Vektorlar. Koordinatlar və vektorlar

Standart tərif: "Vektor istiqamətlənmiş seqmentdir." Bu, adətən məzunun vektorlar haqqında biliklərinin həcmidir. Bir növ "istiqamətli seqmentlər" kimə lazımdır?

Bəs həqiqətən vektorlar nədir və onlar nə üçündür?
Hava proqnozu. “Şimal-qərb küləyi, sürəti saniyədə 18 metr.” Razılaşın, həm küləyin istiqaməti (haradan əsdiyi), həm də sürətinin modulu (yəni mütləq dəyəri) vacibdir.

İstiqaməti olmayan kəmiyyətlərə skalyar deyilir. Kütləvi, iş, elektrik yükü heç yerə yönəldilməyib. Onlar yalnız xarakterizə olunur ədədi dəyər- “neçə kiloqram” və ya “neçə joul”.

Yalnız mütləq qiymətə deyil, həm də istiqamətə malik olan fiziki kəmiyyətlərə vektor kəmiyyətlər deyilir.

Sürət, qüvvə, sürətlənmə - vektorlar. Onlar üçün “nə qədər” və “harada” vacibdir. Məsələn, cazibə qüvvəsi səbəbindən sürətlənmə Yer səthinə doğru istiqamətlənmiş və onun böyüklüyü 9,8 m/s 2-dir. İmpuls, elektrik sahəsinin gücü, induksiya maqnit sahəsi- həmçinin vektor kəmiyyətləri.

Yadınızdadırmı fiziki kəmiyyətlər Latın və ya yunan hərfləri ilə işarələnir. Hərfin üstündəki ox kəmiyyətin vektor olduğunu göstərir:

Budur, başqa bir nümunə.
Avtomobil A-dan B-yə doğru hərəkət edir. Son nəticə onun A nöqtəsindən B nöqtəsinə hərəkəti, yəni vektorla hərəkətidir.

İndi vektorun niyə istiqamətlənmiş seqment olduğu aydın oldu. Nəzərə alın ki, vektorun sonu oxun olduğu yerdədir. Vektor uzunluğu bu seqmentin uzunluğu adlanır. Göstərilən: və ya

Biz indiyə qədər arifmetik və elementar cəbr qaydalarına uyğun olaraq skalyar kəmiyyətlərlə işləmişik. Vektorlar yeni bir anlayışdır. Bu fərqli bir sinifdir riyazi obyektlər. Onların öz qaydaları var.

Bir vaxtlar rəqəmlər haqqında heç nə bilmirdik. Onlarla tanışlığım ibtidai sinifdən başlayıb. Məlum oldu ki, ədədləri bir-biri ilə müqayisə etmək, toplamaq, çıxmaq, vurmaq və bölmək olar. Öyrəndik ki, bir rəqəm və sıfır rəqəmi var.
İndi vektorlarla tanış oluruq.

Vektorlar üçün "daha çox" və "az" anlayışları mövcud deyil - axırda onların istiqamətləri fərqli ola bilər. Yalnız vektor uzunluqları müqayisə edilə bilər.

Amma vektorlar üçün bərabərlik anlayışı var.
bərabər eyni uzunluğa və eyni istiqamətə malik vektorlar deyilir. Bu o deməkdir ki, vektor müstəvidə istənilən nöqtəyə özünə paralel olaraq ötürülə bilər.
Subay uzunluğu 1 olan vektordur. Sıfır uzunluğu sıfır olan vektordur, yəni başlanğıcı sonla üst-üstə düşür.

Düzbucaqlı koordinat sistemindəki vektorlarla işləmək ən rahatdır - funksiyaların qrafiklərini çəkdiyimiz eynidir. Koordinat sistemindəki hər bir nöqtə iki ədədə uyğun gəlir - onun x və y koordinatları, absis və ordinat.
Vektor həmçinin iki koordinatla müəyyən edilir:

Burada vektorun koordinatları mötərizədə - x və y içərisində yazılır.
Onlar sadəcə olaraq tapılır: vektorun sonunun koordinatı onun başlanğıcının koordinatı çıxılmaqla.

Vektor koordinatları verilirsə, onun uzunluğu düsturla tapılır

Vektor əlavəsi

Vektor əlavə etməyin iki yolu var.

1. Paraleloqram qaydası. və vektorlarını əlavə etmək üçün hər ikisinin mənşəyini eyni nöqtəyə qoyuruq. Bir paraleloqrama qədər qururuq və eyni nöqtədən paraleloqramın diaqonalını çəkirik. Bu vektorların cəmi olacaq və .

Qu quşu, xərçəngkimilər və pike haqqında nağılı xatırlayın? Çox çalışdılar, amma arabanı yerindən tərpətmədilər. Axı onların arabaya tətbiq etdikləri qüvvələrin vektor cəmi sıfıra bərabər idi.

2. Vektor əlavə etməyin ikinci yolu üçbucaq qaydasıdır. Eyni vektorları götürək və . İkincinin başlanğıcını birinci vektorun sonuna əlavə edəcəyik. İndi birincinin əvvəlini və ikincinin sonunu birləşdirək. Bu vektorların cəmidir və .

Eyni qaydadan istifadə edərək, bir neçə vektor əlavə edə bilərsiniz. Onları bir-birinin ardınca düzürük və sonra birincinin əvvəlini sonuncunun sonuna bağlayırıq.

Təsəvvür edin ki, siz A nöqtəsindən B nöqtəsinə, B-dən C-yə, C-dən D-ə, sonra E və F nöqtəsinə gedirsiniz. Bu hərəkətlərin son nəticəsi A-dan F-ə doğru hərəkətdir.

Vektorları əlavə etdikdə əldə edirik:

Vektor çıxması

Vektor vektorun əksinə yönəldilmişdir. ve vektorlarının uzunluqları bərabərdir.

İndi vektor çıxarılmasının nə olduğu aydındır. vektor fərqi vektor və vektorun cəmidir.

Bir vektorun ədədə vurulması

Vektor k ədədinə vurulduqda uzunluğu uzunluğundan k dəfə fərqli olan vektor alınır. Əgər k sıfırdan böyükdürsə vektorla koistiqamətlidir, k sıfırdan kiçikdirsə əks istiqamətlidir.

Vektorların nöqtə hasili

Vektorları təkcə rəqəmlərlə deyil, həm də bir-biri ilə çoxaltmaq olar.

Vektorların skalyar hasili vektorların uzunluqları ilə aralarındakı bucağın kosinusunun hasilidir.

Nəzərə alın ki, iki vektoru çoxaltdıq və nəticədə skalyar, yəni ədəd oldu. Məsələn, fizikada mexaniki iş iki vektorun skalyar məhsuluna bərabərdir - qüvvə və yerdəyişmə:

Vektorlar perpendikulyardırsa, onların skalyar hasilatı sıfırdır.
Skayar hasil vektorların koordinatları ilə belə ifadə edilir və:

Skayar məhsulun düsturundan vektorlar arasındakı bucağı tapa bilərsiniz:

Bu formula stereometriyada xüsusilə əlverişlidir. Məsələn, Riyaziyyatdan Profil Vahid Dövlət İmtahanının 14-cü məsələsində kəsişən xətlər və ya düz xətt ilə müstəvi arasındakı bucağı tapmaq lazımdır. 14-cü məsələ çox vaxt vektor üsulu ilə klassik metoddan istifadə etməklə bir neçə dəfə daha sürətli həll olunur.

IN məktəb kurikulumu riyaziyyatda yalnız vektorların skalyar hasilini öyrənirlər.
Belə çıxır ki, iki vektorun vurulmasının nəticəsi vektor olduqda, skalyar hasildən əlavə vektor hasil də mövcuddur. Fizikadan Vahid Dövlət İmtahanını verən hər kəs Lorentz qüvvəsinin və Amper gücünün nə olduğunu bilir. Bu qüvvələri tapmaq üçün düsturlara vektor məhsulları daxildir.

Vektorlar çox faydalı riyazi vasitədir. Bunu ilk ilində görəcəksiniz.

Misal 8

Vektorlar verilir. Üçölçülü fəzada vektorların bazis təşkil etdiyini göstərin və bu əsasda vektorun koordinatlarını tapın.

Həlli:Əvvəlcə vəziyyətlə məşğul olaq. Şərtə görə, dörd vektor verilir və gördüyünüz kimi, onların artıq müəyyən əsasda koordinatları var. Bu əsasın nə olması bizim üçün maraqlı deyil. Və aşağıdakı şey maraqlıdır: üç vektor yeni bir əsas yarada bilər. Birinci mərhələ 6-cı nümunənin həlli ilə tamamilə üst-üstə düşür, vektorların həqiqətən xətti müstəqil olub olmadığını yoxlamaq lazımdır:

Vektor koordinatlarından ibarət müəyyənedicini hesablayaq:

, bu o deməkdir ki, vektorlar xətti müstəqildir və üçölçülü fəzanın əsasını təşkil edir.

! Əhəmiyyətli: vektor koordinatları Mütləq yazın sütunlara sətirlərdə deyil, müəyyənedicidir. Əks halda, sonrakı həll alqoritmində qarışıqlıq yaranacaq.

İndi nəzəri hissəni xatırlayaq: əgər vektorlar əsas təşkil edirsə, onda hər hansı vektor verilmiş əsas üzərində unikal şəkildə genişləndirilə bilər: , bazadakı vektorun koordinatları haradadır.

Vektorlarımız üçölçülü fəzanın əsasını təşkil etdiyindən (bu artıq sübut olunub), vektor bu əsas üzərində unikal şəkildə genişləndirilə bilər:
, bazada vektorun koordinatları haradadır.

Şərtə görə və koordinatları tapmaq tələb olunur.

İzahat asanlığı üçün hissələri dəyişdirəcəyəm: . Onu tapmaq üçün bu bərabərliyi koordinata görə yazmalısınız:

Əmsallar hansı əsaslarla müəyyən edilir? Sol tərəfdəki bütün əmsallar determinantdan tam olaraq köçürülür , V sağ tərəf vektorun koordinatları qeydə alınır.

Belə çıxdı üçlük sistem xətti tənliklərüç naməlum ilə. Adətən həll olunur Kramer düsturları, tez-tez hətta problem bəyanatında belə bir tələb var.

Sistemin əsas determinantı artıq tapılıb:
, yəni sistemin unikal həlli var.

Aşağıdakılar texnika məsələsidir:

Beləliklə:
– vektorun bazaya görə parçalanması.

Cavab:

Artıq qeyd etdiyim kimi, problem cəbri xarakter daşıyır. Nəzərə alınan vektorlar mütləq fəzada çəkilə bilən vektorlar deyil, ilk növbədə xətti cəbr kursunun mücərrəd vektorlarıdır. İki ölçülü vektorlar üçün oxşar bir problem tərtib edilə bilər və həlli daha sadə olacaqdır. Ancaq praktikada heç vaxt belə bir tapşırıqla qarşılaşmamışam, buna görə də əvvəlki hissədə onu atladım.

Üçün üçölçülü vektorlarla eyni problem müstəqil qərar:

Misal 9

Vektorlar verilir. Vektorların bazis təşkil etdiyini göstərin və bu əsasda vektorun koordinatlarını tapın. Kramer metodundan istifadə edərək xətti tənliklər sistemini həll edin.

Tam həll və dərsin sonunda yekun dizaynın təxmini nümunəsi.

Eynilə, dördölçülü, beşölçülü və s. vektorların müvafiq olaraq 4, 5 və ya daha çox koordinata malik olduğu vektor fəzaları. Bu vektor fəzaları üçün də anlayış var xətti asılılıq, xətti müstəqillik vektorlar, ortonormal bazis də daxil olmaqla bir bazis var, vektorun bazis baxımından genişlənməsi. Bəli, belə fəzaları həndəsi şəkildə çəkmək olmaz, lakin iki və üç ölçülü halların bütün qaydaları, xassələri və teoremləri onlarda işləyir - xalis cəbr. Əslində mən məqalədə fəlsəfi məsələlərdən danışmağa həvəslənmişdim Üç dəyişənli funksiyanın qismən törəmələri, bu dərsdən əvvəl ortaya çıxdı.

Vektorları sev, vektorlar da səni sevəcək!

Həll və cavablar:

Misal 2: Həll: vektorların uyğun koordinatlarından bir nisbət tutaq:

Cavab: saat

Misal 4: Sübut: trapesiyaİki tərəfi paralel, digər iki tərəfi isə paralel olmayan dördbucaqlı dördbucaqlı adlanır.
1) Qarşı tərəflərin paralelliyini yoxlayaq və .
vektorları tapaq:


, bu o deməkdir ki, bu vektorlar kollinear deyil və tərəflər paralel deyil.
2) Qarşı tərəflərin paralelliyini yoxlayaq və .
vektorları tapaq:

Vektor koordinatlarından ibarət müəyyənedicini hesablayaq:
, bu o deməkdir ki, bu vektorlar kollineardır və .
Nəticə: Dördbucaqlının iki tərəfi paraleldir, lakin digər iki tərəfi paralel deyil, yəni tərifinə görə trapesiyadır. Q.E.D.

Misal 5: Həll:
b) Vektorların müvafiq koordinatları üçün mütənasiblik əmsalının olub olmadığını yoxlayaq:

Sistemin həlli yoxdur, yəni vektorlar kollinear deyil.
Daha sadə dizayn:
– ikinci və üçüncü koordinatlar mütənasib deyil, yəni vektorlar kollinear deyildir.
Cavab: vektorlar kollinear deyil.
c) Vektorları kollinearlıq baxımından yoxlayırıq . Gəlin bir sistem yaradaq:

Vektorların müvafiq koordinatları mütənasibdir, yəni
Bu, "qeyri-adi" dizayn metodunun uğursuz olduğu yerdir.
Cavab:

Misal 6: Həll: b) Vektorların koordinatlarından ibarət olan təyinedicini hesablayaq (birinci sətirdə determinant aşkarlanır):

, bu o deməkdir ki, vektorlar xətti asılıdır və üçölçülü fəzanın əsasını təşkil etmir.
Cavab verin : bu vektorlar əsas təşkil etmir

Misal 9: Həlli: Vektor koordinatlarından ibarət müəyyənedicini hesablayaq:


Beləliklə, vektorlar xətti müstəqildir və əsas təşkil edir.
Vektoru əsas vektorların xətti kombinasiyası kimi təqdim edək:

Koordinat üzrə:

Cramer düsturlarından istifadə edərək sistemi həll edək:
, yəni sistemin unikal həlli var.

Cavab:Vektorlar əsas təşkil edir,

Qiyabi tələbələr üçün ali riyaziyyat və daha çox >>>

(Əsas səhifəyə keçin)

Vektorların çarpaz məhsulu.
Vektorların qarışıq məhsulu

Bu dərsdə vektorlarla daha iki əməliyyata baxacağıq: vektorların vektor məhsulu Və vektorların qarışıq məhsulu. Yaxşı, bəzən tam xoşbəxtlik üçün belə olur vektorların skalyar hasili, getdikcə daha çox tələb olunur. Bu vektor asılılığıdır. Görünə bilər ki, biz analitik həndəsə cəngəlliyinə giririk. Bu səhvdir. Ali riyaziyyatın bu bölməsində Pinokkio üçün bəlkə də kifayət qədər ağacdan başqa, ümumiyyətlə, az ağac var. Əslində, material çox yaygın və sadədir - eyni dərəcədə çətin ki, daha mürəkkəbdir nöqtəli məhsul, hətta tipik vəzifələr az olacaq. Analitik həndəsədə əsas şey, çoxlarının əmin olacağı və ya artıq əmin olduğu kimi, hesablamalarda SƏHV ETMƏKDİR. Bir sehr kimi təkrarlayın və xoşbəxt olacaqsınız =)

Vektorlar üfüqdə ildırım kimi uzaq bir yerdə parıldayırsa, fərq etməz, dərsdən başlayın Butaforlar üçün vektorlar vektorlar haqqında əsas bilikləri bərpa etmək və ya yenidən əldə etmək. Daha hazırlıqlı oxucular məlumatla seçmə şəkildə tanış ola bilərlər

Sizi dərhal nə xoşbəxt edəcək? Mən balaca olanda iki, hətta üç topla hoqqabazlıq edə bilirdim. Yaxşı nəticə verdi. İndi heç bir hoqqabazlığa ehtiyacınız olmayacaq, çünki nəzərdən keçirəcəyik yalnız məkan vektorları, və iki koordinatlı düz vektorlar kənarda qalacaq. Niyə? Bu hərəkətlər belə yarandı - vektorların vektoru və qarışıq məhsulu müəyyən edilir və işləyir üçölçülü məkan. Artıq daha asandır!

