Диференциални уравнения на вариация на произволна константа. Решаване на линейни нехомогенни диференциални уравнения от по-високи редове по метода на Лагранж

Разгледайте линейно нехомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти от произволен n-ти ред:
(1) .
Методът на вариация на константа, който разгледахме за уравнение от първи ред, е приложим и за уравнения от по-висок ред.

Разтворът се извършва на два етапа. В първата стъпка отхвърляме дясната страна и решаваме хомогенното уравнение. В резултат на това получаваме решение, съдържащо n произволни константи. На втория етап променяме константите. Тоест, ние вярваме, че тези константи са функции на независимата променлива x и намираме формата на тези функции.

Въпреки че тук разглеждаме уравнения с постоянни коефициенти, но Методът на Лагранж е приложим и за решаване на всякакви линейни нехомогенни уравнения. За това обаче трябва да се знае фундаменталната система от решения на еднородното уравнение.

Стъпка 1. Решаване на хомогенното уравнение

Както в случая с уравнения от първи ред, първо търсим общо решение на хомогенното уравнение, приравнявайки дясната нехомогенна страна на нула:
(2) .
Общото решение на това уравнение е:
(3) .
Ето произволни константи; - n линейно независими решения на хомогенно уравнение (2), които образуват фундаментална система от решения на това уравнение.

Стъпка 2. Вариация на константи - замяна на константи с функции

На втория етап ще се занимаваме с вариацията на константите. С други думи, ще заменим константите с функции на независимата променлива x:
.
Тоест търсим решение оригинално уравнение(1), както следва:
(4) .

Ако заместим (4) в (1), получаваме едно диференциално уравнение за n функции. В този случай можем да свържем тези функции с допълнителни уравнения. След това получавате n уравнения, от които могат да бъдат определени n функции.. Но ще направим това така, че решението да има най-простата форма. За да направите това, когато диференцирате, трябва да приравните към нула членовете, съдържащи производни на функциите.

Нека демонстрираме това. За да заместим предложеното решение (4) в оригиналното уравнение (1), трябва да намерим производните на първите n реда на функцията, записана във формата (4). Разграничаваме (4) с помощта направила за диференциране на суми
.
и работи:

.
Нека групираме членовете. Първо записваме термините с производни на , а след това и термините с производни на :
(5.1) .
Нека наложим първото условие на функциите:
(6.1) .

Тогава изразът за първата производна по отношение на ще има по-проста форма:

.
Използвайки същия метод, намираме втората производна:
(5.2) .
Нека наложим второ условие на функциите:
(6.2) .
Тогава И т.н. INдопълнителни условия

, приравняваме членове, съдържащи производни на функции, на нула.
Така, ако изберем следните допълнителни уравнения за функциите: ,
(5.k)
тогава първите производни по отношение на ще имат най-простата форма: .
(6.k)

Тук.
Намерете n-тата производна:
.

(6.n)
(1) ;






.
Заместете в оригиналното уравнение (1):
.
Нека вземем предвид, че всички функции отговарят на уравнение (2):
(7) .

Тогава сумата от членовете, съдържащи нула, дава нула. В резултат получаваме:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
В резултат на това получихме система от линейни уравнения за производни: ;
(5.n-1) .

(7′)
.
Решавайки тази система, намираме изрази за производни като функция на x.

Интегрирайки, получаваме: Ето константи, които вече не зависят от x. Замествайки в (4), получаваме общо решение на първоначалното уравнение.Обърнете внимание, че за определяне на стойностите на производните никога не сме използвали факта, че коефициентите a i са постоянни. Ето защо

Методът на Лагранж е приложим за решаване на всякакви линейни нехомогенни уравнения

, ако е известна фундаменталната система от решения на хомогенното уравнение (2).

Примери Решете уравнения, като използвате метода на вариацията на константите (Лагранж).Нека се обърнем към разглеждането на линейните нехомогенни

диференциални уравнения вид Къде



- необходимата функция на аргумента
.

, и функциите са дадени и непрекъснати на определен интервалНека въведем в разглеждане линейното хомогенно уравнение, лявата страна (2.31),

която съвпада с лявата страна нехомогенно уравнение (2.31).

Извиква се уравнение от вида (2.32).

хомогенно уравнение, съответстващо на нехомогенното уравнениеЗа структурата на общото решение на нехомогенното линейно уравнение (2.31) е в сила следната теорема.

Теорема 2.6.

диференциални уравнения - специално решение на уравнение (2.31),
е основната система от решения на хомогенното уравнение (2.32), и
- произволни константи.

Ще намерите доказателството на тази теорема в.

