Növbə nəzəriyyəsi ehtimal nəzəriyyəsinin qollarından biridir. Bu nəzəriyyə hesab edir ehtimala əsaslanan tapşırıqlar və riyazi modellər(bundan əvvəl biz deterministik riyazi modelləri nəzərdən keçirdik). Nəzərinizə çatdıraq ki:
Deterministik riyazi model perspektivdən obyektin (sistemin, prosesin) davranışını əks etdirir tam əminlik indi və gələcəkdə.
Ehtimallı riyazi model obyektin (sistemin, prosesin) davranışına təsadüfi amillərin təsirini nəzərə alır və buna görə də gələcəyi müəyyən hadisələrin baş vermə ehtimalı nöqteyi-nəzərindən qiymətləndirir.
Bunlar. burada, məsələn, oyun nəzəriyyəsində problemlər nəzərdən keçirilir şəraitdəqeyri-müəyyənlik.
Əvvəlcə problemə daxil edilən qeyri-müəyyən amillər təsadüfi dəyişənlər (və ya təsadüfi funksiyalar) olduqda, ehtimal xüsusiyyətləri ya məlum olan və ya təcrübədən əldə edilə bilən "stokastik qeyri-müəyyənliyi" xarakterizə edən bəzi anlayışları nəzərdən keçirək. Belə qeyri-müəyyənliyə “əlverişli”, “yaxşı” da deyilir.
Təsadüfi proses anlayışı
Düzünü desək, təsadüfi pozuntular istənilən prosesə xasdır. Təsadüfi prosesə nümunələr vermək “təsadüfi olmayan” prosesdən daha asandır. Hətta, məsələn, bir saatın işləmə prosesi (ciddi kalibrlənmiş bir iş kimi görünür - "saat kimi işləyir") təsadüfi dəyişikliklərə məruz qalır (irəli hərəkət etmək, geridə qalmaq, dayanmaq). Amma nə qədər ki, bu pozulmalar əhəmiyyətsizdir və bizi maraqlandıran parametrlərə az təsir edir, biz onları laqeyd qoyub prosesi deterministik, qeyri-təsadüfi hesab edə bilərik.
Bir sistem olsun S(texniki qurğu, belə qurğular qrupu, texnoloji sistem - maşın, sahə, sex, müəssisə, sənaye və s.). Sistemdə S sızmalar təsadüfi proses, zaman keçdikcə vəziyyətini dəyişirsə (bir vəziyyətdən digərinə keçir), üstəlik, əvvəllər məlum olmayan təsadüfi şəkildə.
Nümunələr: 1. Sistem S– texnoloji sistem (maşın bölməsi). Maşınlar vaxtaşırı xarab olur və təmir olunur. Bu sistemdə baş verən proses təsadüfi xarakter daşıyır.
2. Sistem S- müəyyən bir marşrut üzrə verilmiş yüksəklikdə uçan təyyarə. Narahatedici amillər - hava şəraiti, ekipajın səhvləri və s., nəticələr - qabarıqlıq, uçuş cədvəlinin pozulması və s.
Markov təsadüfi proses
Sistemdə baş verən təsadüfi proses deyilir Markovski, əgər hər hansı bir an üçün t 0 Gələcəkdə prosesin ehtimal xüsusiyyətləri yalnız onun indiki vəziyyətindən asılıdır t 0 və sistemin bu vəziyyətə nə vaxt və necə çatmasından asılı deyil.
Sistem t 0 anında müəyyən vəziyyətdə olsun S 0 . Biz sistemin indiki vəziyyətinin xüsusiyyətlərini, nə zaman baş verdiyini bilirik t<t 0 (proses tarixçəsi). Gələcəyi proqnozlaşdırmaq (proqnozlaşdırmaq) mümkündürmü, yəni. nə vaxt olacaq t>t 0 ? Dəqiq deyil, amma prosesin bəzi ehtimal xüsusiyyətlərini gələcəkdə tapmaq olar. Məsələn, bir müddət sonra sistemin işləmə ehtimalı S olacaq S 1 və ya vəziyyətdə qalacaq S 0 və s.
Misal. Sistem S- hava döyüşlərində iştirak edən təyyarələr qrupu. Qoy x- "qırmızı" təyyarələrin sayı, y– “mavi” təyyarələrin sayı. Zamanla t 0 sağ qalan (vurulmuş) təyyarələrin sayı, müvafiq olaraq x 0 ,y 0 . Bizi hazırda say üstünlüyünün “qırmızılar”ın tərəfində olacağı ehtimalı maraqlandırır. Bu ehtimal o zaman sistemin hansı vəziyyətdə olmasından asılıdır t 0 və vurulanların nə vaxt və hansı ardıcıllıqla öldüyü ana qədər deyil t 0 təyyarə.
Təcrübədə Markov prosesində təmiz forma adətən tapılmır. Amma elə proseslər var ki, onlar üçün “tarixdən əvvəlki” təsiri laqeyd etmək olar. Və bu cür prosesləri öyrənərkən Markov modellərindən istifadə edilə bilər (növbə nəzəriyyəsi Markov növbə sistemlərini nəzərə almır, lakin onları təsvir edən riyazi aparat daha mürəkkəbdir).
Əməliyyat tədqiqatlarında böyük əhəmiyyət kəsb edir diskret hallara və fasiləsiz vaxta malik Markov təsadüfi prosesləri var.
