Gauss üsulu xətti sistemlərin həlli üçün mükəmməldir cəbri tənliklər(SLAU). Digər üsullarla müqayisədə bir sıra üstünlüklərə malikdir:
- birincisi, ardıcıllıq üçün əvvəlcə tənliklər sistemini yoxlamağa ehtiyac yoxdur;
- ikincisi, Gauss metodu təkcə tənliklərin sayının naməlum dəyişənlərin sayı ilə üst-üstə düşdüyü və sistemin əsas matrisinin tək olmayan olduğu SLAE-ləri deyil, həm də tənliklərin sayının üst-üstə düşməyən tənlik sistemlərini həll edə bilər. naməlum dəyişənlərin sayı və ya əsas matrisin determinantı sıfıra bərabərdir;
- üçüncüsü, Qauss metodu nisbətən az sayda hesablama əməliyyatı ilə nəticələrə gətirib çıxarır.
Məqalənin qısa icmalı.
Əvvəlcə lazımi tərifləri veririk və qeydləri təqdim edirik.
Sonra, ən sadə hal üçün, yəni xətti cəbri tənliklər sistemləri üçün, naməlum dəyişənlərin sayı ilə üst-üstə düşən tənliklərin sayı və sistemin əsas matrisinin determinantı olan Gauss metodunun alqoritmini təsvir edəcəyik. sıfıra bərabər deyil. Bu cür tənlik sistemlərini həll edərkən, naməlum dəyişənlərin ardıcıl olaraq aradan qaldırılması olan Gauss metodunun mahiyyəti ən aydın görünür. Buna görə də Qauss metodu naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması metodu da adlanır. Bir neçə nümunənin ətraflı həllərini göstərəcəyik.
Yekun olaraq, əsas matrisi düzbucaqlı və ya tək olan xətti cəbri tənliklər sistemlərinin Gauss üsulu ilə həllini nəzərdən keçirəcəyik. Bu cür sistemlərin həlli bəzi xüsusiyyətlərə malikdir, biz onları nümunələrdən istifadə edərək ətraflı araşdıracağıq.
Səhifə naviqasiyası.
Əsas təriflər və qeydlər.
p sistemini nəzərdən keçirək xətti tənliklər n naməlum ilə (p n-ə bərabər ola bilər):
Harada naməlum dəyişənlər, ədədlərdir (həqiqi və ya mürəkkəb) və sərbəst şərtlərdir.
Əgər 
, onda xətti cəbri tənliklər sistemi adlanır homojen, əks halda - heterojen.
Sistemin bütün tənliklərinin eyniliyə çevrildiyi naməlum dəyişənlərin qiymətlər toplusu adlanır SLAU-nun qərarı.
Xətti cəbri tənliklər sisteminin ən azı bir həlli varsa, ona deyilir birgə, əks halda - birgə olmayan.
SLAE-nin unikal həlli varsa, o zaman çağırılır müəyyən. Birdən çox həll varsa, sistem çağırılır qeyri-müəyyən.
Sistemdə yazıldığını deyirlər koordinat forması, forması varsa
.
Bu sistemdə matris forması qeydlər formasına malikdir , burada 
- SLAE-nin əsas matrisi, - naməlum dəyişənlər sütununun matrisi, - sərbəst şərtlər matrisi.
Sərbəst şərtlərdən ibarət matris sütununu A matrisinə (n+1)-ci sütun kimi əlavə etsək, adlananı alarıq. uzadılmış matris xətti tənliklər sistemləri. Tipik olaraq, uzadılmış matris T hərfi ilə işarələnir və sərbəst şərtlərin sütunu qalan sütunlardan şaquli bir xətt ilə ayrılır, yəni 
A kvadrat matrisi adlanır degenerasiya etmək, əgər onun təyinedicisi sıfırdırsa. Əgər , onda A matrisi adlanır degenerativ olmayan.
Aşağıdakı məqamı qeyd etmək lazımdır.
Xətti cəbri tənliklər sistemi ilə yerinə yetirsək aşağıdakı hərəkətlər
- iki tənliyi dəyişdirin,
- hər hansı bir tənliyin hər iki tərəfini ixtiyari və sıfırdan fərqli real (və ya kompleks) k ədədinə çarpın,
- hər hansı bir tənliyin hər iki tərəfinə başqa bir tənliyin müvafiq hissələrini əlavə edin, ixtiyari k ədədi ilə vurulur,
onda siz eyni həlləri olan ekvivalent sistem əldə edirsiniz (və ya ilkin kimi heç bir həlli yoxdur).
Xətti cəbri tənliklər sisteminin genişləndirilmiş matrisi üçün bu hərəkətlər sətirlərlə elementar çevrilmələrin aparılmasını nəzərdə tutur:
- iki xəttin dəyişdirilməsi,
- T matrisinin istənilən cərgəsinin bütün elementlərini sıfırdan fərqli k ədədinə vurmaq,
- matrisin hər hansı sətirinin elementlərinə başqa sətirin müvafiq elementlərinin əlavə edilməsi, ixtiyari k ədədinə vurulması.
İndi Gauss metodunun təsvirinə keçə bilərik.
Tənliklərin sayı bilinməyənlərin sayına bərabər, sistemin əsas matrisi isə qeyri-tək olan xətti cəbri tənliklərin Qauss metodundan istifadə etməklə həlli.
Əgər bizə tənliklər sisteminin həllini tapmaq tapşırığı verilsəydi, məktəbdə nə edərdik? 
.
Bəziləri bunu edərdi.
İkinci tənliyin sol tərəfinə əlavə olunduğunu unutmayın sol tərəfəvvəlcə və sağ tərəfdə - sağ tərəfdə, naməlum dəyişənlər x 2 və x 3-dən xilas ola bilərsiniz və dərhal x 1-i tapa bilərsiniz: 
Tapılan x 1 =1 dəyərini sistemin birinci və üçüncü tənliklərində əvəz edirik: 
Sistemin üçüncü tənliyinin hər iki tərəfini -1-ə vursaq və birinci tənliyin uyğun hissələrinə əlavə etsək, x 3 naməlum dəyişəndən xilas olarıq və x 2-ni tapa bilərik: 
Nəticədə x 2 = 2 dəyərini üçüncü tənliyə əvəz edirik və qalan naməlum dəyişən x 3-ü tapırıq: 
Başqaları başqa cür edərdilər.
Naməlum dəyişən x 1 ilə bağlı sistemin birinci tənliyini həll edək və bu dəyişəni onlardan xaric etmək üçün əldə edilən ifadəni sistemin ikinci və üçüncü tənliklərində əvəz edək: 
İndi x 2 üçün sistemin ikinci tənliyini həll edək və əldə edilən nəticəni üçüncü tənliklə əvəz edək ki, naməlum x 2 dəyişəni ondan silinsin: 
Sistemin üçüncü tənliyindən aydın olur ki, x 3 =3. İkinci tənlikdən tapırıq 
, və birinci tənlikdən alırıq.
Tanış həllər, elə deyilmi?
Burada ən maraqlısı odur ki, ikinci həll üsulu mahiyyət etibarilə naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması üsuludur, yəni Qauss üsuludur. Naməlum dəyişənləri ifadə etdikdə (ilk x 1, sonrakı mərhələdə x 2) və onları sistemin qalan tənliklərində əvəz etdikdə, biz onları xaric etdik. Son tənlikdə yalnız bir naməlum dəyişən qalana qədər aradan qaldırdıq. Naməlumların ardıcıl olaraq aradan qaldırılması prosesi adlanır birbaşa Qauss üsulu. Bitirdikdən sonra irəli vuruş indi sonuncu tənlikdə naməlum dəyişəni hesablamaq imkanımız var. Onun köməyi ilə biz sondan əvvəlki tənlikdən növbəti naməlum dəyişəni tapırıq və s. Son tənlikdən birinciyə keçərkən naməlum dəyişənlərin ardıcıl tapılması prosesi adlanır tərsinə Gauss üsulu.
Nəzərə almaq lazımdır ki, birinci tənlikdə x 1-i x 2 və x 3 baxımından ifadə etdikdə və sonra yaranan ifadəni ikinci və üçüncü tənliklərdə əvəz etdikdə aşağıdakı hərəkətlər eyni nəticəyə gətirib çıxarır:
Həqiqətən, belə bir prosedur həm də sistemin ikinci və üçüncü tənliklərindən naməlum x 1 dəyişənini aradan qaldırmağa imkan verir: 
Qauss metodundan istifadə edərək naməlum dəyişənlərin aradan qaldırılması ilə nüanslar sistemin tənliklərində bəzi dəyişənlər olmadıqda yaranır.
Məsələn, SLAU-da 
birinci tənlikdə x 1 naməlum dəyişən yoxdur (başqa sözlə onun qarşısındakı əmsal sıfırdır). Buna görə də bu naməlum dəyişəni qalan tənliklərdən çıxarmaq üçün x 1 üçün sistemin birinci tənliyini həll edə bilmərik. Bu vəziyyətdən çıxış yolu sistemin tənliklərini dəyişdirməkdir. Əsas matrislərin determinantları sıfırdan fərqli olan xətti tənliklər sistemlərini nəzərdən keçirdiyimiz üçün həmişə bizə lazım olan dəyişənin mövcud olduğu bir tənlik var və biz bu tənliyi lazım olan mövqeyə yenidən təşkil edə bilərik. Bizim nümunəmiz üçün sistemin birinci və ikinci tənliklərini dəyişdirmək kifayətdir 
, onda siz x 1 üçün birinci tənliyi həll edə və sistemin qalan tənliklərindən xaric edə bilərsiniz (baxmayaraq ki, x 1 artıq ikinci tənlikdə yoxdur).
Ümid edirik ki, mahiyyəti başa düşəcəksiniz.
təsvir edək Qauss metodu alqoritmi.
Tutaq ki, n naməlumlu n xətti cəbri tənliklər sistemini həll etməliyik formanın dəyişənləri 
, və onun əsas matrisinin determinantı sıfırdan fərqli olsun.
Güman edirik ki, sistemin tənliklərini yenidən təşkil etməklə həmişə buna nail ola bilərik. İkincidən başlayaraq sistemin bütün tənliklərindən naməlum x 1 dəyişənini silək. Bunun üçün sistemin ikinci tənliyinə birincini vururuq, üçüncü tənliyə birincini vururuq və s., n-ci tənliyə birincini vururuq. Belə çevrilmələrdən sonra tənliklər sistemi formasını alacaqdır 
harada və 
.
Sistemin birinci tənliyində x 1-i digər naməlum dəyişənlər baxımından ifadə etsəydik və yaranan ifadəni bütün digər tənliklərdə əvəz etsəydik, eyni nəticəyə çatmış olardıq. Beləliklə, x 1 dəyişəni ikincidən başlayaraq bütün tənliklərdən xaric edilir.
