Вижте какво е "CONDITIONAL EXTREME" в други речници:

Относителен екстремум, екстремум на функция f (x1,..., xn + m) от n + m променливи при предположението, че тези променливи също са обект на m уравнения на връзка (условия): φk (x1,..., xn + m) = 0, 1≤ k ≤ m (*) (вижте екстремума).… …

Нека множеството е отворено и функциите са дадени. Нека бъде. Тези уравнения се наричат ​​уравнения на ограничения (терминологията е заимствана от механиката). Нека една функция е дефинирана в G... Wikipedia

- (от латинското extremum extreme) стойността на непрекъсната функция f (x), която е максимум или минимум. По-точно: функция f (x), непрекъсната в точка x0, има максимум (минимум) в x0, ако има околност (x0 + δ, x0 δ) на тази точка,... ... Велика съветска енциклопедия

Този термин има други значения, вижте Екстремум (значения). Екстремум (лат. extremum extreme) в математиката е максималната или минималната стойност на функция върху дадено множество. Точката, в която се достига екстремума... ... Wikipedia

Функция, използвана при решаване на проблеми на условна крайностфункции на много променливи и функционали. С помощта на L. f. се записват необходимите условияоптималност в задачи за условен екстремум. В този случай не е необходимо да се изразяват само променливи... Математическа енциклопедия

Математическа дисциплина, посветена на намирането на екстремни (най-големи и най-малки) стойности на функционали на променливи, които зависят от избора на една или повече функции. В и. е естествено развитие на тази глава... ... Велика съветска енциклопедия

Променливи, с помощта на които се конструира функцията на Лагранж при изследване на задачи върху условен екстремум. Използването на линейни методи и функцията на Лагранж ни позволява да получим необходимите условия за оптималност в проблеми, включващи условен екстремум по еднакъв начин... Математическа енциклопедия

Вариационното смятане е клон на функционалния анализ, който изучава вариациите на функционалите. Най-типичният проблем в вариационното смятане е да се намери функция, върху която даден функционал постига... ... Wikipedia

Клон на математиката, посветен на изучаването на методи за намиране на екстремуми на функционали, които зависят от избора на една или няколко функции при различни видове ограничения (фазови, диференциални, интегрални и т.н.), наложени на тези... ... Математическа енциклопедия

Вариационното смятане е дял от математиката, който изучава вариациите на функционалите. Най-типичният проблем при вариационното смятане е да се намери функцията, при която функционалът достига екстремна стойност. Методи... ...Уикипедия

Книги

• Лекции по теория на управлението. Том 2. Оптимално управление, В. Бос. Разглеждат се класическите проблеми на теорията на оптималното управление. Презентацията започва с основните концепции за оптимизация в крайномерни пространства: условен и безусловен екстремум,...

Пример

Намерете екстремума на функцията при условие, че хИ приса свързани с отношението: . Геометрично задачата означава следното: върху елипса
самолет
.

Този проблем може да се реши по този начин: от уравнението
намираме
х:

при условие че
, сведен до проблема за намиране на екстремума на функция на една променлива в интервала
.

Геометрично задачата означава следното: върху елипса , получен чрез пресичане на цилиндъра
самолет
, трябва да намерите максималната или минималната стойност на приложението (фиг.9). Този проблем може да се реши по този начин: от уравнението
намираме
. Замествайки намерената стойност на y в уравнението на равнината, получаваме функция на една променлива х:

По този начин проблемът за намиране на екстремума на функцията
при условие че
, сведен до проблема за намиране на екстремума на функция на една променлива на интервал.

Така, проблемът за намиране на условен екстремум– това е задачата за намиране на екстремума на целевата функция
, при условие че променливите хИ припредмет на ограничение
, Наречен уравнение на връзката.

Да кажем това точка
, удовлетворяващ уравнението за свързване, е точката на локалния условен максимум (минимум), ако има квартал
така че за всякакви точки
, чиито координати удовлетворяват уравнението на връзката, неравенството е изпълнено.

Ако от уравнението на свързване може да се намери израз за при, след това чрез заместване на този израз в оригиналната функция, ние превръщаме последната в сложна функция на една променлива Х.