Proses adlanır diskret dövlət prosesi, əgər onun mümkün dövlətləri S 1 ,S 2, ... əvvəlcədən müəyyən edilə bilər və sistemin vəziyyətdən vəziyyətə keçidi "sıçrayışda", demək olar ki, dərhal baş verir.
Proses adlanır davamlı zaman prosesi, əgər vəziyyətdən vəziyyətə mümkün keçid anları əvvəlcədən müəyyən edilməyibsə, qeyri-müəyyən, təsadüfi və hər an baş verə bilər.
Misal. Texnoloji sistem (bölmə) S hər biri olan iki maşından ibarətdir təsadüfi an vaxt uğursuz ola bilər (uğursuz), bundan sonra qurğunun təmiri dərhal başlayır, eyni zamanda naməlum, təsadüfi bir müddətə davam edir. Aşağıdakı sistem vəziyyətləri mümkündür:
S 0 - hər iki maşın işləyir;
S 1 - birinci maşın təmir olunur, ikincisi işləyir;
S 2 - ikinci maşın təmir olunur, birincisi işləyir;
S 3 - hər iki maşın təmir olunur.
Sistem keçidləri S vəziyyətdən vəziyyətə demək olar ki, dərhal, müəyyən bir maşın uğursuz olduqda və ya təmir tamamlandıqda təsadüfi anlarda baş verir.
Diskret vəziyyətlərlə təsadüfi prosesləri təhlil edərkən həndəsi sxemdən istifadə etmək rahatdır - dövlət qrafiki. Qrafikin təpələri sistemin vəziyyətləridir. Qrafik qövslər – vəziyyətdən mümkün keçidlər
Şəkil 1. Sistem vəziyyəti qrafiki
dövlət. Bizim nümunəmiz üçün dövlət qrafiki Şəkil 1-də göstərilmişdir.
Qeyd. Dövlətdən keçid S 0 in SŞəkildə 3 göstərilməyib, çünki maşınların bir-birindən asılı olmayaraq sıradan çıxdığı güman edilir. Hər iki maşının eyni vaxtda sıradan çıxma ehtimalını laqeyd edirik.
Zaman parametrinin hər hansı verilmiş dəyərindən sonra təkamülü t (\displaystyle t)əvvəlki təkamüldən asılı deyil t (\displaystyle t), bir şərtlə ki, bu anda prosesin dəyəri sabit olsun (“prosesin gələcəyi” məlum “indiki” ilə “keçmişdən” asılı deyil; başqa bir şərh (Wentzel): prosesin “gələcəyi” asılıdır. "keçmişdə" yalnız "indiki" vasitəsilə).
Ensiklopedik YouTube
1 / 3
Mühazirə 15: Markov təsadüfi proseslər
Markov zəncirlərinin mənşəyi
Ümumiləşdirilmiş Markov prosesi modeli
Altyazılar
Hekayə
Markov prosesini təyin edən xüsusiyyət adətən Markovian adlanır; ilk dəfə 1907-ci ildəki əsərlərində asılı testlərin ardıcıllığının və onlarla əlaqəli məbləğlərin öyrənilməsinə təşəbbüs göstərən A. A. Markov tərəfindən tərtib edilmişdir. təsadüfi dəyişənlər. Bu tədqiqat xətti Markov zənciri nəzəriyyəsi kimi tanınır.
Davamlı Markov proseslərinin ümumi nəzəriyyəsinin əsasları Kolmoqorov tərəfindən qoyulmuşdur.
Markov əmlakı
Ümumi hal
Qoy (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega,(\mathcal (F)),\mathbb (P)))- filtrləmə ilə ehtimal sahəsi (F t , t ∈ T) (\displaystyle ((\mathcal (F))_(t),\ t\in T)) bəzi (qismən sifariş) dəsti üzərində T (\displaystyle T); gidelim (S , S) (\ displaystyle (S, (\ mathcal (S))))- ölçülə bilən məkan. Təsadüfi proses X = (X t , t ∈ T) (\displaystyle X=(X_(t),\ t\in T)), süzülmüş ehtimal fəzasında müəyyən edilmiş, təmin etmək hesab olunur Markov əmlakı, əgər hər biri üçün A ∈ S (\displaystyle A\in (\riyazi (S))) Və s , t ∈ T: s<
t
{\displaystyle s,t\in T:s
Markov prosesi qane edən təsadüfi prosesdir Markov əmlakı təbii filtrasiya ilə.
Diskret zamanlı Markov zəncirləri üçün
Əgər S (\displaystyle S) diskret çoxluqdur və T = N (\displaystyle T=\mathbb (N)), tərif yenidən formalaşdırıla bilər:
P (X n = x n | X n − 1 = x n − 1 , X n − 2 = x n − 2 , … , X 0 = x 0) = P (X n = x n | X n − 1 = x n − 1) (\displaystyle \mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1),X_(n-2)=x_(n-2),\nöqtələr , X_(0)=x_(0))=\mathbb (P) (X_(n)=x_(n)|X_(n-1)=x_(n-1))).Markov prosesinin nümunəsi
Markov təsadüfi prosesinin sadə nümunəsini nəzərdən keçirək. Bir nöqtə absis oxu boyunca təsadüfi hərəkət edir. Sıfır zamanda nöqtə başlanğıcdadır və bir saniyə orada qalır. Bir saniyədən sonra sikkə atılır - əgər gerb düşürsə, X nöqtəsi bir uzunluq vahidi sağa, nömrə varsa - sola hərəkət edir. Bir saniyə sonra sikkə yenidən atılır və eyni təsadüfi hərəkət edilir və s. Nöqtənin mövqeyinin dəyişdirilməsi prosesi (“gəzmək”) diskret vaxta (t=0, 1, 2, ...) və hesablana bilən vəziyyətlər dəstinə malik təsadüfi prosesdir. Belə bir təsadüfi proses Markov adlanır, çünki nöqtənin növbəti vəziyyəti yalnız indiki (cari) vəziyyətdən asılıdır və keçmiş vəziyyətlərdən asılı deyildir (nöqtənin cari koordinata hansı istiqamətdə və hansı vaxtda gəldiyinin fərqi yoxdur) .
