Əslində, bir fiqurun sahəsini tapmaq üçün qeyri-müəyyən və müəyyən inteqral haqqında o qədər də çox biliyə ehtiyacınız yoxdur. Tapşırıq "istifadə edərək ərazini hesablayın müəyyən inteqral"həmişə rəsm tikintisini əhatə edir, daha çox aktual məsələ rəsm üzrə bilik və bacarıqlarınız olacaq. Bu baxımdan, əsas elementar funksiyaların qrafikləri haqqında yaddaşınızı yeniləmək və ən azı düz xətt və hiperbola qurmağı bacarmaq faydalıdır.

Əyri trapesiya düz bir fiqurdur ox ilə məhdudlaşır, düz xətlər və bu intervalda işarəsini dəyişməyən intervalda davamlı funksiyanın qrafiki. Bu rəqəm yerləşsin az deyil x oxu:

Sonra əyri xətti trapezoidin sahəsi ədədi olaraq müəyyən bir inteqrala bərabərdir. Hər hansı müəyyən inteqralın (mövcud olan) çox yaxşı həndəsi mənası var.

Həndəsə nöqteyi-nəzərindən müəyyən inteqral AREA-dır.

Yəni, müəyyən bir inteqral (əgər varsa) həndəsi olaraq müəyyən bir fiqurun sahəsinə uyğundur. Məsələn, müəyyən inteqralı nəzərdən keçirək. İnteqral oxun üstündə yerləşən müstəvidə əyri müəyyən edir (arzu edənlər rəsm çəkə bilər) və müəyyən inteqralın özü ədədi olaraq sahəsinə bərabərdir müvafiq əyri trapesiya.

Misal 1

Bu tipik bir tapşırıq bəyanatıdır. Birinci və ən vacib an həllər - rəsm çəkmək. Bundan əlavə, rəsm qurulmalıdır SAĞ.

Bir rəsm qurarkən aşağıdakı ardıcıllığı tövsiyə edirəm: əvvəlcə bütün düz xətləri (əgər onlar varsa) qurmaq daha yaxşıdır və yalnız Sonra- parabola, hiperbola, başqa funksiyaların qrafikləri. Funksiyaların qrafiklərini qurmaq daha sərfəlidir nöqtə nöqtə.

Bu problemdə həll yolu belə görünə bilər.
Rəsmi çəkək (qeyd edək ki, tənlik oxu müəyyən edir):

Seqmentdə funksiyanın qrafiki yerləşir oxun üstündə, Buna görə də:

Cavab:

Tapşırığı yerinə yetirdikdən sonra rəsmə baxmaq və cavabın real olub olmadığını anlamaq həmişə faydalıdır. IN bu halda"Gözlə" rəsmdəki hüceyrələrin sayını hesablayırıq - yaxşı, təxminən 9 olacaq, deyəsən doğrudur. Tamamilə aydındır ki, cavabı alsaq, deyək: 20 kvadrat vahidlər, onda hardasa səhvə yol verildiyi açıq-aydın görünür - 20 hüceyrə aydın şəkildə sözügedən rəqəmə uyğun gəlmir, ən çoxu onlarla. Cavab mənfi olarsa, tapşırıq da səhv həll edilmişdir.

Misal 3

Xətlər və koordinat oxları ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın.

Həll: Gəlin rəsm çəkək:

Əgər əyri trapesiya yerləşirsə oxun altında(və ya heç olmasa daha yüksək deyil verilmiş ox), onda onun sahəsi düsturla tapıla bilər:

Bu halda:

Diqqət! İki növ tapşırıq qarışdırılmamalıdır:

1) Əgər sizdən sadəcə olaraq müəyyən bir inteqralı heç biri olmadan həll etməyiniz xahiş olunursa həndəsi məna, onda mənfi ola bilər.

2) Əgər sizdən müəyyən inteqraldan istifadə edərək fiqurun sahəsini tapmaq istənilirsə, onda sahə həmişə müsbətdir! Ona görə də indicə müzakirə olunan düsturda mənfi görünür.

Praktikada çox vaxt rəqəm həm yuxarı, həm də aşağı yarım müstəvidə yerləşir və buna görə də ən sadə məktəb problemlərindən daha mənalı nümunələrə keçirik.

Misal 4

Ərazi tapın düz fiqur, xətlərlə məhdudlaşır, .

Həll: Əvvəlcə rəsmi tamamlamalısınız. Ümumiyyətlə, sahə problemlərində rəsm çəkərkən bizi ən çox xətlərin kəsişmə nöqtələri maraqlandırır. Parabola ilə düz xəttin kəsişmə nöqtələrini tapaq. Bu iki yolla edilə bilər. Birinci üsul analitikdir. Tənliyi həll edirik:

Bu o deməkdir ki, inteqrasiyanın aşağı həddi, inteqrasiyanın yuxarı həddidir.

Mümkünsə, bu üsuldan istifadə etməmək daha yaxşıdır..

Nöqtə-nöqtə xətləri qurmaq daha sərfəli və sürətlidir və inteqrasiyanın sərhədləri “özlüyündə” aydın olur. Buna baxmayaraq, məsələn, qrafik kifayət qədər böyükdürsə və ya təfərrüatlı konstruksiya inteqrasiyanın hüdudlarını aşkar etmirsə (onlar fraksiya və ya irrasional ola bilər) həddi tapmaq üçün analitik metoddan hələ də bəzən istifadə edilməlidir. Və belə bir nümunəni də nəzərdən keçirəcəyik.