Общият метод за решаване на проблема с условния екстремум е Метод на умножителя на Лагранж. Нека създадем спомагателна функция, където ─ някакво число. Тази функция се нарича Функция на Лагранж, А ─ Множител на Лагранж. По този начин задачата за намиране на условен екстремум е сведена до намиране на локални точки на екстремум за функцията на Лагранж. За да намерите възможни точки на екстремум, трябва да решите система от 3 уравнения с три неизвестни x, yИ.

Тогава трябва да използвате следното достатъчно условие за екстремум.

ТЕОРЕМА. Нека точката е възможна точка на екстремум за функцията на Лагранж. Да приемем, че в околността на точката
има непрекъснати частни производни от втория ред на функциите И . Нека обозначим

Тогава ако
, Че
─ условна точка на екстремум на функцията
с уравнението на свързване
в този случай, ако
, Че
─ условна минимална точка, ако
, Че
─ условна максимална точка.

§8. Градиент и производна на посоката

Нека функцията
определени в някакъв (отворен) регион. Помислете за всяка точка
тази област и всяка насочена права линия (ос) , минаваща през тази точка (фиг. 1). Позволявам
- някаква друга точка на тази ос,
– дължина на отсечката между
И
, взети със знак плюс, ако посоката
съвпада с посоката на оста , и със знак минус, ако посоките им са противоположни.

Позволявам
подходи за неопределено време
. Лимит

Наречен производна на функция
към (или по оста ) и се означава по следния начин:

.

Тази производна характеризира "скоростта на промяна" на функцията в точката
към . По-специално обикновените частни производни ,могат също да се разглеждат като производни "по отношение на посоката".

Нека сега приемем, че функцията
има непрекъснати частични производни в разглеждания регион. Нека оста образува ъгли с координатните оси
И . При направените предположения производната по посока съществува и се изразява с формулата

.

Ако векторът
даден от неговите координати
, след това производната на функцията
по посока на вектора
може да се изчисли по формулата:

.

Вектор с координати
Наречен градиентен векторфункции
в точката
. Градиентният вектор показва посоката на най-бързото нарастване на функцията в дадена точка.

Пример

Дадена е функция, точка A(1, 1) и вектор
. Намерете: 1)grad z в точка A; 2) производна в точка А по посока на вектора .

Частни производни на дадена функция в точка
:

;
.

Тогава градиентният вектор на функцията в тази точка е:
. Градиентният вектор може също да бъде написан чрез векторно разлагане И :

. Производна на функция по посока на вектора :

Така,
,
.◄

Условен екстремум.

Екстремуми на функция на няколко променливи

Метод на най-малките квадрати.

Локален екстремум на FNP

Нека функцията е дадена И= f(P), РÎDÌR ни нека точка P 0 ( А 1 , А 2 , ..., a p) –вътрешниточка на множество D.

Определение 9.4.

1) Точка P 0 се нарича максимална точка функции И= f(P), ако съществува околност на тази точка U(P 0) М D такава, че за всяка точка P( х 1 , х 2 , ..., x n)О U(P 0) , Р¹Р 0 , условието е изпълнено f(P)£ f(P 0) . Значение f(P 0) се извиква функция в максималната точка максимум на функцията и е обозначен f(P0) = макс f(P) .

2) Точка P 0 се нарича минимална точка функции И= f(P), ако има околност на тази точка U(P 0)Ì D такава, че за всяка точка P( х 1 , х 2 , ..., x n)ОU(P 0), Р¹Р 0 , условието е изпълнено f(P)³ f(P 0) . Значение f(P 0) се извиква функция в минималната точка минимална функция и е обозначен f(P 0) = мин f(P).

Точките на минимум и максимум на функция се наричат екстремни точки, се наричат ​​стойностите на функцията в екстремните точки екстремуми на функцията.

Както следва от определението, неравенствата f(P)£ f(P 0) , f(P)³ f(P 0) трябва да бъде изпълнено само в определена околност на точката P 0, а не в цялата област на дефиниране на функцията, което означава, че функцията може да има няколко екстремума от същия тип (няколко минимума, няколко максимума) . Следователно дефинираните по-горе екстремуми се наричат местен(локални) крайности.

Теорема 9.1 (необходимо условие за екстремума на FNP)

Ако функцията И= f(х 1 , х 2 , ..., x n) има екстремум в точката P 0 , тогава неговите частни производни от първи ред в тази точка са или равни на нула, или не съществуват.