Bu yazıda bir çox həndəsə problemini sadə hesaba endirməyə imkan verəcək bir "sehrli çubuq" haqqında danışmağa başlayacağıq. Bu “çubuq” həyatınızı xeyli asanlaşdıra bilər, xüsusən də məkan fiqurları, bölmələr və s. qurmaqda əmin olmadığınız zaman. Bütün bunlar müəyyən təxəyyül və praktik bacarıq tələb edir. Burada nəzərdən keçirməyə başlayacağımız üsul, demək olar ki, bütün növ həndəsi konstruksiyalardan və mülahizələrdən tamamilə mücərrəd olmağa imkan verəcəkdir. Metod deyilir "koordinat metodu". Bu yazıda aşağıdakı sualları nəzərdən keçirəcəyik:

1. Koordinat müstəvisi
2. Təyyarədə nöqtələr və vektorlar
3. İki nöqtədən vektorun qurulması
4. Vektor uzunluğu (iki nöqtə arasındakı məsafə).
5. Seqmentin ortasının koordinatları
6. Vektorların nöqtə hasili
7. İki vektor arasındakı bucaq

Düşünürəm ki, koordinat metodunun niyə belə adlandırıldığını artıq təxmin etmisiniz? Düzdü, həndəsi cisimlərlə deyil, onların ədədi xüsusiyyətləri (koordinatları) ilə işlədiyi üçün bu adı almışdır. Həndəsədən cəbrə keçməyə imkan verən transformasiyanın özü isə koordinat sistemini təqdim etməkdən ibarətdir. Əgər ilkin rəqəm düz idisə, o zaman koordinatlar iki ölçülü, rəqəm üç ölçülüdürsə, koordinatlar üç ölçülüdür. Bu yazıda biz yalnız iki ölçülü işi nəzərdən keçirəcəyik. Məqalənin əsas məqsədi sizə koordinat metodunun bəzi əsas texnikalarından necə istifadə etməyi öyrətməkdir (onlar bəzən Vahid Dövlət İmtahanının B Hissəsindəki planimetriya ilə bağlı problemləri həll edərkən faydalı olurlar). Bu mövzuda növbəti iki bölmə C2 (stereometriya problemi) problemlərinin həlli üsullarının müzakirəsinə həsr edilmişdir.

Koordinat metodunu müzakirə etməyə haradan başlamaq məntiqli olardı? Yəqin ki, koordinat sistemi anlayışından. Onunla ilk dəfə görüşdüyünüzü xatırlayın. Mənə elə gəlir ki, 7-ci sinifdə varlığı öyrənəndə xətti funksiya, Məsələn. Nəzərinizə çatdırım ki, siz onu nöqtə-nöqtə qurdunuz. yadınızdadır? Siz ixtiyari bir ədəd seçdiniz, onu düsturla əvəz etdiniz və onu belə hesabladınız. Məsələn, əgər, onda, əgər, onda və s. Sonda nə əldə etdiniz? Və koordinatları olan xal aldınız: və. Sonra, bir "xaç" (koordinat sistemi) çəkdiniz, üzərində bir miqyas seçdiniz (vahid seqment olaraq neçə hüceyrə olacaq) və üzərində əldə etdiyiniz nöqtələri qeyd etdiniz, sonra nəticədə düz bir xətt ilə bağladınız; xətt funksiyanın qrafikidir.

Burada sizə bir az daha ətraflı izah edilməli olan bir neçə məqam var:

1. Rahatlıq üçün bir seqment seçirsiniz ki, hər şey rəsmdə gözəl və yığcam şəkildə uyğun olsun

2. Oxun soldan sağa, oxun isə aşağıdan yuxarıya doğru getdiyi qəbul edilir

3. Düz bucaq altında kəsişirlər və onların kəsişmə nöqtəsi başlanğıc adlanır. Bir məktubla göstərilir.

4. Nöqtənin koordinatlarını yazarkən, məsələn, sol tərəfdə mötərizədə ox boyunca, sağda isə ox boyunca nöqtənin koordinatı var. Xüsusilə, bu, sadəcə olaraq nöqtədə deməkdir

5. Koordinat oxunda hər hansı bir nöqtəni təyin etmək üçün onun koordinatlarını (2 ədəd) göstərmək lazımdır.

6. Ox üzərində yerləşən istənilən nöqtə üçün,

7. Ox üzərində yerləşən istənilən nöqtə üçün,

8. Oxa absis oxu deyilir

9. Oxa y oxu deyilir

İndi bunu sizinlə edək növbəti addım: Gəlin iki nöqtəni qeyd edək. Bu iki nöqtəni seqmentlə birləşdirək. Və oxunu nöqtədən nöqtəyə bir seqment çəkirik kimi qoyacağıq: yəni seqmentimizi istiqamətləndirəcəyik!

Başqa istiqamət seqmentinin nə adlandığını xatırlayın? Düzdü, buna vektor deyilir!

Beləliklə, nöqtəni nöqtəyə birləşdirsək, və başlanğıcı A nöqtəsi, sonu isə B nöqtəsi olacaq, onda vektor alırıq. Siz də bu tikintini 8-ci sinifdə etmisiniz, yadınızdadır?

Belə çıxır ki, vektorlar da nöqtələr kimi iki rəqəmlə işarələnə bilər: bu ədədlərə vektor koordinatları deyilir. Sual: Sizcə vektorun başlanğıc və sonunun koordinatlarını bilmək onun koordinatlarını tapmaq üçün bizə kifayətdirmi? Belə çıxır ki, bəli! Və bu çox sadə şəkildə edilir:

Beləliklə, vektorda nöqtə başlanğıc, nöqtə isə son olduğu üçün vektor aşağıdakı koordinatlara malikdir:

Məsələn, əgər, onda vektorun koordinatları

İndi isə bunun əksini edək, vektorun koordinatlarını tapaq. Bunun üçün nəyi dəyişdirməliyik? Bəli, əvvəli və sonunu dəyişdirmək lazımdır: indi vektorun başlanğıcı nöqtədə, sonu isə nöqtədə olacaq. Sonra:

Diqqətlə baxın, vektorların fərqi nədir? Onların yeganə fərqi koordinatlardakı işarələrdir. Onlar əks tərəflərdir. Bu fakt adətən belə yazılır:

Bəzən vektorun hansı nöqtəsinin başlanğıcı, hansının sonu olduğu xüsusi olaraq göstərilməyibsə, vektorlar ikidən çox işarə ilə işarələnir. böyük hərflərlə, və bir kiçik hərf, məsələn: , və s.

İndi bir az təcrübəözünüz edin və aşağıdakı vektorların koordinatlarını tapın:

İmtahan:

İndi bir az daha çətin problemi həll edin:

Bir nöqtədə başlanğıcı olan bir vektor ko-or-di-na-yo-ya malikdir. Abs-cis-su nöqtələrini tapın.

Bütün bunlar olduqca prozaikdir: nöqtənin koordinatları olsun. Sonra

Sistemi vektor koordinatlarının nə olduğu tərifinə əsaslanaraq tərtib etdim. Sonra nöqtənin koordinatları var. Biz absis ilə maraqlanırıq. Sonra

Cavab:

Vektorlarla başqa nə edə bilərsiniz? Bəli, demək olar ki, hər şey adi ədədlərlə eynidir (bölmək bilməyəcəyiniz istisna olmaqla, ancaq iki yolla çoxala bilərsiniz, onlardan birini burada bir az sonra müzakirə edəcəyik)

1. Vektorlar bir-birinə əlavə edilə bilər
2. Vektorlar bir-birindən çıxıla bilər
3. Vektorlar ixtiyari sıfırdan fərqli bir ədədlə vurula (və ya bölünə bilər).
4. Vektorlar bir-birinə vurula bilər

Bütün bu əməliyyatlar çox aydın həndəsi təsvirə malikdir. Məsələn, toplama və çıxma üçün üçbucaq (və ya paraleloqram) qaydası:

Vektor bir ədədə vurulduqda və ya bölündükdə uzanır və ya daralır və ya istiqamətini dəyişir:

Ancaq burada koordinatlara nə baş verdiyi sualı bizi maraqlandıracaq.

1. İki vektoru toplayanda (çıxarkən) onların koordinat elementini elementar əlavə edirik (çıxırıq). Yəni:

2. Vektoru ədədə vurarkən (bölərkən) onun bütün koordinatları bu ədədə vurulur (bölülür):

Məsələn:

· Ko-or-di-nat əsr-to-ra məbləğini tapın.

Əvvəlcə vektorların hər birinin koordinatlarını tapaq. Hər ikisinin mənşəyi eynidir - mənşə nöqtəsi. Onların ucları fərqlidir. Sonra, . İndi vektorun koordinatlarını hesablayaq, onda yaranan vektorun koordinatlarının cəmi bərabərdir.

Cavab:

İndi aşağıdakı problemi özünüz həll edin:

· Vektor koordinatlarının cəmini tapın

Yoxlayırıq:

İndi aşağıdakı məsələni nəzərdən keçirək: koordinat müstəvisində iki nöqtəmiz var. Aralarındakı məsafəni necə tapmaq olar? Birinci nöqtə olsun, ikincisi. Aralarındakı məsafəni ilə işarə edək. Aydınlıq üçün aşağıdakı rəsmləri çəkək:

Mən nə etmişəm? İlk növbədə mən bağlandım nöqtələr və, a həmçinin bir nöqtədən oxuna paralel bir xətt çəkdim və bir nöqtədən oxuna paralel bir xətt çəkdim. Onlar əlamətdar bir fiqur meydana gətirərək bir nöqtədə kəsişdilərmi? Onun bu qədər özəlliyi nədir? Bəli, siz və mən düz üçbucaq haqqında demək olar ki, hər şeyi bilirik. Əlbəttə, Pifaqor teoremi. Tələb olunan seqment bu üçbucağın hipotenuzası, seqmentlər isə ayaqlarıdır. Nöqtənin koordinatları hansılardır? Bəli, onları şəkildən tapmaq asandır: Seqmentlər oxlara paralel olduğundan və müvafiq olaraq onların uzunluqlarını tapmaq asandır: əgər seqmentlərin uzunluqlarını müvafiq olaraq ilə işarə etsək, onda

İndi Pifaqor teoremindən istifadə edək. Ayaqların uzunluğunu bilirik, hipotenuzunu tapacağıq:

Beləliklə, iki nöqtə arasındakı məsafə koordinatlardan kvadrat fərqlərin cəminin köküdür. Və ya - iki nöqtə arasındakı məsafə onları birləşdirən seqmentin uzunluğudur.

Nöqtələr arasındakı məsafənin istiqamətdən asılı olmadığını görmək asandır. Sonra:

Buradan üç nəticə çıxarırıq:

İki nöqtə arasındakı məsafəni hesablamaq üçün bir az məşq edək:

Məsələn, əgər, onda və arasındakı məsafə bərabərdir

Və ya başqa yolla gedək: vektorun koordinatlarını tapın

Və vektorun uzunluğunu tapın:

Gördüyünüz kimi, eyni şeydir!

İndi bir az özünüz məşq edin:

Tapşırıq: göstərilən nöqtələr arasındakı məsafəni tapın:

Yoxlayırıq:

Budur, bir az fərqli səslənsə də, eyni düsturdan istifadə edən daha bir neçə problem:

1. Göz qapağının uzunluğunun kvadratını tapın.

2. Göz qapağının uzunluğunun kvadratını tapın

Məncə, siz onlarla çətinlik çəkmədən məşğul oldunuz? Yoxlayırıq:

1. Bu isə diqqətlilik üçündür) Artıq vektorların koordinatlarını əvvəllər tapmışıq: . Onda vektorun koordinatları olur. Uzunluğunun kvadratı bərabər olacaq:

2. Vektorun koordinatlarını tapın

Onda onun uzunluğunun kvadratı olur

Mürəkkəb bir şey yoxdur, elə deyilmi? Sadə hesab, başqa heç nə.

1. Aşağıdakı problemləri birmənalı şəkildə təsnif etmək olmaz, onlar daha çox ümumi erudisiyaya və sadə şəkillər çəkmək bacarığına aiddir;

Nöqtəni absis oxu ilə birləşdirən kəsikdən bucaqda bucağın sinusunu tapın.

Və

Burada necə davam edəcəyik? və ox arasındakı bucağın sinusunu tapmalıyıq. Sinusu harada axtara bilərik? Düzdür, düz üçbucaqda. Bəs biz nə etməliyik? Bu üçbucağı qurun!

Bizə nə qalıb? Hipotenuzanı tapın. Bunu iki yolla edə bilərsiniz: Pifaqor teoremindən (ayaqlar məlumdur!) və ya iki nöqtə arasındakı məsafənin düsturundan istifadə etməklə (əslində birinci üsulla eyni şeydir!). İkinci yolla gedəcəm:

Cavab:

Növbəti tapşırıq sizə daha asan görünəcək. O, nöqtənin koordinatlarındadır.

Tapşırıq 2. Per-pen-di-ku-lyarın ab-ciss oxuna endirilməsi nöqtəsindən. Nai-di-te abs-cis-su os-no-va-niya per-pen-di-ku-la-ra.

Bir rəsm çəkək:

Perpendikulyarın əsası onun x oxunu (oxu) kəsdiyi nöqtədir, mənim üçün bu nöqtədir. Şəkildə onun koordinatları olduğu göstərilir: . Bizi absis, yəni “x” komponenti maraqlandırır. O, bərabərdir.

Cavab: .

Tapşırıq 3.Əvvəlki məsələnin şərtlərində nöqtədən koordinat oxlarına qədər olan məsafələrin cəmini tapın.

Bir nöqtədən oxlara qədər olan məsafənin nə olduğunu bilsəniz, tapşırıq ümumiyyətlə elementardır. bilirsinizmi? Ümid edirəm, amma yenə də xatırladır:

Beləliklə, yuxarıdakı rəsmimdə mən artıq belə bir perpendikulyar çəkmişəm? Hansı oxdadır? Oxa. Və onun uzunluğu nə qədərdir? O, bərabərdir. İndi özünüz oxa perpendikulyar çəkin və uzunluğunu tapın. Bərabər olacaq, elə deyilmi? Onda onların cəmi bərabər olur.

Cavab: .

Tapşırıq 4. 2-ci məsələnin şərtlərində absis oxuna nisbətən nöqtəyə simmetrik olan nöqtənin ordinatını tapın.

Düşünürəm ki, simmetriyanın nə olduğu sizə intuitiv olaraq aydındır? Bir çox obyektdə var: çoxlu binalar, masalar, təyyarələr, çoxlu həndəsi fiqurlar: top, silindr, kvadrat, romb və s.. Kobud desək, simmetriyanı belə başa düşmək olar: fiqur iki (və ya daha çox) eyni yarımdan ibarətdir. Bu simmetriya eksenel simmetriya adlanır. O zaman ox nədir? Bu, fiqurun, nisbətən desək, bərabər yarıya "kəsilməsi" mümkün olduğu xəttdir (bu şəkildə simmetriya oxu düzdür):

İndi vəzifəmizə qayıdaq. Biz oxa simmetrik olan bir nöqtə axtardığımızı bilirik. Onda bu ox simmetriya oxudur. Bu o deməkdir ki, bir nöqtəni qeyd etməliyik ki, ox seqmenti iki bərabər hissəyə kəssin. Belə bir məqamı özünüz qeyd etməyə çalışın. İndi mənim həllimlə müqayisə edin:

Sizin üçün eyni şəkildə oldu? Yaxşı! Bizi tapılan nöqtənin ordinatı maraqlandırır. Bu bərabərdir

Cavab:

İndi mənə deyin, bir neçə saniyə fikirləşdikdən sonra A nöqtəsinə simmetrik olan nöqtənin ordinat oxuna nisbətən absisi nə qədər olacaq? Cavabınız nədir? Düzgün cavab: .

