функция y = f (х)е закон (правило), според който всеки елемент x от множеството X е свързан с един и само един елемент y от множеството Y.
Елемент х ∈ XНаречен аргумент на функциятаили независима променлива.
Елемент y ∈ YНаречен стойност на функциятаили зависима променлива.
Множеството X се нарича област на функцията.
Набор от елементи y ∈ Y, които имат прообрази в множеството X, се нарича област или набор от функционални стойности.
Действителната функция се извиква ограничен отгоре (отдолу), ако има число M такова, че неравенството е валидно за всички:
.
Извиква се числовата функция ограничен, ако има число M такова, че за всички:
.
Горен ръбили точен горен лимит
Реална функция се нарича най-малкото число, което ограничава диапазона от стойности отгоре. Тоест, това е число s, за което за всеки и за всеки има аргумент, чиято функционална стойност надвишава s′: .
Горната граница на функция може да бъде обозначена по следния начин:
.
Съотв долен ръбили точна долна границаРеална функция се нарича най-голямото число, което ограничава диапазона от стойности отдолу. Тоест това е число i, за което за всеки и за всеки има аргумент, чиято функционална стойност е по-малка от i′: .
Инфимумът на функция може да бъде означен по следния начин:
.
Определяне на границата на функция
Определяне на границата на функция по Коши
Крайни граници на функция в крайните точки
Нека функцията е дефинирана в някаква околност на крайната точка, с възможно изключение на самата точка. в точка, ако за всяко има такова нещо в зависимост от това за всички x, за които неравенството е в сила
.
Границата на функция се обозначава по следния начин:
.
Или при .
Използвайки логическите символи на съществуване и универсалност, дефиницията на границата на функция може да бъде написана по следния начин:
.
Едностранни ограничения.
Лява граница в точка (лява граница):
.
Дясна граница в точка (дясна граница):
.
Лявата и дясната граница често се обозначават по следния начин:
;
.
Крайни граници на функция в безкрайни точки
Границите в точки на безкрайност се определят по подобен начин.
.
.
.
Те често се наричат:
;
;
.
Използване на концепцията за околност на точка
Ако въведем концепцията за пунктирана околност на точка, тогава можем да дадем единна дефиниция на крайната граница на функция в крайни и безкрайно отдалечени точки:
.
Тук за крайни точки
;
;
.
Всяко съседство на точки в безкрайност е пробито:
;
;
.
Безкрайни граници на функциите
Определение
Нека функцията е дефинирана в някаква пунктирана околност на точка (крайна или в безкрайност). Граница на функция f (х)като x → x 0
е равно на безкрайност, ако за всяко произволно голямо число M > 0
, има число δ M > 0
, в зависимост от M, че за всички x, принадлежащи на пунктираната δ M - околност на точката: , е валидно следното неравенство:
.
Безкрайната граница се обозначава по следния начин:
.
Или при .
Използвайки логическите символи на съществуване и универсалност, дефиницията на безкрайната граница на функция може да бъде написана по следния начин:
.
Можете също да въведете дефиниции на безкрайни граници на определени знаци, равни на и :
.
.
Универсална дефиниция на лимита на функция
Използвайки концепцията за околност на точка, можем да дадем универсална дефиниция на крайната и безкрайната граница на функция, приложима както за крайни (двустранни и едностранни), така и за безкрайно отдалечени точки:
.
Определяне на границата на функция по Хайне
Нека функцията е дефинирана на някакво множество X:.
Числото a се нарича граница на функциятав точка:
,
ако за всяка последователност, сходна към x 0
:
,
чиито елементи принадлежат на множеството X: ,
.
Нека напишем това определение, използвайки логическите символи на съществуване и универсалност:
.
Ако вземем лявата околност на точката x като множество X 0 , тогава получаваме дефиницията на лявата граница. Ако е дясна, тогава получаваме дефиницията на дясната граница. Ако вземем околността на точка в безкрайност като множество X, получаваме дефиницията на границата на функция в безкрайност.