Доказателство.Нека в точка P 0 ( А 1 , А 2 , ..., a p) функция И= f(P) има екстремум, например максимум. Нека оправим аргументите х 2 , ..., x n, поставяне х 2 =А 2 ,..., x n = a p. Тогава И= f(P) = f 1 ((х 1 , А 2 , ..., a p) е функция на една променлива х 1 . Тъй като тази функция има х 1 = А 1 екстремум (максимум), тогава f 1 ¢=0 или не съществува, когато х 1 =А 1 (необходимо условие за съществуването на екстремум на функция на една променлива). Но това означава или не съществува в точка P 0 - екстремалната точка. По подобен начин можем да разгледаме частични производни по отношение на други променливи. CTD.

Точките в областта на функция, в които частни производни от първи ред са равни на нула или не съществуват, се наричат критични точки тази функция.

Както следва от теорема 9.1, екстремалните точки на FNP трябва да се търсят сред критичните точки на функцията. Но що се отнася до функция на една променлива, не всяка критична точка е точка на екстремум.

Теорема 9.2 (достатъчно условие за екстремума на FNP)

Нека P 0 е критичната точка на функцията И= f(P) и е диференциал от втори ред на тази функция. Тогава

и ако д 2 u(P 0) > 0 при , тогава P 0 е точка минимумфункции И= f(P);

б) ако д 2 u(P0)< 0 при , то Р 0 – точка максимумфункции И= f(P);

в) ако д 2 u(P 0) не е дефиниран със знак, тогава P 0 не е точка на екстремум;

Ще разгледаме тази теорема без доказателство.

Имайте предвид, че теоремата не разглежда случая, когато д 2 u(P 0) = 0 или не съществува. Това означава, че въпросът за наличието на екстремум в точка P 0 при такива условия остава отворен - имаме нужда допълнителни изследвания, например, изучаване на увеличението на функция в тази точка.

В по-подробни курсове по математика е доказано, че по-специално за функцията z = f(х,г) на две променливи, чийто диференциал от втори ред е сбор от формата

изследването на наличието на екстремум в критичната точка P 0 може да бъде опростено.

Нека означим , , . Да съставим детерминанта

.

Оказа се:

д 2 z> 0 в точка P 0, т.е. P 0 – минимална точка, ако А(P 0) > 0 и D(P 0) > 0;

д 2 z < 0 в точке Р 0 , т.е. Р 0 – точка максимума, если А(P0)< 0 , а D(Р 0) > 0;

ако D(P 0)< 0, то д 2 zв близост до точка P 0 променя знака и в точка P 0 няма екстремум;

ако D(Р 0) = 0, тогава са необходими допълнителни изследвания на функцията в близост до критичната точка Р 0.

По този начин, за функцията z = f(х,г) от две променливи имаме следния алгоритъм (нека го наречем „алгоритъм D“) за намиране на екстремум:

1) Намерете областта на дефиницията D( f) функции.

2) Намерете критични точки, т.е. точки от D( f), за които и са равни на нула или не съществуват.

3) Във всяка критична точка P 0 проверка достатъчни условияекстремум. За да направите това, намерете , където , , и изчислява D(P 0) и А(P 0). Тогава:

ако D(P 0) >0, тогава в точка P 0 има екстремум и ако А(P 0) > 0 – тогава това е минимумът и ако А(P 0)< 0 – максимум;

ако D(P 0)< 0, то в точке Р­ 0 нет экстремума;

Ако D(P 0) = 0, тогава са необходими допълнителни изследвания.

4) В намерените точки на екстремум изчислете стойността на функцията.

Пример 1.

Намерете екстремума на функцията z = х 3 + 8г 3 – 3xy .

Решение.Областта на дефиниране на тази функция е цялата координатна равнина. Да намерим критичните точки.

, , Þ P 0 (0,0) , .

Нека проверим дали са изпълнени достатъчните условия за екстремума. Ще намерим

6х, = -3, = 48приИ = 288xy – 9.

Тогава D(P 0) = 288×0×0 – 9 = -9< 0 , значит, в точке Р 0 экстремума нет.

D(Р 1) = 36-9>0 – в точка Р 1 има екстремум, а тъй като А(P 1) = 3 >0, тогава този екстремум е минимум. Значи мин z=z(P 1) = .

Пример 2.

Намерете екстремума на функцията .

