlənti ilə müsbət gözlənti arasındakı fərq həyat və ölüm arasındakı fərqdir. Gözləntinin nə qədər müsbət və ya mənfi olmasının əhəmiyyəti yoxdur; Əhəmiyyətli olan onun müsbət və ya mənfi olmasıdır. Buna görə də, pul idarəçiliyini nəzərdən keçirməzdən əvvəl, müsbət gözlənti ilə bir oyun tapmalısınız.
Əgər o oyununuz yoxdursa, o zaman dünyada bütün pul idarəçiliyi sizi xilas etməyəcək. Digər tərəfdən, əgər müsbət gözləntiləriniz varsa, düzgün pul idarəetməsi vasitəsilə onu eksponensial artım funksiyasına çevirə bilərsiniz. Müsbət gözləntinin nə qədər kiçik olmasının əhəmiyyəti yoxdur! Başqa sözlə, ticarət sisteminin tək bir müqavilə əsasında nə qədər gəlirli olmasının əhəmiyyəti yoxdur. Əgər hər bir ticarət üzrə müqaviləyə görə 10 dollar qazanan bir sisteminiz varsa (komissiyalar və sürüşmələrdən sonra), hər ticarət üçün orta hesabla 1000 dollar olan sistemdən (komissiyalar və sürüşmələr çıxıldıqdan sonra) daha sərfəli etmək üçün pul idarəetmə üsullarından istifadə edə bilərsiniz.
Əhəmiyyətli olan sistemin nə qədər gəlirli olması deyil, sistemin gələcəkdə ən azı minimum mənfəət göstərəcəyinə nə qədər əmin ola biləcəyidir. Buna görə treyderin edə biləcəyi ən vacib hazırlıq sistemin gələcəkdə müsbət gözlənilən dəyər göstərməsini təmin etməkdir.
Gələcəkdə müsbət gözlənilən dəyərə sahib olmaq üçün sisteminizin sərbəstlik dərəcələrini məhdudlaşdırmamaq çox vacibdir. Bu, yalnız optimallaşdırılacaq parametrlərin sayını aradan qaldırmaq və ya azaltmaqla deyil, həm də mümkün qədər çox sistem qaydalarını azaltmaqla əldə edilir. Əlavə etdiyiniz hər bir parametr, etdiyiniz hər bir qayda, sistemdə etdiyiniz hər kiçik dəyişiklik sərbəstlik dərəcələrinin sayını azaldır. İdeal olaraq, kifayət qədər primitiv və qurmaq lazımdır sadə sistem, bu, demək olar ki, hər hansı bir bazarda ardıcıl olaraq kiçik mənfəət əldə edəcək. Yenə də başa düşməyiniz vacibdir ki, sistemin qazanclı olması şərti ilə nə qədər qazanclı olmasının heç bir əhəmiyyəti yoxdur. Ticarətdən qazandığınız pullar vasitəsilə qazanılacaq effektiv idarəetmə pul.
Ticarət sistemi sadəcə olaraq sizə müsbət gözlənilən dəyər verən bir vasitədir ki, siz pul idarəçiliyindən istifadə edə biləsiniz. Yalnız bir və ya bir neçə bazarda işləyən (ən azı minimal mənfəət göstərən) və ya müxtəlif bazarlar üçün fərqli qaydalara və ya parametrlərə malik olan sistemlər çox güman ki, real vaxt rejimində uzun müddət işləməyəcək. Ən texniki yönümlü treyderlərin problemi optimallaşdırmaya çox vaxt və səy sərf etmələridir fərqli qaydalar və ticarət sistemi parametrlərinin dəyərləri. Bu, tamamilə əks nəticələr verir. Ticarət sisteminin mənfəətini artırmaq üçün enerji və kompüter vaxtını sərf etmək əvəzinə, enerjinizi minimum qazanc əldə etmək üçün etibarlılıq səviyyəsini artırmağa yönəldin.
