Nöqtənin qiymətləndirilməsi və onun xüsusiyyətləri. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisinin qiymətləndirilməsi

s x =(1.11)

Müşahidə olunan təsadüfi dəyişənin öyrənilməsi üçün vacib bir problemi daha sonra nəzərdən keçirəcəyik. Bir neçə nümunə olsun (biz onu qeyd edəcəyik S) təsadüfi dəyişən X. Mövcud nümunədən qiymətləndirmək tələb olunur naməlum dəyərlər m x Və .

Müxtəlif parametrlərin təxminləri nəzəriyyəsi tutur riyazi statistikaəhəmiyyətli yer. Ona görə də əvvəlcə düşünək ümumi vəzifə. Bəzi parametrləri qiymətləndirmək lazım olsun a nümunə ilə S. Hər bir belə qiymətləndirmə a* hansısa funksiyadır a*=a*(S) nümunə dəyərlərindən. Nümunə dəyərləri təsadüfidir, buna görə də təxmin özüdür a* təsadüfi dəyişəndir. Çox qurmaq mümkündür müxtəlif təxminlər(yəni funksiyalar) a*, lakin eyni zamanda “yaxşı” və ya hətta “ən yaxşı”, müəyyən mənada qiymətləndirmənin olması arzuolunandır. Qiymətləndirmələrə adətən aşağıdakı üç təbii tələb qoyulur.

1. Köçürülməmiş. Qiymətləndirmənin riyazi gözləntiləri a* parametrin dəqiq dəyərinə bərabər olmalıdır: M = a. Başqa sözlə, xal a* sistematik xəta olmamalıdır.

2. Sərvət. Nümunə ölçüsündə sonsuz artımla, təxmin a* dəqiq qiymətə yaxınlaşmalıdır, yəni müşahidələrin sayı artdıqca qiymətləndirmə xətası sıfıra meyllidir.

3. Səmərəlilik. Dərəcə a* qərəzsizdirsə və mümkün olan ən kiçik xəta dispersiyasına malikdirsə, onun effektiv olduğu deyilir. Bu halda, təxminlərin yayılması minimaldır a* dəqiq dəyərə nisbətən və qiymətləndirmə müəyyən mənada “ən doğrudur”.

Təəssüf ki, hər üç tələbi eyni vaxtda ödəyən qiymətləndirmə qurmaq həmişə mümkün olmur.

Riyazi gözləntiləri qiymətləndirmək üçün ən çox qiymətləndirmə istifadə olunur.

= , (1.12)

yəni nümunənin arifmetik ortası. Əgər təsadüfi dəyişən X sonlu var m x Və s x, onda qiymətləndirmə (1.12) qərəzli və ardıcıl deyil. Bu təxmin effektivdir, məsələn, əgər X normal paylanmaya malikdir (Şəkil 1.4, Əlavə 1). Digər paylamalar üçün effektiv olmaya bilər. Məsələn, vahid paylanma vəziyyətində (Şəkil 1.1, Əlavə 1) qərəzsiz, ardıcıl qiymətləndirmə olacaq.

(1.13)

Eyni zamanda, normal paylanma üçün təxmin (1.13) nə ardıcıl, nə də effektiv olmayacaq və nümunə ölçüsünün artması ilə daha da pisləşəcək.

Beləliklə, təsadüfi dəyişənin hər bir paylanma növü üçün X riyazi gözləntilərinizin təxminindən istifadə etməlisiniz. Lakin bizim vəziyyətimizdə paylanma növü yalnız şərti olaraq bilinə bilər. Buna görə də, olduqca sadə və ən çox olan təxmindən (1.12) istifadə edəcəyik mühüm xassələri qərəzsizlik və ardıcıllıq.

Qruplaşdırılmış nümunə üçün riyazi gözləntiləri qiymətləndirmək üçün aşağıdakı düsturdan istifadə olunur:

= , (1.14)

hər şeyi nəzərə alsaq, əvvəlkindən əldə edilə bilər m i nümunə dəyərləri daxildir i-inci interval təmsilçiyə bərabərdir z i bu interval. Bu təxmin təbii olaraq daha kobuddur, lakin xüsusilə böyük nümunə ölçüsü ilə əhəmiyyətli dərəcədə daha az hesablama tələb edir.

Dispersiyanı qiymətləndirmək üçün ən çox istifadə edilən qiymətləndirmə:

= , (1.15)

Bu təxmin qərəzli deyil və istənilən təsadüfi dəyişən üçün etibarlıdır X, dördüncü sıra daxil olmaqla sonlu anlara sahibdir.

Qruplaşdırılmış nümunə halında istifadə edilən təxmin:

= (1.16)

Qiymətləndirmələr (1.14) və (1.16), bir qayda olaraq, qərəzli və qeyri-mümkündür, çünki onların riyazi gözləntiləri və yaxınlaşdıqları hədlər fərqlidir. m x və daxil edilmiş bütün nümunə dəyərlərinin dəyişdirilməsi səbəbindən i-th interval, hər interval təmsil z i.

Qeyd edək ki, böyüklər üçün n,əmsalı n/(n – 1)(1.15) və (1.16) ifadələrində birliyə yaxın olduğu üçün onu buraxmaq olar.

İnterval təxminləri.

Qoy dəqiq dəyər bəzi parametrlər bərabərdir a və onun təxmini qiyməti tapıldı a*(S) nümunə ilə S. Qiymətləndirmə a*ədədi oxundakı nöqtəyə uyğun gəlir (şəkil 1.5), buna görə də bu təxmin deyilir nöqtə. Əvvəlki paraqrafda müzakirə edilən bütün təxminlər nöqtəli təxminlərdir. Demək olar ki, həmişə təsadüf nəticəsində

a* ¹ a, və yalnız ümid edə bilərik ki, nöqtə a* yaxın bir yerdədir a. Amma nə qədər yaxın? Hər hansı digər nöqtə təxmininin eyni çatışmazlığı olacaq - nəticənin etibarlılığı ölçüsünün olmaması.

Şəkil 1.5. Nöqtə parametrinin təxmini.

Bu mövzuda daha konkret interval təxminləri. Interval balı intervalı təmsil edir I b = (a, b), burada təxmin edilən parametrin dəqiq qiyməti verilmiş ehtimalla tapılır b. Interval mən bçağırdı etimad intervalı, və ehtimal bçağırdı güvən ehtimalı və kimi hesab edilə bilər qiymətləndirmənin etibarlılığı.

Etibar intervalı mövcud nümunəyə əsaslanır S, sərhədlərinin təsadüfi olması mənasında təsadüfidir a(S) Və b(S), biz (təsadüfi) nümunədən hesablayacağıq. Buna görə b təsadüfi intervalın olması ehtimalı var mən b təsadüfi olmayan bir nöqtəni əhatə edəcək a. Şəkildə. 1.6. interval mən b məqamı əhatə etmişdir a, A Ib*- Xeyr. Ona görə də bunu demək tamamilə düzgün deyil a " intervalına düşür.

Əgər güvən ehtimalı b böyük (məsələn, b = 0,999), onda demək olar ki, həmişə dəqiq dəyər a qurulmuş interval daxilindədir.

Şəkil 1.6. Parametrin etibarlılıq intervalları a müxtəlif nümunələr üçün.

Tikinti üsulunu nəzərdən keçirək etimad intervalı təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri üçün X,əsasında mərkəzi limit teoremi.

Təsadüfi dəyişən olsun X naməlum riyazi gözləntisi var m x Və məlum variasiya. Onda mərkəzi hədd teoreminə əsasən arifmetik orta belə olur:

= , (1.17)

nəticələr n müstəqil testlər miqdarlar X geniş paylanması təsadüfi dəyişəndir n, yaxın normal paylanma orta ilə m x və standart sapma. Buna görə təsadüfi dəyişən

(1.18)

nəzərə alına bilən ehtimal paylanmasına malikdir standart normal paylanma sıxlığı ilə j(t), qrafiki Şəkil 1.7-də göstərilmişdir (həmçinin Şəkil 1.4, Əlavə 1).

Şəkil 1.7. Təsadüfi dəyişənin ehtimal sıxlığının paylanması t.

Etibarlılıq ehtimalı verilsin b Və t b - tənliyi təmin edən ədəd

b = Ф 0 (t b) – Ф 0 (-t b) = 2 Ф 0 (t b),(1.19)

Harada - Laplas funksiyası. Sonra intervala düşmə ehtimalı (-t b , t b)Şəkil 1.7-dəki kölgəyə bərabər olacaq. sahəsi və (1.19) ifadəsinə görə bərabərdir b. Beləliklə

b = P(-t b< < t b) = P( – tb< m x < + t b ) =

= P( – tb< m x < + t b).(1.20)

Beləliklə, etimad intervalı olaraq intervalı götürə bilərik

mən b = ( – t b ; + tb ) , (1.21)

Çünki (1.20) ifadəsi bilinməyən dəqiq qiymət deməkdir m x içərisindədir mən b verilmiş etimad ehtimalı ilə b. qurmaq mən b göstərildiyi kimi lazımdır b tapmaq t b(1.19) tənliyindən. Gəlin bir neçə dəyər verək t b gələcəkdə lazımdır :

t 0,9 = 1,645; t 0,95 = 1,96; t 0,99 = 2,58; t 0,999 = 3,3.

(1.21) ifadəsini əldə edərkən, standart kənarlaşmanın dəqiq dəyərinin məlum olduğu güman edilirdi. s x. Ancaq həmişə məlum deyil. Buna görə də onun təxminindən (1.15) istifadə edək və əldə edək:

mən b = ( – t b ; +tb). (1.22)

Müvafiq olaraq, qruplaşdırılmış seçmənin təxminləri və onlardan əldə edilən inam intervalı üçün aşağıdakı düstur verilir:

mən b = ( – t b ; +tb). (1.23)

MÜHAZİRƏNİN MƏQSƏDİ: naməlum paylanma parametrinin qiymətləndirilməsi konsepsiyasını təqdim etmək və belə qiymətləndirmələrin təsnifatını vermək; riyazi gözləntilərin və dispersiyanın nöqtə və interval təxminlərini əldə edin.

