İfadələr, tənliklər və tənliklər sistemləri
kompleks ədədlərlə

Bu gün sinifdə mürəkkəb ədədlərlə tipik əməliyyatları məşq edəcəyik, həmçinin bu ədədləri ehtiva edən ifadələrin, tənliklərin və tənlik sistemlərinin həlli texnikasını mənimsəyəcəyik. Bu seminar dərsin davamıdır və ona görə də əgər mövzunu yaxşı bilmirsinizsə, yuxarıdakı linkə daxil olun. Yaxşı, daha hazırlıqlı oxucular üçün dərhal istiləşmənizi təklif edirəm:

Misal 1

Bir ifadəni sadələşdirin , Əgər . Nəticəni triqonometrik formada təqdim edin və kompleks müstəvidə qrafasını çəkin.

Həll: beləliklə, kəsri "dəhşətli" kəsrlə əvəz etməli, sadələşdirmələr aparmalı və nəticəni çevirməlisiniz. kompleks ədəd V triqonometrik forma. Üstəlik rəsm.

Qərarın rəsmiləşdirilməsinin ən yaxşı yolu nədir? "Mükəmməl" ilə cəbri ifadə Bunu addım-addım başa düşmək daha yaxşıdır. Birincisi, diqqət daha az yayınır, ikincisi, tapşırıq qəbul edilməzsə, səhvi tapmaq çox asan olacaq.

1) Əvvəlcə payı sadələşdirək. Gəlin dəyəri əvəz edək, mötərizələri açın və saç düzümünü düzəldin:

...Bəli, belə bir Kvazimodo kompleks ədədlərdən gəldi...

Nəzərinizə çatdırım ki, çevrilmələr zamanı tamamilə sadə şeylərdən - çoxhədlilərin vurulması qaydasından və artıq bayağılaşan bərabərlikdən istifadə olunur. Əsas odur ki, diqqətli olun və əlamətlərlə çaşqınlıq yaratmayın.

2) İndi məxrəc gəlir. Əgər, onda:

Onun hansı qeyri-adi təfsirdə istifadə edildiyinə diqqət yetirin kvadrat cəmi düsturu. Alternativ olaraq, burada yenidən təşkil edə bilərsiniz alt formula Nəticələr təbii olaraq eyni olacaq.

3) Və nəhayət, bütün ifadə. Əgər, onda:

Kəsrdən xilas olmaq üçün payı və məxrəci məxrəcin birləşmiş ifadəsi ilə vurun. Eyni zamanda, tətbiq məqsədləri üçün kvadrat fərq düsturları birinci olmalıdır (və artıq lazımdır!) mənfi real hissəni 2-ci yerə qoyun:

İndi əsas qayda:

TƏLƏSİMİZ! Təhlükəsiz oynamaq və əlavə bir addım atmaq daha yaxşıdır.
İfadələrdə, tənliklərdə və mürəkkəb ədədlərlə sistemlərdə, təkəbbürlü şifahi hesablamalarda həmişəkindən daha sıx!

Son mərhələdə yaxşı bir azalma oldu və bu, sadəcə əla əlamətdir.

Qeyd : dəqiq desək, burada mürəkkəb ədədin 50 kompleks nömrəsinə bölünməsi baş verdi (bunu unutmayın). Bu nüans haqqında indiyə qədər susmuşam, bir az sonra bu haqda danışacağıq.

Nailiyyətimizi hərflə qeyd edək

Alınan nəticəni triqonometrik formada təqdim edək. Ümumiyyətlə, burada rəsm çəkmədən edə bilərsiniz, lakin tələb olunduğu üçün bunu indi etmək bir qədər daha rasionaldır:

Kompleks ədədin modulunu hesablayaq:

1 vahid miqyasında çəkirsinizsə. = 1 sm (2 notebook hüceyrəsi), sonra əldə edilən dəyər adi bir hökmdardan istifadə edərək asanlıqla yoxlanıla bilər.

Gəlin bir arqument tapaq. Nömrə 2-ci koordinat rübündə yerləşdiyinə görə:

Bucaq bir iletki ilə asanlıqla yoxlanıla bilər. Bu, rəsmin şübhəsiz üstünlüyüdür.

Beləliklə: – triqonometrik formada tələb olunan ədəd.

yoxlayaq:
, bu, yoxlanılmalı idi.

Sinus və kosinusun naməlum dəyərlərini istifadə edərək tapmaq rahatdır triqonometrik cədvəl.