Pulun idarə edilməsinin müsbət gözləntilərin istifadəsini tələb edən sadəcə rəqəmlər oyunu olduğunu bilən treyder birja ticarətinin “müqəddəs qril”ini axtarmağı dayandıra bilər. Bunun əvəzinə o, ticarət metodunu sınaqdan keçirməyə başlaya bilər, bu metodun nə dərəcədə məntiqli olduğunu və müsbət gözləntilər verib-vermədiyini öyrənə bilər. Düzgün üsullar pul idarəçiliyi, hər hansı, hətta çox vasat ticarət metodlarına tətbiq edilir, qalan işləri özləri edəcəklər.
Hər hansı bir treyderin işində uğur qazanması üçün o, ən çox üçünü həll etməlidir mühüm vəzifələr: . Uğurlu əməliyyatların sayının qaçılmaz səhvlərdən və yanlış hesablamalardan çox olmasını təmin etmək; Ticarət sisteminizi elə qurun ki, mümkün qədər tez-tez pul qazanmaq imkanınız olsun; Əməliyyatlarınızdan sabit müsbət nəticələr əldə edin.
Və burada, biz işləyən treyderlər üçün riyazi gözlənti böyük kömək ola bilər. Bu termin ehtimal nəzəriyyəsində əsas olanlardan biridir. Onun köməyi ilə bəzi təsadüfi dəyərin orta hesablamasını verə bilərsiniz. Bütün mümkün ehtimalları müxtəlif kütlələrə malik nöqtələr kimi təsəvvür etsəniz, təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi ağırlıq mərkəzinə bənzəyir.
Ticarət strategiyası ilə əlaqədar olaraq, onun effektivliyini qiymətləndirmək üçün ən çox mənfəətin (və ya zərərin) riyazi gözləntisindən istifadə olunur. Bu parametr verilmiş mənfəət və zərər səviyyələrinin məhsullarının cəmi və onların baş vermə ehtimalı kimi müəyyən edilir. Məsələn, hazırlanmış ticarət strategiyası bütün əməliyyatların 37%-nin mənfəət gətirəcəyini, qalan hissəsinin - 63%-nin isə zərərli olacağını nəzərdə tutur. Eyni zamanda, uğurlu əməliyyatdan orta gəlir 7 dollar, orta itki isə 1,4 dollar olacaq. Bu sistemdən istifadə edərək ticarətin riyazi gözləntisini hesablayaq:
Bu rəqəm nə deməkdir? Orada deyilir ki, bu sistemin qaydalarına riayət etməklə, hər bağlanan əməliyyatdan orta hesabla 1708 dollar alacağıq. Nəticədə səmərəlilik reytinqi sıfırdan böyük olduğundan, belə bir sistem real iş üçün istifadə edilə bilər. Hesablama nəticəsində riyazi gözlənti mənfi olarsa, bu, artıq orta itkini göstərir və belə ticarət məhvə səbəb olacaqdır.
Hər əməliyyat üzrə mənfəətin məbləği % şəklində nisbi dəyər kimi də ifadə edilə bilər. Misal üçün:
– 1 əməliyyat üzrə gəlir faizi - 5%;
– uğurlu ticarət əməliyyatlarının faizi - 62%;
– 1 əməliyyat üzrə zərər faizi - 3%;
– uğursuz əməliyyatların faizi - 38%;
Yəni orta ticarət 1,96% gətirəcək.
Zərərli ticarətin üstünlük təşkil etməsinə baxmayaraq, verəcək bir sistemi inkişaf etdirmək mümkündür müsbət nəticə, MO>0 olduğundan.
Ancaq tək gözləmək kifayət deyil. Sistem çox az ticarət siqnalı verirsə, pul qazanmaq çətindir. Bu halda onun gəlirliliyi bank faizləri ilə müqayisə ediləcəkdir. Qoy hər bir əməliyyat orta hesabla cəmi 0,5 dollar qazandırsın, bəs sistem ildə 1000 əməliyyatı əhatə edirsə necə? Bu, nisbətən qısa müddətdə çox əhəmiyyətli bir məbləğ olacaq. Məntiqi olaraq buradan başqa bir nəticə çıxır əlamətdar yaxşı ticarət sistemi hesab edilə bilər qısa müddət vəzifələr tutur.