Təcrübədə əksər hallarda təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu məlum deyil və müşahidələrin nəticələrinə görə
ədədi xarakteristikaları (məsələn, riyazi gözlənti, dispersiya və ya digər anlar) və ya naməlum parametri qiymətləndirmək lazımdır. paylanma qanununu təyin edən (paylanma sıxlığı)
tədqiq olunan təsadüfi dəyişən. Beləliklə, eksponensial paylanma və ya Puasson paylanması üçün bir parametri qiymətləndirmək kifayətdir, lakin normal paylanma üçün iki parametr - riyazi gözlənti və dispersiya qiymətləndirilməlidir.

Qiymətləndirmə növləri

Təsadüfi dəyişən
ehtimal sıxlığına malikdir
, Harada – naməlum paylama parametri. Təcrübə nəticəsində bu təsadüfi dəyişənin dəyərləri əldə edildi:
. Qiymətləndirmənin aparılması mahiyyətcə təsadüfi dəyişənin seçmə dəyərlərinin müəyyən bir parametr dəyəri ilə əlaqələndirilməsi deməkdir. , yəni müşahidə nəticələrinin bəzi funksiyalarını yaratmaq
, dəyəri təxmin kimi qəbul edilir parametr . indeks həyata keçirilən təcrübələrin sayını göstərir.

Müşahidələrin nəticələrindən asılı olan istənilən funksiya çağırılır statistika. Müşahidələrin nəticələri təsadüfi dəyişənlər olduğundan, statistika da təsadüfi dəyişən olacaqdır. Buna görə də qiymətləndirmə
naməlum parametr təsadüfi dəyişən kimi qəbul edilməlidir və onun dəyəri həcmdə eksperimental məlumatlardan hesablanır , – bu təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərlərindən biri kimi.

Paylanma parametrlərinin təxminləri (təsadüfi kəmiyyətin ədədi xarakteristikaları) nöqtə və intervala bölünür. Nöqtə təxmini parametr bir ədədlə müəyyən edilir , və onun dəqiqliyi təxminin fərqliliyi ilə xarakterizə olunur. Interval qiymətləndirilməsi iki rəqəmlə müəyyən edilən bir bal deyilir, Və – təxmin edilən parametri əhatə edən intervalın sonları verilmiş etimad ehtimalı ilə.

Nöqtə qiymətləndirmələrinin təsnifatı

Naməlum parametrin nöqtə təxmini üçün
dəqiqlik baxımından ən yaxşısı, ardıcıl, qərəzsiz və səmərəli olmalıdır.

Varlı qiymətləndirmə adlanır
parametr , ehtimalla təxmin edilən parametrə yaxınlaşarsa, yəni.

. (8.8)

Çebışev bərabərsizliyinə əsaslanaraq göstərmək olar ki kifayət qədər şərait(8.8) əlaqəsinin yerinə yetirilməsi bərabərlikdir

.

Ardıcıllıq - dakı təxminin asimptotik xarakteristikasıdır
.

Qərəzsiz qiymətləndirmə adlanır
(sistemli səhvsiz qiymətləndirmə), riyazi gözləntiləri təxmin edilən parametrə bərabərdir, yəni.

. (8.9)

Əgər bərabərlik (8.9) təmin edilmirsə, o zaman qiymətləndirmə qərəzli adlanır. Fərq
qərəz və ya qiymətləndirmədə sistematik səhv adlanır. Əgər bərabərlik (8.9) yalnız üçün təmin edilir
, onda müvafiq qiymətləndirmə asimptotik qərəzsiz adlanır.

Qeyd etmək lazımdır ki, əgər ardıcıllıq praktikada istifadə olunan bütün qiymətləndirmələr üçün demək olar ki, məcburi şərtdirsə (uyğunsuz qiymətləndirmələr çox nadir hallarda istifadə olunur), o zaman qərəzsizliyin xüsusiyyəti yalnız arzuolunandır. Tez-tez istifadə olunan bir çox təxminlərin qərəzsiz xüsusiyyəti yoxdur.

IN ümumi hal bəzi parametrin qiymətləndirilməsinin dəqiqliyi , eksperimental məlumatlar əsasında əldə edilmişdir
, orta kvadrat xəta ilə xarakterizə olunur

,

formaya endirilə bilər

,

fərq haradadır,
– kvadratlı təxminlərin qərəzi.

Qiymətləndirmə qərəzsizdirsə, deməli

Sonda təxminlər orta kvadrat xəta ilə fərqlənə bilər . Təbii ki, bu səhv nə qədər kiçik olsa, qiymətləndirmə dəyərləri təxmin edilən parametr ətrafında bir o qədər sıx qruplaşdırılır. Buna görə də, qiymətləndirmə xətasının mümkün qədər kiçik olması, yəni şərtin təmin edilməsi həmişə arzu edilir.

. (8.10)

Qiymətləndirmə , təmin edən şərt (8.10), minimum kvadrat xəta ilə qiymətləndirmə adlanır.

Effektiv qiymətləndirmə adlanır
, bunun üçün orta kvadrat xəta hər hansı digər qiymətləndirmənin orta kvadrat səhvindən böyük deyil, yəni.

Harada – hər hansı digər parametr qiymətləndirməsi .

Məlumdur ki, bir parametrin hər hansı qərəzsiz qiymətləndirməsinin dispersiyası Cramer-Rao bərabərsizliyini təmin edir

,

Harada
- parametrin həqiqi qiymətində təsadüfi dəyişənin əldə edilmiş qiymətlərinin şərti ehtimal sıxlığının paylanması .

Beləliklə, qərəzsiz qiymətləndirmə
, bunun üçün Cramer-Rao bərabərsizliyi bərabərliyə çevrilir, effektiv olacaq, yəni belə bir qiymətləndirmə minimal dispersiyaya malikdir.

Gözləntilərin və fərqliliyin nöqtə təxminləri

Təsadüfi dəyişən nəzərə alınarsa
, riyazi gözləntisi olan və variasiya , onda bu parametrlərin hər ikisi naməlum sayılır. Beləliklə, təsadüfi bir dəyişən üzərində
istehsal edilmişdir nəticələr verən müstəqil təcrübələr:
. Naməlum parametrlərin ardıcıl və qərəzsiz qiymətləndirmələrini tapmaq lazımdır Və .

Təxminlər kimi Və Adətən statistik (nümunə) orta və statistik (nümunə) dispersiya müvafiq olaraq seçilir:

; (8.11)

. (8.12)

Riyazi gözləntinin qiymətləndirilməsi (8.11) böyük ədədlər qanununa (Çebışev teoremi) uyğundur:

.

Təsadüfi dəyişən gözləntisi

.

Buna görə də təxmin qərəzsizdir.

Riyazi gözlənti təxmininin dispersiyası:

Əgər təsadüfi dəyişən
normal qanuna, sonra isə təxminə görə paylanır də təsirlidir.

Variasiya təxmininin gözlənilməsi

Eyni zamanda

.

Çünki
, A
, onda alırıq

. (8.13)

Beləliklə,
– ardıcıl və effektiv olsa da, qərəzli qiymətləndirmə.

(8.13) düsturundan belə çıxır ki, qərəzsiz qiymətləndirmə əldə etmək
nümunə fərqi (8.12) aşağıdakı kimi dəyişdirilməlidir:

ümumi olsa da, təxminlə (8.12) müqayisədə “daha ​​yaxşı” hesab edilir bu təxminlər demək olar ki, bir-birinə bərabərdir.

Paylanma parametrlərinin təxminlərinin alınması üsulları

Çox vaxt praktikada təsadüfi dəyişən yaradan fiziki mexanizmin təhlilinə əsaslanır
, bu təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu haqqında nəticə çıxara bilərik. Bununla belə, bu paylanmanın parametrləri naməlumdur və adətən sonlu nümunə şəklində təqdim olunan eksperimental nəticələr əsasında qiymətləndirilməlidir.
. Bu problemi həll etmək üçün ən çox iki üsuldan istifadə olunur: anlar üsulu və maksimum ehtimal üsulu.

Anlar üsulu. Metod nəzəri anları eyni sıralı müvafiq empirik anlarla bərabərləşdirməkdən ibarətdir.

Empirik başlanğıc nöqtələri -ci sıra düsturlarla müəyyən edilir:

,

və müvafiq nəzəri başlanğıc anları -ci sıra - düsturlar:

diskret təsadüfi dəyişənlər üçün,

davamlı təsadüfi dəyişənlər üçün,

Harada – təxmini paylama parametri.

İki naməlum parametri ehtiva edən paylamanın parametrlərinin təxminlərini əldə etmək Və , iki tənlik sistemi tərtib edilmişdir

Harada Və – ikinci dərəcəli nəzəri və empirik mərkəzi məqamlar.

Tənliklər sisteminin həlli təxminlərdir Və naməlum paylama parametrləri Və .

Birinci dərəcəli nəzəri və empirik ilkin anları bərabərləşdirərək, təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini təxmin etməklə əldə edirik.
, ixtiyari paylanmaya malik olan, nümunə orta olacaq, yəni.
. Sonra, ikinci dərəcəli nəzəri və empirik mərkəzi anları bərabərləşdirərək, təsadüfi dəyişənin dispersiyasının qiymətləndirilməsini əldə edirik.
ixtiyari paylanmaya malik olan düsturla müəyyən edilir

.

Bənzər bir şəkildə, hər hansı bir nizamın nəzəri anlarının təxminlərini tapmaq olar.

Momentlər üsulu sadədir və mürəkkəb hesablamalar tələb etmir, lakin bu üsulla əldə edilən təxminlər çox vaxt səmərəsiz olur.

Maksimum ehtimal üsulu. Naməlum paylanma parametrlərinin nöqtə qiymətləndirilməsinin maksimum ehtimal üsulu bir və ya bir neçə təxmin edilən parametrin funksiyasının maksimumunu tapmaqdan ibarətdir.

Qoy
fasiləsiz təsadüfi dəyişəndir, nəticədə testlər qiymətlər aldı
. Naməlum parametrin qiymətləndirilməsini əldə etmək üçün belə bir dəyəri tapmaq lazımdır , nəticədə nümunənin həyata keçirilməsi ehtimalı maksimum olacaqdır. Çünki
eyni ehtimal sıxlığına malik qarşılıqlı müstəqil kəmiyyətləri təmsil edir
, Bu ehtimal funksiyası arqument funksiyasını çağırın :

Parametrin maksimum ehtimalının qiymətləndirilməsi bu dəyər deyilir , bu zaman ehtimal funksiyası maksimuma çatır, yəni tənliyin həllidir.