Sonra, oxşar şəkildə davam edirik, ancaq nəticədə göstərilən sistemin yalnız şəkildə qeyd olunan bir hissəsi ilə 
Bunun üçün sistemin üçüncü tənliyinə ikincini vururuq, dördüncü tənliyə ikincini əlavə edirik, vururuq və s., n-ci tənliyə ikincini vururuq. Belə çevrilmələrdən sonra tənliklər sistemi formasını alacaqdır 
harada və 
. Beləliklə, x 2 dəyişəni üçüncüdən başlayaraq bütün tənliklərdən xaric edilir.
Sonra, naməlum x 3-ü aradan qaldırmağa davam edirik, eyni zamanda sistemin şəkildə qeyd olunan hissəsi ilə eyni şəkildə hərəkət edirik. 
Beləliklə, sistem formanı alana qədər Qauss metodunun birbaşa irəliləməsini davam etdiririk 
Bu andan Qauss metodunun tərsinə başlayırıq: biz axırıncı tənlikdən x n-i belə hesablayırıq, x n-in alınan qiymətindən istifadə edərək sondan əvvəlki tənlikdən x n-1 tapırıq və s., birinci tənlikdən x 1-i tapırıq. .
Bir nümunədən istifadə edərək alqoritmə baxaq.
Misal.
Gauss üsulu.
Həll.
a 11 əmsalı sıfırdan fərqlidir, ona görə də gəlin Qauss metodunun birbaşa irəliləyişinə, yəni birincidən başqa sistemin bütün tənliklərindən x 1 naməlum dəyişəninin xaric edilməsinə keçək. Bunun üçün ikinci, üçüncü və dördüncü tənliklərin sol və sağ tərəflərinə müvafiq olaraq birinci tənliyin sol və sağ tərəflərini əlavə edin. 
Və: 
Naməlum dəyişən x 1 aradan qaldırıldı, gəlin x 2-nin ləğvinə keçək. Sistemin üçüncü və dördüncü tənliklərinin sol və sağ tərəflərinə müvafiq olaraq vurulan ikinci tənliyin sol və sağ tərəflərini əlavə edirik. 
Və 
:
Qauss metodunun irəli gedişini başa çatdırmaq üçün sistemin sonuncu tənliyindən naməlum x 3 dəyişənini silməliyik. Dördüncü tənliyin sol və sağ tərəflərinə müvafiq olaraq sol və əlavə edək sağ tərəfüçüncü tənlik ilə vurulur 
:
Qauss metodunun tərsinə başlaya bilərsiniz.
Əldə etdiyimiz son tənlikdən 
,
üçüncü tənlikdən alırıq,
ikincidən,
birincidən.
Yoxlamaq üçün naməlum dəyişənlərin əldə edilmiş dəyərlərini orijinal tənliklər sisteminə əvəz edə bilərsiniz. Bütün tənliklər eyniliyə çevrilir, bu da Gauss metodundan istifadə edərək həllin düzgün tapıldığını göstərir.
Cavab:
İndi matris qeydində Qauss metodundan istifadə edərək eyni nümunənin həllini verək.
Misal.
Tənliklər sisteminin həllini tapın Gauss üsulu.
Həll.
Sistemin genişləndirilmiş matrisi formaya malikdir 
. Hər bir sütunun yuxarı hissəsində matrisin elementlərinə uyğun gələn naməlum dəyişənlər var.
Burada Qauss metodunun bilavasitə yanaşması elementar çevrilmələrdən istifadə edərək sistemin uzadılmış matrisinin trapezoidal formaya endirilməsini nəzərdə tutur. Bu proses koordinat şəklində sistemlə etdiyimiz naməlum dəyişənlərin aradan qaldırılmasına bənzəyir. İndi bunu görəcəksiniz.
Matrisi elə çevirək ki, ikinci sütundan başlayaraq birinci sütunun bütün elementləri sıfır olsun. Bunun üçün ikinci, üçüncü və dördüncü sətirlərin elementlərinə birinci sətrin müvafiq elementlərini əlavə edirik, və müvafiq olaraq: 
Sonra, əldə edilən matrisi elə çeviririk ki, ikinci sütunda üçüncüdən başlayaraq bütün elementlər sıfıra bərabər olsun. Bu, naməlum x 2 dəyişəninin aradan qaldırılmasına uyğun gəlir. Bunu etmək üçün üçüncü və dördüncü sıraların elementlərinə müvafiq olaraq vurulan matrisin birinci cərgəsinin müvafiq elementlərini əlavə edirik. Və :
Sistemin son tənliyindən naməlum x 3 dəyişənini çıxarmaq qalır. Bunu etmək üçün, nəticədə alınan matrisin son cərgəsinin elementlərinə sondan əvvəlki sətirin müvafiq elementlərini əlavə edirik, :
Qeyd etmək lazımdır ki, bu matris xətti tənliklər sisteminə uyğundur 
daha əvvəl irəliləyişdən sonra əldə edilmişdi.
Geri dönməyin vaxtıdır. Matris notasiyasında Qauss metodunun tərsi nəticədə alınan matrisin şəkildə işarələnmiş matrisin çevrilməsini nəzərdə tutur. 
diaqonal oldu, yəni forma aldı 
bəzi nömrələr haradadır.
Bu çevrilmələr Qauss metodunun irəli çevrilmələrinə bənzəyir, lakin birinci sətirdən sonuncuya deyil, sonuncudan birinciyə qədər həyata keçirilir.
Üçüncü, ikinci və birinci sətirlərin elementlərinə sonuncu sətrin müvafiq elementlərini əlavə edin 
, yenə 
müvafiq olaraq: 
İndi ikinci və birinci sətirlərin elementlərinə üçüncü sətrin müvafiq elementlərini müvafiq olaraq və ilə əlavə edin: 
Əks Gauss metodunun son addımında birinci cərgənin elementlərinə ikinci cərgənin müvafiq elementlərini əlavə edirik, bunlara vurulur: 
Alınan matris tənliklər sisteminə uyğundur 
, naməlum dəyişənləri haradan tapırıq.
Cavab:
QEYD.
Xətti cəbri tənliklər sistemlərini həll etmək üçün Gauss metodundan istifadə edərkən, təxmini hesablamalardan qaçınmaq lazımdır, çünki bu, tamamilə yanlış nəticələrə səbəb ola bilər. Onluqları yuvarlaqlaşdırmamağı tövsiyə edirik. -dən daha yaxşı ondalıklar adi kəsrlərə keçin.
Misal.
Gauss metodundan istifadə edərək üç tənlik sistemini həll edin 
.
Həll.
Qeyd edək ki, bu misalda naməlum dəyişənlərin fərqli təyinatı var (x 1, x 2, x 3 deyil, x, y, z). Adi kəsrlərə keçək: 
Naməlum x-i sistemin ikinci və üçüncü tənliklərindən xaric edək: 
Əldə edilən sistemdə naməlum dəyişən y ikinci tənlikdə yoxdur, lakin üçüncü tənlikdə y mövcuddur, ona görə də ikinci və üçüncü tənlikləri əvəz edək: 
Bu, Gauss metodunun birbaşa irəliləməsini tamamlayır (üçüncü tənlikdən y-ni çıxarmağa ehtiyac yoxdur, çünki bu naməlum dəyişən artıq mövcud deyil).
Gəlin tərs hərəkətə başlayaq.
Son tənlikdən tapırıq 
,
sondan əvvəlki 
əldə etdiyimiz birinci tənlikdən 
Cavab:
X = 10, y = 5, z = -20.
Tənliklərin sayı naməlumların sayı ilə üst-üstə düşməyən və ya sistemin əsas matrisi tək olan xətti cəbri tənliklərin Qauss metodundan istifadə etməklə həlli.
Əsas matrisi düzbucaqlı və ya kvadrat tək olan tənlik sistemlərinin həlli olmaya bilər, tək həlli ola bilər və ya sonsuz sayda həlli ola bilər.
İndi Gauss metodunun xətti tənliklər sisteminin uyğunluğunu və ya uyğunsuzluğunu qurmağa necə imkan verdiyini başa düşəcəyik və onun uyğunluğu vəziyyətində bütün həlləri (və ya bir həlli) müəyyənləşdirəcəyik.
Prinsipcə, belə SLAE-lər halında naməlum dəyişənlərin aradan qaldırılması prosesi eyni olaraq qalır. Bununla belə, yarana biləcək bəzi vəziyyətlər haqqında ətraflı məlumat verməyə dəyər.
Ən vacib mərhələyə keçək.
Beləliklə, tutaq ki, xətti cəbri tənliklər sistemi Qauss metodunun irəli gedişini tamamladıqdan sonra formanı alır. 
və heç bir tənlik azaldılmadı (bu halda sistemin uyğunsuz olduğu qənaətinə gələrik). Məntiqi sual yaranır: “Bundan sonra nə etməli”?
Yaranan sistemin bütün tənliklərində birinci gələn naməlum dəyişənləri yazaq: 
Bizim nümunəmizdə bunlar x 1, x 4 və x 5-dir. Sistemin tənliklərinin sol tərəflərində yalnız x 1, x 4 və x 5 yazılı naməlum dəyişənləri ehtiva edən şərtləri buraxırıq, qalan şərtlər əks işarə ilə tənliklərin sağ tərəfinə köçürülür: 
Tənliklərin sağ tərəflərində olan naməlum dəyişənlərə ixtiyari qiymətlər verək, burada 
- ixtiyari nömrələr: 
Bundan sonra, SLAE-nin bütün tənliklərinin sağ tərəflərində ədədlər var və biz Gauss metodunun tərsinə keçə bilərik.
Əldə etdiyimiz sistemin son tənliyindən, tapdığımız sondan əvvəlki tənlikdən, birinci tənlikdən alırıq. 
Tənliklər sisteminin həlli naməlum dəyişənlərin qiymətləri toplusudur 
Nömrələrin verilməsi müxtəlif qiymətlər, biz tənliklər sisteminin müxtəlif həlləri əldə edəcəyik. Yəni bizim tənliklər sistemimizin sonsuz sayda həlli var.
Cavab:
Harada - ixtiyari nömrələr.
Materialı birləşdirmək üçün daha bir neçə nümunənin həllini ətraflı təhlil edəcəyik.
Misal.
Qərar ver homojen sistem xətti cəbri tənliklər 
Gauss üsulu.
Həll.
Sistemin ikinci və üçüncü tənliklərindən naməlum x dəyişənini xaric edək. Bunun üçün ikinci tənliyin sol və sağ tərəflərinə müvafiq olaraq birinci tənliyin sol və sağ tərəflərini əlavə edirik, , üçüncü tənliyin sol və sağ tərəflərinə isə sol və sağ tərəflərini əlavə edirik. birinci tənliyin sağ tərəfləri ilə vurulur: 
İndi yaranan tənliklər sisteminin üçüncü tənliyindən y-ni xaric edək: 
Nəticədə əldə edilən SLAE sistemə bərabərdir 
.
Sistem tənliklərinin sol tərəfində yalnız x və y naməlum dəyişənlərini ehtiva edən şərtləri qoyuruq və naməlum dəyişəni z olan şərtləri sağ tərəfə keçirik: 
Həll edilməli olan xətti cəbri tənliklər sistemi verilsin (sistemin hər bir tənliyini bərabərliyə çevirən xi naməlumlarının belə qiymətlərini tapın).