Cavab verin:

üçün oxşar bir nümunə müstəqil qərar:

Misal 2

Bir ifadəni sadələşdirin , Harada. Alınan ədədi kompleks müstəvidə çəkin və eksponensial formada yazın.

Dərslikləri qaçırmamağa çalışın. Onlar sadə görünə bilər, lakin məşq etmədən "gölməçəyə girmək" asan deyil, çox asandır. Buna görə də, biz "əlimizə alırıq".

Çox vaxt problemin birdən çox həlli var:

Misal 3

Hesablayın əgər,

Həll: ilk növbədə, ilkin şərtə diqqət yetirək - bir ədəd cəbri, digəri isə triqonometrik formada və hətta dərəcələrlə təqdim olunur. Dərhal daha tanış formada yenidən yazaq: .

Hesablamalar hansı formada aparılmalıdır? İfadə açıq-aydın ilk vurma və daha sonra 10-cu dərəcəyə yüksəltməyi nəzərdə tutur Moivre düsturu, kompleks ədədin triqonometrik forması üçün tərtib edilmişdir. Beləliklə, birinci rəqəmi çevirmək daha məntiqli görünür. Onun modulunu və arqumentini tapaq:

Triqonometrik formada mürəkkəb ədədləri vurmaq üçün qaydadan istifadə edirik:
əgər , onda

Kəsri düzgün edərək, 4 döngəni "bükə" biləcəyimiz qənaətinə gəlirik (şadam.):

İkinci həll 2-ci ədədi cəbri formaya çevirməkdir , içərisində vurma yerinə yetirin cəbri forma, nəticəni triqonometrik formaya çevirin və Moivre düsturundan istifadə edin.

Gördüyünüz kimi, bir "əlavə" hərəkət var. Arzu edənlər qərara əməl edə və nəticələrin eyni olduğuna əmin ola bilərlər.

Şərt son kompleks ədədin forması haqqında heç nə demir, ona görə də:

Cavab verin:

Ancaq "gözəllik üçün" və ya tələb olunan nəticəni cəbri formada təsəvvür etmək çətin deyil:

Özbaşına:

Misal 4

Bir ifadəni sadələşdirin

Burada xatırlamaq lazımdır dərəcə ilə hərəkətlər, bir olsa da faydalı qayda Bu təlimatda yoxdur, burada: .

Və daha bir vacib qeyd: nümunə iki üslubda həll edilə bilər. Birinci seçim onunla işləməkdir ikiədədlər və kəsrlərlə yaxşı olmaq. İkinci seçim hər bir nömrəni kimi təmsil etməkdir iki ədədin nisbəti: Və dörd mərtəbəli quruluşdan qurtulun. Rəsmi nöqteyi-nəzərdən, necə qərar verdiyinizin əhəmiyyəti yoxdur, amma əsaslı fərq var! Zəhmət olmasa diqqətlə düşünün:
mürəkkəb ədəddir;
iki mürəkkəb ədədin ( və ) hissəsidir, lakin kontekstdən asılı olaraq bunu da deyə bilərsiniz: iki mürəkkəb ədədin nisbəti kimi göstərilən ədəd.

Tez həll və dərsin sonunda cavab.

İfadələr yaxşıdır, lakin tənliklər daha yaxşıdır:

Mürəkkəb əmsallı tənliklər

Onlar “adi” tənliklərdən nə ilə fərqlənir? Oran =)

Yuxarıdakı şərhin işığında, bu nümunə ilə başlayaq:

Misal 5

Tənliyi həll edin

Və dərhal "dabanlarda isti" preambula: ilkin olaraq sağ hissə tənlik iki mürəkkəb ədədin ( və 13) hissəsi kimi yerləşdirilmişdir və buna görə də şərti nömrə ilə yenidən yazmaq pis forma olardı (baxmayaraq ki, bu xətaya səbəb olmayacaq). Bu fərq, yeri gəlmişkən, fraksiyada daha aydın görünür - əgər nisbətən desək, bu dəyər ilk növbədə belə başa düşülür. tənliyin "tam" kompleks kökü, həm də ədədin bölməsi kimi deyil, xüsusən də ədədin bir hissəsi kimi deyil!