,

bu, açıq şəkildə test nəticələrindən asılıdır
.

Funksiyalara görə
Və
eyni dəyərlərdə maksimuma çatır
, sonra hesablamaları sadələşdirmək üçün onlar tez-tez loqarifmik ehtimal funksiyasından istifadə edir və müvafiq tənliyin kökünü axtarırlar.

,

adlanır ehtimal tənliyi.

Bir neçə parametri qiymətləndirmək lazımdırsa
paylanması
, onda ehtimal funksiyası bu parametrlərdən asılı olacaq. Təxminləri tapmaq üçün
paylama parametrləri sistemi həll etmək lazımdır ehtimal tənlikləri

.

Maksimum ehtimal metodu ardıcıl və asimptotik cəhətdən səmərəli qiymətləndirmələri təmin edir. Bununla birlikdə, maksimum ehtimal üsulu ilə əldə edilən təxminlər qərəzlidir və əlavə olaraq, təxminləri tapmaq üçün çox vaxt kifayət qədər mürəkkəb tənlik sistemlərini həll etmək lazımdır.

İnterval parametrlərinin təxminləri

Nöqtələrin qiymətləndirilməsinin düzgünlüyü onların dağılması ilə xarakterizə olunur. Bununla belə, əldə edilən təxminlərin parametrlərin həqiqi qiymətlərinə nə qədər yaxın olduğu barədə məlumat yoxdur. Bir sıra tapşırıqlarda yalnız parametr üçün tapmaq lazım deyil uyğun ədədi dəyər, həm də onun düzgünlüyünü və etibarlılığını qiymətləndirmək üçün. Parametrin dəyişdirilməsinin hansı səhvlərə səbəb ola biləcəyini öyrənməlisiniz onun nöqtə təxmini və bu səhvlərin məlum həddi aşmayacağına nə dərəcədə inamla gözləməliyik.

Bu cür tapşırıqlar az sayda təcrübə olduqda xüsusilə aktualdır. , nöqtə təxmin edərkən əsasən təsadüfi və təxmini əvəzetmə haqqında əhəmiyyətli səhvlərə səbəb ola bilər.

Daha tam və etibarlı yol paylanma parametrlərinin qiymətləndirilməsi tək nöqtə dəyərinin deyil, müəyyən bir ehtimalla təxmin edilən parametrin həqiqi dəyərini əhatə edən intervalın müəyyən edilməsindən ibarətdir.

Nəticələrə görə icazə verin eksperimentlərdə qərəzsiz qiymətləndirmə əldə edilmişdir
parametr . Mümkün səhvi qiymətləndirmək lazımdır. Bəzi kifayət qədər böyük ehtimal seçilir
(məsələn), belə bir ehtimalı olan bir hadisə praktiki olaraq müəyyən bir hadisə sayıla bilər və belə bir dəyər tapılır. , bunun üçün

. (8.15)

Bu vəziyyətdə, dəyişdirmə zamanı baş verən səhvin praktiki olaraq mümkün dəyərlərinin diapazonu haqqında , olacaq
, və böyükləri mütləq dəyər səhvlər yalnız aşağı ehtimalla görünəcək .

(8.15) ifadəsi ehtimalla o deməkdir
naməlum parametr dəyəri intervalına düşür

. (8.16)

Ehtimal
çağırdı güvən ehtimalı, və interval , ehtimalla əhatə edir parametrin həqiqi qiyməti deyilir etimad intervalı. Qeyd edək ki, parametr dəyərinin ehtimalla etimad intervalında olduğunu söyləmək düzgün deyil. . İstifadə olunan formulasiya o deməkdir ki, təxmin edilən parametr naməlum olsa da, onun sabit dəyəri var və təsadüfi dəyişən olmadığı üçün yayılması yoxdur.

Gözləmə təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanmasıdır

Riyazi gözlənti, tərif, diskret və fasiləsiz təsadüfi dəyişənlərin riyazi gözləntiləri, seçmə, şərti gözlənti, hesablama, xassələr, problemlər, gözləntilərin qiymətləndirilməsi, dispersiya, paylanma funksiyası, düsturlar, hesablama nümunələri.

Məzmunu genişləndirin

Məzmunu yığcamlaşdırın

Riyazi gözlənti tərifdir

Riyazi statistikada və ehtimal nəzəriyyəsində təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin və ya ehtimallarının paylanmasını xarakterizə edən ən vacib anlayışlardan biridir. Adətən təsadüfi dəyişənin bütün mümkün parametrlərinin çəkili ortası kimi ifadə edilir. Texniki analizdə, ədəd seriyalarının tədqiqində, davamlı və vaxt aparan proseslərin öyrənilməsində geniş istifadə olunur. Var vacibdir maliyyə bazarlarında alqı-satqı zamanı risklərin qiymətləndirilməsi, qiymət göstəricilərinin proqnozlaşdırılması zamanı qumar nəzəriyyəsində oyun taktikasının strategiya və üsullarının işlənib hazırlanmasında istifadə olunur.

Riyazi gözləntidir təsadüfi dəyişənin orta qiyməti, təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanması ehtimal nəzəriyyəsində nəzərə alınır.

Riyazi gözləntidir ehtimal nəzəriyyəsində təsadüfi dəyişənin orta qiymətinin ölçüsü. Təsadüfi dəyişən gözləntisi x ilə işarələnir M(x).

Riyazi gözləntidir

Riyazi gözləntidir ehtimal nəzəriyyəsində, təsadüfi dəyişənin ala biləcəyi bütün mümkün dəyərlərin orta çəkisi.

Riyazi gözləntidir təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərinin məhsullarının cəmi və bu dəyərlərin ehtimalları.

Riyazi gözləntidir belə bir qərarın böyük ədədlər və uzaq məsafə nəzəriyyəsi çərçivəsində nəzərdən keçirilə bilməsi şərti ilə müəyyən bir qərardan orta mənfəət.

Riyazi gözləntidir qumar nəzəriyyəsində, hər bir mərc üçün orta hesabla bir oyunçunun qazana və ya itirə biləcəyi uduşların miqdarı. Qumar dili ilə desək, buna bəzən "oyunçu kənarı" (oyunçu üçün müsbət olarsa) və ya "ev kənarı" (oyunçu üçün mənfi olarsa) deyilir.

Riyazi gözləntidir uduş başına mənfəətin faizinin orta mənfəətə vurulması, zərər ehtimalının orta itkiyə vurulması.

Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntiləri riyazi nəzəriyyə

Təsadüfi dəyişənin mühüm ədədi xüsusiyyətlərindən biri onun riyazi gözləntisidir. Təsadüfi dəyişənlər sistemi anlayışını təqdim edək. Gəlin eyni təsadüfi təcrübənin nəticələri olan təsadüfi dəyişənlər toplusunu nəzərdən keçirək. Əgər sistemin mümkün dəyərlərindən biridirsə, onda hadisə Kolmoqorovun aksiomlarını təmin edən müəyyən bir ehtimala uyğundur. Təsadüfi dəyişənlərin hər hansı mümkün qiymətləri üçün müəyyən edilmiş funksiyaya birgə paylama qanunu deyilir. Bu funksiya hər hansı bir hadisənin ehtimalını hesablamağa imkan verir. Xüsusilə, çoxluqdan qiymət alan və təsadüfi dəyişənlərin birgə paylanma qanunu ehtimallarla verilir.

“Riyazi gözlənti” termini Pierre Simon Marquis de Laplace (1795) tərəfindən təqdim edilmişdir və ilk dəfə 17-ci əsrdə qumar nəzəriyyəsində Blez Paskal və Kristianın əsərlərində ortaya çıxan “uduşların gözlənilən dəyəri” anlayışından irəli gəlir. Huygens. Lakin bu konsepsiyanın ilk tam nəzəri anlayışı və qiymətləndirilməsi Pafnuty Lvoviç Çebışev (19-cu əsrin ortaları) tərəfindən verilmişdir.

Təsadüfi ədədi dəyişənlərin paylanma qanunu (paylanma funksiyası və paylanma seriyası və ya ehtimal sıxlığı) təsadüfi dəyişənin davranışını tamamilə təsvir edir. Lakin bir sıra məsələlərdə tədqiq olunan kəmiyyətin bəzi ədədi xüsusiyyətlərini bilmək kifayətdir (məsələn, onun orta qiyməti və mümkün sapma ondan) verilən suala cavab vermək. Təsadüfi dəyişənlərin əsas ədədi xarakteristikaları riyazi gözlənti, dispersiya, rejim və mediadır.

Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi onun mümkün qiymətlərinin və onlara uyğun ehtimalların məhsullarının cəmidir. Bəzən riyazi gözləntiyə çəkili ortalama deyilir, çünki çox sayda təcrübədə təsadüfi dəyişənin müşahidə olunan dəyərlərinin arifmetik ortasına təxminən bərabərdir. Riyazi gözləntinin tərifindən belə çıxır ki, onun dəyəri təsadüfi dəyişənin mümkün olan ən kiçik qiymətindən az deyil və ən böyüyündən çox deyil. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi qeyri-təsadüfi (sabit) dəyişəndir.

Riyazi gözlənti sadədir fiziki məna: vahid kütləni düz xətt üzərində yerləşdirsəniz, bəzi nöqtələrdə bir qədər kütlə yerləşdirsəniz (üçün diskret paylama) və ya müəyyən bir sıxlıqla (mütləq fasiləsiz paylama üçün) "yaxmaq", onda riyazi gözləntiyə uyğun gələn nöqtə xəttin "ağırlıq mərkəzi" nin koordinatı olacaqdır.

Təsadüfi dəyişənin orta qiyməti, onun "nümayəndəsi" olan və onu təxminən təxmini hesablamalarda əvəz edən müəyyən bir ədəddir. "Çıraqın orta işləmə müddəti 100 saatdır" və ya "orta təsir nöqtəsi hədəfə nisbətən 2 m sağa sürüşdürülür" dedikdə, təsadüfi dəyişənin yerini təsvir edən müəyyən bir ədədi xarakteristikasını göstəririk. ədədi oxda, yəni. "Mövqe xüsusiyyətləri".

