Matris üsulu SLAU həlləri tənliklərin sayı naməlumların sayına uyğun gələn tənliklər sistemlərinin həllinə tətbiq edilir. Metod aşağı səviyyəli sistemləri həll etmək üçün ən yaxşı şəkildə istifadə olunur. Xətti tənliklər sistemlərinin həlli üçün matris üsulu matrisin vurulmasının xassələrinin tətbiqinə əsaslanır.
Bu üsul, başqa sözlə tərs matris metodu, belə adlanır, çünki həll adi matris tənliyinə endirilir, onu həll etmək üçün tərs matrisi tapmaq lazımdır.
Matris həll üsulu Sıfırdan böyük və ya kiçik olan determinantlı SLAE aşağıdakı kimidir:
Fərz edək ki, SLE (xətti tənliklər sistemi) var n naməlum (ixtiyari bir sahədə):
Bu o deməkdir ki, onu asanlıqla matris formasına çevirmək olar:
AX=B, Harada A- sistemin əsas matrisi, B Və X— müvafiq olaraq sistemin sərbəst şərtləri və həllər sütunları:
Bu matris tənliyini soldan vuraq A−1— matrisa tərs A: A −1 (AX)=A −1 B.
Çünki A −1 A=E, Vasitələri, X=A −1 B. Sağ hissə tənlik həllər sütununu verir ilkin sistem. Matris metodunun tətbiqi şərti matrisin degenerasiyaya uğramamasıdır A. Lazım olan və kifayət qədər şərait bu o deməkdir ki, matrisin determinantı sıfıra bərabər deyil A:
deA≠0.
üçün xətti tənliklərin homojen sistemi, yəni. vektor olarsa B=0, əks qayda var: sistem AX=0 yalnız olduqda qeyri-trivial (yəni sıfıra bərabər olmayan) həll var detA=0. Bircins və qeyri-homogen xətti tənlik sistemlərinin həlləri arasındakı bu əlaqə deyilir Fredholm alternativi.
Beləliklə, SLAE-nin həlli matris üsulu formuluna uyğun olaraq istehsal olunur 
. Və ya SLAE-nin həlli istifadə edərək tapılır tərs matris A−1.
Məlumdur ki, kvadrat matris üçün A sifariş n haqqında n var tərs matris A−1 yalnız onun təyinedicisi sıfırdan fərqli olduqda. Beləliklə, sistem n xətti cəbri tənliklər ilə n Naməlumları yalnız sistemin əsas matrisinin təyinedicisi sıfıra bərabər olmadıqda matris üsulu ilə həll edirik.
Bu metoddan istifadə imkanlarına məhdudiyyətlər olmasına və əmsalların və sistemlərin böyük dəyərləri üçün hesablama çətinliklərinin olmasına baxmayaraq yüksək sifariş, üsul kompüterdə asanlıqla həyata keçirilə bilər.
Qeyri-homogen SLAE-nin həlli nümunəsi.
Əvvəlcə naməlum SLAE-lərin əmsal matrisinin determinantının sıfıra bərabər olmadığını yoxlayaq.
İndi tapırıq birlik matrisi, onu köçürün və tərs matrisi müəyyən etmək üçün düsturla əvəz edin.
Dəyişənləri düsturla əvəz edin:
İndi tərs matrisi və sərbəst şərtlər sütununu vuraraq naməlumları tapırıq.
Belə ki, x=2; y=1; z=4.
SLAE-nin adi formasından matris formasına keçərkən sistemin tənliklərində naməlum dəyişənlərin sırasına diqqət yetirin. Misal üçün:
Bunu belə yazmaq OLMAZ:
Əvvəlcə sistemin hər bir tənliyində naməlum dəyişənləri sıralamaq lazımdır və yalnız bundan sonra matris qeydinə keçin:
Bundan əlavə, naməlum dəyişənlərin təyin edilməsində diqqətli olmalısınız x 1, x 2 , …, x n başqa hərflər ola bilər. Məs:
matris şəklində bunu belə yazırıq:
Sistemləri matris üsulu ilə həll etmək daha yaxşıdır xətti tənliklər, burada tənliklərin sayı naməlum dəyişənlərin sayı ilə üst-üstə düşür və sistemin əsas matrisinin determinantı sıfıra bərabər deyil. Sistemdə 3-dən çox tənlik olduqda, tərs matrisin tapılması daha çox hesablama zəhməti tələb edir, ona görə də bu halda həll üçün Qauss metodundan istifadə etmək məqsədəuyğundur.