Həll, prinsipcə, addım-addım da təşkil edilə bilər, lakin bu halda oyun şama dəyməz. İlkin vəzifə naməlum "z" olmayan hər şeyi sadələşdirməkdir, nəticədə tənlik formaya endirilir:

Orta fraksiyanı inamla sadələşdiririk:

Nəticəni sağ tərəfə köçürür və fərqi tapırıq:

Qeyd : və yenə də diqqətinizi mənalı məqama cəlb edirəm - burada biz ədəddən ədədi çıxarmadıq, kəsrləri ortaq məxrəcə gətirdik! Qeyd etmək lazımdır ki, artıq həlli davam edir, rəqəmlərlə işləmək qadağan deyil: , lakin nəzərdən keçirilən nümunədə bu üslub faydalıdan daha zərərlidir =)

Mütənasiblik qaydasına əsasən “zet” ifadə edirik:

İndi siz yenidən konyuqata bölə və çoxala bilərsiniz, lakin pay və məxrəcdəki şübhəli oxşar ədədlər növbəti hərəkəti təklif edir:

Cavab verin:

Yoxlamaq üçün, nəticədə alınan dəyəri ilə əvəz edək sol tərəf orijinal tənlik və bəzi sadələşdirmələr edək:

– orijinal tənliyin sağ tərəfi alınır, beləliklə kök düzgün tapılır.

...İndi, indi... Mən sizin üçün daha maraqlı bir şey tapacağam... buyurun:

Misal 6

Tənliyi həll edin

Bu tənlik formasına azalır, yəni xəttidir. Düşünürəm ki, ipucu aydındır - get!

Əlbəttə... onsuz necə yaşaya bilərsən:

Kompleks əmsallı kvadrat tənlik

Dərsdə Butaforlar üçün mürəkkəb nömrələröyrəndik ki, real əmsalları olan kvadrat tənliyin birləşmiş mürəkkəb kökləri ola bilər, bundan sonra məntiqi bir sual yaranır: niyə əslində əmsalların özləri mürəkkəb ola bilməz? İcazə verin formullaşdırım ümumi hal:

İxtiyari kompleks əmsallı kvadrat tənlik (1 və ya 2-si və ya hər üçü xüsusilə etibarlı ola bilər) Bu var iki və yalnız iki mürəkkəb kök (bəlkə də biri və ya hər ikisi etibarlıdır). Eyni zamanda, köklər (həm real, həm də sıfırdan fərqli xəyali hissə ilə)üst-üstə düşə bilər (çoxluq ola bilər).

Mürəkkəb əmsalları olan kvadrat tənlik eyni sxemdən istifadə edərək həll edilir "məktəb" tənliyi hesablama texnikasında bəzi fərqlərlə:

Misal 7

Kvadrat tənliyin köklərini tapın

Həll: xəyali vahid birinci gəlir və prinsipcə, ondan qurtula bilərsiniz (hər iki tərəfi vuraraq), lakin buna xüsusi ehtiyac yoxdur.

Rahatlıq üçün əmsalları yazırıq:

Pulsuz üzvün "mənfi"sini itirməyək! ...Hər kəsə aydın olmaya bilər - mən tənliyi yenidən yazacağam standart forma :

Diskriminantı hesablayaq:

Və əsas maneə budur:

Ərizə ümumi formula kök çıxarılması (məqalənin son abzasına baxın Butaforlar üçün mürəkkəb nömrələr) radikal kompleks sayı arqumenti ilə bağlı ciddi çətinliklərlə mürəkkəbləşir (özünüzə baxın). Ancaq başqa bir "cəbri" yol var! Kökü formada axtaracağıq:

Hər iki tərəfi kvadratlaşdıraq:

Həqiqi və xəyali hissələri bərabər olduqda iki kompleks ədəd bərabərdir. Beləliklə, alırıq aşağıdakı sistem:

Sistemi seçməklə həll etmək daha asandır (daha hərtərəfli yol 2-ci tənlikdən ifadə etməkdir - 1-ci ilə əvəz etmək, biquadratik tənliyi əldə etmək və həll etməkdir). Məsələnin müəllifinin canavar olmadığını fərz etsək, və tam ədədlər olduğu fərziyyəsini irəli sürdük. 1-ci tənlikdən belə çıxır ki, “x” modulu"Y"-dən çox. Bundan əlavə, müsbət məhsul bizə naməlumların eyni işarədən olduğunu bildirir. Yuxarıda göstərilənlərə əsaslanaraq və 2-ci tənliyə diqqət yetirərək, ona uyğun gələn bütün cütləri yazırıq:

Aydındır ki, sistemin 1-ci tənliyi son iki cüt tərəfindən təmin edilir, beləliklə:

Aralıq yoxlama zərər verməz:

yoxlamaq lazım olan şeydi.

