Тогава a + b = b + a, a+(b + c) = (a + b) + c.
Добавянето на нула не променя числото, но сумата от противоположните числа е нула.
Това означава, че за всяко рационално число имаме: a + 0 = a, a + (- a) = 0.
Умножението на рационални числа също има комутативни и асоциативни свойства. С други думи, ако a, b и c са произволни рационални числа, тогава ab - ba, a(bc) - (ab)c.
Умножението по 1 не променя рационално число, но произведението на числото и обратното му е равно на 1.
Това означава, че за всяко рационално число a имаме:
а) х + 8 - х - 22; в) a-m + 7-8+m;
б) -х-а + 12+а -12; г) 6,1 -k + 2,8 + p - 8,8 + k - p.
1190. След като изберете удобна процедура за изчисление, намерете стойността на израза:
1191. Формулирайте с думи комутативното свойство на умножението ab = ba и го проверете, когато:
1192. Формулирайте с думи асоциативното свойство на умножението a(bc)=(ab)c и го проверете, когато:
1193. Избирайки удобен ред на изчисление, намерете стойността на израза:
1194. Какво число ще получите (положително или отрицателно), ако умножите:
а) едно отрицателно число и две положителни числа;
б) две отрицателни и едно положително число;
в) 7 отрицателни и няколко положителни числа;
г) 20 отрицателни и няколко положителни? Направи заключение.
1195. Определете знака на продукта:
а) - 2 (- 3) (- 9) (-1,3) 14 (- 2,7) (- 2,9);
б) 4 (-11) (-12) (-13) (-15) (-17) 80 90.
а) Б фитнесВитя, Коля, Петя, Серьожа и Максим се събраха (фиг. 91, а). Оказа се, че всяко от момчетата познава само по две други. Кой кого познава? (Ръбът на графиката означава „ние се познаваме.“)
б) Братя и сестри от едно семейство се разхождат в двора. Кои от тези деца са момчета и кои са момичета (фиг. 91, б)? (Пунктираните ръбове на графиката означават „Аз съм сестра“, а плътните означават „Аз съм брат.“)
1205. Изчислете:
1206. Сравнете:
а) 2 3 и 3 2; б) (-2) 3 и (-3) 2; в) 1 3 и 1 2; г) (-1) 3 и (-1) 2.
1207. Закръглете 5,2853 до хилядни; преди стотни; до десети; до единици.
1208. Решете задачата:
1) Мотоциклетист настига велосипедист. Сега между тях има 23,4 км. Скоростта на мотоциклетист е 3,6 пъти по-голяма от скоростта на велосипедист. Намерете скоростите на велосипедиста и мотоциклетиста, ако се знае, че мотоциклетистът ще настигне велосипедиста след час.
2) Кола настига автобус. Сега между тях има 18 км. Скоростта на автобуса е същата като на лек автомобил. Намерете скоростите на автобуса и на автомобила, ако се знае, че автомобилът ще настигне автобуса след час.
1209. Намерете значението на израза:
1) (0,7245:0,23 - 2,45) 0,18 + 0,07 4;
2) (0,8925:0,17 - 4,65) 0,17+0,098;
3) (-2,8 + 3,7 -4,8) 1,5:0,9;
4) (5,7-6,6-1,9) 2,1:(-0,49).
Проверете изчисленията си с микро калкулатор.
1210. След като изберете удобен ред на изчисление, намерете стойността на израза: 
1211. Опростете израза:
1212. Намерете значението на израза:
1213. Следвайте тези стъпки:
1214. Учениците получиха задача да съберат 2,5 тона метален скрап. Те събраха 3,2 тона метален скрап. С колко процента учениците са изпълнили задачата и с колко са надвишили задачата?
1215. Автомобилът е изминал 240 км. От тях 180 км тя е изминала пеша по селски път, а останалата част от пътя по магистрала. Разходът на бензин за всеки 10 км селски път беше 1,6 литра, а на магистралата - 25% по-малко. Колко литра бензин са изразходвани средно за всеки 10 км пътуване?
1216. Излизайки от селото, велосипедистът забеляза пешеходец на моста, който вървеше в същата посока и го настигна след 12 минути. Намерете скоростта на пешеходец, ако скоростта на велосипедист е 15 км/ч, а разстоянието от селото до моста е 1 км 800 м?
