Və daha bir məqam: sayında kifayət qədər azalma düsturları var və biz onları dərhal əzbərdən öyrənməməyinizi xəbərdar edəcəyik. Buna qətiyyən ehtiyac yoxdur - azalma düsturlarını asanlıqla tətbiq etməyə imkan verən biri var.
Beləliklə, bütün azaltma düsturlarını cədvəl şəklində yazaq.
Bu düsturlar dərəcə və radyanlardan istifadə edərək yenidən yazıla bilər. Bunu etmək üçün dərəcələr və radyanlar arasındakı əlaqəni xatırlayın və hər yerdə π-ni 180 dərəcə ilə əvəz edin.
Azaltma düsturlarından istifadə nümunələri
Bu paraqrafın məqsədi nümunələri həll etmək üçün praktikada azalma düsturlarından necə istifadə olunduğunu göstərməkdir.
Başlamaq üçün var olduğunu söyləməyə dəyər sonsuz sayda formada triqonometrik funksiyaların işarəsi altında bucağı təmsil etmə yolları və 
. Bu, bucağın istənilən dəyəri ala bilməsi ilə bağlıdır. Bunu bir nümunə ilə göstərək.
Məsələn, işarənin altındakı bucağı götürək triqonometrik funksiya bərabərdir Bu bucaq kimi təmsil oluna bilər 
, ya da nə 
, ya da nə 
, və ya bir çox başqa yollarla.
İndi görək bucağın təsvirindən asılı olaraq hansı azalma düsturlarından istifadə etməli olacağıq. götürək.
Bucağı olaraq təmsil etsək , onda bu təsvir formasının reduksiya düsturuna uyğun gəlir, ondan əldə edirik 
. Burada triqonometrik funksiyanın qiymətini göstərə bilərik: .
Təqdimat üçün artıq formanın düsturundan istifadə edəcəyik 
, bu bizi aşağıdakı nəticəyə gətirir: .
Nəhayət, uyğun azalma formulunun forması olduğundan 
.
Bu müzakirəni yekunlaşdırmaq üçün xüsusilə qeyd etmək lazımdır ki, bucağın 0 ilə 90 dərəcə arasında (yarım radyanda 0-dan pi-yə qədər) dəyəri olan bucaq təsvirlərindən istifadə edərkən müəyyən rahatlıqlar var.
Azaltma düsturlarından istifadənin başqa bir nümunəsinə baxaq.
Misal.
Azaltma düsturlarından istifadə edərək, iti bucağın sinüsü və kosinusu ilə təmsil edin.
Həll.
Azaltma düsturlarını tətbiq etmək üçün 197 dərəcə bucağı və ya şəklində təmsil etməliyik 
, və məsələnin şərtlərinə görə bucaq iti olmalıdır. Bu iki yolla edilə bilər: 
və ya . Beləliklə, 
və ya 
.
Azaldılması üçün müvafiq düsturlara keçərək və alırıq.
Cavab:
Və 
.
Mnemonik qayda
Yuxarıda qeyd etdiyimiz kimi, azalma düsturlarını əzbərləmək lazım deyil. Onlara diqqətlə baxsanız, azalma düsturlarından hər hansı birini əldə etməyə imkan verən bir qayda əldə edə biləcəyiniz nümunələri müəyyən edə bilərsiniz. Onu çağırırlar mnemonik qayda(mnemonika əzbərləmə sənətidir).
Mnemonik qayda üç mərhələdən ibarətdir:
Dərhal qeyd etmək lazımdır ki, mnemonik qaydanı tətbiq etmək üçün sinus, kosinus, tangens və kotangens əlamətlərini dörddəbir müəyyənləşdirməkdə çox yaxşı olmalısınız, çünki bunu daim etməli olacaqsınız.
Nümunələrdən istifadə edərək mnemonic qaydanın tətbiqinə baxaq.
Misal.
İstifadə mnemonik qayda, üçün azalma düsturlarını yazın 
Və 
, bucağın birinci rübün bucağı olduğunu nəzərə alaraq.
Həll.
Triqonometrik funksiyaların işarələri altındakı bucaqlar artıq tələb olunan formada yazıldığı üçün qaydanın ilk addımını yerinə yetirməli deyilik.
Funksiyaların işarəsini təyin edək Və . Bir şərtlə ki - birinci rübün bucağı, bucaq 
həm də birinci rübün bucağı və bucaqdır 
- ikinci rübün bucağı. Birinci rübdəki kosinusun artı işarəsi, ikinci rübdəki tangensin isə mənfi işarəsi var. Bu mərhələdə tələb olunan düsturlar və forması olacaq. İşarələri müəyyən etdikdən sonra mnemonic qaydanın son mərhələsinə keçə bilərik.