Mənbələr və bağlantılar
dic.academic.ru – akademik onlayn lüğət
mathematics.ru – riyaziyyat üzrə təhsil saytı
nsu.ru - Novosibirsk təhsil saytı dövlət universiteti
webmath.ru - təhsil portalı tələbələr, abituriyentlər və məktəblilər üçün.
exponenta.ru təhsil riyaziyyat saytı
ru.tradimo.com - pulsuz onlayn ticarət məktəbi
crypto.hut2.ru – multidissiplinar informasiya resursu
poker-wiki.ru – pulsuz poker ensiklopediyası
sernam.ru – Elm Kitabxanası seçilmiş təbiət elmi nəşrləri
reshim.su – internet saytı BİZ test kursu problemlərini HƏLL EDƏCƏK
unfx.ru – UNFX-də Forex: təlim, ticarət siqnalları, etibarın idarə edilməsi
slovopedia.com – Böyük ensiklopedik lüğət Slovopediya
pokermansion.3dn.ru – Poker dünyasında bələdçiniz
statanaliz.info – “Statistik məlumatların təhlili” informasiya bloqu
forex-trader.rf – Forex-Trader portalı
megafx.ru – cari Forex analitikası
fx-by.com – treyder üçün hər şey
Təsadüfi dəyişənin paylanması (paylanma əhali) adətən bir sıra ədədi xüsusiyyətlərlə xarakterizə olunur:
- normal paylanma üçün N(a, σ) riyazi gözlənti a və standart kənarlaşma σ;
- üçün vahid paylama R(a,b) bu təsadüfi dəyişənin qiymətlərinin müşahidə olunduğu intervalın sərhədləridir.
Bir xal bir nömrə ilə müəyyən edildikdə, çağırılır nöqtə təxmini. Nöqtə təxmini, nümunənin funksiyası kimi, təsadüfi dəyişəndir və təkrar təcrübələrlə nümunədən nümunəyə dəyişir.
Nöqtə təxminlərinin istənilən mənada “yaxşı” olması üçün təmin etməli olduğu tələblər var. Bu yerdəyişməmiş, səmərəlilik Və sərvət.
İnterval təxminləri iki rəqəmlə müəyyən edilir - təxmin edilən parametri əhatə edən intervalın ucları. Təxmin edilən parametrin onlardan nə qədər uzaq ola biləcəyi barədə fikir verməyən nöqtə təxminlərindən fərqli olaraq, interval təxminləri təxminlərin düzgünlüyünü və etibarlılığını təyin etməyə imkan verir.
Riyazi gözləntilərin, dispersiyanın və standart kənarlaşmanın nöqtə təxminləri kimi seçmə xarakteristikalarından, müvafiq olaraq, seçmə orta, nümunə dispersiyası və nümunə standart kənarlaşmasından istifadə edilir.
Qərəzsiz qiymətləndirmə xüsusiyyəti.
Qiymətləndirmə üçün arzu olunan tələb sistematik səhvin olmamasıdır, yəni. θ parametrinin əvəzinə onun təxminindən dəfələrlə istifadə edildikdə, yaxınlaşma xətasının orta dəyəri sıfırdır - bu qərəzsiz qiymətləndirmə xüsusiyyəti.
Tərif. Riyazi gözlənti təxmin edilən parametrin həqiqi dəyərinə bərabər olarsa, qiymətləndirmə qərəzsiz adlanır:
Nümunə arifmetik orta riyazi gözləntinin qərəzsiz qiymətləndirilməsidir və seçmə dispersiyasıdır. 
- ümumi dispersiyanın qərəzli qiymətləndirilməsi D. Ümumi fərqin qərəzsiz qiymətləndirilməsi təxmindir
Qiymətləndirmənin ardıcıllıq xüsusiyyəti.
Qiymətləndirmə üçün ikinci tələb – onun ardıcıllığı – o deməkdir ki, qiymətləndirmə nümunə ölçüsünün artması ilə yaxşılaşır.
Tərif. Sinif 
n→∞ kimi təxmin edilən θ parametrinə ehtimalla yaxınlaşarsa, ardıcıl adlanır.