Biz bilirik ki, xətti cəbri tənliklər sistemi:
1) Heç bir həll yolu yoxdur (olun birgə olmayan).
2) Sonsuz bir çox həll yolu var.
3) Tək bir həll yolu var.
Xatırladığımız kimi, Kramer qaydası və matris üsulu sistemin sonsuz sayda həlli olduğu və ya uyğunsuz olduğu hallarda uyğun deyil. Gauss üsulu – istənilən xətti tənliklər sisteminin həllini tapmaq üçün ən güclü və çox yönlü vasitədir, hansı hər halda bizi cavaba aparacaq! Bütün metodun özünün alqoritmi üç hal eyni işləyir. Əgər Kramer və matris üsulları determinantlar haqqında bilik tələb edirsə, Gauss metodunu tətbiq etmək üçün yalnız bilik lazımdır. arifmetik əməliyyatlar, bu onu hətta ibtidai sinif şagirdləri üçün də əlçatan edir.
Artırılmış matris çevrilmələri ( bu sistemin matrisidir - yalnız naməlumların əmsallarından ibarət matris, üstəgəl sərbəst şərtlər sütunu) Gauss metodunda xətti cəbri tənliklər sistemləri:
1) ilə troki matrislər Bacarmaq yenidən təşkil etmək bəzi yerlərdə.
2) matrisdə mütənasib olanlar görünsə (və ya mövcuddursa). xüsusi hal– eyni) sətirlər, sonra onun ardınca gəlir silin Biri istisna olmaqla, bütün bu sətirlər matrisdəndir.
3) transformasiyalar zamanı matrisdə sıfır cərgə görünürsə, o da olmalıdır silin.
4) matrisin sırası ola bilər çoxaltmaq (bölmək) sıfırdan başqa istənilən ədədə.
5) matrisin cərgəsinə keçə bilərsiniz nömrə ilə vurulan başqa bir sətir əlavə edin, sıfırdan fərqli.
Qauss metodunda elementar çevrilmələr tənliklər sisteminin həllini dəyişmir.
Gauss metodu iki mərhələdən ibarətdir:
- "Birbaşa hərəkət" - elementar çevrilmələrdən istifadə edərək, xətti cəbri tənliklər sisteminin genişləndirilmiş matrisini "üçbucaqlı" addım formasına gətirin: əsas diaqonalın altında yerləşən genişləndirilmiş matrisin elementləri sıfıra bərabərdir (yuxarıdan aşağıya hərəkət). Məsələn, bu növə:
Bunu etmək üçün aşağıdakı addımları yerinə yetirin:
1) Xətti cəbri tənliklər sisteminin birinci tənliyini nəzərdən keçirək və x 1 üçün əmsalı K-yə bərabərdir. İkinci, üçüncü və s. tənlikləri aşağıdakı kimi çeviririk: hər bir tənliyi (naməlumların əmsalları, o cümlədən sərbəst şərtləri) hər bir tənlikdə naməlum x 1 əmsalına bölürük və K ilə vururuq. Bundan sonra ikinci tənlikdən birincini çıxarırıq ( naməlumların əmsalları və sərbəst şərtlər). İkinci tənlikdə x 1 üçün biz 0 əmsalı alırıq. Üçüncü çevrilmiş tənlikdən birincidən başqa bütün tənliklər, naməlum x 1 üçün 0 əmsalı olana qədər birinci tənliyi çıxırıq.
2) Gəlin növbəti tənliyə keçək. Qoy bu ikinci tənlik və x 2 üçün M-ə bərabər olan əmsal olsun. Yuxarıda təsvir olunduğu kimi bütün “aşağı” tənliklərlə davam edirik. Beləliklə, naməlum x 2-nin “altında” bütün tənliklərdə sıfırlar olacaqdır.
3) Son bir naməlum olana və çevrilmiş sərbəst termin qalana qədər növbəti tənliyə keçin və s.
- Gauss metodunun “əks hərəkəti” xətti cəbri tənliklər sisteminin (“aşağıdan yuxarı” hərəkət) həllini əldə etməkdir. Son "aşağı" tənlikdən bir birinci həlli - naməlum x n -i alırıq. Bunun üçün A*x n = B elementar tənliyini həll edirik.Yuxarıda verilmiş misalda x 3 = 4. Tapılan qiyməti növbəti “yuxarı” tənliyə əvəz edirik və növbəti naməlumla bağlı həll edirik. Məsələn, x 2 – 4 = 1, yəni. x 2 = 5. Bütün naməlumları tapana qədər və s.
Misal.
Bəzi müəlliflərin tövsiyə etdiyi kimi, Gauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edək:
Sistemin uzadılmış matrisini yazaq və elementar çevrilmələrdən istifadə edərək onu mərhələli formaya gətirək:
Biz yuxarı sol "addım" baxırıq. Orada birimiz olmalıdır. Problem ondadır ki, birinci sütunda ümumiyyətlə vahidlər yoxdur, ona görə də sətirlərin yenidən təşkili heç nəyi həll etməyəcək. Belə hallarda vahid elementar transformasiyadan istifadə edərək təşkil edilməlidir. Bu adətən bir neçə yolla edilə bilər. Gəlin, bunu edək:
1 addım
. Birinci sətirə -1-ə vurulan ikinci sətri əlavə edirik. Yəni zehni olaraq ikinci sətri –1-ə vurub birinci və ikinci sətirləri əlavə etdik, ikinci sətir isə dəyişmədi.
İndi yuxarı solda "mənfi bir" var ki, bu da bizə çox uyğun gəlir. +1 almaq istəyən hər kəs əlavə bir hərəkət edə bilər: birinci sətri –1-ə vurun (işarəsini dəyişdirin).
Addım 2 . 5-ə vurulan birinci sətir ikinci sətirə, 3-ə vurulan birinci sətir üçüncü sətirə əlavə edildi.
Addım 3 . Birinci sətir -1-ə vuruldu, prinsipcə, bu gözəllik üçündür. Üçüncü sətrin işarəsi də dəyişdirildi və ikinci yerə köçürüldü ki, ikinci “addım”da bizə lazım olan vahid gəldi.
Addım 4 . Üçüncü sətir ikinci sətirə əlavə edildi, 2-yə vuruldu.
Addım 5 . Üçüncü xətt 3-ə bölündü.
Hesablamalarda səhvi göstərən işarə (daha nadir hallarda yazı səhvi) “pis” nəticədir. Yəni, aşağıda (0 0 11 |23) kimi bir şey əldə etdiksə və müvafiq olaraq 11x 3 = 23, x 3 = 23/11, o zaman yüksək ehtimalla deyə bilərik ki, elementar dərs zamanı səhvə yol verilib. çevrilmələr.
Əksini edək; nümunələrin dizaynında sistemin özü çox vaxt yenidən yazılmır, lakin tənliklər “birbaşa verilmiş matrisdən götürülür”. Tərs hərəkət, sizə xatırladıram, aşağıdan yuxarıya doğru işləyir. Bu nümunədə nəticə hədiyyə oldu:
x 3 = 1
x 2 = 3
x 1 + x 2 – x 3 = 1, buna görə də x 1 + 3 – 1 = 1, x 1 = –1
Cavab verin:x 1 = –1, x 2 = 3, x 3 = 1.
Təklif olunan alqoritmdən istifadə edərək eyni sistemi həll edək. alırıq
4 2 –1 1
5 3 –2 2
3 2 –3 0
İkinci tənliyi 5-ə, üçüncüsü isə 3-ə bölün. Alırıq:
4 2 –1 1
1 0.6 –0.4 0.4
1 0.66 –1 0
İkinci və üçüncü tənlikləri 4-ə vuraraq, əldə edirik:
4 2 –1 1
4 2,4 –1.6 1.6
4 2.64 –4 0
İkinci və üçüncü tənliklərdən birinci tənliyi çıxarırıq, bizdə:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.64 –3 –1
Üçüncü tənliyi 0,64-ə bölün:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 1 –4.6875 –1.5625
Üçüncü tənliyi 0,4-ə vurun
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0.4 –1.875 –0.625
Üçüncü tənlikdən ikincini çıxararaq, "addımlı" uzadılmış matris alırıq:
4 2 –1 1
0 0.4 –0.6 0.6
0 0 –1.275 –1.225
Beləliklə, hesablamalar zamanı səhv yığıldığından x 3 = 0,96 və ya təxminən 1 alırıq.
x 2 = 3 və x 1 = –1.
Bu şəkildə həll etməklə, siz heç vaxt hesablamalarda çaşqın olmayacaqsınız və hesablama səhvlərinə baxmayaraq, nəticə əldə edəcəksiniz.
Xətti cəbri tənliklər sisteminin həllinin bu üsulu asan proqramlaşdırılır və nəzərə alınmır spesifik xüsusiyyətlər naməlumlar üçün əmsallar, çünki praktikada (iqtisadi və texniki hesablamalarda) tam olmayan əmsallarla məşğul olmaq lazımdır.
Sənə uğurlar arzu edirəm! Sinifdə görüşənədək! Tərbiyəçi.
blog.site, materialı tam və ya qismən kopyalayarkən, orijinal mənbəyə keçid tələb olunur.
Sistem verilsin, ∆≠0. (1)Gauss üsulu naməlumların ardıcıl aradan qaldırılması üsuludur.
Gauss metodunun mahiyyəti (1)-i üçbucaqlı matrisli sistemə çevirməkdir, bundan sonra bütün naməlumların qiymətləri ardıcıl olaraq (əks istiqamətdə) alınır. Hesablama sxemlərindən birini nəzərdən keçirək. Bu dövrə tək bölməli dövrə adlanır. Beləliklə, bu diaqrama baxaq. 11 ≠0 (aparıcı element) birinci tənliyi 11-ə bölsün. alırıq
(2)
(2) tənliyindən istifadə edərək, sistemin qalan tənliklərindən x 1 naməlumlarını aradan qaldırmaq asandır (bunun üçün hər bir tənlikdən əvvəllər x 1 üçün müvafiq əmsala vurulan (2) tənliyini çıxarmaq kifayətdir) , yəni ilk addımda əldə edirik
.
Başqa sözlə, 1-ci addımda, ikincidən başlayaraq sonrakı cərgələrin hər bir elementi ilkin element ilə onun birinci sütuna və birinci (çevirilmiş) cərgəyə “proyeksiyasının” məhsulu arasındakı fərqə bərabərdir.
Bundan sonra, birinci tənliyi tək buraxaraq, birinci addımda əldə edilmiş sistemin qalan tənlikləri üzərində oxşar çevrilmə həyata keçiririk: onların arasından aparıcı elementi olan tənliyi seçirik və onun köməyi ilə qalanlardan x 2-ni çıxarırıq. tənliklər (addım 2).
n addımdan sonra (1) əvəzinə ekvivalent sistem əldə edirik 
(3)
Beləliklə, birinci mərhələdə üçbucaq sistemi əldə edirik (3). Bu mərhələ irəli vuruş adlanır.
İkinci mərhələdə (əks) ardıcıl olaraq (3) x n, x n -1, ..., x 1 dəyərlərini tapırıq.
