Квадратно уравнение - лесно за решаване! *Наричано по-долу „KU“.Приятели, изглежда, че не може да има нищо по-просто в математиката от решаването на такова уравнение. Но нещо ми подсказа, че много хора имат проблеми с него. Реших да видя колко импресии при поискване дава Yandex на месец. Ето какво се случи, вижте:
Какво означава? Това означава, че около 70 000 души на месец търсят тази информация, какво общо има това лято и какво ще се случи сред учебна година— ще има два пъти повече заявки. Това не е изненадващо, защото онези момчета и момичета, които отдавна са завършили училище и се подготвят за Единния държавен изпит, търсят тази информация, а учениците също се стремят да освежат паметта си.
Въпреки факта, че има много сайтове, които ви казват как да решите това уравнение, реших също да допринеса и да публикувам материала. Първо, искам посетителите да идват на сайта ми въз основа на тази заявка; второ, в други статии, когато се появи темата за „KU“, ще дам връзка към тази статия; трето, ще ви разкажа малко повече за неговото решение, отколкото обикновено се посочва в други сайтове. Да започваме!Съдържанието на статията:
Квадратно уравнение е уравнение от вида:
където коефициентите a,bи c са произволни числа, с a≠0.
IN училищен курсматериалът е даден в следната форма - уравненията са условно разделени на три класа:
1. Те имат два корена.
2. *Имат само един корен.
3. Нямат корени. Тук си струва специално да се отбележи, че те нямат истински корени
Как се изчисляват корените? Просто!
Изчисляваме дискриминанта. Под тази „ужасна“ дума се крие много проста формула:
Формулите на корените са както следва:
*Трябва да знаете тези формули наизуст.
Можете веднага да запишете и решите:
Пример:
1. Ако D > 0, тогава уравнението има два корена.
2. Ако D = 0, тогава уравнението има един корен.
3. Ако Д< 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Нека да разгледаме уравнението:
от по този повод, когато дискриминантът е нула, в училищния курс се казва, че резултатът е един корен, тук е равен на девет. Всичко е точно, така е, но...
Тази идея е донякъде неправилна. Всъщност има два корена. Да, да, не се изненадвайте, получавате два равни корена и за да бъдем математически точни, тогава отговорът трябва да напише два корена:
x 1 = 3 x 2 = 3
Но това е така - малко отклонение. В училище можете да го запишете и да кажете, че има един корен.
Сега следващият пример:
Както знаем, коренът на отрицателно числоне се извлича, така че разтворите в в такъв случайНе.
Това е целият процес на вземане на решение.
Квадратична функция.
Това показва как изглежда решението геометрично. Това е изключително важно да се разбере (в бъдеще в една от статиите ще анализираме подробно решението на квадратното неравенство).
Това е функция на формата:
където x и y са променливи
a, b, c – дадени числа, като a ≠ 0
Графиката е парабола:
Тоест, оказва се, че чрез решаване на квадратно уравнение с "y" равно на нула, намираме точките на пресичане на параболата с оста x. Може да има две от тези точки (дискриминантът е положителен), една (дискриминантът е нула) и нито една (дискриминантът е отрицателен). Подробности за квадратична функция Можете да видитестатия от Инна Фелдман.
Нека да разгледаме примери:
Пример 1: Решете 2x 2 +8 х–192=0
a=2 b=8 c= –192
D=b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Отговор: x 1 = 8 x 2 = –12
*Възможно е веднага да напусне и правилната странаразделете уравнението на 2, тоест го опростете. Изчисленията ще бъдат по-лесни.
Пример 2: Реши х 2–22 х+121 = 0
a=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Открихме, че x 1 = 11 и x 2 = 11
Допустимо е в отговора да се запише x = 11.
Отговор: x = 11
Пример 3: Реши x 2 –8x+72 = 0
a=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Дискриминантът е отрицателен, няма решение в реални числа.
Отговор: няма решение
Дискриминантът е отрицателен. Има решение!