Ehtimalda yaxınlaşma o deməkdir ki, böyük seçmə ölçüsü ilə təxminin həqiqi dəyərdən böyük sapma ehtimalı azdır.
Effektiv Qiymətləndirmə Əmlakı.
Üçüncü tələb eyni parametrin bir neçə qiymətləndirməsindən ən yaxşı qiymətləndirməni seçməyə imkan verir.
Tərif. Qərəzsiz qiymətləndirici bütün qərəzsiz qiymətləndiricilər arasında ən kiçik fərqə malik olarsa, effektiv hesab olunur.
Bu o deməkdir ki, effektiv qiymətləndirmə parametrin həqiqi dəyərinə nisbətən minimal dispersiyaya malikdir. Qeyd edək ki, effektiv qiymətləndirmə həmişə mövcud deyil, lakin iki qiymətləndirmədən adətən daha effektiv olanı seçmək mümkündür, yəni. daha az variasiya ilə. Məsələn, N(a,σ) normal populyasiyasının naməlum a parametri üçün həm seçmə arifmetik orta, həm də seçmə medianı qərəzsiz qiymətləndirmə kimi qəbul edilə bilər. Lakin nümunə medianın dispersiyası arifmetik ortanın dispersiyasından təxminən 1,6 dəfə böyükdür. Buna görə də, daha effektiv hesablama nümunə arifmetik ortalamadır.
Nümunə №1. Ölçmə nəticələri (mm ilə): 13,15,17 olan bir cihazdan (sistemli xətalar olmadan) istifadə edərək bəzi təsadüfi kəmiyyətin ölçmə dispersiyasının qərəzsiz qiymətləndirməsini tapın.
Həll. Göstəricilərin hesablanması üçün cədvəl.
| x | |x - x av | | (x - x orta) 2 |
| 13 | 2 | 4 |
| 15 | 0 | 0 |
| 17 | 2 | 4 |
| 45 | 4 | 8 |
Sadə arifmetik orta(riyazi gözləntinin qərəzsiz qiymətləndirilməsi)
Dispersiya- orta dəyəri ətrafında dispersiya ölçüsünü xarakterizə edir (dispersiya ölçüsü, yəni ortadan kənarlaşma - qərəzli qiymətləndirmə).
Qərəzsiz dispersiya qiymətləndiricisi- dispersiyanın ardıcıl qiymətləndirilməsi (düzəliş edilmiş dispersiya).
Nümunə № 2. Ölçmə nəticələri (mm ilə): 4,5,8,9,11 olan müəyyən bir təsadüfi dəyişənin ölçmələrinin bir cihazla (sistematik səhvlər olmadan) riyazi gözləntilərinin qərəzsiz qiymətləndirməsini tapın.
Həll. m = (4+5+8+9+11)/5 = 7.4
Nümunə № 3. Əgər seçmə dispersiya D = 180 olarsa, n=10 seçmə ölçüsü üçün düzəldilmiş S2 dispersiyasını tapın.
Həll. S 2 = n*D/(n-1) = 10*180/(10-1) = 200
Təsadüfi seçmə müşahidə olunan təsadüfi dəyişən ξ, riyazi gözlənti və dispersiya ilə yaradılsın. 
bilinməyənlər. Bu xüsusiyyətlər üçün təxminlər kimi orta seçmənin istifadə edilməsi təklif edilmişdir
və nümunə fərqi
. (3.14)
Riyazi gözləntilərin və dispersiyanın təxminlərinin bəzi xüsusiyyətlərini nəzərdən keçirək.
1. Seçilmiş ortalamanın riyazi gözləntisini hesablayın:
Buna görə də, nümunə ortalaması üçün qərəzsiz qiymətləndiricidir.
2. Nəticələri xatırlayın 
müşahidələr müstəqil təsadüfi dəyişənlərdir, hər biri dəyərlə eyni paylanma qanununa malikdir, yəni 
, 
, . Dispersiyanın sonlu olduğunu fərz edəcəyik. Onda, Çebışevin böyük ədədlər qanunu haqqında teoreminə görə, istənilən ε > 0 üçün bərabərlik əmələ gəlir. 
