Paylanma qanunu. Paylanma poliqonu

Səhifə 2

Qrafik olaraq paylama qanunu diskret dəyər paylanma poliqonu adlanan formada verilir.  

Paylanma seriyasının qrafik təsviri (şək. 5-ə baxın) paylama poliqonu adlanır.  

Paylanma qanununu xarakterizə etmək üçün fasiləsiz təsadüfi dəyişən Tez-tez bir sıra (cədvəl) və paylama poliqonundan istifadə olunur.  

Onu təsvir etmək üçün (Y Pi) (x - i Pa) nöqtələri düzbucaqlı koordinat sistemində qurulur və xətt seqmentləri ilə birləşdirilir. Paylanma poliqonu təsadüfi dəyişənin paylanmasının təbiətinin təxmini vizual təsvirini verir.  

Aydınlıq üçün diskret təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanunu da qrafik şəkildə təsvir edilə bilər, bunun üçün nöqtələr (x/, p) düzbucaqlı koordinat sistemində qurulur və sonra alınan rəqəm paylama poliqonu adlanır.  

M (xn; pn) (hp - - mümkün dəyərlər Xt pi - müvafiq ehtimallar) və onları düz seqmentlərlə birləşdirin. Alınan rəqəm paylama poliqonu adlanır.  

üzərindəki xalların cəminin ehtimal paylanmasını nəzərdən keçirək zar. Aşağıdakı rəqəmlər bir, iki və üç sümük üçün paylama poliqonlarını göstərir.  

Bu zaman təsadüfi kəmiyyətin paylanma poliqonunun əvəzinə diferensial paylanma funksiyası adlanan və diferensial paylanma qanununu ifadə edən paylanma sıxlığı funksiyası qurulur. Ehtimal nəzəriyyəsində x (x Xr) təsadüfi kəmiyyətinin paylanma sıxlığı dedikdə, x dəyərinin (x, x - Ax) intervalına düşmə ehtimalının Axə nisbətinin həddi başa düşülür, bu zaman Al; sıfıra meyl edir. Təsadüfi dəyişənin paylanmasını xarakterizə etmək üçün diferensial funksiyadan əlavə, çox vaxt sadəcə paylanma funksiyası və ya inteqral paylanma qanunu adlanan inteqral paylanma funksiyasından istifadə olunur.  

Bu konstruksiya ilə aralıqlara düşmənin nisbi tezlikləri müvafiq histoqram çubuqlarının sahələrinə bərabər olacaqdır, necə ki, ehtimallar müvafiq əyrixətli trapezoidlərin sahələrinə bərabərdirsə, onda fərz edilən nəzəri paylama təcrübə ilə yaxşı uyğunlaşır kifayət qədər böyük n və intervalların uğurlu seçimi ilə (YJ-I, y. Bəzən müqayisənin aydın olması üçün histoqram çubuqlarının yuxarı əsaslarının orta nöqtələrini ardıcıl birləşdirərək paylama poliqonu qurulur.  

m-ə 0-dan i-yə qədər müxtəlif qiymətlər verməklə, qrafikdə çəkilmiş PQ, P RF - Pn ehtimalları alınır. Verilmiş p; z11, ehtimal paylanması çoxbucaqlı qurun.  

Diskret təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu onun mümkün dəyərləri ilə onların ehtimalları arasında hər hansı uyğunluqdur. Qanun cədvəlli (paylanma seriyası), qrafik (paylanma poliqonu və s.) və analitik şəkildə göstərilə bilər.  

Paylanma əyrisinin tapılması, başqa sözlə, təsadüfi kəmiyyətin özünün paylanmasının müəyyən edilməsi verilmiş xüsusi paylanma seriyası ilə tam ifadə olunmayan hadisəni daha dərindən öyrənməyə imkan verir. Tədqiqatçı həm tapılmış bərabərləşdirmə paylama əyrisini, həm də qismən əhalidən qurulmuş paylama poliqonunu çəkməklə aydın görə bilər. xarakterik xüsusiyyətlər tədqiq olunan fenomenə xasdır. Bunun sayəsində statistik təhlil tədqiqatçının diqqətini müşahidə olunan məlumatların fenomendəki bəzi təbii dəyişikliklərdən kənara çıxmasına yönəldir və tədqiqatçının qarşısında bu sapmaların səbəblərini tapmaq vəzifəsi durur.  