Ehtimal nəzəriyyəsində mövqenin xüsusiyyətlərindən mühüm rol oynayır təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini oynayır, buna bəzən sadəcə təsadüfi dəyişənin orta qiyməti deyilir.

Təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirin X, mümkün dəyərlərə malikdir x1, x2, …, xn ehtimallarla p1, p2, …, pn. Bu dəyərlərin müxtəlif ehtimallara malik olduğunu nəzərə alaraq, təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin x oxundakı mövqeyini bəzi rəqəmlərlə xarakterizə etməliyik. Bu məqsədlə dəyərlərin “çəkili orta” adlanandan istifadə edilməsi təbiidir xi, və orta hesablama zamanı hər bir xi dəyəri bu dəyərin ehtimalına mütənasib “çəki” ilə nəzərə alınmalıdır. Beləliklə, təsadüfi dəyişənin ortasını hesablayacağıq X, işarə etdiyimiz M |X|:

Bu çəkili orta təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi adlanır. Beləliklə, biz ehtimal nəzəriyyəsinin ən vacib anlayışlarından birini - riyazi gözləmə anlayışını nəzərə aldıq. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərinin məhsullarının və bu dəyərlərin ehtimallarının cəmidir.

Qoy istehsal olunsun N hər birində dəyəri olan müstəqil təcrübələr X müəyyən dəyər alır. Fərz edək ki, dəyər x1 meydana çıxdı m1 dəfə, dəyər x2 meydana çıxdı m2 dəfə, ümumi məna xi dəfə ortaya çıxdı. Riyazi gözləntidən fərqli olaraq X dəyərinin müşahidə olunan dəyərlərinin arifmetik ortasını hesablayaq. M|X| işarə edirik M*|X|:

Təcrübələrin sayının artması ilə N tezliklər pi müvafiq ehtimallara yaxınlaşacaq (ehtimalla yaxınlaşacaq). Beləliklə, təsadüfi dəyişənin müşahidə olunan dəyərlərinin arifmetik ortası M|X| təcrübələrin sayının artması ilə riyazi gözləntisinə yaxınlaşacaq (ehtimalda yaxınlaşacaq). Arifmetik orta ilə yuxarıda ifadə olunmuş riyazi gözlənti arasındakı əlaqə böyük ədədlər qanununun formalarından birinin məzmununu təşkil edir.

Biz artıq bilirik ki, böyük ədədlər qanununun bütün formaları bəzi ortaların çoxlu sayda təcrübədə sabit olduğunu bildirir. Burada söhbət eyni kəmiyyətin bir sıra müşahidələrindən arifmetik ortanın sabitliyindən gedir. Az sayda təcrübə ilə onların nəticələrinin arifmetik ortası təsadüfi olur; eksperimentlərin sayının kifayət qədər artması ilə "demək olar ki, qeyri-təsadüfi" olur və sabitləşərək sabit bir dəyərə - riyazi gözləntiyə yaxınlaşır.

Çox sayda təcrübə üzərində orta göstəricilərin sabitliyi eksperimental olaraq asanlıqla yoxlanıla bilər. Məsələn, laboratoriyada cismi dəqiq tərəzilərdə çəkərkən, çəkmə nəticəsində hər dəfə yeni qiymət alırıq; Müşahidə xətasını azaltmaq üçün bədəni bir neçə dəfə çəkirik və alınan dəyərlərin arifmetik ortasından istifadə edirik. Təcrübələrin (çəkilərin) sayının daha da artması ilə arifmetik ortanın bu artıma getdikcə daha az reaksiya verdiyini və kifayət qədər çox sayda təcrübə ilə praktiki olaraq dəyişməyi dayandırdığını görmək asandır.

Qeyd etmək lazımdır ki ən mühüm xüsusiyyət təsadüfi dəyişənin mövqeyi - riyazi gözlənti - bütün təsadüfi dəyişənlər üçün mövcud deyil. Müvafiq cəm və ya inteqral ayrıldığı üçün riyazi gözləntiləri olmayan belə təsadüfi dəyişənlərə misallar tərtib etmək mümkündür. Bununla belə, bu cür hallar təcrübə üçün o qədər də maraqlı deyil. Tipik olaraq, məşğul olduğumuz təsadüfi dəyişənlər məhdud mümkün dəyərlər diapazonuna malikdir və əlbəttə ki, riyazi bir gözləntiyə malikdir.

Təsadüfi dəyişənin mövqeyinin ən vacib xüsusiyyətlərindən - riyazi gözləntidən əlavə, praktikada bəzən mövqenin digər xüsusiyyətlərindən, xüsusən də təsadüfi dəyişənin rejimi və mediandan istifadə olunur.

Təsadüfi dəyişənin rejimi onun ən çox ehtimal olunan qiymətidir. “Ən çox ehtimal olunan dəyər” termini, qəti desək, yalnız fasiləsiz kəmiyyətlərə aiddir; üçün davamlı dəyər Rejim, ehtimal sıxlığının maksimum olduğu dəyərdir. Rəqəmlər, müvafiq olaraq, fasiləsiz və davamlı təsadüfi dəyişənlər üçün rejimi göstərir.

Əgər paylama poliqonunda (paylanma əyrisi) birdən çox maksimum varsa, paylanma “multimodal” adlanır.

Bəzən elə paylamalar olur ki, onların ortasında maksimum deyil, minimumu olur. Belə paylamalar “antimodal” adlanır.

Ümumi halda təsadüfi dəyişənin rejimi və riyazi gözləntiləri üst-üstə düşmür. Xüsusi halda, paylanma simmetrik və modal olduqda (yəni rejimi var) və riyazi gözlənti olduqda, o zaman paylanmanın simmetriya rejimi və mərkəzi ilə üst-üstə düşür.

Başqa bir mövqe xarakteristikasından tez-tez istifadə olunur - təsadüfi dəyişənin sözdə medianı. Bu xarakteristika adətən yalnız fasiləsiz təsadüfi dəyişənlər üçün istifadə olunur, baxmayaraq ki, o, fasiləsiz dəyişən üçün formal olaraq müəyyən edilə bilər. Həndəsi olaraq median paylanma əyrisi ilə əhatə olunan sahənin yarıya bölündüyü nöqtənin absisidir.

Simmetrik modal paylanma vəziyyətində median riyazi gözlənti və rejimlə üst-üstə düşür.

Riyazi gözlənti təsadüfi dəyişənin orta qiymətidir - təsadüfi dəyişənin ehtimal paylanmasının ədədi xarakteristikasıdır. Ən ümumi şəkildə, təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi X(w) ehtimal ölçüsünə görə Lebeq inteqralı kimi müəyyən edilir R orijinal ehtimal fəzasında:

Riyazi gözlənti Lebesq inteqralı kimi də hesablana bilər X ehtimal paylanması ilə px miqdarlar X:

Sonsuz riyazi gözlənti ilə təsadüfi dəyişən anlayışı təbii şəkildə müəyyən edilə bilər. Tipik bir nümunə bəzi təsadüfi gəzintilərdə dönüş vaxtları kimi xidmət edir.

Riyazi gözləmənin köməyi ilə bir çox ədədi və funksional xüsusiyyətlər paylanmalar (təsadüfi kəmiyyətdən uyğun funksiyaların riyazi gözləntiləri kimi), məsələn, yaradan funksiya, xarakterik funksiya, hər hansı düzülüş momentləri, xüsusən dispersiya, kovariasiya.

Riyazi gözlənti təsadüfi dəyişənin dəyərlərinin yerləşməsinin xarakterik bir xüsusiyyətidir (onun paylanmasının orta dəyəri). Bu qabiliyyətdə riyazi gözlənti bəzi "tipik" paylama parametri kimi xidmət edir və onun rolu mexanikada statik momentin - kütlə paylanmasının ağırlıq mərkəzinin koordinatının roluna bənzəyir. Onun köməyi ilə paylanmanın ümumi şəkildə təsvir olunduğu yerin digər xüsusiyyətlərindən - medianlar, rejimlər, riyazi gözlənti onun və müvafiq səpilmə xarakteristikasının - dispersiyanın - ehtimal nəzəriyyəsinin həddi teoremlərində malik olduğu daha böyük dəyərlə fərqlənir. Riyazi gözləntinin mənası böyük ədədlər qanunu (Çebışev bərabərsizliyi) və böyük ədədlərin gücləndirilmiş qanunu ilə ən dolğun şəkildə açılır.

Diskret təsadüfi dəyişənin gözləntiləri

Bir neçə ədədi dəyərdən birini götürə bilən bəzi təsadüfi dəyişən olsun (məsələn, zar atarkən xalların sayı 1, 2, 3, 4, 5 və ya 6 ola bilər). Çox vaxt praktikada belə bir dəyər üçün sual yaranır: çox sayda testlə "orta hesabla" hansı dəyər alır? Riskli əməliyyatların hər birindən orta gəlirimiz (və ya zərərimiz) nə qədər olacaq?

Tutaq ki, bir növ lotereya var. Biz başa düşmək istəyirik ki, onda iştirak etmək sərfəli olub-olmaması (və ya hətta dəfələrlə, müntəzəm olaraq iştirak etmək). Deyək ki, hər dördüncü bilet qalibdir, mükafat 300 rubl, istənilən biletin qiyməti isə 100 rubl olacaq. Sonsuz sayda iştirakla belə olur. Dörddə üçdə biz itirəcəyik, hər üç itki 300 rubla başa gələcək. Hər dördüncü halda biz 200 rubl qazanacağıq. (mükafat minus dəyəri), yəni dörd iştirak üçün orta hesabla 100 rubl, biri üçün orta hesabla 25 rubl itiririk. Ümumilikdə xarabalığımızın orta qiyməti bir bilet üçün 25 rubl olacaq.

atırıq zar. Əgər aldadıcı deyilsə (ağırlıq mərkəzini dəyişmədən və s.), onda bir anda orta hesabla neçə xalımız olacaq? Hər variantın eyni ehtimal olduğu üçün sadəcə arifmetik ortanı götürüb 3,5 alırıq. Bu ORTA olduğundan, heç bir xüsusi rulonun 3,5 xal verməyəcəyinə qəzəblənməyə ehtiyac yoxdur - yaxşı, bu kubun belə bir rəqəmi olan üzü yoxdur!