Тук ще говорим за решаване на уравнението в случай, когато се получи отрицателен дискриминант. Знаете ли нещо за комплексни числа? Тук няма да навлизам в подробности защо и къде са възникнали и каква е тяхната конкретна роля и необходимост в математиката, това е тема за голяма отделна статия.
Понятието комплексно число.
Малко теория.
Комплексно число z е число от формата
z = a + bi
където a и b са реални числа, i е така наречената имагинерна единица.
а+би – това е ЕДИНСТВЕНО ЧИСЛО, а не добавяне.
Въображаемата единица е равна на корен от минус едно:
Сега разгледайте уравнението:
Получаваме два спрегнати корена.
Непълно квадратно уравнение.
Нека разгледаме специални случаи, това е, когато коефициентът "b" или "c" е равен на нула (или и двата са равни на нула). Те могат да бъдат решени лесно без никакви дискриминанти.
Случай 1. Коефициент b = 0.
Уравнението става:
Нека преобразуваме:
Пример:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Случай 2. Коефициент c = 0.
Уравнението става:
Нека трансформираме и факторизираме:
*Произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула.
Пример:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Случай 3. Коефициенти b = 0 и c = 0.
Тук е ясно, че решението на уравнението винаги ще бъде x = 0.
Полезни свойства и модели на коефициентите.
Има свойства, които ви позволяват да решавате уравнения с големи коефициенти.
Ах 2 + bx+ ° С=0 има равенство
а + b+ c = 0,Че
- ако за коефициентите на уравнението Ах 2 + bx+ ° С=0 има равенство
а+ c =b, Че
Тези свойства помагат за решаването на определен тип уравнение.
Пример 1: 5001 х 2 –4995 х – 6=0
Сумата на коефициентите е 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, което означава
Пример 2: 2501 х 2 +2507 х+6=0
Равенството е в сила а+ c =b, Средства
Закономерности на коефициентите.
1. Ако в уравнението ax 2 + bx + c = 0 коефициентът "b" е равен на (a 2 +1), а коефициентът "c" е числено равен на коефициента "a", тогава неговите корени са равни
ax 2 + (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = –a x 2 = –1/a.
Пример. Разгледайте уравнението 6x 2 + 37x + 6 = 0.
x 1 = –6 x 2 = –1/6.
2. Ако в уравнението ax 2 – bx + c = 0 коефициентът “b” е равен на (a 2 +1), а коефициентът “c” е числено равен на коефициента “a”, то неговите корени са равни
ax 2 – (a 2 +1)∙x+ a= 0 = > x 1 = a x 2 = 1/a.
Пример. Разгледайте уравнението 15x 2 –226x +15 = 0.
x 1 = 15 x 2 = 1/15.
3. Ако в ур. ax 2 + bx – c = 0 коефициент „b“ е равно на (a 2 – 1), и коефициент „c“ е числено равен на коефициента "а", тогава неговите корени са равни
ax 2 + (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = – a x 2 = 1/a.
Пример. Разгледайте уравнението 17x 2 +288x – 17 = 0.
x 1 = – 17 x 2 = 1/17.
4. Ако в уравнението ax 2 – bx – c = 0 коефициентът “b” е равен на (a 2 – 1), а коефициентът c е числено равен на коефициента “a”, то неговите корени са равни
ax 2 – (a 2 –1)∙x – a= 0 = > x 1 = a x 2 = – 1/a.
Пример. Разгледайте уравнението 10x 2 – 99x –10 = 0.
x 1 = 10 x 2 = – 1/10
Теорема на Виета.
Теоремата на Виета е кръстена на известния френски математик Франсоа Виета. Използвайки теоремата на Виета, можем да изразим сумата и произведението на корените на произволно KU по отношение на неговите коефициенти.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
Общо числото 14 дава само 5 и 9. Това са корени. С известно умение, използвайки представената теорема, можете веднага да решите много квадратни уравнения устно.
Освен това теоремата на Виета. удобно, защото след решаване квадратно уравнениеполучените корени могат да бъдат проверени по обичайния начин (чрез дискриминант). Препоръчвам да правите това винаги.