Çünki kosinus funksiyasının arqumenti formaya malikdir , onda funksiyanın adı kofunksiyaya, yəni sinusa dəyişdirilməlidir. Tangens arqumentinin forması var , buna görə də funksiya adı eyni qalmalıdır.
Nəticədə bizdə var 
Və . Alınan nəticələrin düzgün olduğundan əmin olmaq üçün azalma düsturları cədvəlinə baxa bilərsiniz.
Cavab:
Və .
Materialı birləşdirmək üçün xüsusi açılarla nümunə həll etməyi düşünün.
Misal.
Mnemonik qaydadan istifadə edərək, kəskin bucağın triqonometrik funksiyalarını azaldın.
Həll.
Əvvəlcə mnemonik qaydanı tətbiq etmək üçün lazım olan formada 777 dərəcə bucağı təsəvvür edək. Bu iki yolla edilə bilər: və ya.
Orijinal bucaq birinci dörddəbir bucaqdır, bu bucağın sinusunda artı işarəsi var.
Onu təmsil etmək üçün sinusun adı eyni qalmalıdır, lakin növü təmsil etmək üçün sinus kosinusa dəyişdirilməlidir.
Nəticədə bizdə və .
Cavab:
Və .
Bu fikri yekunlaşdırmaq üçün mnemonik qaydanın tətbiqi üçün triqonometrik funksiyaların işarəsi altında bucağı düzgün göstərməyin vacibliyini göstərən bir nümunəyə nəzər salın: bucaq kəskin olmalıdır!!!
Bucağın tangensini hesablayaq. Prinsipcə, məqalədəki materiala sinus, kosinus, tangens və kotangens dəyərlərinə istinad edərək, problemin sualına dərhal cavab verə bilərik: 
.
Bucağı kimi və ya kimi təmsil etsək, mnemonik qaydadan istifadə edə bilərik: 
Və 
, bu da bizi eyni nəticəyə aparır.
Ancaq bucağın, məsələn, formanın təsvirini götürsəniz baş verə biləcək şey budur. Bu halda mnemonik qayda bizi bu nəticəyə aparacaq. Bu nəticə yanlışdır və bu onunla izah olunur ki, təmsilçilik üçün bucaq kəskin olmadığı üçün mnemonic qaydanı tətbiq etmək hüququmuz yox idi.
Azaltma düsturlarının sübutu
Azaltma düsturları dövrilik, simmetriya və bucaqlara görə sürüşmə xassələrini əks etdirir. Dərhal qeyd edək ki, bütün azalma düsturları arqumentlərdə termini ləğv etməklə sübut edilə bilər, çünki bu, tam inqilabların tam sayı ilə bucağı dəyişdirmək deməkdir və bu triqonometrik funksiyaların dəyərlərini dəyişdirmir. Bu termin dövriliyin əksi kimi xidmət edir.
16 reduksiya düsturunun birinci bloku birbaşa sinus, kosinus, tangens və kotangensin xassələrindən irəli gəlir. Onların üzərində dayanmağa belə dəyməz.
Növbəti düsturlar blokuna keçək. Əvvəlcə onlardan ilk ikisini sübut edirik. Qalanları onlardan irəli gəlir. Beləliklə, formanın azalma düsturlarını sübut edək 
Və 
.
Vahid dairəni nəzərdən keçirək. İlkin A nöqtəsi bucaqla fırlandıqdan sonra A 1 (x, y) nöqtəsinə, bucaqla fırlandıqdan sonra isə A 2 nöqtəsinə getsin. Ox düz xəttinə A 1 H 1 və A 2 H 2 – perpendikulyarları çəkək.
OA 1 H 1 və OA 2 H 2 düzbucaqlı üçbucaqlarının hipotenuza və iki bitişik bucaq baxımından bərabər olduğunu görmək asandır. Üçbucaqların bərabərliyindən və vahid dairədə A 1 və A 2 nöqtələrinin yerləşməsindən aydın olur ki, A 1 nöqtəsinin x və y koordinatları varsa, A 2 nöqtəsinin də −y və x koordinatları var. Sonra sinus və kosinusun tərifləri və bərabərliklərini yazmağa imkan verir 
, bundan belə çıxır Və . Bu, istənilən bucaq üçün nəzərdən keçirilən azalma düsturlarını sübut edir.
Bunu nəzərə alaraq 
Və 
(lazım olduqda, əsas triqonometrik şəxsiyyətlər məqaləsinə baxın), eləcə də yalnız sübut edilmiş düsturları əldə edirik və 
. Aşağıdakı iki azalma düsturunu belə sübut etdik.
Azaltma düsturlarını arqumentlə sübut etmək üçün onu kimi təqdim etmək kifayətdir, sonra isə əks arqumentlərlə triqonometrik funksiyaların sübut olunmuş düsturlarından və xassələrindən istifadə etmək kifayətdir. Məsələn, .
