Методи най-стръмно спусканеи спускане по координати дори за квадратична функцияизискват безкраен бройитерации. Въпреки това е възможно да се конструират такива посоки на спускане, че за квадратична функция

• (3.12)
• (където r е n-мерен вектор) със симетрична положително определена матрица A, процесът на спускане ще се сближи точно до минимума в краен брой стъпки.

Положително определена матрица ни позволява да въведем нормата на вектор, както следва:

Дефиницията (3.13) означава, че скаларното произведение на два вектора x и y вече означава величината (x, Ау). Вектори, ортогонални в смисъла на това точково произведение

(x, Ау) = 0 (3.14)

се наричат ​​спрегнати (по отношение на дадена матрица A).

Въз основа на това голяма групаметоди: спрегнати градиенти, спрегнати направления, успоредни допирателни и др.

За квадратична функция те се използват с еднакъв успех. Методът на спрегнатата посока, при който детайлите на алгоритъма са внимателно подбрани, се обобщава най-добре за произволни функции.

Нека първо разгледаме как този метод се прилага към квадратичната форма (3.12). За да направим това, имаме нужда от някои свойства на спрегнатите вектори.

Нека има някаква система от спрегнати по двойки вектори x i. Нормализираме всеки един от тези вектори в смисъл на норма (3.14), след което отношенията между тях приемат вида

Нека докажем, че взаимно спрегнатите вектори са линейно независими. От равенството

което противоречи на положителната определеност на матрицата. Това противоречие доказва нашето твърдение. Това означава, че системата от n-конюгирани вектори е базис в n-мерното пространство. За дадена матрица има безкраен брой бази, състоящи се от взаимно спрегнати вектори.

Нека намерим някакъв спрегнат базис x i, 1 in. Нека изберем произволна точка r 0 . Всяко движение от тази точка може да бъде разширено в конюгирана основа

Замествайки този израз в правилната странаформула (3.12), ние я трансформираме, като вземем предвид конюгацията на основата (3.15), до следния вид:

Последната сума се състои от членове, всеки от които съответства само на един компонент на сумата (3.16). Това означава, че движението по една от спрегнатите посоки x i променя само един член от сумата (3.17), без да засяга останалите.

От точка r 0 правим редуващи се спускания до минимум по всяка от спрегнатите посоки x i . Всяко спускане минимизира члена си в сумата (3.17), така че минимумът на квадратичната функция се постига точно след изпълнение на един цикъл спускания, т.е. в краен брой стъпки.

Конюгираният базис може да бъде конструиран с помощта на метода на успоредните допирателни равнини.

Нека определена права е успоредна на вектора x и нека квадратичната функция на тази права достигне минималната си стойност в точка r 0 . Нека заместим уравнението на тази права r = r 0 + bx в израз (3.12) и изискваме условието за минимум на функцията да бъде изпълнено

c(b) = Ф(r 0) + b 2 + b (x, 2Аr 0 + b),

и поставете (dts/db) b-0 = 0. Това предполага уравнение, което е изпълнено от минималната точка:

(x, 2Ar 0 + b) = 0. (3.18)

Нека на друга линия, успоредна на първата, функцията приема минимална стойност в точка r 1, тогава по същия начин намираме (x, 2Аr 1 + b) = 0. Изваждайки това равенство от (3.18), получаваме

(x, A(r 1 r 0)) = 0. (3.19)

Следователно посоката, свързваща минималните точки на две успоредни прави, е спрегната на посоката на тези линии.

По този начин винаги е възможно да се конструира вектор, спрегнат на произволен даден вектор x. За да направите това, достатъчно е да начертаете две прави, успоредни на x, и да намерите на всяка права минимума на квадратната форма (3.12). Векторът r 1 r 0, свързващ тези минимуми, е спрегнат на x. Имайте предвид, че правата линия докосва линията на нивото в точката, където функцията на тази права линия приема минимална стойност; Името на метода е свързано с това.

Нека има две успоредни m-измерни равнини, генерирани от система от спрегнати вектори x i, 1 imn. Нека квадратичната функция достигне своята минимална стойност на тези равнини съответно в точки r 0 и r 1. Използвайки подобни разсъждения, може да се докаже, че векторът r 1 r 0, свързващ минималните точки, е спрегнат на всички вектори x i. Следователно, ако е дадена непълна система от спрегнати вектори x i, тогава с помощта на този метод винаги е възможно да се конструира вектор r 1 r 0, спрегнат с всички вектори на тази система.

