Ev Diş ağrısı Dövri funksiyanın triqonometrik Furye seriyasına genişləndirilməsi. Kosinuslarda Furye sıralarının genişlənməsi

Diş ağrısı

Dövri funksiyanın triqonometrik Furye seriyasına genişləndirilməsi. Kosinuslarda Furye sıralarının genişlənməsi

Hansı ki, artıq olduqca darıxdırıcıdır. Və hiss edirəm ki, nəzəriyyənin strateji ehtiyatlarından yeni konserv məhsulları çıxarmağın vaxtı çatıb. Funksiyanı başqa bir şəkildə seriyaya genişləndirmək mümkündürmü? Məsələn, düz xətt seqmentini sinus və kosinuslarla ifadə edin? İnanılmaz görünür, amma bu qədər uzaq görünən funksiyalar ola bilər
"yenidən birləşmə". Nəzəriyyə və praktikada tanış olan dərəcələrə əlavə olaraq, bir funksiyanı seriyaya genişləndirmək üçün başqa yanaşmalar da var.

Bu dərsdə triqonometriya ilə tanış olacağıq. Furye yaxınlığında, biz onun yaxınlaşması və cəmi məsələsinə toxunacağıq və əlbəttə ki, Furye seriyasında funksiyaların genişlənməsinə dair çoxsaylı nümunələri təhlil edəcəyik. Mən məqaləni “Butaforiyalar üçün Furye seriyası” adlandırmaq istədim, lakin bu, qeyri-ciddi olardı, çünki problemlərin həlli riyazi analizin digər sahələrinə dair bilik və bəzi praktik təcrübə tələb edəcəkdir. Buna görə də, preambula astronavt təliminə bənzəyəcək =)

Birincisi, səhifə materiallarının öyrənilməsinə əla formada yanaşmaq lazımdır. Yuxulu, dincəlmiş və ayıq. Sınıq hamster pəncəsi ilə bağlı güclü duyğular olmadan və obsesif düşüncələr həyatın çətinlikləri haqqında akvarium balığı. Furye seriyasını başa düşmək çətin deyil praktiki tapşırıqlar onlar sadəcə artan diqqət konsentrasiyasını tələb edirlər - ideal olaraq, özünüzü xarici stimullardan tamamilə ayırmalısınız. Problemin həllini yoxlamaq və cavab vermək üçün asan yolun olmaması vəziyyəti daha da ağırlaşdırır. Beləliklə, sağlamlığınız orta səviyyədən aşağıdırsa, daha sadə bir şey etmək daha yaxşıdır. Doğrudurmu.

İkincisi, kosmosa uçmazdan əvvəl alət panelini öyrənmək lazımdır kosmik gəmi. Maşında klikləməli olan funksiyaların dəyərlərindən başlayaq:

İstənilən təbii dəyər üçün:

1) . Həqiqətən, sinusoid x oxunu hər bir "pi" vasitəsilə "tikir":
. Arqumentin mənfi dəyərləri halında, nəticə, əlbəttə ki, eyni olacaq: .

2) . Amma bunu hamı bilmirdi. "Pi" kosinusu "blinker"in ekvivalentidir:

Mənfi arqument məsələni dəyişmir: .

Bəlkə də bu kifayətdir.

Üçüncüsü, əziz kosmonavtlar korpusu, siz... inteqrasiya etməyi bacarmalısınız.
Xüsusilə, funksiyanı diferensial işarəsi altında inamla qəbul edin, hissələrə görə inteqral edin və Nyuton-Leybniz düsturuna uyğunlaşın. Uçuşdan əvvəl vacib məşqlərə başlayaq. Daha sonra çəkisizlikdə sıxılmamaq üçün onu atlamağı qətiyyən tövsiyə etmirəm:

Misal 1

Müəyyən inteqralları hesablayın

təbii dəyərləri götürdüyü yer.

Həlli: inteqrasiya “x” dəyişəni üzərində aparılır və bu mərhələdə “en” diskret dəyişəni sabit hesab olunur. Bütün inteqrallarda funksiyanı diferensial işarənin altına alırıq:

Hədəf üçün yaxşı olan həllin qısa bir versiyası belə görünür:

Gəlin buna öyrəşək:

Qalan dörd nöqtə sizin əlinizdədir. Tapşırığa vicdanla yanaşmağa və inteqralları qısa şəkildə yazmağa çalışın. Dərsin sonunda nümunə həllər.

KEYFİYYƏT məşqlərini yerinə yetirdikdən sonra skafandrlar geyindik
və başlamağa hazır olun!

Funksiyanın interval üzrə Furye sırasına genişləndirilməsi

Ən azı bir intervalda (və ola bilsin ki, daha böyük intervalda) müəyyən edilən bəzi funksiyaları nəzərdən keçirək. Əgər bu funksiya intervalda inteqrallana bilirsə, o zaman onu triqonometrik Furye seriyasına genişləndirmək olar:
, sözdə haradadır Furye əmsalları.

Bu zaman ədəd parçalanma dövrü, ədəd isə parçalanma yarımdövrü adlanır.

Aydındır ki, ümumi halda Furye seriyası sinus və kosinuslardan ibarətdir:

Doğrudan da, bunu ətraflı yazaq:

Seriyanın sıfır termini adətən formada yazılır.

Furye əmsalları aşağıdakı düsturlarla hesablanır:

Mən mükəmməl başa düşürəm ki, mövzunu öyrənməyə başlayanlar hələ də yeni terminlər haqqında aydın deyillər: parçalanma dövrü, yarım dövr, Furye əmsalları və s. Panik etməyin, bu kosmosa çıxmazdan əvvəlki həyəcanla müqayisə oluna bilməz. Aşağıdakı nümunədə hər şeyi başa düşək, icra etməzdən əvvəl aktual praktiki suallar vermək məntiqlidir:

Aşağıdakı tapşırıqlarda nə etmək lazımdır?

Funksiyanı Furye seriyasına genişləndirin. Bundan əlavə, çox vaxt funksiyanın qrafikini, seriyanın cəminin qrafikini, qismən cəmini təsvir etmək lazımdır və mürəkkəb professor fantaziyaları vəziyyətində başqa bir şey etmək lazımdır.

Funksiyanı Furye seriyasına necə genişləndirmək olar?

Əsasən, tapmaq lazımdır Furye əmsalları, yəni üç müəyyən inteqral düzəldin və hesablayın.

Zəhmət olmasa Furye seriyasının ümumi formasını və üç iş düsturunu dəftərinizə köçürün. Çox şadam ki, bəzi sayt ziyarətçiləri uşaqlıqdan astronavt olmaq arzusunu mənim gözümün qabağında həyata keçirirlər =)

Misal 2

Funksiyanı intervalda Furye seriyasına genişləndirin. Qrafiki, sıraların cəminin və qismən cəminin qrafikini qurun.

Həlli: Tapşırığın birinci hissəsi funksiyanı Furye seriyasına genişləndirməkdir.

Başlanğıc standartdır, bunu yazmağınızdan əmin olun:

Bu problemdə genişlənmə dövrü yarım dövrdür.

Funksiyanı interval üzrə Furye sırasına genişləndirək:

Müvafiq düsturlardan istifadə edərək tapırıq Furye əmsalları. İndi üç müəyyən inteqral tərtib etməli və hesablamalısınız. Rahatlıq üçün nöqtələri nömrələyəcəm:

1) Birinci inteqral ən sadədir, lakin bunun üçün göz bəbəkləri də lazımdır:

2) İkinci düsturdan istifadə edin:

Bu inteqral yaxşı məlumdur və hissələrə bölünür:

Taparkən funksiyanın diferensial işarəsi altında cəmlənməsi üsulundan istifadə edilmişdir.