Xidmətin məqsədi. Bu onlayn kalkulyatordan istifadə edərək naməlumlar (x 1, x 2, ..., x n) tənliklər sistemində hesablanır. Qərar icra olunur tərs matris üsulu. Burada:- A matrisinin təyinedicisi hesablanır;
- vasitəsilə cəbri əlavələr tərs A -1 matrisi tapılır;
- Excel-də həll şablonu yaradılır;
Təlimatlar. Tərs matris metodundan istifadə edərək həlli əldə etmək üçün matrisin ölçüsünü təyin etməlisiniz. Sonra, yeni dialoq qutusunda A matrisini və B nəticələrinin vektorunu doldurun.
Həmçinin baxın: Matris tənliklərinin həlli.Həll alqoritmi
- A matrisinin təyinedicisi hesablanır. Determinant sıfırdırsa, həll bitmişdir. Sistemin sonsuz sayda həlli var.
- Determinant sıfırdan fərqli olduqda, tərs A -1 matrisi cəbri əlavələr vasitəsilə tapılır.
- X =(x 1, x 2, ..., x n) həll vektoru tərs matrisi B nəticə vektoruna vurmaqla alınır.
Cəbri əlavələr.
| A 1,1 = (-1) 1+1 |
| ∆ 1,1 = (1 (-2)-0 2) = -2 |
| A 1,2 = (-1) 1+2 |
| ∆ 1,2 = -(3 (-2)-1 2) = 8 |
| A 1.3 = (-1) 1+3 |
| ∆ 1,3 = (3 0-1 1) = -1 |
| A 2,1 = (-1) 2+1 |
| ∆ 2,1 = -(-2 (-2)-0 1) = -4 |
| A 2,2 = (-1) 2+2 |
| ∆ 2,2 = (2 (-2)-1 1) = -5 |
| A 2,3 = (-1) 2+3 |
| ∆ 2,3 = -(2 0-1 (-2)) = -2 |
| A 3.1 = (-1) 3+1 |
| ∆ 3,1 = (-2 2-1 1) = -5 |
| 3 |
| -2 |
| -1 |
X T = (1,0,1)
x 1 = -21 / -21 = 1
x 2 = 0 / -21 = 0
x 3 = -21 / -21 = 1
İmtahan:
2 1+3 0+1 1 = 3
-2 1+1 0+0 1 = -2
1 1+2 0+-2 1 = -1
Tənliklərdən istifadə həyatımızda geniş yayılmışdır. Onlar bir çox hesablamalarda, strukturların tikintisində və hətta idmanda istifadə olunur. İnsanlar qədim zamanlarda tənliklərdən istifadə edirdilər və o vaxtdan bəri onların istifadəsi yalnız artmışdır. Matris metodu istənilən mürəkkəbliyin SLAE (xətti cəbri tənliklər sistemləri) üçün həllər tapmağa imkan verir. SLAE-lərin həlli prosesi iki əsas hərəkətə keçir:
Əsas matrisə əsasən tərs matrisin təyini:
Yaranan tərs matrisin həllərin sütun vektoruna vurulması.