Bütün digər azalma düsturları artıq ikiqat tətbiqlə sübut olunmuşlar əsasında oxşar şəkildə sübut edilmişdir. Məsələn, kimi görünür 
, və - necə 
. Və və - müvafiq olaraq və.
İstinadlar.
- Cəbr: Dərslik 9-cu sinif üçün. orta. məktəb/Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovski - M.: Təhsil, 1990. - 272 s.: ill. - ISBN 5-09-002727-7
- Başmaqov M.I. Cəbr və təhlilin başlanğıcları: Dərslik. 10-11 siniflər üçün. orta. məktəb - 3-cü nəşr. - M.: Təhsil, 1993. - 351 s.: xəstə. - ISBN 5-09-004617-4.
- Cəbr və təhlilin başlanğıcı: Proc. 10-11 siniflər üçün. ümumi təhsil qurumlar / A. N. Kolmoqorov, A. M. Abramov, Yu. Dudnitsyn və başqaları; Ed. A. N. Kolmoqorov - 14-cü nəşr - M.: Təhsil, 2004. - 384 s.: ISBN 5-09-013651-3.
- Qusev V. A., Mordkoviç A. G. Riyaziyyat (texniki məktəblərə daxil olanlar üçün dərslik): Proc. müavinət.- M.; Daha yüksək məktəb, 1984.-351 s., xəstə.
Tərif. Azaltma düsturları formanın triqonometrik funksiyalarından arqument funksiyalarına keçməyə imkan verən düsturlardır. Onların köməyi ilə ixtiyari bir bucağın sinusunu, kosinusunu, tangensini və kotangensini 0-dan 90 dərəcəyə qədər (0-dan radana qədər) intervaldan bir bucağın sinusuna, kosinusuna, tangensinə və kotangensinə endirmək olar. Beləliklə, azalma düsturları bizə 90 dərəcə daxilində bucaqlarla işləməyə keçməyə imkan verir ki, bu da şübhəsiz ki, çox rahatdır.
Azaltma düsturları:
Azaltma düsturlarından istifadə etmək üçün iki qayda var.
1. Əgər bucaq (π/2 ±a) və ya (3*π/2 ±a) kimi göstərilə bilərsə, onda funksiyanın adı dəyişir sin cos, cos to sin, tg to ctg, ctg to tg. Əgər bucaq (π ±a) və ya (2*π ±a) şəklində göstərilə bilərsə, onda Funksiya adı dəyişməz olaraq qalır.
Aşağıdakı şəklə baxın, işarənin nə vaxt dəyişdiriləcəyini və nə vaxt dəyişdirilməyəcəyini sxematik şəkildə göstərir
2. Azaldılmış funksiyanın işarəsi eyni olaraq qalır. Orijinal funksiyanın artı işarəsi varsa, azaldılmış funksiyanın da artı işarəsi var. Orijinal funksiyanın mənfi işarəsi varsa, azaldılmış funksiyanın da mənfi işarəsi var.
Aşağıdakı şəkildə rübdən asılı olaraq əsas triqonometrik funksiyaların əlamətləri göstərilir.
Misal:
Hesablayın
Azaltma düsturlarından istifadə edək:
Sin(150˚) ikinci rübdədir, rəqəmdən görürük ki, bu rübdəki günah işarəsi “+”ya bərabərdir. Bu o deməkdir ki, verilmiş funksiyanın da “+” işarəsi olacaqdır. İkinci qaydanı tətbiq etdik.
İndi 150˚ = 90˚ +60˚. 90˚ π/2-dir. Yəni biz π/2+60 işi ilə məşğul oluruq, ona görə də birinci qaydaya əsasən funksiyanı sindən cos-a dəyişirik. Nəticədə Sin(150˚) = cos(60˚) = ½ alırıq.
Və eyni mövzuda başqa bir problem B11 - riyaziyyatdan həqiqi Vahid Dövlət İmtahanından.
Tapşırıq. İfadənin mənasını tapın:
Bu qısa video dərsdə biz necə müraciət edəcəyimizi öyrənəcəyik azaldılması düsturları riyaziyyat üzrə Vahid Dövlət İmtahanından B11 real problemlərin həlli üçün. Gördüyünüz kimi, iki triqonometrik ifadəmiz var, hər birində sinuslar və kosinuslar, eləcə də olduqca qəddar ədədi arqumentlər var.
Bu problemləri həll etməzdən əvvəl azalma düsturlarının nə olduğunu xatırlayaq. Beləliklə, belə ifadələrimiz varsa:
Onda xüsusi qaydalara əsasən birinci termindən (k · π/2 formasından) xilas ola bilərik. Triqonometrik dairə çəkək və onun üzərində əsas nöqtələri qeyd edək: 0, π/2; π; 3π/2 və 2π. Sonra triqonometrik funksiyanın işarəsi altındakı birinci hədiyə baxırıq. Bizdə:
- Əgər bizi maraqlandıran termin triqonometrik çevrənin şaquli oxunda yerləşirsə (məsələn: 3π/2; π/2 və s.), onda ilkin funksiya ko-funksiya ilə əvəz olunur: sinus kosinusu ilə, və kosinusu, əksinə, sinusla.