Nəzərdən keçirilən tapşırıqda müəyyən inteqralda hissələr üzrə inteqrasiya düsturundan dərhal istifadə etmək daha rahatdır. :

Bir neçə texniki qeyd. Birincisi, düsturu tətbiq etdikdən sonra bütün ifadə böyük mötərizələrə alınmalıdır, çünki orijinal inteqralın qarşısında bir sabit var. Gəlin onu itirməyək! Mötərizələr istənilən addımda genişləndirilə bilər; mən bunu son çarə kimi etdim. İlk "parçada" Əvəzetmədə həddindən artıq ehtiyatlı davranırıq, gördüyünüz kimi, sabit istifadə edilmir və məhsula inteqrasiya hədləri dəyişdirilir. Bu hərəkət kvadrat mötərizədə vurğulanır. Yaxşı, məşq tapşırığından düsturun ikinci "parçasının" inteqralı ilə tanışsınız;-)

Və ən əsası - həddindən artıq konsentrasiya!

3) Üçüncü Furye əmsalını axtarırıq:

Əvvəlki inteqralın nisbi alındı, bu da hissələrlə birləşdirilə bilər:

Bu nümunə bir az daha mürəkkəbdir, sonrakı addımları addım-addım şərh edəcəyəm:

(1) Biz bütün ifadəni böyük mötərizələrə daxil edirik. Darıxdırıcı görünmək istəməzdim, sabitliyi çox tez itirirlər.

(2) V bu halda Mən dərhal o böyük mötərizələri açdım. Xüsusi diqqət Biz özümüzü birinci "parçaya" həsr edirik: daimi bir kənarda siqaret çəkir və məhsula inteqrasiya ( və ) sərhədlərinin dəyişdirilməsində iştirak etmir . Qeydin qarışıqlığına görə, bu hərəkəti kvadrat mötərizələrlə vurğulamaq yenidən məsləhətdir. İkinci "parça" ilə hər şey daha sadədir: burada fraksiya böyük mötərizələri açdıqdan sonra ortaya çıxdı və sabit - tanış inteqralın inteqrasiyası nəticəsində;-)

(3) Kvadrat mötərizədə biz transformasiyaları həyata keçiririk və sağ inteqralda - inteqrasiya hədlərini əvəz edirik.

(4) Kvadrat mötərizədə “yanıb-sönən işığı” çıxarırıq: , sonra daxili mötərizələri açırıq: .

(5) Mötərizədə 1 və -1-i ləğv edirik və son sadələşdirmələri edirik.

Nəhayət, hər üç Furye əmsalı tapılır:

Onları formulda əvəz edək :

Eyni zamanda, yarıya bölməyi unutmayın. Son addımda “en”dən asılı olmayan sabit (“mənfi iki”) cəminin xaricində alınır.

Beləliklə, funksiyanın intervalda Furye sırasına genişlənməsini əldə etdik:

Furye sıralarının yaxınlaşması məsələsini öyrənək. Xüsusilə nəzəriyyəni izah edəcəyəm Dirixlet teoremi, sözün əsl mənasında "barmaqlarda", buna görə də ciddi formulalara ehtiyacınız varsa, lütfən, dərsliyə müraciət edin riyazi analiz (məsələn, Bohanın 2-ci cildi; və ya Fichtenholtzun 3-cü cildi, lakin daha çətindir).

Məsələnin ikinci hissəsi qrafikin, sıraların cəminin qrafikinin və qismən cəminin qrafikinin çəkilməsini tələb edir.

Funksiya qrafiki müstəvidə qara nöqtəli xətt ilə çəkilmiş adi düz xəttdir:

Seriyanın cəmini anlayaq. Bildiyiniz kimi, funksiya sıraları funksiyalara yaxınlaşır. Bizim vəziyyətimizdə qurulmuş Furye seriyası istənilən "x" dəyəri üçün qırmızı ilə göstərilən funksiyaya yaxınlaşacaq. Bu funksiya nöqtələrdə 1-ci növ kəsilmələrə məruz qalır, lakin onlar da müəyyən edilir (rəsmdə qırmızı nöqtələr)

Beləliklə: . Onun orijinal funksiyadan nəzərəçarpacaq dərəcədə fərqli olduğunu görmək asandır, buna görə də girişdə Bərabər işarəsindən çox tilda istifadə olunur.

Sıranın cəmini qurmaq üçün əlverişli olan alqoritmi öyrənək.

Mərkəzi intervalda Furye seriyası funksiyanın özünə yaxınlaşır (mərkəzi qırmızı seqment xətti funksiyanın qara nöqtəli xətti ilə üst-üstə düşür).

İndi nəzərdən keçirilən triqonometrik genişlənmənin təbiəti haqqında bir az danışaq. Furye seriyası yalnız dövri funksiyaları (sabit, sinuslar və kosinuslar) ehtiva edir, beləliklə sıraların cəmi həm də dövri funksiyadır.

Xüsusi nümunəmizdə bu nə deməkdir? Və bu, seriyanın cəmi deməkdir – əlbəttə ki, dövri xarakter daşıyır və intervalın qırmızı seqmenti sonsuz olaraq sol və sağda təkrarlanmalıdır.

Düşünürəm ki, “parçalanma dövrü” ifadəsinin mənası indi nəhayət aydın oldu. Sadə dillə desək, hər dəfə vəziyyət təkrar-təkrar təkrarlanır.

Təcrübədə, rəsmdə göstərildiyi kimi, ümumiyyətlə üç parçalanma dövrünü təsvir etmək kifayətdir. Yaxşı, həm də qonşu dövrlərin "kötükləri" - qrafikin davam etdiyi aydın olsun.

1-ci növ kəsilmə nöqtələri xüsusi maraq doğurur. Belə nöqtələrdə Furye seriyası fasiləsizliyin "sıçrayışının" tam ortasında yerləşən təcrid olunmuş dəyərlərə yaxınlaşır (rəsmdəki qırmızı nöqtələr). Bu nöqtələrin ordinatını necə tapmaq olar? Əvvəlcə “yuxarı mərtəbənin” ordinatını tapaq: bunun üçün genişlənmənin mərkəzi dövrünün ən sağ nöqtəsindəki funksiyanın qiymətini hesablayırıq: . "Aşağı mərtəbənin" ordinatını hesablamaq üçün ən asan yol ekstremal götürməkdir sol dəyər eyni dövr: . Orta qiymətin ordinatı “yuxarı və aşağı” cəminin arifmetik ortasıdır: . Xoş bir faktdır ki, bir rəsm qurarkən ortanın düzgün və ya səhv hesablandığını dərhal görəcəksiniz.

Gəlin seriyanın qismən cəmini yaradaq və eyni zamanda “konvergensiya” termininin mənasını təkrarlayaq. Nömrələr sırasının cəmi haqqında dərsdən motiv də məlumdur. Sərvətimizi ətraflı təsvir edək:

Qismən cəmi tərtib etmək üçün sıfır + seriyanın daha iki şərtini yazmalısınız. Yəni,

Rəsmdə funksiyanın qrafiki göstərilir yaşıl, və gördüyünüz kimi, o, tam məbləği olduqca sıx şəkildə "sarır". Əgər seriyanın beş şərtinin qismən cəmini nəzərə alsaq, onda bu funksiyanın qrafiki qırmızı xətləri daha da dəqiqləşdirəcək; əgər yüz termin varsa, onda “yaşıl ilan” əslində qırmızı seqmentlərlə tamamilə birləşəcək, və s. Beləliklə, Furye seriyası öz cəminə yaxınlaşır.

Maraqlıdır ki, istənilən qismən cəm fasiləsiz funksiyadır, lakin seriyanın ümumi cəmi hələ də fasiləsizdir.

