Təsadüfi dəyər təcrübə nəticəsində əvvəllər məlum olmayan qiymət alan kəmiyyətdir.
Mühazirədə iştirak edən tələbələrin sayı.
Cari ayda istifadəyə verilən evlərin sayı.
Mühit temperaturu.
Partlayan mərmi parçasının çəkisi.
Təsadüfi dəyişənlər diskret və davamlı olaraq bölünür.
Diskret (fasiləsiz) bir-birindən təcrid olunmuş, müəyyən ehtimallarla ayrı-ayrı qiymətlər alan təsadüfi dəyişən adlanır.
Diskret təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin sayı sonlu və ya hesablana bilər.
Davamlı bəzi sonlu və ya sonsuz intervaldan istənilən qiymət ala bilən təsadüfi dəyişən adlanır.
Aydındır ki, fasiləsiz təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin sayı sonsuzdur.
Verilmiş misallarda: 1 və 2 diskret təsadüfi dəyişənlər, 3 və 4 fasiləsiz təsadüfi dəyişənlərdir.
Gələcəkdə "təsadüfi dəyişən" sözləri əvəzinə tez-tez c abbreviaturasından istifadə edəcəyik. V.
Bir qayda olaraq, təsadüfi dəyişənlər böyük hərflərlə işarələnəcək və onların mümkün dəyərlər- kiçik.
Ehtimal nəzəriyyəsinin əsas anlayışlarının çoxluq-nəzəri şərhində təsadüfi kəmiyyət X elementar hadisənin funksiyasıdır: X =φ(ω), burada ω Ω (ω Ω) fəzasına aid elementar hadisədir. Bu halda, c-nin mümkün qiymətlərinin Ξ çoxluğu. V. X φ(ω) funksiyasının qəbul etdiyi bütün dəyərlərdən ibarətdir.
Təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu təsadüfi dəyişənlə əlaqəli bütün növ hadisələrin ehtimallarını tapmağa imkan verən hər hansı qaydadır (cədvəl, funksiya) (məsələn, onun müəyyən qiymət alması və ya müəyyən intervala düşməsi ehtimalı).
Təsadüfi dəyişənlərin paylanma qanunlarını dəqiqləşdirmək üçün formalar. Dağıtım seriyası.
Bu, yuxarı cərgədə X təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərinin artan qaydada sadalandığı cədvəldir: x 1, x 2, ..., x n, alt sətirdə isə bu dəyərlərin ehtimalları: p 1, p 2, ..., p n, burada p i = Р(Х = x i ).
(X = x 1 ), (X = x 2 ), ... hadisələri uyğunsuz olduğundan və tam qrup təşkil etdiyindən, paylanma sırasının alt sətirindəki bütün ehtimalların cəmi birə bərabərdir.
Paylanma seriyası yalnız diskret təsadüfi dəyişənlərin paylanma qanununu müəyyən etmək üçün istifadə olunur.
Paylanma poliqonu
Paylanma seriyasının qrafik təsvirinə paylama poliqonu deyilir. O, belə qurulmuşdur: c-nin hər bir mümkün dəyəri üçün. V. x oxuna perpendikulyar bərpa edilir, onun üzərində verilmiş c qiymətinin ehtimalı qrafa edilir. V. Aydınlıq üçün (və yalnız aydınlıq üçün!), Nəticədə nöqtələr düz seqmentlərlə birləşdirilir.
Kumulyativ paylama funksiyası (və ya sadəcə paylama funksiyası).
Bu, x arqumentinin hər bir dəyəri üçün təsadüfi dəyişənin x arqumentinin qiymətindən kiçik olması ehtimalına ədədi olaraq bərabər olan funksiyadır.
Paylanma funksiyası F(x) ilə işarələnir: F(x) = P (X x).
İndi daha çox verə bilərsiniz dəqiq tərif fasiləsiz təsadüfi dəyişən: paylanma funksiyası davamlı törəmə ilə kəsilməz, hissə-hissə diferensiallana bilən funksiyadırsa, təsadüfi dəyişən davamlı adlanır.
Paylanma funksiyası c-ni təyin etməyin ən universal formasıdır. v., həm diskret, həm də davamlı s üçün paylanma qanunlarını müəyyən etmək üçün istifadə edilə bilər. V.