- Əgər terminimiz üfüqi oxda yerləşirsə, onda ilkin funksiya dəyişmir. Sadəcə olaraq ifadədəki birinci termini çıxarırıq və bu qədərdir.
Beləliklə, k · π/2 formasının şərtləri olmayan triqonometrik funksiya əldə edirik. Bununla belə, azalma düsturları ilə iş bununla bitmir. Məsələ burasındadır ki, birinci termini “atdıqdan” sonra əldə edilən yeni funksiyamızın qarşısında müsbət və ya mənfi işarəsi ola bilər. Bu işarəni necə müəyyən etmək olar? İndi öyrənəcəyik.
Təsəvvür edək ki, çevrilmələrdən sonra triqonometrik funksiya daxilində qalan α bucağının dərəcə ölçüsü çox kiçikdir. Bəs “kiçik ölçü” nə deməkdir? Tutaq ki, α ∈ (0; 30°) - bu kifayət qədərdir. Funksiyaya bir nümunə götürək:
Sonra α ∈ (0; 30°) olan fərziyyələrimizdən sonra belə nəticəyə gəlirik ki, 3π/2 − α bucaq üçüncü koordinat rübündə yerləşir, yəni. 3π/2 − α ∈ (π; 3π/2). Orijinal funksiyanın işarəsini xatırlayaq, yəni. bu intervalda y = sin x. Aydındır ki, üçüncü koordinat rübündəki sinus mənfidir, çünki tərifinə görə, sinus hərəkət edən radiusun sonunun ordinatıdır (qısaca, sinus y koordinatıdır). Yaxşı, aşağı yarımmüstəvidəki y koordinatı həmişə mənfi qiymətlər alır. Bu o deməkdir ki, üçüncü rübdə y də mənfidir.
Bu düşüncələrə əsaslanaraq yekun ifadəni yaza bilərik:
Problem B11 - Variant 1
Bu eyni üsullar riyaziyyatdan Vahid Dövlət İmtahanından B11 problemini həll etmək üçün olduqca uyğundur. Yeganə fərq ondadır ki, bir çox real B11 problemində radian ölçüsü (yəni π, π/2, 2π və s.) əvəzinə dərəcə ölçüsü istifadə olunur (yəni 90°, 180°, 270° və s.). Birinci tapşırığa baxaq:
Gəlin əvvəlcə saya baxaq. çünki 41° deyil cədvəl dəyəri, buna görə də onunla heç nə edə bilmərik. Hələlik belə buraxaq.
İndi məxrəcə baxaq:
sin 131° = sin (90° + 41°) = cos 41°
Aydındır ki, bu azalma düsturudur, ona görə də sinus kosinusu ilə əvəz olunur. Bundan əlavə, 41 ° bucaq seqmentdə (0 °; 90 °) yatır, yəni. birinci koordinat kvadrantında - azalma düsturlarını tətbiq etmək üçün tam olaraq tələb olunduğu kimi. Lakin sonra 90° + 41° ikinci koordinat rübüdür. Orijinal y = sin x funksiyası orada müsbətdir, ona görə də son addımda kosinusun qarşısına artı işarəsi qoyuruq (başqa sözlə, heç nə qoymamışıq).
Son elementlə məşğul olmaq qalır:
cos 240° = cos (180° + 60°) = −cos 60° = −0.5
Burada 180° olduğunu görürük üfüqi ox. Beləliklə, funksiyanın özü dəyişməyəcək: kosinus var idi - və kosinus da qalacaq. Ancaq yenə sual yaranır: nəticədə cos 60° ifadəsindən əvvəl artı və ya mənfi görünəcək? Qeyd edək ki, 180° üçüncü koordinat rübüdür. Oradakı kosinus mənfidir, ona görə də kosinus sonda onun qarşısında mənfi işarəyə sahib olacaq. Ümumilikdə −cos 60° = −0.5 tikinti alırıq - bu cədvəl dəyəridir, ona görə də hər şeyi hesablamaq asandır.
İndi alınan rəqəmləri orijinal düsturla əvəz edirik və əldə edirik:
Gördüyünüz kimi, kəsrin pay və məxrəcində cos 41° rəqəmi asanlıqla kiçilir və adi ifadə qalır ki, bu da -10-a bərabərdir. Bu halda, mənfi ya çıxarıla və kəsr işarəsinin önünə qoyula bilər, ya da hesablamaların ən son mərhələsinə qədər ikinci amilin yanında "saxlanılır". Hər halda, cavab -10 olacaq. Budur, B11 problemi həll edildi!