Təcrübədə qismən cəmi qrafiki qurmaq o qədər də nadir deyil. Bunu necə etmək olar? Bizim vəziyyətimizdə, seqmentdəki funksiyanı nəzərdən keçirmək, seqmentin uclarında və ara nöqtələrdə onun dəyərlərini hesablamaq lazımdır (nə qədər çox nöqtə nəzərə alınsa, qrafik daha dəqiq olacaqdır). Sonra rəsmdə bu nöqtələri qeyd etməli və diqqətlə dövrə bir qrafik çəkməli və sonra onu bitişik intervallara "təkrarlamalısınız". Başqa necə? Axı, yaxınlaşma həm də dövri funksiyadır... ...onun qrafiki müəyyən mənada mənə tibbi cihazın ekranındakı bərabər ürək ritmini xatırladır.

İnşaatı həyata keçirmək, əlbəttə ki, çox rahat deyil, çünki ən azı yarım millimetr dəqiqliyi qoruyaraq son dərəcə diqqətli olmalısınız. Bununla belə, rəsm çəkməkdən rahat olmayan oxucuları sevindirəcəyəm - "real" bir problemdə həmişə rəsm çəkmək lazım deyil; təxminən 50% hallarda funksiyanı Furye seriyasına genişləndirmək lazımdır və budur .

Rəsmi tamamladıqdan sonra tapşırığı yerinə yetiririk:

Cavab:

Bir çox problemdə funksiya genişlənmə dövründə 1-ci növ fasiləsizliyə məruz qalır:

Misal 3

İntervalda verilmiş funksiyanı Furye seriyasına genişləndirin. Funksiyanın qrafikini və seriyanın ümumi cəmini çəkin.

Təklif olunan funksiya hissə-hissə müəyyən edilir (və qeyd edin, yalnız seqmentdə) və nöqtədə 1-ci növ fasiləsizliyə məruz qalır. Furye əmsallarını hesablamaq mümkündürmü? Problem deyil. Funksiyanın həm sol, həm də sağ tərəfləri öz intervallarında inteqraldır, ona görə də üç düsturun hər birindəki inteqrallar iki inteqralın cəmi kimi göstərilməlidir. Məsələn, bunun sıfır əmsal üçün necə edildiyinə baxaq:

İkinci inteqral sıfıra bərabər oldu, bu da işi azaltdı, lakin bu həmişə belə deyil.

Digər iki Furye əmsalı oxşar şəkildə təsvir edilmişdir.

Seriyanın cəmini necə göstərmək olar? Sol intervalda düz xətt seqmentini, intervalda isə düz xətt seqmentini çəkirik (oxun bölməsini qalın və qalın hərflərlə vurğulayırıq). Yəni, genişlənmə intervalında seriyanın cəmi üç "pis" nöqtədən başqa hər yerdə funksiya ilə üst-üstə düşür. Funksiyanın kəsilmə nöqtəsində Furye seriyası fasiləsizliyin “sıçrayışının” tam ortasında yerləşən təcrid olunmuş dəyərə yaxınlaşacaq. Bunu şifahi görmək çətin deyil: sol tərəfli həddi: , sağ tərəfli həddi: və aydındır ki, orta nöqtənin ordinatı 0,5-dir.

Cəmin dövriliyinə görə, şəkil bitişik dövrlərə "çoxalılmalıdır", xüsusən də eyni şey intervallarda və . Eyni zamanda, nöqtələrdə Furye seriyası median dəyərlərə yaxınlaşacaq.

Əslində burada yeni heç nə yoxdur.

Bu işin öhdəsindən özünüz gəlməyə çalışın. Yekun dizaynın təxmini nümunəsi və dərsin sonunda rəsm.

Bir funksiyanın ixtiyari dövr ərzində Furye sırasına genişlənməsi

“el” hər hansı müsbət ədəd olduğu ixtiyari genişlənmə dövrü üçün Furye seriyası və Furye əmsalları üçün düsturlar sinus və kosinus üçün bir az daha mürəkkəb arqumentlə fərqlənir:

Əgər varsa, onda başladığımız interval düsturlarını alırıq.

Problemin həlli üçün alqoritm və prinsiplər tamamilə qorunub saxlanılır, lakin hesablamaların texniki mürəkkəbliyi artır:

Misal 4

Funksiyanı Furye seriyasına genişləndirin və cəmini tərtib edin.

Həlli: əslində nöqtədə 1-ci növ kəsilmə ilə Nümunə 3-ün analoqu. Bu problemdə genişlənmə dövrü yarım dövrdür. Funksiya yalnız yarım intervalda müəyyən edilir, lakin bu məsələni dəyişmir - funksiyanın hər iki hissəsinin inteqral olması vacibdir.

Funksiyanı Furye seriyasına genişləndirək:

Funksiya başlanğıcda kəsikli olduğundan, hər bir Furye əmsalı açıq şəkildə iki inteqralın cəmi kimi yazılmalıdır:

1) Birinci inteqralı mümkün qədər ətraflı yazacağam:

2) Ayın səthinə diqqətlə baxırıq:

İkinci inteqralı hissələrə görə götürürük:

Həllin davamını ulduz işarəsi ilə açdıqdan sonra nələrə çox diqqət yetirməliyik?

Birincisi, birinci inteqralı itirmirik , burada dərhal diferensial işarəni tətbiq edirik. İkincisi, böyük mötərizələrdən əvvəl uğursuz sabiti unutma və düsturdan istifadə edərkən işarələrdə çaşqınlıq yaratma. . Böyük mötərizələr növbəti mərhələdə dərhal açmaq üçün hələ də daha rahatdır.

Qalanı texnika məsələsidir, çətinliklər yalnız inteqralların həllində kifayət qədər təcrübənin olmaması səbəbindən yarana bilər.

Bəli, fransız riyaziyyatçısı Furyenin görkəmli həmkarlarının qəzəblənməsi əbəs yerə deyildi - o, funksiyaları triqonometrik sıralara düzməyə necə cəsarət etdi?! =) Yeri gəlmişkən, yəqin ki, hər kəs sözügedən tapşırığın praktik mənası ilə maraqlanır. Fourier özü işləyirdi riyazi model istilik keçiriciliyi və sonradan onun adını daşıyan seriyalar ətraf aləmdə görünən və görünməyən bir çox dövri prosesləri öyrənmək üçün istifadə olunmağa başladı. İndi, yeri gəlmişkən, ikinci misalın qrafikini ürəyin dövri ritmi ilə müqayisə etməyimin təsadüfi olmadığını düşünüb özümü tutdum. Maraqlananlar praktik tətbiqi ilə tanış ola bilərlər Furye çevrilməsiüçüncü tərəf mənbələrində. ...Yaxşısı olmasa da - İlk Sevgi kimi yadda qalacaq =)

3) Dəfələrlə qeyd olunan zəif həlqələri nəzərə alaraq üçüncü əmsala baxaq:

Gəlin hissələrə görə inteqrasiya edək:

Tapılan Furye əmsallarını düsturda əvəz edək , sıfır əmsalı yarıya bölməyi unutmadan:

Gəlin seriyanın cəmini tərtib edək. Proseduru qısaca təkrar edək: intervalda düz xətt, intervalda isə düz xətt qururuq. "X" dəyəri sıfırdırsa, boşluğun "sıçrayışının" ortasına bir nöqtə qoyuruq və bitişik dövrlər üçün qrafiki "təkrarlayırıq":

Dövrlərin "qovşaqlarında" cəmi də boşluğun "sıçrayışının" orta nöqtələrinə bərabər olacaqdır.

Hazır. Nəzərinizə çatdırım ki, funksiyanın özü yalnız yarım intervalda müəyyən edilmiş şərtlədir və aydındır ki, intervallardakı sıraların cəmi ilə üst-üstə düşür.