Problem 14. Pul lotereyasında 1 000 000 rubl 1 uduş, 100 000 rubl 10 uduş oynanılır. və hər biri 1000 rubl olan 100 uduş. biletlərin ümumi sayı 10.000 olan təsadüfi uduşların paylanması qanununu tapın X bir lotereya biletinin sahibi üçün.
Həll. Üçün mümkün dəyərlər X: X 1 = 0; X 2 = 1000; X 3 = 100000;
X 4 = 1000000. Onların ehtimalları müvafiq olaraq bərabərdir: R 2 = 0,01; R 3 = 0,001; R 4 = 0,0001; R 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.
Buna görə də uduşların bölüşdürülməsi qanunu X aşağıdakı cədvəllə verilə bilər:
Paylanma çoxbucaqlı qurun.
Həll. Gəlin düzbucaqlı bir koordinat sistemi quraq və mümkün dəyərləri absis oxu boyunca çəkəcəyik. x i, və ordinat oxu boyunca - müvafiq ehtimallar p i. Nöqtələri tərtib edək M 1 (1;0,2), M 2 (3;0,1), M 3 (6;0,4) və M 4 (8;0,3). Bu nöqtələri düz xətt seqmentləri ilə birləşdirərək, istədiyimiz paylama poliqonunu əldə edirik.
§2. Təsadüfi dəyişənlərin ədədi xarakteristikası
Təsadüfi dəyişən tamamilə paylanma qanunu ilə xarakterizə olunur. Təsadüfi dəyişənin orta təsviri onun ədədi xüsusiyyətlərindən istifadə etməklə əldə edilə bilər
2.1. Gözlənilən dəyər. Dispersiya.
Təsadüfi dəyişən ehtimallara uyğun olaraq dəyərlər alsın.
Tərif. Diskret təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisi onun bütün mümkün dəyərlərinin və müvafiq ehtimalların məhsullarının cəmidir:
.
Riyazi gözləmənin xassələri.
Təsadüfi dəyişənin orta qiymət ətrafında dispersiyası dispersiya və standart kənarlaşma ilə xarakterizə olunur.
Təsadüfi kəmənin dispersiyası, təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisindən kvadratik kənarlaşmasının riyazi gözləntisidir:
Hesablamalar üçün aşağıdakı düsturdan istifadə olunur
Dispersiya xüsusiyyətləri.
2. , burada qarşılıqlı müstəqil təsadüfi dəyişənlərdir.
3. Standart kənarlaşma 
.
Problem 16. Təsadüfi dəyişənin riyazi gözləntisini tapın Z = X+ 2Y, təsadüfi dəyişənlərin riyazi gözləntiləri məlumdursa X Və Y: M(X) = 5, M(Y) = 3.
Həll. Biz riyazi gözləmənin xassələrindən istifadə edirik. Sonra alırıq:
M(X+ 2Y)= M(X) + M(2Y) = M(X) + 2M(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.
Problem 17. Təsadüfi dəyişənin variasiyası X 3-ə bərabərdir. Təsadüfi dəyişənlərin dispersiyasını tapın: a) –3 X; b) 4 X + 3.
Həll. Dispersiyanın 3, 4 və 2 xassələrini tətbiq edək. Bizdə:
A) D(–3X) = (–3) 2 D(X) = 9D(X) = 9 . 3 = 27;
b) D(4X+ 3) = D(4X) + D(3) = 16D(X) + 0 = 16 . 3 = 48.
Problem 18. Müstəqil təsadüfi dəyişən verilmişdir Y– atarkən düşmüş xalların sayı zar. Paylanma qanununu, riyazi gözləntiləri, dispersiyanı və ortanı tapın standart sapma təsadüfi dəyişən Y.
Həll. Təsadüfi dəyişənlərin paylanması cədvəli Y formaya malikdir:
| Y | ||||||
| R | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |
Sonra M(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;
D(Y) = (1 – 3,5) 2 1/6 +(2 – 3,5) 2 /6 + (3 – 3,5) 2 1/6 + (4 – 3,5) 2 / 6 +(5 – –3,5) 2 1/6 + (6 – 3,5) 2. 1/6 = 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.
