Ev Uşaq stomatologiyası Müəyyən inteqrallar cədvəli tələbələr üçün tamdır. Əsas düsturlar və inteqrasiya üsulları

Uşaq stomatologiyası

Müəyyən inteqrallar cədvəli tələbələr üçün tamdır. Əsas düsturlar və inteqrasiya üsulları

İnteqrasiya üçün dörd əsas üsul aşağıda verilmişdir.

1) Cəmi və ya fərqi inteqrasiya etmək qaydası.
.
Burada və aşağıda u, v, w inteqrasiya dəyişəninin x funksiyalarıdır.

2) Sabitin inteqral işarəsindən kənara köçürülməsi.
X-dən asılı olmayan c sabiti olsun. Sonra onu inteqral işarəsindən çıxarmaq olar.

3) Dəyişən dəyişdirmə üsulu.
Qeyri-müəyyən inteqralı nəzərdən keçirək.
Əgər belə bir funksiya tapa bilsək φ (x) x-dən, yəni
,
onda t = φ(x) dəyişənini əvəz etməklə bizdə olur
.

4) Hissələr üzrə inteqrasiya düsturu.
,
burada u və v inteqrasiya dəyişəninin funksiyalarıdır.

Hesablamanın son məqsədi deyil müəyyən inteqrallar- bu, çevrilmələr vasitəsilə verilmiş inteqralı cədvəlli inteqrallar adlanan ən sadə inteqrallara endirməkdir. Cədvəl inteqralları elementar funksiyalarla ifadə edilir məlum düsturlar.
İnteqrallar Cədvəli >>> baxın

Misal

Qeyri-müəyyən inteqralı hesablayın

Həll

Qeyd edək ki, inteqral üç şərtin cəmi və fərqidir:
, Və .
Metodun tətbiqi 1 .

Sonra qeyd edirik ki, yeni inteqralların inteqralları sabitlərə vurulur 5, 4, Və 2 , müvafiq olaraq. Metodun tətbiqi 2 .

İnteqrallar cədvəlində düsturu tapırıq
.
n = fərz etsək 2 , birinci inteqralı tapırıq.

İkinci inteqralı formada yenidən yazaq
.
Biz bunu qeyd edirik. Sonra

Üçüncü üsuldan istifadə edək. t = φ dəyişənini dəyişdiririk (x) = log x.
.
İnteqrallar cədvəlində düsturu tapırıq

İnteqrasiya dəyişənini istənilən hərflə işarələmək olar

Üçüncü inteqralı formada yenidən yazaq
.
Hissələr üzrə inteqrasiya düsturunu tətbiq edirik.
qoy onu.
Sonra
;
;

;
;
.

Nəhayət bizdə
.
Şərtləri x ilə toplayaq 3 .
.

Cavab verin

İstinadlar:
N.M. Günter, R.O. Kuzmin, Ali riyaziyyatda problemlər toplusu, "Lan", 2003.

Məktəbdə bir çox insanlar inteqralları həll edə bilmir və ya onlarla çətinlik çəkirlər. Bu məqalə bunu anlamağa kömək edəcək, çünki orada hər şeyi tapa bilərsiniz. inteqral cədvəllər.

İnteqral riyazi analizdə əsas hesablamalardan və anlayışlardan biridir. Onun görünüşü iki məqsədlə nəticələndi:
İlk qol- törəməsindən istifadə edərək funksiyanı bərpa etmək.
İkinci qol- a-nın b-dən böyük və ya bərabər olduğu və x oxundan böyük və ya bərabər olduğu düz xətt üzərində qrafikdən f(x) funksiyasına qədər olan məsafədə yerləşən sahənin hesablanması.

Bu məqsədlər bizi müəyyən və qeyri-müəyyən inteqrallara aparır. Bu inteqrallar arasındakı əlaqə xassələrin axtarışında və hesablanmasındadır. Lakin hər şey axır və zaman keçdikcə hər şey dəyişir, yeni həll yolları tapıldı, əlavələr müəyyən edildi və bununla da müəyyən və qeyri-müəyyən inteqralları digər inteqrasiya formalarına apardı.