Gəlin vəzifəmizə qayıdaq: əvvəlcə düz xətt, sonra isə parabola qurmaq daha rasionaldır. Gəlin rəsm çəkək:

İndi iş düsturu: Seqmentdə fasiləsiz funksiya varsa -dən böyük və ya bərabərdir bəziləri davamlı funksiya, onda bu funksiyaların qrafikləri və xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsi , , düsturundan istifadə etməklə tapıla bilər:

Burada artıq fiqurun harada yerləşdiyi barədə düşünməyə ehtiyac yoxdur - oxun üstündə və ya oxun altında və kobud desək, hansı qrafikin DAHA YÜKSƏK olması vacibdir(başqa bir qrafikə nisbətən), və hansı AŞAĞIDA.

Baxılan misalda aydındır ki, seqmentdə parabola düz xəttin üstündə yerləşir və buna görə də ondan çıxmaq lazımdır.

Tamamlanmış həll bu kimi görünə bilər:

İstədiyiniz rəqəm yuxarıda parabola və aşağıda düz xətt ilə məhdudlaşır.
Seqmentdə, müvafiq düstura görə:

Cavab:

Misal 4

, , , xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın.

Həll: Əvvəlcə bir rəsm çəkək:

Sahəsini tapmalı olduğumuz rəqəm mavi rəngdədir(şərtə diqqətlə baxın - rəqəm necə məhduddur!). Ancaq praktikada, diqqətsizlik səbəbindən tez-tez bir "nöqsan" yaranır ki, kölgəli bir fiqurun sahəsini tapmaq lazımdır. yaşıl!

Bu nümunə həm də ona görə faydalıdır ki, o, iki müəyyən inteqraldan istifadə edərək rəqəmin sahəsini hesablayır.

Həqiqətən:

1) Oxun üstündəki seqmentdə düz xəttin qrafiki var;

2) Oxun üstündəki seqmentdə hiperbolanın qrafiki var.

Sahələrin əlavə edilə biləcəyi (və edilməlidir) tamamilə aydındır, buna görə də:

Müəyyən inteqral. Fiqurun sahəsini necə hesablamaq olar

Gəlin inteqral hesablamanın tətbiqlərini nəzərdən keçirək. Bu dərsdə tipik və ən ümumi tapşırığı təhlil edəcəyik – müstəvi fiqurun sahəsini hesablamaq üçün müəyyən inteqraldan necə istifadə etmək olar. Nəhayət, ali riyaziyyatda məna axtaranlar - tapsınlar. Heç vaxt bilmirsən. Biz bunu həyatda daha da yaxınlaşdırmalıyıq ölkə kottec sahəsi elementar funksiyalar və müəyyən inteqraldan istifadə edərək onun sahəsini tapın.

Materialı uğurla mənimsəmək üçün sizə lazımdır:

1) Anlamaq qeyri-müəyyən inteqral heç olmasa orta səviyyədə. Buna görə də, ilk növbədə dummies dərsi oxumalıdır yox.

2) Nyuton-Leybnits düsturunu tətbiq etməyi və müəyyən inteqralı hesablamağı bacarın. Səhifədə müəyyən inteqrallarla isti dostluq münasibətləri qura bilərsiniz Müəyyən inteqral. Həll nümunələri.

Əslində, bir fiqurun sahəsini tapmaq üçün qeyri-müəyyən və müəyyən inteqral haqqında o qədər də çox biliyə ehtiyacınız yoxdur. “Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək sahəni hesablayın” tapşırığı həmişə rəsm çəkməyi əhatə edir, buna görə də sizin bilik və rəsm bacarıqlarınız daha aktual məsələ olacaq. Bu baxımdan, əsas elementar funksiyaların qrafikləri haqqında yaddaşınızı təzələmək və ən azı düz xətt, parabola və hiperbolanı qura bilmək faydalıdır. Bu istifadə edilə bilər (bir çoxları üçün bu lazımdır). metodik material və qrafiklərin həndəsi çevrilmələrinə dair məqalələr.

Əslində, hər kəs müəyyən inteqraldan istifadə edərək sahəni tapmaq vəzifəsi ilə məktəbdən tanışdır və biz çox da uzağa getməyəcəyik. məktəb kurikulumu. Bu məqalə ümumiyyətlə olmaya bilərdi, amma fakt budur ki, problem 100-dən 99-da, tələbənin nifrət etdiyi məktəbdən əziyyət çəkdiyi və ali riyaziyyat kursunu həvəslə mənimsədiyi zaman baş verir.

Bu seminarın materialları sadə, ətraflı və minimum nəzəriyyə ilə təqdim olunur.

Əyri trapesiya ilə başlayaq.

Əyrixətli trapesiya ox, düz xətlər və bu intervalda işarəsini dəyişməyən intervalda davamlı funksiyanın qrafiki ilə məhdudlaşan düz fiqurdur. Bu rəqəm yerləşsin az deyil x oxu:

Sonra əyri xətti trapezoidin sahəsi ədədi olaraq müəyyən bir inteqrala bərabərdir. Hər hansı müəyyən inteqralın (mövcud olan) çox yaxşı həndəsi mənası var. Dərsdə Müəyyən inteqral. Həll nümunələri Dedim ki, müəyyən inteqral ədəddir. Və indi daha bir şey söyləməyin vaxtı gəldi faydalı fakt. Həndəsə nöqteyi-nəzərindən müəyyən inteqral AREA-dır.

Yəni, müəyyən inteqral (əgər varsa) həndəsi olaraq müəyyən bir fiqurun sahəsinə uyğundur. Məsələn, müəyyən inteqralı nəzərdən keçirək. İnteqral oxun üstündə yerləşən müstəvidə əyri müəyyən edir (arzu edənlər rəsm çəkə bilər) və müəyyən inteqralın özü ədədi olaraq müvafiq əyrixətti trapezoidin sahəsinə bərabərdir.