Siz "işləyən" kök kimi seçə bilərsiniz hər hansı məna. Aydındır ki, versiyanı "eksiler" olmadan götürmək daha yaxşıdır:

Yeri gəlmişkən, unutmadan kökləri tapırıq:

Cavab verin:

Tapılan köklərin tənliyi təmin edib-etmədiyini yoxlayaq :

1) Əvəz edək:

əsl bərabərlik.

2) Əvəz edək:

əsl bərabərlik.

Beləliklə, həll düzgün tapıldı.

İndicə müzakirə etdiyimiz problemə əsasən:

Misal 8

Tənliyin köklərini tapın

Qeyd etmək lazımdır ki, kvadrat kök sırf mürəkkəbdirədədlər ümumi düsturdan istifadə etməklə asanlıqla çıxarıla bilər , Harada , buna görə də hər iki üsul nümunədə göstərilmişdir. İkinci faydalı qeyd, sabitin kökünün ilkin çıxarılmasının həlli heç də sadələşdirməməsi faktına aiddir.

İndi dincələ bilərsiniz - bu nümunədə yüngül bir qorxu ilə xilas olacaqsınız :)

Misal 9

Tənliyi həll edin və yoxlayın

Dərsin sonunda həllər və cavablar.

Məqalənin son bəndi ona həsr edilmişdir

kompleks ədədlərlə tənliklər sistemi

İstirahət edək və... gərginləşdirməyin =) Ən sadə halı - ikilik sistemini nəzərdən keçirək xətti tənliklər iki naməlum ilə:

Misal 10

Tənliklər sistemini həll edin. Cavabı cəbri və eksponensial formalarda təqdim edin, rəsmdə kökləri təsvir edin.

Həll: şərtin özü sistemin unikal həllinə malik olduğunu göstərir, yəni təmin edən iki ədəd tapmaq lazımdır. hər birinə sistemin tənliyi.

Sistem həqiqətən də “uşaqcasına” həll oluna bilər (bir dəyişəni digəri ilə ifadə edin) , lakin istifadə etmək daha rahatdır Kramer düsturları. Gəlin hesablayaq əsas təyinedici sistemlər:

, yəni sistemin unikal həlli var.

Yenə də deyirəm ki, vaxtınızı almaq və addımları mümkün qədər ətraflı yazmaq daha yaxşıdır:

Say və məxrəci xəyali vahidə vurub 1-ci kök alırıq:

Eynilə:

Müvafiq sağ tərəflər alınır və s.

Gəlin rəsm çəkək:

Kökləri eksponensial formada təmsil edək. Bunu etmək üçün onların modullarını və arqumentlərini tapmaq lazımdır:

1) – “iki”nin arktangenti “zəif” hesablanır, ona görə də onu belə buraxırıq:

FEDERAL TƏHSİL Agentliyi

DÖVLƏT TƏHSİL MÜƏSSİSƏSİ

ALİ İXTİSAS TƏHSİL

"VORONEJ DÖVLƏT PEDAQOJİ UNİVERSİTETİ"

AGLEBRA VƏ HƏNDƏSİ BÖLÜMƏSİ

Kompleks ədədlər

(seçilmiş tapşırıqlar)

MƏZUNİYYƏT İŞİ

050201.65 riyaziyyat ixtisası

(050202.65 informatika əlavə ixtisası ilə)

Tamamladı: 5-ci kurs tələbəsi

fiziki və riyazi

fakültə

Elmi məsləhətçi:

VORONEJ - 2008

1. Giriş……………………………………………………...…………..…

2. Kompleks ədədlər (seçilmiş məsələlər)

2.1. Cəbri formada mürəkkəb ədədlər…………………….….

2.2. Kompleks ədədlərin həndəsi şərhi………………

2.3. Kompleks ədədlərin triqonometrik forması

2.4. Kompleks ədədlər nəzəriyyəsinin 3-cü və 4-cü dərəcəli tənliklərin həllinə tətbiqi……………………………………………………………………

2.5. Kompleks ədədlər və parametrlər…………………………………………

3. Nəticə…………………………………………………………………………….

4. İstinadların siyahısı…………………………………………………

1. Giriş

Məktəbin riyaziyyat kurikulumunda ədədlər nəzəriyyəsi natural ədədlər, tam ədədlər, rasional, irrasional ədədlər çoxluğu nümunələrindən istifadə etməklə təqdim edilir, i.e. təsvirləri bütün say xəttini dolduran həqiqi ədədlər toplusunda. Ancaq onsuz da 8-ci sinifdə mənfi diskriminantla kvadrat tənlikləri həll edən həqiqi ədədlərin kifayət qədər təchizatı yoxdur. Buna görə də, həqiqi ədədlərin ehtiyatını kompleks ədədlərin köməyi ilə doldurmaq lazım idi, bunun üçün kvadrat kökü mənfi rəqəm mənası var.