Cavab:

Bəzən hissə-hissə verilmiş funksiya genişlənmə dövrü ərzində davamlı olur. Ən sadə misal: . Həll (bax: Bohan cild 2)əvvəlki iki misalda olduğu kimi: nöqtədə funksiyanın davamlılığına baxmayaraq, hər bir Furye əmsalı iki inteqralın cəmi kimi ifadə edilir.

Genişlənmə intervalında daha çox 1-ci növ kəsilmə nöqtələri və/yaxud qrafikin “birgə” nöqtələri ola bilər (iki, üç və ümumiyyətlə hər hansı final kəmiyyət). Funksiya hər bir hissədə inteqral edilə biləndirsə, o zaman Furye seriyasında da genişləndirilə bilər. Amma praktik təcrübədən belə qəddar bir şey xatırlamıram. Bununla birlikdə, nəzərdən keçirilənlərdən daha çətin vəzifələr var və məqalənin sonunda hər kəs üçün artan mürəkkəblik Fourier seriyasına bağlantılar var.

Bu vaxt gəlin istirahət edək, kreslolarımızda arxaya söykənək və ulduzların sonsuz genişliklərini nəzərdən keçirək:

Misal 5

Funksiyanı intervalda Furye sırasına genişləndirin və seriyaların cəmini qrafasına salın.

Bu məsələdə funksiya genişlənmənin yarım intervalında davamlıdır ki, bu da həlli sadələşdirir. Hər şey Nümunə 2-yə çox bənzəyir. Kosmik gəmidən qaçmaq yoxdur - qərar verməli olacaqsınız =) Dərsin sonunda təxmini dizayn nümunəsi, cədvəl əlavə olunur.

Cüt və tək funksiyaların Furye seriyasının genişləndirilməsi

Cüt və tək funksiyalarla problemin həlli prosesi nəzərəçarpacaq dərəcədə sadələşdirilir. Və buna görə. Gəlin Furye seriyasındakı funksiyanın “iki pi” periyodu ilə genişlənməsinə qayıdaq. və ixtiyari dövr “iki el” .

Tutaq ki, bizim funksiyamız cütdür. Seriyanın ümumi termini, gördüyünüz kimi, cüt kosinusları və tək sinusları ehtiva edir. Əgər biz EVEN funksiyasını genişləndiririksə, onda nə üçün tək sinuslar lazımdır?! Lazımsız əmsalı sıfırlayaq: .

Beləliklə, cüt funksiya yalnız kosinuslarda Furye seriyasına genişləndirilə bilər:

Sıfıra nisbətdə simmetrik olan inteqrasiya seqmenti üzərində cüt funksiyaların inteqralları ikiqat artırıla bildiyindən, qalan Furye əmsalları da sadələşdirilmişdir.

Boşluq üçün:

İxtiyari interval üçün:

Riyazi analiz üzrə demək olar ki, hər hansı bir dərslikdə tapıla bilən dərslik nümunələrinə hətta funksiyaların genişləndirilməsi daxildir. . Bundan əlavə, mənim şəxsi təcrübəmdə onlarla dəfələrlə qarşılaşdım:

Misal 6

Funksiya verilir. Tələb olunur:

1) funksiyanı dövrü olan Furye sırasına genişləndirin, burada ixtiyari müsbət ədəddir;

2) interval üzrə genişlənməni yazın, funksiya qurun və seriyanın ümumi cəminin qrafikini çəkin.

Həll yolu: birinci bənddə problemin həlli təklif olunur ümumi görünüş, və çox rahatdır! Ehtiyac yaranarsa, sadəcə olaraq dəyərinizi əvəz edin.

1) Bu problemdə genişlənmə dövrü yarım dövrdür. ərzində əlavə tədbirlər, xüsusən inteqrasiya zamanı “el” sabit hesab olunur

Funksiya bərabərdir, yəni o, yalnız kosinuslarda Furye seriyasına genişləndirilə bilər: .

Düsturlardan istifadə edərək Furye əmsallarını axtarırıq . Onların qeyd-şərtsiz üstünlüklərinə diqqət yetirin. Birincisi, inteqrasiya genişləndirmənin müsbət seqmenti üzərində həyata keçirilir, bu da moduldan təhlükəsiz şəkildə qurtulmağımız deməkdir. , iki parçanın yalnız “X”ini nəzərə alaraq. İkincisi, inteqrasiya nəzərəçarpacaq dərəcədə sadələşdirilmişdir.

İki:

Gəlin hissələrə görə inteqrasiya edək:

Beləliklə:
, “en”dən asılı olmayan sabit isə cəmdən kənar götürülür.

Cavab:

2) Genişlənməni intervala yazaq, bunun üçün ümumi formulaəvəz etmək istədiyiniz dəyər yarım dövr:

Furye sıraları ixtiyari funksiyanın müəyyən bir dövrə malik seriya şəklində təsviridir. Ümumiyyətlə, bu həll elementin ortoqonal əsas boyunca parçalanması adlanır. Funksiyaların Furye sıralarına genişləndirilməsi inteqrasiya, diferensiallaşma, həmçinin ifadələrin arqument və konvolyusiya ilə dəyişməsi zamanı bu çevrilmənin xassələrinə görə müxtəlif problemlərin həlli üçün kifayət qədər güclü vasitədir.

Ali riyaziyyatla, eləcə də fransız alimi Furyenin əsərləri ilə tanış olmayan adam, çox güman ki, bu “seriyaların” nə olduğunu və nə üçün lazım olduğunu başa düşməyəcək. Bu arada, bu transformasiya həyatımıza kifayət qədər inteqrasiya olunub. O, təkcə riyaziyyatçılar tərəfindən deyil, həm də fiziklər, kimyaçılar, həkimlər, astronomlar, seysmoloqlar, okeanoloqlar və bir çox başqaları tərəfindən istifadə olunur. Gəlin öz dövrünü qabaqlayan bir kəşf etmiş böyük fransız aliminin əsərlərinə də yaxından nəzər salaq.

İnsan və Furye çevrilir

Furye seriyası üsullardan biridir (analiz və digərləri ilə birlikdə).Bu proses insan hər dəfə səs eşitdikdə baş verir. Qulağımız çevrilməni avtomatik həyata keçirir elementar hissəciklər elastik mühitdə müxtəlif hündürlüklərin tonları üçün ardıcıl yüksəklik səviyyələri dəyərləri sıralarında (spektr boyu) yerləşdirilir. Daha sonra beyin bu məlumatları bizə tanış olan səslərə çevirir. Bütün bunlar bizim istəyimiz və şüurumuz olmadan öz-özünə baş verir, lakin bu prosesləri başa düşmək üçün ali riyaziyyatı öyrənmək bir neçə il çəkəcək.

Furye çevrilməsi haqqında daha çox məlumat

Furye çevrilməsi analitik, ədədi və digər üsullardan istifadə etməklə həyata keçirilə bilər. Furye seriyası hər hansı bir salınım prosesinin parçalanmasının ədədi üsuluna aiddir - okean gelgitlərindən və işıq dalğalarından günəş (və digər astronomik obyektlər) fəaliyyət dövrlərinə qədər. Bu riyazi üsullardan istifadə edərək, minimumdan maksimuma və geriyə hərəkət edən sinusoidal komponentlər silsiləsi kimi istənilən salınım prosesini təmsil edən funksiyaları təhlil edə bilərsiniz. Furye çevrilməsi sinusoidlərin müəyyən bir tezlikə uyğun faza və amplitudasını təsvir edən funksiyadır. Bu proses istiliyin, işığın və ya enerjinin təsiri altında yaranan dinamik prosesləri təsvir edən çox mürəkkəb tənlikləri həll etmək üçün istifadə edilə bilər. elektrik enerjisi. Həmçinin Furye seriyası mürəkkəb salınım siqnallarında sabit komponentləri təcrid etməyə imkan verir, tibb, kimya və astronomiyada əldə edilən eksperimental müşahidələri düzgün şərh etməyə imkan verir.