Tutaq ki, bizə aşağıdakı formada SLAE verilmişdir:
\[\left\(\begin(matris) 5x_1 + 2x_2 & = & 7 \\ 2x_1 + x_2 & = & 9 \end(matris)\sağ.\]
Sistem matrisini yazmaqla bu tənliyi həll etməyə başlayaq:
Sağ tərəf matrisi:
Gəlin tərs matrisi təyin edək. 2-ci dərəcəli matrisi aşağıdakı kimi tapa bilərsiniz: 1 - matrisin özü qeyri-təkil olmalıdır; 2 - onun əsas diaqonalda olan elementləri dəyişdirilir və ikinci dərəcəli diaqonalın elementləri üçün işarəni əksinə dəyişirik, bundan sonra əldə edilən elementləri matrisin təyinedicisinə bölürük. Biz əldə edirik:
\[\begin(pmatrix) 7 \\ 9 \end(pmatrix)=\begin(pmatrix) -11 \\ 31 \end(pmatrix)\Sağ ox \begin(pmatrix) x_1 \\ x_2 \end(pmatrix) =\ başlanğıc (pmatrix) -11 \\ 31 \son (pmatrix) \]
2 matris, uyğun elementləri bərabər olduqda bərabər sayılır. Nəticədə, SLAE həlli üçün aşağıdakı cavabımız var:
Onlayn olaraq matris metodundan istifadə edərək tənliklər sistemini harada həll edə bilərəm?
Tənliklər sistemini saytımızda həll edə bilərsiniz. Pulsuz onlayn həlledici hər hansı bir mürəkkəbliyin onlayn tənliklərini bir neçə saniyə ərzində həll etməyə imkan verəcəkdir. Etməli olduğunuz şey sadəcə məlumatlarınızı həllediciyə daxil etməkdir. Tənliyi necə həll edəcəyinizi də saytımızda tapa bilərsiniz. Hələ suallarınız varsa, onları VKontakte qrupumuzda soruşa bilərsiniz.
Gəlin nəzərdən keçirək xətti cəbri tənliklər sistemi(SLAU) nisbətən n naməlum x 1 , x 2 , ..., x n :
Bu sistem "yıxılmış" formada aşağıdakı kimi yazıla bilər:
S n i=1 a ij x j = b i , i=1,2, ..., n.
Matris vurma qaydasına uyğun olaraq, nəzərdən keçirilən xətti tənliklər sistemi yazıla bilər matris forması balta=b, Harada
,
,.
Matris A, sütunları müvafiq naməlumlar üçün əmsallar, cərgələri isə uyğun tənlikdə naməlumlar üçün əmsallar adlanır. sistemin matrisi. Sütun matrisi b, elementləri sistemin tənliklərinin sağ tərəfləri olan, sağ tərəf matrisi və ya sadəcə olaraq adlanır. sistemin sağ tərəfi. Sütun matrisi x elementləri naməlum bilinməyənlər adlanır sistem həlli.
şəklində yazılmış xətti cəbri tənliklər sistemi balta=b, edir matris tənliyi.
Əgər sistem matrisi qeyri-degenerativ, onda onun tərs matrisi var və sistemin həlli belədir balta=b düsturla verilir:
x=A -1 b.
Misal Sistemi həll edin 
matris üsulu.
Həll sistemin əmsal matrisi üçün tərs matrisi tapaq
Birinci sətir boyunca genişləndirməklə determinantı hesablayaq:
Çünki Δ ≠ 0 , Bu A -1 mövcuddur.
Tərs matris düzgün tapıldı.
Gəlin sistemin həllini tapaq 
Beləliklə, x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 .
İmtahan: 
7. Xətti cəbri tənliklər sisteminin uyğunluğu haqqında Kroneker-Kapelli teoremi.
Xətti tənliklər sistemi formaya malikdir:
a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.1)
a m1 x 1 + a m1 x 2 +... + a mn x n = b m.
Burada a i j və b i (i = ; j = ) verilmiş, x j isə naməlum həqiqi ədədlərdir. Matrislərin məhsulu anlayışından istifadə edərək (5.1) sistemini aşağıdakı formada yenidən yaza bilərik:
burada A = (a i j) sistemin (5.1) naməlumları üçün əmsallardan ibarət matrisdir. sistemin matrisi, X = (x 1 , x 2 ,..., x n) T , B = (b 1 , b 2 ,..., b m) T müvafiq olaraq x j naməlumlardan və b i sərbəst həddlərindən ibarət sütun vektorlarıdır.