IN ümumi hal qayda belə yazıla bilər:

Absis oxuna nisbətən bir nöqtəyə simmetrik olan nöqtənin koordinatları var:

Ordinat oxuna nisbətən bir nöqtəyə simmetrik olan nöqtənin koordinatları var:

Yaxşı, indi tamamilə qorxuludur vəzifə: mənşəyə nisbətən nöqtəyə simmetrik olan nöqtənin koordinatlarını tapın. Əvvəlcə özünüz düşünün, sonra mənim rəsmimə baxın!

Cavab:

İndi paraleloqram problemi:

Tapşırıq 5: Nöqtələr ver-şi-na-mi pa-ral-le-lo-qram-ma görünür. Tapın or-di-on-o nöqtə.

Bu problemi iki yolla həll edə bilərsiniz: məntiq və koordinat metodu. Mən əvvəlcə koordinat metodundan istifadə edəcəyəm, sonra onu fərqli şəkildə necə həll edə biləcəyinizi söyləyəcəyəm.

Tamamilə aydındır ki, nöqtənin absisi bərabərdir. (nöqtədən absis oxuna çəkilmiş perpendikulyar üzərində yerləşir). Ordinatı tapmalıyıq. Fiqurumuzun paraleloqram olmasından istifadə edək, bu o deməkdir ki. İki nöqtə arasındakı məsafənin düsturundan istifadə edərək seqmentin uzunluğunu tapaq:

Nöqtəni oxa birləşdirən perpendikulyar aşağı düşürük. Mən kəsişmə nöqtəsini hərflə qeyd edəcəyəm.

Seqmentin uzunluğu bərabərdir. (bu nöqtəni müzakirə etdiyimiz problemi özünüz tapın), sonra Pifaqor teoremindən istifadə edərək seqmentin uzunluğunu tapacağıq:

Seqmentin uzunluğu onun ordinatı ilə tam üst-üstə düşür.

Cavab: .

Başqa bir həll (sadəcə onu təsvir edən bir şəkil verəcəyəm)

Həll prosesi:

1. Davranış

2. Nöqtənin və uzunluğun koordinatlarını tapın

3. Bunu sübut edin.

Daha bir seqment uzunluğu problemi:

Nöqtələr üçbucağın üstündə görünür. Onun orta xəttinin uzunluğunu tapın, paralel.

Üçbucağın orta xəttinin nə olduğunu xatırlayırsınız? Onda bu tapşırıq sizin üçün elementardır. Əgər xatırlamırsınızsa, sizə xatırladacağam: üçbucağın orta xətti əks tərəflərin orta nöqtələrini birləşdirən xəttdir. Baza paraleldir və onun yarısına bərabərdir.

Baza bir seqmentdir. Uzunluğunu daha əvvəl axtarmalı olduq, bərabərdir. Sonra orta xəttin uzunluğu yarısı böyük və bərabərdir.

Cavab: .

Şərh: bu problem başqa bir şəkildə həll edilə bilər, bir az sonra ona müraciət edəcəyik.

Bu arada, burada sizə bir neçə problem var, onlarla məşq edin, onlar çox sadədir, lakin koordinat metodundan istifadə etməkdə daha yaxşı olmağa kömək edirlər!

1. Nöqtələr tra-pe-sionların yuxarı hissəsidir. Onun orta xəttinin uzunluğunu tapın.

2. Nöqtələr və görünüşlər ver-şi-na-mi pa-ral-le-lo-qram-ma. Tapın or-di-on-o nöqtə.

3. Nöqtəni birləşdirərək kəsikdən uzunluğu tapın

4. Koordinasiya müstəvisində rəngli fiqurun arxasındakı sahəni tapın.

5. Nöqtədən mərkəzi na-ça-le ko-or-di-natda olan dairə keçir. Onun ra-di-usunu tapın.

6. Tap-di-te ra-di-us dairəsi, təsvir-san-noy haqqında düz-bucaq-no-ka, bir şeyin zirvələrində co-və ya -di-na-sən belə cavabdehsən -amma

Həll yolları:

1. Məlumdur ki, trapezoidin orta xətti onun əsaslarının cəminin yarısına bərabərdir. Baza bərabərdir və əsasdır. Sonra

Cavab:

2. Bu problemi həll etməyin ən asan yolu qeyd etməkdir (paraleloqram qaydası). Vektorların koordinatlarını hesablamaq çətin deyil: . Vektorlar əlavə edilərkən koordinatlar əlavə edilir. Sonra koordinatları var. Nöqtə də bu koordinatlara malikdir, çünki vektorun mənşəyi koordinatları olan nöqtədir. Ordinatla maraqlanırıq. O, bərabərdir.

Cavab:

3. İki nöqtə arasındakı məsafənin düsturuna uyğun olaraq dərhal hərəkət edirik:

Cavab:

4. Şəkilə baxın və mənə deyin ki, kölgəli sahə hansı iki fiqur arasında “sandviç”dir? İki kvadrat arasında sıxışdırılır. Sonra istədiyiniz fiqurun sahəsi böyük kvadratın sahəsinə, kiçik kvadratın sahəsinə bərabərdir. Yan kiçik kvadrat nöqtələri birləşdirən seqmentdir və Onun uzunluğudur

Sonra kiçik kvadratın sahəsi

Böyük bir kvadratla da eyni şeyi edirik: onun tərəfi nöqtələri birləşdirən bir seqmentdir və uzunluğu

Sonra böyük kvadratın sahəsi

Düsturdan istifadə edərək istədiyiniz rəqəmin sahəsini tapırıq:

Cavab:

5. Əgər dairənin başlanğıc nöqtəsi mərkəzidirsə və bir nöqtədən keçirsə, onda onun radiusu seqmentin uzunluğuna tam bərabər olacaq (rəsm çəkin və bunun niyə açıq olduğunu başa düşəcəksiniz). Bu seqmentin uzunluğunu tapaq:

Cavab:

6. Məlumdur ki, düzbucaqlının ətrafına çəkilmiş dairənin radiusu onun diaqonalının yarısına bərabərdir. Gəlin iki diaqonaldan hər hansı birinin uzunluğunu tapaq (axı düzbucaqlıda onlar bərabərdir!)

Cavab:

Yaxşı, hər şeyin öhdəsindən gəldin? Bunu anlamaq çox çətin deyildi, elə deyilmi? Burada yalnız bir qayda var - vizual bir şəkil yarada və ondan bütün məlumatları sadəcə "oxuya bilərsiniz".

Bizə çox az qalıb. Müzakirə etmək istədiyim sözün əsl mənasında daha iki məqam var.

Gəlin bu sadə problemi həll etməyə çalışaq. Qoy iki xal verilsin. Seqmentin orta nöqtəsinin koordinatlarını tapın. Bu məsələnin həlli belədir: nöqtə istədiyiniz orta olsun, onda onun koordinatları var:

Yəni: seqmentin ortasının koordinatları = seqmentin uclarının müvafiq koordinatlarının arifmetik ortası.

Bu qayda çox sadədir və adətən tələbələr üçün çətinlik yaratmır. Hansı problemlərdə və necə istifadə edildiyinə baxaq:

1. Tap-di-te or-di-na-tu se-re-di-ny from-cut, connect-the-point and

2. Xallar dünyanın zirvəsi kimi görünür. Tapın-di-te or-di-na-tu nöqtələri onun dia-go-na-ley per-re-se-che-niya.

3. Tap-di-te abs-cis-su dairənin mərkəzi, təsvir-san-noy haqqında düzbucaqlı-no-ka, bir şeyin zirvələri var co-or-di-na-siz belə məsuliyyətli-amma.

Həll yolları:

1. Birinci problem sadəcə olaraq klassikdir. Seqmentin ortasını təyin etmək üçün dərhal davam edirik. Onun koordinatları var. Ordinat bərabərdir.

Cavab:

2. Bu dördbucağın paraleloqram (hətta romb!) olduğunu asanlıqla görmək olar. Bunu tərəflərin uzunluqlarını hesablayaraq və bir-biri ilə müqayisə edərək özünüz sübut edə bilərsiniz. Paraleloqramlar haqqında nə bilirəm? Onun diaqonalları kəsişmə nöqtəsinə görə yarıya bölünür! Bəli! Beləliklə, diaqonalların kəsişmə nöqtəsi nədir? Bu, hər hansı bir diaqonalın ortasıdır! Xüsusilə diaqonalı seçəcəyəm. Onda nöqtənin koordinatları var Nöqtənin ordinatı bərabərdir.

Cavab:

3. Düzbucaqlının ətrafına çəkilmiş dairənin mərkəzi nə ilə üst-üstə düşür? Onun diaqonallarının kəsişmə nöqtəsi ilə üst-üstə düşür. Düzbucaqlının diaqonalları haqqında nə bilirsiniz? Onlar bərabərdir və kəsişmə nöqtəsi onları yarıya bölür. Tapşırıq əvvəlkinə endirildi. Məsələn, diaqonalı götürək. Əgər dairənin mərkəzidirsə, orta nöqtədir. Mən koordinatları axtarıram: absis bərabərdir.

Cavab:

İndi özünüz bir az məşq edin, mən sadəcə hər problemə cavab verəcəyəm ki, özünüzü sınayasınız.

1. Tap-di-te ra-di-us of the dairə, təsvir-san-noy haqqında üçbucaq-no-ka, bir şeyin zirvələrində co-or-di -on-you var

2. Dairənin həmin mərkəzini tap-di-te və ya-di-on-da, yuxarıları koordinatları olan üçbucaq-no-ka haqqında-san-noy təsvir edin.

3. Bir nöqtədə mərkəzi olan çevrə ab-ciss oxuna uyğun olsun deyə, hansı növ ra-di-u-sa olmalıdır?

4. Oxun yenidən seqmentasiya nöqtəsini və kəsişmə nöqtəsini tapın, nöqtəni birləşdirin və

Cavablar:

Hər şey uğurlu oldu? Mən həqiqətən ümid edirəm! İndi - son təkan. İndi xüsusilə diqqətli olun. İndi izah edəcəyim material təkcə bununla bağlı deyil sadə tapşırıqlar B hissəsindən koordinat metoduna, lakin C2 problemində də hər yerdə rast gəlinir.

Hansı vədlərimi hələ tutmamışam? Yadınızdadırsa, vektorlar üzərində hansı əməliyyatları təqdim etməyi vəd etmişdim və sonda hansıları təqdim etmişdim? Heç nəyi unutmadığımdan əminsən? Unutdum! Vektorun vurulmasının nə demək olduğunu izah etməyi unutdum.

Bir vektoru vektorla vurmağın iki yolu var. Seçilmiş metoddan asılı olaraq, müxtəlif təbiətli obyektləri alacağıq:

Çarpaz məhsul olduqca ağıllı şəkildə edilir. Bunu necə edəcəyimizi və nə üçün lazım olduğunu növbəti məqalədə müzakirə edəcəyik. Və burada biz skalyar məhsula diqqət yetirəcəyik.

Bunu hesablamağa imkan verən iki üsul var:

Təxmin etdiyiniz kimi, nəticə eyni olmalıdır! Beləliklə, əvvəlcə birinci üsula baxaq:

Koordinatlar vasitəsilə nöqtə məhsulu

Tapın: - skalyar hasil üçün ümumi qəbul edilmiş qeyd

Hesablama düsturu aşağıdakı kimidir:

Yəni skalyar hasil = vektor koordinatlarının hasillərinin cəmi!

Misal:

Tap-di-te

Həlli:

Vektorların hər birinin koordinatlarını tapaq:

Skayar məhsulu düsturla hesablayırıq:

Cavab:

Baxın, tamamilə mürəkkəb bir şey yoxdur!

Yaxşı, indi özünüz cəhd edin:

· Əsrlərin skalyar pro-iz-ve-de-nie tapın və

idarə etdin? Bəlkə kiçik bir tutma gördünüz? yoxlayaq:

Əvvəlki problemdə olduğu kimi vektor koordinatları! Cavab: .

Koordinata əlavə olaraq, skalar məhsulu hesablamaq üçün başqa bir yol var, yəni vektorların uzunluqları və aralarındakı bucağın kosinusu vasitəsilə:

vektorlar arasındakı bucağı bildirir.

Yəni skalyar hasil vektorların uzunluqlarının hasilinə və aralarındakı bucağın kosinusuna bərabərdir.

Bu ikinci düstur bizə nə üçün lazımdır, əgər birincisi varsa, o, çox sadədir, heç olmasa, onda kosinuslar yoxdur. Və bu lazımdır ki, birinci və ikinci düsturlardan siz və mən vektorlar arasındakı bucağı necə tapacağımızı çıxara bilək!

O zaman vektorun uzunluğunun düsturunu xatırlayaq!

Sonra bu məlumatları skalyar məhsul düsturunda əvəz etsəm, əldə edirəm:

Amma digər tərəfdən:

Beləliklə, siz və mən nə əldə etdik? İndi iki vektor arasındakı bucağı hesablamağa imkan verən bir düsturumuz var! Bəzən qısa olması üçün belə yazılır:

Yəni vektorlar arasındakı bucağı hesablamaq üçün alqoritm aşağıdakı kimidir:

1. Koordinatlar vasitəsilə skalyar hasili hesablayın
2. Vektorların uzunluqlarını tapın və onları çoxaldın
3. 1-ci bəndin nəticəsini 2-ci bəndin nəticəsinə bölün

Nümunələrlə məşq edək:

1. Göz qapaqları və arasındakı bucağı tapın. Cavabı grad-du-sah ilə verin.

2. Əvvəlki məsələnin şərtlərində vektorlar arasında kosinusu tapın

Gəlin belə edək: birinci problemi həll etməyə kömək edəcəyəm, ikincini isə özünüz etməyə çalışın! Razılaşırsınız? Onda başlayaq!

1. Bu vektorlar bizim köhnə dostlarımızdır. Artıq onların skalyar hasilini hesabladıq və bərabər idi. Onların koordinatları: , . Sonra onların uzunluqlarını tapırıq:

Sonra vektorlar arasında kosinusu axtarırıq:

Bucağın kosinusu nədir? Bu küncdür.

Cavab:

Yaxşı, indi ikinci məsələni özünüz həll edin, sonra müqayisə edin! Mən çox qısa bir həll verəcəyəm:

2. koordinatları var, koordinatları var.

vektorları arasındakı bucaq olsun, onda

Cavab:

Qeyd etmək lazımdır ki, imtahan sənədinin B hissəsində birbaşa vektorlar və koordinat metodu ilə bağlı problemlər olduqca nadirdir. Bununla belə, C2 problemlərinin böyük əksəriyyəti koordinat sistemi tətbiq etməklə asanlıqla həll edilə bilər. Beləliklə, bu məqaləni mürəkkəb problemləri həll etmək üçün lazım olan olduqca ağıllı konstruksiyalar quracağımız təməl hesab edə bilərsiniz.

KOORDİNATLAR VƏ VEKTORLAR. ORTA SƏVİYYƏ

Siz və mən koordinat metodunu öyrənməyə davam edirik. Son hissədə sizə imkan verən bir sıra vacib düsturlar əldə etdik:

1. Vektor koordinatlarını tapın
2. Vektorun uzunluğunu tapın (alternativ olaraq: iki nöqtə arasındakı məsafə)
3. Vektorları toplamaq və çıxarmaq. Onları həqiqi ədədə vurun
4. Seqmentin orta nöqtəsini tapın
5. Vektorların nöqtə hasilini hesablayın
6. Vektorlar arasındakı bucağı tapın

Təbii ki, bütün koordinat metodu bu 6 nöqtəyə uyğun gəlmir. Bu, universitetdə tanış olacağınız analitik həndəsə kimi bir elmin əsasını təşkil edir. Mən sadəcə olaraq bir ştatda problemləri həll etməyə imkan verəcək təməl qurmaq istəyirəm. imtahan. Biz B Hissəsinin tapşırıqlarını yerinə yetirmişik. İndi tamamilə yeni səviyyəyə keçməyin vaxtıdır! Bu məqalə koordinat metoduna keçməyin məqsədəuyğun olduğu C2 problemlərinin həlli metoduna həsr olunacaq. Bu əsaslılıq problemdə nəyin tapılmasının tələb olunduğu və hansı rəqəmin verildiyi ilə müəyyən edilir. Beləliklə, suallar belə olsa, koordinat metodundan istifadə edərdim:

1. İki müstəvi arasındakı bucağı tapın
2. Düz xətt və müstəvi arasındakı bucağı tapın
3. İki düz xətt arasındakı bucağı tapın
4. Bir nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafəni tapın
5. Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafəni tapın
6. Düz xəttdən müstəviyə qədər olan məsafəni tapın
7. İki xətt arasındakı məsafəni tapın

Əgər məsələnin ifadəsində verilmiş rəqəm fırlanma cismidirsə (top, silindr, konus...)

