Геометрични приложения на определения интеграл. Приложения на определен интеграл

Лекции 8. Приложения определен интеграл.

Прилагането на интеграла към физически проблеми се основава на свойството адитивност на интеграла върху множество. Следователно, използвайки интеграла, могат да се изчислят количества, които сами по себе си са добавка в набора. Например, площта на фигурата е равна на сумата от площите на нейните части, повърхността, обемът на тялото и масата на тялото имат същото свойство. Следователно всички тези величини могат да бъдат изчислени с помощта на определен интеграл.

Можете да използвате два метода за решаване на проблеми: метод на интегралните суми и метод на диференциалите.

Методът на интегралните суми повтаря конструкцията на определен интеграл: конструира се дял, маркират се точки, изчислява се функцията в тях, изчислява се интегралната сума и се извършва преминаване към границата. При този метод основната трудност е да се докаже, че в границата резултатът е точно това, което е необходимо в проблема.

Диференциалният метод използва неопределен интеграли формулата на Нютон-Лайбниц. Диференциалът на количеството, което трябва да се определи, се изчислява и след това, чрез интегриране на този диференциал, се получава търсеното количество, като се използва формулата на Нютон–Лайбниц. При този метод основната трудност е да се докаже, че е изчислен диференциалът на търсената стойност, а не нещо друго.

Изчисляване на площи на равнинни фигури.

1. Фигурата е ограничена от графиката на функция, дефинирана в декартова координатна система.

Стигнахме до концепцията за определен интеграл от проблема за площта на извит трапец (всъщност, използвайки метода на интегралните суми). Ако функция приема само неотрицателни стойности, тогава площта под графиката на функцията върху сегмент може да се изчисли с помощта на определен интеграл. забележи това следователно тук може да се види и методът на диференциалите.

Но функцията може също да приема отрицателни стойности на определен сегмент, тогава интегралът върху този сегмент ще даде отрицателна площ, което противоречи на определението за площ.

Можете да изчислите площта с помощта на формулатаС=. Това е еквивалентно на промяна на знака на функцията в онези области, в които тя приема отрицателни стойности.

Ако трябва да изчислите площта на фигура, ограничена отгоре от графиката на функцията и отдолу от графиката на функцията, тогава можете да използвате формулатаС= , защото .

Пример. Изчислете площта на фигурата, ограничена от прави линии x=0, x=2 и графики на функции y=x 2, y=x 3.

Забележете, че на интервала (0,1) е в сила неравенството x 2 > x 3, а за x >1 е в сила неравенството x 3 > x 2. Ето защо

2. Фигурата е ограничена от графиката на функция, зададена в полярна координатна система.

Нека графиката на функция е дадена в полярна координатна система и искаме да изчислим площта на криволинейния сектор, ограничен от два лъча и графиката на функция в полярна координатна система.

Тук можете да използвате метода на интегралните суми, изчислявайки площта на криволинейния сектор като границата на сумата от площите на елементарните сектори, в които графиката на функцията се заменя с кръгова дъга .

Можете също да използвате диференциалния метод: .

Можете да мислите така. Заменяйки елементарния криволинеен сектор, съответстващ на централния ъгъл с кръгов сектор, имаме пропорцията . Оттук . Интегрирайки и използвайки формулата на Нютон-Лайбниц, получаваме .

Пример. Нека изчислим площта на кръга (проверете формулата). Ние вярваме. Площта на кръга е .

Пример. Нека изчислим площта, ограничена от кардиоидата .

3 Фигурата е ограничена от графиката на функция, дефинирана параметрично.

Функцията може да бъде зададена параметрично във формата . Използваме формулата С= , замествайки в него границите на интегриране върху новата променлива. . Обикновено при изчисляване на интеграла се идентифицират онези области, в които функцията на интегранд има определен знак, и се взема предвид съответната област с един или друг знак.

Пример. Изчислете площта, оградена от елипсата.

Използвайки симетрията на елипсата, изчисляваме площта на четвъртината на елипсата, разположена в първия квадрант. В този квадрант. Ето защо .

Изчисляване на обеми на тела.

1. Изчисляване на обеми на тела от площите на успоредни сечения.