Решение: D( f) =R 2 . Критични точки: ; не съществува кога при= 0, което означава, че P 0 (0,0) е критичната точка на тази функция.

2, = 0, = , = , но D(P 0) не е дефиниран, така че изучаването на неговия знак е невъзможно.

По същата причина е невъзможно теорема 9.2 да се приложи директно - д 2 zне съществува в този момент.

Нека разгледаме нарастването на функцията f(х, г) в точка P 0. Ако Д f =f(P) – f(P 0)>0 "P, тогава P 0 е минималната точка, но ако D f < 0, то Р 0 – точка максимума.

В нашия случай имаме

д f = f(х, г) – f(0, 0) = f(0+D х,0+D г) – f(0, 0) = .

В Д х= 0,1 и D г= -0,008 получаваме D f = 0,01 – 0,2 < 0, а при Dх= 0,1 и D г= 0,001 D f= 0,01 + 0,1 > 0, т.е. в близост до точка P 0 нито едно условие D не е изпълнено f <0 (т.е. f(х, г) < f(0, 0) и следователно P 0 не е максимална точка), нито условие D f>0 (т.е. f(х, г) > f(0, 0) и тогава P 0 не е минимална точка). И така, по дефиниция на екстремум, тази функцияняма крайности.

Условен екстремум.

Разглежданият екстремум на функцията се нарича безусловен, тъй като не се налагат ограничения (условия) върху аргументите на функцията.

Определение 9.2.Екстремум на функцията И = f(х 1 , х 2 , ... , x n), намерени при условие, че неговите аргументи х 1 , х 2 , ... , x nудовлетворяват уравненията j 1 ( х 1 , х 2 , ... , x n) = 0, …, j T(х 1 , х 2 , ... , x n) = 0, където P ( х 1 , х 2 , ... , x n) О D( f), Наречен условен екстремум .

Уравнения j к(х 1 , х 2 , ... , x n) = 0 , к = 1, 2,..., м, са наречени уравнения на връзката.

Нека да разгледаме функциите z = f(х,г) две променливи. Ако уравнението на връзката е едно, т.е. , тогава намирането на условен екстремум означава, че екстремумът се търси не в цялата област на дефиниране на функцията, а върху някаква крива, лежаща в D( f) (т.е. не се търсят най-високите или най-ниските точки на повърхността z = f(х,г), и най-високите или най-ниските точки сред точките на пресичане на тази повърхност с цилиндъра, фиг. 5).

Условен екстремум на функция z = f(х,г) от две променливи може да се намери по следния начин( метод на елиминиране). От уравнението изразете една от променливите като функция на друга (например напишете ) и, замествайки тази стойност на променливата във функцията, напишете последната като функция на една променлива (в разглеждания случай ). Намерете екстремума на получената функция на една променлива.

Екстремуми на функции на няколко променливи. Необходимо условие за екстремум. Достатъчно условие за екстремум. Условен екстремум. Метод на умножителя на Лагранж. Намиране на най-голямата и най-малката стойност.

Лекция 5.

Определение 5.1.Точка M 0 (x 0, y 0)Наречен максимална точкафункции z = f (x, y),Ако f (x o, y o) > f(x,y)за всички точки (x, y) М 0.

Определение 5.2.Точка M 0 (x 0, y 0)Наречен минимална точкафункции z = f (x, y),Ако f (x o, y o) < f(x,y)за всички точки (x, y)от някаква околност на точка М 0.

Забележка 1. Максималните и минималните точки се извикват екстремни точкифункции на няколко променливи.

Забележка 2. Точката на екстремум за функция на произволен брой променливи се определя по подобен начин.

Теорема 5.1(необходими условия за екстремум). Ако M 0 (x 0, y 0)– екстремна точка на функцията z = f (x, y),тогава в този момент частните производни от първи ред на тази функция са равни на нула или не съществуват.

Доказателство.

Нека фиксираме стойността на променливата при, броене y = y 0. След това функцията f (x, y 0)ще бъде функция на една променлива х, за което x = x 0е екстремната точка. Следователно, по теоремата на Ферма, или не съществува. Същото твърдение се доказва по подобен начин за .

Определение 5.3.Точките, принадлежащи към областта на функция на няколко променливи, в които частните производни на функцията са равни на нула или не съществуват, се наричат стационарни точкитази функция.