Problem B14 - seçim 2
İkinci tapşırığa keçək. Qarşımızda yenə bir kəsir var:
Yaxşı, 27° birinci koordinat rübündə yerləşir, ona görə də burada heç nəyi dəyişməyəcəyik. Lakin günah 117° yazılmalıdır (hazırda heç bir kvadrat olmadan):
sin 117° = sin (90° + 27°) = cos 27°
Aydındır ki, yenə qarşımızda azalma düsturu: 90° şaquli oxdur, buna görə də sinus kosinusa dəyişəcək. Bundan əlavə, α = 117 ° = 90 ° + 27 ° bucaq ikinci koordinat kvadrantında yerləşir. Orijinal y = sin x funksiyası orada müsbətdir, buna görə də bütün çevrilmələrdən sonra kosinusun qarşısında hələ də artı işarəsi var. Başqa sözlə, ora heç nə əlavə olunmur - biz onu belə qoyuruq: cos 27°.
Hesablanması lazım olan orijinal ifadəyə qayıdırıq:
Gördüyümüz kimi, çevrilmələrdən sonra məxrəcdə əsas triqonometrik eynilik yaranmışdır: sin 2 27° + cos 2 27° = 1. Cəmi −4: 1 = −4 - beləliklə, ikinci B11 məsələsinin cavabını tapdıq.
Gördüyünüz kimi, azalma düsturlarının köməyi ilə riyaziyyat üzrə Vahid Dövlət İmtahanından bu cür problemlər bir neçə sətirdə sözün əsl mənasında həll olunur. Cəmin sinusu və fərqin kosinusu yoxdur. Yalnız triqonometrik dairəni xatırlamaq lazımdır.
Bu məqalə ətraflı araşdırmaya həsr edilmişdir triqonometrik düsturlar kabuslar Dan tam siyahı reduksiya düsturları, onlardan istifadə nümunələri göstərilir, düsturların düzgünlüyünün sübutu verilir. Məqalədə həmçinin hər bir düsturu yadda saxlamadan azalma düsturlarını əldə etməyə imkan verən mnemonik qayda təqdim olunur.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Azaltma düsturları. Siyahı
Azaltma düsturları ixtiyari böyüklük bucaqlarının əsas triqonometrik funksiyalarını 0 ilə 90 dərəcə (0-dan π 2 radian) aralığında yerləşən bucaqların funksiyalarına endirməyə imkan verir. 0-dan 90 dərəcəyə qədər bucaqlarla işləmək ixtiyari böyük dəyərlərlə işləməkdən qat-qat rahatdır, buna görə də azalma düsturlarından triqonometriya məsələlərinin həllində geniş istifadə olunur.
Düsturların özlərini yazmazdan əvvəl, anlamaq üçün bir neçə vacib məqama aydınlıq gətirək.
- Reduksiya düsturlarında triqonometrik funksiyaların arqumentləri ± α + 2 π · z, π 2 ± α + 2 π · z, 3 π 2 ± α + 2 π · z formasında olan bucaqlardır. Burada z istənilən tam ədəddir, α isə ixtiyari fırlanma bucağıdır.
- Bütün azalma düsturlarını öyrənmək lazım deyil, onların sayı olduqca təsir edicidir. İstədiyiniz formulun əldə edilməsini asanlaşdıran mnemonik qayda var. Mnemonik qayda haqqında daha sonra danışacağıq.
İndi isə birbaşa azalma düsturlarına keçək.
Azaltma düsturları ixtiyari və ixtiyari böyük bucaqlarla işləməkdən 0 ilə 90 dərəcə arasında dəyişən bucaqlarla işləməyə imkan verir. Bütün düsturları cədvəl şəklində yazaq.
Azaltma düsturları
sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α
IN bu halda düsturlar radyanla yazılır. Bununla belə, siz onları dərəcələrdən istifadə edərək də yaza bilərsiniz. π-ni 180 dərəcə ilə əvəz edərək radyanları dərəcəyə çevirmək kifayətdir.
Azaltma düsturlarından istifadə nümunələri
Azaltma düsturlarından necə istifadə olunacağını və bu düsturların praktiki nümunələri həll etmək üçün necə istifadə olunduğunu göstərəcəyik.
Triqonometrik funksiyanın işarəsi altındakı bucaq bir deyil, bir çox şəkildə göstərilə bilər. Məsələn, triqonometrik funksiyanın arqumenti ± α + 2 π z, π 2 ± α + 2 π z, π ± α + 2 π z, 3 π 2 ± α + 2 π z şəklində göstərilə bilər. Gəlin bunu nümayiş etdirək.
α = 16 π 3 bucağını götürək. Bu bucağı belə yazmaq olar:
α = 16 π 3 = π + π 3 + 2 π 2 α = 16 π 3 = - 2 π 3 + 2 π 3 α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π
Bucağın təsvirindən asılı olaraq müvafiq reduksiya düsturu istifadə olunur.
