Gəlin nəzərdən keçirək xətti cəbri tənliklər sistemi(SLAU) nisbətən n naməlum x 1 , x 2 , ..., x n :
Bu sistem “yıxılmış” formada aşağıdakı kimi yazıla bilər:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
Matris vurma qaydasına uyğun olaraq, baxılan sistem xətti tənliklər-də yazmaq olar matris forması balta=b, Harada
,
,.
Matris A, sütunları müvafiq naməlumlar üçün əmsallar, cərgələri isə uyğun tənlikdə naməlumlar üçün əmsallar adlanır. sistemin matrisi. Sütun matrisi b, elementləri sistemin tənliklərinin sağ tərəfləri olan, sağ tərəf matrisi və ya sadəcə olaraq adlanır. sistemin sağ tərəfi. Sütun matrisi x elementləri naməlum bilinməyənlər adlanır sistem həlli.
şəklində yazılmış xətti cəbri tənliklər sistemi balta=b, edir matris tənliyi.
Əgər sistem matrisi degenerativ olmayan, onda o var tərs matris və sonra sistemin həlli balta=b düsturla verilir:
x=A -1 b.
Misal Sistemi həll edin 
matris üsulu.
Həll sistemin əmsal matrisi üçün tərs matrisi tapaq
Birinci sətir boyunca genişləndirməklə determinantı hesablayaq:
Çünki Δ ≠ 0 , Bu A -1 mövcuddur.
Tərs matris düzgün tapıldı.
Gəlin sistemin həllini tapaq 
Beləliklə, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
İmtahan: 
7. Xətti cəbri tənliklər sisteminin uyğunluğu haqqında Kroneker-Kapelli teoremi.
Xətti tənliklər sistemi formaya malikdir:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Burada a i j və b i (i = ; j = ) verilmiş, x j isə naməlum həqiqi ədədlərdir. Matrislərin hasil anlayışından istifadə edərək (5.1) sistemini aşağıdakı formada yenidən yaza bilərik:
burada A = (a i j) sistemin (5.1) naməlumları üçün əmsallardan ibarət matrisdir. sistemin matrisi, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T müvafiq olaraq x j naməlumlardan və b i sərbəst həddlərindən ibarət sütun vektorlarıdır.
Sifarişli kolleksiya n həqiqi ədədlər (c 1 , c 2 ,..., c n) çağırılır sistem həlli(5.1), əgər bu ədədlərin x 1, x 2,..., x n uyğun dəyişənlərinin yerinə əvəz edilməsi nəticəsində sistemin hər bir tənliyi hesab eyniliyinə çevrilirsə; başqa sözlə, C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T vektoru varsa elə AC B.
Sistem (5.1) çağırılır birgə, və ya həll oluna bilən,ən azı bir həlli varsa. Sistem deyilir uyğunsuz, və ya həll olunmaz, heç bir həll yolu yoxdursa.
,
A matrisinin sağına sərbəst şərtlər sütununun təyin edilməsi ilə əmələ gələn adlanır sistemin genişləndirilmiş matrisi.
(5.1) sisteminin uyğunluğu məsələsi aşağıdakı teoremlə həll edilir.
Kroneker-Kapelli teoremi . Xətti tənliklər sistemi o zaman uyğundur ki, A vəA matrislərinin dərəcələri üst-üstə düşsün, yəni. r(A) = r(A) = r.
(5.1) sisteminin M həllər çoxluğu üçün üç imkan var:
1) M = (bu halda sistem uyğunsuzdur);
2) M bir elementdən ibarətdir, yəni. sistemin unikal həlli var (bu halda sistem çağırılır müəyyən);
3) M birdən çox elementdən ibarətdir (sonra sistem çağırılır qeyri-müəyyən). Üçüncü halda (5.1) sistemin sonsuz sayda həlli var.