İndi nümunələrimizi ümumiləşdirək:

İndi verilmiş şəkilə baxaq. Solda təsadüfi dəyişənin paylanması cədvəli var. X dəyəri n mümkün dəyərdən birini qəbul edə bilər (yuxarı sətirdə göstərilir). Başqa mənalar ola bilməz. Hər birinin altında mümkün məna onun ehtimalı aşağıda yazılmışdır. Sağda düstur var, burada M(X) riyazi gözlənti adlanır. Bu dəyərin mənası ondan ibarətdir ki, çox sayda testlə (böyük bir nümunə ilə) orta dəyər eyni riyazi gözləntiyə meyl edəcəkdir.

Yenidən eyni oyun kubuna qayıdaq. Atma zamanı xalların sayının riyazi gözləntisi 3,5-dir (inanmırsınızsa, düsturdan istifadə edərək özünüz hesablayın). Tutaq ki, bir neçə dəfə atdın. Nəticələr 4 və 6 idi. Orta qiymət 5 idi, bu da 3,5-dən çox uzaqdır. Bir dəfə də atdılar, 3 aldılar, yəni orta hesabla (4 + 6 + 3)/3 = 4,3333... Nə isə, riyazi gözləntidən uzaq. İndi dəli bir təcrübə edin - kubu 1000 dəfə yuvarlayın! Və orta göstərici tam olaraq 3,5 olmasa belə, buna yaxın olacaq.

Yuxarıda təsvir edilən lotereya üçün riyazi gözləntiləri hesablayaq. Plitə belə görünəcək:

Sonra riyazi gözlənti yuxarıda müəyyən etdiyimiz kimi olacaq:

Başqa bir şey odur ki, daha çox seçim olsaydı, formul olmadan "barmaqlarda" etmək çətin olardı. Tutaq ki, biletlərin 75% -i itirilir, 20% -i uduşlu biletlər və 5% -i xüsusilə qalib gəlir.

İndi riyazi gözləmənin bəzi xüsusiyyətləri.

Bunu sübut etmək asandır:

Sabit amil riyazi gözləntinin əlaməti kimi götürülə bilər, yəni:

Bu, riyazi gözləntinin xətti xüsusiyyətinin xüsusi halıdır.

Riyazi gözləntinin xətti olmasının başqa bir nəticəsi:

yəni təsadüfi dəyişənlərin cəminin riyazi gözləntiləri təsadüfi dəyişənlərin riyazi gözləntilərinin cəminə bərabərdir.

X, Y müstəqil təsadüfi dəyişənlər olsun, Sonra:

Bunu sübut etmək də asandır) Çalışın XYözü təsadüfi bir dəyişəndir və əgər ilkin dəyərlər ala bilsəydi n Və m dəyərlərinə uyğun olaraq XY nm dəyərləri qəbul edə bilər. Hər bir dəyərin ehtimalı müstəqil hadisələrin ehtimallarının vurulması faktına əsasən hesablanır. Nəticədə bunu alırıq:

Davamlı təsadüfi dəyişənin gözləntiləri

Davamlı təsadüfi dəyişənlər paylanma sıxlığı (ehtimal sıxlığı) kimi bir xüsusiyyətə malikdirlər. Təsadüfi dəyişənin real ədədlər dəstindən bəzi dəyərləri daha tez-tez, bəzilərini isə daha az qəbul etməsi vəziyyəti mahiyyətcə xarakterizə edir. Məsələn, bu qrafiki nəzərdən keçirin:

Burada X- faktiki təsadüfi dəyişən, f(x)- paylanma sıxlığı. Bu qrafikə əsasən, təcrübələr zamanı dəyər Xçox vaxt sıfıra yaxın bir ədəd olacaqdır. Şanslar aşılır 3 ya da kiçik olsun -3 daha sırf nəzəri.

Məsələn, vahid paylama olsun:

Bu, intuitiv anlayışa olduqca uyğundur. Deyək ki, çatırıqsa vahid paylama hər biri bir seqmentdən çoxlu təsadüfi real ədədlər |0; 1| , onda arifmetik orta təxminən 0,5 olmalıdır.

Diskret təsadüfi dəyişənlər üçün tətbiq olunan riyazi gözləntinin xassələri - xəttilik və s. burada da tətbiq edilir.

Riyazi gözlənti ilə digər statistik göstəricilər arasında əlaqə

Statistik təhlildə riyazi gözlənti ilə yanaşı, hadisələrin bircinsliyini və proseslərin sabitliyini əks etdirən bir-birindən asılı olan göstəricilər sistemi mövcuddur. Variasiya göstəriciləri çox vaxt müstəqil məna daşımır və məlumatların sonrakı təhlili üçün istifadə olunur. İstisna qiymətli statistik xarakteristikası olan məlumatların homojenliyini xarakterizə edən variasiya əmsalıdır.

Statistika elmində proseslərin dəyişkənlik və ya sabitlik dərəcəsi bir neçə göstəricidən istifadə etməklə ölçülə bilər.

Ən çox mühüm göstəricidir, təsadüfi dəyişənin dəyişkənliyini xarakterizə edən, edir Dispersiya, riyazi gözlənti ilə ən sıx və birbaşa əlaqəlidir. Bu parametr statistik təhlilin digər növlərində (hipotezaların yoxlanılması, səbəb-nəticə əlaqələrinin təhlili və s.) fəal şəkildə istifadə olunur. Orta xətti kənarlaşma kimi, dispersiya da orta dəyər ətrafında məlumatların yayılmasının dərəcəsini əks etdirir.

İşarələrin dilini sözlərin dilinə çevirmək faydalıdır. Belə çıxır ki, dispersiya kənarlaşmaların orta kvadratıdır. Yəni əvvəlcə orta dəyər hesablanır, sonra hər bir orijinal və orta dəyər arasındakı fərq alınır, kvadrata alınır, əlavə edilir və sonra əhalidəki dəyərlərin sayına bölünür. Fərdi qiymətlə orta göstərici arasındakı fərq sapma ölçüsünü əks etdirir. Bütün kənarlaşmaların yalnız müsbət ədədlərə çevrilməsi və onları yekunlaşdırarkən müsbət və mənfi sapmaların qarşılıqlı şəkildə məhv edilməsinin qarşısını almaq üçün kvadrat şəklində tərtib edilmişdir. Sonra, kvadratdan kənara çıxanları nəzərə alaraq, sadəcə arifmetik ortanı hesablayırıq. Orta - kvadrat - sapmalar. Kənarlaşmalar kvadratlaşdırılır və orta hesablanır. Sehrli “dispersiya” sözünün cavabı cəmi üç sözdən ibarətdir.

Bununla belə, in təmiz forma arifmetik orta və ya indeks kimi dispersiya istifadə edilmir. Bu, daha çox statistik təhlilin digər növləri üçün istifadə olunan köməkçi və ara göstəricidir. Onun normal ölçü vahidi belə yoxdur. Formula əsasən, bu, orijinal məlumatın ölçü vahidinin kvadratıdır.

Bir təsadüfi dəyişəni ölçək N dəfə, məsələn, küləyin sürətini on dəfə ölçür və orta dəyəri tapmaq istəyirik. Orta qiymət paylama funksiyası ilə necə bağlıdır?

Və ya zərləri çox sayda atacağıq. Hər atışda zarda görünəcək xalların sayı təsadüfi dəyişəndir və 1-dən 6-a qədər istənilən təbii qiymət ala bilər. Bütün zar atışları üçün hesablanmış atılan xalların arifmetik ortalaması da təsadüfi dəyişəndir, lakin böyük olanlar üçün Nçox konkret bir rəqəmə - riyazi gözləntiyə meyllidir Mx. IN bu halda Mx = 3.5.

Bu dəyəri necə əldə etdiniz? İcazə verin N testlər n1 1 xal qazandıqdan sonra n2 bir dəfə - 2 xal və s. Sonra bir xalın düşdüyü nəticələrin sayı:

Eynilə, 2, 3, 4, 5 və 6 balların yuvarlandığı nəticələr üçün.

İndi fərz edək ki, x təsadüfi kəmiyyətinin paylanma qanununu bilirik, yəni bilirik ki, x təsadüfi kəmiyyəti p1, p2, ..., ehtimalları ilə x1, x2, ..., xk qiymətləri ala bilər. pk.

X təsadüfi dəyişənin Mx riyazi gözləntisi bərabərdir:

Riyazi gözlənti həmişə bəzi təsadüfi dəyişənin ağlabatan qiymətləndirilməsi deyil. Beləliklə, orta hesabla əmək haqqı median məfhumundan, yəni elə bir dəyərdən istifadə etmək daha məqsədəuyğundur ki, ortadan aşağı əmək haqqı alan insanların sayı ilə daha böyük sayı üst-üstə düşsün.

x təsadüfi kəmiyyətinin x1/2-dən kiçik olması ehtimalı p1 və x təsadüfi kəmiyyətinin x1/2-dən böyük olması ehtimalı p2 eyni və 1/2-yə bərabərdir. Median bütün paylamalar üçün unikal olaraq müəyyən edilmir.

Standart və ya standart sapma statistikada müşahidə məlumatlarının və ya çoxluqların ORTA qiymətdən kənarlaşma dərəcəsi deyilir. s və ya s hərfləri ilə işarələnir. Kiçik standart sapma verilənlərin orta dəyər ətrafında çoxluq təşkil etdiyini, böyük standart sapma isə ilkin məlumatların ondan uzaqda yerləşdiyini göstərir. Standart sapma bərabərdir kvadrat kök dispersiya adlanan kəmiyyət. İlkin məlumatların orta dəyərdən kənara çıxan kvadrat fərqlərinin cəminin ortasıdır. Təsadüfi dəyişənin standart sapması dispersiyanın kvadrat köküdür:

Misal. Hədəfdə atəş açarkən sınaq şəraitində təsadüfi dəyişənin dispersiyasını və standart sapmasını hesablayın:

Variasiya- əhali vahidləri arasında xarakteristikanın dəyərinin dəyişməsi, dəyişkənliyi. Ayrı rəqəmli dəyərlər tədqiq olunan populyasiyada tapılan xüsusiyyətlərə məna variantları deyilir. üçün qeyri-kafi orta dəyər tam xüsusiyyətləriəhali bizi orta dəyərləri tədqiq olunan xarakteristikanın dəyişkənliyini (variasiyasını) ölçməklə bu ortaların tipikliyini qiymətləndirməyə imkan verən göstəricilərlə əlavə etməyə məcbur edir. Dəyişmə əmsalı düsturla hesablanır:

Variasiya diapazonu(R) tədqiq olunan populyasiyada atributun maksimum və minimum dəyərləri arasındakı fərqi təmsil edir. Bu göstərici ən çox verir ümumi fikir tədqiq olunan xarakteristikanın dəyişkənliyi haqqında, çünki bu, yalnız variantların məhdudlaşdırıcı dəyərləri arasındakı fərqi göstərir. Xarakteristikanın həddindən artıq dəyərlərindən asılılıq variasiya sahəsinə qeyri-sabit, təsadüfi xarakter verir.