Tarixi istinad

Bu nəzəriyyənin banisi fransız riyaziyyatçısı Jean Baptiste Cozef Furyedir. Bu çevrilmə sonradan onun adını aldı. Əvvəlcə alim istilik keçiriciliyinin mexanizmlərini - istiliyin yayılmasını öyrənmək və izah etmək üçün öz metodundan istifadə etdi. bərk maddələr. Furye təklif etdi ki, ilkin qeyri-müntəzəm paylanma sadə sinusoidlərə parçalana bilər, hər birinin öz temperaturu minimum və maksimumu, həmçinin öz fazası olacaqdır. Bu halda, hər bir belə komponent minimumdan maksimuma və geriyə ölçüləcəkdir. Əyrinin yuxarı və aşağı zirvələrini, eləcə də harmoniklərin hər birinin fazasını təsvir edən riyazi funksiya temperaturun paylanması ifadəsinin Furye çevrilməsi adlanır. Nəzəriyyə müəllifi bir araya gətirdi ümumi funksiya riyazi olaraq təsvir etmək çətin olan paylanma, birlikdə orijinal paylanmanı verən çox rahat kosinus və sinus seriyasına.

Transformasiya prinsipi və müasirlərin baxışları

Alimin müasirləri - XIX əsrin əvvəllərinin aparıcı riyaziyyatçıları bu nəzəriyyəni qəbul etmirdilər. Əsas etiraz Furyenin düz xətti və ya kəsikli əyrini təsvir edən kəsikli funksiyanın davamlı olan sinusoidal ifadələrin cəmi kimi təqdim oluna biləcəyini iddia etməsi idi. Nümunə olaraq, Heaviside addımını nəzərdən keçirək: onun dəyəri kəsilmənin solunda sıfır və sağda birdir. Bu funksiya dövrə bağlandıqda elektrik cərəyanının müvəqqəti dəyişəndən asılılığını təsvir edir. O dövrdə nəzəriyyənin müasirləri kəsikli ifadənin eksponensial, sinus, xətti və ya kvadratik kimi davamlı, adi funksiyaların birləşməsi ilə təsvir ediləcəyi oxşar vəziyyətlə heç vaxt qarşılaşmamışdı.

Fransız riyaziyyatçılarını Furye nəzəriyyəsi ilə bağlı nə çaşdırdı?

Axı, əgər riyaziyyatçı öz ifadələrində haqlı idisə, o zaman sonsuz triqonometrik Furye seriyasını cəmləməklə, bir çox oxşar addımları olsa belə, addım ifadəsinin dəqiq təsvirini əldə etmək olar. On doqquzuncu əsrin əvvəllərində belə bir bəyanat absurd görünürdü. Lakin bütün şübhələrə baxmayaraq, bir çox riyaziyyatçılar bu hadisənin tədqiq sahəsini genişləndirərək, onu istilik keçiriciliyinin öyrənilməsindən kənara çıxardılar. Bununla belə, əksər elm adamları bu sualdan əziyyət çəkməyə davam etdilər: “Sinusoidal sıraların cəmi birləşə bilərmi? dəqiq qiymət fasiləsiz funksiya?

Furye seriyasının yaxınlaşması: bir nümunə

Sonsuz ədədlər seriyasını cəmləmək lazım olduqda yaxınlaşma məsələsi yaranır. Bu fenomeni başa düşmək üçün klassik bir nümunəyə nəzər salın. Hər bir sonrakı addım əvvəlkinin yarısı qədər olarsa, nə vaxtsa divara çata biləcəksinizmi? Tutaq ki, siz hədəfinizdən iki metr uzaqdasınız, ilk addım sizi yarı yol nişanına aparır, növbəti addım sizi dörddə üçə aparır və beşincidən sonra yolun demək olar ki, 97 faizini keçəcəksiniz. Ancaq nə qədər addım atsanız da, sərt riyazi mənada nəzərdə tutduğunuz məqsədə çata bilməyəcəksiniz. Ədədi hesablamalardan istifadə edərək, nəticədə verilən məsafə qədər yaxınlaşmağın mümkün olduğunu sübut etmək olar. Bu sübut yarım, dörddə bir və s. cəminin birliyə meyl edəcəyini nümayiş etdirməyə bərabərdir.

Konvergensiya məsələsi: İkinci Gəliş və ya Lord Kelvinin Cihazı

Bu məsələ, on doqquzuncu əsrin sonunda, gelgitlərin intensivliyini proqnozlaşdırmaq üçün Furye seriyasından istifadə etməyə çalışdıqları zaman yenidən gündəmə gəldi. Bu zaman Lord Kelvin analoq olan bir cihaz icad etdi hesablama cihazı Hərbi və ticarət dənizçilərinə bu təbiət hadisəsini izləməyə imkan verdi. Bu mexanizm, il ərzində müəyyən bir limanda diqqətlə ölçülən gelgit hündürlükləri və müvafiq vaxt nöqtələri cədvəlindən mərhələlər və amplitüdlər dəstlərini təyin etdi. Hər bir parametr gelgit hündürlüyü ifadəsinin sinusoidal komponenti idi və müntəzəm komponentlərdən biri idi. Ölçmələr Lord Kelvinin hesablama alətinə daxil edildi, o, növbəti il üçün suyun hündürlüyünü zaman funksiyası kimi proqnozlaşdıran əyrini sintez etdi. Tezliklə dünyanın bütün limanları üçün oxşar əyrilər tərtib edildi.

Bəs proses fasiləsiz funksiya ilə pozulsa?

O zaman aydın görünürdü ki, çoxlu sayda hesablama elementləri olan gelgit dalğası proqnozlaşdırıcısı çoxlu sayda faza və amplitüdləri hesablaya bilər və bununla da daha dəqiq proqnozlar verə bilər. Lakin məlum oldu ki, sintez edilməli olan gelgit ifadəsinin kəskin sıçrayış ehtiva etdiyi, yəni fasiləsiz olduğu hallarda bu nümunə müşahidə edilmir. Zaman anları cədvəlindən məlumatlar cihaza daxil edilərsə, o, bir neçə Furye əmsalını hesablayır. Orijinal funksiya sinusoidal komponentlər sayəsində bərpa olunur (tapılmış əmsallara uyğun olaraq). Orijinal və yenidən qurulmuş ifadə arasındakı uyğunsuzluq istənilən nöqtədə ölçülə bilər. Təkrar hesablamalar və müqayisələr apararkən aydın olur ki, ən böyük xətanın dəyəri azalmır. Bununla belə, onlar kəsilmə nöqtəsinə uyğun bölgədə lokallaşdırılır və hər hansı digər nöqtədə sıfıra meyllidirlər. 1899-cu ildə bu nəticə Yale Universitetindən Coşua Uillard Gibbs tərəfindən nəzəri olaraq təsdiq edildi.

Furye sıralarının yaxınlaşması və ümumilikdə riyaziyyatın inkişafı

Furye təhlili müəyyən bir intervalda sonsuz sayda sünbülləri ehtiva edən ifadələrə tətbiq edilmir. Ümumiyyətlə, Furye seriyası, əgər orijinal funksiya realın nəticəsi ilə təmsil olunursa fiziki ölçü, həmişə birləşir. Bu prosesin konkret funksiya sinifləri üçün yaxınlaşması ilə bağlı suallar riyaziyyatda yeni sahələrin, məsələn, ümumiləşdirilmiş funksiyalar nəzəriyyəsinin yaranmasına səbəb oldu. O, L. Schwartz, J. Mikusinski və J. Temple kimi adlarla əlaqələndirilir. Bu nəzəriyyə çərçivəsində aydın və dəqiq nəzəri əsas Dirac delta funksiyası (bir nöqtənin sonsuz kiçik qonşuluğunda cəmləşmiş bir ərazinin bölgəsini təsvir edir) və Heaviside "addımı" kimi ifadələr altında. Bu iş sayəsində Furye seriyası intuitiv anlayışları əhatə edən tənliklərin və problemlərin həllində tətbiq oluna bildi: nöqtə yükü, nöqtə kütləsi, maqnit dipolları və şüa üzərində cəmlənmiş yük.