НАЧИН НА ТРАНСПОРТИРАНЕ
С този метод коефициентът "а" се умножава по свободния термин, сякаш "хвърлен" към него, поради което се нарича "трансферен" метод.Този метод се използва, когато корените на уравнението могат лесно да бъдат намерени с помощта на теоремата на Виета и най-важното, когато дискриминантът е точен квадрат.
Ако А± b+c≠ 0, тогава се използва техниката на прехвърляне, например:
2х 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11x+ 10 = 0 (2)
Използвайки теоремата на Vieta в уравнение (2), е лесно да се определи, че x 1 = 10 x 2 = 1
Получените корени на уравнението трябва да бъдат разделени на 2 (тъй като двете бяха „хвърлени“ от x 2), получаваме
x 1 = 5 x 2 = 0,5.
Каква е обосновката? Вижте какво става.
Дискриминантите на уравнения (1) и (2) са равни:
Ако погледнете корените на уравненията, получавате само различни знаменатели и резултатът зависи точно от коефициента на x 2:
Вторият (модифициран) има корени, които са 2 пъти по-големи.
Следователно, разделяме резултата на 2.
*Ако прехвърлим тройката, ще разделим резултата на 3 и т.н.
Отговор: x 1 = 5 x 2 = 0,5
пл. ur-ie и Единен държавен изпит.
Ще ви разкажа накратко за важността му - ТРЯБВА ДА МОЖЕТЕ ДА РЕШИТЕ бързо и без да мислите, трябва да знаете формулите на корените и дискриминантите наизуст. Много от задачите, включени в задачите на Единния държавен изпит, се свеждат до решаване на квадратно уравнение (включително геометрични).
Нещо, което си струва да се отбележи!
1. Формата на записване на уравнение може да бъде „неявна“. Например е възможен следният запис:
15+ 9x 2 - 45x = 0 или 15x+42+9x 2 - 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.
Трябва да го доведеш до стандартен изглед(за да не се объркате при решаване).
2. Запомнете, че x е неизвестна величина и може да се обозначи с всяка друга буква - t, q, p, h и др.
В тази статия ще разгледаме решаването на непълни квадратни уравнения.
Но първо, нека повторим кои уравнения се наричат квадратни. Уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където x е променлива, а коефициентите a, b и c са някои числа и a ≠ 0, се нарича квадрат. Както виждаме, коефициентът за x 2 не е равен на нула и следователно коефициентите за x или свободният член могат да бъдат равни на нула, в който случай получаваме непълно квадратно уравнение.
Има три вида непълни квадратни уравнения:
1) Ако b = 0, c ≠ 0, тогава ax 2 + c = 0;
2) Ако b ≠ 0, c = 0, тогава ax 2 + bx = 0;
3) Ако b = 0, c = 0, тогава ax 2 = 0.
- Нека да разберем как да решим уравнения от вида ax 2 + c = 0.
За да решим уравнението, преместваме свободния член c в дясната страна на уравнението, получаваме
брадва 2 = ‒s. Тъй като a ≠ 0, разделяме двете страни на уравнението на a, тогава x 2 = ‒c/a.
Ако ‒с/а > 0, то уравнението има два корена
x = ±√(–c/a) .
Ако ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.
Нека се опитаме да разберем с примери как да решаваме такива уравнения.
Пример 1. Решете уравнението 2x 2 ‒ 32 = 0.
Отговор: x 1 = - 4, x 2 = 4.
Пример 2. Решете уравнението 2x 2 + 8 = 0.
Отговор: уравнението няма решения.
- Нека да разберем как да го решим уравнения от вида ax 2 + bx = 0.
За да решим уравнението ax 2 + bx = 0, нека го разложим на множители, тоест изваждаме x извън скоби, получаваме x(ax + b) = 0. Продуктът е равен на нула, ако поне един от факторите е равен до нула. Тогава или x = 0, или ax + b = 0. Решавайки уравнението ax + b = 0, получаваме ax = - b, откъдето x = - b/a. Уравнение от вида ax 2 + bx = 0 винаги има два корена x 1 = 0 и x 2 = ‒ b/a. Вижте как изглежда решението на уравнения от този тип на диаграмата. 