Sistemin unikal həlli yalnız r(A) = n olduqda olur. Bu halda tənliklərin sayı naməlumların sayından (mn) az deyil; m>n olarsa, onda m-n tənlikləri başqalarının nəticələridir. Əgər 0 Xətti tənliklərin ixtiyari sistemini həll etmək üçün tənliklərin sayı bilinməyənlərin sayına bərabər olan sistemləri həll etməyi bacarmalısınız - sözdə Kramer tipli sistemlər: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Sistemlər (5.3) aşağıdakı üsullardan biri ilə həll edilir: 1) Qauss üsulu və ya naməlumların aradan qaldırılması üsulu; 2) Kramer düsturlarına görə; 3) matris üsulu. Misal 2.12. Tənliklər sistemini araşdırın və uyğun olduqda onu həll edin: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Həll. Sistemin genişləndirilmiş matrisini yazırıq:
Sistemin əsas matrisinin dərəcəsini hesablayaq. Aydındır ki, məsələn, yuxarı sol küncdəki ikinci dərəcəli minor = 7 0; onu ehtiva edən üçüncü dərəcəli azyaşlılar sıfıra bərabərdir: Nəticədə, sistemin əsas matrisinin dərəcəsi 2-dir, yəni. r(A) = 2. Genişləndirilmiş A matrisinin dərəcəsini hesablamaq üçün sərhəd olan minoru nəzərə alın. bu o deməkdir ki, genişləndirilmiş matrisin dərəcəsi r(A) = 3. r(A) r(A) olduğundan sistem uyğunsuzdur. Birinci hissədə bəzi nəzəri materiala, əvəzetmə metoduna, həmçinin sistem tənliklərinin müddət üzrə əlavə edilməsi metoduna baxdıq. Bu səhifə vasitəsilə sayta daxil olan hər kəsə birinci hissəni oxumağı tövsiyə edirəm. Bəlkə də bəzi ziyarətçilər materialı çox sadə tapacaqlar, lakin xətti tənliklər sistemlərinin həlli prosesində mən ümumilikdə riyazi problemlərin həlli ilə bağlı bir sıra çox vacib şərhlər və nəticələr verdim. İndi biz Cramer qaydasını təhlil edəcəyik, həmçinin tərs matrisdən (matris üsulu) istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edəcəyik. Bütün materiallar sadə, ətraflı və aydın şəkildə təqdim olunur, demək olar ki, bütün oxucular yuxarıda göstərilən üsullardan istifadə edərək sistemləri necə həll edəcəyini öyrənə biləcəklər. Əvvəlcə iki naməlumda iki xətti tənlik sistemi üçün Kramer qaydasına daha yaxından nəzər salacağıq. Nə üçün? – Axı ən sadə sistemi məktəb metodu, müddətli dövr əlavə etmə üsulu ilə həll etmək olar! Məsələ burasındadır ki, bəzən də olsa belə bir vəzifə baş verir - Kramer düsturlarından istifadə edərək iki naməlumlu iki xətti tənlik sistemini həll etmək. İkincisi, daha sadə bir nümunə Kramer qaydasını daha mürəkkəb bir vəziyyət üçün - üç naməlum olan üç tənlik sistemi üçün necə istifadə edəcəyinizi başa düşməyə kömək edəcəkdir. Bundan əlavə, iki dəyişənli xətti tənliklər sistemləri var ki, onları Kramer qaydasından istifadə etməklə həll etmək məsləhətdir! Tənliklər sistemini nəzərdən keçirin İlk addımda determinantı hesablayırıq, ona deyilir sistemin əsas determinantıdır. Gauss üsulu. Əgər , onda sistemin unikal həlli var və kökləri tapmaq üçün daha iki təyinedicini hesablamalıyıq: Təcrübədə yuxarıdakı seçmələr latın hərfi ilə də işarələnə bilər. Düsturlardan istifadə edərək tənliyin köklərini tapırıq: Misal 7 Xətti tənliklər sistemini həll edin Həll: Tənliyin əmsallarının kifayət qədər böyük olduğunu görürük, sağ tərəfdə vergüllə onluq kəsrlər var; Vergül riyaziyyatda praktiki tapşırıqlarda olduqca nadir qonaqdır, mən bu sistemi ekonometrik problemdən götürmüşəm; Belə bir