Nəticə həllini x 0 kimi işarə edək. Onda fərq ε=b-A x 0 olur qalıq adlanır.
Əgər ε=0 olarsa, onda tapılmış həll x 0 düzgündür.
Gauss metodundan istifadə edərək hesablamalar iki mərhələdə aparılır:
- Birinci mərhələ irəli metod adlanır. Birinci mərhələdə orijinal sistem üçbucaqlı formaya çevrilir.
- İkinci mərhələ tərs vuruş adlanır. İkinci mərhələdə orijinala ekvivalent olan üçbucaqlı sistem həll edilir.
Hər addımda aparıcı elementin sıfırdan fərqli olduğu qəbul edildi. Əgər belə deyilsə, onda sistemin tənliklərini yenidən təşkil edən kimi istənilən başqa element aparıcı element kimi istifadə oluna bilər.
Gauss metodunun məqsədi
Gauss metodu xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün nəzərdə tutulmuşdur. Birbaşa həll üsullarına istinad edir.Qauss metodunun növləri
- Klassik Qauss metodu;
- Gauss metodunun modifikasiyası. Gauss metodunun modifikasiyalarından biri əsas elementin seçimi ilə sxemdir. Əsas elementin seçimi ilə Gauss metodunun bir xüsusiyyəti, tənliklərin elə yenidən qurulmasıdır ki, k-ci addımda aparıcı element k-ci sütunda ən böyük elementə çevrilir.
- Jordano-Gauss metodu;
Gəlin fərqi təsvir edək Jordano-Gauss metodu Qauss metodundan nümunələrlə.
Gauss metodundan istifadə edərək həll nümunəsi
Sistemi həll edək: 
Hesablama asanlığı üçün xətləri dəyişdirək: 
2-ci sətri (2) ilə vuraq. 2-ci sətirə 3-cü sətri əlavə edin 
2-ci sətri (-1) ilə vurun. 1-ci sətirə 2-ci sətri əlavə edin 
1-ci sətirdən x 3-ü ifadə edirik:
2-ci sətirdən x 2 ifadə edirik:
3-cü sətirdən x 1 ifadə edirik: 
Jordano-Gauss metodundan istifadə edərək həll nümunəsi
Eyni SLAE-ni Jordano-Gauss metodundan istifadə edərək həll edək. 
Matrisin əsas diaqonalında yerləşən RE həlledici elementini ardıcıl olaraq seçəcəyik.
Qətnamə elementi (1) bərabərdir.
NE = SE - (A*B)/RE
RE - həlledici element (1), A və B - STE və RE elementləri ilə düzbucaqlı təşkil edən matris elementləri.
Hər bir elementin hesablanmasını cədvəl şəklində təqdim edək:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
| 1 / 1 = 1 | 2 / 1 = 2 | -2 / 1 = -2 | 1 / 1 = 1 |
 |  |  |  |
Həlledici element (3) bərabərdir.
Həlledici elementin yerinə 1 alırıq və sütunun özündə sıfırları yazırıq.
B sütununun elementləri daxil olmaqla matrisin bütün digər elementləri düzbucaqlı qaydası ilə müəyyən edilir.
Bunun üçün biz düzbucaqlının təpələrində yerləşən və həmişə həlledici element RE olan dörd ədədi seçirik.
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |
||
| 0 / 3 = 0 | 3 / 3 = 1 | 1 / 3 = 0.33 | 4 / 3 = 1.33 |
 |
Qətnamə elementi (-4) təşkil edir.
Həlledici elementin yerinə 1 alırıq və sütunun özündə sıfırları yazırıq.
B sütununun elementləri daxil olmaqla matrisin bütün digər elementləri düzbucaqlı qaydası ilə müəyyən edilir.
Bunun üçün biz düzbucaqlının təpələrində yerləşən və həmişə həlledici element RE olan dörd ədədi seçirik.
Hər bir elementin hesablanmasını cədvəl şəklində təqdim edək:
| x 1 | x 2 | x 3 | B |
 |  |  |  |
 |  |
||
| 0 / -4 = 0 | 0 / -4 = 0 | -4 / -4 = 1 | -4 / -4 = 1 |
Cavab verin: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1
Qauss metodunun tətbiqi
Qauss metodu bir çox proqramlaşdırma dillərində, xüsusən: Pascal, C++, php, Delphi dillərində tətbiq edilir və Qauss metodunun onlayn tətbiqi də mövcuddur.Qauss metodundan istifadə
Gauss metodunun oyun nəzəriyyəsində tətbiqi
Oyun nəzəriyyəsində oyunçunun maksimal optimal strategiyasını taparkən, Gauss metodu ilə həll olunan tənliklər sistemi tərtib edilir.Diferensial tənliklərin həllində Qauss metodunun tətbiqi
Diferensial tənliyin xüsusi həllini tapmaq üçün əvvəlcə yazılı qismən həll üçün müvafiq dərəcəli törəmələri tapın (y=f(A,B,C,D)) orijinal tənlik. Tapmaq üçün yanında dəyişənlər A,B,C,D tənliklər sistemi Qauss üsulu ilə tərtib edilir və həll edilir.Xətti proqramlaşdırmada Jordano-Gauss metodunun tətbiqi
IN xətti proqramlaşdırma, xüsusən də simpleks metodunda, hər iterasiyada simpleks cədvəlini çevirmək üçün Jordano-Gauss metodundan istifadə edən düzbucaqlı qaydasından istifadə olunur.Karl Fridrix Qauss, ən böyük riyaziyyatçı uzun müddətə tərəddüd etdi, fəlsəfə ilə riyaziyyat arasında seçim etdi. Bəlkə də məhz bu təfəkkür ona dünya elmində belə nəzərəçarpacaq “miras” qoymağa imkan verdi. Xüsusilə, "Gauss Metodunu" yaratmaqla ...
Təxminən 4 ilə yaxındır ki, bu saytda məqalələr məktəb təhsilindən, əsasən fəlsəfə nöqteyi-nəzərindən, uşaqların şüuruna yeridilmiş (yanlış) dərketmə prinsiplərindən bəhs edirdi. Daha konkret, misal və metodların vaxtı yaxınlaşır... İnanıram ki, tanış, çaşdırıcı və vacibdir həyat sahələri daha yaxşı nəticələr verir.
Biz insanlar elə qurulmuşuq ki, nə qədər danışsaq da mücərrəd düşüncə, Amma anlayış Həmişə misallar vasitəsilə baş verir. Nümunələr yoxdursa, prinsipləri qavramaq mümkün deyil... Necə ki, dağın zirvəsinə ayaqdan bütün yamacı getmədən çıxmaq mümkün deyil.
Məktəblə də eyni: hələlik canlı hekayələr Biz bunu instinktiv olaraq uşaqlara başa düşməyə öyrədildiyimiz bir yer kimi qəbul etməyə davam etməyimiz kifayət deyil.
Məsələn, Qauss metodunun öyrədilməsi...
5-ci sinif məktəbində Qauss metodu
İcazə verin, dərhal rezervasiya edim: Qauss metodunda daha çox şey var geniş tətbiq məsələn, həll edərkən xətti tənliklər sistemləri. Haqqında danışacağımız şey 5-ci sinifdə baş verir. Bu başladı, hansının olduğunu başa düşdükdən sonra daha "qabaqcıl seçimləri" başa düşmək daha asandır. Bu yazıda biz danışırıq Silsilənin cəminin tapılması üçün Qauss üsulu (üsul).
Budur, məktəbdən gətirdiyim bir nümunə kiçik oğlu, Moskva gimnaziyasında 5-ci sinifdə oxuyur.
Gauss metodunun məktəb nümayişi
Riyaziyyat müəllimi istifadə edir interaktiv lövhə (müasir üsullar təlim) uşaqlara kiçik Qaussun "metodunun yaradılması" tarixinin təqdimatını göstərdi.
Məktəb müəllimi balaca Karlı (köhnəlmiş üsul, bu günlərdə məktəblərdə istifadə edilmir) ona görə döydü
1-dən 100-ə qədər rəqəmləri ardıcıl olaraq toplamaq əvəzinə onların cəmini tapın diqqət çəkdi arifmetik irəliləyişin kənarlarından bərabər məsafədə yerləşən ədəd cütlərinin toplanması eyni ədədə çatır. məsələn, 100 və 1, 99 və 2. Belə cütlərin sayını hesablayan balaca Qauss müəllimin təklif etdiyi məsələni demək olar ki, dərhal həll etdi. Buna görə o, heyrətlənmiş bir ictimaiyyət qarşısında edam edildi. Başqalarını düşünməkdən çəkindirmək üçün.
Kiçik Qauss nə etdi? inkişaf etmişdir rəqəm hissi? Diqqət edildi bəzi xüsusiyyət sabit pilləli ədəd seriyası (arifmetik irəliləyiş). VƏ tam olaraq bu sonra onu böyük alim edib fərqinə varmağı bilənlər, malik hiss, anlama instinkti.
Ona görə də riyaziyyat dəyərlidir, inkişaf edir görmə qabiliyyəti xüsusilə ümumi - mücərrəd düşüncə . Buna görə də, əksər valideynlər və işəgötürənlər instinktiv olaraq riyaziyyatı vacib bir fən hesab edir ...
“Sonra sən riyaziyyatı öyrənməlisən, çünki o, fikrinizi qaydaya salır.
M.V.Lomonosov”.
Ancaq gələcək dahiləri çubuqlarla şallaqlayanların davamçıları Metodunu əksinə çevirdilər. 35 il əvvəl dostumun dediyi kimi elmi məsləhətçi: "Sualı öyrəndilər." Və ya dünən kiçik oğlumun Qauss metodu haqqında dediyi kimi: "Bəlkə bundan böyük bir elm yaratmağa dəyməz, hə?"
“Alimlərin” yaradıcılığının nəticələri indiki məktəb riyaziyyatının səviyyəsində, onun tədrisi səviyyəsində və əksəriyyət tərəfindən “Elmlər kraliçası”nı dərk etməsində görünür.
Bununla belə, davam edək...
5-ci sinif məktəbində Qauss metodunun izahı üsulları
Moskva gimnaziyasının riyaziyyat müəllimi Vilenkinə görə Qauss metodunu izah edərək tapşırığı çətinləşdirdi.
Arifmetik irəliləyişin fərqi (addımı) bir deyil, başqa bir rəqəmdirsə necə? Məsələn, 20.
Beşinci sinif şagirdlərinə verdiyi problem:
20+40+60+80+ ... +460+480+500
Gimnaziya metodu ilə tanışlıqdan əvvəl internetə nəzər salaq: məktəb müəllimləri və riyaziyyat müəllimləri bunu necə edir?..