Нека консолидираме знанията си с конкретен пример.
Пример 3. Решете уравнението 3x 2 ‒ 12x = 0.
x(3x ‒ 12) = 0
x= 0 или 3x – 12 = 0
Отговор: x 1 = 0, x 2 = 4.
- Уравнения от трети тип ax 2 = 0се решават много просто.
Ако ax 2 = 0, тогава x 2 = 0. Уравнението има два равни корена x 1 = 0, x 2 = 0.
За по-голяма яснота, нека да разгледаме диаграмата. 
Нека се уверим, че при решаването на пример 4 уравнения от този тип могат да бъдат решени много просто.
Пример 4.Решете уравнението 7x 2 = 0.
Отговор: x 1, 2 = 0.
Не винаги е веднага ясно какъв тип непълно квадратно уравнение трябва да решим. Помислете за следния пример.
Пример 5.Решете уравнението
Нека умножим двете страни на уравнението по общ знаменател, тоест по 30
Нека го намалим
5(5x 2 + 9) – 6(4x 2 – 9) = 90.
Нека отворим скобите
25x 2 + 45 – 24x 2 + 54 = 90.
Да дадем подобни
Нека преместим 99 от лявата страна на уравнението вдясно, променяйки знака на противоположния
Отговор: няма корени.
Разгледахме как се решават непълни квадратни уравнения. Надявам се, че сега няма да имате затруднения с подобни задачи. Бъдете внимателни, когато определяте вида на непълното квадратно уравнение, тогава ще успеете.
Ако имате въпроси по тази тема, запишете се за моите уроци, ще решим проблемите, които възникват заедно.
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
Например, за тринома \(3x^2+2x-7\), дискриминантът ще бъде равен на \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). А за тринома \(x^2-5x+11\), той ще бъде равен на \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).
Дискриминантът се обозначава с \(D\) и често се използва при решаване. Освен това по стойността на дискриминанта можете да разберете как приблизително изглежда графиката (вижте по-долу).
Дискриминант и корени на квадратно уравнение
Дискриминантната стойност показва броя на квадратните уравнения:
- ако \(D\) е положителен, уравнението ще има два корена;
- ако \(D\) е равно на нула – има само един корен;
- ако \(D\) е отрицателно, няма корени.
Това не е необходимо да се преподава, не е трудно да се стигне до такова заключение, просто знаейки, че от дискриминанта (т.е. \(\sqrt(D)\) е включена във формулата за изчисляване на корените на квадратна уравнение: \(x_(1)=\)\( \frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) и \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt( D))(2a)\) Нека разгледаме всеки случай по-подробно.
Ако дискриминантът е положителен
В този случай коренът му е някакво положително число, което означава, че \(x_(1)\) и \(x_(2)\) ще имат различни значения, защото в първата формула \(\sqrt(D)\ ) се добавя , а във втория се изважда. И имаме два различни корена.
Пример
: Намерете корените на уравнението \(x^2+2x-3=0\)
Решение
:
Отговор : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)
Ако дискриминантът е нула
Колко корена ще има, ако дискриминантът е нула? Нека разсъждаваме.
Коренните формули изглеждат така: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) и \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . И ако дискриминантът е нула, тогава коренът му също е нула. Тогава се оказва:
\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)
Тоест стойностите на корените на уравнението ще бъдат еднакви, тъй като добавянето или изваждането на нула не променя нищо.
Пример
: Намерете корените на уравнението \(x^2-4x+4=0\)
Решение
:
|
\(x^2-4x+4=0\) |
Изписваме коефициентите: |
|
|
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\) |
Изчисляваме дискриминанта по формулата \(D=b^2-4ac\) |
|
|
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) |
Намиране на корените на уравнението |
|
|
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) |
|
Имаме два еднакви корена, така че няма смисъл да ги пишем поотделно - пишем ги като един. |
Отговор : \(x=2\)
Задачите на квадратното уравнение също се изучават в училищна програмаи в университетите. Те означават уравнения във формата a*x^2 + b*x + c = 0, където х-променлива, a, b, c – константи; а<>0 . Задачата е да се намерят корените на уравнението.