sistemi necə həll etmək olar? Bir dəyişəni digəri ilə ifadə etməyə cəhd edə bilərsiniz, lakin bu halda, çox güman ki, işləmək üçün son dərəcə əlverişsiz olan dəhşətli fantaziya fraksiyaları ilə nəticələnəcəksiniz və həllin dizaynı sadəcə dəhşətli görünəcəkdir. Siz ikinci tənliyi 6-ya vura və termini müddətli çıxara bilərsiniz, lakin burada da eyni kəsrlər yaranacaq. Nə etməli? Belə hallarda Kramerin düsturları köməyə gəlir. ; ; Cavab verin: , Hər iki kök sonsuz quyruğa malikdir və təqribən tapılır ki, bu da ekonometrika problemləri üçün olduqca məqbuldur (hətta adi haldır). Burada şərhlərə ehtiyac yoxdur, çünki tapşırıq hazır düsturlardan istifadə etməklə həll olunur, lakin bir xəbərdarlıq var. Bu üsuldan istifadə edərkən, məcburi Tapşırıq dizaynının bir hissəsi aşağıdakı fraqmentdir: “Bu o deməkdir ki, sistemin unikal həlli var”. Əks halda, rəyçi sizi Kramer teoreminə hörmətsizliyə görə cəzalandıra bilər. Kalkulyatorda rahatlıqla həyata keçirilə bilən yoxlamaq artıq olmaz: sistemin hər bir tənliyinin sol tərəfində təxmini dəyərləri əvəz edirik. Nəticədə, kiçik bir səhvlə, sağ tərəflərdə olan nömrələri almalısınız. Misal 8 Cavabı adi düzgün kəsrlərlə təqdim edin. Çek edin. Bu, özünüz həll etməyiniz üçün bir nümunədir (son dizayn nümunəsi və dərsin sonunda cavab). Üç naməlum olan üç tənlik sistemi üçün Kramer qaydasını nəzərdən keçirək: Sistemin əsas determinantını tapırıq: Əgər , onda sistemin sonsuz sayda həlli var və ya uyğunsuzdur (həllləri yoxdur). Bu vəziyyətdə Cramer qaydası kömək etməyəcək, Gauss metodundan istifadə etməlisiniz. Əgər , onda sistemin unikal həlli var və kökləri tapmaq üçün daha üç təyinedicini hesablamalıyıq: Və nəhayət, cavab düsturlardan istifadə edərək hesablanır: Gördüyünüz kimi, “üç-üç” halı “iki-iki” halından prinsipial olaraq fərqlənmir; Misal 9 Cramer düsturlarından istifadə edərək sistemi həll edin. Həll: Gəlin sistemi Kramer düsturlarından istifadə edərək həll edək. Cavab verin: Əslində, burada yenə də şərh etmək üçün xüsusi bir şey yoxdur, çünki həll hazır formullara uyğundur. Ancaq bir neçə şərh var. Belə olur ki, hesablamalar nəticəsində “pis” azaldılmayan fraksiyalar alınır, məsələn: . 1) Hesablamalarda xəta ola bilər. "Pis" fraksiya ilə qarşılaşan kimi dərhal yoxlamaq lazımdır Şərt düzgün şəkildə yenidən yazılıbmı?. Şərt səhvsiz yenidən yazılıbsa, o zaman başqa sətirdə (sütun) genişləndirmədən istifadə edərək determinantları yenidən hesablamalısınız. 2) Yoxlama nəticəsində heç bir səhv müəyyən edilmədikdə, çox güman ki, tapşırıq şərtlərində bir yazı səhvi var idi. Bu vəziyyətdə, sakit və DİQQƏTLİ şəkildə tapşırığı sona qədər işləyin, sonra yoxlamağınızdan əmin olun və qərardan sonra onu təmiz vərəqdə tərtib edirik. Əlbəttə ki, kəsrli cavabı yoxlamaq xoşagəlməz bir işdir, lakin bu, kimi hər hansı bir boşboğazlıq üçün minus verməyi həqiqətən sevən müəllim üçün tərksilahedici bir arqument olacaq. Kəsrləri necə idarə etmək 8-ci nümunənin cavabında ətraflı təsvir edilmişdir. Əlinizdə bir kompüteriniz varsa, yoxlamaq üçün dərsin əvvəlində pulsuz yüklənə bilən avtomatlaşdırılmış proqramdan istifadə edin. Yeri gəlmişkən, proqramı dərhal istifadə etmək ən sərfəlidir (həll etməyə başlamazdan əvvəl səhv etdiyiniz aralıq addımı dərhal görəcəksiniz); Eyni kalkulyator matris metodundan istifadə edərək sistemin həllini avtomatik olaraq hesablayır. İkinci qeyd. Zaman zaman tənliklərində bəzi dəyişənlərin çatışmadığı sistemlər var, məsələn: Misal 10 Cramer düsturlarından istifadə edərək sistemi həll edin. Bu müstəqil həll üçün bir nümunədir (yekun dizayn nümunəsi və dərsin sonunda cavab). 