Nə baş verdi qeyri-müəyyən inteqral soruşursan. Bu, a-dan böyük x-dən b-dən böyük intervalda bir x dəyişənin F(x) antiderivativ funksiyasıdır. hər hansı F(x) funksiyası adlanır, istənilən x təyinatı üçün verilmiş intervalda törəmə F(x)-ə bərabərdir. Aydındır ki, a x-dən böyük, b-dən böyük olan intervalda f(x) üçün F(x) antitörəmədir. Bu o deməkdir ki, F1(x) = F(x) + C. C - verilmiş intervalda f(x) üçün istənilən sabit və əks törəmədir. Bu müddəa tərsdir; f(x) - 2 funksiyası üçün antiderivativlər yalnız sabitdə fərqlənir. İnteqral hesablama teoreminə əsaslanaraq məlum olur ki, hər biri a intervalında davamlı

Müəyyən inteqral inteqral cəmlərdə hədd kimi başa düşülür və ya hansısa (a,b) sətirində müəyyən edilmiş, üzərində antitörəmə F olan, verilmiş sətrin sonundakı ifadələrinin fərqini bildirən f(x) funksiyasının vəziyyətində başa düşülür. F(b) - F(a).

Bu mövzunun öyrənilməsini göstərmək üçün videoya baxmağı təklif edirəm. Bu, inteqralların necə tapılacağını ətraflı izah edir və göstərir.

Hər bir inteqral cədvəli özlüyündə çox faydalıdır, çünki müəyyən bir növ inteqralın həllinə kömək edir.

Hamısı mümkün növləri dəftərxana ləvazimatı və s. Siz v-kant.ru onlayn mağazası vasitəsilə satın ala bilərsiniz. Və ya sadəcə Dəftərxana ləvazimatları Samara linkini izləyin (http://v-kant.ru) keyfiyyət və qiymətlər sizi xoş təəccübləndirəcək.

-nin inteqrallarını sadalayaq elementar funksiyalar, bəzən cədvəl adlanır:

Yuxarıdakı düsturlardan hər hansı birini sağ tərəfin törəməsini götürməklə sübut etmək olar (nəticə inteqral olacaq).

İnteqrasiya üsulları

Bəzi əsas inteqrasiya üsullarına nəzər salaq. Bunlara daxildir:

1. Parçalanma üsulu(birbaşa inteqrasiya).

Bu üsul cədvəlli inteqralların birbaşa istifadəsinə, eləcə də qeyri-müəyyən inteqralın 4 və 5-ci xassələrinin istifadəsinə (yəni, sabit əmsalı mötərizədən çıxarmaq və/və ya inteqranı funksiyaların cəmi kimi təmsil etmək - parçalanma) əsaslanır. inteqralın şərtləri).

Misal 1. Məsələn,(dx/x 4) tapmaq üçün birbaşa forx n dx cədvəlinin inteqralından istifadə edə bilərsiniz. Əslində,(dx/x 4) =x -4 dx=x -3 /(-3) +C= -1/3x 3 +C.

Gəlin daha bir neçə misala baxaq.

Misal 2. Onu tapmaq üçün eyni inteqraldan istifadə edirik:

Misal 3. Onu tapmaq üçün götürmək lazımdır

Misal 4. Tapmaq üçün inteqral funksiyanı formada təqdim edirik və eksponensial funksiya üçün cədvəl inteqralından istifadə edin:

Mötərizənin istifadəsini sabit faktor hesab edək.

Misal 5.Məsələn, tapaq . Bunu nəzərə alsaq, əldə edirik

Misal 6. Biz tapacağıq. Çünki , cədvəl inteqralından istifadə edək alırıq

Aşağıdakı iki nümunədə mötərizə və cədvəl inteqrallarından da istifadə edə bilərsiniz:

Misal 7.

(istifadə edirik və );

Misal 8.

(istifadə edirik Və ).

Gəlin cəmi inteqraldan istifadə edən daha mürəkkəb nümunələrə baxaq.

Misal 9. Məsələn, tapaq
. Genişlənmə üsulunu paylayıcıda tətbiq etmək üçün biz cəmi kub düsturundan  istifadə edirik və sonra yaranan çoxhədlini məxrəcə, hədlərə bölürük.