Furye üsulu

Furye seriyası, müdaxilə prinsiplərinə uyğun olaraq, mürəkkəb formaların daha sadə olanlara parçalanması ilə başlayır. Məsələn, istilik axınının dəyişməsi onun qeyri-müntəzəm formalı istilik izolyasiya edən materialdan hazırlanmış müxtəlif maneələrdən keçməsi və ya yerin səthinin dəyişməsi - zəlzələ, orbitin dəyişməsi ilə izah olunur. göy cismi- planetlərin təsiri. Bir qayda olaraq, sadə klassik sistemləri təsvir edən belə tənliklər hər bir fərdi dalğa üçün asanlıqla həll edilə bilər. Furye bunu göstərdi sadə həllər daha mürəkkəb problemlərin həlli yollarını əldə etmək üçün də cəmlənə bilər. Riyazi dillə desək, Furye seriyası ifadəni harmoniklərin - kosinus və sinusun cəmi kimi təqdim etmək üçün bir texnikadır. Buna görə də bu analiz harmonik analiz kimi də tanınır.

Furye seriyası - "kompüter əsrindən" əvvəl ideal bir texnika

Yaradılmadan əvvəl kompüter avadanlığı Furye texnikası dünyamızın dalğa təbiəti ilə işləyərkən elm adamlarının arsenalında ən yaxşı silah idi. Furye seriyası mürəkkəb forma nəinki qərar verməyə imkan verir sadə tapşırıqlar Nyutonun mexanika qanunlarının, həm də əsas tənliklərin birbaşa tətbiqi üçün əlverişlidir. On doqquzuncu əsrdə Nyuton elminin kəşflərinin əksəriyyəti yalnız Furye texnikası sayəsində mümkün olmuşdur.

Furye seriyası bu gün

Kompüterlərin inkişafı ilə Furye çevrilmələri keyfiyyətcə yeni səviyyəyə yüksəldi. Bu texnika elm və texnologiyanın demək olar ki, bütün sahələrində möhkəm şəkildə qurulmuşdur. Məsələn, rəqəmsal audio və video. Onun həyata keçirilməsi yalnız on doqquzuncu əsrin əvvəllərində fransız riyaziyyatçısı tərəfindən hazırlanmış bir nəzəriyyə sayəsində mümkün olmuşdur. Beləliklə, Furye seriyası mürəkkəb formada kosmosun tədqiqində sıçrayış etməyə imkan verdi. Bundan əlavə, yarımkeçirici materialların və plazmanın fizikasının, mikrodalğalı akustikanın, okeanoqrafiyanın, radarın və seysmologiyanın öyrənilməsinə təsir göstərmişdir.

Triqonometrik Furye seriyası

Riyaziyyatda Furye seriyası ixtiyari təmsil etmək üsuludur mürəkkəb funksiyalar daha sadələrinin cəmi. IN ümumi hallar belə ifadələrin sayı sonsuz ola bilər. Üstəlik, hesablamada onların sayı nə qədər çox nəzərə alınarsa, son nəticə bir o qədər dəqiqdir. Ən çox protozoa kimi istifadə olunur triqonometrik funksiyalar kosinus və ya sinus. Bu halda Furye silsiləsi triqonometrik, belə ifadələrin həlli isə harmonik genişlənmə adlanır. Bu üsul oynayır mühüm rol riyaziyyatda. Hər şeydən əvvəl, triqonometrik sıra funksiyaları təsvir etmək və öyrənmək üçün bir vasitə təmin edir, nəzəriyyənin əsas aparatıdır. Bundan əlavə, riyazi fizikanın bir sıra məsələlərini həll etməyə imkan verir. Nəhayət, bu nəzəriyyə inkişafa töhfə verdi və bir sıra çox vacib bölmələri həyata keçirdi riyaziyyat elmi(inteqrallar nəzəriyyəsi, dövri funksiyalar nəzəriyyəsi). Bundan əlavə, o, real dəyişənin aşağıdakı funksiyalarının inkişafı üçün başlanğıc nöqtəsi kimi xidmət etdi və eyni zamanda harmonik analizin əsasını qoydu.

2π dövrü olan dövri funksiyaların Furye seriyası.

Furye seriyası bizə dövri funksiyaları komponentlərə parçalayaraq öyrənməyə imkan verir. Alternativ cərəyanlar və gərginliklər, yerdəyişmələr, krank mexanizmlərinin sürəti və sürətlənməsi və akustik dalğalar tipikdir. praktik nümunələr mühəndislik hesablamalarında dövri funksiyaların tətbiqi.

Furye sıralarının genişləndirilməsi -π ≤x≤ π intervalında praktiki əhəmiyyət kəsb edən bütün funksiyaların yaxınlaşan triqonometrik sıralar şəklində ifadə oluna biləcəyi fərziyyəsinə əsaslanır. birləşir):

Sinx və cosx cəmi vasitəsilə standart (=adi) notasiya

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

burada a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. real sabitlərdir, yəni.

Burada -π-dən π-ə qədər olan diapazon üçün Furye seriyasının əmsalları düsturlardan istifadə etməklə hesablanır:

a o , a n və b n əmsalları Furye əmsalları adlanır və onları tapmaq olarsa, (1) seriyası f (x) funksiyasına uyğun gələn Furye seriyası adlanır. (1) seriyası üçün termin (a 1 cosx+b 1 sinx) birinci və ya əsas harmonik adlanır,

Seriya yazmağın başqa bir yolu acosx+bsinx=csin(x+α) münasibətindən istifadə etməkdir.

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

a o sabitdir, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 müxtəlif komponentlərin amplitüdləridir və a n =arctg a n-ə bərabərdir. /b n.

(1) seriyası üçün (a 1 cosx+b 1 sinx) və ya c 1 sin(x+α 1) termini birinci və ya fundamental harmonik, (a 2 cos2x+b 2 sin2x) və ya c 2 sin(2x) adlanır. +α 2) ikinci harmonik adlanır və s.

Mürəkkəb bir siqnalı dəqiq təmsil etmək üçün adətən sonsuz sayda termin tələb olunur. Lakin bir çox praktiki məsələlərdə yalnız ilk bir neçə termini nəzərdən keçirmək kifayətdir.

Dövri 2π olan qeyri-dövri funksiyaların Furye seriyası.

Qeyri-dövri funksiyaların genişləndirilməsi.

Əgər f(x) funksiyası dövri deyilsə, bu o deməkdir ki, x-in bütün qiymətləri üçün onu Furye sırasına genişləndirmək olmaz. Bununla belə, istənilən eni 2π diapazonunda funksiyanı təmsil edən Furye seriyasını təyin etmək mümkündür.