Misal 1

Bu tipik bir tapşırıq bəyanatıdır. Qərarda ilk və ən vacib məqam bir rəsmin qurulmasıdır. Bundan əlavə, rəsm qurulmalıdır SAĞ.

Bir rəsm qurarkən aşağıdakı ardıcıllığı tövsiyə edirəm: əvvəlcə bütün düz xətləri (əgər onlar varsa) qurmaq daha yaxşıdır və yalnız Sonra– parabola, hiperbola, başqa funksiyaların qrafikləri. Funksiyaların qrafiklərini qurmaq daha sərfəlidir nöqtə nöqtə, nöqtə-nöqtə tikinti texnikası istinad materialında tapıla bilər Elementar funksiyaların qrafikləri və xassələri. Orada dərsimiz üçün çox faydalı material tapa bilərsiniz - parabolanı necə tez qurmaq olar.

Bu problemdə həll yolu belə görünə bilər.
Rəsmi çəkək (qeyd edək ki, tənlik oxu müəyyən edir):

Mən əyri trapesiyaya kölgə salmayacağam, burada hansı sahədən bəhs etdiyimiz aydındır. Həll belə davam edir:

Seqmentdə funksiyanın qrafiki yerləşir oxun üstündə, Buna görə də:

Cavab:

Müəyyən inteqralı hesablamaqda və Nyuton-Leybniz düsturunu tətbiq etməkdə çətinlik çəkən , mühazirəyə müraciət edin Müəyyən inteqral. Həll nümunələri.

Tapşırığı yerinə yetirdikdən sonra rəsmə baxmaq və cavabın real olub olmadığını anlamaq həmişə faydalıdır. Bu vəziyyətdə, rəsmdəki hüceyrələrin sayını "gözlə" hesablayırıq - yaxşı, təxminən 9 olacaq, bu doğru görünür. Tamamilə aydındır ki, deyək ki, cavabı alsaq: 20 kvadrat vahid, onda haradasa səhv edildiyi açıqdır - 20 hüceyrə açıq-aydın sözügedən rəqəmə uyğun gəlmir, ən çoxu onlarla. Cavab mənfi olarsa, tapşırıq da səhv həll edilmişdir.

Misal 2

Xətlər, , və oxu ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın

Bu bir nümunədir müstəqil qərar. Tam həll və dərsin sonunda cavab.

Əyri trapezoid yerləşirsə nə etməli oxun altında?

Misal 3

Xətlər və koordinat oxları ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın.

Həll: Gəlin rəsm çəkək:

Əgər əyri trapesiya yerləşirsə oxun altında(və ya heç olmasa daha yüksək deyil verilmiş ox), onda onun sahəsi düsturla tapıla bilər:
Bu halda:

Diqqət! İki növ tapşırıq qarışdırılmamalıdır:

1) Əgər sizdən heç bir həndəsi mənası olmayan sadəcə müəyyən inteqralı həll etməyiniz xahiş olunursa, o, mənfi ola bilər.

2) Əgər sizdən müəyyən inteqraldan istifadə edərək fiqurun sahəsini tapmaq istənilirsə, onda sahə həmişə müsbətdir! Ona görə də indicə müzakirə olunan düsturda mənfi görünür.

Praktikada çox vaxt rəqəm həm yuxarı, həm də aşağı yarım müstəvidə yerləşir və buna görə də ən sadə məktəb problemlərindən daha mənalı nümunələrə keçirik.

Misal 4

, xətləri ilə məhdudlaşan müstəvi fiqurun sahəsini tapın.

Həll: Əvvəlcə rəsmi tamamlamalısınız. Ümumiyyətlə, sahə problemlərində rəsm çəkərkən bizi ən çox xətlərin kəsişmə nöqtələri maraqlandırır. Parabola ilə düz xəttin kəsişmə nöqtələrini tapaq. Bu iki yolla edilə bilər. Birinci üsul analitikdir. Tənliyi həll edirik:

Bu o deməkdir ki, inteqrasiyanın aşağı həddi, inteqrasiyanın yuxarı həddidir.
Mümkünsə, bu üsuldan istifadə etməmək daha yaxşıdır..

Nöqtə-nöqtə xətləri qurmaq daha sərfəli və sürətlidir və inteqrasiyanın sərhədləri “özlüyündə” aydın olur. Müxtəlif qrafiklər üçün nöqtə-nöqtəli tikinti texnikası yardımda ətraflı müzakirə olunur Elementar funksiyaların qrafikləri və xassələri. Buna baxmayaraq, məsələn, qrafik kifayət qədər böyükdürsə və ya təfərrüatlı konstruksiya inteqrasiyanın hüdudlarını aşkar etmirsə (onlar fraksiya və ya irrasional ola bilər) həddi tapmaq üçün analitik metoddan hələ də bəzən istifadə edilməlidir. Və belə bir nümunəni də nəzərdən keçirəcəyik.

Gəlin vəzifəmizə qayıdaq: əvvəlcə düz xətt, sonra isə parabola qurmaq daha rasionaldır. Gəlin rəsm çəkək:

Təkrar edirəm ki, nöqtəvi qurarkən, inteqrasiyanın sərhədləri ən çox "avtomatik olaraq" aşkar edilir.

İndi iş düsturu: Seqmentdə fasiləsiz funksiya varsa -dən böyük və ya bərabərdir bəzi davamlı funksiya , onda bu funksiyaların qrafikləri və xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsi , , düsturundan istifadə edərək tapıla bilər:

Burada artıq fiqurun harada yerləşdiyi barədə düşünməyə ehtiyac yoxdur - oxun üstündə və ya oxun altında və kobud desək, hansı qrafikin DAHA YÜKSƏK olması vacibdir(başqa bir qrafikə nisbətən), və hansı AŞAĞIDA.