=((8x 3/2 + 12x+ 6x 1/2 + 1)/(x 3/2))dx=(8 + 12x -1/2 + 6/x+x -3/2)dx= 8 dx+ 12x -1/2 dx+ + 6dx/x+x -3/2 dx=

Qeyd etmək lazımdır ki, həllin sonunda bir ümumi sabit C yazılır (hər bir termini inteqral edərkən ayrı-ayrılıqda deyil). Gələcəkdə, həmçinin ifadədə ən azı bir qeyri-müəyyən inteqral (həllin sonunda bir sabit yazacağıq) olması şərti ilə həll prosesində fərdi şərtlərin inteqrasiyasından sabitlərin buraxılması da təklif olunur.

Misal 10. tapacağıq . Bu məsələni həll etmək üçün payı faktorlara ayıraq (bundan sonra məxrəci azalda bilərik).

Misal 11. Biz tapacağıq. Burada triqonometrik eyniliklərdən istifadə etmək olar.

Bəzən bir ifadəni terminlərə bölmək üçün daha mürəkkəb üsullardan istifadə etməli olursunuz.

Misal 12. tapacağıq . İnteqralda biz fraksiyanın bütün hissəsini seçirik . Sonra

Misal 13. tapacağıq

2. Dəyişən əvəzetmə üsulu (əvəzetmə üsulu)

Metod aşağıdakı düstura əsaslanır: f(x)dx=f((t))`(t)dt, burada x =(t) nəzərdən keçirilən interval üzrə diferensiallanan funksiyadır.

Sübut. Soldan t dəyişəninə görə törəmələri tapaq və sağ hissələr düsturlar.

Qeyd edək ki, sol tərəfdə aralıq arqumenti x = (t) olan mürəkkəb funksiya var. Buna görə də onu t-ə görə diferensiallaşdırmaq üçün əvvəlcə inteqralı x-ə görə diferensiallayırıq, sonra isə t-ə münasibətdə ara arqumentin törəməsini götürürük.

( f(x)dx)` t = ( f(x)dx)` x *x` t = f(x) `(t)

Sağ tərəfdən törəmə:

(f((t))`(t)dt)` t =f((t))`(t) =f(x)`(t)

Bu törəmələr bərabər olduğundan, Laqranj teoreminin nəticəsi olaraq, sübut olunan düsturun sol və sağ tərəfləri müəyyən sabitlə fərqlənir. Qeyri-müəyyən inteqralların özləri qeyri-müəyyən sabit müddətə qədər təyin olunduğundan, bu sabit son qeyddən çıxarıla bilər. Sübut edilmiş.

Dəyişənlərin uğurlu dəyişməsi orijinal inteqralı sadələşdirməyə, ən sadə hallarda isə onu cədvələ endirməyə imkan verir. Bu metodun tətbiqi zamanı xətti və qeyri-xətti əvəzetmə üsulları arasında fərq qoyulur.

a) Xətti əvəzetmə üsulu Bir nümunəyə baxaq.

Misal 1.
. t= 1 – 2x olsun, onda

dx=d(½ - ½t) = - ½dt

Qeyd etmək lazımdır ki, yeni dəyişənin açıq şəkildə yazılmasına ehtiyac yoxdur. Belə hallarda, diferensial işarə altında funksiyanın çevrilməsindən və ya diferensial işarə altında sabitlərin və dəyişənlərin daxil edilməsindən danışırlar, yəni. O gizli dəyişənlərin dəyişdirilməsi.

Misal 2. Məsələn,cos(3x + 2)dx-i tapaq. Diferensialın xassələrinə görə dx = (1/3)d(3x) = (1/3)d(3x + 2), ondacos(3x + 2)dx =(1/3)cos(3x + 2)d (3x + + 2) = (1/3)cos(3x + 2)d(3x + 2) = (1/3)sin(3x + 2) +C.

Nəzərdən keçirilən hər iki nümunədə inteqralları tapmaq üçün xətti əvəzetmə t=kx+b(k0) istifadə edilmişdir.

Ümumi halda aşağıdakı teorem etibarlıdır.

Xətti əvəzetmə teoremi. F(x) f(x) funksiyasının hansısa antitörəvi olsun. Ondaf(kx+b)dx= (1/k)F(kx+b) +C, burada k və b bəzi sabitlərdir,k0.