4 naməlumlu 4 tənlik sistemi üçün Kramer düsturları oxşar prinsiplərə əsasən yazılır. Müəyyənedicilərin xassələri dərsində canlı nümunə ilə tanış ola bilərsiniz. Determinantın sırasının azaldılması - beş 4-cü dərəcəli determinant kifayət qədər həll olunur. Baxmayaraq ki, tapşırıq artıq şanslı bir tələbənin sinəsində professor ayaqqabısını xatırladır. Tərs matris metodu mahiyyətcə xüsusi haldır matris tənliyi(Göstərilən dərsin 3 nömrəli nümunəsinə baxın). Bu bölməni öyrənmək üçün determinantları genişləndirməyi, matrisin tərsini tapmağı və matrisə vurmağı bacarmalısınız. İzahatlar irəlilədikcə müvafiq linklər veriləcək. Misal 11 Sistemi matris metodundan istifadə edərək həll edin Həll: Sistemi matris şəklində yazaq: Zəhmət olmasa tənliklər və matrislər sisteminə baxın. Məncə, hər kəs elementləri matrislərə yazmaq prinsipini başa düşür. Yeganə şərh: əgər tənliklərdə bəzi dəyişənlər yoxdursa, onda matrisin müvafiq yerlərində sıfırlar qoyulmalı idi. Düsturdan istifadə edərək tərs matrisi tapırıq: Əvvəlcə determinantı nəzərdən keçirək: Burada determinant birinci sətirdə genişlənir. Diqqət! Əgər olarsa, onda tərs matris yoxdur və sistemi matris üsulu ilə həll etmək mümkün deyil. Bu zaman sistem naməlumların aradan qaldırılması üsulu ilə həll edilir (Qauss üsulu). İndi biz 9 azyaşlı hesablayıb onları kiçiklər matrisinə yazmalıyıq İstinad: Xətti cəbrdə qoşa alt işarələrin mənasını bilmək faydalıdır. Birinci rəqəm elementin yerləşdiyi sətrin nömrəsidir. İkinci rəqəm elementin yerləşdiyi sütunun nömrəsidir: n-ci dərəcəli kvadrat matrisa olsun A -1 matrisi adlanır tərs matris A matrisinə münasibətdə, əgər A*A -1 = E olarsa, burada E n-ci sıranın eynilik matrisidir. Şəxsiyyət matrisi- elə bir kvadrat matrisdir ki, burada əsas diaqonal boyunca yuxarı sol küncdən aşağı sağ küncə keçən bütün elementlər birdir, qalanları isə sıfırdır, məsələn: tərs matris mövcud ola bilər yalnız kvadrat matrislər üçün olanlar. sətirlərin və sütunların sayının üst-üstə düşdüyü matrislər üçün. Bir matrisin tərs matrisə malik olması üçün onun qeyri-tək olması zəruri və kifayətdir. A = (A1, A2,...A n) matrisi adlanır qeyri-degenerativ, əgər sütun vektorları xətti müstəqildirsə. Bir matrisin xətti müstəqil sütun vektorlarının sayı matrisin rütbəsi adlanır. Buna görə də deyə bilərik ki, tərs matrisin mövcud olması üçün matrisin dərəcəsinin ölçüsünə bərabər olması zəruri və kifayətdir, yəni. r = n. A matrisi üçün tərs A matrisini -1 tapın Həlli: A matrisini yazırıq və İordan çevrilmələrindən istifadə edərək A matrisini E eynilik matrisinə endiririk. İlkin A matrisini və tərs A matrisini -1-ə vuraraq hesablamaların düzgünlüyünü yoxlayaq. Matrislərin vurulması nəticəsində eynilik matrisi alındı. Ona görə də hesablamalar düzgün aparılıb. Cavab: Matris tənlikləri belə görünə bilər: AX = B, HA = B, AXB = C, burada A, B, C müəyyən edilmiş matrislər, X arzu olunan matrisdir. Matris tənlikləri tənliyi tərs matrislərə vurmaqla həll edilir.