Məzuniyyət mövzum kimi “Kompleks ədədlər” mövzusunu seçmək ixtisas işi, mürəkkəb ədəd anlayışının tələbələrin say sistemləri, həm cəbri, həm də həndəsi məzmunlu geniş sinif məsələlərin həlli, həlli haqqında biliklərini genişləndirməsidir. cəbri tənliklər istənilən dərəcə və parametrlərlə bağlı problemlərin həlli haqqında.

Bu tezis 82 problemin həllini araşdırır.

“Mürəkkəb ədədlər” əsas bölməsinin birinci hissəsində mürəkkəb ədədlərlə cəbri formada məsələlərin həlli, toplama, çıxma, vurma, bölmə əməliyyatları, cəbri formada mürəkkəb ədədlər üçün birləşmə əməliyyatı, xəyali vahidin gücü müəyyən edilir. , kompleks ədədin modulu və həmçinin qaydanın çıxarılmasını müəyyən edir kvadrat kök kompleks ədəddən.

İkinci hissədə kompleks müstəvinin nöqtələri və ya vektorları şəklində kompleks ədədlərin həndəsi şərhinə dair məsələlər həll edilir.

Üçüncü hissədə triqonometrik formada kompleks ədədlər üzərində əməliyyatlar araşdırılır. İstifadə olunan düsturlar bunlardır: Moivre və kompleks ədədin kökünün çıxarılması.

Dördüncü hissə 3-cü və 4-cü dərəcəli tənliklərin həllinə həsr edilmişdir.

“Mürəkkəb ədədlər və parametrlər” adlı sonuncu hissədəki məsələlərin həlli zamanı əvvəlki hissələrdə verilmiş məlumatlardan istifadə edilir və birləşdirilir. Fəsildəki bir sıra məsələlər parametrli tənliklər (bərabərsizliklər) ilə müəyyən edilmiş mürəkkəb müstəvidə xətlərin ailələrinin müəyyən edilməsinə həsr edilmişdir. Təlimlərin bir hissəsində parametrli tənlikləri həll etməlisiniz (C sahəsi üzərində). Mürəkkəb dəyişənin eyni vaxtda bir sıra şərtləri ödədiyi vəzifələr var. Bu bölmədə məsələlərin həllinin xüsusi bir xüsusiyyəti onların bir çoxunun ikinci dərəcəli, irrasional, parametrli triqonometrik tənliklərin (bərabərsizliklərin, sistemlərin) həllinə endirilməsidir.

Hər bir hissədə materialın təqdimatının bir xüsusiyyəti ilkin girişdir nəzəri əsaslar, və sonradan onların problemlərin həllində praktiki tətbiqi.

Sonda tezis istifadə olunan ədəbiyyatın siyahısı təqdim olunur. Onların əksəriyyəti nəzəri materialı kifayət qədər ətraflı və əlçatan şəkildə təqdim edir, bəzi problemlərin həlli yollarını nəzərdən keçirir və praktiki tapşırıqlar müstəqil qərar üçün. Xüsusi diqqət kimi mənbələrə istinad etmək istərdim:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova İ.V. Kompleks ədədlər və onların tətbiqi: Dərslik. . Material tədris vəsaiti mühazirə və praktiki məşğələlər şəklində təqdim olunur.

2. Şklyarski D.O., Çentsov N.N., Yaqlom İ.M. Elementar riyaziyyatın seçilmiş məsələləri və teoremləri. Arifmetika və cəbr. Kitabda cəbr, arifmetika və ədədlər nəzəriyyəsinə aid 320 məsələ var. Bu tapşırıqlar xaraktercə standart məktəb tapşırıqlarından əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənir.