Теорема
Дефинициите на Коши и Хайне за границата на функция са еквивалентни.
Доказателство
Свойства и теореми за границата на функция
Освен това приемаме, че разглежданите функции са дефинирани в съответната околност на точката, която е крайно число или един от символите: . Тя може да бъде и едностранна гранична точка, тоест да има формата или . Кварталът е двустранен за двустранна граница и едностранен за едностранна граница.
Основни свойства
Ако стойностите на функцията f (х)променя (или прави недефиниран) краен брой точки x 1, x 2, x 3, ... x n, тогава тази промяна няма да повлияе на съществуването и стойността на границата на функцията в произволна точка x 0 .
Ако има крайна граница, тогава има пунктирана околност на точката x 0
, на която функцията f (х)ограничен:
.
Нека функцията има в точка x 0
крайна ненулева граница:
.
Тогава за произволно число c от интервала има такава пунктирана околност на точката x 0
за какво,
, Ако ;
, Ако .
Ако в някои пунктирани околности на точката, , е константа, тогава .
Ако има крайни граници и и върху някаква пунктирана околност на точката x 0
,
Че .
Ако , и в някои околности на точката
,
Че .
По-специално, ако в някакъв квартал на точка
,
тогава ако , тогава и ;
ако , тогава и .
Ако в някаква пунктирана околност на точка x 0
:
,
и има крайни (или безкрайни с определен знак) равни граници:
, Че
.
Доказателствата за основните свойства са дадени на страницата
"Основни свойства на границите на функция."
Аритметични свойства на границата на функция
Нека функциите и са дефинирани в някаква пунктирана околност на точката . И нека има крайни граници:
И .
И нека C е константа, тоест дадено число. Тогава
;
;
;
, Ако .
Ако, тогава.
На страницата са дадени доказателства за аритметични свойства
„Аритметични свойства на границите на функция“.
Критерий на Коши за съществуване на лимит на функция
Теорема
За да може функция, дефинирана в някакъв пунктиран околност на крайна или безкрайна точка x 0
, имаше крайна граница в тази точка, е необходимо и достатъчно за всяко ε > 0
имаше такава пробита околност на точката x 0
, че за всякакви точки и от тази околност е валидно следното неравенство:
.
Граница на сложна функция
Пределна теорема сложна функция
Нека функцията има граница и картографира пунктирана околност на точка върху прободена околност на точка. Нека функцията е дефинирана в тази околност и има ограничение върху нея.
Ето крайните или безкрайно отдалечени точки: . Кварталите и съответните им граници могат да бъдат както двустранни, така и едностранни.
Тогава има граница на сложна функция и тя е равна на:
.
Граничната теорема на сложна функция се прилага, когато функцията не е дефинирана в точка или има стойност, различна от границата. За да се приложи тази теорема, трябва да има пробита околност на точката, където наборът от стойности на функцията не съдържа точката:
.
Ако функцията е непрекъсната в точка , тогава знакът за граница може да се приложи към аргумента непрекъсната функция:
.
Следва теорема, съответстваща на този случай.
Теорема за границата на непрекъсната функция на функция
Нека има граница на функцията g (T)като t → t 0
, и е равно на x 0
:
.
Ето точка t 0
може да бъде ограничено или безкрайно отдалечено: .
И нека функцията f (х)е непрекъсната в точка x 0
.
Тогава има граница на комплексната функция f (g(t)), и е равно на f (x0):
.
Доказателствата на теоремите са дадени на страницата
"Граница и непрекъснатост на сложна функция".
Безкрайно малки и безкрайно големи функции
Безкрайно малки функции
Определение
За една функция се казва, че е безкрайно малка, ако
.
Сбор, разлика и произведениена краен брой безкрайно малки функции при е безкрайно малка функция при .
Продукт на ограничена функциявърху някои пунктирани околности на точката, до безкрайно малка при е безкрайно малка функция при .
За да има една функция краен предел е необходимо и достатъчно, че
,
където - безкрайно малка функцияпри .