Sübut.

f(kx+b)d(kx+b) =F(kx+b) +C inteqralının tərifinə görə. Hod(kx+b)= (kx+b)`dx=kdx. Sabit k əmsalını inteqral işarədən çıxaraq: kf(kx+b)dx=F(kx+b) +C. İndi bərabərliyin sol və sağ tərəflərini ikiyə bölüb sabit terminin təyin edilməsinə qədər isbat olunacaq ifadəni ala bilərik.

Bu teorem bildirir ki, əgər f(x)dx= F(x) + C inteqralının tərifində x arqumentinin yerinə (kx+b) ifadəsini əvəz etsək, bu, əlavənin yaranmasına səbəb olacaq. əmsal 1/k antitörəmə qarşısında.

Sübut edilmiş teoremdən istifadə edərək aşağıdakı nümunələri həll edirik.

Misal 3.

tapacağıq . Burada kx+b= 3 –x, yəni k= -1,b= 3. Sonra

Misal 4.

Biz tapacağıq. Herekx+b= 4x+ 3, yəni k= 4,b= 3. Sonra

Misal 5.

tapacağıq . Burada kx+b= -2x+ 7, yəni k= -2,b= 7. Onda

Misal 6. tapacağıq
. Burada kx+b= 2x+ 0, yəni k= 2,b= 0.

Alınan nəticəni parçalanma üsulu ilə həll edilən 8-ci nümunə ilə müqayisə edək. Eyni problemi fərqli bir üsulla həll edərək, cavabı aldıq
. Nəticələri müqayisə edək: Beləliklə, bu ifadələr bir-birindən sabit terminlə fərqlənir , yəni. Alınan cavablar bir-biri ilə ziddiyyət təşkil etmir.

Misal 7. tapacağıq
. Məxrəcdə mükəmməl bir kvadrat seçək.

Bəzi hallarda dəyişənin dəyişdirilməsi inteqralı birbaşa cədvələ endirmir, lakin həlli sadələşdirə bilər və sonrakı mərhələdə genişləndirmə metodundan istifadə etməyə imkan verir.

Misal 8. Məsələn, tapaq . t=x+ 2, sonra dt=d(x+ 2) =dx əvəz edin. Sonra

burada C = C 1 – 6 (ilk iki şərtin yerinə (x+ 2) ifadəsini əvəz etdikdə ½x 2 -2x– 6 alınır).

Misal 9. tapacağıq
. t= 2x+ 1 olsun, onda dt= 2dx;dx= ½dt;x= (t– 1)/2 olsun.

(2x+ 1) ifadəsini t ilə əvəz edək, mötərizələri açıb oxşarlarını verək.

Qeyd edək ki, çevrilmə prosesində biz başqa sabit terminə keçdik, çünki transformasiya prosesi zamanı sabit terminlər qrupu buraxıla bilər.

b) Qeyri-xətti əvəzetmə üsulu Bir nümunəyə baxaq.

Misal 1.
. Lett = -x 2. Sonra, x-i t baxımından ifadə etmək, sonra dx üçün ifadə tapmaq və dəyişənin istənilən inteqralda dəyişməsini həyata keçirmək olar. Ancaq bu vəziyyətdə hər şeyi başqa cür etmək daha asandır. Gəlin dt=d(-x 2) = -2xdx tapaq. Qeyd edək ki, xdx ifadəsi arzu olunan inteqralın inteqralının faktorudur. Nəticə xdx= - ½dt bərabərliyindən ifadə edək. Sonra

Hər bir tələbənin bilməli olduğu əsas inteqrallar

Sadalanan inteqrallar əsasların əsasını, əsasını təşkil edir. Bu düsturları mütləq xatırlamaq lazımdır. Daha çox hesablayanda kompleks inteqrallar onlardan daim istifadə etməli olacaqsınız.

Zəhmət olmasa ödəyin Xüsusi diqqət(5), (7), (9), (12), (13), (17) və (19) düsturlarına. İnteqrasiya edərkən cavabınıza ixtiyari C sabitini əlavə etməyi unutmayın!