1217. Следвайте тези стъпки:
а) - 4,8 3,7 - 2,9 8,7 - 2,6 5,3 + 6,2 1,9;
б) -14,31:5,3 - 27,81:2,7 + 2,565:3,42+4,1 0,8;
в) 3,5 0,23 - 3,5 (- 0,64) + 0,87 (- 2,5).
Хората, както знаете, се запознаха с рационалните числа постепенно. Отначало при броенето на предмети възникват естествени числа. Отначало бяха малко от тях. Така доскоро местните жители на островите в пролива Торес (отделящ Нова Гвинея от Австралия) имаха на езика си имената само на две числа: „урапун” (едно) и „оказ” (две). Островитяните смятали така: „Оказа-урапун” (три), „Оказа-Оказа” (четири) и т.н. Местните наричали всички числа, започвайки от седем, с дума, означаваща „много”.
Учените смятат, че думата за стотици се е появила преди повече от 7000 години, за хиляди - преди 6000 години, а преди 5000 години в Древен Египети в Древен Вавилонимена се появяват за огромни числа - до милион. Но дълго време естествената редица от числа се смяташе за крайна: хората смятаха, че има най-голямо число.
Най-великият древногръцки математик и физик Архимед (287-212 г. пр.н.е.) е измислил начин да опише огромни числа. Най-голямото число, което Архимед можеше да назове, беше толкова голямо, че за него цифров записще е необходима лента, две хиляди пъти по-дълга от разстоянието от Земята до Слънцето.
Но те все още не бяха успели да запишат толкова огромни числа. Това става възможно едва след като индийските математици през 6 век. Числото нула е измислено и започва да обозначава липсата на единици в десетичните знаци на числото.
При разделяне на плячката и по-късно при измерване на стойности и в други подобни случаи хората се сблъскаха с необходимостта да въведат „счупени числа“ - обикновени дроби. Операциите с дроби през Средновековието са били считани за най-много сложна зонаматематика. И до ден днешен германците казват за човек, изпаднал в трудна ситуация, че е „попаднал на фракции“.
За да се улесни работата с дроби, бяха измислени десетични знаци дроби. В Европа те са въведени през X585 г. от холандския математик и инженер Саймън Стевин.
Отрицателните числа се появиха по-късно от дробите. За дълго времетакива числа се смятаха за „несъществуващи“, „фалшиви“ главно поради факта, че приетата интерпретация за положителни и отрицателни числа„имущество - дълг“ доведе до объркване: можете да добавяте или изваждате „имущество“ или „дългове“, но как да разберете произведението или частното на „имущество“ и „дълг“?
Но въпреки подобни съмнения и недоумения, правила за умножаване и деление на положителни и отрицателни числа са предложени през 3 век. гръцкият математик Диофант (във формата: „Това, което се изважда, умножено по това, което се добавя, дава изваждането; това, което се изважда от изваждащото, дава това, което се добавя“ и т.н.), а по-късно индийският математик Бхаскар (XII век) изрази същите правила в понятията „собственост“, „дълг“ („Продуктът от две имоти или два дълга е собственост; продуктът от собственост и дълг е дълг.“ Същото правило важи и за делбата).
Установено е, че свойствата на операциите с отрицателни числа са същите като тези с положителни числа (например събирането и умножението имат свойството комутативност). И накрая, от началото на миналия век отрицателните числа се равняват на положителните.
По-късно в математиката се появяват нови числа – ирационални, комплексни и др. Научавате за тях в гимназията.
Н.Я.Виленкин, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд, В. И. Жохов, Математика за 6 клас, Учебник за гимназия
Книги и учебници по календарен план за 6 клас математика изтегляне, помагало за ученици онлайн
Концепцията за числата се отнася до абстракции, които характеризират даден обект от количествена гледна точка. Дори в примитивното общество хората са имали нужда да броят предмети, така че са се появили цифрови обозначения. По-късно те стават основата на математиката като наука.
За да оперирате с математически понятия, е необходимо преди всичко да си представите какви числа съществуват. Има няколко основни вида числа. Това:
1. Естествени - тези, които получаваме при номериране на обекти (тяхното естествено броене). Техният набор е означен с N.
2. Цели числа (множеството им се обозначава с буквата Z). Това включва естествени числа, техните противоположности, цели отрицателни числа и нула.
3. Рационални числа (буква Q). Това са тези, които могат да бъдат представени като дроб, чийто числител е равен на цяло число, а знаменателят е равен на естествено число. Всички са цели и класифицирани като рационални.