Qauss metodu: izahat №1
Tanınmış repetitor öz YOUTUBE kanalında aşağıdakı əsaslandırmaları verir:
“1-dən 100-ə qədər olan rəqəmləri aşağıdakı kimi yazaq:
əvvəlcə 1-dən 50-yə qədər rəqəmlər seriyası və ciddi şəkildə aşağıda 50-dən 100-ə qədər olan başqa bir sıra sıra, lakin tərs qaydada"
1, 2, 3, ... 48, 49, 50
100, 99, 98 ... 53, 52, 51
"Qeyd edin: yuxarı və aşağı cərgədəki hər bir cüt ədədin cəmi eynidir və 101-ə bərabərdir! Gəlin cütlərin sayını sayaq, 50-dir və bir cütün cəmini cütlərin sayına vuraq! Voila: The cavab hazırdır!"
“Başa düşmürsənsə, üzülmə!” – deyə müəllim izahat zamanı üç dəfə təkrarladı. "Bu üsulu 9-cu sinifdə götürəcəksən!"
Qauss metodu: izahat No 2
Daha az tanınan başqa bir repetitor (baxışların sayına görə) daha elmi yanaşma ilə ardıcıl şəkildə tamamlanmalı olan 5 ballıq həll alqoritmini təklif edir.
Təcrübəsizlər üçün 5 ənənəvi olaraq sehrli hesab edilən Fibonaççi rəqəmlərindən biridir. Məsələn, 5 addımlı metod 6 addımlı metoddan həmişə daha elmidir. ...Və bu, çətin ki, təsadüfi deyil, çox güman ki, Müəllif Fibonaççi nəzəriyyəsinin gizli tərəfdarıdır.
Dana arifmetik irəliləyiş: 4, 10, 16 ... 244, 250, 256 .
Qauss metodundan istifadə edərək sıradakı ədədlərin cəmini tapmaq üçün alqoritm:
4, 10, 16 ... 244, 250, 256
256, 250, 244 ... 16, 10, 4
Eyni zamanda, xatırlamaq lazımdır üstəgəl bir qayda : nəticədə çıxan hissəyə bir əlavə etməliyik: əks halda cütlərin həqiqi sayından bir az olan nəticə əldə edəcəyik: 42 + 1 = 43.
Bu, 6 fərqlə 4-dən 256-ya qədər olan arifmetik irəliləyişin tələb olunan cəmidir!
Gauss metodu: Moskva gimnaziyasında 5-ci sinifdə izahat
Seriyanın cəminin tapılması məsələsini necə həll etmək olar:
20+40+60+ ... +460+480+500
Moskva gimnaziyasının 5-ci sinfində Vilenkinin dərsliyi (oğlumun sözlərinə görə).
Təqdimatı nümayiş etdirdikdən sonra riyaziyyat müəllimi Qauss metodundan istifadə edərək bir neçə nümunə göstərdi və sinifə 20-lik artımlarla seriyadakı ədədlərin cəmini tapmaq tapşırığı verdi.
Bunun üçün aşağıdakılar tələb olunur:
Gördüyünüz kimi, bu daha yığcam və effektiv texnika: 3 nömrə də Fibonaççi ardıcıllığının üzvüdür
Gauss metodunun məktəb versiyası haqqında şərhlərim
Böyük riyaziyyatçı “metodunun” ardıcılları tərəfindən nəyə çevriləcəyini qabaqcadan görsəydi, mütləq fəlsəfəni seçərdi. alman müəllimi, Karlı çubuqlarla şallaqlayan. O, “müəllimlərin” simvolizmini, dialektik spiralını və ölməz axmaqlığını görərdi. canlı riyazi düşüncənin anlaşılmazlıq cəbri ilə harmoniyasını ölçməyə çalışır ....
Yeri gəlmişkən: bilirdinizmi. ki, bizim təhsil sistemimiz 18-19-cu əsrlərdəki alman məktəbinə söykənir?
Lakin Gauss riyaziyyatı seçdi.
Onun metodunun mahiyyəti nədir?
IN sadələşdirmə. IN müşahidə etmək və tutmaqədədlərin sadə nümunələri. IN quru məktəb arifmetikasına çevrilir maraqlı və həyəcanverici fəaliyyət , yüksək xərcli zehni fəaliyyəti bloklamaqdansa, beyində davam etmək istəyini aktivləşdirir.
Arifmetik irəliləyişin ədədlərinin cəmini demək olar ki, hesablamaq üçün verilmiş “Qauss metodunun modifikasiyalarından” birini istifadə etmək olarmı? dərhal? "Alqoritmlərə" görə, balaca Karla şillə atmaqdan, riyaziyyata qarşı ikrah hissini inkişaf etdirməkdən və qönçədə yaradıcı impulslarını boğmaqdan qaçınacağına zəmanət verilir.
Nə üçün repetitor beşinci sinif şagirdlərinə metodu “yanlış başa düşməkdən qorxmamağı” belə israrla tövsiyə edir, onları hələ 9-cu sinifdə “belə” məsələləri həll edəcəklərinə inandırırdı? Psixoloji cəhətdən savadsız hərəkət. Qeyd etmək yaxşı bir hərəkət idi: "Görürsən? Sən artıq 5-ci sinifdə olarsan yalnız 4 ilə bitirəcəyiniz problemləri həll edin! Sən nə gözəl insansan!”
Gauss metodundan istifadə etmək üçün 3-cü sinif səviyyəsi kifayətdir, normal uşaqlar artıq 2-3 rəqəmli ədədləri necə toplamaq, vurmaq və bölmək lazım olduğunu bildikdə. Problemlər “əlaqəsiz” yetkin müəllimlərin ən sadə şeyi normal insan dilində izah edə bilməmələrindən yaranır, riyaziyyat bir yana... İnsanları riyaziyyata həvəsləndirə bilmir, hətta “əlaqəsiz” olanları belə tamamilə ruhdan sala bilmirlər. qadirdir.”
Və ya oğlumun şərh etdiyi kimi: "bundan böyük bir elm çıxarmaq."
Gauss metodu, mənim izahatlarım
Həyat yoldaşımla mən övladımıza bu “üsul”u başa salmışdıq, deyəsən, hələ məktəbdən əvvəl...
Mürəkkəblik əvəzinə sadəlik və ya sual-cavab oyunu
"Bax, burada 1-dən 100-ə qədər rəqəmlər var. Nə görürsən?"
Məsələ uşağın tam olaraq nə gördüyü deyil. Hiylə ona baxmağa məcbur etməkdir.
"Onları necə bir araya gətirə bilərsiniz?" Oğul başa düşdü ki, belə suallar "belə" verilmir və suala "birtəhər fərqli, adətən etdiyindən fərqli" baxmaq lazımdır.
Uşağın dərhal həllini görüb-görməməsinin əhəmiyyəti yoxdur, bu mümkün deyil. Onun olması vacibdir baxmaqdan qorxmağı dayandırdı və ya dediyim kimi: "tapşırığı köçürdü". Bu, anlayışa gedən yolun başlanğıcıdır
"Hansı daha asandır: məsələn, 5 və 6 və ya 5 və 95 əlavə etmək?" Aparıcı sual... Amma hər hansı bir məşq insanı “cavab”a “yola gətirməkdən” gəlir – istənilən şəkildə onun üçün məqbuldur.
Bu mərhələdə hesablamalara necə “qənaət etmək” barədə təxminlər artıq yarana bilər.
Etdiyimiz tək şey eyham idi: “frontal, xətti” sayma üsulu yeganə mümkün deyil. Uşaq bunu başa düşsə, sonradan daha çox belə üsullar ortaya çıxaracaq, çünki maraqlıdır!!! Və o, mütləq riyaziyyatı “yanlış başa düşməkdən” qaçacaq və ondan iyrənc hiss etməyəcək. Qələbə qazandı!
Əgər uşaq kəşf etdi yüzə çatan cüt ədədləri əlavə etmək bir parça tortdur, onda "1 fərqi olan arifmetik irəliləyiş"- uşaq üçün olduqca sönük və maraqsız bir şey - birdən onun üçün həyat tapdı . Nizam xaosdan yarandı və bu həmişə həvəs yaradır: biz belə yaradılmışıq!
Cavab verməli bir sual: nə üçün uşaq əldə etdiyi fikirdən sonra onu yenidən quru alqoritmlər çərçivəsinə sürükləmək lazımdır ki, bu halda da funksional olaraq faydasızdır?!
Niyə axmaq yenidən yazmağa məcbur etmək lazımdır? dəftərdəki ardıcıl nömrələr: belə ki, hətta qabiliyyətlilərin də bircə dərk etmə şansı olmasın? Statistik olaraq, əlbəttə, lakin kütləvi təhsil “statistikaya” yönəlib...
Sıfır hara getdi?
Yenə də, 100-ə qədər olan nömrələri əlavə etmək ağıl üçün 101-ə qədər olanlardan daha məqbuldur...
"Gauss məktəb metodu" məhz bunu tələb edir: ağılsızca qatlayın Proqresiyanın mərkəzindən bərabər məsafədə olan cüt ədədlər, Hər şeyə baxmayaraq.
baxsan ne olar?
Yenə də sıfır, 2000 ildən çox yaşı olan bəşəriyyətin ən böyük ixtirasıdır. Riyaziyyat müəllimləri isə ona məhəl qoymurlar.
1 ilə başlayan bir sıra ədədləri 0 ilə başlayan sıraya çevirmək daha asandır. Cəm dəyişməyəcək, elə deyilmi? "Dərsliklərdə düşünməyi" dayandırmalı və axtarmağa başlamalısınız... Və görün ki, cəmi 101 olan cütlər, cəmi 100 olan cütlərlə tamamilə əvəz edilə bilər!
0 + 100, 1 + 99, 2 + 98 ... 49 + 51
“Plastik 1 qaydası”nı necə ləğv etmək olar?
Düzünü desəm, belə bir qaydanı ilk dəfə o YouTube müəllimindən eşitmişdim...
Serialın üzvlərinin sayını müəyyən etmək lazım olanda hələ nə etməliyəm?
Mən ardıcıllığa baxıram:
1, 2, 3, .. 8, 9, 10
və tamamilə yorulduğunuz zaman daha sadə sıraya keçin:
1, 2, 3, 4, 5
və mən başa düşürəm: 5-dən birini çıxarsanız, 4 alacaqsınız, amma mən tamamilə aydınam görürəm 5 nömrə! Buna görə də birini əlavə etməlisiniz! Say hissi inkişaf etmişdir ibtidai məktəb, təklif edir: seriyanın bütün üzvlərindən (10-dan yüzüncü dərəcəyə qədər) bütün Google olsa belə, nümunə eyni qalacaq.
Qaydalar nədir?..
Beləliklə, bir-iki-üç ildən sonra alnınızla başınızın arxası arasındakı bütün boşluğu doldura və düşünməyi dayandıra bilərsiniz? Çörək və yağınızı necə qazanırsınız? Axı biz rəqəmsal iqtisadiyyat dövrünə bərabər pillələrlə gedirik!
Qaussun məktəb metodu haqqında daha çox məlumat: “niyə bundan elm çıxarmaq lazımdır?..”
Oğlumun dəftərindən skrinşot yerləşdirməyim əbəs yerə deyildi...
"Sinifdə nə olub?"