2. Kompleks ədədlər (seçilmiş məsələlər)

2.1. Cəbri formada mürəkkəb ədədlər

Riyaziyyat və fizikada bir çox problemlərin həlli cəbri tənliklərin həllinə gəlir, yəni. formanın tənlikləri

,

burada a0, a1, …, an həqiqi ədədlərdir. Buna görə də cəbri tənliklərin öyrənilməsi bunlardan biridir kritik məsələlər riyaziyyatda. Məsələn, ilə kvadrat tənlik mənfi diskriminant. Ən sadə belə tənlik tənlikdir

.

Bu tənliyin həlli üçün ona tənliyin kökünü əlavə etməklə həqiqi ədədlər çoxluğunu genişləndirmək lazımdır.

.

Bu kökü ilə işarə edək

. Beləliklə, tərifə görə, və ya,

deməli,

. xəyali vahid adlanır. Onun köməyi ilə və bir cüt həqiqi ədədin köməyi ilə formanın ifadəsi tərtib edilir.

Əldə edilən ifadə həm həqiqi, həm də xəyali hissələrdən ibarət olduğuna görə mürəkkəb ədədlər adlanırdı.

Beləliklə, mürəkkəb ədədlər formanın ifadəsidir

, və həqiqi ədədlərdir və şərti ödəyən müəyyən simvoldur. Rəqəm kompleks ədədin həqiqi hissəsi adlanır, ədəd isə onun xəyali hissəsidir. , simvolları onları ifadə etmək üçün istifadə olunur.

Formanın mürəkkəb nömrələri

həqiqi ədədlərdir və buna görə də kompleks ədədlər çoxluğuna həqiqi ədədlər çoxluğu daxildir.

Formanın mürəkkəb nömrələri

sırf xəyali adlanır. Formanın iki mürəkkəb ədədi və onların həqiqi və xəyali hissələri bərabər olduqda bərabər deyilir, yəni. bərabərlik olarsa, .

Mürəkkəb ədədlərin cəbri qeydi cəbrin adi qaydalarına uyğun olaraq onlar üzərində əməliyyatlar aparmağa imkan verir.

Kompleks ədədlərlə problemləri həll etmək üçün əsas tərifləri başa düşməlisiniz. Bu baxış məqaləsinin əsas məqsədi kompleks ədədlərin nə olduğunu izah etmək və kompleks ədədlərlə əsas məsələlərin həlli üsullarını təqdim etməkdir. Beləliklə, mürəkkəb ədəd formanın nömrəsi adlanacaqdır z = a + bi, Harada a, b- mürəkkəb ədədin müvafiq olaraq həqiqi və xəyali hissələri adlanan və işarə edən həqiqi ədədlər a = Re(z), b=Im(z).
i xəyali vahid adlanır. i 2 = -1. Xüsusilə, hər hansı bir real ədəd mürəkkəb hesab edilə bilər: a = a + 0i, harada a realdır. Əgər a = 0 Və b ≠ 0, onda ədəd adətən sırf xəyali adlanır.

İndi kompleks ədədlər üzərində əməliyyatları təqdim edək.
İki mürəkkəb ədədi nəzərdən keçirək z 1 = a 1 + b 1 i Və z 2 = a 2 + b 2 i.

Gəlin nəzərdən keçirək z = a + bi.

Kompleks ədədlər çoxluğu həqiqi ədədlər çoxluğunu genişləndirir, bu da öz növbəsində çoxluğu genişləndirir rasional ədədlər və s. Bu investisiya zəncirini şəkildə görmək olar: N – tam ədədlər, Z - tam ədədlər, Q - rasional, R - real, C - kompleks.

Kompleks ədədlərin təsviri

Cəbri qeyd.

Kompleks ədədi nəzərdən keçirək z = a + bi, mürəkkəb ədədin yazılmasının bu forması deyilir cəbri. Bu qeyd formasını əvvəlki bölmədə ətraflı müzakirə etdik. Aşağıdakı vizual rəsm olduqca tez-tez istifadə olunur

Triqonometrik forma.

Şəkildən görünür ki, rəqəm z = a + bi fərqli yazmaq olar. Aydındır ki a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, deməli z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π) mürəkkəb ədədin arqumenti adlanır. Kompleks ədədin bu təsviri adlanır triqonometrik forma. Qeydlərin triqonometrik forması bəzən çox rahat olur. Məsələn, mürəkkəb ədədi tam ədədə qaldırmaq üçün istifadə etmək rahatdır, yəni əgər z = rcos(φ) + rsin(φ)i, Bu z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, bu düstur deyilir Moivre düsturu.

Nümayiş forması.