Sifarişli kolleksiya n həqiqi ədədlər (c 1 , c 2 ,..., c n) çağırılır sistem həlli(5.1), əgər bu ədədlərin x 1, x 2,..., x n uyğun dəyişənlərinin yerinə əvəz edilməsi nəticəsində sistemin hər bir tənliyi hesab eyniliyinə çevrilirsə; başqa sözlə, C= (c 1 , c 2 ,..., c n) T vektoru varsa elə AC B.
Sistem (5.1) çağırılır birgə, və ya həll oluna bilən,ən azı bir həlli varsa. Sistem deyilir uyğunsuz, və ya həll olunmaz, heç bir həll yolu yoxdursa.
,
sağdakı A matrisinə sərbəst şərtlər sütununun təyin edilməsi ilə əmələ gələn adlanır sistemin genişləndirilmiş matrisi.
(5.1) sisteminin uyğunluğu məsələsi aşağıdakı teoremlə həll edilir.
Kroneker-Kapelli teoremi . Xətti tənliklər sistemi o zaman uyğundur ki, A vəA matrislərinin dərəcələri üst-üstə düşsün, yəni. r(A) = r(A) = r.
(5.1) sisteminin M həllər çoxluğu üçün üç imkan var:
1) M = (bu halda sistem uyğunsuzdur);
2) M bir elementdən ibarətdir, yəni. sistemin unikal həlli var (bu halda sistem çağırılır müəyyən);
3) M birdən çox elementdən ibarətdir (sonra sistem çağırılır qeyri-müəyyən). Üçüncü halda (5.1) sistemin sonsuz sayda həlli var.
Sistemin unikal həlli yalnız r(A) = n olduqda olur. Bu zaman tənliklərin sayı naməlumların sayından (mn) az deyil; m>n olarsa, onda m-n tənlikləri başqalarının nəticələridir. Əgər 0 Xətti tənliklərin ixtiyari sistemini həll etmək üçün tənliklərin sayı bilinməyənlərin sayına bərabər olan sistemləri həll etməyi bacarmalısınız - sözdə Kramer tipli sistemlər: a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2, (5.3) ...
... ... ...
... ... a n1 x 1 + a n1 x 2 +... + a nn x n = b n . Sistemlər (5.3) aşağıdakı üsullardan biri ilə həll edilir: 1) Qauss üsulu və ya naməlumların aradan qaldırılması üsulu; 2) Kramer düsturlarına görə; 3) matris üsulu. Misal 2.12. Tənliklər sistemini araşdırın və uyğundursa, həll edin: 5x 1 - x 2 + 2x 3 + x 4 = 7, 2x 1 + x 2 + 4x 3 - 2x 4 = 1, x 1 - 3x 2 - 6x 3 + 5x 4 = 0. Həll. Sistemin genişləndirilmiş matrisini yazırıq:
Sistemin əsas matrisinin dərəcəsini hesablayaq. Aydındır ki, məsələn, yuxarı sol küncdəki ikinci dərəcəli minor = 7 0; onu ehtiva edən üçüncü dərəcəli azyaşlılar sıfıra bərabərdir: Nəticədə, sistemin əsas matrisinin dərəcəsi 2-dir, yəni. r(A) = 2. Genişləndirilmiş A matrisinin dərəcəsini hesablamaq üçün sərhəd olan minoru nəzərə alın. bu o deməkdir ki, genişləndirilmiş matrisin dərəcəsi r(A) = 3. r(A) r(A) olduğundan sistem uyğunsuzdur. Ümumilikdə tənliklər, xətti cəbri tənliklər və onların sistemləri, eləcə də onların həlli üsulları riyaziyyatda həm nəzəri, həm də tətbiqi cəhətdən xüsusi yer tutur. Bu onunla bağlıdır ki, fiziki, iqtisadi, texniki və hətta pedaqoji problemlərin böyük əksəriyyəti müxtəlif tənliklər və onların sistemlərindən istifadə etməklə təsvir və həll