Sabitin inteqralı

∫ A d x = A x + C (1)

Güc funksiyasının inteqrasiyası

Əslində, özümüzü yalnız (5) və (7) düsturları ilə məhdudlaşdırmaq mümkün idi, lakin bu qrupdan qalan inteqrallar o qədər tez-tez baş verir ki, onlara bir az diqqət yetirməyə dəyər.

∫ x d x = x 2 2 + C (2)
∫ x 2 d x = x 3 3 + C (3)
∫ 1 x d x = 2 x + C (4)
∫ 1 x d x = ln | x | +C (5)
∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C (6)
∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1) (7)

Eksponensial funksiyaların və hiperbolik funksiyaların inteqralları

Təbii ki, düstur (8) (bəlkə də əzbərləmək üçün ən əlverişli) kimi qəbul edilə bilər xüsusi hal düsturlar (9). Hiperbolik sinus və hiperbolik kosinusun inteqralları üçün düsturlar (10) və (11) asanlıqla (8) düsturundan alınır, lakin bu əlaqələri sadəcə xatırlamaq daha yaxşıdır.

∫ e x d x = e x + C (8)
∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1) (9)
∫ s h x d x = c h x + C (10)
∫ c h x d x = s h x + C (11)

Triqonometrik funksiyaların əsas inteqralları

Şagirdlərin tez-tez buraxdıqları səhv (12) və (13) düsturlarındakı işarələri qarışdırmalarıdır. Sinusun törəməsinin kosinusa bərabər olduğunu xatırlayan bir çox insan nədənsə sinx funksiyasının inteqralının cosx-a bərabər olduğuna inanır. Bu doğru deyil! Sinusun inteqralı “mənfi kosinus”a bərabərdir, lakin cosx inteqralı “sadəcə sinus”a bərabərdir:

∫ sin x d x = − cos x + C (12)
∫ cos x d x = sin x + C (13)
∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C (14)
∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C (15)

Tərs triqonometrik funksiyaları azaldan inteqrallar

Arktangentə aparan düstur (16) təbii olaraq a=1 üçün (17) formulunun xüsusi halıdır. Eynilə, (18) (19) xüsusi haldır.

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C (16)
∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0) (17)
∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C (18)
∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0) (19)

Daha mürəkkəb inteqrallar

Bu düsturları xatırlamaq da məsləhətdir. Onlar da olduqca tez-tez istifadə olunur və onların çıxışı olduqca yorucudur.

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C (20)
∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C (21)
∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0) (22)
∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0) (23)
∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0) (24)

Ümumi inteqrasiya qaydaları

1) İki funksiyanın cəminin inteqralı məbləğinə bərabərdir uyğun inteqrallar: ∫ (f (x) + g (x)) d x = ∫ f (x) d x + ∫ g (x) d x (25)

2) İki funksiyanın fərqinin inteqralı müvafiq inteqralların fərqinə bərabərdir: ∫ (f (x) − g (x)) d x = ∫ f (x) d x − ∫ g (x) d x (26)

3) Sabiti inteqral işarədən çıxarmaq olar: ∫ C f (x) d x = C ∫ f (x) d x (27)

Əmlakın (26) sadəcə olaraq (25) və (27) xassələrinin birləşməsindən ibarət olduğunu görmək asandır.

4) inteqralı mürəkkəb funksiya, Əgər daxili funksiya xəttidir: ∫ f (A x + B) d x = 1 A F (A x + B) + C (A ≠ 0) (28)

Burada F(x) f(x) funksiyası üçün antitörəmədir. Diqqət edin: bu düstur yalnız daxili funksiya Ax + B olduqda işləyir.

Əhəmiyyətli: mövcud deyil universal formula iki funksiyanın hasilinin inteqralı üçün, həmçinin kəsrin inteqralı üçün:

∫ f (x) g (x) d x = ? ∫ f (x) g (x) d x = ? (otuz)

Bu, əlbəttə ki, fraksiya və ya məhsulun inteqrasiya oluna bilməyəcəyi anlamına gəlmir. Sadəcə olaraq, hər dəfə (30) kimi bir inteqral görəndə onunla “mübarizə” etməyin bir yolunu icad etməli olacaqsınız. Bəzi hallarda hissələrə görə inteqrasiya sizə kömək edəcək, digərlərində dəyişən dəyişikliyi etməli olacaqsınız və bəzən hətta "məktəb" cəbri və ya triqonometriya düsturları kömək edə bilər.