Eyni bucağı α = 16 π 3 götürək və onun tangensini hesablayaq
Misal 1: Azaltma düsturlarından istifadə
α = 16 π 3 , t g α = ?
α = 16 π 3 bucağını α = π + π 3 + 2 π 2 kimi təqdim edək.
Bucağın bu təsviri azalma düsturuna uyğun olacaq
t g (π + α + 2 π z) = t g α
t g 16 π 3 = t g π + π 3 + 2 π 2 = t g π 3
Cədvəldən istifadə edərək, tangensin dəyərini göstəririk
İndi α = 16 π 3 bucağının başqa bir təsvirindən istifadə edirik.
Misal 2: Azaltma düsturlarından istifadə
α = 16 π 3 , t g α = ? α = - 2 π 3 + 2 π 3 t g 16 π 3 = t g - 2 π 3 + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3
Nəhayət, bucağın üçüncü təsviri üçün yazırıq
Misal 3. Azaltma düsturlarından istifadə
α = 16 π 3 = 3 π 2 - π 6 + 2 π t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α t g α = t g (3 π 2 - π 6 + 2 π) = c t g π 6
İndi isə daha mürəkkəb reduksiya düsturlarından istifadə nümunəsi verək
Misal 4. Azaltma düsturlarından istifadə
İtki bucağın sinusu və kosinusu vasitəsilə günahı 197° təsəvvür edək.
Azaltma düsturlarını tətbiq edə bilmək üçün formalardan birində α = 197 ° bucağı təqdim etməlisiniz.
± α + 360 ° z, 90 ° ± α + 360 ° z, 180 ° ± α + 360 ° z, 270 ° ± α + 360 ° z. Problemin şərtlərinə görə, bucaq kəskin olmalıdır. Buna görə, onu təmsil etməyin iki yolu var:
197° = 180° + 17° 197° = 270° - 73°
alırıq
günah 197° = günah (180° + 17°) günah 197° = günah (270° - 73°)
İndi sinuslar üçün azalma düsturlarına baxaq və uyğun olanları seçək
sin (π + α + 2 πz) = - sinα sin (3 π 2 - α + 2 πz) = - cosα sin 197 ° = sin (180 ° + 17 ° + 360 ° z) = - sin 17 ° sin 197 ° = sin (270 ° - 73 ° + 360 ° z) = - cos 73 °
Mnemonik qayda
Bir çox azalma düsturları var və xoşbəxtlikdən, onları yadda saxlamağa ehtiyac yoxdur. Müxtəlif bucaqlar və triqonometrik funksiyalar üçün reduksiya düsturlarının alına biləcəyi qanunauyğunluqlar vardır. Bu nümunələrə mnemonik qaydalar deyilir. Mnemonika əzbərləmə sənətidir. Mnemonik qayda üç hissədən ibarətdir və ya üç mərhələdən ibarətdir.
Mnemonik qayda
1. Orijinal funksiyanın arqumenti aşağıdakı formalardan birində təmsil olunur:
± α + 2 πz π 2 ± α + 2 πz π ± α + 2 πz 3 π 2 ± α + 2 πz
α bucağı 0 ilə 90 dərəcə arasında olmalıdır.
2. İlkin triqonometrik funksiyanın işarəsi müəyyən edilir. Düsturun sağ tərəfində yazılan funksiya eyni işarəyə malik olacaq.
3. ± α + 2 πz və π ± α + 2 πz bucaqları üçün ilkin funksiyanın adı dəyişməz qalır, π 2 ± α + 2 πz və 3 π 2 ± α + 2 πz bucaqları üçün isə müvafiq olaraq dəyişir. "kofunksiya". Sinus - kosinus. Tangens - kotangens.
Azaltma düsturları üçün mnemonik bələdçidən istifadə etmək üçün vahid dairənin dörddə biri əsasında triqonometrik funksiyaların əlamətlərini təyin etməyi bacarmalısınız. Mnemonik qaydadan istifadə nümunələrinə baxaq.
Nümunə 1: Mnemonik qaydadan istifadə
cos π 2 - α + 2 πz və t g π - α + 2 πz üçün azalma düsturlarını yazaq. α birinci rübün jurnalıdır.
1. α şərtinə görə birinci rübün jurnalı olduğu üçün biz qaydanın birinci bəndini atlayırıq.