Baxılan misalda aydındır ki, seqmentdə parabola düz xəttin üstündə yerləşir və buna görə də ondan çıxmaq lazımdır.

Tamamlanmış həll bu kimi görünə bilər:

İstədiyiniz rəqəm yuxarıda parabola və aşağıda düz xətt ilə məhdudlaşır.
Seqmentdə, müvafiq düstura görə:

Cavab:

Əslində, aşağı yarım müstəvidə əyri xətti trapezoidin sahəsi üçün məktəb düsturu (sadə nümunə № 3-ə baxın) xüsusi hal düsturlar . Ox tənliklə təyin olunduğundan və funksiyanın qrafiki yerləşir daha yüksək deyil baltalar, onda

İndi öz həlliniz üçün bir neçə nümunə

Misal 5

Misal 6

, xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapın.

Müəyyən bir inteqraldan istifadə edərək sahənin hesablanması ilə bağlı məsələləri həll edərkən bəzən gülməli bir hadisə baş verir. Rəsm düzgün çəkilib, hesablamalar düzgün aparılıb, lakin diqqətsizlikdən... səhv rəqəmin sahəsi tapıldı, sizin təvazökar qulluqçunuzun bir neçə dəfə başı beləcə oldu. Budur real hal həyatdan:

Misal 7

, , , xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın.

Həll: Əvvəlcə bir rəsm çəkək:

...Eh, rəsm axmaq çıxdı, amma hər şey oxunaqlı görünür.

Sahəsini tapmalı olduğumuz rəqəm mavi rəngdədir(şərtə diqqətlə baxın - rəqəm necə məhduddur!). Ancaq praktikada, diqqətsizlik səbəbindən tez-tez yaşıl rənglə kölgələnmiş bir fiqurun sahəsini tapmaq lazım olan bir "xətt" baş verir!

Bu nümunə həm də ona görə faydalıdır ki, o, iki müəyyən inteqraldan istifadə edərək rəqəmin sahəsini hesablayır. Həqiqətən:

1) Oxun üstündəki seqmentdə düz xəttin qrafiki var;

2) Oxun üstündəki seqmentdə hiperbolanın qrafiki var.

Sahələrin əlavə edilə biləcəyi (və edilməlidir) tamamilə aydındır, buna görə də:

Cavab:

Gəlin başqa bir mənalı işə keçək.

Misal 8

Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın,
Gəlin tənlikləri “məktəb” şəklində təqdim edək və nöqtə-nöqtəli rəsm çəkək:

Rəsmdən aydın olur ki, bizim yuxarı həddimiz “yaxşı”dır: .
Amma aşağı hədd nədir?! Aydındır ki, bu tam deyil, amma nədir? Ola bilər ? Bəs rəsmin mükəmməl dəqiqliklə çəkildiyinə zəmanət haradadır, yaxşı olar ki... Və ya kök. Qrafiki səhv qursaq nə olacaq?

Belə hallarda əlavə vaxt sərf etməli və analitik şəkildə inteqrasiyanın sərhədlərini aydınlaşdırmalısınız.

Düz xəttin və parabolanın kəsişmə nöqtələrini tapaq.
Bunu etmək üçün tənliyi həll edirik:


,

Həqiqətən, .

Növbəti həll mənasızdır, əsas odur ki, əvəzetmələrdə və işarələrdə çaşqınlıq olmasın; burada hesablamalar ən sadə deyil.

Seqmentdə , müvafiq düstura görə:

Cavab:

Yaxşı, dərsi yekunlaşdırmaq üçün daha iki çətin işə baxaq.

Misal 9

Xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın, ,

Həll: Gəlin bu rəqəmi rəsmdə təsvir edək.

Lənət olsun, cədvəli imzalamağı unutdum və üzr istəyirəm, şəkli yenidən çəkmək istəmədim. Rəsm günü deyil, bir sözlə, bu gün gündür =)

Nöqtəli tikinti üçün bilmək lazımdır görünüş sinusoidlər (və ümumiyyətlə bilmək faydalıdır bütün elementar funksiyaların qrafikləri), bəzi sinus dəyərləri kimi, onları tapa bilərsiniz triqonometrik cədvəl. Bəzi hallarda (bu vəziyyətdə olduğu kimi), qrafiklər və inteqrasiya hədləri əsaslı şəkildə düzgün göstərilməli olan sxematik bir rəsm qurmaq mümkündür.

Burada inteqrasiyanın hədləri ilə bağlı heç bir problem yoxdur, onlar birbaşa şərtdən irəli gəlir: “x” sıfırdan “pi”yə dəyişir. Gəlin əlavə qərar verək:

Seqmentdə funksiyanın qrafiki oxun üstündə yerləşir, buna görə də:

Bu yazıda siz inteqral hesablamalardan istifadə edərək xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini necə tapacağınızı öyrənəcəksiniz. İlk dəfə olaraq orta məktəbdə müəyyən inteqralların öyrənilməsini yenicə başa vurduqda və əldə edilmiş biliklərin həndəsi şərhinə praktikada başlamağın vaxtı çatanda belə bir problemin qoyuluşu ilə qarşılaşırıq.

Beləliklə, inteqrallardan istifadə edərək bir fiqurun sahəsini tapmaq problemini uğurla həll etmək üçün nə tələb olunur:

• Bacarıqlı rəsmlər çəkmək bacarığı;
• Müəyyən inteqralı istifadə edərək həll etmək bacarığı məşhur formula Nyuton-Leybniz;
• Daha sərfəli həll variantını "görmək" bacarığı - yəni. bu və ya digər halda inteqrasiyanın həyata keçirilməsinin necə daha rahat olacağını başa düşürsən? X oxu (OX) və ya y oxu (OY) boyunca?
• Yaxşı, düzgün hesablamalar olmasaydı, harda olardıq?) Bu, digər növ inteqralların necə həll olunacağını anlamaq və ədədi hesablamaları düzəltməkdən ibarətdir.

Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsinin hesablanması probleminin həlli alqoritmi:

1. Rəsm qururuq. Bunu damalı kağızda, böyük miqyasda etmək məsləhətdir. Bu funksiyanın adını hər qrafikin üstündə qələmlə imzalayırıq. Qrafiklərin imzalanması yalnız sonrakı hesablamaların rahatlığı üçün edilir. İstədiyiniz rəqəmin qrafikini aldıqdan sonra, əksər hallarda inteqrasiyanın hansı məhdudiyyətlərindən istifadə ediləcəyi dərhal aydın olacaq. Problemi belə həll edirik qrafik metod. Bununla belə, limitlərin dəyərləri fraksiya və ya irrasional olur. Buna görə əlavə hesablamalar apara bilərsiniz, ikinci addıma keçin.

2. İnteqrasiya hədləri açıq şəkildə göstərilməyibsə, onda biz qrafiklərin bir-biri ilə kəsişmə nöqtələrini tapırıq və görürük ki, bizim qrafik həll analitik ilə.

3. Sonra, rəsmi təhlil etməlisiniz. Funksiya qrafiklərinin necə düzülməsindən asılı olaraq, var müxtəlif yanaşmalar fiqurun sahəsini tapmaq üçün. Gəlin nəzərdən keçirək müxtəlif nümunələr inteqrallardan istifadə edərək fiqurun sahəsini tapmaq.

3.1. Problemin ən klassik və ən sadə versiyası əyri bir trapezoidin sahəsini tapmaq lazım olduğu zamandır. Əyri trapesiya nədir? Bu x oxu ilə məhdudlaşan düz rəqəmdir (y = 0), düz x = a, x = b və intervalında davamlı istənilən əyri aəvvəl b. Üstəlik, bu rəqəm mənfi deyil və x oxundan aşağıda deyil. Bu vəziyyətdə əyrixətli trapezoidin sahəsi ədədi olaraq Nyuton-Leybniz düsturu ilə hesablanan müəyyən bir inteqrala bərabərdir:

Misal 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

Fiqur hansı xətlərlə məhdudlaşır? Bizdə bir parabola var y = x2 – 3x + 3, oxun üstündə yerləşən OH, qeyri-mənfidir, çünki bu parabolanın bütün nöqtələri müsbət qiymətlərə malikdir. Sonra düz xətlər verilir x = 1 Və x = 3, oxa paralel olan OU, sol və sağdakı fiqurun sərhəd xətləridir. Yaxşı y = 0, həm də rəqəmi aşağıdan məhdudlaşdıran x oxudur. Yaranan rəqəm, soldakı şəkildən göründüyü kimi kölgəlidir. Bu vəziyyətdə dərhal problemi həll etməyə başlaya bilərsiniz. Qarşımızda əyri trapezoidin sadə bir nümunəsi var, sonra onu Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə edərək həll edirik.

3.2. Əvvəlki 3.1-ci bənddə biz əyri trapezoidin x oxunun üstündə yerləşdiyi halı araşdırdıq. İndi məsələnin şərtlərinin eyni olduğu halı nəzərdən keçirək, yalnız funksiya x oxunun altındadır. Standart Nyuton-Leybniz düsturuna mənfi əlavə olunur. Aşağıda belə bir problemi necə həll edəcəyimizi nəzərdən keçirəcəyik.

Misal 2 . Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

Bu nümunədə bir parabola var y = x2 + 6x + 2 oxdan yaranan OH, düz x = -4, x = -1, y = 0. Budur y = 0 yuxarıdan istədiyiniz rəqəmi məhdudlaşdırır. Birbaşa x = -4 Və x = -1 bunlar müəyyən inteqralın hesablanacağı sərhədlərdir. Fiqurun sahəsini tapmaq probleminin həlli prinsipi 1 nömrəli misalla demək olar ki, tamamilə üst-üstə düşür. Yeganə fərq ondadır ki, verilmiş funksiya müsbət deyil, həm də intervalda davamlıdır. [-4; -1] . Müsbət olmayan nə demək istəyirsiniz? Şəkildən göründüyü kimi, verilmiş x-lərin daxilində olan rəqəmin müstəsna olaraq “mənfi” koordinatları var ki, məsələni həll edərkən bunu görməli və yadda saxlamalıyıq. Newton-Leibniz düsturundan istifadə edərək rəqəmin sahəsini axtarırıq, yalnız əvvəlində mənfi işarəsi var.

Məqalə tamamlanmayıb.

A)

Həll.

Qərarın ilk və ən vacib məqamı rəsmin qurulmasıdır.

Gəlin rəsm çəkək:

tənlik y=0 “x” oxunu təyin edir;

- x=-2 Və x=1 - düz, oxa paralel OU;

- y=x 2 +2 - budaqları yuxarıya doğru yönəlmiş, təpəsi (0;2) nöqtəsində olan parabola.

Şərh. Parabola qurmaq üçün onun koordinat oxları ilə kəsişmə nöqtələrini tapmaq kifayətdir, yəni. qoyulması x=0 ox ilə kəsişməni tapın OU və buna uyğun qərar vermək kvadrat tənlik, ox ilə kəsişməni tapın Oh .

Parabolanın təpəsini aşağıdakı düsturlardan istifadə etməklə tapmaq olar:

Siz həmçinin nöqtə-nöqtə xətləri qura bilərsiniz.