Нека се изисква да се изчисли обемът на определено тяло V от известните площи на напречното сечение на това тяло чрез равнини, перпендикулярни на правата OX, прекарана през която и да е точка x от отсечката OX.

Нека приложим метода на диференциалите. Разглеждайки елементарния обем над сегмента като обем на прав кръгов цилиндър с основна площ и височина, получаваме . Интегрирайки и прилагайки формулата на Нютон-Лайбниц, получаваме

2. Изчисляване на обемите на телата на въртене.

Нека е необходимо да се изчисли ОХ.

Тогава .

по същия начин, обем на въртящо се тяло около осой, ако функцията е дадена във формата , може да се изчисли с помощта на формулата .

Ако функцията е посочена във формата и се изисква да се определи обемът на ротационно тяло около осой, тогава формулата за изчисляване на обема може да се получи, както следва.

Преминавайки към диференциала и пренебрегвайки квадратичните членове, имаме . Интегрирайки и прилагайки формулата на Нютон–Лайбниц, имаме .

Пример. Изчислете обема на сферата.

Пример. Да се ​​изчисли обемът на прав кръгов конус, ограничен от повърхнина и равнина.

Нека изчислим обема като обема на ротационно тяло, образувани чрез въртенеоколо оста OZ правоъгълен триъгълникв равнината OXZ, чиито крака лежат на оста OZ и правата z = H, а хипотенузата лежи на правата.

Изразявайки x чрез z, получаваме .

Изчисляване на дължината на дъгата.

За да получите формули за изчисляване на дължината на дъгата, припомнете формулите, получени през 1-ви семестър за диференциала на дължината на дъгата.

Ако дъгата е графика на непрекъснато диференцируема функция, разликата в дължината на дъгата може да се изчисли с помощта на формулата

. Ето защо

Ако параметрично е зададена гладка дъга, Че

. Ето защо .

Ако дъгата е зададена в полярна координатна система, Че

. Ето защо .

Пример. Изчислете дължината на дъгата на графиката на функцията, . .

Нека представим някои приложения на определения интеграл.

Изчисляване на площта на плоска фигура

Площта на извит трапец, ограничен от крива (където
), прав
,
и сегмент
брадви
, изчислено по формулата

.

Площ на фигура, ограничена от криви
И
(Където
) прав
И
изчислено по формулата

.

Ако кривата е дадена с параметрични уравнения
, тогава площта на криволинейния трапец, ограничена от тази крива с прави линии
,
и сегмент
брадви
, изчислено по формулата

,

Където И се определят от уравненията
,
, А
при
.

Площта на криволинейния сектор, ограничен от крива, дадена в полярни координати от уравнението
и два полярни радиуса
,
(
), се намира по формулата

.

Пример 1.27.Изчислете площта на фигура, ограничена от парабола
и прав
(Фигура 1.1).

	Решение.Нека намерим пресечните точки на права линия и парабола. За да направим това, решаваме уравнението , . Където , . Тогава по формула (1.6) имаме .

Изчисляване на дължината на дъгата на равнинна крива

Ако кривата
на сегмента
- гладка (т.е. производна
непрекъсната), тогава дължината на съответната дъга на тази крива се намира по формулата

.

При параметрично задаване на крива
(
- непрекъснато диференцируеми функции) дължина на дъгата на кривата, съответстваща на монотонна промяна на параметъра от преди , изчислено по формулата

Пример 1.28.Изчислете дължината на дъгата на крива
,
,
.

Решение.Нека намерим производни по отношение на параметъра :
,
. Тогава от формула (1.7) получаваме

.

2. Диференциално смятане на функциите на няколко променливи

Нека всяка подредена двойка числа
от някаква област
отговаря на определено число
. Тогава Наречен функция на две променливи И ,
-независими променливи или аргументи ,
-област на дефиниция функции и набор всички функционални стойности - диапазон на неговите стойности и обозначават
.

Геометрично областта на дефиниране на функция обикновено представлява част от равнината
, ограничена от линии, които могат или не могат да принадлежат на тази област.

Пример 2.1.Намерете областта на дефиницията
функции
.