"Yaxşı, mən dərhal saydım, əlimi qaldırdım, amma soruşmadı. Ona görə də başqaları sayarkən mən vaxt itirməmək üçün rus dilində ev tapşırıqlarını etməyə başladım. Sonra digərləri yazmağı bitirəndə (? ??), məni şuraya çağırdı. Cavabı dedim."
"Doğrudur, bunu necə həll etdiyini mənə göstər" dedi müəllim. göstərdim. O dedi: "Səhv, mənim göstərdiyim kimi saymalısan!"
"Yaxşı ki, pis qiymət vermədi. Və məni öz dəftərinə "həll yolu" yazmağa məcbur etdi. Nəyə görə bundan böyük elm çıxarmalı?.."
Riyaziyyat müəlliminin əsas cinayəti
Çox az sonra o hadisə Karl Qauss məktəb riyaziyyat müəlliminə yüksək hörmət hissi keçirirdi. Amma necə bilsəydi həmin müəllimin davamçıları metodun mahiyyətini təhrif edəcək... o, qəzəblə və Dünya Təşkilatının vasitəsilə guruldayardı əqli mülkiyyətÜƏMT məktəb dərsliklərində öz ədalətli adının istifadəsinə qadağa qoyub!..
Nədə əsas səhv məktəb yanaşması? Yoxsa mən dediyim kimi məktəb riyaziyyat müəllimlərinin uşaqlara qarşı cinayəti?
Anlaşılmazlıq alqoritmi
Böyük əksəriyyəti düşünməyi bilməyən məktəb metodistləri nə edir?
Metodlar və alqoritmlər yaradırlar (bax). Bu müəllimləri tənqiddən (“Hər şey ona uyğun edilir...”) və uşaqları anlamaqdan qoruyan müdafiə reaksiyası. Və beləliklə - müəllimləri tənqid etmək istəyindən!(Bürokratik “müdrikliyin” ikinci törəməsi, problemə elmi yanaşma). Mənasını dərk etməyən insan məktəb sisteminin axmaqlığını deyil, öz anlaşılmazlığını günahlandıracaq.
Belə olur: valideynlər uşaqlarını günahlandırır, müəllimlər isə... “riyaziyyatı başa düşməyən uşaqlar üçün də eyni şeyi edirlər!”
sən ağıllısan?
Kiçik Karl nə etdi?
Formal tapşırığa tamamilə qeyri-ənənəvi yanaşma. Bu, Onun yanaşmasının mahiyyətidir. Bu məktəbdə öyrədilməli olan əsas şey dərsliklərlə deyil, başınızla düşünməkdir. Təbii ki, axtarışda istifadə oluna bilən instrumental komponent də var daha sadə və təsirli üsullar hesablar.
Vilenkinə görə Qauss üsulu
Məktəbdə öyrədirlər ki, Qauss metodu budur
Nə, silsilənin elementlərinin sayı tək olarsa, oğluma tapşırılan problemdəki kimi?..
Bu vəziyyətdə "tutmaq" budur seriyada "əlavə" nömrə tapmalısınız və cütlərin cəminə əlavə edin. Bizim nümunəmizdə bu rəqəm 260-dır.
Necə aşkar etmək olar? Bütün nömrə cütlərini notebooka köçürmək!(Buna görə də müəllim uşaqları Qauss metodundan istifadə edərək "yaradıcılıq" öyrətməyə çalışmaq kimi axmaq bir işə vadar etdi... Və buna görə də belə bir "metod" böyük verilənlər seriyası üçün praktiki olaraq tətbiq olunmur və buna görə də belədir. Qauss metodu deyil.)
Məktəb işində bir az yaradıcılıq...
Oğul fərqli hərəkət etdi.
(20 + 500, 40 + 480 ...).
0+500, 20+480, 40+460 ...
Çətin deyil, hə?
Ancaq praktikada bu daha da asanlaşır, bu da rus dilində uzaqdan zondlama üçün 2-3 dəqiqə vaxt ayırmağa imkan verir, qalanları isə "sayır". Bundan əlavə, metodun addımlarının sayını saxlayır: 5, bu, yanaşmanın qeyri-elmi olduğu üçün tənqid edilməsinə imkan vermir.
Aydındır ki, bu yanaşma Metod üslubunda daha sadə, daha sürətli və daha universaldır. Amma... müəllim nəinki tərifləmədi, həm də məni “düzgün şəkildə” yenidən yazmağa məcbur etdi (skrinşota bax). Yəni o, yaradıcılıq impulsunu və riyaziyyatı kökündə başa düşmək qabiliyyətini boğmaq üçün çıxılmaz bir cəhd etdi! Görünür, sonradan repetitor kimi işə götürülsün deyə... Yanlış adama hücum edib...
Bu qədər uzun və yorucu bir şəkildə təsvir etdiyim hər şeyi izah etmək olar normal uşağa maksimum yarım saat ərzində. Nümunələr ilə birlikdə.
Və elə bir tərzdə ki, heç vaxt unutmayacaq.
Və olacaq anlayışa doğru addım atmaq...təkcə riyaziyyatçılar deyil.
Etiraf edin: Gauss metodundan istifadə edərək həyatınızda neçə dəfə əlavə etmisiniz? Və mən heç vaxt etmədim!
Amma anlama instinkti, öyrənmə prosesində inkişaf edən (və ya sönən). riyazi üsullar məktəbdə... Oh!.. Bu, doğrudan da, əvəzolunmaz bir şeydir!
Xüsusən də Partiya və Hökumətin ciddi rəhbərliyi altında sakitcə qədəm qoyduğumuz universal rəqəmsallaşma əsrində.
Müəllimlərin müdafiəsi üçün bir neçə kəlmə...
Bu tədris tərzinə görə bütün məsuliyyəti yalnız məktəb müəllimlərinin üzərinə yükləmək ədalətsizlik və yanlışdır. Sistem qüvvədədir.
Bəziləri müəllimlər baş verənlərin absurdluğunu başa düşürlər, amma nə etməli? Təhsil haqqında Qanun, Federal Dövlət Təhsil Standartları, metodları, texnoloji xəritələr dərslər... Hər şey “uyğun olaraq və əsasında” edilməli və hər şey sənədləşdirilməlidir. Kənara çəkil - işdən çıxarılmaq üçün növbəyə durdu. İkiüzlü olmayaq: Moskva müəllimlərinin maaşı çox yaxşıdır... Səni işdən çıxarsalar, hara getməlisən?..
Buna görə də bu sayt təhsil haqqında deyil. O, haqqında fərdi təhsil, yalnız mümkün yol izdihamdan çıxmaq nəsil Z ...
Bu məqalədə metod xətti tənliklər sistemlərinin (SLAE) həlli üçün bir üsul kimi nəzərdən keçirilir. Metod analitikdir, yəni həll alqoritmini yazmağa imkan verir ümumi görünüş, və sonra oradakı xüsusi nümunələrdən dəyərləri əvəz edin. Matris metodundan və ya Kramer düsturlarından fərqli olaraq, Gauss metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edərkən, sonsuz sayda həlli olanlarla da işləyə bilərsiniz. Yoxsa onlarda ümumiyyətlə yoxdur.
Qauss metodundan istifadə edərək həll etmək nə deməkdir?
Əvvəlcə tənliklər sistemimizi bu şəkildə yazmalıyıq. Sistemi götürün:
Əmsallar cədvəl şəklində, sərbəst şərtlər isə sağda ayrıca sütunda yazılır. Sərbəst şərtləri olan sütun rahatlıq üçün ayrılır.Bu sütunu ehtiva edən matris genişləndirilmiş adlanır.
Sonra, əmsalları olan əsas matris yuxarı üçbucaq formasına endirilməlidir. Qauss metodundan istifadə edərək sistemin həllinin əsas məqamı budur. Sadəcə olaraq, müəyyən manipulyasiyalardan sonra matris elə görünməlidir ki, onun aşağı sol hissəsində yalnız sıfırlar var:
Sonra, yeni matrisi yenidən tənliklər sistemi kimi yazsanız, görəcəksiniz ki, axırıncı cərgədə artıq köklərdən birinin qiyməti var, sonra yuxarıdakı tənliyə əvəzlənir, başqa bir kök tapılır və s.
Bu, ən çox Gauss metodu ilə həllin təsviridir ümumi kontur. Birdən sistem heç bir həll tapmasa nə olar? Yoxsa onların sonsuz çoxluğu var? Bu və bir çox digər suallara cavab vermək üçün Qauss metodunun həllində istifadə olunan bütün elementləri ayrıca nəzərdən keçirmək lazımdır.
Matrislər, onların xassələri
Heç biri gizli məna matrisdə deyil. Bu, onunla sonrakı əməliyyatlar üçün məlumatları qeyd etmək üçün sadəcə əlverişli bir yoldur. Hətta məktəblilərin də onlardan qorxması lazım deyil.
Matris həmişə düzbucaqlıdır, çünki daha rahatdır. Hətta Gauss metodunda, burada hər şey bir matris qurmağa gəlir görünüşü üçbucaqlıdır, girişdə yalnız rəqəmlərin olmadığı yerdə sıfırlar olan düzbucaqlı var. Sıfırlar yazılmaya bilər, lakin onlar nəzərdə tutulur.
Matrisin ölçüsü var. Onun “en”i sətirlərin sayıdır (m), “uzunluğu” sütunların sayıdır (n). Sonra A matrisinin ölçüsü (onları ifadə etmək üçün adətən böyük hərflərdən istifadə olunur) məktublar) A m×n kimi işarələnəcək. Əgər m=n olarsa, bu matris kvadratdır, m=n isə onun sırasıdır. Müvafiq olaraq, A matrisinin istənilən elementi onun sətir və sütun nömrələri ilə işarələnə bilər: a xy ; x - sıra nömrəsi, dəyişikliklər, y - sütun nömrəsi, dəyişikliklər.
B qərarın əsas məqamı deyil. Prinsipcə, bütün əməliyyatlar birbaşa tənliklərin özləri ilə həyata keçirilə bilər, lakin qeydlər daha çətin olacaq və onda çaşqınlıq daha asan olacaq.
Müəyyənedici
Matris də müəyyənediciyə malikdir. Bu çox mühüm xüsusiyyət. İndi onun mənasını öyrənməyə ehtiyac yoxdur, sadəcə olaraq onun necə hesablandığını göstərə və sonra matrisin hansı xassələrini müəyyən etdiyini deyə bilərsiniz. Determinantı tapmağın ən asan yolu diaqonallardan keçir. Matrisdə xəyali diaqonallar çəkilir; onların hər birində yerləşən elementlər çoxaldılır və sonra yaranan məhsullar əlavə olunur: sağa yamaclı diaqonallar - artı işarəsi ilə, sola bir yamac ilə - mənfi işarəsi ilə.
Qeyd etmək son dərəcə vacibdir ki, determinant yalnız kvadrat matris üçün hesablana bilər. Düzbucaqlı matris üçün aşağıdakıları edə bilərsiniz: sıraların və sütunların sayından ən kiçiyini seçin (k olsun) və sonra matrisdə təsadüfi olaraq k sütun və k sətri qeyd edin. Seçilmiş sütun və cərgələrin kəsişməsindəki elementlər yeni kvadrat matrisa əmələ gətirəcək. Belə bir matrisin təyinedicisi sıfırdan fərqli bir ədəddirsə, o, orijinal düzbucaqlı matrisin əsas minoru adlanır.