Orta xətti kənarlaşma təhlil edilən əhalinin bütün dəyərlərinin orta qiymətindən mütləq (modul) sapmalarının arifmetik ortasını təmsil edir:

Qumar nəzəriyyəsində gözlənti

Riyazi gözləntidir Bir qumarbazın müəyyən bir mərcdə qazana və ya itirə biləcəyi orta pul məbləği. Bu, oyunçu üçün çox vacib bir anlayışdır, çünki əksər oyun vəziyyətlərinin qiymətləndirilməsi üçün əsasdır. Riyazi gözlənti həm də əsas kart planlarını və oyun vəziyyətlərini təhlil etmək üçün optimal vasitədir.

Deyək ki, bir dostunuzla sikkə oyunu oynayırsınız, nə gəldiyindən asılı olmayaraq hər dəfə 1 dollarlıq bərabər mərc edirsiniz. Quyruqlar qazanmaq deməkdir, başlar uduzmaq deməkdir. Ehtimallar bir-birdir ki, o, baş verəcək, ona görə də 1 dollardan 1 dollara qədər mərc edirsiniz. Beləliklə, sizin riyazi gözləntiniz sıfırdır, çünki Riyazi nöqteyi-nəzərdən, iki atışdan sonra, yoxsa 200-dən sonra lider olacağınızı və ya uduzacağınızı bilə bilməzsiniz.

Saatlıq qazancınız sıfırdır. Saatlıq uduşlar bir saat ərzində qazanacağınızı gözlədiyiniz pul məbləğidir. Bir saatda 500 dəfə sikkə ata bilərsiniz, amma nə qazanacaqsınız, nə də uduzacaqsınız, çünki... şansınız nə müsbət, nə də mənfidir. Baxsanız, ciddi oyunçu baxımından bu mərc sistemi pis deyil. Ancaq bu sadəcə vaxt itkisidir.

Amma tutaq ki, kimsə eyni oyunda sizin 1 dollarınıza qarşı 2 dollar mərc etmək istəyir. Onda dərhal hər mərcdən 50 sent müsbət gözləntiləriniz var. Niyə 50 qəpik? Orta hesabla, bir mərc qazanırsınız və ikincisini itirirsiniz. Birinci dollara mərc edin və 1 dollar itirin və ikinciyə mərc edin və 2 dollar qazanın; Siz iki dəfə 1 dollar mərc edirsiniz və 1 dollar irəlidəsiniz. Beləliklə, bir dollarlıq mərcinizin hər biri sizə 50 sent verdi.

Bir sikkə bir saat ərzində 500 dəfə görünsə, saatlıq uduşunuz artıq 250 dollar olacaq, çünki... Orta hesabla bir dollar 250 dəfə uduzmuşsunuz və iki dollar 250 dəfə udmuşsunuz. $500 minus $250 $250-ə bərabərdir, bu da ümumi uduşdur. Nəzərə alın ki, hər mərcdə qazandığınız orta məbləğ olan gözlənilən dəyər 50 sentdir. Bir dollara 500 dəfə mərc etməklə 250 dollar qazandınız, bu da hər mərc üçün 50 sentə bərabərdir.

Riyazi gözləmənin qısamüddətli nəticələrlə heç bir əlaqəsi yoxdur. Sizə qarşı 2 dollar mərc etmək qərarına gələn rəqibiniz ardıcıl olaraq ilk on rulonda sizi məğlub edə bilərdi, lakin siz 2-dən 1-ə qədər mərc üstünlüyünə malik olduğunuz halda, hər şey bərabər olarkən, hər hansı bir mərcdə hər $1 mərcdən 50 sent qazanacaqsınız. hallar. Xərcləri rahat şəkildə ödəmək üçün kifayət qədər pulunuz varsa, bir mərc və ya bir neçə mərcdə qalib və ya uduzmağınızın heç bir fərqi yoxdur. Eyni şəkildə mərc etməyə davam etsəniz, o zaman üçün uzun müddət Vaxt keçdikcə uduşlarınız fərdi rulonlarda gözlənilən dəyərlərin cəminə yaxınlaşacaq.

Hər dəfə ən yaxşı mərc etdiyiniz zaman (uzunmüddətli perspektivdə sərfəli ola biləcək mərc), əmsallar sizin xeyrinizə olduqda, onu itirməyinizdən və ya itirməməyinizdən asılı olmayaraq, siz mütləq nəyisə udacaqsınız. əl verdi. Əksinə, əmsallar sizə qarşı olan zaman underdog mərcini (uzun müddətdə sərfəli olmayan mərc) etsəniz, qalib olub-olmamağınızdan asılı olmayaraq nəyisə itirərsiniz.

Gözləntiləriniz müsbətdirsə, ən yaxşı nəticə ilə mərc edirsiniz və əmsallar sizin tərəfinizdədirsə, müsbətdir. Ən pis nəticə ilə mərc etdiyiniz zaman mənfi bir gözləntiniz var, bu da əmsallar sizə qarşı olduqda baş verir. Ciddi oyunçular yalnız ən yaxşı nəticəyə mərc edirlər; Ehtimallar sizin xeyrinizə nə deməkdir? Siz real ehtimalların gətirdiyindən daha çox qazana bilərsiniz. Eniş başlıqlarının real ehtimalı 1-ə 1-dir, lakin ehtimal nisbətinə görə siz 2-1 alırsınız. Bu vəziyyətdə şanslar sizin xeyrinizədir. Hər mərc üçün 50 sent müsbət gözlənti ilə mütləq ən yaxşı nəticəni əldə edəcəksiniz.

Riyazi gözləmənin daha mürəkkəb bir nümunəsidir. Bir dost birdən beşə qədər rəqəmləri yazır və 1 dollara qarşı 5 dollar mərc edir ki, siz rəqəmi təxmin etməyəcəksiniz. Belə bir mərclə razılaşmalısınız? Burada gözlənti nədir?

Orta hesabla dörd dəfə səhv edəcəksiniz. Buna əsaslanaraq, rəqəmi təxmin etməyinizə qarşı əmsallar 4-ə 1-dir. Bir cəhddə dollar itirmə ehtimalınız. Bununla belə, siz 4-ə 1-ə uduzma ehtimalı ilə 5-ə 1-ə qalib gəlirsiniz. Beləliklə, əmsallar sizin xeyrinizədir, siz mərc edib ən yaxşı nəticəyə ümid edə bilərsiniz. Bu mərcinizi beş dəfə etsəniz, orta hesabla dörd dəfə 1 dollar itirəcək və bir dəfə 5 dollar qazanacaqsınız. Buna əsasən, hər beş cəhd üçün hər mərc üçün 20 sent müsbət riyazi gözlənti ilə 1 dollar qazanacaqsınız.

Yuxarıdakı misalda olduğu kimi, mərc etdiyindən daha çox qazanmağı gözləyən oyunçu şansa əl atır. Əksinə, mərc etdiyindən daha az qazanacağını gözlədiyi zaman şansını puça çıxarır. Bahisçinin ya müsbət, ya da mənfi gözləntiləri ola bilər ki, bu da onun qazanması və ya əmsalları məhv etməsindən asılıdır.

Əgər siz 4-dən 1-ə udmaq şansı ilə 10 dollar qazanmaq üçün 50 dollar mərc etsəniz, 2 dollar mənfi gözlənti alacaqsınız, çünki Orta hesabla, dörd dəfə 10 dollar qazanacaqsınız və bir dəfə 50 dollar itirəcəksiniz, bu, hər mərc üçün itkinin 10 dollar olacağını göstərir. Ancaq 10 dollar qazanmaq üçün 30 dollar mərc edirsinizsə, eyni uduş əmsalı 4-ə 1 olarsa, bu halda sizin müsbət 2 dollar gözləntiniz var, çünki 10 dollar mənfəət üçün yenidən dörd dəfə 10 dollar qazanır və bir dəfə 30 dollar itirirsiniz. Bu nümunələr göstərir ki, birinci mərc pisdir, ikincisi isə yaxşıdır.

Riyazi gözlənti istənilən oyun vəziyyətinin mərkəzidir. Bukmeker kontoru futbol azarkeşlərini 10 dollar qazanmaq üçün 11 dollar mərc etməyə təşviq etdikdə, onun hər 10 dollardan 50 sent müsbət gözləntiləri var. Əgər kazino keçid xəttindən hətta pul ödəyirsə, o zaman kazinonun müsbət gözləntisi hər 100 dollar üçün təxminən 1,40 dollar olacaq, çünki Bu oyun elə qurulub ki, bu xəttə mərc edən hər kəs orta hesabla 50,7% uduzur və ümumi vaxtın 49,3%-ni qazanır. Şübhəsiz ki, bütün dünyada kazino sahiblərinə böyük qazanc gətirən bu zahirən minimal müsbət gözləntidir. Vegas World kazinosunun sahibi Bob Stupak qeyd etdiyi kimi, “kifayət qədər uzun məsafədə yüzdə bir mənfi ehtimalın mində biri məhv edəcək. ən zəngin adam dünyada."

Poker oynayarkən gözlənti

Poker oyunu riyazi gözləntilərin nəzəriyyəsi və xassələrindən istifadə baxımından ən illüstrativ və illüstrativ nümunədir.

Pokerdə gözlənilən dəyər müəyyən bir qərardan əldə edilən orta mənfəətdir, bir şərtlə ki, belə bir qərar böyük ədədlər və uzaq məsafələr nəzəriyyəsi çərçivəsində nəzərdən keçirilə bilər. Uğurlu poker oyunu həmişə müsbət gözlənilən dəyəri olan hərəkətləri qəbul etməkdir.