„Свойства на безкрайно малки функции“.
Безкрайно големи функции
Определение
За една функция се казва, че е безкрайно голяма, ако
.
Сумата или разликата на ограничена функция в някаква пунктирана околност на точката и безкрайно голяма функция в е безкрайна страхотна функцияпри .
Ако функцията е безкрайно голяма за и функцията е ограничена в някаква пробита околност на точката, тогава
.
Ако функцията, в някаква пунктирана околност на точката, удовлетворява неравенството:
,
и функцията е безкрайно малка при:
, и (на някои пробити околности на точката), тогава
.
Доказателствата за свойствата са представени в раздела
„Свойства на безкрайно големи функции“.
Връзка между безкрайно големи и безкрайно малки функции
От двете предишни свойства следва връзката между безкрайно големи и безкрайно малки функции.
Ако една функция е безкрайно голяма при , тогава функцията е безкрайно малка при .
Ако една функция е безкрайно малка за , и , тогава функцията е безкрайно голяма за .
Връзката между безкрайно малка и безкрайно голяма функция може да се изрази символично:
,
.
Ако една безкрайно малка функция има определен знак при , т.е. тя е положителна (или отрицателна) в някои пунктирани околности на точката , тогава този факт може да се изрази по следния начин:
.
По същия начин, ако безкрайно голяма функция има определен знак при , тогава те пишат:
.
Тогава символната връзка между безкрайно малки и безкрайно големи функции може да се допълни със следните отношения:
,
,
,
.
Допълнителни формули, свързани със символи за безкрайност, могат да бъдат намерени на страницата
"Точки в безкрайността и техните свойства."
Граници на монотонни функции
Определение
Извиква се функция, дефинирана върху някакъв набор от реални числа X строго нараства, ако за всички такива, че следва следното неравенство:
.
Съответно за строго намаляващфункция важи следното неравенство:
.
За ненамаляващ:
.
За ненарастващ:
.
От това следва, че една строго нарастваща функция е и ненамаляваща. Строго намаляваща функция също е ненарастваща.
Функцията се извиква монотонен, ако не намалява или не нараства.
Теорема
Нека функцията не намалява на интервала, където .
Ако е ограничено отгоре с числото M: тогава има крайна граница. Ако не е ограничено отгоре, тогава .
Ако е ограничено отдолу с числото m: тогава има крайна граница. Ако не е ограничено отдолу, тогава .
Ако точките a и b са в безкрайност, тогава в изразите граничните знаци означават, че .
Тази теорема може да се формулира по-компактно.
Нека функцията не намалява на интервала, където . Тогава има едностранни граници в точки a и b:
;
.
Подобна теорема за ненарастваща функция.
Нека функцията не нараства на интервала, където . След това има едностранни ограничения:
;
.
Доказателството на теоремата е представено на страницата
"Граници на монотонни функции".
Препратки:
Л.Д. Кудрявцев. добре математически анализ. Том 1. Москва, 2003 г.
СМ. Николски. Курс по математически анализ. Том 1. Москва, 1983 г.
Решение ограничения на онлайн функциите. Намерете граничната стойност на функция или функционална последователност в точка, изчислете крайнастойността на функцията в безкрайност. определят сходимостта на редица от числа и много повече може да се направи благодарение на нашия онлайн услуга- . Позволяваме ви да намерите функционални ограничения онлайн бързо и точно. Вие го въвеждате сами функционална променливаи границата, към която се стреми, нашият сервиз извършва всички изчисления вместо вас, като дава точен и лесен отговор. И за намиране на лимита онлайнможете да въвеждате както числови серии, така и аналитични функции, съдържащи константи в буквален израз. В този случай намерената граница на функцията ще съдържа тези константи като постоянни аргументи в израза. Нашата услуга решава всякакви сложни проблеми с намирането лимити онлайн, достатъчно е да посочите функцията и точката, в която е необходимо да се изчисли гранична стойност на функцията. Изчисляване онлайн ограничения, можеш да използваш различни методии правилата за тяхното решаване, при проверка на получения резултат с решаване на лимити онлайнна www.site, което ще доведе до успешно изпълнение на задачата - ще избегнете собствените си грешки и технически грешки. Или можете напълно да ни се доверите и да използвате нашия резултат в работата си, без да харчите допълнителни усилия и време за самостоятелно изчисляване на границата на функцията. Разрешаваме въвеждане на гранични стойности като безкрайност. Необходимо е да се въведе общ член на числова редица и www.сайтще изчисли стойността лимит онлайндо плюс или минус безкрайност.