Нека разгледаме един цикъл от процеса на конструиране на спрегнат базис. Нека вече е конструирана база, в която последните m вектора са взаимно спрегнати, и първи н-мвекторите не са спрегнати последни. Нека намерим минимума на квадратичната функция (3.12) в някаква m-мерна равнина, генерирана от последните m вектора на базиса. Тъй като тези вектори са взаимно конюгирани, за да направите това, достатъчно е произволно да изберете точката r 0 и да направите спускане от нея последователно по всяка от тези посоки (до минимум). Нека означим минималната точка в тази равнина с r 1 .

Сега от точка r 1 ще направим алтернативно спускане по първите n - m базисни вектора. Това спускане ще извади траекторията от първата равнина и ще я доведе до някаква точка r 2 . От точка r 2 отново ще направим спускане по последните m направления, което ще доведе до точка r 3 . Това спускане означава точно намиране на минимума във втората равнина, успоредна на първата равнина. Следователно, посоката r 3 - r 1 е спрегната на последните m вектора на основата.

Ако една от неконюгираните посоки в основата се замени с посоката r 3 - r 1, тогава в новата основа вече m + 1 посока ще бъде взаимно конюгирана.

Нека започнем да изчисляваме циклите от произволна основа; за него можем да приемем, че m=1. Описаният процес в един цикъл увеличава броя на спрегнатите вектори в основата с един. Това означава, че в n - 1 цикъл всички базисни вектори ще станат спрегнати и следващият цикъл ще доведе траекторията до минималната точка на квадратичната функция (3.12).

Въпреки че концепцията за спрегнат базис е дефинирана само за квадратична функция, процесът, описан по-горе, е структуриран така, че да може да бъде официално приложен към произволна функция. Разбира се, в този случай е необходимо да се намери минимумът по посоката, като се използва методът на параболата, без да се използват никъде формули, свързани с определен тип квадратична функция (3.12).

В малка околност на минимума нарастването на достатъчно гладка функция обикновено се представя под формата на симетрична положително определена квадратична форма от тип (3.2). Ако това представяне беше точно, тогава методът на спрегнатата посока би се сближил в краен брой стъпки. Но представянето е приблизително, така че броят на стъпките ще бъде безкраен; но сходимостта на този метод близо до минимума ще бъде квадратична.

Благодарение на квадратичната конвергенция, методът на спрегнатата посока позволява да се намери минимумът с висока точност. Методите с линейна конвергенция обикновено определят екстремните координатни стойности по-малко точно.

Методът на спрегнатите посоки очевидно е най- ефективен методспускане Работи добре с изроден минимум и с разрешими дерета, и при наличие на слабо наклонени участъци от релефа - „плата“, и с голям брой променливи - до две дузини.

Класическата механика и електродинамика, когато се опитват да ги приложат за обяснение на атомните явления, водят до резултати, които са в рязко противоречие с експеримента. Най-яркият пример за това е опитът да се приложи класическата електродинамика към модел на атома, в който електроните се движат около ядрото по класически орбити. При такова движение, както при всяко движение на заряди с ускорение, електроните ще трябва непрекъснато да излъчват енергия под формата на електромагнитни вълни и в крайна сметка неизбежно ще паднат върху положително заредено ядро. Така – от гледна точка на класическата електродинамика – атомът е нестабилен. Както виждаме, тази теза не е вярна. Такова дълбоко противоречие между теорията и експеримента показва, че описанието на микрообектите изисква фундаментална промяна в основните класически концепции и закони.

От редица експериментални данни (като електронна дифракция) следва, че механиката, която управлява атомните явления - квантовата механика - трябва да се основава на идеи за движение, които са фундаментално различни от идеите на класическата механика. В квантовата механика няма концепция за траекторията на частиците и, следователно, други динамични характеристики. ТАЗИ ТЕЗА Е ФОРМУЛИРАНА В ПРИНЦИПА НА НЕСИГУРНОСТТА НА ХАЙЗЕНБЕРГ:

Невъзможно е едновременното измерване на координатата и импулса на микрообект с каквато и да е точност:

дхдстр³ ч (II.1)

Трябва да се отбележи (и това ще бъде обсъдено по-късно), връзката на неопределеността свързва не само координатата и импулса, но и редица други величини.

Нека сега се върнем към разглеждането на математическия апарат на квантовата механика.