,
bunu belə yazmaq olar: 
. (3.16) (3.16) ardıcıllıq xassəsinin tərifi ilə (3.11) müqayisə etdikdə görürük ki, təxmin riyazi gözləntinin ardıcıl qiymətləndirilməsidir.
3. Nümunə ortasının dispersiyasını tapın:
. (3.17)
Beləliklə, riyazi gözlənti qiymətləndirməsinin dispersiyası seçmənin ölçüsünə tərs mütənasib olaraq azalır.
Sübut edilə bilər ki, ξ təsadüfi kəmiyyəti normal paylanmışdırsa, onda seçmə ortası riyazi gözləntinin effektiv qiymətləndirilməsidir, yəni dispersiya götürür. ən kiçik dəyər hər hansı digər riyazi gözlənti ilə müqayisədə. Digər paylama qanunları üçün ξ bu belə olmaya bilər.
Nümunə fərqi dispersiyanın qərəzli qiymətləndirilməsidir, çünki 
. (3.18)
Həqiqətən, riyazi gözlənti və düsturun (3.17) xassələrindən istifadə edərək tapırıq
.
Dispersiyanın qərəzsiz qiymətləndirilməsini əldə etmək üçün qiymətləndirmə (3.14) düzəldilməlidir, yəni ilə vurulmalıdır. Sonra qərəzsiz nümunə dispersiyasını alırıq
. (3.19)
Qeyd edək ki, (3.14) və (3.19) düsturları yalnız məxrəcdə fərqlənir, böyük dəyərlər üçün seçmə və qərəzsiz fərqlər az fərqlənir. Bununla belə, kiçik bir nümunə ölçüsü ilə əlaqə (3.19) istifadə edilməlidir.
Təsadüfi dəyişənin standart kənarlaşmasını qiymətləndirmək üçün qərəzsiz dispersiyanın kvadrat kökünə bərabər olan “düzəliş edilmiş” standart kənarlaşmadan istifadə olunur: .
İnterval təxminləri
Statistikada paylanmaların naməlum parametrlərini qiymətləndirmək üçün iki yanaşma var: nöqtə və interval. Əvvəlki bölmədə müzakirə edilən nöqtə qiymətləndirməsinə uyğun olaraq, yalnız təxmin edilən parametrin ətrafında yerləşdiyi nöqtə göstərilir. Bununla belə, bu parametrin müxtəlif müşahidələr silsiləsində təxminlərin mümkün reallaşdırılmasından nə qədər uzaq ola biləcəyini bilmək arzuolunandır.
Bu sualın cavabı - həm də təxmini - parametrlərin qiymətləndirilməsinin başqa bir üsulu - intervalla verilir. Bu qiymətləndirmə metoduna uyğun olaraq, birliyə yaxın ehtimalla naməlum olanı əhatə edən interval müəyyən edilir. ədədi dəyər parametr.
Intervalların qiymətləndirilməsi anlayışı
Nöqtə təxmini 
təsadüfi dəyişəndir və mümkün nümunə tətbiqləri üçün yalnız təxminən parametrin həqiqi dəyərinə bərabər olan dəyərləri qəbul edir. Fərq nə qədər kiçik olsa, qiymətləndirmə bir o qədər dəqiqdir. Beləliklə, bunun üçün müsbət bir rəqəm 
, qiymətləndirmənin düzgünlüyünü xarakterizə edir və adlanır qiymətləndirmə xətası (və ya marjinal səhv).
Etibarlılıq ehtimalı(və ya etibarlılıq) ehtimal deyilir β
, onunla bərabərsizlik həyata keçirilir , yəni.
. (3.20)
Bərabərsizliyi əvəz etmək ekvivalent ikiqat bərabərsizlik 
, və ya 
, alırıq
İnterval 
, ehtimalla əhatə edir β
, , naməlum parametr adlanır etimad intervalı
(və ya intervalın qiymətləndirilməsi), müvafiq etimad ehtimalı β
.