Една от основните концепции на математическия анализ е ограничение на функциятаИ ограничение на последователносттав точка и в безкрайност е важно да можете да решавате правилно граници. С нашата услуга това няма да е трудно. Взема се решение лимити онлайнслед няколко секунди отговорът е точен и пълен. Изучаването на математическия анализ започва с преход към границата, границисе използват в почти всички области на висшата математика, така че е полезно да имате под ръка сървър за онлайн решения за лимити, който е сайтът.
Граница на функция в точка и при
Границата на функция е основният апарат на математическия анализ. С негова помощ впоследствие се определят непрекъснатостта на функция, производна, интеграл и сума на редица.
Нека функцията y=f(х)определени в някаква околност на точката 
, освен може би самата точка 
.
Нека формулираме две еквивалентни дефиниции на границата на функция в точка.
Определение 1 (на “езика на последователностите”, или по Хайне). Номер bНаречен граница на функцията
г=f(х)
в точката
(или кога 
), ако за всяка последователност от валидни стойности на аргумент 
сближаване с
(тези. 
), последователност от съответните функционални стойности 
се свежда до число b(тези. 
).
В този случай те пишат 
или 
при 
. Геометричен смисъл на границата на функция: 
означава, че за всички точки х, достатъчно близо до точката
, съответните стойности на функцията се различават толкова малко, колкото желаете, от числото b.
Определение 2 (на „език“, или според Коши). Номер bНаречен граница на функцията
г=f(х)
в точката
(или кога 
), ако за всяко положително число има положително число такова, че за всички 
удовлетворяващи неравенството 
, неравенството е в сила 
.
Записвам 
.
Това определение може да се напише накратко по следния начин:
забележи това 
може да се напише така 
.
Ж 
геометричен смисъл на границата на функция: 
, ако за всяка околност на точката bима такава околност на точката
това е за всички 
от този квартал съответните стойности на функцията f
(х) лежат в околността на точката b. С други думи, точките върху графиката на функцията г
=
f
(х) лежат вътре в лента с ширина 2, ограничена от прави линии при
= b + ,
при = b (Фигура 17). Очевидно стойността на зависи от избора на , така че те пишат = ().
ПримерДокажи това 
Решение
. Нека вземем произволно 0 и намерим = () 0, така че за всички х 
, неравенството е в сила 
. Тъй като от 
тези. 
, след това като 
, виждаме това за всички х, удовлетворяващи неравенството 
, неравенството е в сила 
. следователно 
ПримерДокажете, че ако f
(х) =
с, Че 
.
Решение
. За 
можете да го вземете 
. След това при 
ние имаме . следователно 
.
При определяне на границата на функция 
Вярва се, че хсе стреми към
по какъвто и да е начин: оставайки по-малко от
(вляво от
), по-велик от
(вдясно от
), или колебание около точка
.
Има случаи, когато методът за приближаване на аргумент хДа се
значително влияе върху стойността на границата на функцията. Поради това се въвеждат концепциите за едностранни ограничения.
Определение. Номер 
Наречен граница на функцията
г=f(х)
наляво
в точката
, ако за всяко число 0 съществува число = () 0 такова, че за 
, неравенството е в сила 
.
Ограничението отляво е изписано по следния начин 
или за кратко 
(нотация на Дирихле) (Фигура 18).
Определено по подобен начин граница на функцията вдясно , нека го запишем със символи:
Накратко, границата вдясно е обозначена 
.