Оператор Аобичайно е да се нарича правилото, според което всяка функция f съответства на функцията й :

j= А f (II.3)

Най-простите примери за оператори: корен квадратен, диференциране и др.

Не всяка функция може да бъде повлияна от оператор; например недиференцируема функция не може да бъде повлияна от оператор за диференциране. Следователно всеки оператор може да бъде дефиниран само върху определен клас функции и се счита за дефиниран, ако е посочено не само правилото, по което той трансформира една функция в друга, но и наборът от функции, върху които действа.

По аналогия с алгебрата на числата можем да въведем алгебрата на операторите:

1) Оператори за сума или разлика

(А ± б ) · f = А · f ± б · f (II.4)

2) Продукт на операторите

AB · f = А (б · f ) (II.5)

тези. първо на функцията f оператор действа б , образувайки някаква нова функция, която след това се въздейства от оператора А . IN общ случайдействие на оператора AB не съответства на действието на оператора Б.А. .

Наистина, ако A=d/dx И B=x ,

Че AB f=d/dx (xf )= f+xdf/dx ,

А BAf=xdf/dx¹f+xdf/dx

Ако AB=BA, тогава операторите се наричат ​​пътуващи, а ако AB-BAº(A,B) (II.6), тогава те не пътуват до работното място. Изразът в скоби се нарича комутатор.

В квантовата механика обикновено се използват линейни самосъпряжени (или ермитови) оператори. Свойството линейност означава това

А(° С 1 f 1 + c 2 f 2 )f =° С 1 Аf 1 + c 2 Аf 2 (II.7)

Където ° С 1 И ° С 2 - константи и f 1 И f 2 - произволни функции, на които е дефиниран операторът А. Това математическо свойствое тясно свързано с принципа на суперпозицията.

Самосвързан ермитов оператор е оператор, за който е в сила равенството:

на 1 * (x)(Af 2 (x))dx = на 2 (x)(A * f 1 * (x))dx (II.8)

предполага се, че А определен на f 1 * (х) И f 2 (х) и всички интеграли, включени в (1.8), съществуват. Изискването за ермитност е много важно за квантовата механика и по-долу ще разберем защо.

Както вече беше споменато, действието на оператора се свежда до трансформиране на една функция в друга, но са възможни и случаи, когато в резултат на действието на оператора първоначалната функция не се променя или се умножава по константа. Най-простият пример:

Може да се твърди, че всеки оператор А може да се сравни линейно уравнениеТип:

Аf = аф (II.9) ,

Където а = конст. а е собствената стойност на оператора, и f - собствена функция на оператора. Това уравнение се нарича уравнение на собствената стойност. Стойностите на константите, при които уравнение (1.9) приема нетривиални решения, се наричат ​​собствени стойности. Заедно те образуват спектър от собствени стойности, които могат да бъдат дискретни, непрекъснати или смесени. Всяка стойност съответства на една или повече собствени функции f T , и ако на една собствена стойност отговаря само една функция, то тя е неизродена, а ако са няколко, тогава е изродена.

Собствени функции и собствени стойности Ермитски (самосвързан) операторите имат редица свойства:

1. Собствените стойности на такива оператори са реални.

2. Собствени функции f 1 И f 2 такива оператори, принадлежащи към различни собствени стойности с 1 И ° С 2 съответно ортогонални един на друг, т.е. ò f 1 * (х) f 2 (х) dx = 0 (II.10)

3. Те трябва да се нормализират до единица чрез въвеждане на специален нормализационен фактор, който в общия случай се описва с условието за ортонормалност: ò f м * (х) f н (х) dx =д мн , д мн =0 при м ¹ н И д мн =1 при м = н (II.11)

4. Ако два оператора АИ бимат обща система от собствени функции, тогава те комутират и обратното твърдение също е вярно

5. Собствените функции на ермитовия оператор образуват пълно ортонормирано множество, т.е. всяка функция, дефинирана в същата област от променливи, може да бъде представена като серия от собствени функции на оператора А:

(II.12),

Където ° С н- някои константи и това разширение ще бъде точно.

Последното свойство е много важно за апарата на квантовата механика, тъй като на негова основа е възможно да се изгради матрично представяне на операторите и да се приложи мощният апарат на линейната алгебра.