[-2;1] intervalında funksiyanın qrafiki y=x 2 +2 yerləşir oxun üstündə öküz , Buna görə də:

Cavab: S =9 kv

Tapşırığı yerinə yetirdikdən sonra rəsmə baxmaq və cavabın real olub olmadığını anlamaq həmişə faydalıdır. Bu vəziyyətdə, "gözlə" rəsmdəki hüceyrələrin sayını hesablayırıq - yaxşı, təxminən 9 olacaq, belə görünür. Tamamilə aydındır ki, deyək ki, cavabı alsaq: 20 kvadrat vahid, onda haradasa səhv edildiyi açıqdır - 20 hüceyrə açıq-aydın sözügedən rəqəmə uyğun gəlmir, ən çoxu onlarla. Cavab mənfi olarsa, tapşırıq da səhv həll edilmişdir.

Əyri trapezoid yerləşirsə nə etməli oxun altında Oh?

b) Xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablayın y=-e x , x=1 və koordinat oxları.

Həll.

Gəlin rəsm çəkək.

Əgər əyri trapesiya tamamilə oxun altında yerləşir Oh , onda onun sahəsi düsturla tapıla bilər:

Cavab: S=(e-1) kv. kontur” 1,72 kv

Diqqət! İki növ tapşırıq qarışdırılmamalıdır:

1) Əgər sizdən heç bir həndəsi mənası olmayan sadəcə müəyyən inteqralı həll etməyiniz xahiş olunursa, o, mənfi ola bilər.

2) Əgər sizdən müəyyən inteqraldan istifadə edərək fiqurun sahəsini tapmaq istənilirsə, onda sahə həmişə müsbətdir! Ona görə də indicə müzakirə olunan düsturda mənfi görünür.

Praktikada, çox vaxt rəqəm həm yuxarı, həm də aşağı yarım müstəvidə yerləşir.

ilə) Xətlərlə məhdudlaşan təyyarə fiqurunun sahəsini tapın y=2x-x 2, y=-x.

Həll.

Əvvəlcə rəsmləri tamamlamalısınız. Ümumiyyətlə, sahə problemlərində rəsm çəkərkən bizi ən çox xətlərin kəsişmə nöqtələri maraqlandırır. Parabolanın kəsişmə nöqtələrini tapaq və düz Bu iki yolla edilə bilər. Birinci üsul analitikdir.

Tənliyi həll edirik:

Bu, inteqrasiyanın aşağı sərhədi deməkdir a=0 , inteqrasiyanın yuxarı həddi b=3 .

Verilmiş xətləri qururuq: 1. Parabola - (1;1) nöqtəsində təpə; ox kəsişməsi Oh - xal (0;0) və (0;2). 2. Düz xətt - 2-ci və 4-cü koordinat bucaqlarının bisektoru. İndi isə Diqqət! seqmentdə [ a;b] bəzi davamlı funksiya f(x) bəzi davamlı funksiyadan böyük və ya ona bərabərdir g(x), onda müvafiq rəqəmin sahəsi düsturla tapıla bilər: . Fiqurun harada yerləşməsinin fərqi yoxdur - oxun üstündə və ya oxun altında, amma vacib olan hansı qrafikin YÜKSƏK (başqa bir qrafikə nisbətən), hansının AŞAĞIDA olmasıdır. Baxılan misalda aydındır ki, seqmentdə parabola düz xəttin üstündə yerləşir və buna görə də ondan çıxmaq lazımdır.

Siz nöqtə-nöqtə xətləri qura bilərsiniz və inteqrasiyanın sərhədləri “özlüyündə” aydın olur. Buna baxmayaraq, məsələn, qrafik kifayət qədər böyükdürsə və ya təfərrüatlı konstruksiya inteqrasiyanın hüdudlarını aşkar etmirsə (onlar fraksiya və ya irrasional ola bilər) həddi tapmaq üçün analitik metoddan hələ də bəzən istifadə edilməlidir.

İstədiyiniz rəqəm yuxarıda parabola və aşağıda düz xətt ilə məhdudlaşır.

Seqmentdə , müvafiq düstura görə:

Cavab: S =4,5 kv

Müəyyən bir inteqralın həndəsi mənasının təhlilinə həsr olunmuş əvvəlki bölmədə əyri xətti trapezoidin sahəsini hesablamaq üçün bir sıra düsturlar aldıq:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) = ∫ a b f (x) d x fasiləsiz və mənfi olmayan y = f (x) funksiyası üçün [ a ; b ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x fasiləsiz və qeyri-müsbət funksiya üçün y = f (x) [ a ; b].

Bu düsturlar həll etmək üçün uyğundur sadə tapşırıqlar. Reallıqda biz tez-tez daha mürəkkəb fiqurlarla işləməli olacağıq. Bununla əlaqədar olaraq, bu bölməni açıq formada funksiyalarla məhdudlaşan rəqəmlərin sahəsini hesablamaq üçün alqoritmlərin təhlilinə həsr edəcəyik, yəni. y = f(x) və ya x = g(y) kimi.

Teorem

y = f 1 (x) və y = f 2 (x) funksiyaları [ a intervalında təyin olunsun və kəsimli olsun; b ] , və [ a dan istənilən x qiyməti üçün f 1 (x) ≤ f 2 (x) ; b]. Sonra x = a, x = b, y = f 1 (x) və y = f 2 (x) xətləri ilə məhdudlaşan G rəqəminin sahəsini hesablamaq üçün düstur S (G) = ∫ kimi görünəcəkdir. a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .

Bənzər bir düstur y = c, y = d, x = g 1 (y) və x = g 2 (y) xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsi üçün də tətbiq olunacaq: S (G) = ∫ c d ( g 2 (y) - g 1 (y) d y .

Sübut

Düsturun etibarlı olacağı üç halı nəzərdən keçirək.