2. İşarələri müəyyənləşdirin cos funksiyalarıπ 2 - α + 2 πz və t g π - α + 2 πz. π 2 - α + 2 πz bucağı da birinci rübün bucağıdır, π - α + 2 πz bucağı isə ikinci rübdədir. Birinci rübdə kosinus funksiyası müsbət, ikinci rübdəki tangens isə mənfi işarəyə malikdir. Bu mərhələdə tələb olunan düsturların necə görünəcəyini yazaq.
cos π 2 - α + 2 πz = + t g π - α + 2 πz = -
3. Üçüncü nöqtəyə görə, π 2 - α + 2 π bucağı üçün funksiyanın adı Konfutsi olaraq dəyişir, π - α + 2 πz bucağı üçün isə dəyişməz qalır. Gəlin yazaq:
cos π 2 - α + 2 πz = + sin α t g π - α + 2 πz = - t g α
İndi yuxarıda verilmiş düsturlara baxaq və mnemonik qaydanın işlədiyinə əmin olaq.
Xüsusi bucaq α = 777 ° olan bir nümunəyə baxaq. Sinus alfasını iti bucağın triqonometrik funksiyasına endirək.
Nümunə 2: Mnemonik qaydadan istifadə
1. Tələb olunan formada α = 777 ° bucağı təsəvvür edin
777° = 57° + 360° 2 777° = 90° - 33° + 360° 2
2. İlkin bucaq birinci rübün bucağıdır. Bu o deməkdir ki, bucağın sinusu var müsbət əlamət. Nəticədə bizdə:
3. sin 777° = günah (57° + 360° 2) = günah 57° günah 777° = günah (90° - 33° + 360° 2) = cos 33°
İndi mnemonik qaydadan istifadə edərkən triqonometrik funksiyanın işarəsini düzgün təyin etməyin və bucağı düzgün təmsil etməyin nə qədər vacib olduğunu göstərən nümunəyə baxaq. Bir daha təkrarlayaq.
Vacibdir!
α bucağı kəskin olmalıdır!
5 π 3 bucağının tangensini hesablayaq. Əsas triqonometrik funksiyaların dəyərlər cədvəlindən dərhal t g 5 π 3 = - 3 dəyərini götürə bilərsiniz, lakin biz mnemonic qaydanı tətbiq edəcəyik.
Nümunə 3: Mnemonik qaydadan istifadə
α = 5 π 3 bucağını tələb olunan formada təsəvvür edək və qaydadan istifadə edək
t g 5 π 3 = t g 3 π 2 + π 6 = - c t g π 6 = - 3 t g 5 π 3 = t g 2 π - π 3 = - t g π 3 = - 3
Əgər alfa bucağını 5 π 3 = π + 2 π 3 şəklində təmsil etsək, o zaman mnemonik qaydanın tətbiqinin nəticəsi yanlış olacaq.
t g 5 π 3 = t g π + 2 π 3 = - t g 2 π 3 = - (- 3) = 3
Yanlış nəticə 2 π 3 bucağının kəskin olmaması ilə bağlıdır.
Azaltma düsturlarının sübutu triqonometrik funksiyaların dövrilik və simmetriya xassələrinə, həmçinin π 2 və 3 π 2 bucaqları ilə yerdəyişmə xassələrinə əsaslanır. Bütün azalma düsturlarının etibarlılığının sübutu 2 πz termini nəzərə alınmadan həyata keçirilə bilər, çünki bu, tam dövrlərin tam sayı ilə bucağın dəyişməsini ifadə edir və dövrilik xassəsini dəqiq əks etdirir.
İlk 16 düstur birbaşa əsas triqonometrik funksiyaların xassələrindən irəli gəlir: sinus, kosinus, tangens və kotangens.
Budur sinuslar və kosinuslar üçün azalma düsturlarının sübutu
sin π 2 + α = cos α və cos π 2 + α = - sin α
Gəlin vahid çevrəyə baxaq, onun başlanğıc nöqtəsi α bucağı ilə fırlandıqdan sonra A 1 x, y nöqtəsinə, π 2 + α bucağından fırlandıqdan sonra isə A 2 nöqtəsinə gedir. Hər iki nöqtədən absis oxuna perpendikulyarlar çəkirik.
iki düz üçbucaq O A 1 H 1 və O A 2 H 2 hipotenuza və ona bitişik açılarda bərabərdir. Dairənin üzərindəki nöqtələrin yerindən və üçbucaqların bərabərliyindən belə nəticəyə gələ bilərik ki, A 2 nöqtəsi A 2 - y, x koordinatlarına malikdir. Sinus və kosinusun təriflərindən istifadə edərək yazırıq:
sin α = y, cos α = x, sin π 2 + α = x, cos π 2 + α = y
sin π 2 + α = cos α, cos π 2 + α = - sin α
Triqonometriyanın əsas eyniliklərini və indicə sübut edilənləri nəzərə alaraq yaza bilərik
t g π 2 + α = sin π 2 + α cos π 2 + α = cos α - sin α = - c t g α c t g π 2 + α = cos π 2 + α sin π 2 + α = - sin α cos α = - t g α
π 2 - α arqumenti ilə reduksiya düsturlarını sübut etmək üçün o, π 2 + (- α) şəklində təqdim edilməlidir. Məsələn:
cos π 2 - α = cos π 2 + (- α) = - sin (- α) = sin α
Sübutda əks işarəli arqumentlərlə triqonometrik funksiyaların xassələrindən istifadə edilir.