Наистина, тъй като в (II.12)нативни функции f н (х)се считат за известни, след което да се намери функцията F(x)е необходимо и достатъчно да се намерят всички коефициенти на разширение ( ° С н). Нека сега разгледаме някой оператор б, който действа върху функцията c(x)и го прехвърля на F(x):

Е(х) = б° С(х) (II.13)

Нека сега си представим функциите F(x)И бc(x)под формата на редове (II.12):

(II.14)

и ги сложете (II.13)

(II.15)

(II.16)

Нека умножим двете страни на равенството по f к * (х)и интегрирайте, като вземете предвид условията за ортонормалност:

Равенство (II.17)описва преход от функция c(x)да функционира F(x), което се осъществява чрез задаване на всички коеф М кн. Комплект от всички количества М книма оператор бв матрично представяне и може да се запише като

По този начин всеки произволен оператор б в матричното представяне може да бъде представено като квадратна таблица с числа, матрица, и това представяне ще се определя само от типа на оператора и първоначалния набор от базисни функции.

Нека сега накратко припомним основните положения на теорията на матриците. Като цяло матрицата е колекция от реални или комплексни числа а ij, наречени матрични елементи, подредени в правоъгълна таблица

Индекси азИ йпоказват, че елементът а ijразположен на кръстовището азти ред и йта колона. Ако матрицата има нлинии и мколони, тогава се казва, че има измерение ( нх м), Ако н = м, тогава матрицата се нарича квадратна. Правоъгълна матрица с размер ( 1 х м) се нарича вектор ред и ( н x1) е колонен вектор. Матричен елемент а ijпри аз = йсе нарича диагонална, матрица, в която всички елементи с изключение на диагоналните са равни на нула, се нарича диагонална, а диагонална матрица, в която всички елементи са равни на единица, се нарича единица. Сумата от диагоналните елементи се нарича следа: Sp.

Лесно е да се конструира матрична алгебра, която ще се сведе до следните правила:

1. Матриците и се наричат ​​равни ако за всички азИ йравенството е вярно: а ij = b ij

2. Сумата от матрици и измерения ( нх м) ще бъде матрица с измерение ( нх м) така че за всички азИ йравенството е вярно: ° С ij = а ij + b ij

3. Произведение на матрица с произволно число аще има матрица със същото измерение, така че за всички азИ йравенството е вярно: ° С ij = аа ij

4. Продуктът на размерната матрица ( нх м) върху матрица от измерения ( мх стр) се нарича матрица с измерение ( нх стр) така че

(II.20)

5. Матрицата се нарича сложна конюгатна, ако съдържа всички матрични елементи а ijзаменени от сложни конюгати а ij * . Твърди се, че една матрица е транспонирана, ако е получена чрез замяна на редове с колони и обратно: а ’ ij = а джи. Матрица, транспонирана и комплексно спрегната към се нарича спрегната и се обозначава

СВЪРЗАНА ФУНКЦИЯ

Концепцията за теория на функциите, която е конкретно отражение на определен инволютивен оператор за съответния клас функции.
1) S. f. към функция с комплексни стойности . Наречен функция, чиито стойности са комплексно спрегнати на стойностите на f.
2) S. f. към хармоничната функция – вж Спренни хармонични функции.
3) S. f. k -периодична интегрируема върху функцията f(x) се нарича. функция

тя съществува и почти навсякъде съвпада с -сумата или сумата на Абел-Поасон спрегнат тригонометричен ред.
4) S. f. да функционира дефинирано върху векторно пространство X, което е в дуалност (по отношение на билинейната форма ) с векторно пространство Y-функция върху Y, дадена от релацията

За функция, посочена в Y,спрегнатата функция се дефинира по подобен начин.

S. f. към функция на една променлива ще има функция

S. f. да функционира в хилбертово пространство X, скаларното произведение е функцията S. f. към нормалното в нормализирано пространство ще има функция Н*(y) , равно на нула ако и равно ако
Ако f е гладка и нараства по-бързо в безкрайност линейна функция, тогава f* не е нищо повече от Лежандрфункции f. За едномерни строго изпъкнали функции дефиниция, еквивалентна на (*), е дадена от W. Young, с други термини. W. Jung дефинира S. f. да функционира

където е непрекъснато и строго нарастващо, по отношение

където е функцията, обратна на Определението (*) за едномерни функции е предложено за първи път от S. Mandelbrojt, в крайномерния случай - от V. Fenchel, в безкрайномерния случай - от J. Moreau и A. Brønsted . За изпъкнала функция n, спрегната с нея, Young's

S. функция е изпъкнала затворена функция. Оператор на конюгиране*: показва уникално набор от правилни изпъкнали затворени функциина X е колекция от правилни изпъкнали затворени функции на Y (Fennel - Moreau).
За повече подробности вижте и.
Вижте също Конвексен анализ, опорна функция, дуалноств екстремални проблеми и изпъкнал анализ.