Məsələn, tənlikdən matrisi tapmaq üçün bu tənliyi sol tərəfə vurmaq lazımdır. Buna görə də, tənliyin həllini tapmaq üçün tərs matrisi tapmaq və onu tənliyin sağ tərəfindəki matrisə vurmaq lazımdır. Digər tənliklər də eyni şəkildə həll edilir. Əgər AX = B tənliyini həll edin Həll: Tərs matris bərabər olduğundan (misal 1-ə baxın) Başqaları ilə yanaşı, onlar da istifadə olunur matris üsulları. Bu üsullar xətti və vektor-matris cəbrinə əsaslanır. Belə üsullar mürəkkəb və çoxölçülü iqtisadi hadisələrin təhlili məqsədləri üçün istifadə olunur. Çox vaxt bu üsullar təşkilatların və onların struktur bölmələrinin fəaliyyətini müqayisəli qiymətləndirmək lazım olduqda istifadə olunur. Matris təhlili üsullarının tətbiqi prosesində bir neçə mərhələni ayırmaq olar. Birinci mərhələdə iqtisadi göstəricilər sistemi formalaşdırılır və onun əsasında ilkin məlumatların matrisi tərtib edilir ki, bu da sistem nömrələrinin fərdi sətirlərində göstərildiyi cədvəldir. (i = 1,2,.....,n), və şaquli sütunlarda - göstəricilərin nömrələri (j = 1,2,.....,m). İkinci mərhələdə Hər bir şaquli sütun üçün mövcud göstərici dəyərlərindən ən böyüyü müəyyən edilir, bu da bir kimi alınır. Bundan sonra, bu sütunda əks olunan bütün məbləğlər ən böyük dəyərə bölünür və standartlaşdırılmış əmsalların matrisi formalaşır. Üçüncü mərhələdə matrisin bütün komponentləri kvadratdır. Əgər onlar fərqli əhəmiyyətə malikdirlərsə, onda hər bir matris göstəricisinə müəyyən çəki əmsalı verilir k. Sonuncunun dəyəri ekspert rəyi ilə müəyyən edilir. Sonuncuda, dördüncü mərhələ reytinq dəyərləri tapıldı Rj artım və ya azalma sırasına görə qruplaşdırılır. Göstərilən matris üsulları, məsələn, müxtəlif investisiya layihələrinin müqayisəli təhlilində, habelə təşkilatların fəaliyyətinin digər iqtisadi göstəricilərinin qiymətləndirilməsində istifadə edilməlidir. (bəzən bu üsula matris metodu və ya tərs matris metodu da deyilir) SLAE-nin qeydinin matris forması kimi anlayışla ilkin tanışlığı tələb edir. Tərs matris metodu, sistem matrisinin determinantının sıfırdan fərqli olduğu xətti cəbri tənliklər sistemlərinin həlli üçün nəzərdə tutulmuşdur. Təbii ki, bu, sistemin matrisinin kvadrat olmasını nəzərdə tutur (determinant anlayışı yalnız kvadrat matrislər üçün mövcuddur). Tərs matris metodunun mahiyyəti üç nöqtədə ifadə edilə bilər: İstənilən SLAE matris şəklində $A\cdot X=B$ kimi yazıla bilər, burada $A$ sistemin matrisidir, $B$ sərbəst şərtlər matrisidir, $X$ naməlumlar matrisidir. $A^(-1)$ matrisi mövcud olsun. $A\cdot X=B$ bərabərliyinin hər iki tərəfini soldakı $A^(-1)$ matrisinə vuraq: $$A^(-1)\cdot A\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ $A^(-1)\cdot A=E$ olduğundan ($E$ eynilik matrisidir), yuxarıda yazılmış bərabərlik belə olur: $$E\cdot X=A^(-1)\cdot B.