Qeyri-dövri funksiyanı nəzərə alaraq, müəyyən diapazonda f(x) qiymətlərini seçmək və onları 2π intervalı ilə həmin diapazondan kənarda təkrarlamaqla yeni funksiya qurmaq olar. Yeni funksiya 2π dövrü ilə dövri olduğundan, bütün x dəyərləri üçün Furye seriyasına genişləndirilə bilər. Məsələn, f(x)=x funksiyası dövri deyil. Bununla belə, o-dan 2π-ə qədər olan intervalda onu Furye sırasına genişləndirmək lazımdırsa, bu intervaldan kənarda 2π dövrü olan dövri funksiya qurulur (aşağıdakı şəkildə göstərildiyi kimi).

f(x)=x kimi qeyri-dövri funksiyalar üçün Furye sıralarının cəmi verilmiş diapazonun bütün nöqtələrində f(x) dəyərinə bərabərdir, lakin nöqtələr üçün f(x)-ə bərabər deyil. diapazondan kənarda. 2π diapazonunda qeyri-dövri funksiyanın Furye sırasını tapmaq üçün Furye əmsallarının eyni düsturundan istifadə olunur.

Cüt və tək funksiyalar.

Deyirlər ki, x-in bütün qiymətləri üçün f(-x)=f(x) olsa belə, y=f(x) funksiyası belədir. Cüt funksiyaların qrafikləri həmişə y oxuna görə simmetrikdir (yəni güzgü təsvirləridir). Cüt funksiyaların iki nümunəsi: y=x2 və y=cosx.

Bütün x-in qiymətləri üçün f(-x)=-f(x) olarsa, y=f(x) funksiyasının tək olduğu deyilir. Tək funksiyaların qrafikləri həmişə mənşəyə görə simmetrikdir.

Bir çox funksiyalar nə cüt, nə də təkdir.

Kosinuslarda Furye sıralarının genişlənməsi.

2π dövrü olan bərabər dövri f(x) funksiyasının Furye seriyası yalnız kosinus terminlərini ehtiva edir (yəni, sinus terminləri yoxdur) və sabit bir termini ehtiva edə bilər. Beləliklə,

Furye seriyasının əmsalları haradadır,

Dövri 2π olan tək dövri f(x) funksiyasının Furye seriyası yalnız sinuslu hədləri ehtiva edir (yəni kosinuslu hədləri ehtiva etmir).

Beləliklə,

Furye seriyasının əmsalları haradadır,

Yarım dövrədə Furye seriyası.

Funksiya yalnız 0-dan 2π-ə qədər deyil, məsələn, 0-dan π-ə qədər diapazon üçün müəyyən edilirsə, o, yalnız sinuslarda və ya yalnız kosinuslarda bir sıra genişləndirilə bilər. Yaranan Furye seriyası yarım dövrəli Furye seriyası adlanır.

Əgər f(x) funksiyasının 0-dan π diapazonunda kosinuslarının yarımdövrü Furye genişlənməsini əldə etmək istəyirsinizsə, onda bərabər dövri funksiya qurmaq lazımdır. Şəkildə. Aşağıda f(x)=x funksiyası x=0 ilə x=π intervalında qurulmuşdur. Çünki hətta fəaliyyət göstərir f(x) oxuna simmetrik olaraq, şəkildə göstərildiyi kimi AB xəttini çəkin. aşağıda. Nəzərdə tutulan intervaldan kənarda alındığını fərz etsək üçbucaqlı forma 2π periyodu ilə dövri olur, onda yekun qrafiki göstərin. Şəkildə. aşağıda. Kosinuslarda Furye genişlənməsini əldə etməmiz lazım olduğundan, əvvəlki kimi, Furye əmsallarını a o və a n hesablayırıq.

Əgər 0-dan π-ə qədər f(x) funksiyasının sinusları baxımından Furyenin yarım dövrəli genişlənməsini əldə etmək istəyirsinizsə, onda tək dövri funksiya qurmalısınız. Şəkildə. Aşağıda f(x)=x funksiyası x=0 ilə x=π intervalında qurulmuşdur. Tək funksiya mənşəyə görə simmetrik olduğundan, şəkildə göstərildiyi kimi CD xəttini qururuq. Nəzərdən keçirilən intervaldan kənarda yaranan mişar dişi siqnalının 2π dövrü ilə dövri olduğunu fərz etsək, son qrafik Şəkil 1-də göstərilən formaya malikdir. Sinuslar baxımından yarım dövrənin Furye genişlənməsini əldə etməmiz lazım olduğundan, əvvəlki kimi Furye əmsalını hesablayırıq. b

İxtiyari interval üçün Furye seriyası.

L dövrü ilə dövri funksiyanın genişlənməsi.

Dövri f(x) funksiyası x L artdıqca təkrarlanır, yəni. f(x+L)=f(x). Əvvəllər nəzərdən keçirilmiş 2π dövrü ilə funksiyalardan L dövrü olan funksiyalara keçid olduqca sadədir, çünki bu, dəyişən dəyişikliyindən istifadə etməklə edilə bilər.

-L/2≤x≤L/2 diapazonunda f(x) funksiyasının Furye sırasını tapmaq üçün yeni u dəyişənini təqdim edirik ki, f(x) funksiyasının u-ya nisbətən 2π periyodu olsun. Əgər u=2πx/L, onda u=-π üçün x=-L/2 və u=π üçün x=L/2. Həmçinin f(x)=f(Lu/2π)=F(u) edək. Furye seriyası F(u) formasına malikdir

(İnteqrasiya hüdudları L uzunluğunun istənilən intervalı ilə əvəz edilə bilər, məsələn, 0-dan L)

L≠2π intervalında müəyyən edilmiş funksiyalar üçün yarımdövrə üzrə Furye seriyası.

u=πх/L əvəzlənməsi üçün x=0-dan x=L-ə qədər olan interval u=0-dan u=π-ə qədər olan intervala uyğun gəlir. Nəticə etibarilə, funksiya yalnız kosinuslarda və ya yalnız sinuslarda seriyaya genişləndirilə bilər, yəni. Yarım dövrədə Furye seriyasına çevrilir.

0-dan L aralığında kosinus genişlənməsi formaya malikdir

Funksiyalar, onları komponentlərə ayırmaq. Dəyişən cərəyanlar və gərginliklər, yerdəyişmələr, krank mexanizmlərinin sürəti və sürətlənməsi və akustik dalğalar mühəndislik hesablamalarında dövri funksiyalardan istifadənin tipik praktiki nümunələridir.

Sinx və cosx cəmi vasitəsilə standart (=adi) notasiya

f(x)=a o + a 1 cosx+a 2 cos2x+a 3 cos3x+...+b 1 sinx+b 2 sin2x+b 3 sin3x+...,

burada a o, a 1,a 2,...,b 1,b 2,.. real sabitlərdir, yəni.

Burada -π-dən π-ə qədər olan diapazon üçün Furye seriyasının əmsalları düsturlardan istifadə etməklə hesablanır:

Seriya yazmağın başqa bir yolu acosx+bsinx=csin(x+α) münasibətindən istifadə etməkdir.

f(x)=a o +c 1 sin(x+α 1)+c 2 sin(2x+α 2)+...+c n sin(nx+α n)

a o sabitdir, c 1 =(a 1 2 +b 1 2) 1/2, c n =(a n 2 +b n 2) 1/2 müxtəlif komponentlərin amplitüdləridir və a n =arctg a n-ə bərabərdir. /b n.

(1) seriyası üçün (a 1 cosx+b 1 sinx) və ya c 1 sin(x+α 1) termini birinci və ya fundamental harmonik, (a 2 cos2x+b 2 sin2x) və ya c 2 sin(2x) adlanır. +α 2) ikinci harmonik adlanır və s.

Dövri 2π olan qeyri-dövri funksiyaların Furye seriyası. Qeyri-dövri funksiyaların Furye sıralarına genişləndirilməsi.

Cüt və tək funksiyalar.

Bütün x-in qiymətləri üçün f(-x)=-f(x) olarsa, y=f(x) funksiyasının tək olduğu deyilir. Tək funksiyaların qrafikləri həmişə mənşəyə görə simmetrikdir.