Коментирайте. Така екстремумът може да бъде достигнат само в стационарни точки, но не е задължително да се наблюдава във всяка от тях.

Теорема 5.2(достатъчни условия за екстремум). Нека в някои околности на точката M 0 (x 0, y 0), която е неподвижна точка на функцията z = f (x, y),тази функция има непрекъснати частни производни до 3-ти ред включително. Нека означим тогава:

1) f(x,y)има в точката М 0максимум ако AC–B² > 0, А < 0;

2) f(x,y)има в точката М 0минимум ако AC–B² > 0, А > 0;

3) няма екстремум в критичната точка, ако AC–B² < 0;

4) ако AC–B² = 0, необходими са допълнителни изследвания.

Доказателство.

Нека напишем формулата на Тейлър от втори ред за функцията f(x,y),запомняйки, че в стационарна точка частните производни от първи ред са равни на нула:

Където Ако ъгълът между сегмента М 0 М, Където M (x 0 +Δ x, y 0 +Δ при), и оста O хобозначават φ, тогава Δ x =Δ ρ cos φ, Δ y =Δρsinφ. В този случай формулата на Тейлър ще приеме формата: . Нека Тогава можем да разделим и умножим израза в скоби по А. Получаваме:

Нека сега разгледаме четири възможни случаи:

1) AC-B² > 0, А < 0. Тогда , и при достатъчно малък Δρ. Следователно в някакъв квартал M 0 f (x 0 + Δ x, y 0 +Δ y)< f (x 0, y 0), това е М 0– максимална точка.

2) Нека AC–B² > 0, А > 0.Тогава , И М 0– минимална точка.

3) Нека AC-B² < 0, А> 0. Разгледайте нарастването на аргументите по лъча φ = 0. Тогава от (5.1) следва, че , тоест при движение по този лъч функцията нараства. Ако се движим по лъч, така че tg φ 0 = -A/B,Че , следователно при движение по този лъч функцията намалява. И така, точка М 0не е екстремна точка.

3`) Кога AC–B² < 0, А < 0 доказательство отсутствия экстремума проводится

подобен на предишния.

3``) Ако AC–B² < 0, А= 0, тогава . При което . Тогава за достатъчно малко φ изразът 2 б cosφ + ° С sinφ е близо до 2 IN, тоест запазва постоянен знак, но sinφ променя знака в близост до точката М 0.Това означава, че нарастването на функцията променя знака в близост до стационарна точка, която следователно не е точка на екстремум.

4) Ако AC–B² = 0 и , , тоест знакът на нарастването се определя от знака на 2α 0. В същото време са необходими допълнителни изследвания за изясняване на въпроса за съществуването на екстремум.

Пример. Нека намерим точките на екстремума на функцията z = x² - 2 xy + 2г² + 2 х.За да намерим стационарни точки, решаваме системата . И така, неподвижната точка е (-2,-1). При което А = 2, IN = -2, СЪС= 4. Тогава AC–B² = 4 > 0, следователно в стационарна точка се достига екстремум, а именно минимум (тъй като А > 0).

Определение 5.4.Ако аргументите на функцията f (x 1, x 2,…, x n)свързан допълнителни условиякато муравнения ( м< n) :

φ 1 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, φ 2 ( x 1, x 2,…, x n) = 0, …, φ m ( x 1, x 2,…, x n) = 0, (5.2)

където функциите φ i имат непрекъснати частни производни, тогава се наричат ​​уравнения (5.2). уравнения на връзката.

Определение 5.5.Екстремум на функцията f (x 1, x 2,…, x n)когато са изпълнени условията (5.2), се извиква условен екстремум.

Коментирайте. Можем да предложим следната геометрична интерпретация на условния екстремум на функция от две променливи: нека аргументите на функцията f(x,y)свързани с уравнението φ (x,y)= 0, определяща някаква крива в равнината O xy. Възстановяване на перпендикуляри към равнина O от всяка точка на тази крива xyдокато се пресече с повърхността z = f (x,y),получаваме пространствена крива, лежаща на повърхността над кривата φ (x,y)= 0. Задачата е да се намерят екстремните точки на получената крива, която, разбира се, общ случайне съвпадат с безусловните точки на екстремум на функцията f(x,y).