Qeyri-müəyyən inteqralın hesablanmasının sadə nümunəsi

Misal 1. İnteqralı tapın: ∫ (3 x 2 + 2 sin x − 7 e x + 12) d x

(25) və (26) düsturlarından istifadə edək (funksiyaların cəmi və ya fərqinin inteqralı müvafiq inteqralların cəmi və ya fərqinə bərabərdir. Alırıq: ∫ 3 x 2 d x + ∫ 2 sin x d x − ∫ 7 e x d x + ∫ 12 d x

Xatırlayaq ki, sabiti inteqral işarədən çıxarmaq olar (düstur (27)). İfadə formaya çevrilir

3 ∫ x 2 d x + 2 ∫ sin x d x − 7 ∫ e x d x + 12 ∫ 1 d x

İndi sadəcə əsas inteqrallar cədvəlindən istifadə edək. Biz (3), (12), (8) və (1) düsturlarını tətbiq etməliyik. Gəlin inteqrasiya edək güc funksiyası, sinus, eksponensial və sabit 1. Sonda ixtiyari C sabitini əlavə etməyi unutmayaq:

3 x 3 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Elementar çevrilmələrdən sonra yekun cavabı alırıq:

X 3 − 2 cos x − 7 e x + 12 x + C

Fərqləndirmə ilə özünüzü sınayın: nəticədə alınan funksiyanın törəməsini götürün və onun orijinal inteqrana bərabər olduğundan əmin olun.

İnteqralların xülasə cədvəli

∫ A d x = A x + C

∫ x d x = x 2 2 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

∫ 1 x d x = 2 x + C

∫ 1 x d x = ln | x | +C

∫ 1 x 2 d x = − 1 x + C

∫ x n d x = x n + 1 n + 1 + C (n ≠ − 1)

∫ e x d x = e x + C

∫ a x d x = a x ln a + C (a > 0, a ≠ 1)

∫ s h x d x = c h x + C

∫ c h x d x = s h x + C

∫ sin x d x = − cos x + C

∫ cos x d x = sin x + C

∫ 1 cos 2 x d x = t g x + C

∫ 1 sin 2 x d x = − c t g x + C

∫ 1 1 + x 2 d x = a r c t g x + C = − a r c c t g x + C

∫ 1 x 2 + a 2 = 1 a a r c t g x a + C (a ≠ 0)

∫ 1 1 − x 2 d x = arcsin x + C = − arccos x + C

∫ 1 a 2 − x 2 d x = arcsin x a + C = − arccos x a + C (a > 0)

∫ 1 x 2 + a 2 d x = ln | x + x 2 + a 2 | +C

∫ 1 x 2 − a 2 d x = ln | x + x 2 − a 2 | +C

∫ a 2 − x 2 d x = x 2 a 2 − x 2 + a 2 2 arcsin x a + C (a > 0)

∫ x 2 + a 2 d x = x 2 x 2 + a 2 + a 2 2 ln | x + x 2 + a 2 | + C (a > 0)

∫ x 2 − a 2 d x = x 2 x 2 − a 2 − a 2 2 ln | x + x 2 − a 2 | + C (a > 0)

İnteqrallar cədvəlini (II hissə) bu linkdən yükləyin

Əgər universitetdə oxuyursansa, ali riyaziyyatdan çətinlik çəkirsənsə ( riyazi analiz, xətti cəbr, ehtimal nəzəriyyəsi, statistika), ixtisaslı müəllimin xidmətinə ehtiyacınız varsa, ali riyaziyyat müəlliminin səhifəsinə keçin. Problemlərinizi birlikdə həll edəcəyik!

Sizi də maraqlandıra bilər

Antitörəmə funksiyası və qeyri-müəyyən inteqral

Fakt 1. İnteqrasiya diferensiasiyanın tərs hərəkətidir, yəni funksiyanın bu funksiyanın məlum törəməsindən bərpasıdır. Beləliklə, funksiya bərpa edildi F(x) adlanır antitörəmə funksiyası üçün f(x).