Геометричен смисъл на квадратно уравнение
Графиката на функция, която е представена от квадратно уравнение, е парабола. Решенията (корените) на квадратно уравнение са точките на пресичане на параболата с абсцисната ос (x). От това следва, че има три възможни случая:
1) параболата няма точки на пресичане с абсцисната ос. Това означава, че е в горната равнина с клони нагоре или в долната с клони надолу. В такива случаи квадратното уравнение няма реални корени (то има два комплексни корена).
2) параболата има една пресечна точка с оста Ox. Такава точка се нарича връх на параболата и квадратното уравнение в нея придобива своята минимална или максимална стойност. В този случай квадратното уравнение има един реален корен (или два еднакви корена).
3) Последният случай е по-интересен от практиката - има две точки на пресичане на параболата с абсцисната ос. Това означава, че има два реални корена на уравнението.
Въз основа на анализа на коефициентите на степените на променливите могат да се направят интересни заключения относно разположението на параболата.
1) Ако коефициентът a е по-голям от нула, тогава клоновете на параболата са насочени нагоре; ако е отрицателен, клоновете на параболата са насочени надолу.
2) Ако коефициентът b е по-голям от нула, тогава върхът на параболата лежи в лявата полуравнина, ако приема отрицателна стойност, тогава в дясната.
Извеждане на формулата за решаване на квадратно уравнение
Нека прехвърлим константата от квадратното уравнение 
за знака за равенство получаваме израза
Умножете двете страни по 4а 
Да отида наляво идеален квадратдобавете b^2 към двете страни и извършете трансформацията
От тук намираме
Формула за дискриминант и корени на квадратно уравнение
Дискриминантът е стойността на радикалния израз, ако е положителен, тогава уравнението има два реални корена, изчислени по формулата 
Когато дискриминантът е нула, квадратното уравнение има едно решение (два съвпадащи корена), което може лесно да се получи от горната формула за D=0. отрицателен дискриминантняма реални коренни уравнения. Решенията на квадратното уравнение обаче се намират в комплексната равнина и стойността им се изчислява по формулата 
Теорема на Виета
Нека разгледаме два корена на квадратно уравнение и да построим квадратно уравнение на тяхна основа. Самата теорема на Виета лесно следва от нотацията: ако имаме квадратно уравнение от вида. 
тогава сборът от неговите корени е равен на коефициента p, взет от противоположен знак, а произведението на корените на уравнението е равно на свободния член q. Формулното представяне на горното ще изглежда така: Ако в класическо уравнение константата a е различна от нула, тогава трябва да разделите цялото уравнение на нея и след това да приложите теоремата на Виета.
График за разлагане на квадратни уравнения
Нека задачата е поставена: факторизирайте квадратно уравнение. За да направите това, първо решаваме уравнението (намерете корените). След това заместваме намерените корени във формулата за разлагане на квадратното уравнение. Това ще реши проблема.
Задачи с квадратно уравнение
Задача 1. Намерете корените на квадратно уравнение
x^2-26x+120=0 .
Решение: Запишете коефициентите и ги заменете във формулата за дискриминант
Коренът на тази стойност е 14, лесно е да се намери с калкулатор или да се запомни кога честа употреба, но за удобство в края на статията ще ви дам списък с квадратчета с числа, които често могат да се срещнат при подобни задачи.
Заместваме намерената стойност във формулата на корена 
и получаваме 
Задача 2. Решете уравнението
2x 2 +x-3=0.
Решение: Имаме пълно квадратно уравнение, напишете коефициентите и намерете дискриминанта 
от известни формулинамиране на корените на квадратно уравнение 
Задача 3. Решете уравнението
9x 2 -12x+4=0.
Решение: Имаме пълно квадратно уравнение. Определяне на дискриминанта
Имаме случай, в който корените съвпадат. Намерете стойностите на корените с помощта на формулата 
Задача 4. Решете уравнението
x^2+x-6=0 .