Gauss metodundan istifadə edərək tənliklər sistemini həll etməyə başlamazdan əvvəl determinantı hesablamaq zərər vermir. Əgər sıfır olarsa, o zaman dərhal deyə bilərik ki, matrisin ya sonsuz sayda həlli var, ya da heç biri yoxdur. Belə bir kədərli vəziyyətdə, daha da irəli getmək və matrisin dərəcəsini öyrənmək lazımdır.
Sistemin təsnifatı
Matrisin rütbəsi kimi bir şey var. Bu maksimum sifariş onun təyinedicisi, sıfırdan fərqlidir (əgər biz əsas minor haqqında xatırlasaq, matrisin dərəcəsinin əsas minorun sırası olduğunu deyə bilərik).
Rütbə ilə bağlı vəziyyətə əsasən, SLAE aşağıdakılara bölünə bilər:
- Birgə. U Birgə sistemlərdə əsas matrisin dərəcəsi (yalnız əmsallardan ibarətdir) genişləndirilmiş matrisin dərəcəsi ilə (sərbəst şərtlər sütunu ilə) üst-üstə düşür. Bu cür sistemlərin bir həlli var, lakin mütləq bir deyil, buna görə də əlavə olaraq birgə sistemlər bölünür:
- - müəyyən- vahid həll yolu var. Müəyyən sistemlərdə matrisin dərəcəsi və naməlumların sayı (və ya eyni şey olan sütunların sayı) bərabərdir;
- - qeyri-müəyyən - sonsuz sayda həll yolu ilə. Belə sistemlərdə matrislərin rütbəsi naməlumların sayından azdır.
- Uyğun deyil. U Belə sistemlərdə əsas və genişləndirilmiş matrislərin dərəcələri üst-üstə düşmür. Uyğun olmayan sistemlərin həlli yoxdur.
Gauss metodu yaxşıdır, çünki həll zamanı ya sistemin uyğunsuzluğunun birmənalı sübutunu (böyük matrislərin determinantlarını hesablamadan) və ya sonsuz sayda həlli olan bir sistem üçün ümumi formada həll etməyə imkan verir.
Elementar çevrilmələr
Sistemin həllinə birbaşa davam etməzdən əvvəl, onu daha az çətinləşdirə və hesablamalar üçün daha rahat edə bilərsiniz. Bu, elementar çevrilmələr vasitəsilə əldə edilir - onların həyata keçirilməsi yekun cavabı heç bir şəkildə dəyişdirməsin. Qeyd etmək lazımdır ki, verilmiş elementar çevrilmələrin bəziləri yalnız mənbəyi SLAE olan matrislər üçün etibarlıdır. Bu çevrilmələrin siyahısı:
- Xətlərin yenidən təşkili. Aydındır ki, sistem qeydindəki tənliklərin sırasını dəyişdirsəniz, bu heç bir şəkildə həllə təsir etməyəcək. Nəticə etibarilə, bu sistemin matrisindəki sətirlər də dəyişdirilə bilər, əlbəttə ki, sərbəst şərtlər sütununu unutmadan.
- Sətin bütün elementlərinin müəyyən bir əmsala vurulması. Çox faydalıdır! Qısaltmaq üçün istifadə edilə bilər böyük rəqəmlər matrisdə və ya sıfırları çıxarın. Bir çox qərarlar, həmişəki kimi, dəyişməyəcək, amma sonrakı əməliyyatlar daha rahat olacaq. Əsas odur ki, əmsal sıfıra bərabər deyil.
- Proporsional amillərlə sıraların çıxarılması. Bu, qismən əvvəlki bənddən irəli gəlir. Matrisdəki iki və ya daha çox sətir mütənasib əmsallara malikdirsə, o zaman cərgələrdən biri mütənasiblik əmsalı ilə vurulduqda/bölündükdə iki (və ya yenə də daha çox) tamamilə eyni cərgə əldə edilir və əlavələr çıxarıla bilər. yalnız bir.
- Boş xəttin silinməsi. Transformasiya zamanı bütün elementlərin, o cümlədən sərbəst terminin sıfır olduğu yerdə bir sıra əldə edilərsə, belə bir sıra sıfır adlandırıla bilər və matrisdən kənara atılır.
- Bir cərgənin elementlərinə digərinin elementlərinin əlavə edilməsi (müvafiq sütunlarda), müəyyən bir əmsala vurulur. Ən gözə çarpmayan və ən vacib çevrilmə. Bunun üzərində daha ətraflı dayanmağa dəyər.
Bir əmsala vurulan bir sətir əlavə etmək
Anlamaq asanlığı üçün bu prosesi addım-addım parçalamağa dəyər. Matrisdən iki cərgə götürülür:
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a 21 a 22 ... a 2n | b 2
Tutaq ki, birincini ikinciyə əlavə etmək lazımdır, "-2" əmsalı ilə vurulur.
a" 21 = a 21 + -2×a 11
a" 22 = a 22 + -2×a 12
a" 2n = a 2n + -2×a 1n
Sonra matrisdəki ikinci sıra yenisi ilə əvəz olunur və birincisi dəyişməz qalır.
a 11 a 12 ... a 1n | b1
a" 21 a" 22 ... a" 2n | b 2
Qeyd etmək lazımdır ki, vurma əmsalı elə seçilə bilər ki, iki cərgənin toplanması nəticəsində yeni cərgənin elementlərindən biri sıfıra bərabər olsun. Buna görə də, daha az bilinməyən bir sistemdə bir tənlik əldə etmək mümkündür. Və iki belə tənlik əldə etsəniz, əməliyyat yenidən edilə bilər və iki daha az naməlum olan bir tənlik əldə edilə bilər. Hər dəfə orijinaldan aşağı olan bütün cərgələrin bir əmsalını sıfıra çevirsəniz, pilləkənlər kimi matrisin ən aşağısına enə və bir naməlum olan bir tənlik əldə edə bilərsiniz. Buna Qauss metodundan istifadə edərək sistemin həlli deyilir.
Ümumiyyətlə
Qoy sistem olsun. Onun m tənliyi və n naməlum kökü var. Bunu aşağıdakı kimi yaza bilərsiniz:
Əsas matris sistem əmsallarından tərtib edilir. Sərbəst şərtlər sütunu genişləndirilmiş matrisə əlavə edilir və rahatlıq üçün sətirlə ayrılır.
- matrisin birinci cərgəsi k = (-a 21 /a 11) əmsalı ilə vurulur;
- matrisin birinci dəyişdirilmiş sırası və ikinci sıra əlavə olunur;
- ikinci sətir əvəzinə əvvəlki abzasdan əlavənin nəticəsi matrisə daxil edilir;
- indi birinci əmsal yeni ikinci xətt 11 × (-a 21 /a 11) + a 21 = -a 21 + a 21 = 0-dır.
İndi eyni çevrilmə seriyası həyata keçirilir, yalnız birinci və üçüncü sıralar iştirak edir. Müvafiq olaraq, alqoritmin hər addımında a 21 elementi 31 ilə əvəz olunur. Sonra hər şey 41, ... a m1 üçün təkrarlanır. Nəticə sətirlərdəki birinci elementin sıfır olduğu bir matrisdir. İndi bir nömrəli sətri unutmalı və ikinci sətirdən başlayaraq eyni alqoritmi yerinə yetirməlisiniz:
- əmsalı k = (-a 32 /a 22);
- ikinci dəyişdirilmiş sətir “cari” sətirə əlavə edilir;
- əlavənin nəticəsi üçüncü, dördüncü və s. sətirlərlə əvəz edilir, birinci və ikinci isə dəyişməz qalır;
- matrisin sətirlərində ilk iki element artıq sıfıra bərabərdir.
Alqoritm k = (-a m,m-1 /a mm) əmsalı görünənə qədər təkrarlanmalıdır. Bu o deməkdir ki, in sonuncu dəfə alqoritm yalnız aşağı tənlik üçün yerinə yetirilmişdir. İndi matris üçbucağa bənzəyir və ya pilləli formaya malikdir. Aşağı sətirdə a mn × x n = b m bərabərliyi var. Əmsal və sərbəst termin məlumdur və kök onların vasitəsilə ifadə olunur: x n = b m /a mn. X n-1 = (b m-1 - a m-1,n ×(b m /a mn))÷a m-1,n-1 tapmaq üçün yaranan kök yuxarı sətirdə əvəz olunur. Bənzətmə ilə və s.: hər növbəti sətirdə yeni bir kök var və sistemin "yuxarısına" çatdıqdan sonra bir çox həll yolu tapa bilərsiniz. Bu tək olacaq.
Həll yolları olmadıqda
Əgər matris sətirlərindən birində sərbəst termindən başqa bütün elementlər sıfıra bərabərdirsə, bu cərgəyə uyğun gələn tənlik 0 = b kimi görünür. Bunun həlli yoxdur. Və belə bir tənlik sistemə daxil olduğundan, bütün sistemin həllər toplusu boşdur, yəni degenerativdir.
Sonsuz sayda həll yolu olduqda
Ola bilər ki, verilmiş üçbucaqlı matrisdə tənliyin bir əmsal elementi və bir sərbəst üzvü olan cərgələr yoxdur. Yalnız sətirlər var ki, onlar yenidən yazıldığında iki və ya daha çox dəyişəni olan tənliyə bənzəyəcək. Bu o deməkdir ki, sistemin sonsuz sayda həlli var. Bu halda cavab ümumi həll şəklində verilə bilər. Bunu necə etmək olar?
Matrisdəki bütün dəyişənlər əsas və sərbəst bölünür. Əsas olanlar addım matrisindəki cərgələrin "kənarında" duranlardır. Qalanları pulsuzdur. Ümumi həlldə əsas dəyişənlər sərbəst olanlar vasitəsilə yazılır.
Rahatlıq üçün matris əvvəlcə tənliklər sisteminə yenidən yazılır. Sonra onlardan yalnız bir əsas dəyişənin qaldığı yerdə bir tərəfdə qalır, qalan hər şey digərinə keçir. Bu, bir əsas dəyişəni olan hər bir tənlik üçün edilir. Sonra qalan tənliklərdə, mümkün olduqda, əsas dəyişən əvəzinə onun üçün alınan ifadə əvəz olunur. Əgər nəticə yenə yalnız bir əsas dəyişəni ehtiva edən ifadədirsə, hər bir əsas dəyişən sərbəst dəyişənlərlə ifadə kimi yazılana qədər yenidən oradan ifadə edilir və s. Bu budur ümumi qərar SLAU.
Sistemin əsas həllini də tapa bilərsiniz - pulsuz dəyişənlərə istənilən dəyərləri verin və sonra bu xüsusi vəziyyət üçün əsas dəyişənlərin dəyərlərini hesablayın. Verilə bilən sonsuz sayda xüsusi həllər var.
Xüsusi nümunələrlə həll
Budur tənliklər sistemi.