$$ $E\cdot X=X$ olduğundan, onda: $$X=A^(-1)\cdot B.$$ Nümunə №1 SLAE $ \left \( \begin(aligned) & -5x_1+7x_2=29;\\ & 9x_1+8x_2=-11. \end(aligned) \right.$ həllini tərs matrisdən istifadə edərək həll edin. $$ A=\left(\begin(massiv) (cc) -5 & 7\\ 9 & 8 \end(massiv)\sağ);\; B=\left(\begin(massiv) (c) 29\\ -11 \end(massiv)\sağ);\; X=\left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \end(massiv)\sağ). $$ Sistem matrisinə tərs matrisi tapaq, yəni. Gəlin $A^(-1)$ hesablayaq. 2 nömrəli misalda $$ A^(-1)=-\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(massiv)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(massiv)\sağ) . $$ İndi gəlin hər üç matrisi ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ bərabərliyinə əvəz edək. Sonra matris vurma həyata keçiririk $$ \left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \end(massiv)\sağ)= -\frac(1)(103)\cdot\left(\begin(massiv)(cc) 8 & -7\\ -9 & -5\end(massiv)\sağ)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 29\\ -11 \end(massiv)\sağ)=\\ =-\frac (1)(103)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 8\cdot 29+(-7)\cdot (-11)\\ -9\cdot 29+(-5)\cdot (- 11) \end(massiv)\sağ)= -\frac(1)(103)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 309\\ -206 \end(massiv)\sağ)=\left( \begin(massiv) (c) -3\\ 2\end(massiv)\sağ). $$ Beləliklə, $\left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \end(massiv)\right)=\left(\begin(massiv) (c) -3\\ 2\end() bərabərliyini əldə etdik. massiv )\sağ)$. Bu bərabərlikdən əldə edirik: $x_1=-3$, $x_2=2$. Cavab verin: $x_1=-3$, $x_2=2$. Nümunə № 2 SLAE $ \left\(\begin(aligned) & x_1+7x_2+3x_3=-1;\\ & -4x_1+9x_2+4x_3=0;\\ & 3x_2+2x_3=6) həll edin. \end(aligned)\right .$ tərs matris metodundan istifadə etməklə. $A$ sisteminin matrisini, $B$ sərbəst şərtlər matrisini və $X$ naməlumlar matrisini yazaq. $$ A=\left(\begin(massiv) (ccc) 1 & 7 & 3\\ -4 & 9 & 4 \\0 & 3 & 2\end(massiv)\sağ);\; B=\left(\begin(massiv) (c) -1\\0\\6\end(massiv)\sağ);\; X=\left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(massiv)\sağ). $$ İndi növbə sistem matrisinin tərs matrisini tapmaqdır, yəni. $A^(-1)$ tapın. Tərs matrislərin tapılmasına həsr olunmuş səhifədəki 3 nömrəli misalda tərs matris artıq tapılıb. Hazır nəticədən istifadə edək və $A^(-1)$ yazaq: $$ A^(-1)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37\end(massiv)\sağ). $$ İndi gəlin hər üç matrisi ($X$, $A^(-1)$, $B$) $X=A^(-1)\cdot B$ bərabərliyinə əvəz edək və sonra sağ tərəfdə matrisa vurma əməliyyatını yerinə yetirək. bu bərabərlikdən. $$ \left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(massiv)\sağ)= \frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37\end(massiv) \sağ)\cdot \left(\begin(massiv) (c) -1\\0\ \6\end(massiv)\sağ)=\\ =\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 6\cdot(-1)+(-5)\cdot 0 +1\cdot 6 \\ 8\cdot (-1)+2\cdot 0+(-16)\cdot 6 \\ -12\cdot (-1)+(-3)\cdot 0+37\cdot 6 \end(massiv)\sağ)=\frac(1)(26)\cdot \left(\begin(massiv) (c) 0\\-104\\234\end(massiv)\sağ)=\left( \begin(massiv) (c) 0\\-4\\9\end(massiv)\sağ) $$ Beləliklə, $\left(\begin(massiv) (c) x_1\\ x_2 \\ x_3 \end(massiv)\right)=\left(\begin(massiv) (c) 0\\-4 bərabərliyini əldə etdik. \ \9\end(massiv)\sağ)$. Bu bərabərlikdən əldə edirik: $x_1=0$, $x_2=-4$, $x_3=9$. Bu, matrislərlə yerinə yetirilən bütün mümkün əməliyyatları ümumiləşdirən anlayışdır. Riyazi matris - elementlər cədvəli. Bir masa haqqında harada m xətlər və n sütunlar, bu matrisin ölçüsünə sahib olduğu deyilir m haqqında n. Matrisin ümumi görünüşü: üçün matris həlləri matrisin nə olduğunu başa düşmək və onun əsas parametrlərini bilmək lazımdır. Matrisin əsas elementləri: Matrislərin əsas növləri: Matris əsas və ikinci dərəcəli diaqonallara görə simmetrik ola bilər. Yəni əgər a 12 = a 21, a 13 =a 31,….a 23 =a 32…. a m-1n =a mn-1, onda matris əsas diaqonala görə simmetrikdir. Yalnız kvadrat matrislər simmetrik ola bilər. Demək olar ki, hamısı matrisin həlli üsulları onun təyinedicisini tapmaqdan ibarətdir n-ci sifariş və onların əksəriyyəti olduqca ağırdır. 2-ci və 3-cü dərəcəli determinantı tapmaq üçün başqa, daha rasional üsullar var. Matrisin determinantını hesablamaq üçün A 2-ci qaydada, əsas diaqonalın elementlərinin hasilindən ikinci dərəcəli diaqonalın elementlərinin məhsulunu çıxarmaq lazımdır: Aşağıda 3-cü dərəcəli determinantı tapmaq qaydaları verilmişdir. Üçbucağın sadələşdirilmiş qaydası matrisin həlli üsulları, bu şəkildə təsvir edilə bilər: Başqa sözlə, birinci təyinedicidə düz xətlərlə bağlanan elementlərin hasili “+” işarəsi ilə alınır; Həmçinin, 2-ci təyinedici üçün müvafiq məhsullar “-” işarəsi ilə, yəni aşağıdakı sxemə uyğun olaraq alınır: At Sarrus qaydasından istifadə edərək matrislərin həlli, determinantın sağında ilk 2 sütunu əlavə edin və əsas diaqonalda və ona paralel olan diaqonallarda müvafiq elementlərin hasilləri “+” işarəsi ilə alınır; ikinci dərəcəli diaqonalın müvafiq elementlərinin və ona paralel olan diaqonalların hasilləri “-” işarəsi ilə: Matrislərin həlli zamanı müəyyənedicinin sətir və ya sütunda parçalanması. Determinant determinantın cərgəsinin elementlərinin hasillərinin və onların cəbri tamamlamalarının cəminə bərabərdir. Adətən sıfırları ehtiva edən sətir/sütun seçilir. Parçalanmanın aparıldığı cərgə və ya sütun oxla göstəriləcək. Matrisləri həll edərkən determinantın üçbucaq formasına endirilməsi. At matrislərin həlli determinantı üçbucaqlı formaya endirmə üsulu, onlar belə işləyirlər: sətir və ya sütunlarda ən sadə çevrilmələrdən istifadə edərək, determinant formada üçbucaqlı olur və sonra determinantın xüsusiyyətlərinə uyğun olaraq onun dəyəri məhsula bərabər olacaqdır. əsas diaqonalda olan elementlərin. Matrislərin həlli üçün Laplas teoremi. Laplas teoremindən istifadə edərək matrisləri həll edərkən teoremin özünü bilmək lazımdır. Laplas teoremi: Qoy Δ