Използвайки примера на диференциално уравнение от втори ред, ще очертаем метод, чрез който може да се намери конкретно решение на линейно нехомогенно уравнение. Този метод се нарича Метод на Лагранж за вариация на произволни константи.

И така, нека ни е дадено нехомогенно линейно уравнение

(2.35)

къде са коефициентите
и дясната страна
непрекъснато в някакъв интервал
.

Нека означим с
И
фундаментална система от решения на хомогенното уравнение

(2.36)

Тогава общото му решение има вида

(2.37)

диференциални уравнения И - произволни константи.

Ще търсим решение на уравнение (2.35) в същата форма , както и общото решение на съответното хомогенно уравнение, замествайки произволни константи с някои диференцируеми функции на (ние променяме произволни константи),тези.

диференциални уравнения
И
- някои диференцируеми функции от , които все още са неизвестни и които ще се опитаме да определим, така че функция (2.38) да бъде решение на нехомогенното уравнение (2.35). Диференцирайки двете страни на равенството (2.38), получаваме

Така че при изчисляване производни от втори ред на
И
, изискваме това навсякъде в
условието беше изпълнено

Тогава за ще имаме

Нека изчислим втората производна

Заместване на изрази за ,,от (2.38), (2.40), (2.41) в уравнение (2.35), получаваме

Изразите в квадратни скоби са равни на нула навсякъде в
, защото И - частични решения на уравнение (2.36). В този случай (2.42) ще приеме формата Комбинирайки това условие с условие (2.39), получаваме система от уравнения за определяне
И

(2.43)

Последната система е система от две алгебрични линейни нехомогенни уравнения по отношение на
И
. Детерминантата на тази система е детерминантата на Вронски за фундаменталната система от решения ,и следователно е различна от нула навсякъде в
. Това означава, че системата (2.43) има единствено решение. Като го реши по някакъв начин относително
,
ще намерим

диференциални уравнения
И
- известни функции.

Извършване на интеграция и като се има предвид, че като
,
трябва да вземем една двойка функции и да зададем интеграционните константи равни на нула. получаваме

Замествайки изрази (2.44) в отношения (2.38), можем да запишем желаното решение на нехомогенното уравнение (2.35) във формата

Този метод може да се обобщи, за да се намери конкретно решение на линейното нехомогенно уравнение -та поръчка.

Пример 2.6. Решете уравнението
при
ако функции

образуват фундаментална система от решения на съответното хомогенно уравнение.

Нека намерим конкретно решение на това уравнение. За да направим това, в съответствие с метода на Лагранж, първо трябва да решим система (2.43), която в нашия случай има формата
Намаляване на двете страни на всяко уравнение с получаваме

Изваждайки член по член на първото уравнение от второто уравнение, намираме
и след това от първото уравнение следва
Ще имаме извършване на интегриране и задаване на константите на интегриране на нула

Конкретно решение на това уравнение може да бъде представено като

Общото решение на това уравнение има формата

диференциални уравнения И - произволни константи.

И накрая, нека отбележим едно забележително свойство, което често се нарича принцип на суперпозиция на решения и се описва от следната теорема.

Теорема 2.7.Ако между
функция
- частно решение на уравнението функция
конкретно решение на уравнението на същия интервал е функцията
има конкретно решение на уравнението

Теоретичен минимум

В теорията на диференциалните уравнения има метод, който претендира за доста висока степен на универсалност за тази теория.
Говорим за метода на вариация на произволна константа, приложим към решението различни класоведиференциални уравнения и техните
системи Това е точно случаят, когато теорията - ако извадим доказателствата на твърденията извън скоби - е минимална, но ни позволява да постигнем
значителни резултати, така че акцентът ще бъде върху примерите.

Общата идея на метода е доста проста за формулиране. Нека даденото уравнение (система от уравнения) е трудно за решаване или дори неразбираемо,
как да го решим. Въпреки това е ясно, че чрез елиминиране на някои членове от уравнението, то се решава. След това решават точно това опростено
уравнение (система), получаваме решение, съдържащо определен брой произволни константи - в зависимост от реда на уравнението (числото
уравнения в системата). Тогава се приема, че константите в намереното решение всъщност не са константи;
се замества в оригиналното уравнение (система), се получава диференциално уравнение (или система от уравнения) за определяне на „константите“.
Има известна специфика в прилагането на метода на вариация на произволна константа към различни проблеми, но това вече са специфики, които ще
демонстрирани с примери.

Нека отделно разгледаме решението на линейни нееднородни уравнения от по-високи порядки, т.е. уравнения на формата
.
Общото решение на линейно нехомогенно уравнение е сумата от общото решение на съответното хомогенно уравнение и частно решение
на това уравнение. Да приемем, че вече е намерено общо решение на хомогенното уравнение, а именно построена е фундаментална система от решения (FSS).
. Тогава общото решение на хомогенното уравнение е равно на .
Трябва да намерим конкретно решение на нехомогенното уравнение. За тази цел се счита, че константите зависят от променлива.
След това трябва да решите системата от уравнения
.
Теорията гарантира, че тази система алгебрични уравненияпо отношение на производни на функции има уникално решение.
При намирането на самите функции константите на интегриране не се появяват: в крайна сметка се търси всяко едно решение.

В случай на решаване на системи от линейни нееднородни уравнения от първи ред от вида

алгоритъмът остава почти непроменен. Първо трябва да намерите съответния FSR хомогенна системауравнения, създават фундаментална матрица
система, чиито колони представляват елементите на FSR. След това се съставя уравнението
.
Когато решаваме системата, ние определяме функциите, като по този начин намираме конкретно решение на оригиналната система
(основната матрица се умножава по колоната с намерени функции).
Добавяме го към общото решение на съответната система от хомогенни уравнения, която се конструира на базата на вече намерения FSR.
Получава се общото решение на оригиналната система.

Примери.

Пример 1. Линейни нееднородни уравнения от първи ред.

Нека разгледаме съответното хомогенно уравнение (означаваме желаната функция):
.
Това уравнение може лесно да бъде решено с помощта на метода за разделяне на променливите:

.
Сега нека си представим решението на оригиналното уравнение във формата , където функцията все още не е намерена.
Ние заместваме този тип решение в оригиналното уравнение:
.
Както можете да видите, вторият и третият член от лявата страна взаимно се компенсират - това е характерна особеностметод на вариация на произволна константа.

Тук вече е наистина произволна константа. по този начин
.

Пример 2. Уравнение на Бернули.

Процедираме подобно на първия пример – решаваме уравнението

метод за разделяне на променливи. Оказва се, че търсим решение на първоначалното уравнение във формата
.
Заменяме тази функция в оригиналното уравнение:
.
И отново се случват намаленията:
.
Тук трябва да запомните, за да сте сигурни, че при разделяне на решението не се губи. И решението на оригиналното отговаря на случая
уравнения Нека го запомним. така че
.
Нека го запишем.
Това е решението. Когато записвате отговора, трябва да посочите и предварително намереното решение, тъй като то не отговаря на никаква крайна стойност
константи

Пример 3. Линейни нехомогенни уравнения от по-високи редове.

Нека веднага да отбележим, че това уравнение може да бъде решено по-просто, но е удобно да се демонстрира методът с него. Въпреки че някои предимства
Вариационният метод има произволна константа и в този пример.
И така, трябва да започнете с FSR на съответното хомогенно уравнение. Нека припомним, че за намиране на FSR се съставя характерна крива
уравнение
.
Така общото решение на хомогенното уравнение
.
Включените тук константи трябва да се променят. Създаване на система

Метод на вариация на произволни константи

Метод на вариация на произволни константи за конструиране на решение на линейно нехомогенно диференциално уравнение

а п (t)z (п) (t) + а п − 1 (t)z (п − 1) (t) + ... + а 1 (t)z"(t) + а 0 (t)z(t) = f(t)

се състои от заместване на произволни константи c кв общото решение

z(t) = c 1 z 1 (t) + c 2 z 2 (t) + ... + c п z п (t)

съответното хомогенно уравнение

а п (t)z (п) (t) + а п − 1 (t)z (п − 1) (t) + ... + а 1 (t)z"(t) + а 0 (t)z(t) = 0

за спомагателни функции c к (t) , чиито производни удовлетворяват линейната алгебрична система

Детерминантата на система (1) е Wronskian на функциите z 1 ,z 2 ,...,z п , което осигурява уникалната му разрешимост по отношение на .

Ако са антипроизводни за , взети при фиксирани стойности на интеграционните константи, тогава функцията

е решение на първоначалното линейно нехомогенно диференциално уравнение. Така интегрирането на нехомогенно уравнение при наличие на общо решение на съответното хомогенно уравнение се свежда до квадратури.

Метод на вариация на произволни константи за конструиране на решения на система от линейни диференциални уравнения във векторна нормална форма

се състои в конструирането на конкретно решение (1) във формата

Къде З(t) е основата на решенията на съответното хомогенно уравнение, записано под формата на матрица, а векторната функция , която замести вектора на произволни константи, се определя от отношението . Необходимото конкретно решение (с нулеви начални стойности при t = t 0 изглежда така

За система с постоянни коефициенти последният израз е опростен:

Матрица З(t)З− 1 (τ)наречен Матрица на Кошиоператор Л = А(t) .

Външни връзки

• exponenta.ru - Теоретична информация с примери

Фондация Уикимедия.