Rahatlıq üçün dərhal onun matrisini yaratmaq daha yaxşıdır
Məlumdur ki, Qauss üsulu ilə həll edildikdə birinci sıraya uyğun gələn tənlik çevrilmələrin sonunda dəyişməz qalacaq. Buna görə də, matrisin yuxarı sol elementi ən kiçikdirsə, daha sərfəli olacaq - sonra əməliyyatlardan sonra qalan cərgələrin ilk elementləri sıfıra çevriləcəkdir. Bu o deməkdir ki, tərtib edilmiş matrisdə birincinin yerinə ikinci cərgənin qoyulması sərfəlidir.
ikinci sətir: k = (-a 21 /a 11) = (-3/1) = -3
a" 21 = a 21 + k×a 11 = 3 + (-3)×1 = 0
a" 22 = a 22 + k×a 12 = -1 + (-3)×2 = -7
a" 23 = a 23 + k×a 13 = 1 + (-3)×4 = -11
b" 2 = b 2 + k×b 1 = 12 + (-3)×12 = -24
üçüncü sətir: k = (-a 3 1 /a 11) = (-5/1) = -5
a" 3 1 = a 3 1 + k×a 11 = 5 + (-5)×1 = 0
a" 3 2 = a 3 2 + k×a 12 = 1 + (-5)×2 = -9
a" 3 3 = a 33 + k×a 13 = 2 + (-5)×4 = -18
b" 3 = b 3 + k×b 1 = 3 + (-5)×12 = -57
İndi çaşqınlıq yaratmamaq üçün çevrilmələrin aralıq nəticələri ilə matris yazmaq lazımdır.
Aydındır ki, belə bir matris müəyyən əməliyyatlardan istifadə edərək qavrayış üçün daha rahat edilə bilər. Məsələn, hər bir elementi "-1"-ə vurmaqla ikinci sətirdən bütün "mənfiləri" silə bilərsiniz.
Onu da qeyd etmək lazımdır ki, üçüncü sətirdə bütün elementlər üçə çoxluq təşkil edir. Sonra hər bir elementi "-1/3" (mənfi dəyərləri silmək üçün mənfi - eyni zamanda) vuraraq, bu nömrə ilə sətri qısalda bilərsiniz.
Çox daha gözəl görünür. İndi birinci sətri tək buraxıb ikinci və üçüncü ilə işləmək lazımdır. Tapşırıq ikinci sətri üçüncü sətirə əlavə etməkdir, belə bir əmsala vurulur ki, a 32 elementi sıfıra bərabər olsun.
k = (-a 32 /a 22) = (-3/7) = -3/7 (bəzi çevrilmələr zamanı cavab tam ədəd olmadıqda, çıxmaq üçün hesablamaların düzgünlüyünü qorumaq tövsiyə olunur. formasında “olduğu kimi” adi fraksiya, və yalnız bundan sonra, cavablar alındıqda, yuvarlaqlaşdırıb başqa qeyd formasına çevirmək qərarına gəlin)
a" 32 = a 32 + k×a 22 = 3 + (-3/7)×7 = 3 + (-3) = 0
a" 33 = a 33 + k×a 23 = 6 + (-3/7)×11 = -9/7
b" 3 = b 3 + k×b 2 = 19 + (-3/7)×24 = -61/7
Matris yenidən yeni dəyərlərlə yazılır.
| 1 | 2 | 4 | 12 |
| 0 | 7 | 11 | 24 |
| 0 | 0 | -9/7 | -61/7 |
Göründüyü kimi, nəticədə alınan matrisin artıq pilləli forması var. Buna görə də, Qauss metodundan istifadə edərək sistemin əlavə transformasiyası tələb olunmur. Burada edilə bilən üçüncü sətirdən çıxarmaqdır ümumi əmsal "-1/7".
İndi hər şey gözəldir. Sadəcə matrisi yenidən tənliklər sistemi şəklində yazmaq və kökləri hesablamaq qalır.
x + 2y + 4z = 12 (1)
7y + 11z = 24 (2)
İndi köklərin tapılacağı alqoritmə Qauss metodunda tərs hərəkət deyilir. Tənlik (3) z dəyərini ehtiva edir:
y = (24 - 11×(61/9))/7 = -65/9
Və birinci tənlik x tapmağa imkan verir:
x = (12 - 4z - 2y)/1 = 12 - 4×(61/9) - 2×(-65/9) = -6/9 = -2/3
Bizim belə bir sistemi müştərək, hətta müəyyən, yəni unikal həlli olan adlandırmaq haqqımız var. Cavab aşağıdakı formada yazılır:
x 1 = -2/3, y = -65/9, z = 61/9.
Qeyri-müəyyən bir sistemin nümunəsi
Müəyyən bir sistemin Gauss metodundan istifadə edərək həlli variantı təhlil edilmişdir, indi sistemin qeyri-müəyyən olması halını nəzərdən keçirmək lazımdır, yəni bunun üçün sonsuz sayda həll yolları tapıla bilər.
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 7 (1)
3x 1 + 2x 2 + x 3 + x 4 - 3x 5 = -2 (2)
x 2 + 2x 3 + 2x 4 + 6x 5 = 23 (3)
5x 1 + 4x 2 + 3x 3 + 3x 4 - x 5 = 12 (4)
Sistemin görünüşü artıq həyəcan vericidir, çünki naməlumların sayı n = 5-dir və sistem matrisinin dərəcəsi artıq bu rəqəmdən tam olaraq azdır, çünki cərgələrin sayı m = 4-dür, yəni. determinant-kvadratın ən böyük sırası 4-dür. Bu o deməkdir ki, sonsuz sayda həll var və onun ümumi görünüşünü axtarmaq lazımdır. Xətti tənliklər üçün Gauss metodu bunu etməyə imkan verir.
Birincisi, həmişə olduğu kimi, genişləndirilmiş bir matris tərtib edilir.
İkinci sətir: əmsal k = (-a 21 /a 11) = -3. Üçüncü sətirdə birinci element çevrilmələrdən əvvəldir, ona görə də heç bir şeyə toxunmaq lazım deyil, onu olduğu kimi tərk etməlisiniz. Dördüncü sətir: k = (-a 4 1 /a 11) = -5
Birinci cərgənin elementlərini növbə ilə onların əmsallarının hər birinə vurub tələb olunan sətirlərə əlavə etməklə aşağıdakı formada matris əldə edirik:
Göründüyü kimi, ikinci, üçüncü və dördüncü sıralar bir-birinə mütənasib olan elementlərdən ibarətdir. İkinci və dördüncü ümumiyyətlə eynidir, buna görə də onlardan biri dərhal çıxarıla bilər, qalanı isə “-1” əmsalı ilə vurularaq 3-cü sətir alına bilər. Yenə də iki eyni sətirdən birini buraxın.
Nəticə belə bir matrisdir. Sistem hələ yazılmamış olsa da, burada əsas dəyişənləri müəyyən etmək lazımdır - a 11 = 1 və a 22 = 1 əmsallarında duranları və boş olanları - qalanları.
İkinci tənlikdə yalnız bir əsas dəyişən var - x 2. Bu o deməkdir ki, sərbəst olan x 3 , x 4 , x 5 dəyişənləri vasitəsilə onu oradan yazmaqla ifadə etmək olar.
Nəticə ifadəsini birinci tənliyə əvəz edirik.
Nəticə yeganə əsas dəyişənin x 1 olduğu tənlikdir. Onunla da x 2 ilə eyni şeyi edək.
İkisi olan bütün əsas dəyişənlər üç sərbəst ilə ifadə edilir, indi cavabı ümumi formada yaza bilərik.
Siz həmçinin sistemin xüsusi həllərindən birini təyin edə bilərsiniz. Belə hallar üçün adətən sıfırlar pulsuz dəyişənlər üçün dəyərlər kimi seçilir. Sonra cavab belə olacaq:
16, 23, 0, 0, 0.
Kooperativ olmayan sistemin nümunəsi
Qauss metodundan istifadə edərək uyğun olmayan tənlik sistemlərinin həlli ən sürətlidir. Mərhələlərdən birində həlli olmayan tənlik əldə edilən kimi dərhal bitir. Yəni kifayət qədər uzun və yorucu olan köklərin hesablanması mərhələsi aradan qaldırılır. Aşağıdakı sistem hesab olunur:
x + y - z = 0 (1)
2x - y - z = -2 (2)
4x + y - 3z = 5 (3)
Həmişə olduğu kimi, matris tərtib edilir:
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 2 | -1 | -1 | -2 |
| 4 | 1 | -3 | 5 |
Və o, addım-addım formaya salınır:
k 1 = -2k 2 = -4
| 1 | 1 | -1 | 0 |
| 0 | -3 | 1 | -2 |
| 0 | 0 | 0 | 7 |
Birinci transformasiyadan sonra üçüncü sətir formanın tənliyini ehtiva edir
həll olmadan. Nəticədə, sistem uyğunsuzdur və cavab boş dəst olacaq.
Metodun üstünlükləri və mənfi cəhətləri
SLAE-ləri kağız üzərində qələmlə həll etməyin hansı üsulunu seçsəniz, bu məqalədə müzakirə olunan üsul ən cəlbedici görünür. Elementar çevrilmələrdə çaşqın olmaq determinantı və ya bəzi çətin tərs matrisi əl ilə axtarmaqdan daha çətindir. Bununla belə, bu tip məlumatlarla işləmək üçün proqramlardan istifadə edirsinizsə, məsələn, elektron cədvəllər, onda məlum olur ki, belə proqramlarda artıq matrislərin əsas parametrlərinin - determinant, minorlar, tərs və s. hesablanması üçün alqoritmlər var. Əgər maşının bu dəyərləri özü hesablayacağına və səhv etməyəcəyinə əminsinizsə, matris metodundan və ya Kramer düsturlarından istifadə etmək daha məqsədəuyğundur, çünki onların istifadəsi determinantların hesablanması ilə başlayır və bitir. tərs matrislər.
Ərizə
Gauss həlli bir alqoritm olduğundan və matris əslində iki ölçülü massiv olduğundan, proqramlaşdırmada istifadə edilə bilər. Ancaq məqalə özünü "dummies üçün" bələdçi kimi yerləşdirdiyindən, metodu yerləşdirmək üçün ən asan yerin elektron cədvəllər, məsələn, Excel olduğunu söyləmək lazımdır. Yenə də, matris şəklində cədvələ daxil edilmiş hər hansı SLAE Excel tərəfindən iki ölçülü massiv kimi qəbul ediləcək. Və onlarla əməliyyatlar üçün çoxlu gözəl əmrlər var: əlavə (yalnız eyni ölçülü matrisləri əlavə edə bilərsiniz!), ədədə vurma, matrisləri vurma (həmçinin müəyyən məhdudiyyətlərlə), tərs və köçürülmüş matrisləri tapmaq və ən əsası , determinantın hesablanması. Bu vaxt aparan tapşırıq tək bir əmrlə əvəz olunarsa, matrisin rütbəsini daha tez müəyyən etmək və buna görə də onun uyğunluğunu və ya uyğunsuzluğunu müəyyən etmək mümkündür.
