Xidmət axınının intensivliyi:
1. Yük intensivliyi.
ρ = λ t obs = 120 1/60 = 2
Yük intensivliyi ρ=2 xidmət kanalının sorğularının giriş və çıxış axınlarının ardıcıllıq dərəcəsini göstərir və sistemin dayanıqlığını müəyyən edir. növbə.
3. Kanalın pulsuz olması ehtimalı(kanalın dayanma müddətinin nisbəti).
Nəticədə, kanalın 12% -i bir saat ərzində boş qalacaq, boş vaxt t pr = 7,1 dəqiqəyə bərabərdir.
Xidmətin olma ehtimalı:
1 kanal məşğuldur:
p 1 = ρ 1/1! p 0 = 2 1/1! 0,12 = 0,24
2 kanal məşğuldur:
p 2 = ρ 2 /2! p 0 = 2 2/2! 0,12 = 0,24
3 kanal məşğuldur:
p 3 = ρ 3 /3! p 0 = 2 3 /3! 0,12 = 0,16
4. Rədd edilmiş ərizələrin nisbəti.
Bu o deməkdir ki, daxil olan müraciətlərin 3%-i xidmətə qəbul edilmir.
5. Daxil olan sorğulara xidmət göstərmə ehtimalı.
Arızalı sistemlərdə nasazlıq və texniki xidmət hadisələri hadisələrin tam qrupunu təşkil edir, buna görə də:
p açıq + p obs = 1
Nisbi ötürmə qabiliyyəti: Q = p obs.
p obs = 1 - p açıq = 1 - 0,0311 = 0,97
Beləliklə, daxil olan müraciətlərin 97%-nə xidmət göstəriləcək. Qəbul edilən xidmət səviyyəsi 90%-dən yuxarı olmalıdır.
6. Xidmət tərəfindən tutulan kanalların orta sayı.
n з = ρ p obs = 2 0,97 = 1,9 kanal
Boş kanalların orta sayı.
n pr = n - n z = 3 - 1,9 = 1,1 kanal
7. Xidmət kanalının doluluq dərəcəsi.
Beləliklə, sistem 60% texniki xidmətlə məşğuldur.
8. Mütləq ötürmə qabiliyyəti.
A = p obs λ = 0,97 120 = 116,3 sorğu/saat.
.
t pr = p açıq t obs = 0,0311 0,0166 = 0 saat.
10. Növbədə olan ərizələrin orta sayı.
vahidlər
(növbədə təqdim olunmaq üçün ərizənin orta gözləmə müddəti). 
saat.
12. Xidmət edilən müraciətlərin orta sayı.
L obs = ρ Q = 2 0,97 = 1,94 ədəd.
13. Sistemdəki tətbiqlərin orta sayı.
L CMO = L och + L obs = 0,51 + 1,94 = 2,45 ədəd.
13. Tətbiqin CMO-da qalma müddəti.
saat.
Bir saat ərzində rədd edilən müraciətlərin sayı: λ p 1 = saatda 4 müraciət.
QS-nin nominal məhsuldarlığı: 3 / 0.0166 = saatda 181 tətbiq.
SMO-nun faktiki performansı: 116,3 / 181 = nominal gücün 64% -i.
Biz daha sonra prioritet sinifdən gələn sorğuların növbəsindəki orta gözləmə müddəti üçün aşağıdakı qeyddən istifadə edəcəyik səh - Wp, və bu sinif tələbləri üçün sistemdə sərf olunan orta vaxt - Tp:
Biz nisbi prioritetli sistemlərə diqqət yetirəcəyik. Prioritet sinifdən müəyyən sorğunun gəldiyi andan prosesi nəzərdən keçirək səh. Bu tələbi daha sonra etiketli adlandıracağıq. Etiketlənmiş sorğu üçün gecikmə müddətinin birinci komponenti onun serverə daxil olduğu sorğu ilə bağlıdır. Bu komponent başqa sorğunun qalan xidmət müddətinə bərabərdir. İndi bu qeydi, xidmətdə başqa bir tələbin olması ilə əlaqəli etiketli tələbin orta gecikməsini qeyd edək və istifadə etməyə davam edək. W 0. Qonşu gələnlər arasında vaxt bölgüsünü bilmək giriş tələbləri hər bir prioritet sinif üçün siz həmişə bu dəyəri hesablaya bilərsiniz. Hər bir sinifin tətbiqi axını üçün bir Puasson qanunu fərziyyəmizə əsasən yaza bilərik
.
Etiketlənmiş tələb üçün gözləmə vaxtının ikinci komponenti etiketlənmiş tələbdən əvvəl digər sorğuların etiketlənmiş tələbin növbədə olması ilə bağlı xidmət göstərilməsi ilə müəyyən edilir. Sinifdən tələblərin sayını əlavə edək i, növbədə qeyd olunan tələbi tutan (sinifdən səh) və ondan əvvəl xidmət edənlər Nip. Bu nömrənin orta dəyəri bu gecikmə komponentinin orta dəyərini təyin edəcəkdir
Gecikmənin üçüncü komponenti etiketlənmiş sorğu gəldikdən sonra gələn, lakin ondan əvvəl xidmət alan sorğularla əlaqələndirilir. Belə tələblərin sayını qeyd edək M ip. Bu gecikmə komponentinin orta qiyməti oxşar şəkildə tapılır və belədir
Hər üç komponenti əlavə edərək, etiketlənmiş sorğu üçün növbədə orta gözləmə vaxtının formula ilə müəyyən edildiyini görürük.
Göründüyü kimi, xidmət intizamından asılı olmayaraq, tələblərin sayı Nip Və M ip sistemdə ixtiyari ola bilməz, ona görə də hər bir prioritet sinif üçün gecikmələri birləşdirən müəyyən əlaqələr dəsti mövcuddur. QS üçün bu əlaqələrin əhəmiyyəti onları MÜHAFİZƏ QANUNLARI adlandırmağa imkan verir. Gecikmələr üçün qorunma qanunlarının əsası ondan ibarətdir ki, istənilən gərgin vaxt intervalında istənilən QS-də yarımçıq qalan iş sistem mühafizəkardırsa, xidmət qaydasından asılı deyildir (tələblər sistem daxilində itmir və server boş qalmır. növbə boş deyil).
Gözləmə vaxtlarının bölgüsü əhəmiyyətli dərəcədə xidmət qaydasından asılıdır, lakin əgər xidmət intizamı tələbləri xidmət müddətindən (və ya xidmət müddətindən asılı olan hər hansı ölçüdən) asılı olmayaraq seçirsə, onda tələblərin sayının və gözləmə müddətinin bölgüsü sistem xidmət qaydasına görə dəyişməzdir.
M/G/1 tipli QS üçün göstərilə bilər ki, istənilən xidmət intizamı üçün aşağıdakı mühüm bərabərlik təmin edilməlidir:
Bu bərabərlik o deməkdir ki, xidmət intizamı nə qədər mürəkkəb və ya ağıllı olsa da, gözləmə vaxtlarının çəkisi heç vaxt dəyişmir. Bəzi tələblər üçün gecikmə azaldıla bilərsə, digərləri üçün dərhal artacaq.