Təsadüfi dəyişən yalnız təxmin deyil, həm də səhvdir: onun dəyəri ehtimaldan asılıdır β və bir qayda olaraq, nümunədən. Odur ki, etimad intervalı təsadüfidir və (3.21) ifadəsi aşağıdakı kimi oxunmalıdır: “İnterval parametri ehtimalla əhatə edəcək. β ” və belə deyil: “Parametr ehtimalla intervala düşəcək β ”.
Məna etimad intervalı bərabər hallarda nisbi nisbətdə bir nümunə həcmi dəfələrlə təkrar zaman ki, β , güvən ehtimalına uyğun etimad intervalı β , təxmin edilən parametrin həqiqi dəyərini əhatə edir. Beləliklə, güvən ehtimalı β xarakterizə edir etibarlılıq etimad qiymətləndirilməsi: daha çox β , güvən intervalının həyata keçirilməsində naməlum parametrin olması ehtimalı daha yüksəkdir.
Statistik qiymətləndirmələrin təxmin edilən parametrlərə yaxşı yaxınlaşmasını təmin etmək üçün onlar qərəzsiz, səmərəli və ardıcıl olmalıdır.
Qərəzsiz statistik parametr qiymətləndirməsi adlanır 
, riyazi gözlənti hər hansı seçmə ölçüsü üçün təxmin edilən parametrə bərabərdir.
Köçkün statistik qiymətləndirmə adlanır 
parametr 
, riyazi gözləntiləri təxmin edilən parametrə bərabər olmayan.
Effektiv statistik qiymətləndirmə adlanır 
parametr 
, verilmiş nümunə ölçüsü üçün 
ən kiçik dispersiyaya malikdir.
Varlı statistik qiymətləndirmə adlanır 
parametr 
, hansı saatda 
ehtimalla təxmin edilən parametrə meyl edir.
yəni hər hansı biri üçün 
.
Müxtəlif ölçülü nümunələr üçün arifmetik orta və statistik dispersiyanın fərqli dəyərləri alınır. Buna görə də arifmetik orta və statistik dispersiya riyazi gözlənti və dispersiya olan təsadüfi dəyişənlərdir.
Arifmetik orta və dispersiyanın riyazi gözləntisini hesablayaq. ilə işarə edək 
təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi 
Burada aşağıdakılar təsadüfi dəyişənlər hesab olunur: 
– Dəyərləri müxtəlif həcmli nümunələr üçün alınan ilk dəyərlərə bərabər olan S.V 
ümumi əhalidən, 
-S.V., dəyərləri müxtəlif həcmli nümunələr üçün əldə edilən ikinci qiymətlərə bərabərdir 
ümumi əhalidən, ..., 
– dəyərləri bərabər olan S.V 
-müxtəlif həcmli nümunələr üçün alınan qiymətlər 
ümumi əhalidən. Bütün bu təsadüfi dəyişənlər eyni qanuna görə paylanır və eyni riyazi gözləntilərə malikdir.
(1) düsturundan belə çıxır ki, arifmetik orta riyazi gözləntinin qərəzsiz qiymətləndirilməsidir, çünki arifmetik ortanın riyazi gözləntisi təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisinə bərabərdir. Bu qiymətləndirmə də etibarlıdır. Bu qiymətləndirmənin effektivliyi təsadüfi dəyişənin paylanma növündən asılıdır 
. Əgər, məsələn, 
normal paylanmışdır, arifmetik ortadan istifadə edərək riyazi gözləntilərin hesablanması effektiv olacaqdır.
İndi dispersiyanın statistik təxminini tapaq.
Statistik dispersiya ifadəsi aşağıdakı kimi çevrilə bilər
(2)
İndi statistik dispersiyanın riyazi gözləntisini tapaq
.
(3)
Bunu nəzərə alaraq 
(4)
(3)-dən əldə edirik -
(6) düsturundan aydın olur ki, statistik dispersiyanın riyazi gözləntisi dispersiyadan bir faktorla fərqlənir, yəni. populyasiya fərqinin qərəzli qiymətləndirilməsidir. Bu, həqiqi dəyərin yerinə olması ilə əlaqədardır 
, məlum olmayan, dispersiyanı qiymətləndirmək üçün statistik orta istifadə olunur 
.