Bütün digər azalma düsturları yuxarıda yazılanlara əsasən sübut edilə bilər.
Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın
Mövzu üzrə dərs və təqdimat: “Məsələlərin həllində azalma düsturlarının tətbiqi”
Əlavə materiallar
Hörmətli istifadəçilər, öz şərhlərinizi, rəylərinizi, arzularınızı bildirməyi unutmayın. Bütün materiallar antivirus proqramı ilə yoxlanılıb.
10-cu sinif üçün Integral onlayn mağazasında tədris vəsaitləri və simulyatorlar
1C: Məktəb. 7-10-cu siniflər üçün interaktiv tikinti tapşırıqları
1C: Məktəb. Həndəsədən məsələlərin həlli. 10-11-ci siniflər üçün kosmosda tikintiyə dair interaktiv tapşırıqlar
Nə öyrənəcəyik:
1. Bir az təkrar edək.
2. Azaltma düsturları üçün qaydalar.
3. Azaltma düsturları üçün çevirmə cədvəli.
4. Nümunələr.
Triqonometrik funksiyaların nəzərdən keçirilməsi
Uşaqlar, siz artıq xəyal düsturları ilə rastlaşmısınız, lakin onları hələ belə adlandırmamısınız. Nə düşünürsən: harada?
Rəsmlərimizə baxın. Düzgün, triqonometrik funksiyaların tərifləri təqdim edildikdə.
Azaltma düsturları üçün qayda
Əsas qaydanı təqdim edək: Əgər triqonometrik funksiyanın işarəsi altında π×n/2 + t formasının ədədi varsa, burada n hər hansı tam ədəddir, onda triqonometrik funksiyamızı daha çoxa endirmək olar. sadə görünüş, yalnız t arqumentini ehtiva edəcək. Belə düsturlara xəyal formulları deyilir.
Bəzi düsturları xatırlayaq:
- sin(t + 2π*k) = sin(t)
- cos(t + 2π*k) = cos(t)
- sin(t + π) = -sin(t)
- cos(t + π) = -cos(t)
- sin(t + π/2) = cos(t)
- cos(t + π/2) = -sin(t)
- tan(t + π*k) = tan(x)
- ctg(t + π*k) = ctg(x)
bir çox xəyal düsturları var, istifadə edərkən triqonometrik funksiyalarımızı təyin edəcəyimiz bir qayda yaradaq. xəyal formulları:
- Əgər triqonometrik funksiyanın işarəsi aşağıdakı formada olan rəqəmləri ehtiva edirsə: π + t, π - t, 2π + t və 2π - t, onda funksiya dəyişməyəcək, yəni məsələn, sinus sinus olaraq qalacaq, kotangens kotangent olaraq qalacaq.
- Əgər triqonometrik funksiyanın işarəsində aşağıdakı formada rəqəmlər varsa: π/2 + t, π/2 - t,
3π/2 + t və 3π/2 - t, onda funksiya əlaqəli olana dəyişəcək, yəni sinus kosinus, kotangens toxunan olacaq. - Yaranan funksiyadan əvvəl, çevrilmiş funksiyanın 0 şərti altında olacağı işarəsini qoymalısınız
Bu qaydalar funksiya arqumenti dərəcələrlə verildikdə də tətbiq edilir!
Triqonometrik funksiyaların çevrilmə cədvəlini də yarada bilərik:
Azaltma düsturlarından istifadə nümunələri
1. cos(π + t) çevirin. Funksiyanın adı qalır, yəni. cos(t) alırıq. Daha sonra π/2 olduğunu fərz edək 
2. Sin (π/2 + t) çevirmək. Funksiyanın adı dəyişir, yəni. cos(t) alırıq. Sonra fərz edək ki, 0 sin(t + π/2) = cos(t)
3. tg(π + t)-i çevirin. Funksiyanın adı qalır, yəni. qaralırıq (t). Bundan əlavə, 0 olduğunu fərz edək 
4. ctg (270 0 + t) çevirin. Funksiyanın adı dəyişir, yəni tg(t) alırıq. Bundan əlavə, 0 olduğunu fərz edək 
Müstəqil həll üçün reduksiya düsturları ilə bağlı problemlər
Uşaqlar, qaydalarımızı istifadə edərək özünüz çevirin:
1) tg(π + t),
2) tg(2π - t),
3) çarpayı (π - t),
4) tg(π/2 - t),
5) cotg(3π + t),
6) sin(2π + t),
7) günah(π/2 + 5t),
8) sin(π/2 - t),
9) sin(2π - t),
10) cos(2π - t),
11) cos(3π/2 + 8t),
12) cos(3π/2 - t),
13) cos(π - t).