П 
Извикват се частите на функция отляво и отдясно еднопосочни ограничения
. Очевидно, ако има 
, тогава съществуват и двете едностранни ограничения, и 
.
Обратното също е вярно: ако съществуват и двете граници 
И 
и те са равни, тогава има граница 
И .
Ако 
, Че 
не съществува.
Определение. Нека функцията г=f(х) се определя в интервала 
. Номер bНаречен граница на функцията
г=f(х)
при
х , ако за всяко число 0 има такова число М
= М() 0, което за всички х, удовлетворяващи неравенството 
неравенството е в сила 
. Накратко това определение може да се напише по следния начин:
д 
ако х +, тогава пишат 
, Ако х , тогава пишат 
, Ако 
=
, тогава обикновено се обозначава тяхното общо значение 
.
Геометричният смисъл на това определение е следният: за 
, че при 
И 
съответните функционални стойности г=f(х) попадат в околността на точката b, т.е. точките на графиката лежат в лента с ширина 2, ограничена от прави линии 
И 
(Фигура 19).
Ограничение на функцията- номер аще бъде границата на някаква променлива величина, ако в процеса на нейното изменение тази променлива величина неограничено се доближава до а.
Или с други думи, числото Ае границата на функцията y = f(x)в точката х 0, ако за всяка поредица от точки от областта на дефиниране на функцията , не е равно х 0, и който се събира до точката x 0 (lim x n = x0), последователността от съответните функционални стойности се сближава с числото А.
Графиката на функция, чиято граница, при даден аргумент, клонящ към безкрайност, е равна на Л:
Значение Ае граница (гранична стойност) на функцията f(x)в точката х 0в случай на произволна последователност от точки 
, който се сближава с х 0, но който не съдържа х 0като един от неговите елементи (т.е. в пробитата околност х 0), последователност от функционални стойности 
се сближава с А.
Предел на функция по Коши.
Значение Аще бъде граница на функцията f(x)в точката х 0ако за всяко неотрицателно число, взето предварително ε съответното неотрицателно число ще бъде намерено δ = δ(ε) така че за всеки аргумент х, отговарящи на условието 0 < | x - x0 | < δ , неравенството ще бъде изпълнено | f(x)A |< ε .
Ще бъде много просто, ако разберете същността на лимита и основните правила за намирането му. Каква е границата на функцията е (х)при хстремеж към аравно на А, се записва така:
Освен това стойността, към която клони променливата х, може да бъде не само число, но и безкрайност (∞), понякога +∞ или -∞, или може изобщо да няма ограничение.
За да разберете как намерете границите на функция, най-добре е да разгледате примерни решения.
Необходимо е да се намерят границите на функцията е (x) = 1/хв:
х→ 2, х→ 0, х→ ∞.
Нека намерим решение на първата граница. За да направите това, можете просто да замените хчислото, към което клони, т.е. 2, получаваме:
Нека намерим втората граница на функцията. Заместник тук чиста форма 0 вместо това хневъзможно е, защото Не можете да разделите на 0. Но можем да вземем стойности близки до нула, например 0,01; 0,001; 0,0001; 0,00001 и така нататък и стойността на функцията е (х)ще се увеличи: 100; 1000; 10000; 100 000 и така нататък. По този начин може да се разбере, че когато х→ 0 стойността на функцията, която е под знака за граница, ще нараства неограничено, т.е. стремеж към безкрайността. Което означава:
Относно третото ограничение. Същата ситуация, както в предишния случай, е невъзможно да се замени ∞ в най-чист вид. Трябва да разгледаме случая на неограничено увеличение х. Заменяме 1000 един по един; 10000; 100 000 и така нататък, имаме тази стойност на функцията е (x) = 1/хще намалее: 0,001; 0,0001; 0,00001; и така нататък, клонейки към нула. Ето защо:
Необходимо е да се изчисли границата на функцията 
Започвайки да решаваме втория пример, виждаме несигурност. От тук намираме най-високата степен на числителя и знаменателя - това е х 3, изваждаме го извън скоби в числителя и знаменателя и след това го намаляваме с:
Отговор 
Първата стъпка в намирането на тази граница, вместо това заменете стойността 1 х, което води до несигурност. За да го решим, нека разложим числителя на множители и направим това, използвайки метода за намиране на корени квадратно уравнение х 2 + 2х - 3:
D = 2 2 - 4*1*(-3) = 4 +12 = 16→ √ D=√16 = 4
x 1,2 = (-2±4)/2→ x 1 = -3;х 2= 1.