Koordinat metodu üçün uyğun rəqəmlər:

1. Düzbucaqlı paralelepiped
2. Piramida (üçbucaqlı, dördbucaqlı, altıbucaqlı)

Həm də təcrübəmdən üçün koordinat metodundan istifadə etmək yersizdir:

1. Kəsici sahələrin tapılması
2. Cismlərin həcmlərinin hesablanması

Bununla belə, dərhal qeyd etmək lazımdır ki, koordinat metodu üçün üç "əlverişsiz" vəziyyət praktikada olduqca nadirdir. Əksər tapşırıqlarda o, sizin xilaskarınız ola bilər, xüsusən də üçölçülü konstruksiyalarda çox yaxşı deyilsinizsə (bəzən olduqca mürəkkəb ola bilər).

Yuxarıda sadaladığım bütün rəqəmlər hansılardır? Onlar artıq düz deyil, məsələn, kvadrat, üçbucaq, dairə kimi, lakin həcmlidir! Müvafiq olaraq, iki ölçülü deyil, üç ölçülü koordinat sistemini nəzərdən keçirməliyik. Onu qurmaq olduqca asandır: sadəcə absis və ordinat oxuna əlavə olaraq başqa bir oxu, tətbiq oxunu təqdim edəcəyik. Şəkil onların nisbi mövqeyini sxematik şəkildə göstərir:

Onların hamısı qarşılıqlı perpendikulyardır və koordinatların mənşəyi adlandıracağımız bir nöqtədə kəsişir. Əvvəlki kimi biz absis oxunu, ordinat oxunu - , tətbiq olunan tətbiq oxunu - işarələyəcəyik.

Əgər əvvəllər müstəvidə hər bir nöqtə iki rəqəmlə - absis və ordinatla səciyyələnirdisə, fəzadakı hər bir nöqtə artıq üç rəqəmlə - absis, ordinat və tətbiq ilə təsvir olunur. Məsələn:

Müvafiq olaraq, nöqtənin absisi bərabərdir, ordinatı , tətbiqi isə .

Bəzən nöqtənin absissinə nöqtənin absis oxuna proyeksiyası, ordinata - nöqtənin ordinat oxuna proyeksiyası və tətbiqi - nöqtənin tətbiq oxuna proyeksiyası da adlanır. Müvafiq olaraq, bir nöqtə verilirsə, koordinatları olan bir nöqtə:

nöqtənin müstəviyə proyeksiyası adlanır

nöqtənin müstəviyə proyeksiyası adlanır

Təbii sual yaranır: ikiölçülü hal üçün alınan bütün düsturlar fəzada etibarlıdırmı? Cavab bəli, onlar ədalətlidirlər və eyni görünüşə malikdirlər. Kiçik bir detal üçün. Məncə, siz artıq hansının olduğunu təxmin etmisiniz. Bütün düsturlarda biz tətbiq oxuna cavabdeh olan daha bir termin əlavə etməli olacağıq. Məhz.

1. Əgər iki nöqtə verilirsə: , onda:

• Vektor koordinatları:
• İki nöqtə arasındakı məsafə (və ya vektor uzunluğu)
• Seqmentin orta nöqtəsinin koordinatları var

2. Əgər iki vektor verilmişdirsə: və, onda:

• Onların skalyar məhsulu bərabərdir:
• Vektorlar arasındakı bucağın kosinusu bərabərdir:

Bununla belə, məkan o qədər də sadə deyil. Anladığınız kimi, daha bir koordinat əlavə etmək bu məkanda "yaşayan" fiqurların spektrinə əhəmiyyətli müxtəliflik gətirir. Və əlavə rəvayət üçün düz xəttin bir qədər kobud desək, “ümumiləşdirməsini” təqdim etməliyəm. Bu “ümumiləşdirmə” bir təyyarə olacaq. Təyyarə haqqında nə bilirsiniz? Suala cavab verməyə çalışın, təyyarə nədir? Bunu demək çox çətindir. Bununla belə, hamımız bunun necə göründüyünü intuitiv olaraq təsəvvür edirik:

Kobud desək, bu, kosmosa ilişib qalmış bir növ sonsuz “vərəq”dir. “Sonsuzluq” başa düşülməlidir ki, təyyarə bütün istiqamətlərdə uzanır, yəni sahəsi sonsuzluğa bərabərdir. Ancaq bu “təcrübəli” izahat təyyarənin quruluşu haqqında zərrə qədər fikir vermir. Və bizimlə maraqlanan odur.

Həndəsənin əsas aksiomlarından birini xatırlayaq:

• düz xətt müstəvidə iki fərqli nöqtədən keçir və yalnız bir:

Və ya onun kosmosdakı analoqu:

Əlbəttə ki, verilmiş iki nöqtədən bir xəttin tənliyini necə əldə edəcəyinizi xatırlayırsınız: bu, heç də çətin deyil: əgər birinci nöqtənin koordinatları varsa: və ikincisi, xəttin tənliyi aşağıdakı kimi olacaq:

Siz bunu 7-ci sinifdə götürmüsünüz. Kosmosda düz xəttin tənliyi belə görünür: bizə koordinatları olan iki nöqtə verilsin: , onda onlardan keçən düz xəttin tənliyi formaya malikdir:

Məsələn, bir xətt nöqtələrdən keçir:

Bunu necə başa düşmək lazımdır? Bunu aşağıdakı kimi başa düşmək lazımdır: koordinatları aşağıdakı sistemə cavab verən bir nöqtə xətt üzərində yerləşir:

Bizi xəttin tənliyi çox maraqlandırmayacaq, lakin xəttin istiqamət vektoru ilə bağlı çox vacib anlayışa diqqət yetirməliyik. - verilmiş xətt üzərində və ya ona paralel olan sıfırdan fərqli istənilən vektor.

Məsələn, hər iki vektor düz xəttin istiqamət vektorlarıdır. Xətt üzərində uzanan nöqtə və onun istiqamət vektoru olsun. Sonra düz xəttin tənliyini aşağıdakı formada yazmaq olar:

Bir daha deyirəm, düz xəttin tənliyi ilə çox maraqlanmayacağam, amma həqiqətən istiqamət vektorunun nə olduğunu xatırlamağınıza ehtiyacım var! Yenə: bu xətt üzərində və ya ona paralel olan HƏR Sıfırdan fərqli vektordur.

geri çəkilmək üç verilmiş nöqtəyə əsaslanan müstəvi tənliyi artıq o qədər də əhəmiyyətsiz deyil və adətən orta məktəb kurslarında bu məsələyə toxunulmur. Amma boş yerə! Mürəkkəb problemləri həll etmək üçün koordinat metoduna müraciət etdiyimiz zaman bu texnika çox vacibdir. Bununla belə, güman edirəm ki, siz yeni bir şey öyrənmək istəyirsiniz? Üstəlik, adətən analitik həndəsə kursunda öyrənilən bir texnikadan necə istifadə edəcəyinizi artıq bildiyiniz ortaya çıxanda universitetdəki müəlliminizi heyran edə biləcəksiniz. Beləliklə, başlayaq.

Təyyarənin tənliyi müstəvidəki düz xəttin tənliyindən çox da fərqlənmir, yəni formaya malikdir:

bəzi ədədlər (hamısı sıfıra bərabər deyil), lakin dəyişənlər, məsələn: və s. Göründüyü kimi, müstəvi tənliyi düz xəttin tənliyindən (xətti funksiya) çox da fərqlənmir. Ancaq xatırlayırsan ki, səninlə mən nə mübahisə etdik? Dedik ki, əgər eyni xətt üzərində olmayan üç nöqtəmiz varsa, müstəvi tənliyini onlardan unikal şəkildə yenidən qurmaq olar. Bəs necə? Bunu sizə izah etməyə çalışacağam.

Təyyarənin tənliyi belə olduğundan:

Və nöqtələr bu müstəviyə aiddir, onda hər bir nöqtənin koordinatlarını müstəvi tənliyində əvəz edərkən düzgün eyniliyi əldə etməliyik:

Beləliklə, naməlum olan üç tənliyi həll etməyə ehtiyac var! Dilemma! Bununla belə, həmişə güman edə bilərsiniz (bunu etmək üçün bölmək lazımdır). Beləliklə, üç naməlum olan üç tənlik alırıq:

Ancaq belə bir sistemi həll etməyəcəyik, ancaq ondan irəli gələn sirli ifadəni yazacağıq:

Verilmiş üç nöqtədən keçən təyyarənin tənliyi

\[\sol| (\begin(massiv)(*(20)(c))(x - (x_0))&((x_1) - (x_0))&((x_2) - (x_0))\\(y - (y_0) )&((y_1) - (y_0))&((y_2) - (y_0))\\(z - (z_0))&((z_1) - (z_0))&((z_2) - (z_0)) \end(massiv)) \sağ| = 0\]

Dayan! Bu nədir? Çox qeyri-adi modul! Halbuki qarşınızda gördüyünüz obyektin modulla heç bir əlaqəsi yoxdur. Bu obyekt üçüncü dərəcəli determinant adlanır. Bundan sonra, bir müstəvidə koordinatlar üsulu ilə məşğul olanda, eyni təyinedicilərlə çox tez-tez qarşılaşacaqsınız. Üçüncü dərəcəli determinant nədir? Qəribədir ki, bu sadəcə bir rəqəmdir. Hansı konkret rəqəmi determinantla müqayisə edəcəyimizi anlamaq qalır.

Əvvəlcə üçüncü dərəcəli determinantı daha ümumi formada yazaq:

Bəzi nömrələr haradadır. Üstəlik, birinci indeks dedikdə sıra nömrəsini, indeks dedikdə isə sütun nömrəsini nəzərdə tuturuq. Məsələn, bu o deməkdir ki, bu nömrə ikinci sıra ilə üçüncü sütunun kəsişməsindədir. Gəlin belə bir sual verək: belə bir determinantı necə dəqiq hesablayacağıq? Yəni konkret hansı rəqəmlə müqayisə edəcəyik? Üçüncü dərəcəli determinant üçün evristik (vizual) üçbucaq qaydası var, belə görünür:

1. Əsas diaqonalın elementlərinin hasili (yuxarı sol küncdən aşağı sağa) birinci üçbucağı meydana gətirən elementlərin hasili əsas diaqonala “perpendikulyar” olan ikinci üçbucağı meydana gətirən elementlərin hasilinə “perpendikulyar”. əsas diaqonal
2. İkinci dərəcəli diaqonalın elementlərinin hasili (yuxarı sağ küncdən aşağı sola) birinci üçbucağı meydana gətirən elementlərin hasili ikinci dərəcəli diaqonala “perpendikulyar” olan ikinci üçbucağı meydana gətirən elementlərin hasilidir. ikinci dərəcəli diaqonal
3. Sonra determinant və addımda alınan dəyərlər arasındakı fərqə bərabərdir

Bütün bunları rəqəmlərlə yazsaq, aşağıdakı ifadəni alırıq:

Bununla belə, bu formada hesablama metodunu xatırlamağa ehtiyac yoxdur; sadəcə olaraq üçbucaqları və nəyin əlavə olunduğu və nədən nəyin çıxılacağı barədə fikirləri saxlamaq kifayətdir).

Üçbucaq metodunu bir nümunə ilə təsvir edək:

1. Determinantı hesablayın:

Nə əlavə etdiyimizi və nəyi çıxardığımızı anlayaq:

Artı ilə gələn şərtlər:

Bu əsas diaqonaldır: elementlərin məhsulu bərabərdir

Birinci üçbucaq, "əsas diaqonala perpendikulyar: elementlərin məhsulu bərabərdir

İkinci üçbucaq, "əsas diaqonala perpendikulyar: elementlərin məhsulu bərabərdir

Üç ədəd əlavə edin:

Mənfi ilə gələn şərtlər

Bu yan diaqonaldır: elementlərin məhsulu bərabərdir

Birinci üçbucaq, “ikinci dərəcəli diaqonala perpendikulyar: elementlərin məhsulu bərabərdir

İkinci üçbucaq, “ikinci diaqonala perpendikulyar: elementlərin məhsulu bərabərdir

Üç ədəd əlavə edin:

Ediləcək yeganə şey, "mənfi" şərtlərin cəmindən "artı" şərtlərinin cəmini çıxmaqdır:

Beləliklə,

Gördüyünüz kimi, üçüncü dərəcəli determinantların hesablanmasında mürəkkəb və fövqəltəbii heç nə yoxdur. Üçbucaqları xatırlamaq və hesab səhvləri etməmək vacibdir. İndi özünüz hesablamağa çalışın:

Tapşırıq: göstərilən nöqtələr arasındakı məsafəni tapın:

1. Əsas diaqonala perpendikulyar olan birinci üçbucaq:
2. Əsas diaqonala perpendikulyar olan ikinci üçbucaq:
3. Artı ilə şərtlərin cəmi:
4. İkinci dərəcəli diaqonala perpendikulyar olan birinci üçbucaq:
5. Yan diaqonalına perpendikulyar olan ikinci üçbucaq:
6. Mənfi olan şərtlərin cəmi:
7. Artı ilə şərtlərin cəmi mənfi mənfi olan şərtlərin cəmi:

Budur daha bir neçə determinant, onların dəyərlərini özünüz hesablayın və cavablarla müqayisə edin:

Cavablar:

Yaxşı, hər şey üst-üstə düşdü? Əla, sonra davam edə bilərsiniz! Çətinliklər varsa, məsləhətim budur: İnternetdə determinantın onlayn hesablanması üçün çoxlu proqramlar var. Sizə lazım olan tək şey öz determinantınızı tapmaq, onu özünüz hesablamaq və sonra onu proqramın hesabladığı ilə müqayisə etməkdir. Nəticələr üst-üstə düşməyə başlayana qədər və s. Əminəm ki, bu anın gəlməsi çox çəkməyəcək!

İndi üç nöqtədən keçən bir təyyarənin tənliyi haqqında danışarkən yazdığım təyinediciyə qayıdaq. xallar verilir:

Sizə lazım olan tək şey onun dəyərini birbaşa hesablamaqdır (üçbucaq metodundan istifadə etməklə) və nəticəni sıfıra təyin etməkdir. Təbii ki, bunlar dəyişənlər olduğundan, onlardan asılı olan bəzi ifadələr əldə edəcəksiniz. Məhz bu ifadə eyni düz xətt üzərində olmayan üç verilmiş nöqtədən keçən təyyarənin tənliyi olacaq!

Bunu sadə bir misalla izah edək:

1. Nöqtələrdən keçən təyyarənin tənliyini qurun

Bu üç nöqtə üçün determinant tərtib edirik:

Sadələşdirək:

İndi onu birbaşa üçbucaq qaydasından istifadə edərək hesablayırıq:

\[(\left| (\begin(massiv)(*(20)(c))(x + 3)&2&6\\(y - 2)&0&1\\(z + 1)&5&0\end(massiv)) \ sağ|. = \left((x + 3) \right) \cdot 0 \cdot 0 + 2 \cdot 1 \cdot \left((z + 1) \right) + \left((y - 2) \sağ) \cdot 5 \cdot 6 - )\]

Beləliklə, nöqtələrdən keçən təyyarənin tənliyi:

İndi bir problemi özünüz həll etməyə çalışın, sonra onu müzakirə edəcəyik:

2. Nöqtələrdən keçən təyyarənin tənliyini tapın

Yaxşı, indi həlli müzakirə edək:

Bir determinant yaradaq:

Və dəyərini hesablayın:

Onda təyyarənin tənliyi formaya malikdir:

Və ya azaltmaqla, əldə edirik:

İndi özünü idarə etmək üçün iki tapşırıq:

1. Üç nöqtədən keçən təyyarənin tənliyini qurun:

Cavablar:

Hər şey üst-üstə düşdü? Yenə də müəyyən çətinliklər varsa, o zaman məsləhətim belədir: başınızdan üç nöqtə götürün (yüksək ehtimalla eyni düz xətt üzərində yatmayacaqlar), onların əsasında təyyarə qurun. Və sonra özünüzü onlayn yoxlayın. Məsələn, saytda:

Lakin determinantların köməyi ilə biz təkcə müstəvi tənliyini qurmayacağıq. Yadda saxlayın, mən sizə demişdim ki, vektorlar üçün təkcə nöqtə hasilatı təyin olunmur. Bir vektor məhsulu da var, həm də qarışıq məhsul. Əgər iki vektorun skalyar hasili ədəddirsə, onda iki vektorun vektor məhsulu vektor olacaq və bu vektor verilmiş olanlara perpendikulyar olacaq:

Üstəlik, onun modulu olacaq sahəsinə bərabərdir vektorlar üzərində qurulmuş paraleloqram və. Bir nöqtədən xəttə qədər olan məsafəni hesablamaq üçün bu vektora ehtiyacımız olacaq. Vektorların vektor məhsulunu necə hesablaya bilərik və əgər onların koordinatları verilmişdir? Üçüncü dərəcəli determinant yenə köməyimizə gəlir. Bununla belə, vektor məhsulunun hesablanması alqoritminə keçməzdən əvvəl kiçik bir sapma etməliyəm.

Bu sapma əsas vektorlara aiddir.

Onlar şəkildə sxematik şəkildə göstərilmişdir:

Sizcə, niyə onları əsas adlandırırlar? Məsələ ondadır ki:

Və ya şəkildə:

Bu formulun etibarlılığı göz qabağındadır, çünki:

Vektor rəsm

İndi mən çarpaz məhsulu təqdim etməyə başlaya bilərəm:

İki vektorun vektor məhsulu vektordur və aşağıdakı qaydaya əsasən hesablanır:

İndi çarpaz məhsulun hesablanmasına dair bəzi nümunələr verək:

Misal 1: Vektorların çarpaz məhsulunu tapın:

Həll yolu: Bir determinant düzəldirəm:

Və hesablayıram:

İndi əsas vektorları yazdıqdan sonra adi vektor qeydinə qayıdacağam:

Beləliklə:

İndi cəhd edin.

Hazırsan? Yoxlayırıq:

Və ənənəvi olaraq iki nəzarət üçün tapşırıqlar:

1. Aşağıdakı vektorların vektor məhsulunu tapın:
2. Aşağıdakı vektorların vektor məhsulunu tapın:

Cavablar:

Üç vektorun qarışıq məhsulu

Mənə lazım olan son tikinti üç vektorun qarışıq məhsuludur. Bu, skaler kimi, bir ədəddir. Onu hesablamağın iki yolu var. - müəyyənedici vasitəsi ilə, - qarışıq hasil vasitəsilə.

Məhz, bizə üç vektor verilsin:

Sonra üç vektorun qarışıq hasilini aşağıdakı kimi hesablamaq olar:

1. - yəni qarışıq hasil vektorun skalyar hasili ilə digər iki vektorun vektor hasilidir.

Məsələn, üç vektorun qarışıq məhsulu:

Bunu vektor məhsulundan istifadə edərək özünüz hesablamağa çalışın və nəticələrin uyğun olduğundan əmin olun!

Və yenə də müstəqil həllər üçün iki nümunə:

Cavablar:

Koordinat sisteminin seçilməsi

İndi biz mürəkkəb stereometrik həndəsə məsələlərini həll etmək üçün bütün lazımi bilik bazasına sahibik. Bununla belə, birbaşa nümunələrə və onların həlli alqoritmlərinə keçməzdən əvvəl, aşağıdakı sual üzərində dayanmağın faydalı olacağına inanıram: necə dəqiq müəyyən bir rəqəm üçün bir koordinat sistemi seçin. Axı bu seçimdir nisbi mövqe koordinasiya sistemləri və kosmosdakı formalar son nəticədə hesablamaların nə qədər çətin olacağını müəyyən edəcək.

Nəzərinizə çatdırım ki, bu bölmədə biz aşağıdakı rəqəmləri nəzərdən keçiririk:

1. Düzbucaqlı paralelepiped
2. Düz prizma (üçbucaqlı, altıbucaqlı...)
3. Piramida (üçbucaqlı, dördbucaqlı)
4. Tetraedr (üçbucaqlı piramida ilə eyni)

Düzbucaqlı paralelepiped və ya kub üçün sizə aşağıdakı konstruksiyanı tövsiyə edirəm:

Yəni rəqəmi "küncəyə" qoyacağam. Kub və paralelepiped çox böyükdür yaxşı rəqəmlər. Onlar üçün hər zaman onun təpələrinin koordinatlarını asanlıqla tapa bilərsiniz. Məsələn, əgər (şəkildə göstərildiyi kimi)

onda təpələrin koordinatları aşağıdakı kimidir:

Əlbəttə ki, bunu xatırlamaq lazım deyil, ancaq bir kub və ya düzbucaqlı paralelepipedin necə yerləşdiriləcəyini xatırlamaq məsləhətdir.

Düz prizma

Prizma daha zərərli fiqurdur. Kosmosda müxtəlif yollarla yerləşdirilə bilər. Bununla belə, aşağıdakı variant mənə ən məqbul görünür:

Üçbucaqlı prizma:

Yəni, üçbucağın tərəflərindən birini bütövlükdə oxun üzərinə qoyuruq və təpələrdən biri koordinatların başlanğıcı ilə üst-üstə düşür.

Altıbucaqlı prizma:

Yəni təpələrdən biri mənşəyi ilə üst-üstə düşür, tərəflərdən biri isə ox üzərində yerləşir.

Dördbucaqlı və altıbucaqlı piramida:

Vəziyyət kuba bənzəyir: biz bazanın iki tərəfini koordinat oxları ilə hizalayırıq və təpələrdən birini koordinatların başlanğıcı ilə düzəldirik. Yeganə kiçik çətinlik nöqtənin koordinatlarını hesablamaq olacaq.

Altıbucaqlı piramida üçün - altıbucaqlı prizma ilə eynidir. Əsas vəzifə yenidən təpənin koordinatlarını tapmaq olacaq.

Tetraedr (üçbucaqlı piramida)

Vəziyyət üçbucaqlı prizma üçün verdiyim vəziyyətə çox bənzəyir: bir təpə başlanğıcı ilə üst-üstə düşür, bir tərəfi koordinat oxunda yerləşir.

Yaxşı, indi siz və mən nəhayət problemləri həll etməyə başlamağa yaxınıq. Məqalənin əvvəlində dediyimdən belə nəticə çıxara bilərsiniz: əksər C2 problemləri 2 kateqoriyaya bölünür: bucaq məsələləri və məsafə məsələləri. Əvvəlcə bucaq tapmaq problemlərinə baxacağıq. Onlar öz növbəsində aşağıdakı kateqoriyalara bölünür (mürəkkəblik artdıqca):

Bucaqları tapmaq üçün problemlər

1. İki düz xətt arasındakı bucağın tapılması
2. İki müstəvi arasındakı bucağın tapılması

Bu məsələlərə ardıcıl olaraq baxaq: iki düz xətt arasındakı bucağı tapmaqdan başlayaq. Yaxşı, xatırlayın, siz və mən əvvəllər oxşar nümunələri həll etməmişikmi? Yadınızdadırmı, bizdə artıq oxşar bir şey var idi... Biz iki vektor arasındakı bucağı axtarırdıq. Xatırladım ki, əgər iki vektor verilirsə: və, onda onlar arasındakı bucaq əlaqədən tapılır:

İndi məqsədimiz iki düz xətt arasındakı bucağı tapmaqdır. Gəlin “düz şəkilə” baxaq:

İki düz xətt kəsişdikdə neçə bucaq əldə etdik? Sadəcə bir neçə şey. Düzdür, onlardan yalnız ikisi bərabər deyil, digərləri isə onlara şaquli (və buna görə də onlarla üst-üstə düşür). Beləliklə, iki düz xətt arasındakı bucağı hansı bucağı nəzərə almalıyıq: yoxsa? Burada qayda belədir: iki düz xətt arasındakı bucaq həmişə dərəcədən çox deyil. Yəni iki bucaqdan biz həmişə ən kiçik dərəcə ölçüsü olan bucağı seçəcəyik. Yəni bu şəkildə iki düz xətt arasındakı bucaq bərabərdir. İki bucağın ən kiçiyini tapmaqla hər dəfə narahat olmamaq üçün hiyləgər riyaziyyatçılar moduldan istifadə etməyi təklif etdilər. Beləliklə, iki düz xətt arasındakı bucaq düsturla müəyyən edilir:

Diqqətli oxucu kimi sizin sualınız olmalı idi: bucağın kosinusunu hesablamaq üçün lazım olan bu rəqəmləri haradan əldə edirik? Cavab: onları xətlərin istiqamət vektorlarından alacağıq! Beləliklə, iki düz xətt arasındakı bucağı tapmaq üçün alqoritm aşağıdakı kimidir:

1. Formula 1 tətbiq edirik.

Və ya daha ətraflı:

1. Birinci düz xəttin istiqamət vektorunun koordinatlarını axtarırıq
2. İkinci düz xəttin istiqamət vektorunun koordinatlarını axtarırıq
3. Onların skalyar hasilinin modulunu hesablayırıq
4. Birinci vektorun uzunluğunu axtarırıq
5. İkinci vektorun uzunluğunu axtarırıq
6. 4-cü bəndin nəticələrini 5-ci bəndin nəticələrinə vurun
7. 3-cü nöqtənin nəticəsini 6-cı nöqtənin nəticəsinə bölürük.Xətlər arasındakı bucağın kosinusunu alırıq.
8. Əgər bu nəticə bucağı dəqiq hesablamağa, onu axtarmağa imkan verir
9. Əks halda qövs kosinusu vasitəsilə yazırıq

Yaxşı, indi problemlərə keçmək vaxtıdır: ilk ikisinin həllini ətraflı nümayiş etdirəcəyəm, digərinin həllini qısaca təqdim edəcəyəm və son iki problemə yalnız cavabları verəcəyəm; onlar üçün bütün hesablamaları özünüz həyata keçirin.

Tapşırıqlar:

1. Sağ tet-ra-ed-redə tet-ra-ed-ranın hündürlüyü ilə orta tərəfi arasındakı bucağı tapın.

2. Sağ tərəfdən altı künclü pi-ra-mi-de, yüz os-no-va-niyas bərabərdir və yan kənarları bərabərdir, xətlər arasındakı bucağı tapın və.

3. Sağ dörd kömür pi-ra-mi-dy-nin bütün kənarlarının uzunluqları bir-birinə bərabərdir. Düz xətlər arasındakı bucağı tapın və əgər kəsikdən - verilmiş pi-ra-mi-dy iləsiniz, nöqtə onun bo-co-ikinci qabırğalarında se-re-di-dir.

4. Kubun kənarında elə bir nöqtə var ki, düz xətlər arasındakı bucağı tapın və

5. Nöqtə - kubun kənarlarında Düz xətlər arasındakı bucağı tapın və.

Təsadüfi deyil ki, tapşırıqları bu ardıcıllıqla düzmüşəm. Koordinat metodu ilə hərəkət etməyə hələ vaxtınız olmasa da, mən özüm ən "problemli" rəqəmləri təhlil edəcəyəm və sizi ən sadə kubla məşğul olmağa buraxacağam! Tədricən bütün fiqurlarla işləməyi öyrənməli olacaqsınız, mən mövzudan mövzuya tapşırıqların mürəkkəbliyini artıracağam;

Problemləri həll etməyə başlayaq:

1. Tetraedr çəkin, onu əvvəllər təklif etdiyim kimi koordinat sisteminə yerləşdirin. Tetraedr nizamlı olduğundan onun bütün üzləri (əsas daxil olmaqla) nizamlı üçbucaqlardır. Bizə tərəfin uzunluğu verilmədiyi üçün onu bərabər qəbul edə bilərəm. Düşünürəm ki, siz başa düşürsünüz ki, bucaq əslində tetraedronumuzun nə qədər “uzanmasından” asılı olmayacaq? Tetraedrdə hündürlüyü və medianı da çəkəcəyəm. Yol boyu onun əsasını çəkəcəyəm (bu da bizim üçün faydalı olacaq).

ilə arasındakı bucağı tapmalıyam. Biz nə bilirik? Biz yalnız nöqtənin koordinatını bilirik. Bu o deməkdir ki, biz nöqtələrin koordinatlarını tapmalıyıq. İndi düşünürük: nöqtə üçbucağın hündürlüklərinin (yaxud bissektrisalarının və ya medianlarının) kəsişmə nöqtəsidir. Və bir nöqtə qaldırılmış bir nöqtədir. Nöqtə seqmentin ortasıdır. Sonra nəhayət tapmalıyıq: nöqtələrin koordinatlarını: .

Ən sadə şeydən başlayaq: nöqtənin koordinatları. Şəkilə baxın: Aydındır ki, nöqtənin tətbiqi sıfıra bərabərdir (nöqtə müstəvidə yerləşir). Onun ordinatı bərabərdir (median olduğu üçün). Onun absissini tapmaq daha çətindir. Bununla belə, bu Pifaqor teoreminə əsaslanaraq asanlıqla həyata keçirilir: Üçbucağı nəzərdən keçirək. Onun hipotenuzası bərabərdir və ayaqlarından biri bərabərdir.

Nəhayət bizdə: .

İndi nöqtənin koordinatlarını tapaq. Aydındır ki, onun tətbiqi yenə sıfıra bərabərdir və ordinatı nöqtəninki ilə eynidir, yəni. Gəlin onun absissini tapaq. Bunu xatırlayırsınızsa, bu, olduqca mənasız bir şəkildə edilir bərabərtərəfli üçbucağın kəsişmə nöqtəsinə görə hündürlükləri mütənasib olaraq bölünür, yuxarıdan saymaqla. Çünki: , onda seqmentin uzunluğuna bərabər olan nöqtənin tələb olunan absisi bərabərdir: . Beləliklə, nöqtənin koordinatları:

Nöqtənin koordinatlarını tapaq. Aydındır ki, onun absisi və ordinatı nöqtənin absisi və ordinatı ilə üst-üstə düşür. Və ərizə seqmentin uzunluğuna bərabərdir. - bu üçbucağın ayaqlarından biridir. Üçbucağın hipotenuzası bir seqmentdir - bir ayaq. Qalın hərflərlə vurğuladığım səbəblərə görə axtarılır:

Nöqtə seqmentin ortasıdır. Sonra seqmentin orta nöqtəsinin koordinatları üçün düsturu xatırlamalıyıq:

Budur, indi istiqamət vektorlarının koordinatlarını axtara bilərik:

Yaxşı, hər şey hazırdır: bütün məlumatları düsturla əvəz edirik:

Beləliklə,

Cavab:

Bu cür "qorxulu" cavablardan qorxmamalısınız: C2 tapşırıqları üçün bu adi bir təcrübədir. Mən bu hissədəki “gözəl” cavaba təəccüblənmək istərdim. Həm də, qeyd etdiyiniz kimi, mən praktiki olaraq Pifaqor teoremindən və bərabərtərəfli üçbucağın hündürlük xassəsindən başqa heç nəyə müraciət etmədim. Yəni stereometrik problemi həll etmək üçün mən stereometriyanın ən minimumundan istifadə etdim. Bu qazanc kifayət qədər çətin hesablamalarla qismən “söndürülür”. Ancaq onlar olduqca alqoritmikdir!

2. Müntəzəm altıbucaqlı piramidanı koordinat sistemi ilə yanaşı, onun əsasını da təsvir edək:

və xətləri arasındakı bucağı tapmalıyıq. Beləliklə, vəzifəmiz nöqtələrin koordinatlarını tapmaqdan ibarətdir: . Kiçik bir rəsmdən istifadə edərək sonuncu üçünün koordinatlarını tapacağıq və nöqtənin koordinatı vasitəsilə təpənin koordinatını tapacağıq. Görüləsi çox iş var, amma başlamalıyıq!

a) Koordinat: onun tətbiqi və ordinatının sıfıra bərabər olduğu aydındır. Gəlin absisi tapaq. Bunu etmək üçün düz üçbucağı nəzərdən keçirin. Təəssüf ki, onda biz yalnız bərabər olan hipotenuzu bilirik. Ayağı tapmağa çalışacağıq (çünki ayağın ikiqat uzunluğunun bizə nöqtənin absisini verəcəyi aydındır). Bunu necə axtara bilərik? Piramidanın təməlində hansı fiqurun olduğunu xatırlayaq? Bu müntəzəm altıbucaqlıdır. Bu nə deməkdir? Bu o deməkdir ki, bütün tərəflər və bütün açılar bərabərdir. Belə bir açı tapmaq lazımdır. Hər hansı bir fikir? Bir çox fikir var, amma bir formula var:

Düzgün n-bucaqlının bucaqlarının cəmidir .

Beləliklə, düzgün altıbucaqlının bucaqlarının cəmi dərəcəyə bərabərdir. Onda bucaqların hər biri bərabərdir:

Şəkilə yenidən baxaq. Seqmentin bucağın bissektrisa olduğu aydındır. Sonra bucaq dərəcəyə bərabərdir. Sonra:

Sonra haradan.

Beləliklə, koordinatları var

b) İndi nöqtənin koordinatını asanlıqla tapa bilərik: .

c) Nöqtənin koordinatlarını tapın. Onun absisi seqmentin uzunluğu ilə üst-üstə düşdüyü üçün bərabərdir. Ordinatı tapmaq da çox çətin deyil: əgər nöqtələri birləşdirsək və düz xəttin kəsişmə nöqtəsini, məsələn, kimi təyin etsək. (özünüz sadə tikinti edin). Beləliklə, B nöqtəsinin ordinatı seqmentlərin uzunluqlarının cəminə bərabərdir. Yenidən üçbucağa baxaq. Sonra

Ondan sonra nöqtənin koordinatları var

d) İndi nöqtənin koordinatlarını tapaq. Düzbucaqlıya nəzər salın və sübut edin ki, beləliklə, nöqtənin koordinatları belədir:

e) Təpənin koordinatlarını tapmaq qalır. Aydındır ki, onun absisi və ordinatı nöqtənin absisi və ordinatı ilə üst-üstə düşür. Tətbiqi tapaq. O vaxtdan bəri. Düzbucaqlı üçbucağı nəzərdən keçirək. Problemin şərtlərinə görə, bir yan kənar. Bu mənim üçbucağımın hipotenuzudur. Sonra piramidanın hündürlüyü ayaqdır.

Onda nöqtənin koordinatları var:

Bax, bu qədər, məni maraqlandıran bütün nöqtələrin koordinatları var. Düz xətlərin istiqamətləndirici vektorlarının koordinatlarını axtarıram:

Bu vektorlar arasındakı bucağı axtarırıq:

Cavab:

Yenə də bu məsələnin həllində mən müntəzəm n-bucaqlının bucaqlarının cəminin düsturundan, eləcə də düzbucaqlı üçbucağın kosinusu və sinusunun tərifindən başqa heç bir mürəkkəb texnikadan istifadə etmədim.

3. Bizə yenə piramidada kənarların uzunluqları verilmədiyi üçün onları birə bərabər hesab edəcəyəm. Beləliklə, yalnız yan tərəflər deyil, BÜTÜN kənarlar bir-birinə bərabər olduğundan, piramidanın və mənim təməlində bir kvadrat var və yan üzlər müntəzəm üçbucaqlardır. Məsələnin mətnində verilən bütün məlumatları qeyd edərək, belə bir piramidanı, eləcə də onun əsasını müstəvidə çəkək:

və arasındakı bucağı axtarırıq. Mən nöqtələrin koordinatlarını axtaranda çox qısa hesablamalar aparacağam. Onları "deşifrə etmək" lazımdır:

b) - seqmentin ortası. Onun koordinatları:

c) Üçbucaqda Pifaqor teoremindən istifadə edərək seqmentin uzunluğunu tapacağam. Mən bunu üçbucaqda Pifaqor teoremindən istifadə edərək tapa bilərəm.

Koordinatlar:

d) - seqmentin ortası. Onun koordinatları belədir

e) Vektor koordinatları

f) Vektor koordinatları

g) Bucağı axtarırıq:

Kub ən sadə fiqurdur. Əminəm ki, bunu özünüz başa düşəcəksiniz. 4 və 5-ci məsələlərin cavabları aşağıdakı kimidir:

Düz xətt ilə müstəvi arasındakı bucağın tapılması

Yaxşı, sadə bulmacalar üçün vaxt bitdi! İndi nümunələr daha da mürəkkəb olacaq. Düz xətt və müstəvi arasındakı bucağı tapmaq üçün aşağıdakı kimi hərəkət edəcəyik:

1. Üç nöqtədən istifadə edərək təyyarənin tənliyini qururuq
   ,
   üçüncü dərəcəli determinantdan istifadə etməklə.
2. İki nöqtədən istifadə edərək, düz xəttin istiqamətləndirici vektorunun koordinatlarını axtarırıq:
3. Düz xətt və müstəvi arasındakı bucağı hesablamaq üçün formula tətbiq edirik:

Gördüyünüz kimi, bu düstur iki düz xətt arasındakı bucaqları tapmaq üçün istifadə etdiyimiz düstura çox bənzəyir. Sağ tərəfdəki quruluş sadəcə eynidir və solda biz indi əvvəlki kimi kosinusu yox, sinus axtarırıq. Yaxşı, bir pis hərəkət əlavə edildi - təyyarənin tənliyini axtarmaq.

Tələsməyək həll nümunələri:

1. Əsas-amma-va-ni-em birbaşa prizması-biz bərabər-kasıb-ren-üçbucaq-ləqəbi-sizin-və o prizma-biz bərabərik. Düz xətt ilə müstəvi arasındakı bucağı tapın

2. Qərbdən düzbucaqlı par-ral-le-le-pi-pe-de düz xətt ilə müstəvi arasındakı bucağı tapın.

3. Sağ altı künclü prizmada bütün kənarlar bərabərdir. Düz xətt ilə müstəvi arasındakı bucağı tapın.

4. Məlum qabırğaların os-no-va-ni-em ilə sağ üçbucaqlı pi-ra-mi-de bir künc tapın, ob-ra-zo-van - bozdan keçən əsasda və düzdür. qabırğalar və

5. Təpəsi olan düz dördbucaqlı pi-ra-mi-dy-nin bütün kənarlarının uzunluqları bir-birinə bərabərdir. Əgər nöqtə pi-ra-mi-dy-nin kənarının ortasındadırsa, düz xətt ilə müstəvi arasındakı bucağı tapın.

Yenə ilk iki məsələni təfərrüatı ilə, üçüncü problemi qısaca həll edəcəyəm və son iki problemi sizin özünüzə həll edəcəm. Bundan əlavə, siz artıq üçbucaqlı və dördbucaqlı piramidalarla məşğul olmusunuz, amma hələ prizmalarla deyil.

Həll yolları:

1. Prizmanı, eləcə də onun əsasını təsvir edək. Onu koordinat sistemi ilə birləşdirək və problem bəyanatında verilən bütün məlumatları qeyd edək:

Proporsiyalara uyğun gəlmədiyim üçün üzr istəyirəm, amma problemi həll etmək üçün bu, əslində o qədər də vacib deyil. Düzlük sadəcə " arxa divar"mənim prizmadan. Belə bir təyyarənin tənliyinin aşağıdakı formaya sahib olduğunu təxmin etmək kifayətdir:

Ancaq bu birbaşa göstərilə bilər:

Bu müstəvidə ixtiyari üç nöqtəni seçək: məsələn, .

Təyyarənin tənliyini yaradaq:

Sizin üçün məşq edin: bu determinantı özünüz hesablayın. Uğur qazandınız? Sonra təyyarənin tənliyi belə görünür:

Və ya sadəcə

Beləliklə,

Məsələni həll etmək üçün düz xəttin istiqamət vektorunun koordinatlarını tapmalıyam. Nöqtə koordinatların başlanğıcı ilə üst-üstə düşdüyü üçün vektorun koordinatları sadəcə olaraq nöqtənin koordinatları ilə üst-üstə düşəcək.

Bunu etmək üçün üçbucağı nəzərdən keçirin. Təpə nöqtəsindən hündürlüyü (orta və bissektrisa kimi də tanınır) çəkək. Çünki nöqtənin ordinatı bərabərdir. Bu nöqtənin absisini tapmaq üçün seqmentin uzunluğunu hesablamalıyıq. Pifaqor teoreminə görə bizdə:

Onda nöqtənin koordinatları var:

Nöqtə "qaldırılmış" nöqtədir:

Sonra vektor koordinatları:

Cavab:

Gördüyünüz kimi, bu cür problemləri həll edərkən əsaslı çətin bir şey yoxdur. Əslində, proses prizma kimi bir fiqurun "düzlüyü" ilə bir az daha sadələşdirilir. İndi isə növbəti nümunəyə keçək:

2. Paralelepiped çəkin, içərisində müstəvi və düz xətt çəkin, həmçinin onun alt əsasını ayrıca çəkin:

Əvvəlcə təyyarənin tənliyini tapırıq: İçində yerləşən üç nöqtənin koordinatları:

(ilk iki koordinat aşkar şəkildə alınır və siz nöqtədən şəkildən son koordinatı asanlıqla tapa bilərsiniz). Sonra təyyarənin tənliyini tərtib edirik:

Hesablayırıq:

Biz istiqamətləndirici vektorun koordinatlarını axtarırıq: Aydındır ki, onun koordinatları nöqtənin koordinatları ilə üst-üstə düşür, elə deyilmi? Koordinatları necə tapmaq olar? Bunlar tətbiq oxu boyunca bir qaldırılmış nöqtənin koordinatlarıdır! . Sonra istədiyiniz bucağı axtarırıq:

Cavab:

3. Müntəzəm altıbucaqlı piramida çəkin, sonra bir müstəvi və düz xətt çəkin.

Burada təyyarə çəkmək hətta problemlidir, bu problemi həll etməyi demirəm, amma koordinat metodunun əhəmiyyəti yoxdur! Onun çox yönlü olması onun əsas üstünlüyüdür!

Təyyarə üç nöqtədən keçir: . Biz onların koordinatlarını axtarırıq:

1) . Son iki nöqtənin koordinatlarını özünüz tapın. Bunun üçün altıbucaqlı piramida problemini həll etməli olacaqsınız!

2) Təyyarənin tənliyini qururuq:

Biz vektorun koordinatlarını axtarırıq: . (Yenidən üçbucaqlı piramida probleminə baxın!)

3) Bucaq axtarırıq:

Cavab:

Gördüyünüz kimi, bu vəzifələrdə fövqəltəbii çətin bir şey yoxdur. Yalnız köklərə çox diqqətli olmaq lazımdır. Mən yalnız son iki problemə cavab verəcəyəm:

Gördüyünüz kimi, məsələlərin həlli texnikası hər yerdə eynidir: əsas vəzifə təpələrin koordinatlarını tapmaq və onları müəyyən düsturlarla əvəz etməkdir. Bucaqların hesablanması üçün hələ bir sinif problemləri nəzərdən keçirməliyik, yəni:

İki müstəvi arasındakı bucaqların hesablanması

Həll alqoritmi aşağıdakı kimi olacaq:

1. Üç nöqtədən istifadə edərək birinci müstəvinin tənliyini axtarırıq:
2. Digər üç nöqtədən istifadə edərək ikinci müstəvinin tənliyini axtarırıq:
3. Formulu tətbiq edirik:

Gördüyünüz kimi, düstur əvvəlki ikisinə çox bənzəyir, onun köməyi ilə düz xətlər arasında və düz xətt ilə müstəvi arasında bucaqlar axtardıq. Buna görə də bunu xatırlamaq sizin üçün çətin olmayacaq. Tapşırıqların təhlilinə keçək:

1. Sağ üçbucaqlı prizmanın əsasının tərəfi bərabər, yan üzünün diaqonalı isə bərabərdir. Prizmanın oxunun müstəvisi ilə müstəvisi arasındakı bucağı tapın.

2. Bütün kənarları bərabər olan sağ dördbucaqlı pi-ra-mi-dedə per-pen-di-ku- nöqtəsindən keçən müstəvi ilə müstəvi arasındakı bucağın sinusunu tapın. lyar-amma düz.

3. Müntəzəm dördbucaqlı prizmada əsasın tərəfləri bərabər, yan kənarları isə bərabərdir. Kənarında bir nöqtə var ki,-me-che-on. və müstəviləri arasındakı bucağı tapın

4. Düzbucaqlı dördbucaqlı prizmada təməlin tərəfləri bərabər, yan kənarları isə bərabərdir. Nöqtədən kənarda bir nöqtə var ki, təyyarələr arasındakı bucağı tapın və.

5. Kubda və müstəviləri arasındakı bucağın ko-si-nusunu tapın

Problem həlləri:

1. Mən müntəzəm (əsasda bərabərtərəfli üçbucaq) üçbucaqlı prizma çəkirəm və onun üzərində məsələnin ifadəsində görünən müstəviləri qeyd edirəm:

Biz iki müstəvi tənliklərini tapmalıyıq: Baza tənliyi mənasızdır: üç nöqtədən istifadə edərək müvafiq determinantı tərtib edə bilərsiniz, amma mən tənliyi dərhal tərtib edəcəyəm:

İndi gəlin tənliyi tapaq Nöqtənin koordinatları var Nöqtə - Üçbucağın medianı və hündürlüyü olduğundan onu üçbucaqda Pifaqor teoremindən istifadə etməklə asanlıqla tapmaq olar. Onda nöqtənin koordinatları var: Gəlin nöqtənin tətbiqini tapaq

Onda aşağıdakı koordinatları alırıq: Müstəvi tənliyini tərtib edirik.

Təyyarələr arasındakı bucağı hesablayırıq:

Cavab:

2. Rəsm çəkmək:

Ən çətini nöqtədən perpendikulyar keçən bu sirli təyyarənin nə olduğunu başa düşməkdir. Yaxşı, əsas odur ki, bu nədir? Əsas odur ki, diqqət! Əslində, xətt perpendikulyardır. Düz xətt də perpendikulyardır. Sonra bu iki xəttdən keçən müstəvi xəttə perpendikulyar olacaq və yeri gəlmişkən, nöqtədən keçəcəkdir. Bu müstəvi də piramidanın yuxarı hissəsindən keçir. Sonra istədiyiniz təyyarə - Və təyyarə artıq bizə verildi. Biz nöqtələrin koordinatlarını axtarırıq.

Nöqtədən keçən nöqtənin koordinatını tapırıq. Kiçik şəkildən belə nəticə çıxarmaq olar ki, nöqtənin koordinatları belə olacaq: Piramidanın yuxarı hissəsinin koordinatlarını tapmaq üçün indi nə tapmaq lazımdır? Onun hündürlüyünü də hesablamaq lazımdır. Bu, eyni Pifaqor teoremindən istifadə etməklə edilir: əvvəlcə bunu sübut edin (xırda-xırda əsasda kvadrat meydana gətirən kiçik üçbucaqlardan). Şərtə görə bizdə:

İndi hər şey hazırdır: təpə koordinatları:

Təyyarənin tənliyini tərtib edirik:

Siz artıq determinantların hesablanması üzrə mütəxəssissiniz. Çətinlik olmadan alacaqsınız:

Və ya əks halda (hər iki tərəfi ikinin kökünə vursaq)

İndi təyyarənin tənliyini tapaq:

(Təyyarənin tənliyini necə əldə etdiyimizi unutmamısınız, elə deyilmi? Əgər bu mənfi tənliyin haradan gəldiyini başa düşmürsənsə, təyyarə tənliyinin tərifinə qayıdın! Sadəcə həmişə ondan əvvəl belə çıxırdı. mənim təyyarəm mənşəyə aiddi!)

Determinantı hesablayırıq:

(Müştəri tənliyinin nöqtələrdən keçən xəttin tənliyi ilə üst-üstə düşdüyünü görə bilərsiniz və bunun səbəbini düşünün!)

İndi bucağı hesablayaq:

Sinusunu tapmalıyıq:

Cavab:

3. Çətin sual: sizcə düzbucaqlı prizma nədir? Bu sadəcə sizin yaxşı bildiyiniz paralelepipeddir! Gəlin dərhal bir rəsm çəkək! Siz hətta bazanı ayrıca təsvir etmək məcburiyyətində deyilsiniz;

Təyyarə, daha əvvəl qeyd etdiyimiz kimi, tənlik şəklində yazılmışdır:

İndi bir təyyarə yaradaq

Dərhal təyyarənin tənliyini yaradırıq:

Bucaq axtarır:

İndi son iki problemin cavabları:

Yaxşı, indi bir az fasilə verməyin vaxtıdır, çünki siz və mən əlaıq və əla iş görmüşük!

Koordinatlar və vektorlar. Qabaqcıl səviyyə

Bu yazıda biz sizinlə koordinat metodundan istifadə etməklə həll edilə bilən başqa bir problem sinfini müzakirə edəcəyik: məsafənin hesablanması məsələləri. Daha doğrusu, nəzərdən keçirəcəyik aşağıdakı hallar:

1. Kəsişən xətlər arasındakı məsafənin hesablanması.

Mən artan çətinliyə görə bu tapşırıqları sifariş etdim. Tapmağın ən asan olduğu ortaya çıxdı nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafə, və ən çətini tapmaqdır kəsişən xətlər arasındakı məsafə. Baxmayaraq ki, əlbəttə ki, heç bir şey mümkün deyil! Gəlin süründürməyək və dərhal problemlərin birinci sinfini nəzərdən keçirməyə davam edək:

Bir nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafənin hesablanması

Bu problemi həll etmək üçün bizə nə lazımdır?

1. Nöqtə koordinatları

Beləliklə, bütün lazımi məlumatları alan kimi düsturu tətbiq edirik:

Son hissədə müzakirə etdiyim əvvəlki məsələlərdən müstəvi tənliyini necə qurduğumuzu artıq bilməlisiniz. Gəlin birbaşa tapşırıqlara keçək. Sxem aşağıdakı kimidir: 1, 2 - mən sizə qərar verməyə kömək edirəm və bəzi təfərrüatlarda 3, 4 - yalnız cavab, həlli özünüz həyata keçirirsiniz və müqayisə edirsiniz. Başlayaq!

Tapşırıqlar:

1. Bir kub verilir. Kubun kənarının uzunluğu bərabərdir. Se-re-di-nadan kəsikdən müstəviyə qədər olan məsafəni tapın

2. Sağ dörd-kömür pi-ra-mi-yes nəzərə alınmaqla, tərəfin tərəfi baza bərabərdir. Nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafəni tapın - kənarlarda se-re-di-on.

3. Os-no-va-ni-em ilə sağ üçbucaqlı pi-ra-mi-de, yan kənar bərabərdir və os-no-vaniyadakı yüz-ro-on bərabərdir. Yuxarıdan təyyarəyə qədər olan məsafəni tapın.

4. Sağ altıbucaqlı prizmada bütün kənarlar bərabərdir. Bir nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafəni tapın.

Həll yolları:

1. Tək kənarları olan bir kub çəkin, seqment və müstəvi qurun, seqmentin ortasını hərflə işarələyin

.

Əvvəlcə asan olandan başlayaq: nöqtənin koordinatlarını tapın. O vaxtdan bəri (seqmentin ortasının koordinatlarını xatırlayın!)

İndi üç nöqtədən istifadə edərək təyyarənin tənliyini tərtib edirik

\[\sol| (\begin(massiv)(*(20)(c))x&0&1\\y&1&0\\z&1&1\end(massiv)) \sağ| = 0\]

İndi məsafəni tapmağa başlaya bilərəm:

2. Bütün məlumatları qeyd etdiyimiz bir rəsmlə yenidən başlayırıq!

Bir piramida üçün onun əsasını ayrıca çəkmək faydalı olardı.

Pəncəsi ilə toyuq kimi çəkməyim belə bu problemi asanlıqla həll etməyə mane olmayacaq!

İndi bir nöqtənin koordinatlarını tapmaq asandır

Nöqtənin koordinatlarından bəri, o zaman

2. a nöqtəsinin koordinatları seqmentin ortası olduğundan, onda

Heç bir problem olmadan müstəvidə daha iki nöqtənin koordinatlarını tapa bilərik.

\[\sol| (\left| (\begin(massiv)(*(20)(c))x&1&(\frac(3)(2))\\y&0&(\frac(3)(2))\\z&0&(\frac( (\sqrt 3 ))(2))\end(massiv)) \right|) \right| = 0\]

Nöqtənin koordinatları olduğundan: , məsafəni hesablayırıq:

Cavab (çox nadirdir!):

Yaxşı, başa düşdün? Mənə elə gəlir ki, burada hər şey əvvəlki hissədə baxdığımız nümunələrdə olduğu kimi texnikidir. Ona görə də əminəm ki, əgər siz həmin materialı mənimsəmisinizsə, onda qalan iki problemi həll etmək sizin üçün çətin olmayacaq. Mən sizə sadəcə cavab verəcəyəm:

Düz xəttdən müstəviyə qədər olan məsafənin hesablanması

Əslində burada yeni heç nə yoxdur. Düz xətt və təyyarə bir-birinə nisbətən necə yerləşdirilə bilər? Onların yalnız bir imkanı var: kəsişmək və ya düz xətt müstəviyə paraleldir. Sizcə düz xəttdən bu düz xəttin kəsişdiyi müstəviyə qədər olan məsafə nə qədərdir? Mənə elə gəlir ki, burada belə bir məsafənin sıfıra bərabər olduğu aydındır. Maraqsız hal.

İkinci hal daha mürəkkəbdir: burada məsafə artıq sıfırdan fərqlidir. Bununla belə, xətt müstəviyə paralel olduğundan, xəttin hər bir nöqtəsi bu müstəvidən bərabər məsafədədir:

Beləliklə:

Bu o deməkdir ki, mənim tapşırığım əvvəlkinə endirilib: biz düz xəttin istənilən nöqtəsinin koordinatlarını axtarırıq, müstəvi tənliyini axtarırıq və nöqtədən müstəviyə qədər olan məsafəni hesablayırıq. Əslində, Vahid Dövlət İmtahanında belə tapşırıqlar olduqca nadirdir. Mən yalnız bir problem tapmağı bacardım və içindəki məlumatlar elə idi ki, koordinat metodu ona çox uyğun deyildi!

İndi başqa, daha vacib problemlər sinfinə keçək:

Bir nöqtənin xəttə olan məsafəsinin hesablanması

Bizə nə lazımdır?

1. Məsafəni axtardığımız nöqtənin koordinatları:

2. Xətt üzərində yerləşən istənilən nöqtənin koordinatları

3. Düz xəttin istiqamətləndirici vektorunun koordinatları

Hansı düsturdan istifadə edirik?

Bu kəsrin məxrəcinin nə demək olduğu sizə aydın olmalıdır: bu düz xəttin istiqamətləndirici vektorunun uzunluğudur. Bu, çox çətin bir rəqəmdir! İfadə vektorların vektor məhsulunun modulu (uzunluğu) deməkdir və vektor məhsulunun necə hesablanması işin əvvəlki hissəsində öyrəndik. Biliyinizi təzələyin, indi buna çox ehtiyacımız olacaq!

Beləliklə, problemlərin həlli alqoritmi aşağıdakı kimi olacaqdır:

1. Məsafəni axtardığımız nöqtənin koordinatlarını axtarırıq:

2. Məsafəni axtardığımız xəttdə istənilən nöqtənin koordinatlarını axtarırıq:

3. Vektor qurun

4. Düz xəttin istiqamətləndirici vektorunu qurun

5. Vektor hasilini hesablayın

6. Nəticə vektorun uzunluğunu axtarırıq:

7. Məsafəni hesablayın:

Görməli çox işimiz var və nümunələr olduqca mürəkkəb olacaq! Beləliklə, indi bütün diqqətinizi cəmləyin!

1. Üstü olan düz üçbucaqlı pi-ra-mi-da verilmişdir. Pi-ra-mi-dy əsasında yüz-ro- bərabərdir, siz bərabərsiniz. Boz kənardan düz xəttə qədər olan məsafəni tapın, burada nöqtələr və boz kənarlar və baytarlıqdan.

2. Kənarların uzunluqları və düzbucaqlı-no-go par-ral-le-le-pi-pe-da müvafiq olaraq bərabərdir və yuxarıdan düz xəttə qədər olan məsafəni tapın.

3. Düz altıbucaqlı prizmada bütün kənarlar bərabərdir, nöqtədən düz xəttə qədər olan məsafəni tapın.

Həll yolları:

1. Bütün məlumatları qeyd etdiyimiz səliqəli bir rəsm çəkirik:

Görməli çox işimiz var! Əvvəlcə nəyi və hansı ardıcıllıqla axtaracağımızı sözlə təsvir etmək istərdim:

1. Nöqtələrin koordinatları və

2. Nöqtə koordinatları

3. Nöqtələrin koordinatları və

4. Vektorların koordinatları və

5. Onların çarpaz məhsulu

6. Vektor uzunluğu

7. Vektor məhsulunun uzunluğu

8. Məsafə

Yaxşı, qarşıda bizi çox iş gözləyir! Gəlin qollarımızı çırmalayaq!

1. Piramidanın hündürlüyünün koordinatlarını tapmaq üçün onun tətbiqi sıfır, ordinatı isə seqmentin uzunluğuna bərabər olduğu üçün onun koordinatlarını bilməliyik bərabərtərəfli üçbucaq, təpədən, buradan saymaqla nisbətə bölünür. Nəhayət, koordinatları əldə etdik:

Nöqtə koordinatları

2. - seqmentin ortası

3. - seqmentin ortası

Seqmentin orta nöqtəsi

4. Koordinatlar

Vektor koordinatları

5. Vektor məhsulunu hesablayın:

6. Vektor uzunluğu: əvəz etməyin ən asan yolu seqmentin üçbucağın orta xətti olmasıdır, yəni əsasın yarısına bərabərdir. Beləliklə.

7. Vektor məhsulunun uzunluğunu hesablayın:

8. Nəhayət, məsafəni tapırıq:

Uh, budur! Mən sizə səmimi deyirəm: bu problemin həlli budur ənənəvi üsullar(tikinti yolu ilə), daha sürətli olardı. Ancaq burada hər şeyi hazır bir alqoritmə endirdim! Məncə, həll alqoritmi sizə aydındır? Ona görə də qalan iki problemi özünüz həll etməyinizi xahiş edəcəm. Gəlin cavabları müqayisə edək?

Yenə də təkrar edirəm: bu problemləri koordinat metoduna müraciət etməkdənsə, konstruksiyalar vasitəsilə həll etmək daha asandır (daha sürətli). Mən bu həll üsulunu yalnız sizə "heç bir şey qurmağı bitirməməyə" imkan verən universal bir üsul göstərmək üçün nümayiş etdirdim.

Nəhayət, problemlərin sonuncu sinfini nəzərdən keçirin:

Kəsişən xətlər arasındakı məsafənin hesablanması

Burada problemlərin həlli alqoritmi əvvəlkinə bənzəyəcəkdir. Bizdə nə var:

3. Birinci və ikinci xəttin nöqtələrini birləşdirən istənilən vektor:

Xətlər arasındakı məsafəni necə tapırıq?

Formula aşağıdakı kimidir:

Hesablayıcı qarışıq məhsulun moduludur (biz onu əvvəlki hissədə təqdim etdik), məxrəc isə əvvəlki düsturda olduğu kimi (düz xətlərin istiqamət vektorlarının vektor məhsulunun modulu, aralarındakı məsafədir. axtarırlar).

Bunu sizə xatırladacağam

Sonra məsafə üçün düstur kimi yenidən yazmaq olar:

Bu, müəyyənediciyə bölünmüş bir determinantdır! Baxmayaraq ki, düzünü desəm, burada zarafat etməyə vaxtım yoxdur! Bu formula, əslində çox çətin və kifayət qədər mürəkkəb hesablamalara gətirib çıxarır. Mən sənin yerində olsaydım, son çarə olaraq buna müraciət edərdim!

Yuxarıdakı üsuldan istifadə edərək bir neçə problemi həll etməyə çalışaq:

1. Bütün kənarları bərabər olan düz üçbucaqlı prizmada və düz xətləri arasındakı məsafəni tapın.

2. Düzgün üçbucaqlı prizma nəzərə alınmaqla, əsasın bütün kənarları gövdə qabırğasından keçən hissəyə bərabərdir və se-re-di-quyu qabırğaları kvadratdır. və düz xətləri arasındakı məsafəni tapın

Mən birinciyə qərar verirəm, ona əsaslanaraq, siz ikinciyə qərar verin!

1. Prizma çəkirəm və düz xətləri qeyd edirəm və

C nöqtəsinin koordinatları: onda

Nöqtə koordinatları

Vektor koordinatları

Nöqtə koordinatları

Vektor koordinatları

Vektor koordinatları

\[\left((B,\overrightarrow (A(A_1)) \overrightarrow (B(C_1)) ) \sağ) = \sol| (\begin(massiv)(*(20)(l))(\begin(massiv)(*(20)(c))0&1&0\end(massiv))\\(\begin(massiv)(*(20) (c))0&0&1\end(massiv))\\(\begin(massiv)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \frac(1) (2))&1\end(massiv))\end(massiv)) \sağ| = \frac((\sqrt 3 ))(2)\]

vektorlar arasında vektor məhsulunu hesablayırıq

\[\overrightarrow (A(A_1)) \cdot \overrightarrow (B(C_1)) = \sol| \begin(massiv)(l)\begin(massiv)(*(20)(c))(\overrightarrow i )&(\overrightarrow j )&(\overrightarrow k )\end(massiv)\\\begin(massiv) )(*(20)(c))0&0&1\end(massiv)\\\begin(massiv)(*(20)(c))(\frac((\sqrt 3 ))(2))&( - \ frac(1)(2))&1\end(massiv)\end(massiv) \sağ| - \frac((\sqrt 3 ))(2)\overrightarrow k + \frac(1)(2)\overrightarrow i \]

İndi onun uzunluğunu hesablayırıq:

Cavab:

İndi ikinci tapşırığı diqqətlə yerinə yetirməyə çalışın. Bunun cavabı belə olacaq: .

Koordinatlar və vektorlar. Qısa təsvir və əsas düsturlar

Bir vektor istiqamətlənmiş seqmentdir. - vektorun başlanğıcı, - vektorun sonu.
Vektor və ya ilə işarələnir.

Mütləq dəyər vektor - vektoru təmsil edən seqmentin uzunluğu. kimi qeyd olunur.

Vektor koordinatları:

,
vektorun ucları haradadır \displaystyle a .

Vektorların cəmi: .

Vektorların məhsulu:

Vektorların nöqtə məhsulu:

Vektorların skalyar hasili onların hasilinə bərabərdir mütləq dəyərlər aralarındakı bucağın kosinusu ilə:

Yaxşı, mövzu bitdi. Əgər bu sətirləri oxuyursansa, deməli, çox gözəlsən.

Çünki insanların yalnız 5%-i nəyisə təkbaşına mənimsəməyi bacarır. Və sona qədər oxusanız, deməli bu 5%-dəsiniz!

İndi ən vacib şey.

Bu mövzuda nəzəriyyəni başa düşdünüz. Və təkrar edirəm, bu... bu sadəcə superdir! Siz artıq yaşıdlarınızın böyük əksəriyyətindən daha yaxşısınız.

Problem ondadır ki, bu kifayət deyil...

Nə üçün?

Vahid Dövlət İmtahanından müvəffəqiyyətlə keçmək, büdcə ilə kollecə daxil olmaq və ən əsası ömürlük.

Sizi heç nəyə inandırmayacağam, sadəcə bir şey deyəcəm...

Qəbul edən insanlar yaxşı təhsil, almayanlardan daha çox qazanın. Bu statistikadır.

Ancaq bu, əsas məsələ deyil.

Əsas odur ki, onlar DAHA XOŞBƏXTDİR (belə araşdırmalar var). Bəlkə ona görə ki, onların qarşısında daha çox imkanlar açılır və həyat daha parlaq olur? Bilmirəm...

Amma özünüz düşünün...

Vahid Dövlət İmtahanında başqalarından üstün olmaq və nəticədə... daha xoşbəxt olmaq üçün nə lazımdır?

BU MÖVZUDA MƏSƏLƏLƏRİ HƏLL EDƏK ƏLİNİZİ QAZANIN.

İmtahan zamanı sizdən nəzəriyyə tələb olunmayacaq.

Sizə lazım olacaq zamana qarşı problemləri həll edin.

Əgər onları həll etməmisinizsə (ÇOX!), Hardasa mütləq axmaq səhv edəcəksiniz və ya sadəcə vaxtınız olmayacaq.

İdmanda olduğu kimi - əminliklə qalib gəlmək üçün bunu dəfələrlə təkrarlamaq lazımdır.

Kolleksiyanı istədiyiniz yerdə tapın, mütləq həlləri ilə ətraflı təhlil və qərar verin, qərar verin, qərar verin!

Tapşırıqlarımızdan istifadə edə bilərsiniz (isteğe bağlı) və biz, əlbəttə ki, onları tövsiyə edirik.

Tapşırıqlarımızdan daha yaxşı istifadə etmək üçün siz hazırda oxuduğunuz YouClever dərsliyinin ömrünü uzatmağa kömək etməlisiniz.

Necə? İki seçim var:

1. Bu məqalədəki bütün gizli tapşırıqları açın - 299 rub.
2. Dərsliyin bütün 99 məqaləsindəki bütün gizli tapşırıqlara girişi açın - 499 rub.

Bəli, dərsliyimizdə 99 belə məqalə var və bütün tapşırıqlara və onlarda gizlənmiş bütün mətnlərə giriş dərhal açıla bilər.

Bütün gizli tapşırıqlara giriş saytın BÜTÜN ömrü üçün təmin edilir.

Və yekunda...

Tapşırıqlarımızı bəyənmirsinizsə, başqalarını tapın. Yalnız nəzəriyyədə dayanmayın.

“Anladım” və “Mən həll edə bilərəm” tamam fərqli bacarıqlardır. Hər ikisinə ehtiyacınız var.

Problemləri tapın və həll edin!

Vektorlar qrafik olaraq istiqamətlənmiş seqmentlərlə təmsil oluna bilər. Uzunluq göstərmək üçün xüsusi miqyasda seçilir vektor böyüklüyü , və seqmentin istiqamətini təmsil edir vektor istiqaməti . Məsələn, 1 sm-in 5 km/saat sürəti təmsil etdiyini fərz etsək, 15 km/saat sürəti olan şimal-şərq küləyi şəkildə göstərildiyi kimi uzunluğu 3 sm olan istiqamət seqmenti ilə təmsil olunacaq.

Vektor təyyarədə o, istiqamətlənmiş seqmentdir. İki vektor bərabərdir əgər onlar da eynidirsə ölçüsü Və istiqamət.

A nöqtəsindən B nöqtəsinə çəkilmiş vektoru nəzərdən keçirək. Nöqtə deyilir başlanğıc nöqtəsi vektor və B nöqtəsi deyilir son nöqtə. Bu vektorun simvolik qeydi (“AB vektoru” kimi oxunur). Vektorlar həmçinin U, V və W kimi qalın hərflərlə təmsil olunur. Soldakı şəkildəki dörd vektor eyni uzunluğa və istiqamətə malikdir. Buna görə də təmsil edirlər bərabərdir küləklər; yəni,

Vektorlar kontekstində onların bərabər olduğunu göstərmək üçün = istifadə edirik.

Uzunluq və ya böyüklük|| kimi ifadə edilir. Vektorların bərabər olub olmadığını müəyyən etmək üçün onların böyüklüklərini və istiqamətlərini tapırıq.

Misal 1 u, , w vektorları aşağıdakı şəkildə göstərilmişdir. Sübut edin ki, u = = w.

HəllƏvvəlcə məsafə düsturundan istifadə edərək hər bir vektorun uzunluğunu tapırıq:
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2 = √9 + 1 = √10 ,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
Buradan
|u| = | = |w|.
Şəkildən göründüyü kimi u, , və w vektorları eyni istiqamətə malikdir, lakin biz onların mailliyini yoxlayacağıq. Əgər onların yerləşdiyi xətlər eyni yamaclara malikdirsə, vektorlar da eyni istiqamətə malikdirlər. Yamacları hesablayırıq:
u, , və w bərabər böyüklüklərə və eyni istiqamətə malik olduğundan,
u = = w.

Unutmayın ki, bərabər vektorlar eyni yeri deyil, yalnız eyni böyüklük və eyni istiqamət tələb edir. Ən yuxarı rəqəm vektor bərabərliyi nümunəsini göstərir.

Tutaq ki, insan 4 addım şərqə, sonra isə 3 addım şimala gedir. Bundan sonra şəxs solda göstərilən istiqamətdə başlanğıc nöqtəsindən 5 addım olacaq. Sağa istiqaməti olan 4 vahid uzunluğunda vektor 4 addım şərqə, 3 vahid uzunluğunda vektor isə yuxarı istiqamət 3 addım şimalı təmsil edir. məbləğ bu iki vektordan 5 pillə böyüklüyündə və göstərilən istiqamətdə vektoru var. Məbləğ də deyilir nəticəsində iki vektor.

Ümumiyyətlə, sıfırdan fərqli iki u və v vektoru həndəsi şəkildə v vektorunun başlanğıc nöqtəsini u vektorunun son nöqtəsinə yerləşdirməklə və sonra u vektoru ilə eyni başlanğıc nöqtəsinə və eyni sonluğa malik vektoru tapmaqla əlavə edilə bilər. aşağıdakı şəkildə göstərildiyi kimi v vektoru kimi qeyd edin.

Cəm u vektorunun A nöqtəsindən v vektorunun son C nöqtəsinə qədər istiqamətlənmiş seqmentlə təmsil olunan vektordur. Beləliklə, əgər u = və v = olarsa, onda
u + v = + =

Vektor əlavəsini vektorların başlanğıc nöqtələrini bir yerdə yerləşdirmək, paraleloqram qurmaq və paraleloqramın diaqonalını tapmaq kimi də təsvir edə bilərik. (aşağıdakı şəkildə.) Bu əlavə bəzən adlanır paraleloqram qaydası vektorların əlavə edilməsi. Vektor əlavəsi kommutativdir. Şəkildə göstərildiyi kimi, u + v və v + u vektorlarının hər ikisi eyni istiqamətli xətt seqmenti ilə təmsil olunur.

Əgər iki qüvvə F 1 və F 2 bir cismə təsir edirsə, nəticəsində qüvvə bu iki ayrı qüvvənin F 1 + F 2 cəmidir.

Misal Bir-birinə perpendikulyar olan bir cismə 15 nyuton və 25 nyutonluq iki qüvvə təsir edir. Onların cəmini və ya yaranan qüvvəni və daha böyük qüvvə ilə etdiyi bucağı tapın.

Həll Nəticəni təmsil etmək üçün v və ya istifadə edərək məsələnin şərtini, bu halda düzbucaqlı çəkək. Onun dəyərini tapmaq üçün Pifaqor teoremindən istifadə edirik:
|v| 2 = 15 2 + 25 2 Burada |v| v-nin uzunluğunu və ya böyüklüyünü bildirir.
|v| = √15 2 + 25 2
|v| ≈ 29.2.
İstiqaməti tapmaq üçün qeyd edin ki, OAB düz bucaq olduğundan,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Kalkulyatordan istifadə edərək, daha böyük qüvvənin xalis qüvvə ilə yaratdığı bucağı tapırıq:
θ = tan - 1 (0,6) ≈ 31°
Nəticənin böyüklüyü 29,2 və daha böyük qüvvə ilə 31 ° bucağa malikdir.

Əgər əks külək olarsa, pilotlar uçuş istiqamətlərini tənzimləyə bilərlər. Bir təyyarənin küləyi və sürəti küləklər kimi təqdim edilə bilər.

Misal 3. Təyyarənin sürəti və istiqaməti. Təyyarə 100° azimut boyu 190 km/saat sürətlə hərəkət edir, küləyin sürəti 48 km/saat, azimutu isə 220°-dir. Küləyi nəzərə alaraq təyyarənin mütləq sürətini və onun hərəkət istiqamətini tapın.

HəllƏvvəlcə bir rəsm çəkək. Külək təmsil olunur və təyyarənin sürət vektoru . Nəticədə yaranan sürət vektoru v, iki vektorun cəmidir. v ilə arasında olan θ bucağı adlanır sürüşmə bucağı .


Qeyd edək ki, COA dəyəri = 100° - 40° = 60°. Onda CBA-nın qiyməti də 60°-yə bərabərdir (paraleloqramın əks bucaqları bərabərdir). Paraleloqramın bütün bucaqlarının cəmi 360° olduğundan və COB və OAB eyni böyüklükdə olduğundan, hər biri 120° olmalıdır. By kosinus qaydası OAB-də bizdə var
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47,524
|v| = 218
Sonra, |v| 218 km/saata bərabərdir. görə sinusların qaydası , eyni üçbucaqda,
48 /sinθ = 218 /günah 120°,
və ya
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0.1907
θ ≈ 11°
Sonra, θ = 11°, ən yaxın tam bucağa. Mütləq sürət 218 km/saat, külək nəzərə alınmaqla onun hərəkət istiqaməti: 100° - 11° və ya 89°-dir.

w vektorunu nəzərə alsaq, cəmi w olan digər iki u və v vektoru tapa bilərik. u və v vektorları adlanır komponentlər w və onların tapılması prosesi adlanır parçalanma , ya da vektorun vektor komponentləri ilə təmsil olunması.

Bir vektoru genişləndirəndə adətən perpendikulyar komponentləri axtarırıq. Çox vaxt, lakin bir komponent x oxuna paralel, digəri isə y oxuna paralel olacaqdır. Buna görə də onları tez-tez çağırırlar üfüqi Və şaquli vektor komponentləri. Aşağıdakı şəkildə w = vektoru u = və v = cəmi kimi parçalanır.

w-nin üfüqi komponenti u, şaquli komponenti isə v-dir.

Misal 4 w vektorunun böyüklüyü 130 və üfüqi ilə müqayisədə 40° yamacı var. Vektoru üfüqi və şaquli komponentlərə ayırın.

HəllƏvvəlcə cəmisi w olan u və v üfüqi və şaquli vektorları olan bir şəkil çəkəcəyik.

ABC-dən biz |u| tapırıq və |v|, kosinus və sinus təriflərindən istifadə edərək:
cos40° = |u|/130, və ya |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130 və ya |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Sonra, w-nin üfüqi komponenti sağa 100, w-nin şaquli komponenti isə 84-ə bərabərdir.

Kosmosun əsası kosmosdakı bütün digər vektorların bazaya daxil edilmiş vektorların xətti kombinasiyası kimi təqdim oluna bildiyi vektorlar sistemidir.
Praktikada bunların hamısı olduqca sadə şəkildə həyata keçirilir. Əsas, bir qayda olaraq, müstəvidə və ya fəzada yoxlanılır və bunun üçün vektor koordinatlarından ibarət ikinci, üçüncü dərəcəli matrisin determinantını tapmaq lazımdır. Aşağıda sxematik şəkildə yazılmışdır vektorların əsas təşkil etdiyi şərtlər

Kimə b vektorunu əsas vektorlara genişləndirin
e,e...,e[n] vektorlarının xətti kombinasiyası e,e...,e[n]-ə bərabər olan x, ..., x[n] əmsallarını tapmaq lazımdır. vektor b:
x1*e+ ... + x[n]*e[n] = b.
Bunun üçün vektor tənliyi xətti tənliklər sisteminə çevrilməli və həllər tapılmalıdır. Bunu həyata keçirmək də olduqca sadədir.
Tapılmış x, ..., x[n] əmsalları adlanır əsasda b vektorunun koordinatları e,e...,e[n].
Mövzunun praktiki tərəfinə keçək.

Vektorun bazis vektorlara parçalanması

Tapşırıq 1. a1, a2 vektorlarının müstəvidə əsas təşkil edib-etmədiyini yoxlayın

1) a1 (3; 5), a2 (4; 2)
Həlli: Vektorların koordinatlarından determinant qururuq və onu hesablayırıq

Determinant sıfır deyil, deməli vektorlar xətti müstəqildir, yəni onlar əsas təşkil edir.

2) a1 (2; -3), a2 (5;-1)
Həlli: Vektorlardan ibarət müəyyənedicini hesablayırıq

Determinant 13-ə bərabərdir (sıfıra bərabər deyil) - buradan belə çıxır ki, a1, a2 vektorları müstəvidə əsasdır.

---=================---

Gəlin nəzərdən keçirək tipik nümunələr"Ali riyaziyyat" fənni üzrə MAUP proqramından.

Tapşırıq 2. Göstərin ki, a1, a2, a3 vektorları üçölçülü vektor fəzasının əsasını təşkil edir və b vektorunu bu əsasa uyğun genişləndirir (xətti sistemi həll edərkən). cəbri tənliklər Kramer metodundan istifadə edin).
1) a1 (3; 1; 5), a2 (3; 2; 8), a3 (0; 1; 2), b (−3; 1; 2).
Həlli: Əvvəlcə a1, a2, a3 vektorlar sistemini nəzərdən keçirin və A matrisinin determinantını yoxlayın.

sıfırdan fərqli vektorlar üzərində qurulmuşdur. Matrisdə bir sıfır element var, ona görə də determinantı cədvəl kimi birinci sütunda və ya üçüncü cərgədə hesablamaq daha məqsədəuyğundur.

Hesablamalar nəticəsində determinantın sıfırdan fərqli olduğunu gördük a1, a2, a3 vektorları xətti müstəqildir.
Tərifinə görə, vektorlar R3-də əsas təşkil edir. Əsasən b vektorunun qrafikini yazaq

Vektorlar müvafiq koordinatları bərabər olduqda bərabər olurlar.
Deməli, vektor tənliyindən xətti tənliklər sistemi alırıq

Gəlin SLAE-ni həll edək Kramer üsulu. Bunun üçün tənliklər sistemini formada yazırıq

SLAE-nin əsas determinantı həmişə əsas vektorlardan ibarət müəyyənediciyə bərabərdir

Buna görə də praktikada iki dəfə hesablanmır. Köməkçi təyinediciləri tapmaq üçün əsas determinantın hər bir sütununun yerinə sərbəst şərtlər sütununu qoyuruq. Determinantlar üçbucaq qaydası ilə hesablanır



Tapılmış müəyyənediciləri Kramer düsturu ilə əvəz edək



Deməli, b vektorunun bazis baxımından genişlənməsi b=-4a1+3a2-a3 formasına malikdir. a1, a2, a3 bazasında b vektorunun koordinatları (-4,3, 1) olacaqdır.

2)a1 (1; -5; 2), a2 (2; 3; 0), a3 (1; -1; 1), b (3; 5; 1).
Həlli: Vektorları əsas üçün yoxlayırıq - vektorların koordinatlarından determinant tərtib edirik və onu hesablayırıq.

Deməli, determinant sıfıra bərabər deyil vektorlar kosmosda əsas təşkil edir. Bu əsas vasitəsilə b vektorunun qrafikini tapmaq qalır. Bunun üçün vektor tənliyini yazırıq

və xətti tənliklər sisteminə çevrilir

Gəlin onu yazaq matris tənliyi

Sonra Kramerin düsturları üçün köməkçi determinantları tapırıq



Kramer düsturlarını tətbiq edirik



Beləliklə, verilmiş b vektorunun iki əsas vektoru vasitəsilə qrafiki var b=-2a1+5a3 və onun bazisdəki koordinatları b(-2,0, 5)-ə bərabərdir.