Gəlin nəzərdən keçirək z = rcos(φ) + rsin(φ)i- triqonometrik formada kompleks ədəd, başqa formada yazın z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, axırıncı bərabərlik Eyler düsturundan gəlir, ona görə də alırıq yeni forma mürəkkəb ədədlərin qeydi: z = yenidən iφ, adlanır göstərici. Bu qeyd forması mürəkkəb ədədi gücə çatdırmaq üçün də çox əlverişlidir: z n = r n e inφ, Burada n mütləq tam ədəd deyil, ixtiyari real ədəd ola bilər. Bu qeyd forması çox vaxt problemləri həll etmək üçün istifadə olunur.

Ali cəbrin əsas teoremi

Təsəvvür edək ki, bizim x 2 + x + 1 = 0 kvadrat tənliyimiz var. Aydındır ki, bu tənliyin diskriminantı mənfidir və onun həqiqi kökləri yoxdur, lakin məlum olur ki, bu tənliyin iki müxtəlif mürəkkəb kökü var. Deməli, ali cəbrin əsas teoremində deyilir ki, hər hansı n dərəcəli çoxhədlinin ən azı bir kompleks kökü var. Buradan belə nəticə çıxır ki, hər hansı n dərəcəli çoxhədlinin çoxluğu nəzərə alınmaqla tam n mürəkkəb kök var. Bu teorem riyaziyyatda çox mühüm nəticədir və geniş istifadə olunur. Bu teoremin sadə nəticəsi ondan ibarətdir ki, tam olaraq n var müxtəlif köklər birlik dərəcəsi n.

Tapşırıqların əsas növləri

Bu bölmə əsas növləri əhatə edəcəkdir sadə tapşırıqlar kompleks ədədlərə. Şərti olaraq, kompleks ədədlərlə bağlı məsələləri aşağıdakı kateqoriyalara bölmək olar.

• Mürəkkəb ədədlər üzərində sadə arifmetik əməllərin yerinə yetirilməsi.
• Kompleks ədədlərdə çoxhədlilərin köklərinin tapılması.
• Kompleks ədədləri güclərə yüksəltmək.
• Kompleks ədədlərdən köklərin çıxarılması.
• Digər məsələləri həll etmək üçün kompleks ədədlərdən istifadə.

İndi düşünək ümumi texnikalar bu problemlərin həlli yolları.

Mürəkkəb ədədlərlə ən sadə hesab əməliyyatları birinci bölmədə təsvir olunan qaydalara əsasən yerinə yetirilir, lakin mürəkkəb ədədlər triqonometrik və ya eksponensial formalarda təqdim olunursa, bu halda siz onları cəbri formaya çevirə və məlum qaydalara uyğun əməliyyatlar yerinə yetirə bilərsiniz.

Çoxhədlilərin köklərinin tapılması adətən kvadrat tənliyin köklərinin tapılması ilə nəticələnir. Tutaq ki, kvadrat tənliyimiz var, onun diskriminantı mənfi deyilsə, onun kökləri həqiqi olacaq və məlum düstura görə tapıla bilər. Diskriminant mənfi olarsa, yəni D = -1∙a 2, Harada a müəyyən bir ədəddir, onda diskriminant kimi təmsil oluna bilər D = (ia) 2, deməli √D = i|a|, və sonra istifadə edə bilərsiniz tanınmış formula kvadrat tənliyin kökləri üçün.

Misal. Yuxarıda qeyd olunanlara qayıdaq. kvadrat tənlik x 2 + x + 1 = 0 .
Diskriminant - D = 1 - 4 ∙ 1 = -3 = -1(√3) 2 = (i√3) 2.
İndi kökləri asanlıqla tapa bilərik:

Mürəkkəb ədədləri güclərə yüksəltmək bir neçə yolla edilə bilər. Əgər cəbri formada mürəkkəb ədədi kiçik bir gücə (2 və ya 3) yüksəltmək lazımdırsa, bunu birbaşa vurma yolu ilə edə bilərsiniz, lakin güc daha böyükdürsə (problemlərdə çox vaxt daha böyükdür), onda siz bunu etməlisiniz. bu ədədi triqonometrik və ya eksponensial formalarda yazın və artıq məlum olan üsullardan istifadə edin.

Misal. z = 1 + i hesab edin və onu onuncu gücə qaldırın.
z-i eksponensial formada yazaq: z = √2 e iπ/4.
Sonra z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Cəbri formaya qayıdaq: z 10 = -32i.