Cavab: Fasiləsiz təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirək X mümkün dəyərlərlə. Bu dəyərlərin hər biri mümkündür, lakin müəyyən deyil və dəyəri X onların hər birini müəyyən ehtimalla qəbul edə bilər. Təcrübə nəticəsində dəyər X bu dəyərlərdən birini alacaq, yəni uyğun olmayan hadisələrin tam qrupundan biri baş verəcək:
Bu hadisələrin baş vermə ehtimalını hərflərlə qeyd edək R müvafiq indekslərlə:
Yəni, müxtəlif dəyərlərin ehtimal paylanması, verilmiş diskret təsadüfi dəyişən tərəfindən qəbul edilən bütün dəyərlərin yuxarı sətirdə göstərildiyi və müvafiq dəyərlərin ehtimallarının göstərildiyi bir paylama cədvəli ilə müəyyən edilə bilər. alt sətirdə göstərilir. Uyğun olmayan hadisələr (3.1) tam bir qrup təşkil etdiyinə görə, yəni təsadüfi dəyişənin bütün mümkün qiymətlərinin ehtimallarının cəmi birə bərabərdir. Davamlı təsadüfi dəyişənlərin ehtimal paylanması cədvəl şəklində təqdim edilə bilməz, çünki belə təsadüfi dəyişənlərin qiymətlərinin sayı məhdud intervalda belə sonsuzdur. Üstəlik, hər hansı bir xüsusi dəyəri əldə etmək ehtimalı sıfırdır. Bu paylanmanı dəqiqləşdirsək, yəni hadisələrin hər birinin hansı ehtimala malik olduğunu dəqiq göstərsək, təsadüfi dəyişən ehtimal baxımından tam təsvir olunacaq. Bununla biz təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu adlanan qanunu quracağıq. Təsadüfi dəyişənin paylanması qanunu təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri ilə müvafiq ehtimallar arasında əlaqə quran hər hansı bir əlaqədir. Təsadüfi dəyişən haqqında deyəcəyik ki, o, verilmiş paylanma qanununa tabedir. Kesintisiz təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanununun təyin oluna biləcəyi formanı təyin edək X. Ən sadə forma Bu qanunun tərifi təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərlərini və müvafiq ehtimalları sadalayan bir cədvəldir:
| x i | x 1 | x 2 | × × × | x n |
| p i | səh 1 | səh 2 | × × × | p n |
Belə bir cədvəli təsadüfi dəyişənin paylanması silsiləsi adlandıracağıq X.
düyü. 3.1
Paylanma seriyasına daha vizual görünüş vermək üçün onlar tez-tez onun qrafik təsvirinə müraciət edirlər: təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri absis oxu boyunca, bu dəyərlərin ehtimalları isə ordinat oxu boyunca çəkilir. Aydınlıq üçün ortaya çıxan nöqtələr düz xətt seqmentləri ilə birləşdirilir. Belə fiqur paylanma çoxbucaqlı adlanır (şəkil 3.1). Paylanma çoxbucaqlı, eləcə də paylanma seriyası təsadüfi dəyişəni tamamilə xarakterizə edir. bölgü qanununun formalarından biridir. Bəzən paylama seriyasının sözdə "mexaniki" təfsiri rahatdır. Təsəvvür edək ki, vahidə bərabər olan müəyyən bir kütlə absis oxu boyunca paylanır ki, n kütlələr müvafiq olaraq ayrı-ayrı nöqtələrdə cəmlənir 
. Sonra paylama seriyası absis oxunda yerləşən bəzi kütlələri olan maddi nöqtələr sistemi kimi şərh edilir.
Təcrübə tədqiq olunan təsadüfi hadisənin müşahidə olunduğu müəyyən şərtlərin və hərəkətlərin hər hansı həyata keçirilməsidir. Təcrübələr həm keyfiyyət, həm də kəmiyyət baxımından xarakterizə edilə bilər. Təsadüfi kəmiyyət təcrübə nəticəsində bu və ya digər qiymət ala bilən, hansının olduğu əvvəlcədən bilinməyən kəmiyyətdir.
Təsadüfi dəyişənlər adətən işarələnir (X,Y,Z) və müvafiq dəyərlər (x,y,z)
Diskret, bir-birindən təcrid olunmuş fərdi dəyərləri qəbul edən və həddindən artıq qiymətləndirilə bilən təsadüfi dəyişənlərdir. Davamlı kəmiyyətlər mümkün dəyərləri davamlı olaraq müəyyən bir aralığı doldurur. Təsadüfi dəyişənlərin paylanması qanunu təsadüfi dəyişənlərin mümkün dəyərləri ilə müvafiq ehtimallar arasında əlaqə quran hər hansı bir əlaqədir. Paylanma sırası və çoxbucaqlı. Diskret kəmiyyətin paylanma qanununun ən sadə forması paylanma sırasıdır. Paylanma seriyasının qrafik şərhi paylama poliqonudur.