Решение: В случаите, когато има малки коефициенти за x, е препоръчително да се приложи теоремата на Vieta. По условието му получаваме две уравнения
От второто условие намираме, че произведението трябва да е равно на -6. Това означава, че един от корените е отрицателен. Имаме следната възможна двойка решения (-3;2), (3;-2) . Като вземем предвид първото условие, отхвърляме втората двойка решения.
Корените на уравнението са равни
Задача 5. Намерете дължините на страните на правоъгълник, ако неговият периметър е 18 cm, а площта му е 77 cm 2.
Решение: Половината от периметъра на правоъгълник е равна на сбора от съседните му страни. Нека означим х като по-голямата страна, тогава 18-х е по-малката страна. Площта на правоъгълника е равна на произведението на тези дължини:
x(18-x)=77;
или
x 2 -18x+77=0.
Нека намерим дискриминанта на уравнението
Изчисляване на корените на уравнението 
Ако x=11,Че 18=7 ,обратното също е вярно (ако x=7, тогава 21's=9).
Задача 6. Разложете на множители квадратното уравнение 10x 2 -11x+3=0.
Решение: Нека изчислим корените на уравнението, за да направим това, намираме дискриминанта 
Заместваме намерената стойност в коренната формула и изчисляваме 
Прилагаме формулата за разлагане на квадратно уравнение по корени 
Отваряйки скобите, получаваме идентичност.
Квадратно уравнение с параметър
Пример 1. При какви стойности на параметъра а ,уравнението (a-3)x 2 + (3-a)x-1/4=0 има ли един корен?
Решение: Чрез директно заместване на стойността a=3 виждаме, че тя няма решение. След това ще използваме факта, че с нулев дискриминант уравнението има един корен с кратност 2. Нека напишем дискриминанта 
Нека го опростим и го приравним към нула
Получихме квадратно уравнение по отношение на параметъра a, чието решение може лесно да се получи с помощта на теоремата на Vieta. Сборът на корените е 7, а произведението им е 12. Чрез просто търсене установяваме, че числата 3,4 ще бъдат корените на уравнението. Тъй като вече отхвърлихме решението a=3 в началото на изчисленията, единственото правилно ще бъде - а=4.Така, за a=4 уравнението има един корен.
Пример 2. При какви стойности на параметъра а ,уравнението a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0има повече от един корен?
Решение: Нека първо разгледаме сингулярните точки, те ще бъдат стойностите a=0 и a=-3. Когато a=0, уравнението ще бъде опростено до формата 6x-9=0; x=3/2 и ще има един корен. За a= -3 получаваме идентичността 0=0.
Нека изчислим дискриминанта 
и намерете стойността на a, при която то е положително 
От първото условие получаваме a>3. За второто намираме дискриминанта и корените на уравнението 
Нека определим интервалите, в които функцията приема положителни стойности. Като заместим точката a=0 получаваме 3>0
.
И така, извън интервала (-3;1/3) функцията е отрицателна. Не забравяйте смисъла а=0,което трябва да се изключи, тъй като то оригинално уравнениеима един корен.
В резултат на това получаваме два интервала, които отговарят на условията на проблема 
На практика ще има много подобни задачи, опитайте се сами да разберете задачите и не забравяйте да вземете предвид условията, които се изключват взаимно. Изучете добре формулите за решаване на квадратни уравнения; често са необходими при изчисления в различни задачи и науки.
Дискриминантът, подобно на квадратните уравнения, започва да се изучава в курса по алгебра в 8 клас. Можете да решите квадратно уравнение чрез дискриминант и с помощта на теоремата на Vieta. Методът за изучаване на квадратни уравнения, както и дискриминантни формули, се преподава доста неуспешно на учениците, както много неща в истинското образование. Затова преминават ученически години, обучението в 9-11 клас замества " висше образование"и всички гледат отново - „Как да решим квадратно уравнение?“, „Как да намерим корените на уравнението?“, „Как да намерим дискриминанта?“ И...