Kompleks ədədlərdən köklərin çıxarılması eksponentasiyanın tərs əməliyyatıdır və buna görə də oxşar şəkildə yerinə yetirilir. Kökləri çıxarmaq üçün tez-tez nömrə yazmağın eksponensial formasından istifadə olunur.

Misal. Vəhdət 3-cü dərəcənin bütün köklərini tapaq. Bunun üçün z 3 = 1 tənliyinin bütün köklərini tapacağıq, kökləri eksponensial formada axtaracağıq.
Tənliyə əvəz edək: r 3 e 3iφ = 1 və ya r 3 e 3iφ = e 0 .
Deməli: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, buna görə də φ = 2πk/3.
φ = 0, 2π/3, 4π/3-də müxtəlif köklər alınır.
Buna görə də 1, e i2π/3, e i4π/3 köklərdir.
Və ya cəbri formada:

Sonuncu növ problemlərə çoxlu sayda problemlər daxildir və onların həlli üçün ümumi üsullar yoxdur. Belə bir tapşırığın sadə bir nümunəsini verək:

Məbləği tapın günah(x) + günah(2x) + günah(2x) + … + günah(nx).

Bu məsələnin tərtibi mürəkkəb ədədləri əhatə etməsə də, onların köməyi ilə asanlıqla həll edilə bilər. Bunu həll etmək üçün aşağıdakı təsvirlərdən istifadə olunur:


İndi bu təsviri cəmi ilə əvəz etsək, problem adi həndəsi irəliləyişin cəmlənməsinə qədər azalır.

Nəticə

Mürəkkəb ədədlər riyaziyyatda geniş istifadə olunur, bu icmal məqaləsində kompleks ədədlər üzərində əsas əməliyyatlar araşdırılmış, bir neçə növ standart məsələ təsvir edilmiş və qısa təsvir edilmişdir. ümumi üsullar onların həlləri, mürəkkəb ədədlərin imkanlarını daha ətraflı öyrənmək üçün xüsusi ədəbiyyatdan istifadə etmək tövsiyə olunur.

Ədəbiyyat

Tənliklərdən istifadə həyatımızda geniş yayılmışdır. Onlar bir çox hesablamalarda, strukturların tikintisində və hətta idmanda istifadə olunur. İnsan qədim zamanlarda tənliklərdən istifadə edirdi və o vaxtdan bəri onların istifadəsi yalnız artmışdır. Aydınlıq üçün aşağıdakı problemi həll edək:

Əgər \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] hesablayın

Əvvəlcə bir ədədin cəbri, digərinin isə triqonometrik formada təqdim olunmasına diqqət yetirək. Onu sadələşdirmək və aşağıdakı formaya gətirmək lazımdır

\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]

\ ifadəsi deyir ki, ilk növbədə Moivre düsturundan istifadə edərək vurma və 10-cu dərəcəyə yüksəltmə edirik. Bu düstur kompleks ədədin triqonometrik forması üçün tərtib edilmişdir. Biz əldə edirik:

\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]

\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]

Triqonometrik formada mürəkkəb ədədləri vurma qaydalarına əməl edərək aşağıdakıları edirik:

Bizim vəziyyətimizdə:

\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]

\[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] kəsrini düzgün etməklə belə nəticəyə gəlirik ki, 4 döngəni \[(8\pi rad.) “bura” bilərik: \]

\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3) ))\]

Cavab: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]

Bu tənliyi başqa bir şəkildə həll etmək olar, bu da 2-ci ədədi cəbri formaya gətirmək, sonra cəbri formada vurma yerinə yetirmək, nəticəni triqonometrik formaya çevirmək və Moivre düsturunu tətbiq etməkdən ibarətdir:

Mürəkkəb ədədləri olan tənliklər sistemini onlayn olaraq harada həll edə bilərəm?

Tənliklər sistemini https://site saytımızda həll edə bilərsiniz. Pulsuz onlayn həlledici hər hansı bir mürəkkəbliyin onlayn tənliklərini bir neçə saniyə ərzində həll etməyə imkan verəcəkdir. Etməli olduğunuz şey sadəcə məlumatlarınızı həllediciyə daxil etməkdir. Siz həmçinin veb saytımızda video təlimatlarına baxa və tənliyi necə həll edəcəyinizi öyrənə bilərsiniz. Hələ suallarınız varsa, onları VKontakte qrupumuzda http://vk.com/pocketteacher soruşa bilərsiniz. Qrupumuza qoşulun, sizə kömək etməkdən hər zaman şad olarıq.