Buna görə də düzəldilmiş statistik fərqi təqdim edirik
(7)
Sonra düzəldilmiş statistik dispersiyanın riyazi gözləntisi bərabərdir
olanlar. düzəldilmiş statistik dispersiya əhali fərqinin qərəzsiz qiymətləndirilməsidir. Əldə edilən təxmin də uyğundur.
Test nəticələrinə əsasən riyazi gözləntilərin qiymətləndirilməsi zərurəti, təcrübənin nəticəsinin təsadüfi dəyişən tərəfindən təsvir edildiyi və bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisinin öyrənilən obyektin keyfiyyətinin göstəricisi kimi qəbul edildiyi problemlərdə ortaya çıxır. Məsələn, etibarlılığın göstəricisi kimi sistemin nasazlıqsız işləməsi vaxtının riyazi gözləntisini, məhsul istehsalının səmərəliliyini qiymətləndirərkən isə istifadəyə yararlı məhsulların sayının riyazi gözləntisini və s.
Riyazi gözləntinin qiymətləndirilməsi problemi aşağıdakı kimi tərtib edilmişdir. Bunu müəyyən etmək üçün fərz edək bilinməyən dəyər X təsadüfi dəyişəninin n müstəqil və sistematik xətalardan azad olması nəzərdə tutulur X v X 2 ,..., X səh. Riyazi gözləntinin ən yaxşı qiymətləndirməsini seçməlisiniz.
Praktikada riyazi gözləntilərin ən yaxşı və ən ümumi qiymətləndirilməsi test nəticələrinin arifmetik ortasıdır.
da çağırıb statistik və ya nümunə orta.
Təxmini olduğunu göstərək t x hər hansı parametrin qiymətləndirilməsi üçün bütün tələblərə cavab verir.
1. (5.10) ifadəsindən belə çıxır ki
yəni qiymətləndirmə t" x- qərəzsiz qiymətləndirmə.
2. Çebışev teoreminə görə, sınaq nəticələrinin orta arifmetik dəyəri riyazi gözləntiyə ehtimalla yaxınlaşır, yəni.
Nəticə etibarilə, qiymətləndirmə (5.10) riyazi gözləntinin ardıcıl qiymətləndirilməsidir.
3. Qiymətləndirmənin dispersiyası t x, bərabərdir
Nümunə ölçüsü artdıqca n limitsiz azalır. Sübut edilmişdir ki, əgər X təsadüfi kəmiyyəti normal paylanma qanununa tabedirsə, onda hər hansı üçün P dispersiya (5.11) minimal olacaq və təxmin edilir t x- riyazi gözləntinin effektiv qiymətləndirilməsi. Qiymətləndirmənin dispersiyasını bilmək bu təxmindən istifadə edərək riyazi gözləntinin naməlum dəyərinin müəyyən edilməsinin düzgünlüyünə dair mühakimə yürütməyə imkan verir.
Ölçmə nəticələri eyni dərəcədə dəqiq olarsa, arifmetik orta riyazi gözləntilərin qiymətləndirilməsi kimi istifadə olunur (diferensiya D, i = 1, 2, ..., P hər ölçüdə eynidir). Bununla belə, praktikada ölçmə nəticələrinin qeyri-bərabər olduğu problemlərlə məşğul olmaq lazımdır (məsələn, sınaq zamanı ölçmələr müxtəlif alətlərlə aparılır). Bu halda, riyazi gözlənti üçün qiymətləndirmə formasına malikdir
Harada 
- z-ci ölçüsünün çəkisi.
Formula (5.12) hər bir ölçmənin nəticəsi öz çəkisi ilə daxil edilir İLƏ.. Buna görə də ölçmə nəticələrinin qiymətləndirilməsi t xçağırdı çəkili orta.
Göstərilə bilər ki, qiymətləndirmə (5.12) riyazi gözləntinin qərəzsiz, ardıcıl və səmərəli qiymətləndirilməsidir. Qiymətləndirmənin minimum fərqi ilə verilir
Kompüterdə modellərlə eksperimentlər apararkən oxşar problemlər bir neçə sınaq seriyasının nəticələrindən təxminlər tapıldıqda və hər seriyada testlərin sayı fərqli olduqda yaranır. Məsələn, bir həcmlə iki sıra testlər aparıldı n 1 və p 2, nəticələrinə əsasən təxminlər əldə edilmişdir T xi və t x_. Riyazi gözləntilərin müəyyən edilməsinin düzgünlüyünü və etibarlılığını artırmaq üçün bu silsilə testlərin nəticələri birləşdirilir. Bunun üçün (5.12) ifadəsindən istifadə edin.
C əmsalları hesablanarkən D dispersiyaları əvəzinə onların hər seriyada sınaq nəticələrindən alınan təxminləri əvəz olunur.
Oxşar yanaşma bir sıra sınaqların nəticələrinə əsasən təsadüfi hadisənin baş vermə ehtimalını təyin edərkən istifadə olunur.
Təsadüfi dəyişən X-in riyazi gözləntisini qiymətləndirmək üçün seçmə ortalamasına əlavə olaraq digər statistik məlumatlardan da istifadə edilə bilər. Bu məqsədlər üçün ən çox üzvlərdən istifadə olunur. variasiya seriyası, yəni təxminlərin əsaslandığı sıralı statistika,
əsas tələbləri, yəni ardıcıllıq və qərəzsizliyi təmin etmək.
Fərz edək ki, variasiya seriyası var n = 2küzvləri. Onda orta göstəricilərdən hər hansı biri riyazi gözləntinin təxmini kimi qəbul edilə bilər:
Harada k-e orta
açıq bir bərabərlik olduğu üçün təsadüfi dəyişən X-in paylanmasının statistik mediandan başqa bir şey deyil.
Statistik medianın üstünlüyü ondan ibarətdir ki, o, anomal müşahidə nəticələrinin təsirindən azaddır ki, bu da birinci ortadan, yəni ən kiçik və ən çox variasiya sıralarının ortasından istifadə zamanı qaçılmazdır.
Qəribə bir nümunə ölçüsü üçün P = 2k- 1 statistik median onun orta elementidir, yəni. Kimə variasiya seriyasının inci üzvü Mən = x k.
Elə paylanmalar var ki, onlar üçün arifmetik orta riyazi gözləntinin effektiv qiymətləndirilməsi deyil, məsələn, Laplas paylanması. Göstərilə bilər ki, Laplas paylanması üçün riyazi gözləntinin effektiv qiymətləndirilməsi nümunə medianıdır.
Sübut edilmişdir ki, əgər X təsadüfi kəmiyyəti normal paylanmaya malikdirsə, onda kifayət qədər böyük seçmə ölçüsü ilə statistik medianın paylanma qanunu ədədi xüsusiyyətləri ilə normala yaxındır.
(5.11) və (5.14) düsturlarının müqayisəsindən belə nəticə çıxır ki, statistik medianın dispersiyası orta hesabın dispersiyasından 1,57 dəfə çoxdur. Nəticə etibarı ilə, riyazi gözləntinin təxmini kimi arifmetik orta statistik mediandan dəfələrlə daha effektivdir. Bununla belə, hesablamaların sadəliyi və anomal ölçmə nəticələrinə (“nümunənin çirklənməsi”) həssas olmadığına görə, praktikada buna baxmayaraq, riyazi gözləntilərin qiymətləndirilməsi kimi statistik mediandan istifadə olunur.
Qeyd etmək lazımdır ki, davamlı simmetrik paylanmalar üçün riyazi gözlənti və median eynidir. Buna görə də, statistik median yalnız təsadüfi dəyişənin paylanması simmetrik olduqda riyazi gözləntilərin yaxşı qiymətləndirilməsi kimi xidmət edə bilər.
Asimmetrik paylanmalar üçün statistik median Mən riyazi gözləntiyə nisbətən əhəmiyyətli qərəzliyə malikdir, ona görə də onun qiymətləndirilməsi üçün yararsızdır.