edilə bilər. Son zamanlarda riyazi modelləşdirmə demək olar ki, bütün fənlər üzrə tədqiqatçılar, elm adamları və praktikantlar arasında xüsusi populyarlıq qazanmışdır ki, bu da müxtəlif təbiətli obyektlərin, xüsusən də kompleks adlanan obyektlərin öyrənilməsi üçün digər tanınmış və sübut edilmiş metodlardan aşkar üstünlükləri ilə izah olunur. sistemləri. Elm adamları tərəfindən müxtəlif vaxtlarda verilən riyazi modelin müxtəlif tərifləri çox müxtəlifdir, lakin bizim fikrimizcə, ən uğurlusu aşağıdakı ifadədir. Riyazi model tənliklə ifadə olunan fikirdir. Beləliklə, tənlikləri və onların sistemlərini tərtib etmək və həll etmək bacarığı müasir mütəxəssisin ayrılmaz xüsusiyyətidir. Xətti cəbri tənliklər sistemlərini həll etmək üçün ən çox istifadə edilən üsullar Cramer, Jordan-Gauss və matris üsuludur. Matris həlli üsulu tərs matrisdən istifadə edərək sıfırdan fərqli təyinedici ilə xətti cəbri tənliklərin sistemlərinin həlli üsuludur. Əgər A matrisində xi naməlum kəmiyyətləri üçün əmsalları yazsaq, naməlum kəmiyyətləri X vektor sütununda, sərbəst şərtləri B vektor sütununda toplasaq, xətti cəbri tənliklər sistemini aşağıdakı formada yazmaq olar. yalnız A matrisinin determinantı sıfıra bərabər olmadıqda unikal həlli olan aşağıdakı A · X = B matris tənliyi. Bu halda tənliklər sisteminin həllini aşağıdakı şəkildə tapmaq olar X = A-1 · B, Harada A-1 tərs matrisdir. Matris həll üsulu aşağıdakı kimidir. ilə xətti tənliklər sistemi verilsin n naməlum: Matris şəklində yenidən yazıla bilər: AX =
B, Harada A- sistemin əsas matrisi, B Və X- müvafiq olaraq sistemin pulsuz şərtləri və həllər sütunları: Bu matris tənliyini soldan vuraq A-1 - matrisin tərsi matris A: A -1 (AX) = A -1 B Çünki A -1 A = E, alırıq X= A -1 B. Bu tənliyin sağ tərəfi orijinal sistemin həll sütununu verəcəkdir. Bu metodun tətbiqi üçün şərt (həmçinin ümumiyyətlə həllin mövcudluğu) deyil homojen sistem tənliklərin sayı bilinməyənlərin sayına bərabər olan xətti tənliklər) matrisin degenerasiya olmamasıdır. A. Bunun üçün zəruri və kifayət qədər şərt matrisin determinantının sıfıra bərabər olmamasıdır A:det A≠ 0. Xətti tənliklərin homojen sistemi üçün, yəni vektor olduqda B = 0
, əslində əks qayda: sistem AX =
0 qeyri-trivial (yəni sıfır olmayan) həllə malikdir, yalnız det A= 0. Xətti tənliklərin bircins və qeyri-homogen sistemlərinin həlləri arasında belə əlaqəyə Fredholm alternativi deyilir. Misal xətti cəbri tənliklərin qeyri-homogen sisteminin həlli. Xətti cəbri tənliklər sisteminin naməlumlarının əmsallarından ibarət olan matrisin təyinedicisinin sıfıra bərabər olmadığına əmin olaq. Növbəti addım naməlumların əmsallarından ibarət matrisin elementləri üçün cəbri tamamlamaların hesablanmasıdır. Onlar tərs matrisi tapmaq üçün lazım olacaq.
.