4. Реални (означават се с буквата R). Те включват рационални и ирационални числа. Числа, получени от рационални числа чрез различни операции(изчисляване на логаритъм, извличане на корен), които сами по себе си не са рационални.
По този начин всеки от изброените набори е подмножество на следните. Тази теза е илюстрирана с диаграма под формата на т.нар. кръгове на Ойлер. Дизайнът се състои от няколко концентрични овала, всеки от които е разположен в другия. Вътрешният, най-малкият овал (област) обозначава множеството естествени числа. Той е напълно обхванат и включва областта, символизираща множеството от цели числа, което от своя страна се съдържа в областта на рационалните числа. Външният, най-големият овал, който включва всички останали, обозначава масив
В тази статия ще разгледаме набора от рационални числа, техните свойства и характеристики. Както вече споменахме, всички съществуващи числа (положителни, както и отрицателни и нула) принадлежат към тях. Рационалните числа образуват безкрайна серия със следните свойства:
Това множество е подредено, т.е. като вземем всяка двойка числа от тази серия, винаги можем да разберем кое е по-голямо;
Вземайки всяка двойка такива числа, винаги можем да поставим поне още едно между тях и следователно цяла поредица от тях - по този начин рационалните числа представляват безкрайна поредица;
Възможни са и четирите аритметични операции върху такива числа, резултатът от които винаги е определено число (също рационално); изключение е делението на 0 (нула) - невъзможно е;
Всички рационални числа могат да бъдат представени като десетични дроби. Тези дроби могат да бъдат крайни или безкрайно периодични.
За да сравните две числа, принадлежащи към рационалното множество, трябва да запомните:
Всяко положително число, по-голямо от нула;
Всяко отрицателно число винаги е по-малко от нула;
При сравняване на две отрицателни рационални числа по-голямо е това, чиято абсолютна стойност (модул) е по-малка.
Как се извършват операции с рационални числа?
За да съберете две такива числа с еднакъв знак, трябва да съберете техните абсолютни стойности и да ги поставите пред сбора общ знак. За добавяне на числа с различни знацитрябва да се извади по-малката от по-голямата стойност и да се постави знакът на тази, чиято абсолютна стойност е по-голяма.
За да извадите едно рационално число от друго, е достатъчно да добавите обратното на второто към първото число. За да умножите две числа, трябва да умножите техните стойности абсолютни стойности. Полученият резултат ще бъде положителен, ако факторите имат еднакъв знак, и отрицателен, ако са различни.
Разделянето се извършва по подобен начин, т.е. намира се частното от абсолютните стойности и резултатът се предшества от знак „+“, ако знаците на дивидента и делителя съвпадат, и знак „-“, ако те не съвпадат.
Степените на рационалните числа изглеждат като продукти на няколко фактора, които са равни един на друг.
Тази статия предоставя общ преглед свойства на операциите с рационални числа. Първо се обявяват основните свойства, на които се основават всички останали свойства. След това са дадени някои други често използвани свойства на операциите с рационални числа.
Навигация в страницата.
Нека изброим основни свойства на операциите с рационални числа(a, b и c са произволни рационални числа):
- Комутативно свойство на събирането a+b=b+a.
- Комбинативно свойство на събирането (a+b)+c=a+(b+c) .
- Съществуването на неутрален елемент чрез събиране - нула, чието добавяне с произволно число не променя това число, тоест a+0=a.
- За всяко рационално число a съществува противоположно число −a такова, че a+(−a)=0.
- Комутативно свойство на умножение на рационални числа a·b=b·a.
- Комбинативно свойство на умножението (a·b)·c=a·(b·c) .
- Съществуването на неутрален елемент за умножение е единица, умножение, с което всяко число не променя това число, тоест a·1=a.
- За всяко ненулево рационално число a съществува обратно число a −1 такова, че a·a −1 =1 .
- И накрая, събирането и умножението на рационални числа са свързани чрез разпределителното свойство на умножението спрямо събирането: a·(b+c)=a·b+a·c.
Изброените свойства на операциите с рационални числа са основни, тъй като всички други свойства могат да бъдат получени от тях.
Други важни свойства
В допълнение към деветте изброени основни свойства на операциите с рационални числа, има редица много широко използвани свойства. Да им дадем кратък преглед.