Sizi maraqlandıran məlumatları Otvety.Online elmi axtarış sistemində də tapa bilərsiniz. Axtarış formasından istifadə edin:
Mövzu haqqında ətraflı 13. Diskret təsadüfi dəyişən. Paylanma poliqonu. Təsadüfi dəyişənlərlə əməliyyatlar, misal:
- 13. Diskret təsadüfi kəmiyyət və onun paylanma qanunu. Paylanma poliqonu. Təsadüfi dəyişənlərlə əməliyyatlar. Misal.
- “Təsadüfi dəyişən” anlayışı və onun təsviri. Diskret təsadüfi kəmiyyət və onun paylanma qanunu (seriyası). Müstəqil təsadüfi dəyişənlər. Nümunələr.
- 14. Təsadüfi dəyişənlər, onların növləri. Diskret təsadüfi dəyişənin (DRV) ehtimal paylanması qanunu. Təsadüfi dəyişənlərin (SV) qurulması üsulları.
- 16. Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu. Diskret təsadüfi dəyişənin ədədi xüsusiyyətləri: riyazi gözlənti, dispersiya və standart kənarlaşma.
- Diskret təsadüfi kəmiyyətlər üzərində riyazi əməliyyatlar və müstəqil X və Y təsadüfi dəyişənlərin verilmiş paylanmaları əsasında KX, X"1, X + K, XV üçün paylanma qanunlarının qurulması nümunələri.
- Təsadüfi dəyişən anlayışı. Diskret işlərin paylanması qanunu. miqdarlar. Təsadüfi üzərində riyazi əməliyyatlar. miqdarlar.
5.2. Diskret təsadüfi kəmənin paylanma qanunu. Paylanma poliqonu
İlk baxışdan belə görünə bilər ki, diskret təsadüfi kəmiyyəti müəyyən etmək üçün onun bütün mümkün dəyərlərini sadalamaq kifayətdir. Reallıqda bu belə deyil: təsadüfi dəyişənlər mümkün dəyərlərin eyni siyahılarına malik ola bilər, lakin onların ehtimalları fərqli ola bilər. Buna görə də, diskret təsadüfi dəyişəni təyin etmək üçün onun bütün mümkün dəyərlərini sadalamaq kifayət deyil, onların ehtimallarını da göstərmək lazımdır;
Diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu mümkün dəyərlər və onların ehtimalları arasındakı uyğunluğu çağırın; onu cədvəlli, analitik (düstur şəklində) və qrafik olaraq təyin etmək olar.
Tərif.İxtiyari hadisələrin ehtimalını tapmağa imkan verən hər hansı qayda (cədvəl, funksiya, qrafik). A S (S– -fəzadakı hadisələrin cəbri ), xüsusən də təsadüfi dəyişənin fərdi qiymətlərinin və ya bu dəyərlər toplusunun ehtimallarını göstərən adlanır təsadüfi dəyişənlərin paylanma qanunu(və ya sadəcə olaraq: paylanması). Haqqında s.v. onlar deyirlər ki, “bu, verilmiş paylama qanununa tabedir”.
Qoy X– dəyərləri qəbul edən d.s.v X 1 , X 2 , …, x n,… (bu dəyərlər toplusu sonlu və ya hesablana biləndir) müəyyən ehtimalla səh i, Harada i = 1,2,…, n,… Paylama qanunu d.s.v. düsturdan istifadə etməklə təyin etmək rahatdır səh i = P{X = x i)Harada i = 1,2,…, n,..., bu ehtimalı müəyyən edir ki, təcrübə nəticəsində r.v. X dəyərini alacaq x i. d.s.v üçün. X paylama qanunu şəklində verilə bilər paylama cədvəlləri:
|
x n | |||||
|
R n |
Diskret təsadüfi dəyişənin cədvəldə paylanma qanununu təyin edərkən, cədvəlin birinci sətirində mümkün dəyərlər, ikinci sətirdə isə onların ehtimalları göstərilir. belə bir cədvəl adlanır yaxın paylama.