Birinci halda, sahənin əlavə xüsusiyyətini nəzərə alaraq, orijinal G fiqurunun və G 1 əyri xətti trapezoidin sahələrinin cəmi G 2 rəqəminin sahəsinə bərabərdir. Bu o deməkdir ki

Buna görə də S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Müəyyən inteqralın üçüncü xassəsindən istifadə edərək sonuncu keçidi həyata keçirə bilərik.

İkinci halda bərabərlik doğrudur: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 () x) - f 1 (x)) d x

Qrafik illüstrasiya belə görünəcək:

Hər iki funksiya qeyri-pozitiv olarsa, alarıq: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (x) - f 1 (x)) d x . Qrafik illüstrasiya belə görünəcək:

Gəlin nəzərə almağa davam edək ümumi hal, y = f 1 (x) və y = f 2 (x) O x oxunu kəsdikdə.

Biz kəsişmə nöqtələrini x i, i = 1, 2, kimi işarə edirik. . . , n - 1. Bu nöqtələr seqmenti [a; b ] n hissəyə x i - 1 ; x i, i = 1, 2, . . . , n, burada α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

Beləliklə,

S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f () x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

Müəyyən inteqralın beşinci xassəsindən istifadə edərək sonuncu keçidi edə bilərik.

Qrafikdə ümumi vəziyyəti təsvir edək.

S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x düsturu sübut edilmiş hesab edilə bilər.

İndi y = f (x) və x = g (y) xətləri ilə məhdudlaşan fiqurların sahəsinin hesablanması nümunələrinin təhlilinə keçək.

Nümunələrdən hər hansı birini nəzərdən keçirməyə qrafik quraraq başlayacağıq. Şəkil bizə təmsil etməyə imkan verəcək mürəkkəb fiqurlar daha sadə fiqurların birliyi kimi. Əgər onlar üzərində qrafiklər və rəqəmlər qurmaq sizə çətinlik yaradırsa, siz əsas bölməni öyrənə bilərsiniz elementar funksiyalar, funksiya qrafiklərinin həndəsi çevrilməsi, həmçinin funksiyanın öyrənilməsi zamanı qrafiklərin qurulması.

Misal 1

y = - x 2 + 6 x - 5 parabola və y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 düz xətləri ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini təyin etmək lazımdır.

Həll

Dekart koordinat sistemində qrafikin üzərindəki xətləri çəkək.

Seqmentdə [ 1 ; 4 ] y = - x 2 + 6 x - 5 parabolunun qrafiki y = - 1 3 x - 1 2 düz xəttinin üstündə yerləşir. Bununla əlaqədar olaraq, cavabı əldə etmək üçün əvvəllər əldə edilmiş düsturdan, həmçinin Nyuton-Leybniz düsturundan istifadə edərək müəyyən inteqralın hesablanması metodundan istifadə edirik:

S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

Cavab: S(G) = 13

Daha mürəkkəb bir nümunəyə baxaq.

Misal 2

y = x + 2, y = x, x = 7 xətləri ilə məhdudlaşan rəqəmin sahəsini hesablamaq lazımdır.

Həll

Bu halda, x oxuna paralel yerləşən yalnız bir düz xəttimiz var. Bu x = 7-dir. Bu, inteqrasiyanın ikinci həddini özümüz tapmağımızı tələb edir.

Gəlin bir qrafik quraq və onun üzərində məsələnin bəyanatında verilmiş xətləri çəkək.

Qrafiki gözümüzün qabağında tutaraq asanlıqla müəyyən edə bilərik ki, inteqrasiyanın aşağı həddi y=x düz xəttinin qrafikinin və y=x+2 yarımparabolasının kəsişmə nöqtəsinin absissası olacaqdır. Absisləri tapmaq üçün bərabərliklərdən istifadə edirik:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

Belə çıxır ki, kəsişmə nöqtəsinin absisi x = 2-dir.

Nəzərinizə çatdırırıq ki, in ümumi nümunə rəsmdə y = x + 2, y = x xətləri (2; 2) nöqtəsində kəsişir, ona görə də belə ətraflı hesablamalar lazımsız görünə bilər. Biz burada belə ətraflı bir həll verdik, çünki daha çox çətin hallar həll yolu o qədər də aydın olmaya bilər. Bu o deməkdir ki, xətlərin kəsişməsinin koordinatlarını analitik şəkildə hesablamaq həmişə daha yaxşıdır.

İnterval üzrə [ 2 ; 7] y = x funksiyasının qrafiki y = x + 2 funksiyasının qrafikindən yuxarıda yerləşir. Sahəni hesablamaq üçün formula tətbiq edək:

S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

Cavab: S (G) = 59 6

Misal 3

y = 1 x və y = - x 2 + 4 x - 2 funksiyalarının qrafikləri ilə məhdudlaşdırılan rəqəmin sahəsini hesablamaq lazımdır.

Həll

Qrafikdə xətləri çəkək.

Gəlin inteqrasiyanın sərhədlərini müəyyən edək. Bunun üçün 1 x və - x 2 + 4 x - 2 ifadələrini bərabərləşdirməklə xətlərin kəsişmə nöqtələrinin koordinatlarını təyin edirik. x sıfır olmamaq şərti ilə, 1 x = - x 2 + 4 x - 2 bərabərliyi tam əmsallı üçüncü dərəcəli tənliyə - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 bərabərliyinə çevrilir. Bu cür tənliklərin həlli alqoritmi haqqında yaddaşınızı yeniləmək üçün “Kubik tənliklərin həlli” bölməsinə müraciət edə bilərik.

Bu tənliyin kökü x = 1-dir: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.