Нека започнем със свойството, което се записва с букви като a·(−b)=−(a·b)или по силата на комутативното свойство на умножението като (−a) b=−(a b). От това свойство пряко следва правилото за умножение на рационални числа с различни знаци, доказателството му също е дадено в тази статия. Това свойство обяснява правилото „плюс, умножено по минус, е минус, а минус, умножено по плюс, е минус“.
Ето следния имот: (−a)·(−b)=a·b. Това предполага правилото за умножение на отрицателни рационални числа; в тази статия ще намерите и доказателство за горното равенство. Това свойство съответства на правилото за умножение „минус по минус е плюс“.
Несъмнено си струва да се съсредоточим върху умножаването на произволно рационално число a по нула: a·0=0или 0 а=0. Нека докажем това свойство. Знаем, че 0=d+(−d) за всяко рационално d, тогава a·0=a·(d+(−d)) . Свойството разпределение позволява полученият израз да бъде пренаписан като a·d+a·(−d) и тъй като a·(−d)=−(a·d) , тогава a·d+a·(−d)=a·d+(−(a·d)). Така стигнахме до сбора на две противоположни числа, равни на a·d и −(a·d), сборът им дава нула, което доказва равенството a·0=0.
Лесно е да се забележи, че по-горе изброихме само свойствата на събиране и умножение, докато не казахме нито дума за свойствата на изваждане и деление. Това се дължи на факта, че върху множеството от рационални числа действията изваждане и деление са посочени съответно като обратни на събирането и умножението. Тоест разликата a−b е сумата от a+(−b), а частното a:b е произведението a·b−1 (b≠0).
Имайки предвид тези определения за изваждане и деление, както и основните свойства на събирането и умножението, можете да докажете всякакви свойства на операции с рационални числа.
Като пример, нека докажем разпределителното свойство на умножението спрямо изваждането: a·(b−c)=a·b−a·c. Важи следната верига от равенства: a·(b−c)=a·(b+(−c))= a·b+a·(−c)=a·b+(−(a·c))=a·b−a·c, което е доказателството.
Авторско право от cleverstudents
Всички права запазени.
Защитен от закона за авторското право. Нито една част от www.site, включително вътрешни материали и външен дизайн, не могат да бъдат възпроизвеждани под никаква форма или използвани без предварителното писмено разрешение на притежателя на авторските права.
Този урок обхваща събиране и изваждане на рационални числа. Темата е класифицирана като комплексна. Тук е необходимо да се използва целият арсенал от предварително придобити знания.
Правилата за събиране и изваждане на цели числа важат и за рационалните числа. Спомнете си, че рационалните числа са числа, които могат да бъдат представени като дроб, където а –това е числителят на дробта, bе знаменателят на дробта. при което, bне трябва да е нула.
В този урок все по-често ще наричаме дроби и смесени числа с една обща фраза - рационални числа.
Навигация в урока:Пример 1.Намерете значението на израза:
Нека оградим всяко рационално число в скоби заедно със знаците му. Имаме предвид, че плюсът, даден в израза, е знак за операция и не се отнася за дробта. Тази дроб има свой знак плюс, който е невидим поради факта, че не е записан. Но ще го запишем за яснота:
Това е събиране на рационални числа с различни знаци. За да добавите рационални числа с различни знаци, трябва да извадите по-малкия модул от по-големия модул и преди получения отговор да поставите знака на рационалното число, чийто модул е по-голям. И за да разберете кой модул е по-голям и кой е по-малък, трябва да можете да сравните модулите на тези дроби, преди да ги изчислите:
Модулът на рационално число е по-голям от модула на рационално число. Следователно извадихме от . Получихме отговор. След това, намалявайки тази дроб с 2, получаваме крайния отговор.
Някои примитивни действия, като поставяне на числа в скоби и добавяне на модули, могат да бъдат пропуснати. Този пример може да бъде написан накратко:
Пример 2.Намерете значението на израза:
Нека оградим всяко рационално число в скоби заедно със знаците му. Имаме предвид, че минусът, стоящ между рационалните числа, е знак на действието и не се отнася за дробта. Тази дроб има свой знак плюс, който е невидим поради факта, че не е записан. Но ще го запишем за яснота:
Нека заменим изваждането със събиране. Нека ви напомним, че за да направите това, трябва да добавите към умаленото числото, противоположно на субтрахенда:
Получихме събирането на отрицателни рационални числа. За да добавите отрицателни рационални числа, трябва да добавите техните модули и да поставите минус пред получения отговор:
Забележка.Не е необходимо всяко рационално число да се поставя в скоби. Това се прави за удобство, за да се види ясно какви знаци имат рационалните числа.