Poker oynayarkən riyazi gözləntinin riyazi mənası ondan ibarətdir ki, biz qərar qəbul edərkən tez-tez təsadüfi dəyişənlərlə qarşılaşırıq (rəqibin əlində hansı kartların olduğunu, mərcin sonrakı raundlarında hansı kartların gələcəyini bilmirik). Həlllərin hər birini kifayət qədər böyük seçmə ilə təsadüfi dəyişənin orta qiymətinin onun riyazi gözləntisinə meyl edəcəyini bildirən böyük ədədlər nəzəriyyəsi nöqteyi-nəzərindən nəzərdən keçirməliyik.

Riyazi gözləntilərin hesablanması üçün xüsusi düsturlar arasında aşağıdakılar pokerdə daha çox tətbiq olunur:

Poker oynayarkən gözlənilən dəyər həm mərclər, həm də zənglər üçün hesablana bilər. Birinci halda, qatlanan kapital, ikincidə, bankın öz şansları nəzərə alınmalıdır. Müəyyən bir hərəkətin riyazi gözləntisini qiymətləndirərkən, bir qatın həmişə sıfır gözləntiyə malik olduğunu xatırlamalısınız. Beləliklə, kartları atmaq hər zaman hər hansı bir mənfi hərəkətdən daha sərfəli qərar olacaq.

Gözləmə risk etdiyiniz hər dollar üçün nə gözləyə biləcəyinizi (mənfəət və ya zərər) söyləyir. Kazinolar pul qazanır, çünki onlarda oynanılan bütün oyunların riyazi gözləntisi kazinonun xeyrinədir. Kifayət qədər uzun oyunlar seriyası ilə müştərinin pulunu itirəcəyini gözləmək olar, çünki "əməllər" kazinonun xeyrinədir. Bununla belə, peşəkar kazino oyunçuları öz oyunlarını qısa müddətlərlə məhdudlaşdırır və bununla da əmsalları öz xeyrinə artırırlar. Eyni şey investisiyaya da aiddir. Gözləntiləriniz müsbətdirsə, qısa müddət ərzində bir çox əməliyyatlar edərək daha çox pul qazana bilərsiniz. Gözləmə, qazandığınız qazancın faizinin orta qazancınıza vurulması və itki ehtimalınızın orta itki ilə vurulmasıdır.

Pokerə riyazi gözlənti baxımından da baxmaq olar. Müəyyən bir hərəkətin sərfəli olduğunu güman edə bilərsiniz, lakin bəzi hallarda bu, ən yaxşısı olmaya bilər, çünki başqa bir hərəkət daha sərfəlidir. Deyək ki, siz beş kartlı tirajlı pokerdə tam bir ev vurdunuz. Rəqibiniz mərc edir. Bilirsən ki, mərci qaldırsan, cavab verəcək. Ona görə də yüksəltmək ən yaxşı taktika kimi görünür. Ancaq mərcinizi qaldırsanız, qalan iki oyunçu mütləq qatlanacaq. Ancaq zəng etsəniz, arxanızdakı digər iki oyunçunun da eyni şeyi edəcəyinə tam əminsiniz. Siz mərcinizi qaldırdığınız zaman bir vahid alırsınız və sadəcə zəng etdiyiniz zaman iki alırsınız. Beləliklə, zəng etmək sizə daha yüksək müsbət gözlənilən dəyər verir və ən yaxşı taktika olacaqdır.

Riyazi gözlənti həm də hansı poker taktikasının daha az, hansının daha sərfəli olduğu barədə fikir verə bilər. Məsələn, müəyyən bir əllə oynayırsınızsa və itkinizin ante daxil olmaqla orta hesabla 75 sent olacağını düşünürsünüzsə, o zaman o əli oynamalısınız, çünki ante $1 olduqda bu, qatlamadan daha yaxşıdır.

Başqa mühüm səbəb riyazi gözləmənin mahiyyətini başa düşmək odur ki, mərcdə udub-udmamağınızdan asılı olmayaraq, bu sizə rahatlıq hissi verir: yaxşı mərc etdinizsə və ya lazımi vaxtda qatlasanız, müəyyən miqdarda pul qazandığınızı və ya qənaət etdiyinizi biləcəksiniz. zəif oyunçunun qənaət edə bilmədiyi pul. Rəqibiniz daha güclü əl çəkdiyi üçün əsəbləşirsinizsə, qatlama daha çətindir. Bütün bunlarla mərc əvəzinə oynamamaqla qənaət etdiyiniz pullar gecə və ya ay ərzində qazandığınız uduşlara əlavə olunur.

Sadəcə unutmayın ki, əllərinizi dəyişsəniz, rəqibiniz sizə zəng edərdi və Pokerin Əsas Teorem məqaləsində görəcəyiniz kimi, bu sizin üstünlüklərinizdən yalnız biridir. Bu baş verəndə xoşbəxt olmalısan. Siz hətta əlinizi itirməkdən həzz almağı öyrənə bilərsiniz, çünki bilirsiniz ki, mövqeyinizdəki digər oyunçular daha çox itirəcəkdilər.

Başlanğıcda sikkə oyunu nümunəsində müzakirə edildiyi kimi, mənfəətin saatlıq dərəcəsi riyazi gözlənti ilə bağlıdır və bu konsepsiya peşəkar oyunçular üçün xüsusilə vacibdir. Poker oynamağa getdiyiniz zaman bir saatlıq oyunda nə qədər qazana biləcəyinizi zehni olaraq təxmin etməlisiniz. Əksər hallarda siz öz intuisiyanıza və təcrübənizə etibar etməli olacaqsınız, lakin bəzi riyaziyyatdan da istifadə edə bilərsiniz. Məsələn, siz lotereya oyunu oynayırsınız və siz görürsünüz ki, üç oyunçu 10 dollar mərc edir və sonra iki kart alver edir, bu çox pis taktikadır, siz başa düşə bilərsiniz ki, onlar hər dəfə 10 dollar mərc edəndə təxminən 2 dollar itirirlər. Onların hər biri bunu saatda səkkiz dəfə edir, yəni hər üçü saatda təxminən 48 dollar itirirlər. Siz təxminən bərabər olan qalan dörd oyunçudan birisiniz, buna görə də bu dörd oyunçu (və siz də onların arasındasınız) hər biri saatda 12 dollar qazanc əldə etməklə 48 dollar ayırmalıdır. Bu halda sizin saatlıq əmsalınız sadəcə olaraq üç pis oyunçunun bir saat ərzində itirdiyi pul məbləğindəki payınıza bərabərdir.

Uzun müddət ərzində oyunçunun ümumi uduşları onun fərdi əlində olan riyazi gözləntilərinin cəmidir. Müsbət gözlənti ilə nə qədər çox əl oynasanız, bir o qədər çox qazanarsınız və əksinə, mənfi gözlənti ilə nə qədər çox əl oynasanız, bir o qədər çox itirərsiniz. Nəticədə, müsbət gözləntilərinizi maksimuma çatdıra və ya mənfi gözləntilərinizi rədd edə biləcək bir oyun seçməlisiniz ki, saatlıq qazancınızı maksimuma çatdıra biləsiniz.

Oyun strategiyasında müsbət riyazi gözlənti

Əgər kartları saymağı bilirsinizsə, onlar fərqinə varıb sizi çölə atmasalar, kazinoda üstünlüyə sahib ola bilərsiniz. Kazinolar sərxoş oyunçuları sevir və kart sayan oyunçulara dözmürlər. Üstünlük sizə zamanla qalib gəlməyə imkan verəcək. daha böyük rəqəm dəfə itirməkdən daha çox. Yaxşı idarəetmə gözlənilən dəyər hesablamalarından istifadə edərkən kapital sizin üstünlüyünüzdən daha çox gəlir əldə etməyə və itkilərinizi azaltmağa kömək edə bilər. Üstünlük olmadan, pulu xeyriyyəçiliyə vermək daha yaxşıdır. Birjada oyunda üstünlük itkilərdən, qiymət fərqlərindən və komissiyalardan daha çox qazanc yaradan oyun sistemi tərəfindən verilir. Heç bir pul idarəçiliyi pis oyun sistemini xilas edə bilməz.

Müsbət gözlənti sıfırdan böyük bir dəyər kimi müəyyən edilir. Bu rəqəm nə qədər çox olarsa, statistik gözləntilər bir o qədər güclü olar. Əgər dəyər sıfırdan azdırsa, riyazi gözlənti də mənfi olacaq. Mənfi dəyərin modulu nə qədər böyükdürsə, vəziyyət bir o qədər pisdir. Nəticə sıfırdırsa, gözləmə fasiləsizdir. Yalnız müsbət riyazi gözləntiniz və ağlabatan oyun sisteminiz olduqda qalib gələ bilərsiniz. İntuisiya ilə oynamaq fəlakətə gətirib çıxarır.

Riyazi gözlənti və birja ticarəti

Riyazi gözlənti maliyyə bazarlarında birja ticarətini həyata keçirərkən kifayət qədər geniş istifadə olunan və populyar statistik göstəricidir. İlk növbədə, bu parametr ticarətin uğurunu təhlil etmək üçün istifadə olunur. Təxmin etmək çətin deyil ki, bu dəyər nə qədər yüksək olarsa, öyrənilən ticarəti uğurlu hesab etmək üçün bir o qədər çox səbəb var. Əlbəttə ki, treyderin işinin təhlili bu parametrdən istifadə etməklə həyata keçirilə bilməz. Bununla belə, hesablanmış dəyər işin keyfiyyətinin qiymətləndirilməsinin digər üsulları ilə birlikdə təhlilin düzgünlüyünü əhəmiyyətli dərəcədə artıra bilər.

Riyazi gözlənti tez-tez depozit üzrə yerinə yetirilən işi tez qiymətləndirməyə imkan verən ticarət hesablarının monitorinqi xidmətlərində hesablanır. İstisnalara "oturmaq" sərfəli olmayan ticarətlərdən istifadə edən strategiyalar daxildir. Treyder bir müddət bəxti gətirə bilər və buna görə də işində heç bir itki olmaya bilər. Bu zaman yalnız riyazi gözləntiyə əsaslanmaq mümkün olmayacaq, çünki işdə istifadə olunan risklər nəzərə alınmayacaq.