- x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ifadəsini x - 1 binomuna bölsək, alırıq: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

Qalan kökləri x 2 - 3 x - 1 = 0 tənliyindən tapa bilərik:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0 . 3

Biz x ∈ 1 intervalını tapdıq; 3 + 13 2, burada G rəqəmi mavinin üstündə və qırmızı xəttin altındadır. Bu, rəqəmin sahəsini təyin etməyə kömək edir:

S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Cavab: S (G) = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Misal 4

y = x 3, y = - log 2 x + 1 əyriləri və absis oxu ilə məhdudlaşan fiqurun sahəsini hesablamaq lazımdır.

Həll

Qrafikdə bütün xətləri çəkək. y = - log 2 x + 1 funksiyasının qrafikini y = log 2 x qrafikindən əldə edə bilərik, əgər onu x oxu ətrafında simmetrik olaraq yerləşdirsək və bir vahid yuxarı aparsaq. X oxunun tənliyi y = 0-dır.

Xətlərin kəsişmə nöqtələrini qeyd edək.

Şəkildən göründüyü kimi y = x 3 və y = 0 funksiyalarının qrafikləri (0; 0) nöqtəsində kəsişir. Bu baş verir, çünki x = 0 x 3 = 0 tənliyinin yeganə həqiqi köküdür.

x = 2 tənliyin yeganə köküdür - log 2 x + 1 = 0, buna görə də y = - log 2 x + 1 və y = 0 funksiyalarının qrafikləri (2; 0) nöqtəsində kəsişir.

x = 1 x 3 = - log 2 x + 1 tənliyinin yeganə köküdür. Bu baxımdan y = x 3 və y = - log 2 x + 1 funksiyalarının qrafikləri (1; 1) nöqtəsində kəsişir. Sonuncu ifadə aydın olmaya bilər, lakin x 3 = - log 2 x + 1 tənliyinin birdən çox kökü ola bilməz, çünki y = x 3 funksiyası ciddi şəkildə artır və y = - log 2 x + 1 funksiyası ciddi şəkildə azalır.

Növbəti həll bir neçə variantı əhatə edir.

Seçim №1

G rəqəmini x oxundan yuxarıda yerləşən, birincisi x ∈ 0 seqmentində orta xəttdən aşağıda yerləşən iki əyrixətti trapezoidin cəmi kimi təsəvvür edə bilərik; 1, ikincisi isə x ∈ 1 seqmentində qırmızı xəttin altındadır; 2. Bu o deməkdir ki, sahə S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x -ə bərabər olacaqdır.

Seçim № 2

Şəkil G iki fiqurun fərqi kimi göstərilə bilər, birincisi x oxunun üstündə və x ∈ 0 seqmentində mavi xəttin altında yerləşir; 2, ikincisi isə x ∈ 1 seqmentində qırmızı və mavi xətlər arasında; 2. Bu, ərazini aşağıdakı kimi tapmağa imkan verir:

S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

Bu halda sahəni tapmaq üçün S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y formasının düsturundan istifadə etməli olacaqsınız. Əslində, rəqəmi bağlayan xətlər y arqumentinin funksiyaları kimi göstərilə bilər.

y = x 3 və - log 2 x + 1 tənliklərini x-ə münasibətdə həll edək:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

Lazım olan sahəni alırıq:

S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4

Cavab: S (G) = 1 ln 2 - 1 4

Misal 5

y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 xətləri ilə məhdudlaşan rəqəmin sahəsini hesablamaq lazımdır.

Həll

Qırmızı xəttlə y = x funksiyası ilə müəyyən edilmiş xətti çəkirik. y = - 1 2 x + 4 xəttini mavi, y = 2 3 x - 3 xəttini isə qara rənglə çəkirik.

Gəlin kəsişmə nöqtələrini qeyd edək.

y = x və y = - 1 2 x + 4 funksiyalarının qrafiklərinin kəsişmə nöqtələrini tapaq:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 Yoxlayın: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 deyil X 2 = tənliyinin həlli 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 tənliyinin həlli ⇒ (4; 2) kəsişmə nöqtəsi i y = x və y = - 1 2 x + 4

y = x və y = 2 3 x - 3 funksiyalarının qrafiklərinin kəsişmə nöqtəsini tapaq:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Yoxlayın: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 tənliyinin həlli ⇒ (9 ; 3) nöqtəsi a s y = x və y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 Tənliyin həlli yoxdur

y = - 1 2 x + 4 və y = 2 3 x - 3 xətlərinin kəsişmə nöqtəsini tapaq:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1) ) kəsişmə nöqtəsi y = - 1 2 x + 4 və y = 2 3 x - 3

Metod №1

İstədiyiniz fiqurun sahəsini fərdi fiqurların sahələrinin cəmi kimi təsəvvür edək.

Sonra fiqurun sahəsi:

S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

Metod № 2

Orijinal fiqurun sahəsi digər iki rəqəmin cəmi kimi göstərilə bilər.

Sonra x-ə nisbətən xəttin tənliyini həll edirik və yalnız bundan sonra rəqəmin sahəsini hesablamaq üçün düstur tətbiq edirik.

y = x ⇒ x = y 2 qırmızı xətt y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 qara xətt y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

Beləliklə, ərazi belədir:

S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

Gördüyünüz kimi, dəyərlər eynidir.

Cavab: S (G) = 11 3

Nəticələr

Verilmiş xətlərlə məhdudlaşan fiqurun sahəsini tapmaq üçün müstəvidə xətlər qurmalı, onların kəsişmə nöqtələrini tapmalı və sahəni tapmaq üçün düsturdan istifadə etməliyik. Bu bölmədə biz tapşırıqların ən çox yayılmış variantlarını araşdırdıq.

Mətndə xəta görsəniz, onu vurğulayın və Ctrl+Enter düymələrini basın