Пример 3.Намерете значението на израза:
В този израз дробите имат различни знаменатели. За да улесним задачата си, нека сведем тези дроби до общ знаменател. Няма да се спираме подробно на това как да направите това. Ако изпитвате трудности, не забравяйте да повторите урока.
След привеждане на дробите към общ знаменател изразът ще приеме следната форма:
Това е събиране на рационални числа с различни знаци. Изваждаме по-малкия модул от по-големия модул и пред получения отговор поставяме знака на рационалното число, чийто модул е по-голям:
Нека запишем решението на този пример накратко:
Пример 4.Намерете стойността на израз
Нека изчислим този израз по следния начин: съберете рационалните числа и след това извадете рационалното число от получения резултат. 
Първо действие:
Второ действие:
Пример 5. Намерете значението на израза:
Нека представим цялото число −1 като дроб и преобразуваме смесеното число в неправилна дроб:
Нека оградим всяко рационално число в скоби заедно със знаците му:
Получихме събиране на рационални числа с различни знаци. Изваждаме по-малкия модул от по-големия модул и пред получения отговор поставяме знака на рационалното число, чийто модул е по-голям:
Получихме отговор.
Има и второ решение. Състои се от отделно сглобяване на цели части.
И така, нека се върнем към оригиналния израз:
Нека оградим всяко число в скоби. За да направите това, смесеният номер е временен:
Нека изчислим целите части:
(−1) + (+2) = 1
В основния израз, вместо (−1) + (+2), записваме получената единица:
Полученият израз е . За да направите това, напишете единицата и дробта заедно:
Нека напишем решението по този начин по-кратко:
Пример 6.Намерете стойността на израз
Нека преобразуваме смесеното число в неправилна дроб. Нека пренапишем останалото, без да променяме:
Нека оградим всяко рационално число в скоби заедно със знаците му:
Нека заменим изваждането със събиране:
Нека запишем решението на този пример накратко:
Пример 7.Намерете стойността на израз
Нека представим цялото число −5 като дроб и преобразуваме смесеното число в неправилна дроб:
Нека приведем тези дроби към общ знаменател. След като бъдат приведени до общ знаменател, те ще приемат следната форма:
Нека оградим всяко рационално число в скоби заедно със знаците му:
Нека заменим изваждането със събиране:
Получихме събирането на отрицателни рационални числа. Нека съберем модулите на тези числа и поставим минус пред получения отговор:
Така стойността на израза е .
Нека решим този пример по втория начин. Да се върнем към оригиналния израз:
Нека запишем смесеното число в разгъната форма. Нека пренапишем останалото без промени:
Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му:
Нека изчислим целите части:
В основния израз, вместо да напишете полученото число −7
Изразът е разширена форма на запис на смесено число. Записваме числото −7 и дробта заедно, за да формираме крайния отговор:
Нека напишем това решение накратко:
Пример 8.Намерете стойността на израз
Ограждаме всяко рационално число в скоби заедно със знаците му:
Нека заменим изваждането със събиране:
Получихме събирането на отрицателни рационални числа. Нека съберем модулите на тези числа и поставим минус пред получения отговор:
Значи стойността на израза е
Този пример може да се реши по втория начин. Състои се от отделно добавяне на цели и дробни части. Да се върнем към оригиналния израз:
Нека оградим всяко рационално число в скоби заедно със знаците му:
Нека заменим изваждането със събиране:
Получихме събирането на отрицателни рационални числа. Нека да съберем модулите на тези числа и да поставим минус пред получения отговор. Но този път ще добавим целите части (−1 и −2), както дробни, така и
Нека напишем това решение накратко:
Пример 9.Намерете изразни изрази 
Нека преобразуваме смесени числа в неправилни дроби:
Нека оградим рационално число в скоби заедно със знака му. Няма нужда да поставяте рационално число в скоби, тъй като то вече е в скоби:
Получихме събирането на отрицателни рационални числа. Нека съберем модулите на тези числа и поставим минус пред получения отговор:
Значи стойността на израза е
Сега нека се опитаме да решим същия този пример по втория начин, а именно чрез добавяне на цели числа и дробни частиотделно.
Този път, за да получим кратко решение, нека се опитаме да пропуснем някои стъпки, като например писане на смесено число в разширена форма и замяна на изваждане със събиране:
Моля, имайте предвид, че дробните части са сведени до общ знаменател.