2010 г.

Методът на вариация на произволна константа или методът на Лагранж е друг начин за решаване на линейни диференциални уравнения от първи ред и уравнението на Бернули. Линейните диференциални уравнения от първи ред са уравнения от вида y’+p(x)y=q(x). Ако има нула от дясната страна: y’+p(x)y=0, тогава това е линейнохомогенен Уравнение от 1-ви ред. Съответно, уравнение с различно от нуладясната страна , y’+p(x)y=q(x), — разнороднилинейно уравнение

1-ва поръчка. Метод на вариация на произволна константа (метод на Лагранж)

е както следва:

2) В общото решение считаме C не за константа, а за функция на x: C = C (x). Намираме производната на общото решение (y*)’ и заместваме получения израз за y* и (y*)’ в първоначалното условие. От полученото уравнение намираме функцията C(x).

3) В общото решение на хомогенното уравнение вместо C заместваме намерения израз C(x).

Нека да разгледаме примери за метода за промяна на произволна константа. Нека вземем същите задачи като в, сравнете напредъка на решението и се уверете, че получените отговори съвпадат.

1) y’=3x-y/x

Нека пренапишем уравнението в стандартна форма (за разлика от метода на Бернули, където се нуждаехме от нотната форма само за да видим, че уравнението е линейно).

y’+y/x=3x (I). Сега продължаваме по план.

1) Решете хомогенното уравнение y’+y/x=0. Това е уравнение с разделими променливи. Представете си y’=dy/dx, заместете: dy/dx+y/x=0, dy/dx=-y/x. Умножаваме двете страни на уравнението по dx и делим на xy≠0: dy/y=-dx/x. Нека интегрираме:

2) В полученото общо решение на хомогенното уравнение ще разглеждаме C не като константа, а като функция на x: C=C(x). Оттук

Заместваме получените изрази в условие (I):

Нека интегрираме двете страни на уравнението:

тук C вече е някаква нова константа.

3) В общото решение на хомогенното уравнение y=C/x, където приехме C=C(x), тоест y=C(x)/x, вместо C(x) заместваме намерения израз x³ +C: y=(x³ +C)/x или y=x²+C/x. Получихме същия отговор, както при решаването по метода на Бернули.

Отговор: y=x²+C/x.

2) y’+y=cosx.

Тук уравнението вече е написано в стандартна форма, няма нужда да го трансформирате.

1) Решете хомогенното линейно уравнение y’+y=0: dy/dx=-y; dy/y=-dx. Нека интегрираме:

За да получим по-удобна форма на запис, ние приемаме експонентата на степен C като новото C:

Тази трансформация беше извършена, за да бъде по-удобно намирането на производната.

2) В полученото общо решение на линейното хомогенно уравнение разглеждаме C не като константа, а като функция на x: C=C(x). При това условие

Заместваме получените изрази y и y’ в условието:

Умножете двете страни на уравнението по

Интегрираме двете страни на уравнението, използвайки формулата за интегриране по части, получаваме:

Тук C вече не е функция, а обикновена константа.

3) В общото решение на хомогенното уравнение

заместваме намерената функция C(x):

Получихме същия отговор, както при решаването по метода на Бернули.

Методът на вариация на произволна константа също е приложим за решаване.

y'x+y=-xy².

Редуцираме уравнението до стандартен изглед: y’+y/x=-y² (II).

1) Решете хомогенното уравнение y’+y/x=0. dy/dx=-y/x. Умножаваме двете страни на уравнението по dx и делим на y: dy/y=-dx/x. Сега нека интегрираме:

Заместваме получените изрази в условие (II):

Нека опростим:

Получихме уравнение с разделими променливи за C и x:

Тук C вече е обикновена константа. По време на процеса на интегриране ние написахме просто C вместо C(x), за да не претоварваме нотацията. И накрая се върнахме на C(x), за да не объркаме C(x) с новото C.

3) В общото решение на хомогенното уравнение y=C(x)/x заместваме намерената функция C(x):

Получихме същия отговор, както при решаването му по метода на Бернули.

Примери за самотест:

1. Нека пренапишем уравнението в стандартна форма: y’-2y=x.

1) Решете хомогенното уравнение y’-2y=0. y’=dy/dx, следователно dy/dx=2y, умножете двете страни на уравнението по dx, разделете на y и интегрирайте:

От тук намираме y:

Заменяме изразите за y и y’ в условието (за краткост ще използваме C вместо C(x) и C’ вместо C"(x)):

За да намерим интеграла от дясната страна, използваме формулата за интегриране по части:

Сега заместваме u, du и v във формулата:

Тук C = const.

3) Сега заместваме хомогенния в разтвора