Така че числителят ще бъде:
Отговор 
Това е дефиницията на нейната специфична стойност или определена област, в която попада функцията, която е ограничена от границата.
За да разрешите ограничения, следвайте правилата:
Разбрал същността и осн правила за решаване на границата, ще получите основно разбиране как да ги разрешите.
Постоянно число АНаречен лимит последователности(x n ), ако за произволно малко положително числоε > 0 има число N, което има всички стойности x n, за които n>N, удовлетворяват неравенството
|x n - a|< ε. (6.1)
Запишете го по следния начин: или x n →а.
Неравенството (6.1) е еквивалентно на двойното неравенство
а- ε< x n < a + ε, (6.2)
което означава, че точките x n, започвайки от някакво число n>N, лежат вътре в интервала (a-ε, a+ ε ), т.е. попадат във всеки малъкε -околност на точка А.
Извиква се последователност с граница конвергентен, в противен случай - разнопосочни.
Концепцията за граница на функция е обобщение на концепцията за граница на последователност, тъй като границата на последователност може да се разглежда като граница на функция x n = f(n) на целочислен аргумент н.
Нека функцията f(x) е дадена и нека а - гранична точкаобласт на дефиниция на тази функция D(f), т.е. такава точка, всяка околност на която съдържа точки от множеството D(f), различни от а. Точка аможе или не може да принадлежи на множеството D(f).
Определение 1.Постоянното число А се нарича лимит функции f(x) при x→a, ако за всяка последователност (x n) от стойности на аргументи, клонящи към А, съответните последователности (f(x n)) имат същата граница A.
Това определение се нарича чрез дефиниране на границата на функция според Хайне,или " на езика на последователността”.
Определение 2. Постоянното число А се нарича лимит функции f(x) при x→a, ако чрез задаване на произволно произволно малко положително число ε, може да се намери такова δ>0 (в зависимост от ε), което е за всеки х, лежи вε-околности на числото А, т.е. За х, удовлетворяващи неравенството
0 <
х-а< ε
, стойностите на функцията f(x) ще лежат вε-околност на числото A, т.е.|f(x)-A|<
ε.
Това определение се нарича чрез определяне на границата на функция според Коши,или “в езика ε - δ “.
Дефиниции 1 и 2 са еквивалентни. Ако функцията f(x) като x →а има лимит, равно на A, това е записано във формата
. (6.3)
В случай, че последователността (f(x n)) нараства (или намалява) без ограничение за всеки метод на приближение хдо вашия лимит А, тогава ще кажем, че функцията f(x) има безкраен предел,и го запишете във формата:
Извиква се променлива (т.е. последователност или функция), чиято граница е нула безкрайно малък.
Извиква се променлива, чиято граница е равна на безкрайност безкрайно голям.
За намиране на границата на практика се използват следните теореми.
Теорема 1 . Ако всяка граница съществува
(6.4)
(6.5)
(6.6)
Коментирайте. Изрази като 0/0, ∞/∞, ∞-∞ , 0*∞ , - са несигурни, например съотношението на две безкрайно малки или безкрайно големи количества и намирането на граница от този тип се нарича „разкриване на несигурности“.
Теорема 2. (6.7)
тези. човек може да стигне до границата въз основа на степента с постоянен показател, по-специално, 
;
(6.8)
(6.9)
Теорема 3.
(6.10)
(6.11)
Където д » 2.7 - основата на естествения логаритъм. Формулите (6.10) и (6.11) се наричат първи прекрасен лимити втората забележителна граница.
Следствията от формула (6.11) се използват и на практика:
(6.12)
(6.13)
(6.14)
по-специално ограничението,
Ако x → a и в същото време x > a, тогава напишете x→a + 0. Ако по-специално a = 0, тогава вместо символа 0+0 напишете +0. По същия начин, ако x→a и в същото време x 
и се наричат съответно дясна границаИ лява граница функции f(x) в точката А. За да има граница на функцията f(x) при x→a е необходимо и достатъчно, така че 
. Извиква се функцията f(x). непрекъснато в точката x 0 ако е ограничение
. (6.15)
Условието (6.15) може да бъде пренаписано като:
,
т.е. преминаването до границата под знака на функция е възможно, ако тя е непрекъсната в дадена точка.
Ако равенството (6.15) е нарушено, тогава казваме това при x = xo функция f(x) То има празнина.Да разгледаме функцията y = 1/x. Областта на дефиниране на тази функция е множеството Р, с изключение на x = 0. Точката x = 0 е гранична точка на множеството D(f), тъй като във всяка негова околност, т.е. във всеки отворен интервал, съдържащ точка 0, има точки от D(f), но самият той не принадлежи на това множество. Стойността f(x o)= f(0) не е дефинирана, така че в точката x o = 0 функцията има прекъсване.
Извиква се функцията f(x). непрекъснато отдясно в точката x o ако границата
,
И непрекъснато отляво в точката x o, ако границата
.
Непрекъснатост на функция в точка x oе еквивалентен на неговата непрекъснатост в тази точка както отдясно, така и отляво.
За да бъде функцията непрекъсната в точката x o, например вдясно, е необходимо, първо, да има крайна граница, и второ, тази граница да е равна на f(x o). Следователно, ако поне едно от тези две условия не е изпълнено, тогава функцията ще има прекъсване.
1. Ако границата съществува и не е равна на f(x o), тогава те казват това функция f(x) в точката x o има разкъсване от първи вид,или скок.
2. Ако ограничението е+∞ или -∞ или не съществува, тогава казват, че в точка x o функцията има прекъсване втори вид.
Например функция y = cot x при x→ +0 има граница равна на +∞, което означава, че в точката x=0 има прекъсване от втори род. Функция y = E(x) (цяла част от х) в точки с цели абциси има прекъсвания от първи род или скокове.
Извиква се функция, която е непрекъсната във всяка точка от интервала непрекъснато V . Непрекъсната функция се представя с плътна крива.
Много проблеми, свързани с непрекъснатото нарастване на някакво количество, водят до втората забележителна граница. Такива задачи например включват: нарастване на депозитите според закона за сложната лихва, нарастване на населението на страната, разпадане на радиоактивни вещества, разпространение на бактерии и др.
Нека помислим пример на Я. И. Перелман, давайки тълкуване на числото дв проблема със сложната лихва. Номер дима ограничение 
. В спестовните банки парите от лихви се добавят към основния капитал всяка година. Ако присъединяването се извършва по-често, тогава капиталът расте по-бързо, тъй като по-голяма сума участва във формирането на лихвата. Нека вземем един чисто теоретичен, много опростен пример. Нека 100 дение се депозират в банката. единици на база 100% годишно. Ако парите за лихви се добавят към основния капитал само след една година, тогава до този период 100 ден. единици ще се превърне в 200 парични единици. Сега да видим в какво ще се превърнат 100 дениза. единици, ако парите от лихви се добавят към основния капитал на всеки шест месеца. След шест месеца 100 ден. единици ще нарасне до 100×
1,5 = 150, а след още шест месеца - на 150×
1,5 = 225 (ден. единици). Ако присъединяването се извършва на всяка 1/3 от годината, то след година 100 ден. единици ще се превърне в 100× (1 +1/3) 3 " 237 (ден. единици). Ще увеличим сроковете за добавяне на лихвени пари на 0,1 година, на 0,01 година, на 0,001 година и т.н. Тогава от 100 ден. единици след година ще бъде:
100 × (1 +1/10) 10 » 259 (ден. единици),
100 × (1+1/100) 100 » 270 (ден. единици),
100 × (1+1/1000) 1000 » 271 (ден. единици).
При неограничено намаляване на условията за добавяне на лихва, натрупаният капитал не расте безкрайно, а се доближава до определен лимит, равен на приблизително 271. Капиталът, депозиран при 100% годишно, не може да се увеличи с повече от 2,71 пъти, дори ако натрупаната лихва се добавят към капитала всяка секунда, тъй като ограничението
Пример 3.1.Като използвате дефиницията на границата на редица от числа, докажете, че редицата x n =(n-1)/n има граница, равна на 1.
Решение.Трябва да го докажем, независимо от всичкоε > 0 каквото и да вземем, има нещо за него естествено число N, така че за всички n N неравенството е в сила|x n -1|< ε.
Нека вземем всяко e > 0. Тъй като ; x n -1 =(n+1)/n - 1= 1/n, тогава за намиране на N е достатъчно да се реши неравенството 1/n< д. Следователно n>1/ e и следователно N може да се приеме като цяло число от 1/ e , N = E(1/ e ). По този начин доказахме, че границата.
Пример 3.2
. Намерете границата на редица, дадена от общ член 
.
Решение.Нека приложим границата на теоремата за сбора и да намерим границата на всеки член. Когато n→ ∞ числителят и знаменателят на всеки член клонят към безкрайност и не можем директно да приложим теоремата за границата на частното. Затова първо трансформираме x n, разделяне на числителя и знаменателя на първия член на n 2, а вторият на н. След това, прилагайки границата на частното и границата на теоремата за сумата, намираме:
.
Пример 3.3. 
. Намирам .
Решение. 
.
Тук използвахме теоремата за границата на степента: границата на степента е равна на степента на границата на основата.
Пример 3.4
. Намирам ( 
).
Решение.Невъзможно е да се приложи теоремата за границата на разликата, тъй като имаме несигурност на формата ∞-∞ . Нека трансформираме общата формула на термина:
.
Пример 3.5 . Дадена е функцията f(x)=2 1/x. Докажете, че няма ограничение.
Решение.Нека използваме дефиниция 1 на границата на функция чрез последователност. Нека вземем последователност ( x n ), сходна към 0, т.е. Нека покажем, че стойността f(x n)= се държи различно за различните последователности. Нека x n = 1/n. Очевидно тогава границата 
Нека сега изберем като x nпоследователност с общ член x n = -1/n, също клонящ към нула. 
Следователно няма ограничение.
Пример 3.6 . Докажете, че няма ограничение.
Решение.Нека x 1 , x 2 ,..., x n ,... е последователност, за която
. Как се държи последователността (f(x n)) = (sin x n) за различни x n → ∞
Ако x n = p n, тогава sin x n = sin p n = 0 за всички ни границата Ако
x n =2 p n+ p /2, тогава sin x n = sin(2 p n+ p /2) = sin p /2 = 1 за всички ни следователно границата. Значи не съществува.
Уиджет за изчисляване на лимити онлайн
В горния прозорец, вместо sin(x)/x, въведете функцията, чиято граница искате да намерите. В долния прозорец въведете числото, към което x клони и щракнете върху бутона Calcular, вземете желаната граница. И ако в прозореца с резултати щракнете върху Покажи стъпки в горния десен ъгъл, ще получите подробно решение.
Правила за въвеждане на функции: sqrt(x)- Корен квадратен, cbrt(x) - кубичен корен, exp(x) - експонента, ln(x) - натурален логаритъм, sin(x) - синус, cos(x) - косинус, tan(x) - тангенс, cot(x) - котангенс, arcsin(x) - арксинус, arccos(x) - аркосинус, arctan(x) - арктангенс. Знаци: * умножение, / деление, ^ степенуване вместо това безкрайностБезкрайност. Пример: функцията се въвежда като sqrt(tan(x/2)).