Лит.: Joung W. H., lProc. Рой. Soc. А

Математическа енциклопедия. - М.: Съветска енциклопедия. И. М. Виноградов. 1977-1985 г.

Вижте какво е „CONJECTED FUNCTION“ в други речници:

Опорният функционал на набор A, лежащ във векторно пространство X, е функция sA, дефинирана във векторно пространство Y, което е в дуалност с него чрез релацията. Например, O. f. единичен контейнер в нормализирано пространство, разглеждано в... ... Математическа енциклопедия

Функция, свързана с интегралното представяне на решения на проблеми с гранични стойности за диференциални уравнения. G. f. гранична задача за линейно диференциално уравнение фундаментално решениеуравнения, отговарящи на хомогенни гранични условия.... ... Математическа енциклопедия

Антианалитична функция, функция на една или повече комплексни променливи, която е комплексно спрегната на холоморфна функция (вижте Аналитична функция). Е. Д. Соломенцев ... Математическа енциклопедия

Управление, функция u(t), включена в диференциално уравнениестойностите на рояка във всеки момент от времето могат да бъдат избрани произволно. Обикновено се налага ограничение върху диапазона на промяна на u(t) за всяко t, където U е дадено затворено множество в... ... Математическа енциклопедия

Непрекъснат дисплей, който запазва формата на безкрайно малки фигури. Основни понятия. Нарича се непрекъснато преобразуване w=f(z) на област G на n-мерно евклидово пространство в n-мерно евклидово пространство. конформен в точка, ако в тази точка има... Математическа енциклопедия

1) Трансформация на математически анализ, реализиращ дуалност между обекти в дуални пространства (заедно с проективната дуалност в аналитичната геометрия и полярната дуалност в изпъкналата геометрия). Нека гладка функция,... ... Математическа енциклопедия

1) П. т. за спрегнати функции: нека периодични непрекъсната функцияс период 2p и тригонометрично спрегната функция с f(t); тогава, ако f(t). удовлетворява условието на Липшиц относно експонентата при 0 Математическа енциклопедия

- (mod k) функция c(n)=c(n; k) върху множеството от цели числа, отговарящи на условията: С други думи, D. x. (mod k) е аритметика. функции, които не са идентично нула, са напълно мултипликативни и периодични с период k. Концепцията за D. x. влезе в П....... Математическа енциклопедия

Едно от обобщенията на интеграла на Лебег, предложено от А. Данжуа (A. Denjoy, 1919), подробно проучено от Т. Дж. Бокс (T. J. Boks, 1921). Реалната функция f(x) на отсечката [a, b] периодично (с период b a) продължава по цялата линия. За… … Математическа енциклопедия

Двоен интеграл, където е дадена (най-общо казано, комплексно-стойностна) функция на реални променливи, квадратно интегрируема, произволни (също комплексно-стойни) функции, квадратно интегрируема и комплексно спрегната функция c. Ако,…… Математическа енциклопедия

1 1 4 ПРИЛОЖЕНИЕ Б: ТЕОРЕТИЧНА КОНЦЕПЦИЯ

Принципът на свързаните подсистеми

С идентифицирането на всяка материална система автоматично се появява съответна среда, в която тази система съществува. Тъй като средата винаги е по-голяма от системата, еволюцията на системата се диктува от промените в средата. Идеята за еволюцията предполага два основни и в известен смисъл алтернативни аспекта: опазване (C) и промяна (I). Ако един от тях липсва, тогава няма еволюция: системата или изчезва, или е стабилна. Съотношението на промяната и запазването (I/S) характеризира еволюционната пластичност на системата. Имайте предвид, че тези условия са алтернативни: колкото повече And, толкова по-малко C и, обратно, тъй като те се допълват взаимно до единство: C + I = 1.

За по-добро прилагане само на първия аспект - запазването - по-изгодно е системата да бъде устойчива, стабилна, непроменлива, тоест да бъде възможно най-далеч (не в геометричен, а в информационен смисъл) от деструктивни фактори на околната среда (фиг. B.1). Същите тези фактори обаче едновременно предоставят полезна информация за посоката на промените в околната среда. И ако системата трябва да се адаптира към тях, да се променя според промените в околната среда (вторият аспект), тогава тя трябва да бъде чувствителна, лабилна и променлива, тоест да бъде възможно най-„близо“ (в информационен смисъл) до вредната среда фактори, колкото е възможно. Следователно възниква конфликтна ситуация, когато системата, от една страна, трябва да бъде „по-далеч“ от околната среда, а от друга, „по-близо“.

Проблем с околната среда

За да промените (да получите полезна информация) трябва да сте „по-близо“

Възможни решения

Бъдете на „оптималното разстояние“

Разделете на две свързани подсистеми

Ориз. B.1 Връзка между системата и околната среда

Първото възможно решение: системата като цяло трябва да бъде на някакво оптимално "разстояние" от околната среда, избирайки определен компромисен оптимум на I / C. Второто решение: да се раздели на две свързани подсистеми, премахнете едната "далеч" от среда и приближете другия „по-близо“. Второто решение премахва противоречивите изисквания за запазване (C) и промяна (I) на системата и ви позволява едновременно да максимизирате и двете, повишавайки стабилността на системата като цяло. Това заключение е в основата на новата концепция.

ПРИЛОЖЕНИЕ B: ТЕОРЕТИЧНА ФУНДАМЕНТАЛНА КОНЦЕПЦИЯ 1 1 5

ПРИНЦИП НА СВЪРЗАНИТЕ ПОДСИСТЕМИ

ДИФЕРЕНЦИАЦИЯТА НА АДАПТИВНИТЕ СИСТЕМИ, РАЗВИВАЩИ СЕ В ПРОМЕНЛИВА СРЕДА, В ДВЕ СВЪРЗАНИ ПОДСИСТЕМИ С КОНСЕРВАТИВНА И ОПЕРАТИВНА СПЕЦИАЛИЗАЦИЯ, ПОВИШАВА ТЯХНАТА СТАБИЛНОСТ.

Разделянето на вътрешни и външни подсистеми трябва да се разбира не в геометричен (морфологичен) смисъл, а в информационен, т.е. потоците от информация от околната среда за промените, настъпили в нея, първо попадат във външните подсистеми („RAM“). "), а след това във вътрешни ("постоянна памет"). памет" на системата).

В този общ вид понятието е валидно за развиващи се, адаптивни системи, независимо от специфичното им естество – биологично, техническо, игрово или социално. Може да се очаква, че сред развиващите се, адаптивни системи, структури, състоящи се от две свързани подсистеми, трябва да се появят доста често. Във всички случаи, когато системата е принудена да наблюдава „поведението на врага“ (средата) и да изгражда своето „поведение“ в съответствие с това, диференциацията, разделянето на услугите на консервативни и оперативни повишава стабилността. Армията разпределя разузнавателни отряди и ги изпраща в различни посоки за среща с врага. Корабът има кил (консервативно обслужване) и отделно кормило (оперативно), постоянни самолети и елерони; ракетни стабилизатори и кормила.

Общи характеристики на бинарно спрегнатите диференциации

Преди появата на свързаните подсистеми, основният контрол на еволюцията, потокът от информация вървеше директно от околната среда към системата: E →S. След възникването на оперативните подсистеми те първи получават информация от средата: среда → оперативна → консервативна подсистема, E →o →k. Ето защо нова подсистема винаги работи и

възниква между консервативната подсистема и средата.

Основната разлика между унитарните и бинарните спрегнати системи е във формата на техния информационен контакт с околната среда. При първите информацията тече от средата директно към всеки елемент на системата, докато при вторите тя тече първо към елементите на операционната подсистема и от тях към елементите на консервативната подсистема.

Дихронизмът (асинхронността) и диморфизмът (асиметрията) са тясно свързани: когато система от еднакви елементи е разделена на две части, стига те да са качествено хомогенни, няма нито диморфизъм, нито дихронизъм (фиг. B.2). Но веднага щом един от тях започне да се развива, диморфизмът и дихронизмът възникват едновременно. По морфологичната ос това са две форми, които образуват структурата „стабилно ядро” (SC) и „лабилна обвивка” (LP) (фиг. B.3). Тази структура защитава консервативната подсистема от алтернативни фактори на околната среда, например от ниски и високи температури.

1 1 6 ПРИЛОЖЕНИЕ Б: ТЕОРЕТИЧНА КОНЦЕПЦИЯ

Всички еволюционни иновации се появяват първо в операционната подсистема, подлагат се на тестове там, след което (след много поколения) избраните се озовават в консервативната подсистема. Еволюцията на оперативната подсистема започва и завършва по-рано от консервативната. Следователно по хронологическата ос те могат да се разглеждат като „авангардни” и

„ариергард“ (фиг. B.4).

По оста "система-среда" системата е разделена на "стабилно ядро" и "лабилна обвивка".

По времевата ос оперативната подсистема може да се разглежда като „авангардна” спрямо консервативната.

Поток на информация

Сряда Фронт

Консервативна операция

Консервативна операция

Поток на информация

Подобно разделение и специализация на подсистеми за алтернативни задачи на запазване и промяна осигурява оптимални условия за прилагане на основния метод на еволюция на живите системи - в известен смисъл метода на пробата и грешката. С концентрацията на проби в RAM, грешките и констатациите също се локализират там. Това позволява на системата

опитайте различни варианти за решаване на еволюционни проблеми без риск от увековечаване на неуспешни решения.

Разграничаването на консервативни и оперативни подсистеми не е абсолютно, а относително. Може да има последователни серии от подсистеми: α, β, γ,…..ω, където най-консервативната (фундаментална) връзка е α, а най-оперативната е ω. И вътре в реда, във всяка двойка, отляво е консервативна подсистема, отдясно е операционна подсистема (като поредица от метални напрежения в електрохимията).

За да може нова екологична информация да влезе в операционната подсистема, фенотипната дисперсия на нейните елементи трябва да бъде по-широка от тази на елементите на консервативната подсистема, тогава тяхната годност ще бъде по-ниска и коефициентът на селекция по-висок от последния. За целта те трябва да имат еднаква норма на реакция. Тъй като запазването на системата често е по-важно от промяната (тъй като липсата на последната заплашва стагнация, а първата - изчезване), дъщерните подсистеми са неравностойни. Консервативната подсистема е по-важна и ценна от оперативната. Тя запазва някои черти и функции на майчината, единна система, докато оперативната подсистема придобива нови. Следователно, за да се разбере еволюционното значение на двоичните диференциации, е достатъчно да се разбере само значението на операционните подсистеми.

ПРИЛОЖЕНИЕ Б: ТЕОРЕТИЧНА КОНЦЕПЦИЯ 1 1 7

ЗА НОВА ЕКОЛОГИЧНА ИНФОРМАЦИЯ ЗА ВЛИЗАНЕ В ОПЕРАТИВНАТА ПОДСИСТЕМА, ФЕНОТИПНА ВАРИАНЦИЯ

НЕГОВИТЕ ЕЛЕМЕНТИ ТРЯБВА ДА БЪДАТ ПО-ШИРОКИ И РЕАКЦИОННАТА НОРМА ПО-ТЕСНА ОТ ЕЛЕМЕНТИТЕ НА КОНСЕРВАТИВНАТА ПОДСИСТЕМА.

За ефективен трансфер на информация между подсистеми (OP CP), елементите на оперативната подсистема също трябва да имат по-широко „напречно сечение на канала“ на комуникация от елементите на консервативната.

Асинхронна еволюция на подсистемите

Еволюцията на системата (S) се определя от средата (E), ES. Потокът от информация, идващ от околната среда, действа като вид екологичен потенциал, който принуждава системата да се промени. Увеличаването на дисперсията на елементите на единните системи рано или късно автоматично води до тяхното обособяване на консервативни и оперативни подсистеми. Ако сравним потенциала на околната среда с електрическия потенциал и единната система с електрическа крушка, тогава бинарната система е две електрически крушки, които могат да бъдат свързани към източник на ток паралелно или последователно (фиг. B.5). Това е принципно нова възможност, която унитарните системи не са имали.

Ориз. B.5 Синхронна еволюция на унитарни системи (US) и двоични неконюгирани системи (BNS)

Аналог на паралелна верига. Асинхронната еволюция на двоично спрегнати диференциации (BCD) е аналог на последователна схема. Къдравите стрелки показват посоката на еволюцията, простите стрелки показват потока от електрони и информация (Geodakyan, 2005).

Три диаграми-модела на трите основни метода на възпроизвеждане и асиметрия. Веригата на една крушка е аналог на асексуалния метод, паралелната верига е на хермафродитния метод, а последователната верига е аналогична на двудомния (и асиметричен мозък).