- bu müəyyənedicidir n-ci sifariş. Hər hansı birini seçirik k sətirlər (və ya sütunlar) təmin edilir k≤
n - 1. Bu halda, bütün yetkinlik yaşına çatmayanların məhsullarının cəmi k-seçilmiş sifarişdə var k sətirlər (sütunlar), cəbri tamamlamalarına görə təyinediciyə bərabər olacaqdır. Üçün hərəkətlərin ardıcıllığı tərs matris həlləri: üçün matris sistemlərinin həlləri Qauss metodu ən çox istifadə olunur. Gauss metodu xətti cəbri tənliklər sistemlərinin (SLAE) həlli üçün standart bir üsuldur və dəyişənlərin ardıcıl olaraq aradan qaldırılmasından, yəni elementar dəyişikliklərin köməyi ilə tənliklər sisteminin ekvivalent üçbucaqlı sistemə gətirilməsindən ibarətdir. forma və ondan ardıcıl olaraq sonuncudan başlayaraq (nömrə görə) sistemin hər bir elementini tapın. Gauss üsulu matris həllərini tapmaq üçün ən çox yönlü və ən yaxşı vasitədir. Əgər sistemin sonsuz sayda həlli varsa və ya sistem uyğun gəlmirsə, o zaman onu Kramer qaydası və matris metodu ilə həll etmək olmaz. Gauss metodu həmçinin birbaşa (genişlənmiş matrisin pilləli formaya endirilməsi, yəni əsas diaqonalın altında sıfırların əldə edilməsi) və əks (genişlənmiş matrisin əsas diaqonalından yuxarı sıfırların əldə edilməsi) hərəkətləri nəzərdə tutur. İrəli hərəkət Gauss üsulu, əks hərəkət Qauss-Jordan üsuludur. Gauss-Jordan metodu Gauss metodundan yalnız dəyişənlərin aradan qaldırılması ardıcıllığına görə fərqlənir.
.
Və
, 
, 
, 
, yəni sistemin unikal həlli var.
.
Aşağıdakı “müalicə” alqoritmini tövsiyə edirəm. Əlinizdə kompüter yoxdursa, bunu edin:
Burada birinci tənlikdə dəyişən yoxdur, ikincidə isə dəyişən yoxdur. Belə hallarda əsas determinantı düzgün və DİQQƏTLİ yazmaq çox vacibdir: 
– çatışmayan dəyişənlərin yerinə sıfırlar qoyulur.
Yeri gəlmişkən, nəzərəçarpacaq dərəcədə az hesablamalar olduğundan, sıfırın yerləşdiyi cərgəyə (sütun) uyğun olaraq sıfırlarla təyinediciləri açmaq rasionaldır.
Tərs matrisdən istifadə edərək sistemin həlli
, Harada 
, burada matrisin müvafiq elementlərinin cəbri tamamlamalarının köçürülmüş matrisi.
Yəni, qoşa alt işarə elementin birinci cərgədə, üçüncü sütunda və məsələn, elementin 3 sıra, 2 sütunda olduğunu göstərir.
Tərs matrisin mövcudluq şərti üçün teorem
Tərs matrisin tapılması alqoritmi
Misal 1 
Matris tənliklərinin həlli
İqtisadi təhlildə matris metodu
Matrislərin həlli üsulları.
2-ci dərəcəli determinantların tapılması.
3-cü dərəcəli determinantların tapılması üsulları.
Tərs matrisin həlli.
Matris sistemlərinin həlli.