Пример 10.Намерете стойността на израз 
Нека заменим изваждането със събиране:
Полученият израз не съдържа отрицателни числа, които са основната причина за грешки. И тъй като няма отрицателни числа, можем да премахнем плюса пред субтрахенда и също да премахнем скобите:
Резултатът е прост израз, който е лесен за изчисляване. Нека го изчислим по всеки удобен за нас начин:
Пример 11.Намерете стойността на израз
Това е събиране на рационални числа с различни знаци. Нека извадим по-малкия модул от по-големия модул и пред получения отговор поставяме знака на рационалното число, чийто модул е по-голям:
Пример 12.Намерете стойността на израз 
Изразът се състои от няколко рационални числа. Според, първо трябва да изпълните стъпките в скоби.
Първо изчисляваме израза, след което събираме получените резултати.
Първо действие:
Второ действие:
Трето действие:
Отговор:стойност на израза равно на
Пример 13.Намерете стойността на израз 
Нека преобразуваме смесени числа в неправилни дроби:
Нека поставим рационалното число в скоби заедно със знака му. Няма нужда да поставяте рационалното число в скоби, тъй като то вече е в скоби:
Нека приведем тези дроби към общ знаменател. След като бъдат приведени до общ знаменател, те ще приемат следната форма:
Нека заменим изваждането със събиране:
Получихме събиране на рационални числа с различни знаци. Нека извадим по-малкия модул от по-големия модул и пред получения отговор поставяме знака на рационалното число, чийто модул е по-голям:
По този начин значението на израза равно на
Нека да разгледаме събирането и изваждането на десетични числа, които също са рационални числа и могат да бъдат положителни или отрицателни.
Пример 14.Намерете стойността на израза −3,2 + 4,3
Нека оградим всяко рационално число в скоби заедно със знаците му. Имаме предвид, че плюсът, даден в израза, е знак за операция и не се отнася за десетичната дроб 4.3. Тази десетична дроб има свой знак плюс, който е невидим поради факта, че не е записан. Но ще го запишем за яснота:
(−3,2) + (+4,3)
Това е събиране на рационални числа с различни знаци. За да добавите рационални числа с различни знаци, трябва да извадите по-малкия модул от по-големия модул и преди получения отговор да поставите рационалното число, чийто модул е по-голям. И за да разберете кой модул е по-голям и кой е по-малък, трябва да можете да сравните модулите на тези десетични дроби, преди да ги изчислите:
(−3,2) + (+4,3) = |+4,3| − |−3,2| = 1,1
Модулът на числото 4,3 е по-голям от модула на числото −3,2, така че извадихме 3,2 от 4,3. Получихме отговор 1.1. Отговорът е положителен, тъй като отговорът трябва да бъде предшестван от знака на рационалното число, чийто модул е по-голям. И модулът на числото 4,3 е по-голям от модула на числото −3,2
Така стойността на израза −3,2 + (+4,3) е 1,1
−3,2 + (+4,3) = 1,1
Пример 15.Намерете стойността на израза 3,5 + (−8,3)
Това е събиране на рационални числа с различни знаци. Както в предишния пример, изваждаме по-малкия от по-големия модул и пред отговора поставяме знака на рационалното число, чийто модул е по-голям:
3,5 + (−8,3) = −(|−8,3| − |3,5|) = −(8,3 − 3,5) = −(4,8) = −4,8
Така стойността на израза 3,5 + (−8,3) е −4,8
Този пример може да бъде написан накратко:
3,5 + (−8,3) = −4,8
Пример 16.Намерете стойността на израза −7,2 + (−3,11)
Това е събирането на отрицателни рационални числа. За да добавите отрицателни рационални числа, трябва да съберете техните модули и да поставите минус пред получения отговор.