Свързани функции. Субдиференциали. Минимаксен принцип. Задачи върху проективната дуалност Крайният срок е 18 април 2014 г. (1) Намерете конюгатите на функциите p (a) |x|p , p ≥ 1 (b) ex−1 (c) max(|x|, x2 ) (d) f (x) = 12 hQx, xi + hb, xi + c, Q е симетрична положителна d × d матрица, b, x ∈ Rd, c ∈ R (e) f (x) = ln(1 + ex1 + · · · + exd) (f) max(x 1, · · ·, xn) √ (g) 1 + x2 (h) δA, където A е множество в Rd и δA (x) = 0, ако x ∈ A, δA (x) = +∞ ако x∈ /A (i) hA , където A е множество в Rd и hA (y) = sup(hx, yi, x ∈ A). (2) Докажете неравенството p p hx, yi ≤ 1 + |x|2 − 1 − |y|2 , (3) (4) (5) (6) x, y ∈ Rd , |y| ≤ 1. Кога се постига точно равенство? Как работи функция, спрегната на функция, чиято графика е изпъкнал полиедър? Да разгледаме набор от сегменти с дължина 1 на R+ ×R+ с краища на координатни прави. Докажете, че астроида е обвивка за това множество. Коя функция е конюгирана на функцията, чиято графика е астроида? Нека f е неизпъкнала функция. Опишете неговия втори конюгат. Нека f, f ∗ са гладки изпъкнали функции и във всяка точка матриците на вторите производни (хесианите) D2 f, D2 f ∗ са неизродени. Докажете, че за всяко x е изпълнено отношението D2 f (x) · D2 f ∗ (∇f (x)) = I, където I е единичната матрица. (7) Намерете общото решение на следното диференциално уравнение f 00 = (f − xf 0)2. (8) Изчислете субдиференциала на изпъкналата функция при нула (a) max(ex , 1 − x) P (b) di=1 |xi | (c) max1≤i≤d |xi | (9) Докажете, че x0 е минималната точка на изпъкналата функция f тогава и само ако 0 ∈ ∂f (x0). (10) Намерете минимума на функциите (a) x2 + y 2 + 4p max(x, y) (b) x2 + y 2 + 2 (x − a)2 + (y − b)2 (11) Докажете връзката (f ⊕ g)∗ = f ∗ + g ∗ , 1 където f ⊕ g(x) = inf a+b=x (f (a) + g(b)). (12) Докажете (без да използвате принципа на минимакс), че максимумът в задачата за линейно програмиране не превишава минимума в двойствената. (13) Формулирайте двойствената задача на линейното програмиране и я решете. x1 + 2x2 + · · · + nxn → min x1 ≥ 1, x1 + x2 ≥ 2, · · · , x1 + x2 + · · · + xn ≥ n xi ≥ 0, 1 ≤ i ≤ n. Проблеми с проективна дуалност Определение. Двойната проективна равнина RP2∗ е пространството от прави на проективната равнина RP2. 14) Докажете, че дуалната проективна равнина има естествена проективна равнинна структура, в която правата е семейство от прави в RP2, минаващи през дадена точка. (По-специално, многообразията RP2 и RP2∗ са дифеоморфни.) 15) Да разгледаме произволни две различни прави a, b ⊂ RP2, означим O = a ∩ b, a = a \ O, b = b \ O. На всяка права има естествена реална афинна координата, уникално дефинирана до композиция с афинна трансформация: a, b " R. За всеки x ∈ a и y ∈ b, нека l(x, y) е правата, минаваща през x и y. Докажете, че картографирането a × b → RP2∗, (x, y) 7 → l(x, y) е афинно отображение. Определение: Нека γ ⊂ RP2 е гладка крива. Двойната крива към γ ​​е кривата γ∗ ⊂ RP2∗, която е семейство от допирателни към γ. 16) Докажете, че γ ∗∗ = γ. 17) Нека f (x) е гладка строго изпъкнала функция и f ∗ (x∗) нейната Разгледайте техните графики Γ(f) и Γ(f ∗) в съответните афинни равнини (x, y) и (x∗, y ∗) (по-точно, крайните части на графиките, където стойностите на функциите са Докажете, че кривата Γ(f ∗) се трансформира чрез афинна трансформация в кривата, двойствена на Γ(f). Съвет: използвайте резултата от задача 2. 18) Докажете, че кривата, двойствена към гладка конична (a крива от втори ред, която не може да бъде сведена до двойка прави) също е гладка конична. 19) Дайте дефиницията на двойна начупена линия (дуален многоъгълник) и решете аналози на задачи 3) и 4) за начупена линия γ и частично афинна функция f (графика – начупена линия). 2