Sonra, bu intervalda istehlak olan ayların sayına uyğun olaraq, intervalların ortasından absislər (miqyasda) çəkilir. Bu absislərin ucları birləşdirilir və beləliklə çoxbucaqlı və ya paylama poliqonu alınır.  

Kəmiyyətin qiymətinin - qiymətlərin ehtimalının koordinat müstəvisində diskret təsadüfi dəyişənin paylanması qanununun qrafik təsvirini verən nöqtələr adətən düz seqmentlərlə birləşdirilir və nəticədə alınan nəticə adlanır. həndəsi fiqur paylama poliqonu. Şəkildə. 3-cü cədvəl 46-da (həmçinin 4 və 5-ci şəkillərdə) paylanma çoxbucaqlıları göstərilmişdir.  

Diskret müəyyən ehtimallarla fərdi, təcrid olunmuş dəyərləri qəbul edə bilən təsadüfi dəyişən adlanır.

NÜMUNƏ 1. Gerbin üç sikkə atışında görünmə sayı. Mümkün dəyərlər: 0, 1, 2, 3, onların ehtimalları müvafiq olaraq bərabərdir:

P(0) = ; Р(1) = ; Р(2) = ; Р(3) = .

NÜMUNƏ 2. Beş elementdən ibarət bir cihazda uğursuz elementlərin sayı. Mümkün dəyərlər: 0, 1, 2, 3, 4, 5; onların ehtimalları hər bir elementin etibarlılığından asılıdır.

Diskret təsadüfi dəyişən X paylanma seriyası və ya paylama funksiyası (inteqral paylanma qanunu) ilə verilə bilər.

Yaxın paylama bütün mümkün dəyərlər toplusudur Xi və onların müvafiq ehtimalları ri = P(X = xi), onu cədvəl kimi göstərmək olar:

x i				x n
p i				р n

Bu vəziyyətdə ehtimallar rişərti təmin edin

ri= 1 çünki

mümkün dəyərlərin sayı haradadır n sonlu və ya sonsuz ola bilər.

Paylanma seriyasının qrafik təsviri paylanma poliqonu adlanır . Onu qurmaq üçün təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri ( Xi) x oxu boyunca qrafalar və ehtimallar çəkilir ri- ordinat oxu boyunca; xal Ai koordinatları ilə ( Xi,рi) qırıq xətlərlə birləşdirilir.

Paylanma funksiyası təsadüfi dəyişən X funksiyası adlanır F(X), nöqtədə kimin dəyəri X təsadüfi dəyişənin olması ehtimalına bərabərdir X bu dəyərdən az olacaq X, yəni

F(x) = P(X< х).

Funksiya F(X) üçün diskret təsadüfi dəyişən düsturla hesablanır

F(X) = ri , (1.10.1)

burada cəmləmə bütün dəyərlər üzərində aparılır i, bunun üçün Xi< х.

NÜMUNƏ 3. 10-u qüsurlu olan 100 məhsuldan ibarət partiyadan keyfiyyətini yoxlamaq üçün təsadüfi olaraq beş məhsul seçilir. Bir sıra paylamalar qurun təsadüfi nömrə X nümunədə olan qüsurlu məhsullar.

Həll. Nümunədə qüsurlu məhsulların sayı 0-dan 5 daxil olmaqla istənilən tam ədəd ola biləcəyi üçün, mümkün dəyərlər Xi təsadüfi dəyişən X bərabərdir:

x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 2, x 4 = 3, x 5 = 4, x 6 = 5.

Ehtimal R(X = k) nümunənin tam olaraq ehtiva etdiyi k(k = 0, 1, 2, 3, 4, 5) qüsurlu məhsullar, bərabərdir

P (X = k) =.

Bu düsturdan istifadə edərək 0,001 dəqiqliklə hesablamalar nəticəsində əldə edirik:

r 1 = P(X = 0) @ 0,583;r 2 = P(X = 1) @ 0,340;r 3 = P(X = 2) @ 0,070;

r 4 = P(X = 3) @ 0,007;r 5 = P(X= 4) @ 0;r 6 = P(X = 5) @ 0.

Yoxlamaq üçün bərabərlikdən istifadə rk=1, hesablamaların və yuvarlaqlaşdırmanın düzgün aparıldığına əmin oluruq (cədvələ bax).

x i
p i

NÜMUNƏ 4. Təsadüfi dəyişənin paylanma sırası verilmişdir X :

x i
p i

Ehtimalın paylanması funksiyasını tapın F(X) bu təsadüfi dəyişənin və onu qurun.

Həll. Əgər X onda 10 funt F(X)= P(X<X) = 0;

əgər 10<X onda 20 funt F(X)= P(X<X) = 0,2 ;

əgər 20<X onda 30 funt sterlinq F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 = 0,5 ;

əgər 30<X onda 40 funt F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 = 0,85 ;

40 olarsa<X onda 50 funt sterlinq F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1=0,95 ;

Əgər X> 50, onda F(X)= P(X<X) = 0,2 + 0,3 + 0,35 + 0,1 + 0,05 = 1.

Cavab: Fasiləsiz təsadüfi dəyişəni nəzərdən keçirək X mümkün dəyərlərlə. Bu dəyərlərin hər biri mümkündür, lakin müəyyən deyil və dəyəri X onların hər birini müəyyən ehtimalla qəbul edə bilər. Təcrübə nəticəsində dəyər X bu dəyərlərdən birini alacaq, yəni uyğun olmayan hadisələrin tam qrupundan biri baş verəcək:

Bu hadisələrin baş vermə ehtimalını hərflərlə qeyd edək r müvafiq indekslərlə:

Yəni, müxtəlif dəyərlərin ehtimal paylanması, verilmiş diskret təsadüfi dəyişən tərəfindən qəbul edilən bütün dəyərlərin yuxarı sətirdə göstərildiyi və müvafiq dəyərlərin ehtimallarının göstərildiyi bir paylama cədvəli ilə müəyyən edilə bilər. alt sətirdə göstərilir. Uyğun olmayan hadisələr (3.1) tam bir qrup təşkil etdiyinə görə, yəni təsadüfi dəyişənin bütün mümkün qiymətlərinin ehtimallarının cəmi birə bərabərdir. Davamlı təsadüfi dəyişənlərin ehtimal paylanması cədvəl şəklində təqdim edilə bilməz, çünki belə təsadüfi dəyişənlərin qiymətlərinin sayı məhdud intervalda belə sonsuzdur. Üstəlik, hər hansı bir xüsusi dəyəri əldə etmək ehtimalı sıfırdır. Bu paylanmanı dəqiqləşdirsək, yəni hadisələrin hər birinin hansı ehtimala malik olduğunu dəqiq göstərsək, təsadüfi dəyişən ehtimal baxımından tam təsvir olunacaq. Bununla biz təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu adlanan qanunu quracağıq. Təsadüfi dəyişənin paylanması qanunu təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri ilə müvafiq ehtimallar arasında əlaqə quran hər hansı bir əlaqədir. Təsadüfi dəyişən haqqında deyəcəyik ki, o, verilmiş paylanma qanununa tabedir. Kesintisiz təsadüfi kəmiyyətin paylanma qanununun təyin oluna biləcəyi formanı təyin edək X. Bu qanunu təyin etməyin ən sadə forması təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərlərini və onlara uyğun ehtimalları sadalayan cədvəldir:

x i	x 1	x 2	× × ×	x n
p i	səh 1	səh 2	× × ×	p n

Belə bir cədvəli təsadüfi dəyişənin paylanması silsiləsi adlandıracağıq X.

düyü. 3.1

Paylanma seriyasına daha vizual görünüş vermək üçün onlar tez-tez onun qrafik təsvirinə müraciət edirlər: təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri absis oxu boyunca, bu dəyərlərin ehtimalları isə ordinat oxu boyunca çəkilir. Aydınlıq üçün ortaya çıxan nöqtələr düz seqmentlərlə birləşdirilir. Belə fiqur paylanma çoxbucaqlı adlanır (şək. 3.1). Paylanma çoxbucaqlı, eləcə də paylanma seriyası təsadüfi dəyişəni tamamilə xarakterizə edir. bölgü qanununun formalarından biridir. Bəzən paylama seriyasının sözdə "mexaniki" təfsiri rahatdır. Təsəvvür edək ki, vahidə bərabər olan müəyyən bir kütlə absis oxu boyunca paylanır ki, n kütlələr müvafiq olaraq ayrı-ayrı nöqtələrdə cəmlənir . Sonra paylama seriyası absis oxunda yerləşən bəzi kütlələri olan maddi nöqtələr sistemi kimi şərh edilir.

Təsadüfi dəyişən təcrübə nəticəsində əvvəlcədən məlum olmayan bu və ya digər qiymət ala bilən kəmiyyətdir. Təsadüfi dəyişənlər var fasiləsiz (diskret) Və davamlı növü. Fasiləsiz kəmiyyətlərin mümkün dəyərləri əvvəlcədən sadalana bilər. Davamlı kəmiyyətlərin mümkün dəyərləri əvvəlcədən sadalana bilməz və davamlı olaraq müəyyən bir boşluğu doldurur.

Diskret təsadüfi dəyişənlərə misal:

1) Gerbin üç sikkə atışında görünmə sayı. (mümkün dəyərlər 0;1;2;3)

2) Eyni təcrübədə gerbin görünmə tezliyi. (mümkün dəyərlər)

3) Beş elementdən ibarət qurğuda uğursuz elementlərin sayı. (Mümkün dəyərlər 0;1;2;3;4;5)

Davamlı təsadüfi dəyişənlərə nümunələr:

1) Atış zamanı təsir nöqtəsinin absisi (ordinatı).

2) Təsir nöqtəsindən hədəfin mərkəzinə qədər olan məsafə.

3) Cihazın işləmə müddəti (radio borusu).

Təsadüfi dəyişənlər böyük hərflərlə, mümkün dəyərləri isə müvafiq kiçik hərflərlə işarələnir. Məsələn, X üç atışla vuruşların sayıdır; mümkün qiymətlər: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

X 1, X 2, ..., X n mümkün dəyərləri olan kəsikli təsadüfi dəyişən X-i nəzərdən keçirək. Bu dəyərlərin hər biri mümkündür, lakin müəyyən deyil və X dəyəri onların hər birini müəyyən ehtimalla götürə bilər. Təcrübə nəticəsində X-in qiyməti bu qiymətlərdən birini alacaq, yəni tam uyğun olmayan hadisələr qrupundan biri baş verəcək.

Bu hadisələrin ehtimallarını müvafiq indekslərlə p hərfləri ilə işarə edək:

Uyğun olmayan hadisələr tam bir qrup təşkil etdiyinə görə

yəni təsadüfi dəyişənin bütün mümkün dəyərlərinin ehtimallarının cəmi 1-ə bərabərdir. Bu ümumi ehtimal bir şəkildə fərdi dəyərlər arasında paylanır. Bu paylanmanı təyin etsək, yəni hadisələrin hər birinin hansı ehtimala malik olduğunu dəqiq göstərsək, təsadüfi dəyişən ehtimal baxımından tam təsvir olunacaq. (Bu, təsadüfi dəyişənlərin paylanması qanununu təyin edəcək.)

Təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri ilə müvafiq ehtimal arasında əlaqə quran hər hansı bir əlaqədir. (Təsadüfi dəyişən haqqında onun verilmiş paylama qanununa tabe olduğunu söyləyəcəyik)

Təsadüfi dəyişənin paylanma qanununu təyin etməyin ən sadə forması təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərlərini və müvafiq ehtimalları sadalayan cədvəldir.

Cədvəl 1.

X i	X 1	X 2	…	X n
P i	P 1	P2	…	Pn

Bu cədvəl adlanır yaxın paylama təsadüfi dəyişənlər.

Paylanma seriyasına daha vizual görünüş vermək üçün onlar onun qrafik təsvirinə müraciət edirlər: təsadüfi dəyişənin mümkün dəyərləri absis oxu boyunca, bu dəyərlərin ehtimalları isə ordinat oxu boyunca çəkilir. (Aydınlıq üçün nəticədə nöqtələr düz xətt seqmentləri ilə birləşdirilir.)

Şəkil 1 – paylama poliqonu

Bu rəqəm deyilir paylama poliqonu. Paylanma çoxbucaqlı, paylama seriyası kimi, təsadüfi dəyişəni tamamilə xarakterizə edir; bölgü qanununun formalarından biridir.

Misal:

bir eksperiment həyata keçirilir ki, A hadisəsi baş verə bilər və ya olmaya bilər. Təsadüfi dəyişən X - verilmiş təcrübədə A hadisəsinin baş vermə sayını nəzərdən keçiririk. X dəyərinin paylanmasının seriyasını və çoxbucaqlısını qurmaq lazımdır.

Cədvəl 2.

X i
P i	0,7	0,3

Şəkil 2 - Paylanma funksiyası

Paylanma funksiyası təsadüfi dəyişənin universal xarakteristikasıdır. O, bütün təsadüfi dəyişənlər üçün mövcuddur: həm fasiləsiz, həm də davamlı olmayan. Paylanma funksiyası təsadüfi dəyişəni ehtimal baxımından tam xarakterizə edir, yəni paylanma qanununun formalarından biridir.

Bu ehtimal paylanmasını kəmiyyətcə xarakterizə etmək üçün X=x hadisəsinin ehtimalından deyil, X hadisəsinin baş vermə ehtimalından istifadə etmək rahatdır.

F(x) paylama funksiyasına bəzən məcmu paylanma funksiyası və ya məcmu paylanma qanunu da deyilir.

Təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyasının xassələri

1. F(x) paylanma funksiyası öz arqumentinin azalmayan funksiyasıdır, yəni üçün;

2. Mənfi sonsuzluqda:

3. Əlavə sonsuzluğa:

Şəkil 3 – paylanma funksiyasının qrafiki

Paylanma funksiyasının qrafikiümumiyyətlə, bu, dəyərləri 0-dan başlayan və 1-ə gedən azalmayan bir funksiyanın qrafikidir.

Təsadüfi kəmiyyətin paylanma sırasını bilməklə təsadüfi kəmiyyətin paylanma funksiyasını qurmaq mümkündür.

Misal:

əvvəlki nümunənin şərtləri üçün təsadüfi dəyişənin paylanma funksiyasını qurun.

X paylama funksiyasını quraq:

Şəkil 4 – paylanma funksiyası X

Paylanma funksiyası hər hansı fasiləsiz diskret təsadüfi kəmənin həmişə fasiləsiz addım funksiyası var, onun sıçrayışları təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinə uyğun olan nöqtələrdə baş verir və bu dəyərlərin ehtimallarına bərabərdir. Bütün paylama funksiyası atlamalarının cəmi 1-ə bərabərdir.

Təsadüfi dəyişənin mümkün qiymətlərinin sayı artdıqca və aralarındakı intervallar azaldıqca, atlamaların sayı artır və atlamaların özləri kiçik olur:

Şəkil 5

Addımlı əyri daha hamar olur:

Şəkil 6

Təsadüfi dəyişən tədricən davamlı qiymətə, paylanma funksiyası isə davamlı funksiyaya yaxınlaşır. Mümkün dəyərləri davamlı olaraq müəyyən bir intervalı dolduran, lakin paylama funksiyası hər yerdə davamlı olmayan təsadüfi dəyişənlər də var. Və müəyyən nöqtələrdə qırılır. Belə təsadüfi dəyişənlərə qarışıq deyilir.

Şəkil 7

Təsadüfi dəyişən anlayışı. Təsadüfi dəyişənin paylanma qanunu

Təsadüfi dəyişənlər (qısaldılmış: r.v.) böyük Latın hərfləri ilə işarələnir X, Y, Z,...(və ya kiçik Yunan hərfləri ξ (xi), η (eta), θ (teta), ψ (psi) və s.) və qəbul etdikləri dəyərlər müvafiq olaraq x 1 kiçik hərflərlə yazılır , x 2 ,…, 1-də , 2-də , 3-də …

Nümunələr ilə. V. xidmət edə bilər: 1) X- zar atarkən görünən xalların sayı; 2) Y - hədəfə ilk zərbədən əvvəl atışların sayı; 3) Z- cihazın problemsiz işləmə vaxtı və s. (adamın boyu, dolların məzənnəsi, partiyadakı qüsurlu hissələrin sayı, havanın temperaturu, oyunçunun uduşu, təsadüfi seçildiyi təqdirdə nöqtənin koordinatı, şirkətin mənfəəti, . ..).

Təsadüfi dəyişən XΏ w

X(w), yəni. X= X(w), wО Ώ (və ya X = f(w)) (31)

Misal 1. Təcrübə bir sikkənin 2 dəfə atılmasından ibarətdir. PES-də Ώ=(w 1, w 2, w 3, w 4), burada w 1 = GG, 2 = GR, w 3 = RG, w 4 = RR, siz p hesab edə bilərsiniz. V. X- gerbin görünüşlərinin sayı. S.v. X elementar hadisənin funksiyasıdır w i : X( w 1 ) = 2, X( w 2 ) = 1, X( w 3 ) = 1, X( w 4 )= 0; X- d.s. V. x 1 dəyərləri ilə = 0, x 2 =1 , x 3 = 2.

X(w) S Р(А) = Р(Х< X).

X- d.s. V.,

x 1 , x 2 , x 3 ,…,x n ,…

p i , Harada i = 1,2,3, ...,n,… .

Paylanma qanunu d.s. V. p i =P(X=x i}, i=1,2,3,... ,n,...,

ilə. V. X x i. :

X	x 1	x 2	….	x n	…
P	səh 1	səh2	….	p n	…

Hadisələrdən bəri (X = x 1), (X = x 2),…, (X = x n ), yəni. .

(x 1 , səh 1 ), (x 2 , p 2),…, (x n , p n) adlanır çoxbucaqlı(və ya çoxbucaqlı) paylanması(şək. 17-ə baxın).

Təsadüfi dəyişən X diskretdir, x 1 sonlu və ya hesablana bilən ədədlər toplusu varsa , x 2 , ..., x n belə P(X = x i ) = p i > 0 (i = 1,2,...) səh 1 + səh2 + səh 3 +…= 1 (32)

Məbləğ d.s. V. X, p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n və d.s ehtimalları ilə x i qiymətlərini alaraq. V. Y, y j qiymətlərinin p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m ehtimalları ilə alınmasına d.s deyilir. V. Z = X + Y, p ij = P( X = x i,Y = y j) ehtimalları ilə z ij = x i + y j qiymətlərini alaraq, bütün göstərilən dəyərlər üçün i və j. Bəzi x i + y j cəmləri üst-üstə düşərsə, müvafiq ehtimallar əlavə edilir.

Fərqinə görə d.s. V. X, p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n və d.s ehtimalları ilə x i qiymətlərini alaraq. V. Y, y j qiymətlərinin p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m ehtimalları ilə alınmasına d.s deyilir. V. Z = X - Y, bütün göstərilən dəyərlər üçün p ij = P ( X = x i ,Y = y j ) ehtimalları ilə z ij = x i – y j qiymətlərini alaraq i və j. Bəzi x i – y j fərqləri üst-üstə düşərsə, müvafiq ehtimallar əlavə edilir.

iş d.s. V. X, p i = Р(Х = x i), i = 1,2,3,...,n və d.s ehtimalları ilə x i qiymətlərini alaraq. V. Y, y j qiymətlərinin p i = Р(Y = y j ), j = 1,2,3,... ,m ehtimalları ilə alınmasına d.s deyilir. V. Z = X × Y, z ij = x i × y j ehtimalları ilə p ij = P( X = x i,Y = y j), bütün göstərilən dəyərlər üçün qiymətləri alaraq i və j. Bəzi məhsullar x i × y j üst-üstə düşürsə, müvafiq ehtimallar əlavə olunur.

d.s. V. сХ, с x i р i = Р(Х = x i ).

X və Y hadisələri (X = x i) = A i və (Y = y j) = B j istənilən i= 1,2,...,n üçün müstəqildir; j = l,2,...,m, yəni.

P(X = x i ;Y = y j ) =P(X = x i ) ×P (Y = y j ) (33)

Misal 2. Qabda 8 top var, onlardan 5-i ağ, qalanları qaradır. Ondan təsadüfi olaraq 3 top çəkilir. Nümunədəki ağ topların sayının paylanma qanununu tapın.