Решение.Тази функция е дефинирана в тези точки на равнината , в който , или . Точки от равнината, за които , формират границата на района . Уравнението дефинира парабола (фиг. 2.1; тъй като параболата не принадлежи на региона , след това е изобразен с пунктирана линия). Освен това е лесно да се провери директно дали точките, за които , разположен над параболата. Регион е отворена и може да се определи с помощта на система от неравенства:

Ако променливата дайте някакво увеличение
, А оставете константа, след това функцията
ще получи увеличение
, Наречен лично увеличение на функцията по променлива :

По същия начин, ако променливата получава увеличение
, А остава постоянна, тогава функцията
ще получи увеличение
, Наречен лично увеличение на функцията по променлива :

Ако има ограничения:

,

,

те се наричат частни производни на функция
по променливи И съответно.

Забележка 2.1. Частните производни на функции на произволен брой независими променливи се определят по подобен начин.

Забележка 2.2. Тъй като частната производна по отношение на всяка променлива е производната по отношение на тази променлива, при условие че другите променливи са постоянни, тогава всички правила за диференциране на функции на една променлива са приложими за намиране на частни производни на функции на произволен брой променливи.

Пример 2.2.
.

Решение. Намираме:

,

.

Пример 2.3.Намерете частични производни на функция
.

Решение. Намираме:

,

,

.

Пълно увеличение на функцията
наречена разлика

Основна част от пълното увеличение на функцията
, линейно зависими от увеличенията на независими променливи
И
,се нарича пълен диференциал на функцията и е обозначен
. Ако функцията има непрекъснати частични производни, тогава общият диференциал съществува и е равен на

,

Където
,
- произволни увеличения на независими променливи, наречени техни диференциали.

По същия начин за функция на три променливи
общият диференциал се дава от

.

Нека функцията
има в точката
частни производни от първи ред по отношение на всички променливи. Тогава векторът се извиква градиент функции
в точката
и е обозначен
или
.

Забележка 2.3. Символ
се нарича оператор на Хамилтън и се произнася „намбла“.

Пример 2.4.Намерете градиента на функция в точка
.

Решение. Нека намерим частните производни:

,
,

и изчислете техните стойности в точката
:

,
,
.

следователно
.

Производна функции
в точката
по посока на вектора
наречена граница на съотношението
при
:

, Където
.

Ако функцията
е диференцируема, тогава производната в дадена посока се изчислява по формулата:

,

Където ,- ъгли, което е вектор форми с оси
И
съответно.

В случай на функция на три променливи
производната на посоката се определя по подобен начин. Съответната формула е

,

Където
- насочващи косинуси на вектора .

Пример 2.5.Намерете производната на функция
в точката
по посока на вектора
, Където
.

Решение. Нека намерим вектора
и неговите косинуси на посоката:

,
,
,
.

Нека изчислим стойностите на частичните производни в точката
:

,
,
;
,
,
.

Замествайки в (2.1), получаваме

.

Частични производни от втори ред се наричат ​​частни производни, взети от частни производни от първи ред:

,

,

,

Частични производни
,
са наречени смесен . Стойностите на смесените производни са равни в онези точки, в които тези производни са непрекъснати.

Пример 2.6.Намерете частични производни от втори ред на функция
.

Решение. Нека първо изчислим частните производни от първи ред:

,
.

Разграничавайки ги отново, получаваме:

,
,

,
.

Сравнявайки последните изрази, виждаме това
.

Пример 2.7.Докажете, че функцията
удовлетворява уравнението на Лаплас

.

Решение. Намираме:

,
.

,
.

.

Точка
Наречен локална максимална точка (минимум ) функции
, ако за всички точки
, различен от
и принадлежащи към достатъчно малка околност от него, неравенството

(
).

Максимумът или минимумът на една функция се нарича неин екстремум . Точката, в която е достигнат екстремумът на функцията, се нарича екстремна точка на функцията .

Теорема 2.1 (Необходими условия за екстремум ). Ако точката
е екстремната точка на функцията
, или поне една от тези производни не съществува.

Точките, за които тези условия са изпълнени, се наричат стационарен или критичен . Точките на екстремум винаги са неподвижни, но стационарната точка може да не е точка на екстремум. За да бъде неподвижна точка точка на екстремум, трябва да са изпълнени достатъчни условия за екстремума.