Bir çox funksiyalar nə cüt, nə də təkdir.

Kosinuslarda Furye sıralarının genişlənməsi.

Furye seriyasının əmsalları haradadır,

Dövri 2π olan tək dövri f(x) funksiyasının Furye seriyası yalnız sinuslu hədləri ehtiva edir (yəni kosinuslu hədləri ehtiva etmir).

Beləliklə,

Furye seriyasının əmsalları haradadır,

Yarım dövrədə Furye seriyası.

Əgər f(x) funksiyasının 0-dan π diapazonunda kosinuslarının yarımdövrü Furye genişlənməsini əldə etmək istəyirsinizsə, onda bərabər dövri funksiya qurmaq lazımdır. Şəkildə. Aşağıda f(x)=x funksiyası x=0 ilə x=π intervalında qurulmuşdur. Cüt funksiya f(x) oxuna nisbətən simmetrik olduğundan, Şəkil 1-də göstərildiyi kimi AB xəttini çəkirik. aşağıda. Nəzərə alınan intervaldan kənarda yaranan üçbucaqlı formanın 2π dövrü ilə dövri olduğunu fərz etsək, son qrafik belə görünür: Şəkildə. aşağıda. Kosinuslarda Furye genişlənməsini əldə etməmiz lazım olduğundan, əvvəlki kimi, Furye əmsallarını a o və a n hesablayırıq.

Əgər 0-dan π-ə qədər olan diapazonda f(x) funksiyalarını əldə etmək istəyirsinizsə, onda tək dövri funksiya qurmalısınız. Şəkildə. Aşağıda f(x)=x funksiyası x=0 ilə x=π intervalında qurulmuşdur. Tək funksiya mənşəyə görə simmetrik olduğundan, şəkildə göstərildiyi kimi CD xəttini qururuq. Nəzərdən keçirilən intervaldan kənarda yaranan mişar dişi siqnalının 2π dövrü ilə dövri olduğunu fərz etsək, son qrafik Şəkil 1-də göstərilən formaya malikdir. Sinuslar baxımından yarım dövrənin Furye genişlənməsini əldə etməmiz lazım olduğundan, əvvəlki kimi Furye əmsalını hesablayırıq. b

İxtiyari interval üçün Furye seriyası.

L dövrü ilə dövri funksiyanın genişlənməsi.

Furye seriyasının əmsalları haradadır?

Bununla belə, daha tez-tez yuxarıdakı düstur x-dən asılılıqla nəticələnir. u=2πx/L olduğundan du=(2π/L)dx deməkdir və inteqrasiyanın hədləri - π-dən π-yə deyil, -L/2-dən L/2-yə qədərdir. Beləliklə, x-dən asılılıq üçün Furye seriyası formaya malikdir

burada -L/2 ilə L/2 aralığında Furye seriyasının əmsallarıdır,

(İnteqrasiya hüdudları L uzunluğunun istənilən intervalı ilə əvəz edilə bilər, məsələn, 0-dan L)

L≠2π intervalında müəyyən edilmiş funksiyalar üçün yarımdövrə üzrə Furye seriyası.

0-dan L aralığında kosinus genişlənməsi formaya malikdir

Necə daxil etmək olar riyazi düsturlar vebsayta?

Əgər siz nə vaxtsa veb səhifəyə bir və ya iki riyazi düstur əlavə etməlisinizsə, bunun ən asan yolu məqalədə təsvir olunduğu kimidir: riyazi düsturlar asanlıqla Wolfram Alpha tərəfindən avtomatik olaraq yaradılan şəkillər şəklində sayta daxil edilir. . Sadəliyə əlavə olaraq, bu universal üsul saytın görünməsini yaxşılaşdırmağa kömək edəcəkdir Axtarış motorları. Uzun müddətdir işləyir (və məncə, əbədi işləyəcək), lakin artıq mənəvi cəhətdən köhnəlmişdir.

Əgər saytınızda müntəzəm olaraq riyazi düsturlardan istifadə edirsinizsə, onda mən sizə MathJax-dan istifadə etməyi məsləhət görürəm - MathML, LaTeX və ya ASCIIMathML işarələməsindən istifadə edərək veb brauzerlərdə riyazi qeydləri göstərən xüsusi JavaScript kitabxanası.

MathJax-dan istifadə etməyə başlamağın iki yolu var: (1) sadə koddan istifadə edərək, MathJax skriptini tez bir zamanda veb saytınıza qoşa bilərsiniz, bu da lazımi anda uzaq serverdən avtomatik yüklənəcək (serverlərin siyahısı); (2) MathJax skriptini uzaq serverdən serverinizə endirin və onu saytınızın bütün səhifələrinə qoşun. İkinci üsul - daha mürəkkəb və vaxt aparan - saytınızın səhifələrinin yüklənməsini sürətləndirəcək və əgər ana MathJax serveri nədənsə müvəqqəti olaraq əlçatmaz olarsa, bu heç bir şəkildə öz saytınıza təsir etməyəcək. Bu üstünlüklərə baxmayaraq, daha sadə, daha sürətli və texniki bacarıq tələb etmədiyi üçün birinci üsulu seçdim. Mənim nümunəmə əməl edin və cəmi 5 dəqiqə ərzində saytınızda MathJax-ın bütün xüsusiyyətlərindən istifadə edə biləcəksiniz.

MathJax kitabxana skriptini əsas MathJax veb-saytından və ya sənədləşmə səhifəsindən götürülmüş iki kod seçimindən istifadə edərək uzaq serverdən birləşdirə bilərsiniz:

Bu kod seçimlərindən biri kopyalanıb veb səhifənizin koduna, tercihen teqlər arasında və ya etiketdən dərhal sonra yapışdırılmalıdır. Birinci varianta görə, MathJax daha sürətli yüklənir və səhifəni daha az ləngidir. Lakin ikinci seçim avtomatik olaraq MathJax-ın ən son versiyalarını izləyir və yükləyir. İlk kodu daxil etsəniz, onun vaxtaşırı yenilənməsi lazımdır. İkinci kodu daxil etsəniz, səhifələr daha yavaş yüklənəcək, lakin MathJax yeniləmələrini daim izləmək lazım olmayacaq.

MathJax-a qoşulmağın ən asan yolu Blogger və ya WordPress-dədir: saytın idarəetmə panelində üçüncü tərəf JavaScript kodunu daxil etmək üçün nəzərdə tutulmuş vidceti əlavə edin, yuxarıda təqdim olunan yükləmə kodunun birinci və ya ikinci versiyasını ona köçürün və vidceti daha yaxın yerləşdirin. şablonun əvvəlinə (yeri gəlmişkən, bu heç də lazım deyil, çünki MathJax skripti asinxron şəkildə yüklənir). Hamısı budur. İndi MathML, LaTeX və ASCIIMathML-in işarələmə sintaksisini öyrənin və siz saytınızın veb səhifələrinə riyazi düsturlar daxil etməyə hazırsınız.

Hər hansı bir fraktal ardıcıl olaraq qeyri-məhdud sayda tətbiq olunan müəyyən bir qaydaya əsasən qurulur. Hər belə vaxt iterasiya adlanır.

Menger süngərinin qurulması üçün iterativ alqoritm olduqca sadədir: tərəfi 1 olan orijinal kub, üzlərinə paralel olan müstəvilərlə 27 bərabər kuba bölünür. Ondan bir mərkəzi kub və üzləri boyunca ona bitişik 6 kub çıxarılır. Nəticə qalan 20 kiçik kubdan ibarət dəstdir. Bu kubların hər biri ilə eyni şeyi edərək, 400 kiçik kubdan ibarət bir dəst alırıq. Bu prosesi sonsuz şəkildə davam etdirərək Menger süngərini əldə edirik.