MARKOV PROSESİ
Təsiri olmayan proses - təsadüfi proses, t zaman parametrinin hər hansı verilmiş dəyərindən sonra təkamülü ondan əvvəlki təkamüldən asılı olmayan t, bir şərtlə ki, bunda prosesin dəyəri sabit olsun (qısacası: prosesin “gələcəyi” və “keçmişi” məlum “indiki” ilə bir-birindən asılı olmasın).
Bir maqnit sahəsini təyin edən xüsusiyyət adətən adlanır Markovian; ilk dəfə A. A. Markov tərəfindən tərtib edilmişdir. Bununla belə, artıq L.Bachelier-in əsərində Brownian-ı M. kimi şərh etmək cəhdini, N. Wiener-in (N. Wiener, 1923) tədqiqatından sonra əsaslandırılmış cəhdi ayırd etmək olar. Fasiləsiz zamanlı maqnit proseslərinin ümumi nəzəriyyəsinin əsasları A. N. Kolmoqorov tərəfindən qoyulmuşdur.
Markov əmlakı. M.-nin bir-birindən əhəmiyyətli dərəcədə fərqlənən tərifləri mövcuddur. Ölçülə bilən fəzadan dəyərləri olan təsadüfi bir proses harada bir ehtimal fəzasında verilsin T - real oxun alt çoxluğu Let Nt(müvafiq olaraq Nt).içində s-cəbri var
X(s).at kəmiyyətləri ilə yaranır
Harada
Başqa sözlə, Nt(müvafiq olaraq Nt) t anına qədər (t-dən başlayaraq) prosesin təkamülü ilə əlaqəli hadisələr toplusudur. .
X(t) prosesi adlanır Markov prosesi, əgər (demək olar ki, mütləq) Markov mülkiyyəti hamıya aiddirsə:
və ya, əgər varsa, eyni nədir
M. p., bunun üçün T natural ədədlər toplusunda yer alır, çağırılır. Markov zənciri(lakin, sonuncu termin ən çox hesablana bilən E halı ilə əlaqələndirilir) .
Əgər hesablana biləndən çox bir intervaldırsa, M. adlanır. fasiləsiz zaman Markov zənciri. Davamlı zamanlı maqnit proseslərinə nümunələr diffuziya prosesləri və müstəqil artımlarla, o cümlədən Poisson və Wiener prosesləri ilə təmin edilir.
Bundan sonra, dəqiqlik üçün yalnız iş haqqında danışacağıq 
Düsturlar (1) və (2) məlum "indiki" nəzərə alınmaqla "keçmişin" və "gələcəyin" müstəqilliyi prinsipinin aydın şərhini təmin edir, lakin M.-nin onlara əsaslanan tərifi kifayət qədər çevik olmadığı ortaya çıxdı. bir deyil, müxtəlif, müəyyən şəkildə razılaşdırılsa da, uyğun gələn (1) və ya (2) şərtlər toplusunu nəzərə almaq lazım olduqda, bu cür mülahizələrin qəbul edilməsinə səbəb oldu aşağıdakı tərif (bax,).
Aşağıdakılar verilsin:
a) burada s-cəbri E-də bütün təkli çoxluqları ehtiva edir;
b) s-cəbrlər ailəsi ilə təchiz edilmiş ölçülə bilən, belə ki, əgər
V) ("") x t =xt(w) ,
hər hansı ölçülə bilən xəritəçəkmə üçün müəyyənedici
d) hər biri üçün və s-cəbri üzrə ehtimal ölçüsü ki, funksiya 
Əgər və ilə müqayisədə ölçülə bilən
Adlar toplusu (qeyri-xitam verən) Markov prosesi if -demək olar ki, mütləq şəkildə müəyyən edilmişdir
Burada nə ola bilərsə - elementar hadisələrin məkanı, - faza məkanı və ya vəziyyət fəzası, P( s, x, t, V)- keçid funksiyası və ya prosesin keçid ehtimalı X(t) .
Əgər E topologiyaya malikdirsə və Borel dəstlərinin toplusudur E, onda M. p-nin verildiyini söyləmək adətdir E. Tipik olaraq, M. p-nin tərifi bir ehtimal kimi şərh edilməli olan tələbi ehtiva edir x s = x.
Sual yaranır: hər Markov keçid funksiyası P( s, x;t, V),
ölçülə bilən fəzada verilmiş müəyyən M. fəzasının keçid funksiyası kimi qəbul edilə bilər, məsələn, E ayrıla bilən lokal kompakt fəzadır və Borel dəstlərinin toplusudur. E.Üstəlik, qoy E - tam metrik boşluq və icazə
hər kəs üçün harada a nöqtənin elektron qonşuluğunun tamamlayıcısıdır X. Sonra müvafiq maqnit sahəsi sağda davamlı və solda məhdudiyyətlərə malik hesab edilə bilər (yəni onun traektoriyaları belə seçilə bilər). Davamlı bir maqnit sahəsinin mövcudluğu (bax, ) şərti ilə təmin edilir. Mexanik proseslər nəzəriyyəsində əsas diqqət homojen (vaxt baxımından) olan proseslərə verilir. Müvafiq tərif verilmiş sistemi nəzərdə tutur obyektlər a) - d) onun təsvirində görünən s və u parametrləri üçün indi yalnız 0 dəyərinə icazə verilir ki, qeyd də sadələşdirilir:
Bundan əlavə, W fəzasının homojenliyi nəzərdə tutulur, yəni hər hansı bir üçün tələb olunur. 
belə bir şey var idi 
(w) ilə Buna görə s-cəbrində N, formanın hər hansı hadisəsini ehtiva edən W-də ən kiçik s-cəbri 
vaxt dəyişdirmə operatorları q müəyyən edilmişdir t, çoxluqların birləşmə, kəsişmə və çıxma əməliyyatlarını qoruyan və bunun üçün
Adlar toplusu (qeyri-xitam) homogen Markov prosesi müəyyən if -demək olar ki, mütləq
X(t) prosesinin Keçid funksiyası üçün P( hesab olunur. t, x, V) və xüsusi qeyd-şərtlər olmadıqda, onlar əlavə olaraq tələb edirlər ki, (4) yoxlanarkən yalnız forma dəstlərini nəzərə almaq kifayətdir. 
və (4) həmişə Ft tamamlamaların kəsişməsinə bərabər olan s-cəbri ilə əvəz edilə bilər Ft bütün mümkün ölçülər üçün çox vaxt m ("ilkin") ehtimal ölçüsü təyin edilir və Markov təsadüfi funksiyası nəzərə alınır 
bərabərliklə verilən ölçü haradadır
M. p. hər t>0 üçün funksiya s-cəbrinin olduğu yerdə ölçülə biləni induksiya edərsə, tədricən ölçülə bilər.
Borel alt çoxluqları . Sağ davamlı millət vəkilləri tədricən ölçülə bilər. Heterojen bir işi homogenə endirməyin bir yolu var (bax) və bundan sonra homogen deputatlar haqqında danışacağıq.
Ciddi şəkildə.Ölçülə bilən bir yer verilsin.
Funksiya çağırılır Markov anı,Əgər 
hamı üçün
Bu halda onlar F t if at ailəsinə aiddirlər (əksər hallarda F t X(t)-nin t anına qədər təkamülü ilə əlaqəli hadisələr toplusu kimi şərh olunur). İnanmaq üçün
Tədricən ölçülə bilən M. Xnaz. ciddi Markov prosesi (s.m.p.), əgər hər hansı Markov an üçün m və bütün 
və nisbət
(Ciddi Markov əmlak) set W t demək olar ki, əlbəttə keçirir. (5) yoxlanarkən yalnız formanın çoxluqlarını nəzərə almaq kifayətdir 
bu halda, S. m fəza, məsələn, topolojidə hər hansı bir sağ davamlı Feller M. fəzasıdır. boşluq E. M. p. Feller Markov prosesi isə funksiyası
f davamlı və məhdud olduqda davamlıdır.
ilə sinifdə. m.p. müəyyən alt siniflər fərqləndirilir. Qoy Markovian P( t, x, V),
metrik lokal kompakt məkanda müəyyən edilir E, stoxastik davamlı:
Hər bir nöqtənin hər hansı U məhəlləsi üçün O zaman operatorlar özlərinə davamlı və sonsuzda yox olan funksiyaları qəbul edərlərsə, o zaman funksiyalar P(. t, x, V) standarta cavab verir M. p. X, ilə sağda davamlı yəni. m.p., bunun üçün
- demək olar ki, çoxlarında 
a böyümə ilə azalmayan Pmarkov anlarıdır. Markov prosesinin dayandırılması. Tez-tez fiziki Sonsuz bir maqnit sahəsindən istifadə edən sistemləri təsvir etmək məqsədəuyğundur, ancaq təsadüfi uzunluqlu bir zaman intervalında. Bundan əlavə, hətta maqnit proseslərinin sadə çevrilmələri təsadüfi intervalda müəyyən edilmiş traektoriyaları olan bir prosesə səbəb ola bilər (bax. Funksional Markov prosesindən). Bu mülahizələri rəhbər tutaraq sınmış deputat anlayışı təqdim olunur.
Keçid funksiyasına malik faza fəzasında homojen M.P olsun 
və bir nöqtə və funksiya olsun 
belə ki, əgər və əks halda (xüsusi bəndlər yoxdursa, nəzərə alın). Yeni trayektoriya xt(w) bərabərlik vasitəsi ilə yalnız ) üçün müəyyən edilir 
a Ft dəstdə olduğu kimi müəyyən edilir
Harada təyin edin 
çağırdı z zamanında dayandırma (və ya öldürmə) ilə əldə edilən sonlandırıcı Markov prosesi (o.m.p.) ilə. z dəyəri deyilir fasilə anı və ya ömrün vaxtı, o. m.p. Yeni prosesin faza məkanı s-cəbrinin izinin olduğu yerdir E. Keçid funksiyası o. m.p. bir dəst üçün məhdudiyyətdir 
X(t) prosesi adlanır stricly Markov prosesi və ya standart Markov prosesi, əgər onun müvafiq xassəsi varsa, xitam verməyən MP o kimi qəbul edilə bilər. m.p. qırılma anı ilə Heterojen o. m.p. də oxşar şəkildə müəyyən edilir. M.
Markov prosesləri və . Broun hərəkəti tipli MPlər parabolik diferensial tənliklərlə sıx bağlıdır. növü. Keçid p(s, x, t, y) diffuziya prosesi, müəyyən əlavə fərziyyələrə əsasən, Kolmoqorovun tərs və birbaşa diferensial tənliklərini təmin edir:
Funksiya p( s, x, t, y)., (6) - (7) tənliklərinin Yaşıl funksiyasıdır və diffuziya proseslərini qurmaq üçün ilk məlum üsullar (6) - (7) diferensial tənliklər üçün bu funksiyanın mövcudluğu haqqında teoremlərə əsaslanırdı. Zaman-vahid proses üçün L( s, x)= L(x).on hamar funksiyalar xarakteristikası ilə üst-üstə düşür. operator M. səh (bax Keçid operatoru yarımqrupu).
Riyaziyyat. müxtəlif funksionalların diffuziya proseslərindən gözləntiləri müvafiq sərhəd problemlərinin həlli kimi xidmət edir. diferensial tənlik(1). Qoy - riyazi. ölçüdə gözlənti Onda funksiya bu anda təmin edir s
Eynilə, funksiya
ilə qane edir s
və şərt və 2 ( T, x) = 0.
tt sərhədə ilk çatma anı olsun dD bölgə
prosesin traektoriyası
Sonra, müəyyən şərtlər altında, funksiyası
tənliyini təmin edir
və dəstdə cp dəyərlərini qəbul edir
Ümumi xətti parabolik üçün 1-ci sərhəd məsələsinin həlli. 2-ci dərəcəli tənliklər
şəklində kifayət qədər ümumi fərziyyələr altında yazıla bilər
L və funksiyaları olduqda s, f asılı olmayın s, xətti elliptikin həlli üçün (9) oxşar təsvir də mümkündür. tənliklər Daha dəqiq desək, funksiya
müəyyən fərziyyələr altında problemlər var
L operatorunun degenerasiyası halında (del b() s, x) = 0
).və ya dD kifayət qədər "yaxşı" deyilsə, sərhəd dəyərləri (9), (10) funksiyaları tərəfindən ayrı-ayrı nöqtələrdə və ya bütün dəstlərdə qəbul edilə bilməz; Operator üçün müntəzəm sərhəd nöqtəsi anlayışı L ehtimala əsaslanan şərhə malikdir. Sərhədin nizamlı nöqtələrində sərhəd qiymətləri (9), (10) funksiyaları ilə əldə edilir. (8), (11) məsələlərinin həlli bizə müvafiq diffuziya proseslərinin xassələrini və onların funksionallarını öyrənməyə imkan verir.
Məsələn, (6), (7) tənliklərinin həllərinə etibar etməyən MP-lərin qurulması üsulları var. üsul stokastik diferensial tənliklər,ölçünün mütləq fasiləsiz dəyişməsi və s. Bu hal (9), (10) düsturları ilə birlikdə bizə (8) tənliyi üçün sərhəd məsələlərinin xassələrini, habelə həllinin xassələrini ehtimal əsasında qurmağa və öyrənməyə imkan verir. müvafiq elliptik. tənliklər
Stokastik diferensial tənliyin həlli matrisin degenerasiyasına həssas olmadığı üçün b( s, x), Bu elliptik və parabolik diferensial tənlikləri degenerasiya etmək üçün həllər qurmaq üçün ehtimal metodlarından istifadə edilmişdir. N. M. Krılov və N. N. Boqolyubovun orta hesablama prinsipinin stoxastik diferensial tənliklərə genişləndirilməsi (9) istifadə edərək elliptik və parabolik diferensial tənliklər üçün müvafiq nəticələr əldə etməyə imkan verdi. Məlum oldu ki, ehtimal mülahizələrindən istifadə etməklə ən yüksək törəmədə kiçik parametrli bu tip tənliklərin həllərinin xassələrinin öyrənilməsinin müəyyən çətin məsələlərini həll etmək mümkün olub. (6) tənliyi üçün 2-ci sərhəd məsələsinin həlli də ehtimal mənasına malikdir. Sərhədsiz domen üçün sərhəd məsələlərinin tərtibi müvafiq diffuziya prosesinin təkrarlanması ilə sıx bağlıdır.
Zaman-homogen proses (L s-dən asılı deyil) vəziyyətində tənliyin müsbət həlli, çoxalma sabitinə qədər, MP-nin stasionar paylanma sıxlığı ilə müəyyən fərziyyələr altında üst-üstə düşür qeyri-xətti paraboliklər üçün sərhəd məsələlərini nəzərdən keçirərkən faydalı ola bilər. tənliklər. R. 3. Xasminski.
yanan.: Markov A. A., "İzvestiya. Kazan Universitetinin fizika-riyaziyyat cəmiyyəti", 1906, cild 15, № 4, səh. 135-56; V ə ş ə l i ə r L., "Ann. alim. Ecole norma, super.", 1900, v. 17, səh. 21-86; Kolmogorov A.N., "Riyaziyyat. Ann.", 1931, Bd 104, S. 415-458; rus. Tərcümə - "Uspekhi Matematicheskikh Nauk", 1938, əsr. 5, səh. 5-41; Zhun Kai-lai, Homogen Markov zəncirləri, trans. İngilis dilindən, M., 1964; R e 1 1 e r W., "Ann. Math.", 1954, v. 60, səh. 417-36; Dynkin E.B., Yushkevich A.A., "Ehtimal nəzəriyyəsi və onun tətbiqləri", 1956, cild 1, əsr. 1, səh. 149-55; Xant J.-A., Markov prosesləri və potensialları, trans. İngilis dilindən, M., 1962; D e l l a ş e r i K., Tutumlar və təsadüfi proseslər, trans. fransız dilindən, M., 1975; Dynk və E.V., Markov prosesləri nəzəriyyəsinin əsasları, M., 1959; onu, Markov Prosesləri, M., 1963; G and h man I. I., S k o r o x o d A. V., Theory of təsadüfi proseslər, cild 2, M., 1973; Freidlin M.I., kitabda: Elmin nəticələri. Ehtimal nəzəriyyəsi, . - Nəzəri. 1966, M., 1967, s. 7-58; X a sminskiy R. 3., “Ehtimal nəzəriyyəsi və onun tətbiqləri”, 1963, cild 8, in
Markov prosesi- diskret və ya davamlı təsadüfi proses X(t), iki kəmiyyətdən istifadə etməklə tam dəqiqləşdirilə bilər: t zamanında x(t) təsadüfi dəyişənin x-ə bərabər olması ehtimalı P(x,t) və P(x2, t2½x1t1) ki... ... İqtisadi və riyaziyyat lüğəti
Markov prosesi- Diskret və ya davamlı təsadüfi proses X(t), iki kəmiyyətdən istifadə etməklə tam təyin oluna bilər: t zamanında x(t) təsadüfi dəyişənin x-ə bərabər olması ehtimalı P(x,t) və P(x2) ehtimalı. , t2? x1t1) ki, əgər x at t = t1... ... Texniki Tərcüməçi Bələdçisi
Təsadüfi proseslərin mühüm xüsusi növü. Markov prosesinə misal olaraq radioaktiv maddənin parçalanmasını göstərmək olar, burada verilmiş atomun qısa müddətdə parçalanma ehtimalı əvvəlki dövrdəki prosesin gedişindən asılı deyildir.... ... Böyük Ensiklopedik Lüğət - Markovo procesas statusas T sritis automatika attikmenys: engl. Markovprocess vok. Markovprozeß, m rus. Markov prosesi, m; Markov prosesi, m pranc. proses markovien, m … Avtomatik terminlər žodynas
Markov prosesi- Markovo vyksmas statusas T sritis fizika attikmenys: engl. Markov prosesi; Markovian prosesi vok. Markow Prozeß, m; Markowscher Prozeß, m rus. Markov prosesi, m; Markov prosesi, m pranc. proses de Markoff, m; proses marcovien, m;… … Fizikos terminų žodynas
Təsadüfi proseslərin mühüm xüsusi növü. Markov prosesinə misal olaraq radioaktiv maddənin parçalanmasını göstərmək olar, burada verilmiş atomun qısa müddətdə parçalanma ehtimalı əvvəlki dövrdəki prosesin gedişindən asılı deyildir.... ... ensiklopedik lüğət
Təbiət elminin və texnologiyanın müxtəlif sahələrində ehtimal nəzəriyyəsinin tətbiqində böyük əhəmiyyət kəsb edən təsadüfi proseslərin mühüm xüsusi növü (Bax: Təsadüfi proses). Maqnit prosesinə misal olaraq radioaktiv maddənin parçalanması göstərilə bilər. Böyük Sovet Ensiklopediyası
1906-cı ildə riyaziyyat sahəsində görkəmli kəşfi rus alimi A.A. Markov.
Sorğu axınının Puasson xarakteri və xidmət vaxtının eksponensial paylanması haqqında fərziyyələr ona görə dəyərlidir ki, onlar bizə Markov təsadüfi prosesləri adlanan aparatları növbə nəzəriyyəsində tətbiq etməyə imkan verir.
Fiziki sistemdə baş verən prosesə Markov prosesi (yaxud nəticəsi olmayan proses) deyilirsə, zamanın hər bir anı üçün sistemin gələcəkdə hər hansı vəziyyətinin ehtimalı yalnız sistemin indiki anındakı vəziyyətindən asılıdırsa və sistemin bu vəziyyətə necə gəldiyindən asılı deyil.
Markov təsadüfi prosesinin elementar nümunəsini nəzərdən keçirək. Nöqtə absis oxu boyunca təsadüfi hərəkət edir. Zaman anında nöqtə başlanğıcdadır və bir saniyə orada qalır. Bir saniyə sonra bir sikkə atılır; gerb düşərsə, nöqtə bir uzunluq vahidi sağa, nömrə sola doğru hərəkət edərsə. Bir saniyə sonra sikkə yenidən atılır və eyni təsadüfi hərəkət edilir və s. Nöqtənin mövqeyinin dəyişdirilməsi (yaxud, necə deyərlər, “gəzən”) prosesi diskret vaxta və hesablana bilən çoxluğa malik təsadüfi prosesdir. dövlətlərin
Bu proses üçün mümkün keçidlərin diaqramı Şəkildə göstərilmişdir. 19.7.1.
Bu prosesin Markovian olduğunu göstərək. Həqiqətən, təsəvvür edək ki, müəyyən bir zamanda sistem, məsələn, bir vəziyyətdədir - mənşəyin sağında bir vahid. Vaxt vahidindən sonra nöqtənin mümkün mövqeləri 1/2 və 1/2 ehtimallarla olacaq; iki vahid vasitəsilə - , , ehtimalları 1/4, ½, 1/4 və s. Aydındır ki, bütün bu ehtimallar yalnız müəyyən bir anda nöqtənin harada olmasından asılıdır və ora necə çatdığından tamamilə müstəqildir.
Başqa bir misala baxaq. Tiplərin elementlərindən (hissələrindən) ibarət olan və müxtəlif davamlılığa malik texniki qurğu mövcuddur. Bu elementlər təsadüfi vaxtlarda və bir-birindən asılı olmayaraq uğursuz ola bilər. Hər bir elementin düzgün işləməsi bütövlükdə cihazın işləməsi üçün mütləq lazımdır. Elementin uğursuz işləmə müddəti eksponensial qanuna uyğun olaraq paylanmış təsadüfi dəyişəndir; tip elementləri üçün bu qanunun parametrləri və parametrləri müvafiq olaraq fərqli və bərabərdir. Cihazın nasazlığı halında, səbəbləri müəyyən etmək üçün dərhal tədbirlər görülür və aşkar edilmiş nasaz element dərhal yenisi ilə əvəz olunur. Cihazın bərpası (təmiri) üçün tələb olunan vaxt (əgər tipli element varsa) və (əgər tip element varsa) uğursuzluqla parametrlə eksponensial qanuna uyğun olaraq paylanır.
Bu nümunədə sistemdə baş verən təsadüfi proses fasiləsiz vaxt və sonlu vəziyyətlər dəsti olan Markov prosesidir:
Bütün elementləri işlək vəziyyətdədir, sistem işləyir,
Tip elementi nasazdır, sistem təmir olunur,
Tip elementi nasazdır, sistem təmir olunur.
Mümkün keçidlərin diaqramı Şəkildə göstərilmişdir. 19.7.2.
Həqiqətən, proses Markov xüsusiyyətinə malikdir. Məsələn, hazırda sistem bir vəziyyətdədir (funksional). Hər bir elementin nasazlıqsız işləmə müddəti göstərici olduğundan, gələcəkdə hər bir elementin nasazlıq anı onun artıq nə qədər işlədiyindən (nə vaxt çatdırılmasından) asılı deyildir. Buna görə də, gələcəkdə sistemin bir vəziyyətdə qalması və ya onu tərk etməsi ehtimalı prosesin "tarixdən əvvəlki" ndən asılı deyil. İndi fərz edək ki, hazırda sistem vəziyyətdədir (tip elementi nasazdır). Təmir vaxtı da göstərici olduğundan, təmirdən sonra istənilən vaxt təmirin başa çatdırılma ehtimalı təmirin nə vaxt başladığından və qalan (xidmət edilə bilən) elementlərin nə vaxt çatdırılmasından asılı deyil. Beləliklə, proses Markoviandır.
Qeyd edək ki, elementin işləmə vaxtının eksponensial paylanması və təmir vaxtının eksponensial paylanması vacib şərtlərdir, onsuz proses Markovian olmayacaqdır. Doğrudan da, tutaq ki, elementin düzgün işləmə vaxtı eksponensial qanuna görə deyil, hansısa başqa qanuna görə - məsələn, ərazidə vahid sıxlıq qanununa görə bölüşdürülür. Bu o deməkdir ki, hər bir elementin müəyyən müddət ərzində işləməsinə zəmanət verilir və ona qədər olan hissədə hər an eyni ehtimal sıxlığı ilə sıradan çıxa bilər. Fərz edək ki, müəyyən vaxtda element düzgün işləyir. Aydındır ki, elementin gələcəkdə hansısa bir anda sıradan çıxması ehtimalı elementin nə qədər əvvəl quraşdırıldığından asılıdır, yəni əvvəlki tarixdən asılıdır və proses Markovian olmayacaq.
Vəziyyət təmir vaxtı ilə oxşardır; əgər bu göstərici deyilsə və element hazırda təmir olunursa, qalan təmir vaxtı onun nə vaxt başladığından asılıdır; proses yenə Markovian olmayacaq.
Ümumiyyətlə, fasiləsiz zamanlı Markov təsadüfi prosesləri nəzəriyyəsində eksponensial paylanma xüsusi rol oynayır. Stasionar Markov prosesində sistemin hər hansı bir vəziyyətdə qaldığı vaxtın həmişə eksponensial qanuna uyğun olaraq paylandığını yoxlamaq asandır (ümumiyyətlə bu vəziyyətdən asılı olan bir parametrlə). Həqiqətən də, fərz edək ki, bu anda sistem bir vəziyyətdədir və bir müddət əvvəl orada olmuşdur. Markov prosesinin tərifinə görə, gələcəkdə hər hansı hadisənin baş vermə ehtimalı əvvəlki tarixdən asılı deyil; xüsusilə də, sistemin zaman içində bir vəziyyəti tərk etməsi ehtimalı, sistemin artıq bu vəziyyətdə nə qədər vaxt keçirməsindən asılı olmamalıdır. Nəticə etibarı ilə sistemin dövlətdə qalma müddəti eksponensial qanuna uyğun olaraq bölüşdürülməlidir.
Hesablana bilən hallar dəsti və fasiləsiz vaxtı olan fiziki sistemdə baş verən proses Markovian olduğu halda, bu prosesi naməlum funksiyaların vəziyyət ehtimalları olduğu adi diferensial tənliklərdən istifadə etməklə təsvir etmək olar. Bu cür tənliklərin tərtibi və həllini aşağıda sadə növbə sistemi nümunəsindən istifadə edərək nümayiş etdirəcəyik.
Təsadüfi bir proses, dəyərləri zaman parametri ilə indeksləşdirilən təsadüfi dəyişənlər dəsti və ya ailəsidir. Məsələn, sinifdəki şagirdlərin sayı, atmosfer təzyiqi və ya zamana bağlı olaraq həmin sinifdəki temperatur təsadüfi proseslərdir.
Təsadüfi proseslər mürəkkəb stoxastik sistemlərin öyrənilməsində belə sistemlərin fəaliyyətinin adekvat riyazi modelləri kimi geniş istifadə olunur.
Təsadüfi proseslər üçün əsas anlayışlar anlayışlardır proses vəziyyəti Və keçid bir dövlətdən digərinə.
Müəyyən bir zamanda təsadüfi prosesi təsvir edən dəyişənlərin qiymətləri deyilir vəziyyəttəsadüfiproses. Bir vəziyyəti təyin edən dəyişənlərin dəyərləri digər vəziyyəti təyin edən dəyərlərə dəyişirsə, təsadüfi bir proses bir vəziyyətdən digərinə keçid edir.
Təsadüfi prosesin mümkün hallarının sayı (hal fəzası) sonlu və ya sonsuz ola bilər. Mümkün vəziyyətlərin sayı sonlu və ya hesablana biləndirsə (bütün mümkün vəziyyətlərə seriya nömrələri təyin edilə bilər), onda təsadüfi proses çağırılır. diskret vəziyyətlərlə proses. Məsələn, mağazadakı müştərilərin sayı, gün ərzində bankdakı müştərilərin sayı diskret vəziyyətlərlə təsadüfi proseslərlə təsvir olunur.
Təsadüfi bir prosesi təsvir edən dəyişənlər sonlu və ya sonsuz fasiləsiz intervaldan istənilən qiymət ala bilirsə və buna görə də vəziyyətlərin sayı sayılmazdırsa, təsadüfi proses adlanır. davamlı hallarla proses. Məsələn, gün ərzində havanın temperaturu fasiləsiz vəziyyətləri olan təsadüfi bir prosesdir.
Diskret vəziyyətləri olan təsadüfi proseslər bir vəziyyətdən digərinə kəskin keçidlərlə xarakterizə olunur, davamlı vəziyyətləri olan proseslərdə isə keçidlər hamar olur. Bundan sonra biz yalnız tez-tez adlandırılan diskret vəziyyətləri olan prosesləri nəzərdən keçirəcəyik zəncirlər.
ilə işarə edək g(t) diskret vəziyyətləri və mümkün qiymətləri olan təsadüfi prosesdir g(t), yəni. dövrənin mümkün vəziyyətləri, - simvollar vasitəsilə E 0 , E 1 , E 2 , … . Bəzən təbii sıralardan 0, 1, 2,... rəqəmləri diskret vəziyyətləri ifadə etmək üçün istifadə olunur.
Təsadüfi proses g(t) adlanır prosesilədiskretvaxt, əgər prosesin vəziyyətdən vəziyyətə keçidi yalnız vaxtın ciddi şəkildə müəyyən edilmiş, əvvəlcədən müəyyən edilmiş anlarında mümkündürsə t 0 , t 1 , t 2 , … . Əgər prosesin vəziyyətdən vəziyyətə keçməsi hər hansı əvvəllər məlum olmayan zaman nöqtəsində mümkündürsə, təsadüfi proses adlanır. prosesdavamlı iləvaxt. Birinci halda, keçidlər arasındakı zaman intervallarının deterministik, ikincidə isə təsadüfi dəyişənlər olduğu aydındır.
Diskret-zaman prosesi ya bu proseslə təsvir olunan sistemin strukturu onun vəziyyətlərinin yalnız zamanın əvvəlcədən müəyyən edilmiş nöqtələrində dəyişə bildiyi halda baş verir, ya da prosesi (sistemi) təsvir etmək üçün kifayət olduğu güman edildikdə baş verir. zamanın müəyyən nöqtələrində dövlətləri tanıyın. Onda bu məqamları saymaq olar və dövlətdən danışmaq olar E i zamanın bir nöqtəsində t i .
Diskret vəziyyətləri olan təsadüfi proseslər, təpələrin vəziyyətlərə, istiqamətlənmiş qövslərin isə bir vəziyyətdən digərinə keçidlərə uyğun olduğu keçidlərin (və ya vəziyyətlərin) qrafiki kimi təsvir edilə bilər. Əgər dövlətdən E i yalnız bir vəziyyətə keçid mümkündür E j, onda bu fakt keçid qrafikində təpədən yönəldilmiş qövslə əks olunur E i yuxarıya E j(Şəkil 1, a). Bir vəziyyətdən bir neçə başqa vəziyyətə və bir neçə vəziyyətdən bir vəziyyətə keçidlər Şəkil 1, b və 1, c-də göstərildiyi kimi keçid qrafikində əks olunur.