Daha çox üçün ümumi sistem G/G/1 tələblərinin gəliş vaxtının ixtiyari paylanması ilə qorunma qanunu formada yazıla bilər.
.
Bu əlaqənin ümumi mənası ondan ibarətdir ki, gecikmə vaxtlarının çəkili cəmi sabit qalır. Sadəcə, sağ tərəfdə orta icra olunan iş ilə qalan xidmət müddəti arasında fərq var. Giriş axınının Puasson xarakterini fərz etsək, davam edən iş üçün ifadə belə yazıla bilər.
Onu əvvəlki ifadə ilə əvəz edərək, M/G/1 tipli QS üçün əvvəlcədən verilmiş qorunma qanununu dərhal alırıq.
Prioritet funksiyası ilə müəyyən edilmiş prioritet sırası ilə xidmətlə QS üçün orta gözləmə vaxtının hesablanmasını nəzərdən keçirək.
Şəkil 1 belə bir xidmət intizamı ilə QS-nin işləmə diaqramını göstərir: daxil olan sorğu bərabər və ya daha çox prioritetlə sorğunun solunda növbəyə qoyulur.
düyü. Prioritet xidməti ilə 1 CMO.
üçün düsturdan istifadə edək Wp. Fəaliyyət mexanizmi əsasında dərhal yaza bilərik
Göstərilən prioritetdən yuxarı olan bütün sorğulara daha əvvəl xidmət göstəriləcək. Little düsturundan, sinif tələblərinin sayı i növbəyə bərabər olacaq:
Növbədə olarkən işarələnmiş sorğudan sonra sistemə daxil olan daha yüksək prioritet siniflərin sorğularına da ondan əvvəl xidmət göstəriləcək. Etiketli tələb orta hesabla növbədə olacaq Wp saniyə, onda belə sorğuların sayı bərabər olacaq
Birbaşa (*) düsturundan əldə edirik:
Bu tənliklər sistemi -dən başlayaraq rekursiv həll edilə bilər W 1, W 2 və s.
Alınan formula bütün prioritet siniflər üçün xidmət xüsusiyyətlərinin keyfiyyətini hesablamağa imkan verir. Şəkil 7.2-də. Hər bir prioritet sinif üçün sorğuların bərabər axını sürəti və hər bir sinifin sorğuları üçün bərabər orta xidmət müddəti ilə beş prioritet sinfi olan QS üçün növbədə normallaşdırılmış gözləmə vaxtının necə dəyişdiyini göstərir (aşağıdakı rəqəm aşağı yük dəyərləri üçün əyriləri təfərrüatlandırır) ).
Şəkil 2. Nisbi prioritetlər (P=5, l P = l/5, ) halında prioritet qaydada xidmət.
Xüsusi tapşırıq gözləmə vaxtının paylanması qanunlarını müəyyən etməkdir.
İndi mütləq prioritetləri olan bir sistemi və əlavə xidmətlə prioritet sırasına görə xidmətə baxaq. Daha əvvəl müzakirə olunana tamamilə oxşar bir yanaşmadan istifadə edək. İşarələnmiş tələb sistemində orta gecikmə də üç komponentdən ibarətdir: birinci komponent orta xidmət müddəti, ikincisi sistemdə tapılan işarələnmiş tələblə bərabər və ya daha yüksək prioritetli sorğulara xidmət göstərilməsi ilə bağlı gecikmədir. İşarələnmiş tələbin orta gecikmə müddətinin üçüncü komponenti etiketlənmiş tələb getməmişdən əvvəl sistemə daxil olan və ciddi şəkildə daha yüksək prioritetə malik olan hər hansı sorğu ilə əlaqədar gecikmədir. Sistemdə sərf olunan ümumi vaxtın bütün bu üç komponentini təsvir edərək, əldə edirik
.
Çox maraqlı bir vəzifə tətbiqlər üçün prioritetləri seçməkdir. müxtəlif siniflər. Qoruma qanunu qüvvədə olduğundan, optimallaşdırma yalnız hər bir tələb sinfinin bəzi əlavə atributlarını nəzərə aldıqda məna kəsb edir. Fərz edək ki, p prioritet sinifinin tətbiqinin hər saniyə gecikməsi hansısa qiymətə qiymətləndirilə bilər C p. Sonra sistem üçün bir saniyə gecikmənin orta qiyməti sistemdə mövcud olan hər bir sinfin sorğularının orta sayı ilə ifadə edilə bilər.
M/G/1 sistemi üçün orta gecikmə xərclərini minimuma endirən nisbi prioritetləri olan xidmət intizamının tapılması problemini həll edək. C. Var olsun P verilən gəliş sürəti və orta xidmət müddəti ilə müraciətlərin prioritet sinifləri. keçək sol tərəf sabit cəmi və ifadə sağ tərəf məlum parametrlər vasitəsilə
Vəzifə uyğun xidmət intizamını seçməklə bu bərabərliyin sağ tərəfindəki məbləği minimuma endirməkdir, yəni. indeks ardıcıllığının seçimi səh.
işarə edək
Bu qeyddə problem belə görünür: tabe olan məhsulların cəmini minimuma endirməliyik
Funksiyaların cəminin müstəqilliyi şərti g səh xidmət intizamının seçimi qorunma qanunu ilə müəyyən edilir. Başqa sözlə, problem iki funksiyanın hasilinin əyri altındakı sahəsini minimuma endirməkdən ibarətdir, bu şərtlə ki, onlardan birinin əyrisinin altındakı sahə sabit olsun.
Həll əvvəlcə dəyərlər ardıcıllığını sıralamaqdır f səh: 
.
Və sonra hər biri üçün seçirik f səh onun mənası g səh, məhsullarının cəmini minimuma endirmək üçün. Bu intuitiv olaraq aydındır optimal strategiya seçim seçimdən ibarətdir ən aşağı dəyər g səhən böyük üçün f səh, sonra qalan dəyərlər üçün eyni şəkildə davam etməlisiniz. ildən g səh=W p r p, sonra minimuma endirmə orta gecikmə dəyərlərini minimuma endirməyə gəlir. Beləliklə, nəzərdən keçirilən optimallaşdırma probleminin həlli ondan ibarətdir ki, nisbi prioritet olan bütün mümkün xidmət fənləri arasında minimum orta qiymət bərabərsizliklərə uyğun olaraq sifarişli prioritetləri olan bir intizam tərəfindən təmin edilir.
.
Bütün kanalları məşğul tapan sorğu növbəyə daxil olarsa və bəzi kanal boşalana qədər gözləsə, növbə sistemi gözləmə sistemi adlanır.
Əgər növbədə olan ərizə üçün gözləmə müddəti məhdudiyyətsizdirsə, sistem “saf gözləmə sistemi” adlanır. Əgər müəyyən şərtlərlə məhdudlaşırsa, o zaman sistem “qarışıq tipli sistem” adlanır. Bu, uğursuzluqları olan təmiz sistemlə gözləməli təmiz sistem arasında aralıq haldır.
Təcrübə üçün ən çox maraq doğuran qarışıq tipli sistemlərdir.
Gözləməyə qoyulan məhdudiyyətlər ola bilər müxtəlif növlər. Tez-tez olur ki, növbədə bir ərizə üçün gözləmə müddətinə məhdudiyyət qoyulur; onun yuxarıdan müəyyən dövrlə məhdudlaşdığına inanılır ki, bu da ya ciddi şəkildə müəyyən edilmiş, ya da təsadüfi ola bilər. Bu halda, gözləmənin nə qədər davam etməsindən asılı olmayaraq, yalnız növbə gözləmə müddəti məhduddur və başlayan xidmət başa çatır (məsələn, bərbərdəki müştəri, kresloda oturaraq, adətən xidmətin sonuna qədər məzuniyyət verin). Digər problemlərdə növbədə gözləmə müddətinə deyil, sorğunun sistemdə qaldığı ümumi vaxta məhdudiyyət qoymaq daha təbiidir (məsələn, hava hədəfi atəş zonasında yalnız məhdud müddət qala bilər). və atəşin başa çatıb-çatmamasından asılı olmayaraq onu tərk edir). Nəhayət, növbənin uzunluğu çox uzun olmadıqda, ərizə növbəyə daxil olduqda, belə bir qarışıq sistemi nəzərdən keçirə bilərik (bu, vacib olmayan əşyaları satan ticarət müəssisələrinin növünə ən yaxındır). Burada növbədə olan müraciətlərin sayına məhdudiyyət qoyulur.
Gözləmə sistemlərində sözdə “növbə nizam-intizamı” mühüm rol oynayır. Gözləyən sorğular ya ilk gələn, ilk xidmət (erkən gələnlərə ilk xidmət göstərilir) və ya təsadüfi, qeyri-mütəşəkkil şəkildə xidmətə çağırıla bilər. “Üstünlükləri olan” növbə sistemləri var ki, burada bəzi sorğular digərlərinə nisbətən üstünlük təşkil edir (“generallar və polkovniklər növbəsiz”).
Gözləmə sisteminin hər bir növü öz xüsusiyyətlərinə malikdir və riyazi nəzəriyyə. Onların bir çoxu, məsələn, V.V.Gnedenkonun "Növbə nəzəriyyəsi üzrə mühazirələr" kitabında təsvir edilmişdir.
Burada biz yalnız qarışıq sistemin ən sadə halına diqqət yetirəcəyik ki, bu da uğursuzluqları olan sistem üçün Erlanq məsələsinin təbii ümumiləşdirilməsidir. Bu halda biz Erlanq tənliklərinə bənzər diferensial tənliklər və Erlanq düsturlarına bənzər sabit vəziyyətdə olan vəziyyətlərin ehtimalları üçün düsturlar əldə edəcəyik.
Kanalları olan qarışıq növbə sistemini nəzərdən keçirək aşağıdakı şərtlər. Sistem girişi sıxlıqla ən sadə sorğu axını alır. Bir sorğu üçün xidmət müddəti parametrlə göstəricidir. Bütün kanalları məşğul tapan sorğu növbəyə qoyulur və xidməti gözləyir; gözləmə müddəti müəyyən bir müddətlə məhdudlaşır; Müraciət bu müddət bitənə qədər xidmətə qəbul edilmədikdə, o, növbəni tərk edir və xidmət olunmamış qalır. Gözləmə müddəti təsadüfi hesab olunacaq və eksponensial qanuna uyğun olaraq paylanacaq
burada parametr orta gözləmə vaxtının tərsidir:
; 
.
Parametr həm sorğu axınının, həm də "buraxılış axını" nın parametrlərinə tamamilə bənzəyir. Növbədə dayanan tətbiqin "gediş axınının" sıxlığı kimi şərh edilə bilər. Həqiqətən, növbəyə qoşulmaqdan başqa heç nə görməyən bir proqram təsəvvür edək və gözləmə müddəti bitənə qədər orada gözləyin, bundan sonra o, ayrılır və dərhal növbəyə yenidən qoşulur. Sonra növbədən belə bir tətbiqin "gediş axını" sıxlığı olacaq.
Aydındır ki, qarışıq tipli sistem uğursuzluqlarla təmiz sistemə çevrildikdə; gözləmə ilə saf bir sistemə çevrildikdə.
Nəzərə alın ki, gözləmə müddəti üçün eksponensial paylama qanunu ilə sistemin tutumu proqramların növbə və ya təsadüfi qaydada təqdim olunmasından asılı deyil: hər bir tətbiq üçün, qalan gözləmə müddəti üçün paylama qanunu nə qədər müddətə bağlı olduğundan asılı deyil. proqram artıq növbədədir.
Sistemin vəziyyətlərində dəyişikliklərə səbəb olan bütün hadisələr axınının Puasson təbiətinin fərziyyəsi sayəsində onda baş verən proses Markovian olacaqdır. Sistem hallarının ehtimalları üçün tənliklər yazaq. Bunun üçün ilk növbədə bu dövlətləri sadalayırıq. Onları işğal edilmiş kanalların sayına görə deyil, sistemlə əlaqəli tətbiqlərin sayına görə nömrələyəcəyik. Əgər o, texniki xidmət vəziyyətindədirsə və ya növbə gözləyirsə, sorğunu “sistemlə əlaqəli” adlandıracağıq. Mümkün sistem vəziyyətləri:
Heç bir kanal məşğul deyil (növbə yoxdur),
Tam olaraq bir kanal işğal olunub (növbə yoxdur),
Tam olaraq kanallar doludur (növbə yoxdur),
Bütün kanallar məşğuldur (növbə yoxdur),
Bütün kanallar məşğuldur, bir proqram növbədədir,
Bütün kanallar məşğuldur, proqramlar növbədədir,
Bizim şərtlərimizdə növbədə olan müraciətlərin sayı istənilən qədər ola bilər. Beləliklə, sistem sonsuz (hesablana bilən də olsa) vəziyyətlər toplusuna malikdir. Buna görə də bunu izah edənlərin sayı diferensial tənliklər həm də sonsuz olacaq.
Aydındır ki, ilk diferensial tənliklər müvafiq Erlanq tənliklərindən heç bir şəkildə fərqlənməyəcək:
Yeni tənliklər və Erlanq tənlikləri arasındakı fərq --dən başlayacaq. Həqiqətən, uğursuz sistem yalnız dövlətdən dövlətə keçə bilər; Gözləmə sisteminə gəlincə, o, nəinki -dən, həm də (bütün kanallar məşğuldur, bir sorğu növbədədir) dövlətə gedə bilər.
üçün diferensial tənlik yaradaq. Gəlin anı düzəldək və sistemin hazırda vəziyyətdə olması ehtimalını tapaq. Bu üç yolla edilə bilər:
1) bu anda sistem artıq vəziyyətdə idi, lakin bu müddət ərzində ondan çıxmadı (heç bir sorğu gəlmədi və kanalların heç biri sərbəst qalmadı);
2) hazırda sistem vəziyyətdə idi və zaman keçdikcə vəziyyətə keçdi (bir sorğu gəldi);
3) bu anda sistem bir vəziyyətdə idi (bütün kanallar məşğuldur, bir sorğu növbədədir) və onun getdiyi müddət ərzində (ya bir kanal boşaldı və növbədə duran sorğu onu tutdu, ya da müddətin bitməsinə görə növbədə duran tələb) .
İndi hər hansı birini hesablayaq - bu anda bütün kanalların məşğul olacağı və proqramların dəqiq sayının növbədə olacağı ehtimalı. Bu hadisə yenidən üç şəkildə baş verə bilər:
1) bu anda sistem artıq vəziyyətdə idi və bu müddət ərzində bu vəziyyət dəyişmədi (bu o deməkdir ki, nə bir ərizə gəlmədi, nə bir damla buraxıldı, nə də növbədə duran tətbiqlərdən heç biri sol);
2) hazırda sistem vəziyyətdə idi və zaman keçdikcə vəziyyətə keçdi (yəni bir sorğu gəldi);
3) hazırda sistem vəziyyətdə idi və vəziyyətə keçdiyi müddətdə (bunun üçün ya kanallardan biri sərbəst olmalıdır, sonra isə növbədə duran proqramlardan biri onu götürəcək, ya da biri növbədə duran ərizələrin müddəti bitdiyi üçün çıxmalıdır ).
Beləliklə:
Beləliklə, dövlət ehtimalları sistemini əldə etdik sonsuz sayda diferensial tənliklər:
(19.10.1)
Tənliklər (19.10.1) məhdud gözləmə müddəti olan qarışıq tipli sistem vəziyyətinə Erlanq tənliklərinin təbii ümumiləşdirilməsidir. Bu tənliklərdəki parametrlər sabit və ya dəyişən ola bilər. Sistemi (19.10.1) inteqrasiya edərkən nəzərə almaq lazımdır ki, nəzəri cəhətdən sistemin mümkün hallarının sayı sonsuz olsa da, praktikada ehtimallar artdıqca cüzi olur və müvafiq tənliklərdən imtina etmək olar.
Sabit vəziyyətli xidmət rejimində sistem vəziyyətlərinin ehtimalları üçün Erlanq düsturlarına oxşar düsturlar əldə edək (da). (19.10.1) tənliklərindən bütün sabitləri və bütün törəmələri sıfıra bərabər tutaraq sistemi alırıq. cəbri tənliklər:
(19.10.2)
Onlara bir şərt əlavə etməlisiniz:
Sistemin həllini tapaq (19.10.2).
Bunu etmək üçün, nasazlıqları olan bir sistem vəziyyətində istifadə etdiyimiz eyni texnikanı tətbiq edəcəyik: birinci tənliyi nisbətən həll edək və ikinci tənliyi əvəz edək və s. əldə edirik:
üçün tənliklərə keçək 
. Eyni şəkildə alırıq:
,
,
və ümumiyyətlə hər hansı biri üçün
. (19.10.5)
Hər iki düstur (19.10.4) və (19.10.5) amil kimi ehtimal daxildir. (19.10.3) şərtindən müəyyən edək. (19.10.4) və (19.10.5) ifadələrini və onun içinə əvəz edərək, əldə edirik:
,
. (19.10.6)
Gəlin (19.10.4), (19.10.5) və (19.10.6) ifadələrini onlara sıxlıq əvəzinə “azaldılmış” sıxlıqlar daxil edərək çevirək:
(19.10.7)
Parametrlər və müvafiq olaraq, bir tətbiqin orta xidmət vaxtı üçün növbədə duran ərizənin orta hesabla müraciət sayını və orta hesabla getmə sayını ifadə edir.
Yeni qeyddə (19.10.4), (19.10.5) və (19.10.6) düsturlar aşağıdakı formanı alacaq:
; (19.10.9)
. (19.10.10)
(19.10.10)-u (19.10.8) və (19.10.9) ilə əvəz edərək, sistem hallarının ehtimalları üçün yekun ifadələri alırıq:
; (19.10.11)
. (19.10.12)
Sistemin bütün vəziyyətlərinin ehtimallarını bilməklə, bizi maraqlandıran digər xüsusiyyətləri, xüsusən də sorğunun sistemi xidmətsiz tərk etmə ehtimalını asanlıqla müəyyən edə bilərik. Gəlin bunu aşağıdakı mülahizələrdən müəyyən edək: sabit vəziyyətdə tətbiqin sistemi xidmətsiz tərk etmə ehtimalı vaxt vahidi üçün növbəni tərk edən ərizələrin orta sayının gələn ərizələrin orta sayına nisbətindən başqa bir şey deyildir. vaxt vahidi başına. Vaxt vahidi üçün növbəni tərk edən proqramların orta sayını tapaq. Bunu etmək üçün əvvəlcə növbədəki tətbiqlərin sayının riyazi gözləntisini hesablayırıq:
. (19.10.13)
Əldə etmək üçün bir tətbiqin orta "gedişlərinin sıxlığına" vurmalı və tətbiqlərin orta sıxlığına bölmək lazımdır, yəni. əmsala vurmaq.
Girişi ən sadə sorğu axını qəbul edən gözləmə ilə n-kanalın (n > 1) QS-nin işini öyrənək. P giriş intensivliyi ilə. Hər bir kanalın xidmət axını da µ intensivliyi ilə ən sadə hesab edilir. Növbənin uzunluğu ilə bağlı heç bir məhdudiyyət yoxdur, lakin növbədəki hər bir tətbiq üçün gözləmə müddəti təsadüfi dövrlə məhdudlaşır. T sərin orta dəyərlə, bundan sonra sorğu sistemi xidmətsiz qoyur. Vaxt intervalı T sərin istənilən müsbət qiymət ala bilən davamlı təsadüfi dəyişəndir və riyazi gözlənti hansı.
Əgər bu axın Puassondursa, QS-də baş verən proses Markovian olacaq.
Bu cür sistemlərə praktikada tez-tez rast gəlinir. Bunlara bəzən "istəkli" təklif sistemləri də deyilir.
QS-nin vəziyyətlərini sistemdə həm xidmətdə, həm də növbədə olan proqramların sayına görə nömrələyək: S k (k = 0.1,…n) - k xidmətdə olan tətbiqlər (k kanallar məşğuldur, növbə yoxdur), S n+r (r = 1,2,…) - n xidmətdə olan proqramlar (hamısı n kanallar məşğuldur) və r proqramlar növbədə.
Beləliklə, QS sonsuz sayda dövlətlərdən birində ola bilər.
İşarələnmiş vəziyyət qrafiki Şəkildə göstərilmişdir. 1.
düyü. 1.
QS eyni daxil olan tətbiq axınının təsiri altında ştatdan ştata soldan sağa hərəkət edir P giriş intensivliyi ilə. Nəticədə, bu keçidlərin ehtimal sıxlıqları
k-1,k = , k = 1,2,... (1)
QS-nin dövlətdən növbəsiz keçidi S k , k = 1,…, n, sola bitişik dövlətə S k-1 , (k = 1,…,n)(həmçinin heç bir növbə olmayacaq) sıxlığı cəmlənmiş xidmət axınlarının intensivliklərinin cəmi olan k xidmət axınından ibarət olan ümumi axının təsiri altında baş verir. kµ. Buna görə də, s n vəziyyətindən s 0 vəziyyətinə sola doğru oxların altında keçid ehtimalı sıxlıqları göstərilir
k,k-1 =kµ, k = 1,…,n (2)
Növbəli vəziyyətdə olan sistemdə S n+r , r = 1,2,…, ümumi axın qüvvədədir - n xidmət axınının superpozisiyasının nəticəsi və r qayğı axınları. Buna görə də, ümumi axının intensivliyi komponent axınlarının intensivliklərinin cəminə bərabərdir. nμ+rш. Bu ümumi axın QS-nin vəziyyətdən sağdan sola keçidini yaradır S n+r ,(r = 1,2,…) orta hesabla S n+r-1 ,(r = 1,2,…) və beləliklə
k,k-1 =nµ+(k-n)ш, k =n+1,n+2,… (3)
Beləliklə, (2) və (3) nəzərə alınmaqla sistemin sağdan sola keçidlərinin ehtimal sıxlıqları birləşdirilmiş formada yazıla bilər.
Qrafikin strukturu QS-də baş verən prosesin ölüm və çoxalma prosesi olduğunu göstərir.
Düsturda k=1,…,n+m əvəzinə (1) və (4) əvəz edək
Gediş axınının azaldılmış intensivliyi adlandırıla bilən və bir tətbiqə xidmət göstərməyin orta vaxtı üçün xidmət edilməyən ərizələrin növbəsindən gedişlərin orta sayını göstərən bir dəyəri nəzərə alaq. (5)-i əvəz edərək, əldə edirik:
Baxılan QS-də növbənin uzunluğu ilə bağlı heç bir məhdudiyyət olmadığından, daxil olan axınla daxil olan müraciət qəbul ediləcək; sistemə, yəni. Ərizə sistem tərəfindən rədd edilmir. Buna görə də, "səbirsiz" tətbiqləri olan QS üçün sistemə qəbul edilmə ehtimalı var səh bacı =1, və sistemə qəbul edilməkdən imtina ehtimalı səh açıq =0 . “Sistemə qəbul edilməməsi” anlayışı “xidmətdən imtina” anlayışı ilə qarışdırılmamalıdır, çünki “səbirsizlik” səbəbindən sistemə daxil olan (qəbul edilmiş) hər müraciətə xidmət göstərilməyəcək. Beləliklə, proqramın növbədən çıxma ehtimalı haqqında danışmaq məntiqlidir səh xy və ərizənin təqdim olunma ehtimalı, səh haqqında. Eyni zamanda, ehtimal səh haqqında nisbi ötürmə qabiliyyətini təmsil edir Q Və səh xy =1-s haqqında .
Növbədəki müraciətlərin orta sayını hesablayaq. Bunun üçün diskret təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirin N çox yaxşı növbədəki ərizələrin sayını təmsil edir. Təsadüfi dəyişən N çox yaxşı istənilən qeyri-mənfi tam qiymət ala bilər və onun paylanma qanunu formaya malikdir
|
N çox yaxşı |
||||||
|
səh n+1 |
səh n+2 |
səh n+r |
Harada p= p 0 +s 1 +…+ səh n. Beləliklə,
və ya burada (7) əvəz etsək, alırıq
Növbədəki hər bir sorğu intensivliyi ilə “gediş” Pooh axınına məruz qalır. Müraciətlərdən ibarət orta növbə “gedişlər” axınlarından ibarət və intensivliyə malik ümumi axına tabe olacaq. Bu o deməkdir ki, növbədə olan müraciətlərin orta sayından orta hesabla vaxt vahidinə düşən müraciətlər xidmət gözləmədən yola düşəcək, qalan müraciətlərə isə xidmət göstəriləcək. Nəticə etibarilə, vaxt vahidinə xidmət edilən müraciətlərin orta sayı, yəni. QS-nin mütləq tutumu
Sonra nisbi qabiliyyətin tərifinə əsasən,
Q = A/ = (-)/ = 1 - (w/),
burada u/ = gələn axındakı iki qonşu tətbiqin gəlişi arasındakı orta vaxt üçün xidmət olunmamış proqramların növbəsindən gedənlərin orta sayını göstərir P giriş .
Məşğul kanalların orta sayı (xidmət altında olan sorğuların orta sayı) mütləq A tutumunun bir kanalın performansına nisbəti kimi əldə edilə bilər µ. Bərabərlikdən (11) istifadə edərək, əldə edəcəyik:
Məşğul kanalların orta sayı növbədəki sorğuların orta sayından, yəni diskretin riyazi gözləntisindən asılı olmayaraq hesablana bilər. təsadüfi dəyişən TO, paylanma qanunu formaya malik olan işğal edilmiş kanalların sayını ifadə edir
|
səh 0 |
səh 1 |
səh 2 |
səh n-1 |
Harada p = p n +s n+1 +…+ səh n+1+…. Lakin bütün n kanalın məşğul olması hadisəsi n kanalın hamısının məşğul olmaması hadisəsinin əksinə olduğundan və ehtimal son hadisə bərabərdir
səh 0 +s 1 +s 2 +…+ səh n-1, Bu p = 1 - (səh 0 +s 1 +s 2 +…+ səh n-1) .
Lakin sonra (11)-dən alırıq:
Düsturlardan (11) və (13) istifadə edərək, sistemdəki tətbiqlərin orta sayı üçün bir düstur alırıq:
Növbədə olan proqram üçün orta gözləmə müddəti üçün düstur çıxaraq. Bu, ərizənin növbədə qalma müddətini məhdudlaşdıran verilmiş orta vaxtdan asılı olacaq.
ya da olacaq natural ədəd i > 2 belə
(14) və (15) bərabərsizliklərini müvafiq olaraq, bərabərsizlikləri əldə edirik.
(14) halını və sistemin vəziyyətdə olmasından ibarət olan uyğunsuz fərziyyələri nəzərdən keçirək. Bu fərziyyələrin ehtimalları
Ərizə CMO tərəfindən hipotet.e altında qəbul edilərsə. sistem hər birində bütün kanalların məşğul olmadığı ştatlardan birində olduqda, sorğu növbədə gözləməli olmayacaq - dərhal pulsuz kanalın xidmətinə düşəcək. Buna görə də, fərziyyə üzrə növbədə olan ərizə üçün gözləmə vaxtının təsadüfi dəyərinin şərti riyazi gözləntiləri, bu fərziyyə üzrə növbədə olan tətbiq üçün orta gözləmə müddəti sıfıra bərabərdir:
Tətbiq sistemə hipotet altında daxil olarsa.e. QS hər şeyin olduğu ştatlardan birində olduqda n k-p proqramlar (əgər Kimə= n növbədə heç bir proqram yoxdur), onda birini buraxmaq üçün orta vaxt n məşğul kanallar bərabərdir və orta xidmət müddəti k-p Sistemdə qəbul edilən müraciətdən əvvəl növbədə duran ərizələr bərabərdir. Buna görə də, gələn müraciətə xidmət göstərmək üçün növbə üçün tələb olunan orta vaxt bərabərdir, çünki doğru bərabərsizlikdən (14),
Beləliklə, sistemə daxil olan müraciətin xidmətə qəbul edilməsi üçün tələb olunan orta vaxt, ərizənin növbədə qalmasını məhdudlaşdıran vaxtdan artıqdır. Buna görə də, qəbul edilmiş müraciət növbədə orta müddətə gecikəcək və sistemi xidmətsiz qoyacaq. Nəticə etibarilə, fərziyyə altında olan dəyərin şərti riyazi gözləntiləri
İndi (15) halda eyni fərziyyələri nəzərdən keçirin. Bu halda (16) bərabərlikləri də etibarlıdır.
Tətbiq sistemə fərziyyələrdən biri ilə daxil olarsa, yəni QS bütün mövcud vəziyyətlərdən birində olduqda. n kanallar məşğuldur və qəbul edilən ərizənin qarşısında artıq növbələr var k-p proqramlar (əgər Kimə- n növbədə heç bir sorğu yoxdur), onda (14) halda olduğu kimi, bu sorğunun xidmətə gəlməsi üçün tələb olunan orta vaxt sorğunun qalma müddətinin məhdudlaşdırılmasına bərabərdir. Beləliklə, bir şəkildə, sol bərabərsizliyə görə (15),
Beləliklə, sistemə daxil olan müraciətin xidmətə qəbul edilməsi üçün tələb olunan orta vaxt ərizənin növbədə qalmasını məhdudlaşdıran orta vaxtdan çox deyil. Buna görə də, qəbul edilmiş ərizə növbəni tərk etməyəcək və növbədə gözləmək üçün orta vaxt sərf edərək xidmətə qəbul edilmək üçün gözləyəcək
İndi tətbiqin fərziyyələrdən biri altında sistemə daxil olmasına icazə verin N yu k = n+i- yəni QS ştatlardan birində olanda..., hər şeyin olduğu n kanallar məşğuldur və artıq növbədədir k-p tətbiqlər. Bu bərabərsizlikdən (15) olduğuna görə:
və buna görə də daxil olan proqram növbədə orta vaxt gecikdiriləcək
Ümumi riyazi gözlənti üçün düsturdan istifadə edərək əldə edirik:
(15) halda, qəbul edilmiş ərizə xidmət üçün qəbul ediləcək, əgər yalnız onun alındığı anda QS dövlətlərdən birində olarsa, onda ərizəyə xidmət göstərilmə ehtimalı
/ = 1 olduqda, düstur (25) (24) çevrilir, buna görə də xidmət ehtimalı üçün bir düstur yaza bilərik:
Xidmət ehtimalını bilməklə, sorğunun növbədən çıxma ehtimalını hesablaya bilərsiniz:
Tətbiqin sistemdə qalma müddəti düsturdan istifadə etməklə hesablana bilər
düsturdan istifadə etməklə hesablana bilən həm xidmət edilən, həm də növbəni tərk edən bütün tətbiqlərə aid bir tətbiq üçün orta xidmət müddəti haradadır
6. Növbə sistemlərinin modelinin qurulması və təhlili
Növbə uzunluğuna məhdudiyyət qoyulmadan, lakin növbədə gözləmə müddətinə məhdudiyyət qoyulmaqla QS-dən istifadənin praktiki problemini nəzərdən keçirək.
Fasiləsiz uçuşların diapazonunu artırmaq üçün təyyarələrə havada yanacaq doldurulur. Yanacaqdoldurma sahəsində iki yanacaqdoldurma təyyarəsi daimi növbətçilik edir. Bir təyyarəyə yanacaq doldurmaq orta hesabla təxminən 10 dəqiqə çəkir. Hər iki yanacaq dolduran təyyarə məşğuldursa, yanacaq doldurmağa ehtiyacı olan təyyarə bir müddət "gözləyə" (yanacaq doldurma sahəsində bir dairədə uça bilər). Orta gözləmə müddəti 20 dəqiqədir. Yanacaq doldurmaq üçün səbirsizlənən təyyarə alternativ hava limanına enməyə məcbur olur. Uçuşların intensivliyi elədir ki, hər 1 saatdan bir yanacaqdoldurma məntəqəsinə orta hesabla 12 təyyarə gəlir. Müəyyən edin:
Təyyarənin yanacaqla doldurulması ehtimalı.
Yanacaq dolduranların orta sayı.
Növbədə olan təyyarələrin orta sayı.
Xidmətdə olan təyyarələrin orta sayı.
Bu QS-nin səmərəliliyinin əsas xüsusiyyətlərini hesablamaq lazımdır, bir şərtlə ki, aşağıdakı giriş parametrləri göstərilsin:
- · xidmət kanallarının sayı;
- · daxil olan ərizə axınının intensivliyi;
- · xidmət axınının intensivliyi;
- · ərizələrin növbədə qalmasını məhdudlaşdıran orta vaxt.
Sözügedən QS çoxkanallı sistem növbənin uzunluğuna məhdudiyyət qoyulmadan, lakin gözləmə müddətinə məhdudiyyət qoyulan növbə. Kanalların sayı, daxil olan müraciət axınının intensivliyi, xidmət axınının intensivliyi və növbədə olan yerlərin sayı göstərilir.
Bu QS-də hər kanal hər dəfə bir sorğuya xidmət edir. Yeni sorğunun alınması zamanı ən azı bir kanal pulsuzdursa, sorğular yoxdursa, daxil olan sorğu xidmət üçün qəbul edilir, o zaman sistem boşdur.
Müəyyən edək ki, sorğu gələnə qədər bütün kanallar məşğul olduqda nə baş verir - o, növbəyə düşür və kanallardan birinin boşalmasını gözləyir. Əgər müraciətin qəbulu zamanı növbənin bütün yerləri tutulursa, bu proqram sistemi tərk edir.
QS-nin fəaliyyətinin effektivliyi üçün meyarlar:
- · Sistemin dayanması ehtimalı;
- · Sistemin nasazlığı ehtimalı;
- · Nisbi ötürmə qabiliyyəti.
- · Proqramın növbədə sərf etdiyi orta vaxt.
Bu sistem “səbirsiz” sorğularla çoxkanallı QS kimi modelləşdirilmişdir.
Sistem parametrləri:
xidmət kanallarının sayı n=2;
tətbiqlərin daxil olan axınının intensivliyi = 12 (saatda təyyarələr);
xidmət axınının intensivliyi µ = 6(saatda təyyarələr);
ərizənin növbədə qalmasını məhdudlaşdıran orta vaxt, buna görə də, gediş axınının intensivliyi = 1/= 3 (təyyarə) saatda.
Hesablamalar Turbo Pascalda hazırlanmış proqram vasitəsilə aparılmışdır. Turbo-Paskal dili ən çox yayılmış kompüter proqramlaşdırma dillərindən biridir. Turbo-Paskal dilinin mühüm üstünlüklərinə kompilyatorun kiçik ölçüsü, yüksək sürət proqramın tərcüməsi, tərtibi və montajı. Bundan əlavə, rahatlıq və yüksək keyfiyyət dialoq qabığının dizaynı, yeni nəslin alternativ dilləri ilə müqayisədə yazı və sazlama proqramlarını daha rahat edir.
QS-nin işini təhlil etmək üçün müxtəlif giriş parametrləri üçün bu sistemin davranışını öyrənmək lazımdır.
Birinci versiyada l=12, µ=6, n=3, kanalların sayı n=2.
İkinci variantda l=12, µ=6, n=3, kanalların sayı n=3.
Üçüncü variantda l=12, µ=6, n=4, kanalların sayı n=2.
Bütün hesablama nəticələri Əlavə 2-də verilmişdir.
Əldə edilmiş məlumatların təhlili nəticəsində (Əlavə 2) aşağıdakı nəticələr əldə edilmişdir.
Kanalların sayı artdıqca sistemin işləməməsi ehtimalı və yanacaq doldurma ehtimalı 50% artır.
Yalnız sorğunun növbədə qaldığı vaxt dəyişdirildikdə, kanalların sayını artırmadan, gediş axınının intensivliyi dəyişdi, nəticədə xidmət göstərilən təyyarələrin sayı və növbədə olan təyyarələrin sayı azaldı.
Məncə, əlavə olaraq işə götürmək və təlim keçmək lazımdır xidmət personalı, gediş axınının intensivliyini artırmaq üçün, o zaman yanacaq dolduranların dayanma müddətinə daha az vaxt sərf olunacaq və əlavə kanala ehtiyac qalmayacaq.
Baxmayaraq ki, səhiyyə xidmətinin fəaliyyətinin ən effektiv olacağı ən optimal parametrləri seçərkən, əlavə xidmət kanalının alınması və ya intensivliyin dəyişməsi ilə əlaqədar texniki və iqtisadi amilləri də nəzərə almaq lazımdır. qayğı axınının müəyyən maddi xərcləri və kadr hazırlığı xərcləri tələb edir.
1. Gözləmə və növbə uzunluğu limiti ilə tək kanallı QS. Təcrübədə növbəli bir kanallı tibbi xidmət təminatçıları olduqca yaygındır (xəstələrə xidmət edən həkim; maaş verən kassir). Növbə nəzəriyyəsində növbəli təkkanallı QS də xüsusi yer tutur: indiyə qədər qeyri-Markov sistemləri üçün alınmış analitik düsturların əksəriyyəti belə QS-yə aiddir.
Girişi intensivliklə ən sadə sorğu axını qəbul edən bir kanallı QS-ni nəzərdən keçirək. λ . Fərz edək ki, xidmət axını həm də intensivliklə ən sadədir μ . Bu o deməkdir ki, davamlı məşğul olan kanal orta hesabla xidmət göstərir μ vaxt vahidi üçün tətbiqlər. Kanalın məşğul olduğu bir vaxtda QS tərəfindən alınan sorğu, uğursuzluqlar olan QS-dən fərqli olaraq, sistemi tərk etmir, növbəyə düşür və xidməti gözləyir.
Biz daha sonra güman edirik ki, bu sistemdə növbənin uzunluğu ilə bağlı məhdudiyyət var, bununla biz növbədəki yerlərin maksimum sayını nəzərdə tuturuq, yəni maksimum ola biləcəyini fərz edirik. m≥1 tətbiq. Buna görə də, QS-in girişinə gələn bir ərizə, növbədə artıq insanların olduğu anda m sorğular rədd edilir və sistemi xidmətsiz qoyur.
Beləliklə, nəzərdən keçirilən QS növbə uzunluğuna məhdudiyyət qoyulan qarışıq tipli sistemlərə aiddir.
QS-nin vəziyyətlərini sistemdəki tətbiqlərin sayına görə nömrələyək, yəni. xidmətdə və növbədə:
S 0 – kanal pulsuzdur (buna görə də növbə yoxdur);
S 1 – kanal məşğuldur və növbə yoxdur, yəni. CMO-da bir ərizə (xidmət altında) var;
S 2 – kanal məşğuldur və növbədə bir sorğu var;
……………………………………………………..
S m +1 – kanal məşğuldur və növbədədir m tətbiqlər.
Bu QS-nin vəziyyət qrafiki Şəkildə göstərilmişdir. 6 və ölüm və çoxalma prosesini təsvir edən qrafiklə üst-üstə düşür, fərqlə ki, yalnız bir xidmət kanalı varsa, bütün xidmət axını intensivliyi bərabərdir. μ .
düyü. 6. Növbəli bir kanallı sistemdə vəziyyət diaqramı
QS-nin məhdudlaşdırıcı iş rejimini təsvir etmək üçün qeyd olunan qayda və düsturlardan istifadə edə bilərsiniz. Dərhal vəziyyətlərin məhdudlaşdırıcı ehtimallarını təyin edən ifadələri yazaq:
Harada ρ = λ/μ
- kanal yükləmə intensivliyi.
Əgər λ = μ , onda alırıq.
Qoy indi 
. üçün ifadə səh 0
-də mümkündür bu halda Məxrəcin cəminin olması faktından istifadə edərək yazmaq daha asandır m+ 2
üzvləri həndəsi irəliləyiş məxrəclə ρ
:
.
Qeyd edək ki, nə vaxt m= 0 Artıq nəzərdən keçirilən tək kanallı QS-yə uğursuzluqlarla keçirik. Bu halda.
Gözləmə ilə bir kanallı QS-nin əsas xüsusiyyətlərini müəyyən edək: nisbi və mütləq ötürmə qabiliyyəti, uğursuzluq ehtimalı, həmçinin növbənin orta uzunluğu və növbədə tətbiq üçün orta gözləmə müddəti.
QS-in girişində qəbul edilmiş ərizə o halda rədd edilir ki, kanal məşğul olduqda və növbədə gözləyir. m tətbiqlər, yəni. sistem bir vəziyyətdə olduqda S m +1 . Buna görə uğursuzluq ehtimalı vəziyyətin baş vermə ehtimalı ilə müəyyən edilir S m +1 :
Nisbi ötürmə qabiliyyəti və ya vaxt vahidinə daxil olan xidmət göstərilən sorğuların payı aşağıdakı ifadə ilə müəyyən edilir:
Qeyd edək ki, nisbi ötürmə qabiliyyəti Q bütün qəbul edilənlər arasında sistemə qəbul edilmiş (yəni rədd edilməmiş) müraciətlərin orta payı ilə üst-üstə düşür, çünki növbəyə daxil olan müraciətə mütləq xidmət göstəriləcəkdir.
Mütləq sistem ötürmə qabiliyyəti
.
Tətbiqlərin orta sayı L çox yaxşı xidmət üçün növbə diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi kimi müəyyən edilir k– növbədə olan ərizələrin sayı:
.
Təsadüfi dəyişən k 0, 1, 2, …, qiymətlərini alır m, ehtimalları sistem hallarının ehtimalları ilə müəyyən edilir səh k . Beləliklə, diskret təsadüfi kəmənin paylanma qanunu k aşağıdakı formaya malikdir:
Buna görə də, diskret təsadüfi kəmiyyətin riyazi gözləntisini təyin etməklə (dövlət ehtimalları üçün düsturları nəzərə alaraq) əldə edirik:
(16)
Fərz edək ki ρ ≠ 1 . Aydındır ki, bizdə:
Amma məbləğ 
birincinin cəmidir m həndəsi proqresiyanın üzvləri
.
(17)
(17) ifadəsini (16) əvəz edərək tapırıq:
və ya bərabərlikdən istifadə etməklə 
(ilə əldə edilmişdir ρ ≠
1
), bizdə var
Əgər ρ =
1
, sonra bərabərlikdən (16) 
və bu vəziyyətdə bunu nəzərə alaraq 
Və 
(məb m arifmetik irəliləyişin şərtləri), nəhayət əldə edirik
.
Sonra növbədəki tətbiqlərin orta sayı
(18)
Gözləmə ilə QS-nin vacib bir xüsusiyyəti, növbədə bir tətbiq üçün orta gözləmə müddətidir 
. Qoy T çox yaxşı
– növbədəki proqram üçün gözləmə müddətini əks etdirən davamlı təsadüfi dəyişən. Növbədəki tətbiq üçün orta gözləmə müddətini bu təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi kimi hesablayırıq:
.
Riyazi gözləntiləri hesablamaq üçün ümumi riyazi gözlənti üçün düsturdan istifadə edirik: əgər təcrübənin şərtləri haqqında edə bilsək n(ikili) uyğunsuz fərziyyələr 
onda təsadüfi dəyişənin ümumi riyazi gözləntisi X düsturdan istifadə etməklə hesablana bilər
Harada M (X | H k ) – dəyərin şərti riyazi gözləntiləri X hipoteza altında H k .
Gəlin nəzərdən keçirək m+ 2 uyğunsuz hipotezlər H k , k= 0,1,..., m+ 1 , QS-nin müvafiq olaraq ştatlarda olmasından ibarətdir S k , k= 0,1,..., m+ 1 . Bu fərziyyələrin ehtimalları səh (H k ) = səh k , k= 0,1,..., m+1 .
Tətbiq fərziyyə əsasında QS-ə çatarsa H 0
S 0
, hansı kanal pulsuzdur, onda sorğunun növbədə durması lazım olmayacaq və buna görə də şərti riyazi gözlənti M
(
|
H 0
)
təsadüfi dəyişən 
hipoteza altında H 0
, fərziyyə üzrə növbədə olan ərizə üçün orta gözləmə müddəti ilə üst-üstə düşür H 0
, sıfıra bərabərdir.
QS tərəfindən fərziyyə əsasında qəbul edilən ərizə üçün H 1
, yəni. QS vəziyyətdə olduqda S 1
, kanalın məşğul olduğu, lakin növbənin olmadığı, şərti riyazi gözlənti M
(
| H 1
)
təsadüfi dəyişən 
hipoteza altında H 1
, fərziyyə üzrə növbədə olan ərizə üçün orta gözləmə müddəti ilə üst-üstə düşür H 1
, bir sorğuya xidmət göstərilməsinin orta vaxtına bərabər olacaq 
.
Şərti riyazi gözlənti M
(
| H 2
)
təsadüfi dəyişən 
hipoteza altında H 2
, yəni. bir şərtlə ki, ərizə əyalətdəki CMO tərəfindən qəbul edilsin S 2
kanalın məşğul olduğu və bir sorğunun artıq növbə gözlədiyi , bərabərdir 2/
μ
(orta xidmət müddətini iki dəfə artırın, çünki iki sorğuya xidmət edilməlidir: xidmət kanalında olan və növbədə gözləyən). Və s.
Tətbiq hipotez altında sistemə daxil olarsa H m, yəni. kanal məşğul olduqda və növbə gözlədikdə m−
1
sonra tətbiqlər M
(
| H m).
Nəhayət, hipotez altında QS-ə gələn tətbiq H m +1
, yəni. kanal məşğul olduqda, m proqramlar növbədədir və növbədə daha boş yer yoxdur, rədd edilir və sistemi tərk edir. Buna görə də bu halda M
(
| H m +1
)
= 0.
Buna görə də, ümumi riyazi gözlənti üçün düstura görə, növbədə bir ərizə üçün orta gözləmə müddəti
Burada ehtimalların yerinə ifadələr qoyulur səh k
(k=1,2,...,m), alırıq: 
(19)
Kanalın yüklənmə intensivliyi varsa ρ ≠ 1 , sonra (17), (18) düsturlarını, habelə ifadəsini nəzərə alaraq bərabərlikdən (19) səh 0 tapırıq:
Əgər ρ =
1
, onda (19) ifadəsini bərabərliyə əvəz etməklə səh 0
= 1/(m+2), məbləğ dəyəri 
, (18) düsturundan istifadə etməklə ρ
=
1
və bu vəziyyətdə bunu nəzərə alaraq μ
= λ
, bizdə olacaq 
Beləliklə, hər hansı bir ρ üçün proqramın növbədə qalma müddəti üçün bir düstur alırıq ki, bu da Little düsturu adlanır: 
olanlar. növbədə olan ərizə üçün orta gözləmə müddəti
növbədəki müraciətlərin orta sayına bərabərdir L çox yaxşı, intensivliyə bölünür
λ daxil olan sorğu axını .
Misal. Yanacaqdoldurma məntəqəsində (yanacaqdoldurma məntəqəsində) bir nasos var. Maşınların yanacaq doldurmasını gözləyən stansiyada bir anda üçdən çox avtomobil yerləşə bilməz, o zaman stansiyaya gələn növbəti avtomobil növbəyə durmur, qonşu yanacaqdoldurma məntəqəsinə gedir. Orta hesabla maşınlar stansiyaya hər 2 dəqiqədən bir gəlir. Bir avtomobilə yanacaq doldurma prosesi orta hesabla 2,5 dəqiqə çəkir. Sistemin əsas xüsusiyyətlərini müəyyənləşdirin.
Həll. Bu yanacaqdoldurma məntəqəsinin riyazi modeli gözləmə və növbə uzunluğuna məhdudiyyət olan bir kanallı QS-dir ( m= 3). Ehtimal olunur ki, yanacaq doldurmaq üçün yanacaqdoldurma məntəqəsinə yaxınlaşan avtomobil axını və xidmət axını sadədir.
Maşınlar orta hesabla hər 2 dəqiqədən bir gəldiyindən, gələn axının intensivliyi bərabərdir λ
=1/2 = 0,5 (dəqiqədə maşın). Maşın başına orta xidmət müddəti 
= 2,5 dəq, buna görə də xidmət axınının intensivliyi μ
=1/2,5 = 0,4 (dəqiqədə maşın).
Kanalın yük intensivliyini təyin edirik: ρ = λ/ μ = 0,5/0,4 = 1,25.
Uğursuzluq ehtimalının hesablanması 
nisbi bant genişliyi haradan gəlir?
və mütləq ötürmə qabiliyyəti A= λ
Q≈ 0,5⋅0,703
≈ 0,352.
Yanacaq doldurmaq üçün növbə gözləyən avtomobillərin orta sayı
Little düsturundan istifadə edərək növbədə olan bir avtomobilin orta gözləmə müddətini tapırıq 
= L çox yaxşı/λ ≈1,559/0,5 = 3,118.
Beləliklə, QS-nin istismarının təhlilindən belə çıxır ki, yaxınlaşan hər 100 avtomobildən 30-na imtina edilir ( P açıq≈ 29,7%, yəni. Müraciətlərin 2/3 hissəsinə xidmət göstərilir. Buna görə də ya bir maşının xidmət müddətini azaltmaq (xidmət axınının intensivliyini artırmaq), ya da nasosların sayını artırmaq, ya da gözləmə sahəsini artırmaq lazımdır.