Bir sınaqda təsadüfi dəyişənin bir və yalnız bir mümkün qiymət aldığını nəzərə alaraq belə nəticəyə gəlirik ki, hadisələr X = x 1 , X = x 2 , ..., X = x n tam bir qrup yaratmaq; buna görə də bu hadisələrin ehtimallarının cəmi, yəni. cədvəlin ikinci cərgəsinin ehtimallarının cəmi birə bərabərdir, yəni .
Əgər mümkün dəyərlər toplusu X sonsuz (hesablanabilir), sonra sıra R 1 + R 2 + ... yaxınlaşır və onun cəmi birə bərabərdir.
Misal. Pul lotereyasına 100 bilet buraxılıb. 50 rubl bir uduş çəkilir. və 1 rub on uduş. Təsadüfi dəyişənin paylanma qanununu tapın X– bir lotereya biletinin sahibi üçün mümkün uduşların dəyəri.
Həll. Mümkün dəyərləri yazaq X: X 1 = 50, X 2 = 1, X 3 = 0. Bu mümkün dəyərlərin ehtimalları: R 1 = 0,01, R 2 = 0,01, R 3 = 1 – (R 1 + R 2)=0,89.
Tələb olunan paylama qanununu yazaq:
Nəzarət: 0,01 + 0,1 + 0,89 =1.
Misal. Qabda 8 top var, onlardan 5-i ağ, qalanları qaradır. Ondan təsadüfi olaraq 3 top çəkilir. Nümunədəki ağ topların sayının paylanma qanununu tapın.
Həll. R.v-nin mümkün dəyərləri. X– nümunədə ağ topların sayı var X 1 = 0, X 2 = 1, X 3 = 2, X 4 = 3. Onların ehtimalları buna uyğun olacaq
;
;
.
Paylanma qanununu cədvəl şəklində yazaq.
|
|
|
|
|
Nəzarət: 
.
Paylama qanunu d.s.v. r.v-nin mümkün dəyərləri absis oxuna, bu dəyərlərin ehtimalları isə ordinat oxuna çəkilərsə, qrafik olaraq təyin edilə bilər. nöqtələri ardıcıl birləşdirən qırıq xətt ( X 1 , R 1), (X 2 , R 2),... çağırdı çoxbucaqlı(və ya çoxbucaqlı) paylanması(şək. 5.1-ə baxın).
düyü. 5.1. Paylanma poliqonu
İndi biz d.s.v-nin daha dəqiq tərifini verə bilərik.
Tərif. Təsadüfi dəyər X diskretdir, sonlu və ya sayıla bilən ədədlər toplusu varsa X 1 , X 2 , ... belə ki P{X = x i } = səh i > 0 (i= 1,2,…) və səh 1 + səh 2 + R 3 +… = 1.
Diskret r.v üzərində riyazi əməliyyatları təyin edək.
Tərif.Məbləğ (fərq, iş) d.s.v. X, dəyərlər alaraq x i ehtimallarla səh i = P{X = x i }, i = 1, 2, …, n, və d.s.v. Y, dəyərlər alaraq y j ehtimallarla səh j = P{Y = y j }, j = 1, 2, …, m, d.s.v adlanır. Z = X + Y (Z = X – Y, Z = X Y), dəyərlərin alınması z ij = x i + y j (z ij = x i – y j , z ij = x i y j) ehtimallarla səh ij = P{X = x i , Y = y j) bütün göstərilən dəyərlər üçün i Və j. Bəzi məbləğlər üst-üstə düşərsə x i + y j (fərqlər x i – y j, işləyir x i y j) müvafiq ehtimallar əlavə edilir.
Tərif.iş d.s.v. haqqında nömrələri d.s.v. cX, dəyərlər alaraq iləx i ehtimallarla səh i = P{X = x i }.
Tərif.İki d.s.v. X Və Y adlandırılır müstəqil, əgər hadisələr ( X = x i } = A i Və ( Y = y j } = B j hər kəs üçün müstəqil i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m, yəni
Əks halda r.v. çağırdı asılı. Bir neçə r.v. Əgər onlardan hər hansı birinin paylanma qanunu digər kəmiyyətlərin hansı mümkün dəyərləri qəbul etməsindən asılı deyilsə, qarşılıqlı müstəqil adlanır.
Ən çox istifadə olunan paylama qanunlarından bir neçəsini nəzərdən keçirək.