Нека първо въведем следната нотация :

,
,
,
.

Теорема 2.2 (Достатъчни условия за екстремум ). Нека функцията
два пъти диференцируеми в околност на точка
и точка
е неподвижен за функцията
. Тогава:

1.Ако
, след това точка
е екстремум на функцията и
ще бъде максималната точка при
(
)и минималната точка при
(
).

2.Ако
, след това в точката

няма крайност.

3.Ако
, тогава екстремумът може да съществува или да не съществува.

Пример 2.8.Разгледайте екстремалната функция
.

Решение. Тъй като в в такъв случайвинаги съществуват частни производни от първи ред, тогава за намиране на стационарни (критични) точки решаваме системата:

,
,

където
,
,
,
. Така имаме две стационарни точки:
,
.

,
,
.

За точка
получаваме:, тоест в тази точка няма екстремум. За точка
получаваме: и
, следователно

в този момент тази функциядостига локален минимум: .

Площ на криволинеен трапец, ограничен отгоре от графиката на функция y=f(x), ляво и дясно - прави х=аИ x=bсъответно отдолу - оста вол, изчислено по формулата

Площ на криволинеен трапец, ограничен отдясно от графиката на функция x=φ(y), отгоре и отдолу - права y=dИ y=cсъответно отляво - оста Ой:

Площ на криволинейна фигура, ограничена отгоре от графиката на функция y 2 =f 2 (x), отдолу - графика на функцията y 1 =f 1 (x), ляво и дясно - прави х=аИ x=b:

Площ на криволинейна фигура, ограничена отляво и отдясно от графики на функции x 1 =φ 1 (y)И x 2 =φ 2 (y), отгоре и отдолу - права y=dИ y=cсъответно:

Нека разгледаме случая, когато линията, ограничаваща криволинейния трапец отгоре, е дадена с параметрични уравнения x = φ 1 (t), y = φ 2 (t), Където α ≤ t ≤ β, φ 1 (α)=a, φ 1 (β)=b. Тези уравнения дефинират някаква функция y=f(x)на сегмента [ а, б]. Площта на извит трапец се изчислява по формулата

Нека да преминем към нова променлива x = φ 1 (t), Тогава dx = φ" 1 (t) dt, А y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), следователно \begin(displaymath)

Област в полярни координати

Помислете за криволинеен сектор OAB, ограничен с линия, дадено от уравнението ρ=ρ(φ) в полярни координати, два лъча О.А.И O.B., за което φ=α , φ=β .

Ще разделим сектора на елементарни сектори OM k-1 M k ( k=1, …, n, М 0 =А, M n =B). Нека означим с Δφkъгъл между лъчите OM k-1И OM k, образуващи ъгли с полярната ос φ k-1И φkсъответно. Всеки от елементарните сектори OM k-1 M kзаменете го с кръгъл сектор с радиус ρ k =ρ(φ" k), Където φ" k- стойност на ъгъла φ от интервала [ φ k-1 , φ k] и централния ъгъл Δφk. Площта на последния сектор се изразява с формулата .

изразява площта на "стъпаловиден" сектор, който приблизително замества даден сектор OAB.

Секторна площ OABсе нарича границата на площта на "стъпаловиден" сектор при n → ∞И λ=max Δφ k → 0:

защото , Че

Дължина на дъгата на кривата

Нека върху сегмента [ а, б] е дадена диференцируема функция y=f(x), чиято графика е дъгата. Линеен сегмент [ а,б] нека го разделим на нчасти с точки х 1, х 2, …, xn-1. Тези точки ще съответстват на точки М 1, М 2, …, Mn-1дъги, свързваме ги с начупена линия, която се нарича начупена линия, вписана в дъгата. Периметърът на тази прекъсната линия ще бъде означен с s n, това е

Определение. Дължината на дъгата на линията е границата на периметъра на вписаната в нея начупена линия, когато броят на връзките M k-1 M kнараства неограничено, а дължината на най-голямата от тях клони към нула:

където λ е дължината на най-голямата връзка.