Tərif 1. Funksiya F(x f(x) müəyyən intervalda X, bütün dəyərlər üçün x bu intervaldan bərabərlik qüvvədədir F "(x)=f(x), yəni bu funksiya f(x) antitörəmə funksiyasının törəməsidir F(x). .

Məsələn, funksiya F(x) = günah x funksiyasının əks törəməsidir f(x) = cos x bütün say xəttində, çünki x-in istənilən dəyəri üçün (günah x)" = (çünki x) .

Tərif 2. Funksiyanın qeyri-müəyyən inteqralı f(x) onun bütün antiderivativlərinin çoxluğudur. Bu vəziyyətdə qeyd istifadə olunur

∫

f(x)dx

işarəsi haradadır ∫ inteqral işarəsi, funksiyası adlanır f(x) – inteqral funksiyası və f(x)dx – inteqral ifadəsi.

Beləliklə, əgər F(x) – üçün bəzi antitörəmə f(x), Bu

∫

f(x)dx = F(x) +C

Harada C - ixtiyari sabit (sabit).

Qeyri-müəyyən inteqral kimi funksiyanın əks törəmələri çoxluğunun mənasını başa düşmək üçün aşağıdakı bənzətmə uyğundur. Bir qapı olsun (ənənəvi taxta qapı). Onun funksiyası “qapı olmaq”dır. Qapı nədən hazırlanır? Ağacdan hazırlanmışdır. Bu o deməkdir ki, “qapı olmaq” funksiyasının, yəni qeyri-müəyyən inteqralının əks törəmələri çoxluğu “ağac olmaq + C” funksiyasıdır, burada C sabitdir, bu kontekstdə hansı məsələn, ağacın növünü bildirir. Qapının ağacdan bəzi alətlərdən istifadə edilərək düzəldilməsi kimi, funksiyanın törəməsi də antitörəmə funksiyasından istifadə edərək “hazırlanır”. törəməni öyrənərkən öyrəndiyimiz düsturlar .

Sonra ümumi obyektlərin və onlara uyğun antitörəmələrin funksiyaları cədvəli (“qapı olmaq” - “ağac olmaq”, “qaşıq olmaq” - “metal olmaq” və s.) əsas cədvələ bənzəyir. aşağıda veriləcək qeyri-müəyyən inteqrallar. Qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəlində bu funksiyaların “yaratıldığı” antitörəmələrin göstəricisi ilə ümumi funksiyalar verilmişdir. Qeyri-müəyyən inteqralın tapılması məsələlərinin bir hissəsində çox səy göstərmədən, yəni qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəlindən istifadə etməklə birbaşa inteqrasiya oluna bilən inteqrallar verilir. Daha mürəkkəb məsələlərdə əvvəlcə inteqral çevrilməlidir ki, cədvəl inteqrallarından istifadə olunsun.

Fakt 2. Funksiyanı antiderivativ kimi bərpa edərkən ixtiyari sabiti (sabit) nəzərə almalıyıq. C, və 1-dən sonsuza qədər müxtəlif sabitlərə malik antitörəmələrin siyahısını yazmamaq üçün ixtiyari sabiti olan antitörəmələr toplusunu yazmaq lazımdır. C məsələn, belə: 5 x³+C. Beləliklə, antiderivativin ifadəsinə ixtiyari bir sabit (sabit) daxil edilir, çünki antitörəmə funksiya ola bilər, məsələn, 5 x³+4 və ya 5 x³+3 və fərqləndirildikdə 4 və ya 3 və ya hər hansı digər sabit sıfıra keçir.

Gəlin inteqrasiya problemini qoyaq: bu funksiya üçün f(x) belə bir funksiya tapın F(x), kimin törəməsi bərabərdir f(x).

Misal 1. Funksiyanın əks törəmələri çoxluğunu tapın

Həll. Bu funksiya üçün antitörəmə funksiyadır

Funksiya F(x) funksiyası üçün antitörəmə adlanır f(x), törəmə olarsa F(x) bərabərdir f(x) və ya eyni şey olan diferensial F(x) bərabərdir f(x) dx, yəni.