Можете да пропуснете записа с модули, за да не претрупвате израза:
−7,2 + (−3,11) = −7,20 + (−3,11) = −(7,20 + 3,11) = −(10,31) = −10,31
Така стойността на израза −7,2 + (−3,11) е −10,31
Този пример може да бъде написан накратко:
−7,2 + (−3,11) = −10,31
Пример 17.Намерете стойността на израза −0,48 + (−2,7)
Това е събирането на отрицателни рационални числа. Нека да добавим техните модули и да поставим минус пред получения отговор. Можете да пропуснете записа с модули, за да не претрупвате израза:
−0,48 + (−2,7) = (−0,48) + (−2,70) = −(0,48 + 2,70) = −(3,18) = −3,18
Пример 18.Намерете стойността на израза −4,9 − 5,9
Нека оградим всяко рационално число в скоби заедно със знаците му. Имаме предвид, че минусът, който се намира между рационалните числа −4,9 и 5,9, е знак за операция и не принадлежи на числото 5,9. Това рационално число има свой знак плюс, който е невидим поради факта, че не е записан. Но ще го запишем за яснота:
(−4,9) − (+5,9)
Нека заменим изваждането със събиране:
(−4,9) + (−5,9)
Получихме събирането на отрицателни рационални числа. Нека добавим техните модули и поставим минус пред получения отговор:
(−4,9) + (−5,9) = −(4,9 + 5,9) = −(10,8) = −10,8
Така стойността на израза −4,9 − 5,9 е −10,8
−4,9 − 5,9 = −10,8
Пример 19.Намерете стойността на израза 7 − 9.3
Нека поставим всяко число в скоби заедно със знаците му.
(+7) − (+9,3)
Нека заменим изваждането със събиране
(+7) + (−9,3)
(+7) + (−9,3) = −(9,3 − 7) = −(2,3) = −2,3
Така стойността на израза 7 − 9,3 е −2,3
Нека запишем решението на този пример накратко:
7 − 9,3 = −2,3
Пример 20.Намерете стойността на израза −0,25 − (−1,2)
Нека заменим изваждането със събиране:
−0,25 + (+1,2)
Получихме събиране на рационални числа с различни знаци. Нека извадим по-малкия модул от по-големия модул и пред отговора поставим знака на числото, чийто модул е по-голям:
−0,25 + (+1,2) = 1,2 − 0,25 = 0,95
Нека запишем решението на този пример накратко:
−0,25 − (−1,2) = 0,95
Пример 21.Намерете стойността на израза −3,5 + (4,1 − 7,1)
Нека изпълним действията в скоби, след което съберем получения отговор с числото −3,5
Първо действие:
4,1 − 7,1 = (+4,1) − (+7,1) = (+4,1) + (−7,1) = −(7,1 − 4,1) = −(3,0) = −3,0
Второ действие:
−3,5 + (−3,0) = −(3,5 + 3,0) = −(6,5) = −6,5
Отговор:стойността на израза −3,5 + (4,1 − 7,1) е −6,5.
Пример 22.Намерете стойността на израза (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1)
Нека направим стъпките в скобите. След това от числото, получено в резултат на изпълнение на първите скоби, извадете числото, получено в резултат на изпълнение на вторите скоби:
Първо действие:
3,5 − 2,9 = (+3,5) − (+2,9) = (+3,5) + (−2,9) = 3,5 − 2,9 = 0,6
Второ действие:
3,7 − 9,1 = (+3,7) − (+9,1) = (+3,7) + (−9,1) = −(9,1 − 3,7) = −(5,4) = −5,4
Трето действие
0,6 − (−5,4) = (+0,6) + (+5,4) = 0,6 + 5,4 = 6,0 = 6
Отговор:стойността на израза (3,5 − 2,9) − (3,7 − 9,1) е 6.
Пример 23.Намерете стойността на израз −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15
Нека оградим всяко рационално число в скоби заедно със знаците му
(−3,8) + (+17,15) − (+6,2) − (+6,15)
Нека заменим изваждането със събиране, където е възможно:
(−3,8) + (+17,15) + (−6,2) + (−6,15)
Изразът се състои от няколко термина. Според комбинаторния закон за събиране, ако изразът се състои от няколко термина, тогава сумата няма да зависи от реда на действията. Това означава, че условията могат да се добавят в произволен ред.
Нека не преоткриваме колелото, а да добавим всички термини отляво надясно в реда, в който се появяват:
Първо действие:
(−3,8) + (+17,15) = 17,15 − 3,80 = 13,35
Второ действие:
13,35 + (−6,2) = 13,35 − −6,20 = 7,15
Трето действие:
7,15 + (−6,15) = 7,15 − 6,15 = 1,00 = 1
Отговор:стойността на израза −3,8 + 17,15 − 6,2 − 6,15 е 1.
Пример 24.Намерете стойността на израз
Да преведем десетичен знак−1,8 в смесено число. Нека пренапишем останалото, без да променяме:
