Mövzu üzrə dərs və təqdimat: "Güc funksiyaları. Xüsusiyyətlər. Qrafiklər"
Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, şərhlərinizi, rəylərinizi, arzularınızı bildirməyi unutmayın! Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılıb.
11-ci sinif üçün Integral onlayn mağazasında tədris vəsaitləri və simulyatorlar
9-11-ci siniflər üçün "Triqonometriya" interaktiv dərs vəsaiti
10-11-ci siniflər üçün interaktiv dərslik "Loqarifmlər"
Güc funksiyaları, tərif sahəsi.
Uşaqlar, keçən dərsdə rasional göstəriciləri olan ədədlərlə işləməyi öyrəndik. Bu dərsdə güc funksiyalarına baxacağıq və eksponentin rasional olduğu halla məhdudlaşacağıq.Formanın funksiyalarını nəzərdən keçirəcəyik: $y=x^(\frac(m)(n))$.
Əvvəlcə eksponenti $\frac(m)(n)>1$ olan funksiyaları nəzərdən keçirək.
Bizə xüsusi $y=x^2*5$ funksiyası verilsin.
Keçən dərsdə verdiyimiz tərifə görə: əgər $x≥0$ olarsa, o zaman funksiyamızın təyin olunma oblastı $(x)$ şüasıdır. Gəlin funksiyanın qrafikini sxematik şəkildə təsvir edək.
$y=x^(\frac(m)(n))$, $0 funksiyasının xassələri 2. Nə cüt, nə də tək deyil.
3. $$ artır,
b) $(2,10)$,
c) $$ şüası üzərində.
Həll.
Uşaqlar, 10-cu sinifdə seqmentdə funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini necə tapdığımızı xatırlayırsınızmı?
Düzdü, törəmədən istifadə etdik. Nümunəmizi həll edək və ən kiçik və tapmaq üçün alqoritmi təkrar edək ən yüksək dəyər.
1. Verilmiş funksiyanın törəməsini tapın:
$y"=\frac(16)(5)*\frac(5)(2)x^(\frac(3)(2))-x^3=8x^(\frac(3)(2)) -x^3=8\sqrt(x^3)-x^3$.
2. Törəmə orijinal funksiyanın tərifinin bütün sahəsi boyunca mövcuddur, onda heç bir kritik nöqtə yoxdur. Stasionar nöqtələri tapaq:
$y"=8\sqrt(x^3)-x^3=0$.
$8*\sqrt(x^3)=x^3$.
$64x^3=x^6$.
$x^6-64x^3=0$.
$x^3(x^3-64)=0$.
$x_1=0$ və $x_2=\sqrt(64)=4$.
Verilmiş seqmentdə yalnız bir həll var $x_2=4$.
Seqmentin sonunda və ekstremal nöqtədə funksiyamızın dəyərlərinin cədvəlini yaradaq:
Cavab: $y_(ad)=-862.65$, $x=9$; $y_(maks.)=38,4$, $x=4$.
Misal. Tənliyi həll edin: $x^(\frac(4)(3))=24-x$.
Həll. $y=x^(\frac(4)(3))$ funksiyasının qrafiki artır, $y=24-x$ funksiyasının qrafiki isə azalır. Uşaqlar, siz və mən bilirik: əgər bir funksiya artırsa, digəri azalırsa, onlar yalnız bir nöqtədə kəsişirlər, yəni yalnız bir həllimiz var.
Qeyd:
$8^(\frac(4)(3))=\sqrt(8^4)=(\sqrt(8))^4=2^4=16$.
$24-8=16$.
Yəni $x=8$ ilə düzgün $16=16$ bərabərliyini əldə etdik, bu bizim tənliyimizin həllidir.
Cavab: $x=8$.
Misal.
Funksiyanın qrafikini çəkin: $y=(x-3)^\frac(3)(4)+2$.
Həll.
Funksiyamızın qrafiki $y=x^(\frac(3)(4))$ funksiyasının qrafikindən onu 3 vahid sağa və 2 vahid yuxarı sürüşdürərək alınır. 
Misal. $x=1$ nöqtəsində $y=x^(-\frac(4)(5))$ xəttinə toxunan tənliyi yazın.
Həll. Tangens tənliyi bildiyimiz düsturla müəyyən edilir:
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Bizim vəziyyətimizdə $a=1$.
$f(a)=f(1)=1^(-\frac(4)(5))=1$.
Törəməni tapaq:
$y"=-\frac(4)(5)x^(-\frac(9)(5))$.