(2)

Deməli, funksiya funksiyanın əks törəməsidir. Bununla belə, bu, üçün yeganə antiderivativ deyil. Onlar həm də funksiya kimi xidmət edirlər

Harada İLƏ– ixtiyari sabit. Bunu diferensiasiya yolu ilə yoxlamaq olar.

Beləliklə, bir funksiya üçün bir antitörəmə varsa, onun üçün sabit bir terminlə fərqlənən sonsuz sayda antitörəmə var. Funksiya üçün bütün əks törəmələr yuxarıdakı formada yazılır. Bu, aşağıdakı teoremdən irəli gəlir.

Teorem (2-ci faktın rəsmi ifadəsi).Əgər F(x) – funksiya üçün antitörəmə f(x) müəyyən intervalda X, sonra üçün hər hansı digər antiderivativ f(x) eyni intervalda formada təmsil oluna bilər F(x) + C, Harada İLƏ– ixtiyari sabit.

Növbəti misalda qeyri-müəyyən inteqralın xassələrindən sonra 3-cü bənddə veriləcək inteqrallar cədvəlinə müraciət edirik. Bütün cədvəli oxumadan əvvəl bunu edirik ki, yuxarıdakıların mahiyyəti aydın olsun. Cədvəldən və xassələrdən sonra inteqrasiya zamanı onlardan tam şəkildə istifadə edəcəyik.

Misal 2. Antitörəmə funksiyalar toplusunu tapın:

Həll. Bu funksiyaların “yaratıldığı” antitörəmə funksiyalar toplusunu tapırıq. İnteqrallar cədvəlindən düsturları qeyd edərkən hələlik qəbul edin ki, orada belə düsturlar var və biz qeyri-müəyyən inteqrallar cədvəlinin özünü bir az daha öyrənəcəyik.

1) üçün inteqrallar cədvəlindən (7) düsturunun tətbiqi n= 3, alırıq

2) üçün inteqrallar cədvəlindən (10) düsturundan istifadə etməklə n= 1/3, bizdə var

3) O vaxtdan bəri

sonra (7) düsturuna uyğun olaraq n= -1/4 tapırıq

İnteqral işarəsi altında yazılan funksiyanın özü deyil. f, və onun məhsulu diferensialdır dx. Bu, ilk növbədə hansı dəyişən tərəfindən antiderivativin axtarıldığını göstərmək üçün edilir. Misal üçün,

, ;

burada hər iki halda inteqral bərabərdir, lakin hesab edilən hallarda onun qeyri-müəyyən inteqralları fərqli olur. Birinci halda bu funksiya dəyişənin funksiyası kimi qəbul edilir x, ikincisində isə - funksiyası kimi z .

Funksiyanın qeyri-müəyyən inteqralının tapılması prosesinə həmin funksiyanın inteqrasiyası deyilir.

Qeyri-müəyyən inteqralın həndəsi mənası

Tutaq ki, bir əyri tapmaq lazımdır y=F(x) və biz artıq bilirik ki, onun hər bir nöqtəsindəki tangens bucağının tangensi verilmiş funksiyadır f(x) bu nöqtənin absisi.

görə həndəsi məna törəmə, əyrinin verilmiş nöqtəsindəki tangens bucağın tangensi y=F(x) dəyərinə bərabərdir törəmə F"(x). Beləliklə, belə bir funksiyanı tapmaq lazımdır F(x), hansı üçün F"(x)=f(x). Tapşırıqda tələb olunan funksiya F(x)-nin antitörəməsidir f(x). Problemin şərtləri bir əyri ilə deyil, əyrilər ailəsi tərəfindən ödənilir. y=F(x)- bu əyrilərdən biri və hər hansı digər əyri ondan ox boyunca paralel köçürmə yolu ilə əldə edilə bilər ay.

-nin əks törəmə funksiyasının qrafikini adlandıraq f(x) inteqral əyri. Əgər F"(x)=f(x), sonra funksiyanın qrafiki y=F(x) inteqral əyri var.

Fakt 3. Qeyri-müəyyən inteqral həndəsi olaraq bütün inteqral əyrilər ailəsi ilə təmsil olunur. , aşağıdakı şəkildəki kimi. Hər bir əyrinin koordinatların başlanğıcından olan məsafəsi ixtiyari inteqrasiya sabiti ilə müəyyən edilir C.