Дискриминантна формула
Дискриминантът D на квадратното уравнение a*x^2+bx+c=0 е равен на D=b^2–4*a*c.
Корените (решенията) на квадратно уравнение зависят от знака на дискриминанта (D):
D>0 – уравнението има 2 различни реални корена;
D=0 - уравнението има 1 корен (2 съвпадащи корена):
д<0
– не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Формулата за изчисляване на дискриминанта е доста проста, така че много уебсайтове предлагат онлайн калкулатор на дискриминанта. Все още не сме измислили този вид скриптове, така че ако някой знае как да ги приложим, моля, пишете ни по имейл Този имейл адрес е защитен от спам ботове. Трябва да имате активиран JavaScript, за да го видите. .
Обща формула за намиране на корените на квадратно уравнение:
Намираме корените на уравнението с помощта на формулата 
Ако коефициентът на квадратна променлива е сдвоен, тогава е препоръчително да се изчисли не дискриминантът, а неговата четвърта част
В такива случаи корените на уравнението се намират с помощта на формулата 
Вторият начин за намиране на корени е теоремата на Виета.
Теоремата е формулирана не само за квадратни уравнения, но и за полиноми. Можете да прочетете това в Wikipedia или други електронни ресурси. Въпреки това, за да опростим, нека разгледаме частта, която се отнася до горните квадратни уравнения, тоест уравнения от вида (a=1)
Същността на формулите на Виета е, че сумата от корените на уравнението е равна на коефициента на променливата, взета с обратен знак. Произведението на корените на уравнението е равно на свободния член. Теоремата на Виета може да бъде записана във формули.
Извеждането на формулата на Vieta е доста просто. Нека напишем квадратното уравнение чрез прости множители 
Както можете да видите, всичко гениално е просто в същото време. Ефективно е да се използва формулата на Vieta, когато разликата в модулите на корените или разликата в модулите на корените е 1, 2. Например следните уравнения, съгласно теоремата на Vieta, имат корени
До уравнение 4 анализът трябва да изглежда така. Продуктът на корените на уравнението е 6, следователно корените могат да бъдат стойностите (1, 6) и (2, 3) или двойки с противоположни знаци. Сумата от корените е 7 (коефициентът на променливата с обратен знак). От тук заключаваме, че решенията на квадратното уравнение са x=2; х=3.
По-лесно е да изберете корените на уравнението сред делителите на свободния член, коригирайки техния знак, за да изпълните формулите на Vieta. Първоначално това изглежда трудно изпълнимо, но с практика върху редица квадратни уравнения тази техника ще се окаже по-ефективна от изчисляването на дискриминанта и намирането на корените на квадратното уравнение по класическия начин.
Както можете да видите, училищната теория за изучаване на дискриминанта и методите за намиране на решения на уравнението е лишена от практическо значение - „Защо учениците имат нужда от квадратно уравнение?“, „Какво е физическото значение на дискриминанта?“
Нека се опитаме да го разберем Какво описва дискриминантът?
В курса по алгебра се изучават функции, схеми за изучаване на функции и построяване на графика на функции. От всички функции важно място заема параболата, чието уравнение може да бъде написано във формата 
Така че физическият смисъл на квадратното уравнение е нулите на параболата, тоест точките на пресичане на графиката на функцията с абсцисната ос Ox
Моля ви да запомните свойствата на параболите, които са описани по-долу. Ще дойде време за полагане на изпити, тестове или приемни изпити и ще бъдете благодарни за справочния материал. Знакът на променливата на квадрат съответства на това дали клоновете на параболата на графиката ще се издигнат нагоре (a>0),
или парабола с клони надолу (а<0)
.
Върхът на параболата лежи по средата между корените
Физическо значение на дискриминанта:
Ако дискриминантът е по-голям от нула (D>0), параболата има две точки на пресичане с оста Ox. 
Ако дискриминантът е нула (D=0), тогава параболата във върха докосва оста x. 
И последният случай, когато дискриминантът е по-малък от нула (D<0)
– график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).