Bazar ticarətində riyazi gözlənti ən çox hər hansı ticarət strategiyasının gəlirliliyini proqnozlaşdırarkən və ya treyderin əvvəlki ticarətinin statistik məlumatlarına əsaslanaraq gəlirini proqnozlaşdırarkən istifadə olunur.

Pulun idarə edilməsinə gəldikdə, mənfi gözləntilərlə ticarət edərkən, mütləq yüksək gəlir gətirə biləcək heç bir pul idarəetmə sxeminin olmadığını başa düşmək çox vacibdir. Bu şərtlər altında birjada oynamağa davam etsəniz, pulunuzu necə idarə etdiyinizdən asılı olmayaraq, başlanğıcda nə qədər böyük olsa da, bütün hesabınızı itirəcəksiniz.

Bu aksiom yalnız mənfi gözləntiləri olan oyunlar və ya ticarətlər üçün deyil, eyni şansları olan oyunlar üçün də doğrudur. Buna görə də, uzunmüddətli perspektivdə qazanc əldə etmək şansınız yalnız müsbət gözlənilən dəyərlə ticarət almağınızdır.

Mənfi gözlənti ilə müsbət gözlənti arasındakı fərq həyat və ölüm arasındakı fərqdir. Gözləntinin nə qədər müsbət və ya mənfi olmasının əhəmiyyəti yoxdur; Əhəmiyyətli olan onun müsbət və ya mənfi olmasıdır. Buna görə də, pul idarəçiliyini nəzərdən keçirməzdən əvvəl, müsbət gözlənti ilə bir oyun tapmalısınız.

Əgər o oyununuz yoxdursa, o zaman dünyada bütün pul idarəçiliyi sizi xilas etməyəcək. Digər tərəfdən, əgər müsbət gözləntiləriniz varsa, düzgün pul idarəetməsi vasitəsilə onu eksponensial artım funksiyasına çevirə bilərsiniz. Müsbət gözləntinin nə qədər kiçik olmasının əhəmiyyəti yoxdur! Başqa sözlə, ticarət sisteminin tək bir müqavilə əsasında nə qədər gəlirli olmasının əhəmiyyəti yoxdur. Əgər hər bir ticarət üzrə müqaviləyə görə 10 dollar qazanan bir sisteminiz varsa (komissiyalar və sürüşmələrdən sonra), hər ticarət üçün orta hesabla 1000 dollar olan sistemdən (komissiyalar və sürüşmələr çıxıldıqdan sonra) daha sərfəli etmək üçün pul idarəetmə üsullarından istifadə edə bilərsiniz.

Əhəmiyyətli olan sistemin nə qədər gəlirli olması deyil, sistemin gələcəkdə ən azı minimum mənfəət göstərəcəyinə nə qədər əmin ola biləcəyidir. Buna görə treyderin edə biləcəyi ən vacib hazırlıq sistemin gələcəkdə müsbət gözlənilən dəyər göstərməsini təmin etməkdir.

Gələcəkdə müsbət gözlənilən dəyərə sahib olmaq üçün sisteminizin sərbəstlik dərəcələrini məhdudlaşdırmamaq çox vacibdir. Bu, yalnız optimallaşdırılacaq parametrlərin sayını aradan qaldırmaq və ya azaltmaqla deyil, həm də mümkün qədər çox sistem qaydalarını azaltmaqla əldə edilir. Əlavə etdiyiniz hər bir parametr, etdiyiniz hər bir qayda, sistemdə etdiyiniz hər kiçik dəyişiklik sərbəstlik dərəcələrinin sayını azaldır. İdeal olaraq, kifayət qədər primitiv və qurmaq lazımdır sadə sistem, bu, demək olar ki, hər hansı bir bazarda ardıcıl olaraq kiçik mənfəət əldə edəcək. Yenə də başa düşməyiniz vacibdir ki, sistemin qazanclı olması şərti ilə nə qədər qazanclı olmasının heç bir əhəmiyyəti yoxdur. Ticarətdən qazandığınız pullar vasitəsilə qazanılacaq effektiv idarəetmə pul.

Ticarət sistemi sadəcə olaraq sizə müsbət gözlənilən dəyər verən bir vasitədir ki, siz pul idarəçiliyindən istifadə edə biləsiniz. Yalnız bir və ya bir neçə bazarda işləyən (ən azı minimal mənfəət göstərən) və ya müxtəlif bazarlar üçün fərqli qaydalara və ya parametrlərə malik olan sistemlər çox güman ki, real vaxt rejimində uzun müddət işləməyəcək. Texniki yönümlü treyderlərin əksəriyyətinin problemi optimallaşdırmaya çox vaxt və səy sərf etmələridir fərqli qaydalar və ticarət sistemi parametrlərinin dəyərləri. Bu, tamamilə əks nəticələr verir. Ticarət sisteminin mənfəətini artırmaq üçün enerji və kompüter vaxtını sərf etmək əvəzinə, enerjinizi minimum qazanc əldə etməyin etibarlılıq səviyyəsini artırmağa yönəldin.

Pulun idarə edilməsinin müsbət gözləntilərin istifadəsini tələb edən sadəcə rəqəmlər oyunu olduğunu bilən treyder birja ticarətinin “müqəddəs qril”ini axtarmağı dayandıra bilər. Bunun əvəzinə o, ticarət metodunu sınaqdan keçirməyə başlaya bilər, bu metodun nə qədər məntiqli olduğunu və müsbət gözləntilər verib-vermədiyini öyrənə bilər. Düzgün üsullar pul idarəçiliyi, hər hansı, hətta çox vasat ticarət metodlarına tətbiq edilir, qalan işləri özləri edəcəklər.

Hər hansı bir treyderin işində uğur qazanması üçün o, ən çox üçünü həll etməlidir mühüm vəzifələr: . Uğurlu əməliyyatların sayının qaçılmaz səhvlərdən və yanlış hesablamalardan çox olmasını təmin etmək; Ticarət sisteminizi elə qurun ki, mümkün qədər tez-tez pul qazanmaq imkanınız olsun; Əməliyyatlarınızdan sabit müsbət nəticələr əldə edin.

Və burada, biz işləyən treyderlər üçün riyazi gözlənti böyük kömək ola bilər. Bu termin ehtimal nəzəriyyəsində əsas olanlardan biridir. Onun köməyi ilə bəzi təsadüfi dəyərin orta hesablamasını verə bilərsiniz. Bütün mümkün ehtimalları müxtəlif kütlələrə malik nöqtələr kimi təsəvvür etsək, təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi ağırlıq mərkəzinə bənzəyir.

Ticarət strategiyası ilə əlaqədar olaraq, onun effektivliyini qiymətləndirmək üçün ən çox mənfəətin (və ya zərərin) riyazi gözləntisindən istifadə olunur. Bu parametr verilmiş mənfəət və zərər səviyyələrinin məhsullarının cəmi və onların baş vermə ehtimalı kimi müəyyən edilir. Məsələn, hazırlanmış ticarət strategiyası bütün əməliyyatların 37%-nin mənfəət gətirəcəyini, qalan hissəsinin - 63%-nin isə zərərli olacağını nəzərdə tutur. Eyni zamanda, uğurlu əməliyyatdan orta gəlir 7 dollar, orta itki isə 1,4 dollar olacaq. Bu sistemdən istifadə edərək ticarətin riyazi gözləntisini hesablayaq:

Bu rəqəm nə deməkdir? Orada deyilir ki, bu sistemin qaydalarına riayət etməklə, hər bağlanan əməliyyatdan orta hesabla 1708 dollar alacağıq. Nəticədə səmərəlilik reytinqi sıfırdan böyük olduğundan, belə bir sistem real iş üçün istifadə edilə bilər. Hesablama nəticəsində riyazi gözlənti mənfi olarsa, bu, artıq orta itkini göstərir və belə ticarət məhvə səbəb olacaqdır.

Hər əməliyyat üzrə mənfəətin məbləği % şəklində nisbi dəyər kimi də ifadə edilə bilər. Məsələn:

– 1 əməliyyat üzrə gəlir faizi - 5%;

– uğurlu ticarət əməliyyatlarının faizi - 62%;

– 1 əməliyyat üzrə zərər faizi - 3%;

– uğursuz əməliyyatların faizi - 38%;

Yəni orta ticarət 1,96% gətirəcək.

Zərərli ticarətin üstünlük təşkil etməsinə baxmayaraq, verəcək bir sistemi inkişaf etdirmək mümkündür müsbət nəticə, MO>0 olduğundan.

Ancaq tək gözləmək kifayət deyil. Sistem çox az ticarət siqnalı verirsə, pul qazanmaq çətindir. Bu halda onun gəlirliliyi bank faizləri ilə müqayisə ediləcəkdir. Qoy hər bir əməliyyat orta hesabla cəmi 0,5 ABŞ dolları hasil etsin, bəs sistem ildə 1000 əməliyyatı əhatə edərsə necə? Bu, nisbətən qısa müddətdə çox əhəmiyyətli bir məbləğ olacaq. Buradan məntiqi olaraq belə nəticə çıxır ki, yaxşı ticarət sisteminin başqa bir fərqləndirici xüsusiyyəti də nəzərdən keçirilə bilər qısa müddətli vəzifələr tutur.

Mənbələr və bağlantılar

dic.academic.ru – akademik onlayn lüğət

mathematics.ru – riyaziyyat üzrə təhsil saytı

nsu.ru - Novosibirsk təhsil saytı dövlət universiteti

webmath.ru - təhsil portalı tələbələr, abituriyentlər və məktəblilər üçün.

exponenta.ru təhsil riyaziyyat saytı

ru.tradimo.com - pulsuz onlayn ticarət məktəbi

crypto.hut2.ru – çoxşaxəli informasiya resursu

poker-wiki.ru – pulsuz poker ensiklopediyası

sernam.ru – Elmi kitabxana seçilmiş təbiət elmi nəşrləri

reshim.su – internet saytı BİZ test kursu problemlərini HƏLL EDƏCƏK

unfx.ru – UNFX-də Forex: təlim, ticarət siqnalları, etibarın idarə edilməsi

slovopedia.com – Böyük Ensiklopedik lüğət Slovopediya

pokermansion.3dn.ru – Poker dünyasında bələdçiniz

statanaliz.info – “Statistik məlumatların təhlili” informasiya bloqu

forex-trader.rf – Forex-Trader portalı

megafx.ru – cari Forex analitikası

fx-by.com – treyder üçün hər şey