Ще броим дължината на дъгата от някаква точка, например, А. Нека в точката M(x,y)дължината на дъгата е с, и в точката M"(x+Δ x,y+Δy)дължината на дъгата е s+Δs, където,i>Δs е дължината на дъгата. От триъгълник МНМ"намерете дължината на хордата: .

От геометрични съображения следва, че

т.е. безкрайно малка дъга от линия и хордата, която я свързва, са еквивалентни.

Нека трансформираме формулата, изразяваща дължината на хордата:

Преминавайки до границата в това равенство, получаваме формула за производната на функцията s=s(x):

от които намираме

Тази формула изразява диференциала на дъга на равнинна крива и има проста геометричен смисъл : изразява Питагоровата теорема за безкрайно малък триъгълник MTN (ds=MT, ).

Диференциалът на дъгата на пространствена крива се определя по формулата

Помислете за дъгата на пространствена линия, дефинирана от параметрични уравнения

Където α ≤ t ≤ β, φi(t) (i=1, 2, 3) - диференцируеми функции на аргумента T, Че

Интегрирайки това равенство върху интервала [ α, β ], получаваме формула за изчисляване на дължината на тази дъга

Ако правата лежи в равнината Окси, Че z=0пред всички t∈[α, β], Ето защо

В случай, когато равна линия е дадена от уравнението y=f(x) (a≤x≤b), Където f(x)е диференцируема функция, последната формула приема формата

Нека равнината е дадена от уравнението ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) в полярни координати. В този случай имаме параметрични уравнениялинии x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, където полярният ъгъл се приема като параметър φ . Тъй като

след това формулата, изразяваща дължината на дъгата на линията ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) в полярни координати има формата

Обем на тялото

Нека намерим обема на тялото, ако е известна площта на всяко напречно сечение на това тяло, перпендикулярно на определена посока.

Нека разделим това тяло на елементарни слоеве с равнини, перпендикулярни на оста воли определени с уравнения x=конст. За всякакви фиксирани x∈известна област S=S(x)напречно сечение дадено тяло.

Елементарен слой, отрязан от равнини х=х k-1, x=xk (k=1, …, n, х 0 =а, x n = b), заменете го с цилиндър с височина Δx k =x k -x k-1и базова площ S(ξ k), ξ k ∈.

Обемът на посочения елементарен цилиндър се изразява с формулата Δv k =E(ξ k)Δx k. Нека обобщим всички подобни продукти

което е интегралната сума за дадена функция S=S(x)на сегмента [ а, б]. Изразява обема на стъпаловидно тяло, състоящо се от елементарни цилиндри и приблизително заместващо това тяло.

Обемът на дадено тяло е границата на обема на определеното стъпаловидно тяло при λ→0 , Където λ - дължина на най-големия от елементарните сегменти Δx k. Нека означим с Vобема на дадено тяло, то по дефин

От друга страна,

Следователно обемът на тялото според даденото напречни сеченияизчислено по формулата

Ако едно тяло е образувано от въртене около ос волизвит трапец, ограничен отгоре с дъга от непрекъсната линия y=f(x), Където a≤x≤b, Че S(x)=πf 2 (x)и последната формула приема формата:

Коментирайте. Обемът на тяло, получен чрез въртене на извит трапец, ограничен отдясно от графиката на функцията x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), около оста Ойизчислено по формулата

Повърхностна площ на въртене

Помислете за повърхността, получена чрез завъртане на дъгата на линията y=f(x) (a≤x≤b) около оста вол(да приемем, че функцията y=f(x)има непрекъсната производна). Фиксиране на стойността x∈, ще дадем увеличение на аргумента на функцията dx, което съответства на „елементарния пръстен“, получен чрез завъртане на елементарната дъга Δl. Нека заменим този „пръстен“ с цилиндричен пръстен - страничната повърхност на тяло, образувано от въртенето на правоъгълник с основа, равна на диференциала на дъгата дл, и височина h=f(x). Като отрежем последния пръстен и го разгънем, получаваме лента с шир дли дължина 2πy, Където y=f(x).

Следователно разликата в повърхностната площ се изразява с формулата

Тази формула изразява площта на повърхността, получена чрез завъртане на дъгата на линия y=f(x) (a≤x≤b) около оста вол.