Gəlin hesablayaq:
$f"(a)=-\frac(4)(5)*1^(-\frac(9)(5))=-\frac(4)(5)$.
Tangens tənliyini tapaq:
$y=1-\frac(4)(5)(x-1)=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Cavab: $y=-\frac(4)(5)x+1\frac(4)(5)$.
Müstəqil həll ediləcək problemlər
1. Funksiyanın ən böyük və ən kiçik qiymətini tapın: seqmentdə $y=x^\frac(4)(3)$:a) $$.
b) $(4.50)$.
c) $$ şüası üzərində.
3. Tənliyi həll edin: $x^(\frac(1)(4))=18-x$.
4. Funksiyanın qrafikini qurun: $y=(x+1)^(\frac(3)(2))-1$.
5. $x=1$ nöqtəsində $y=x^(-\frac(3)(7))$ düz xəttinə toxunan üçün tənlik yaradın.
Harada funksiya X- dəyişən kəmiyyət, A– verilmiş nömrə çağırılır Güc funksiyası .
Əgər o zaman xətti funksiyadırsa, onun qrafiki düz xəttdir (bax bənd 4.3, Şəkil 4.7).
Əgər onda - kvadrat funksiya, onun qrafiki paraboladır (bax bənd 4.3, Şəkil 4.8).
Əgər onda onun qrafiki kub paraboladırsa (bax bənd 4.3, Şəkil 4.9).
Bu, üçün tərs funksiyadır
1. Domen: 
2. Çoxlu mənalar:
3. Cüt və tək: funksiyası qəribədir.
4. Funksiya tezliyi: qeyri-dövri.
5. Funksiya sıfırları: X= 0 - yeganə sıfır.
6. Funksiya maksimum və ya minimum dəyərə malik deyil.
7.
8. Funksiya qrafiki Düz xəttə nisbətən kub parabolanın qrafikinə simmetrikdir Y=X və Şəkildə göstərilmişdir. 5.1.
 |
Güc funksiyası
1. Domen: 
2. Çoxlu mənalar:
3. Cüt və tək: funksiyası bərabərdir.
4. Funksiya tezliyi: qeyri-dövri.
5. Funksiya sıfırları: tək sıfır X = 0.
6. Funksiyanın ən böyük və ən kiçik dəyərləri:üçün ən kiçik qiyməti alır X= 0, 0-a bərabərdir.
7. Fasilələri artırın və azaldın: funksiya intervalda azalır, intervalda isə artır
8. Funksiya qrafiki(hər biri üçün N Î N) kvadrat parabolanın qrafikinə “oxşar”dır (funksiya qrafikləri şək. 5.2-də göstərilmişdir).
Güc funksiyası
1. Domen:
2. Çoxlu mənalar: 
3. Cüt və tək: funksiyası qəribədir.
4. Funksiya tezliyi: qeyri-dövri.
5. Funksiya sıfırları: X= 0 - yeganə sıfır.
6. Ən yüksək və ən aşağı dəyərlər:
7. Fasilələri artırın və azaldın: funksiya bütün tərif sahəsi üzrə artır.
8. Funksiya qrafiki(hər biri üçün ) kub parabolanın qrafikinə “oxşar”dır (funksiya qrafikləri Şəkil 5.3-də göstərilmişdir).
 |
Güc funksiyası
1. Domen:
2. Çoxlu mənalar:
3. Cüt və tək: funksiyası qəribədir.
4. Funksiya tezliyi: qeyri-dövri.
5. Funksiya sıfırları: sıfırları yoxdur.
6. Funksiyanın ən böyük və ən kiçik dəyərləri: funksiyanın heç biri üçün ən böyük və ən kiçik dəyərləri yoxdur
7. Fasilələri artırın və azaldın: funksiya öz tərif sahəsində azalır.
8. Asimptotlar:(ox OU) – şaquli asimptot;
(ox Oh) – üfüqi asimptot.
9. Funksiya qrafiki(hər kəs üçün N) hiperbolanın qrafikinə “oxşar”dır (funksiya qrafikləri şək. 5.4-də göstərilmişdir).
 |
Güc funksiyası
1. Domen:
2. Çoxlu mənalar:
3. Cüt və tək: funksiyası bərabərdir.
4. Funksiya tezliyi: qeyri-dövri.
5. Funksiyanın ən böyük və ən kiçik dəyərləri: funksiyanın heç biri üçün ən böyük və ən kiçik dəyərləri yoxdur
6. Fasilələri artırın və azaldın: funksiyası ilə artır və azalır
7. Asimptotlar: X= 0 (ox OU) – şaquli asimptot;
Y= 0 (ox Oh) – üfüqi asimptot.
8. Funksiya qrafikləri Onlar kvadrat hiperbolalardır (şək. 5.5).
 |
Güc funksiyası
1. Domen:
2. Çoxlu mənalar:
3. Cüt və tək: funksiyanın cüt və tək xassələri yoxdur.
4. Funksiya tezliyi: qeyri-dövri.
5. Funksiya sıfırları: X= 0 - yeganə sıfır.
6. Funksiyanın ən böyük və ən kiçik dəyərləri: funksiya nöqtədə 0-a bərabər olan ən kiçik qiyməti alır X= 0; ən önəmli deyil.
7. Fasilələri artırın və azaldın: funksiya bütün tərif sahəsi üzrə artır.
8. Müəyyən bir eksponent üçün belə hər bir funksiya verilən funksiyanın tərsidir
9. Funksiya qrafiki hər hansı bir funksiyanın qrafikinə "oxşayır" N və Şəkildə göstərilmişdir. 5.6.
Güc funksiyası
1. Domen:
2. Çoxlu mənalar:
3. Cüt və tək: funksiyası qəribədir.
4. Funksiya tezliyi: qeyri-dövri.
5. Funksiya sıfırları: X= 0 - yeganə sıfır.
6. Funksiyanın ən böyük və ən kiçik dəyərləri: funksiyanın heç biri üçün ən böyük və ən kiçik dəyərləri yoxdur
7. Fasilələri artırın və azaldın: funksiya bütün tərif sahəsi üzrə artır.
8. Funksiya qrafikiŞəkildə göstərilmişdir. 5.7.
 |
Tam ədədlə güc funksiyalarının xassələrini və qrafiklərini xatırlayaq mənfi göstərici.
Hətta n üçün:
Nümunə funksiyası:
Belə funksiyaların bütün qrafikləri iki sabit nöqtədən keçir: (1;1), (-1;1). Bu tip funksiyaların özəlliyi onların paritetidir; qrafiklər op-amp oxuna nisbətən simmetrikdir.
düyü. 1. Funksiya qrafiki
Tək n üçün:
Nümunə funksiyası:
Belə funksiyaların bütün qrafikləri iki sabit nöqtədən keçir: (1;1), (-1;-1). Bu tip funksiyaların özəlliyi ondan ibarətdir ki, onlar təkdir, qrafiklər mənşəyinə görə simmetrikdir.
düyü. 2. Funksiya qrafiki
Əsas tərifi xatırlayaq.
Rasional müsbət göstəricisi olan qeyri-mənfi a ədədinin gücünə ədəd deyilir.
Rasional mənfi göstəricisi olan müsbət a ədədinin gücünə ədəd deyilir.
Bərabərlik üçün:
Misal üçün: 
; - tərifinə görə mənfi rasional göstəricisi olan dərəcə ifadəsi mövcud deyil; eksponent tam olduğu üçün mövcuddur, 
Rasional mənfi eksponentli güc funksiyalarını nəzərdən keçirməyə keçək.
Misal üçün:
Bu funksiyanın qrafikini çəkmək üçün cədvəl yarada bilərsiniz. Biz bunu başqa cür edəcəyik: əvvəlcə məxrəcin qrafikini quracağıq və öyrənəcəyik - bu, bizə məlumdur (şəkil 3).
düyü. 3. Funksiya qrafiki
Məxrəc funksiyasının qrafiki sabit nöqtədən keçir (1;1). Orijinal funksiyanı tərtib edərkən verilmiş nöqtə qalır, kök də sıfıra meyl etdikdə, funksiya sonsuzluğa meyl edir. Və əksinə, x sonsuzluğa meyl etdiyi kimi, funksiya sıfıra meyl edir (Şəkil 4).
düyü. 4. Funksiya qrafiki
Öyrənilən funksiyalar ailəsindən başqa bir funksiyanı nəzərdən keçirək.
Tərifinə görə vacibdir
Məxrəcdə funksiyanın qrafikini nəzərdən keçirək: , bu funksiyanın qrafiki bizə məlumdur, o, təyinetmə oblastında artır və (1;1) nöqtəsindən keçir (şəkil 5).
düyü. 5. Funksiya qrafiki
Orijinal funksiyanın qrafikini çəkərkən (1;1) nöqtəsi qalır, kök də sıfıra, funksiya isə sonsuzluğa meyl edir. Və əksinə, x sonsuzluğa meyl etdiyi kimi, funksiya da sıfıra meyl edir (Şəkil 6).
düyü. 6. Funksiya qrafiki
Baxılan nümunələr qrafikin necə axdığını və öyrənilən funksiyanın - mənfi rasional eksponentli funksiyanın xüsusiyyətlərinin nə olduğunu anlamağa kömək edir.
Bu ailənin funksiyalarının qrafikləri (1;1) nöqtəsindən keçir, funksiya bütün təyinetmə sahəsi üzrə azalır.
Funksiya əhatə dairəsi: 
Funksiya yuxarıdan məhdud deyil, aşağıdan məhduddur. Funksiyanın nə ən böyüyü var, nə də ən aşağı dəyər.
Funksiya davamlıdır və sıfırdan üstəgəl sonsuza qədər bütün müsbət dəyərləri qəbul edir.
Funksiya aşağıya doğru qabarıqdır (Şəkil 15.7)
Əyri üzərində A və B nöqtələri götürülür, onların arasından bir seqment çəkilir, bütün əyri seqmentin altındadır, bu şərtəyrinin ixtiyari iki nöqtəsi üçün təmin edilir, buna görə də funksiya aşağıya doğru qabarıqdır. düyü. 7.
düyü. 7. Funksiyanın qabarıqlığı
Bu ailənin funksiyalarının aşağıdan sıfırla məhdudlaşdığını, lakin ən kiçik dəyərə malik olmadığını başa düşmək vacibdir.
Nümunə 1 - \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \] intervalında funksiyanın maksimum və minimumunu tapın.
Qrafik (Şəkil 2).
Şəkil 2. $f\left(x\right)=x^(2n)$ funksiyasının qrafiki
Təbii tək eksponentli güc funksiyasının xassələri
Tərif sahəsi bütün həqiqi ədədlərdir.
$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- funksiya təkdir.
$f(x)$ bütün tərif sahəsi üzrə davamlıdır.
Aralıq bütün real rəqəmlərdir.
$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$
Funksiya bütün tərif sahəsi üzrə artır.
$f\left(x\right)0$, $x\in (0,+\infty)$ üçün.
$f(""\sol(x\sağ))=(\sol(\sol(2n-1\sağ)\cdot x^(2\sol(n-1\sağ))\sağ))"=2 \sol(2n-1\sağ)(n-1)\cdot x^(2n-3)$
\ \
Funksiya $x\in (-\infty ,0)$ üçün konveks və $x\in (0,+\infty)$ üçün qabarıqdır.
Qrafik (Şəkil 3).
Şəkil 3. $f\left(x\right)=x^(2n-1)$ funksiyasının qrafiki
Tam eksponentli güc funksiyası
Əvvəlcə tam eksponentli dərəcə anlayışını təqdim edək.
Tərif 3
Tam eksponenti $n$ olan $a$ həqiqi ədədinin gücü düsturla müəyyən edilir:
Şəkil 4.
İndi tam eksponentli güc funksiyasını, onun xassələrini və qrafikini nəzərdən keçirək.
Tərif 4
$f\left(x\right)=x^n$ ($n\in Z)$ tam eksponentli güc funksiyası adlanır.
Əgər dərəcə sıfırdan böyükdürsə, onda təbii eksponentli güc funksiyası vəziyyətinə gəlirik. Biz bunu artıq yuxarıda müzakirə etdik. $n=0$ üçün alırıq xətti funksiya$y=1$. Onun mülahizəsini oxucunun ixtiyarına buraxırıq. Mənfi tam eksponentli güc funksiyasının xassələrini nəzərdən keçirmək qalır
Mənfi tam eksponentli güc funksiyasının xassələri
Tərif sahəsi $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$-dır.
Göstərici cütdürsə, funksiya cütdür, təkdirsə, funksiya təkdir.
$f(x)$ bütün tərif sahəsi üzrə davamlıdır.
Əhatə dairəsi:
Göstərici cütdürsə, onda $(0,+\infty)$; təkdirsə, $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.
Tək eksponent üçün funksiya $x\in \left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$ kimi azalır. Göstərici cütdürsə, funksiya $x\in (0,+\infty)$ kimi azalır. və $x\in \left(-\infty ,0\right)$ kimi artır.
$f(x)\ge 0$ bütün tərif domenində