Нека определим необходимите условия за условен екстремум за функция от две променливи, като първо въведем следното определение:

Определение 5.6.функция L (x 1 , x 2 ,…, x n) = f (x 1 , x 2 ,…, x n) + λ 1 φ 1 (x 1 , x 2 ,…, x n) +

+ λ 2 φ 2 (x 1 , x 2 ,…, x n) +…+λ m φ m (x 1 , x 2 ,…, x n), (5.3)

Където λi –някои са постоянни, т.нар Функция на Лагранж, и числата λi– неопределени множители на Лагранж.

Теорема 5.3(необходими условия за условен екстремум). Условен екстремум на функция z = f (x, y)в присъствието на уравнението на свързване φ ( x, y)= 0 може да се постигне само в стационарни точки на функцията на Лагранж L (x, y) = f (x, y) + λφ (x, y).

Доказателство. Уравнението на свързване определя имплицитна връзка приот х, следователно ще приемем, че приима функция от х: y = y(x).Тогава zима сложна функция от х, а неговите критични точки се определят от условието: . (5.4) От уравнението за свързване следва, че . (5.5)

Нека умножим равенството (5.5) по някакво число λ и го добавим към (5.4). Получаваме:

, или .

Последното равенство трябва да бъде изпълнено в стационарни точки, от което следва:

(5.6)

Получава се система от три уравнения за три неизвестни: x, yи λ, а първите две уравнения са условията за стационарната точка на функцията на Лагранж. Като изключим спомагателното неизвестно λ от системата (5.6), намираме координатите на точките, в които оригиналната функция може да има условен екстремум.

Забележка 1. Наличието на условен екстремум в намерената точка може да се провери чрез изследване на частните производни от втори ред на функцията на Лагранж по аналогия с теорема 5.2.

Забележка 2. Точки, в които може да се достигне условният екстремум на функцията f (x 1, x 2,…, x n)когато са изпълнени условията (5.2), могат да бъдат определени като решения на системата (5.7)

Пример. Нека намерим условния екстремум на функцията z = xyпредвид това x + y= 1. Нека съставим функцията на Лагранж L(x, y) = xy + λ (x + y – 1). Система (5.6) изглежда така:

Където -2λ=1, λ=-0,5, x = y = -λ = 0,5. При което L(x,y)могат да бъдат представени във формата L(x, y) = - 0,5 (x–y)² + 0,5 ≤ 0,5, следователно в намерената неподвижна точка L(x,y)има максимум и z = xy –условен максимум.

Нека функцията z - /(x, y) е дефинирана в някаква област D и нека Mo(xo, Vo) е вътрешна точка на тази област. Определение. Ако има такова число, че за всички, които отговарят на условията, неравенството е вярно, тогава точката Mo(xo, yo) се нарича точка локален максимум функции /(x, y); ако за всички Dx, Du, отговарящи на условията | тогава точката Mo(xo,yo) се нарича тънък локален минимум. С други думи, точката M0(x0, y0) е точка на максимум или минимум на функцията f(x, y), ако съществува 6-околност на точката A/o(x0, y0), така че изобщо точки M(x, y) от това в околността, нарастването на функцията запазва своя знак. Примери. 1. За функционалната точка - точка на минимум (фиг. 17). 2. За функцията точка 0(0,0) е максималната точка (фиг. 18). 3. За функция точка 0(0,0) е локална максимална точка. 4 Всъщност има околност на точката 0(0, 0), например окръжност с радиус j (виж фиг. 19), във всяка точка от която, различна от точката 0(0,0), стойността на функцията /(x,y) по-малка от 1 = Ще разглеждаме само точки на строг максимум и минимум на функциите, когато строго неравенство или строго неравенство е изпълнено за всички точки M(x) y) от някои пробити 6-окръжности на точката Mq. Стойността на функцията в точката на максимума се нарича максимум, а стойността на функцията в точката на минимум се нарича минимум на тази функция. Точките на максимума и минимума на функцията се наричат ​​точки на екстремум на функцията, а самите максимуми и минимуми на функцията се наричат ​​нейни екстремуми. Теорема 11 (необходимо условие за екстремум). Ако една функция е екстремум на функция на няколко променливи Понятието екстремум на функция на няколко променливи. Необходими и достатъчни условия за екстремум Условен екстремум Най-големите и най-малките стойности на непрекъснати функции имат екстремум в точката, тогава в тази точка всяка частична производна u или изчезва, или не съществува. Нека в точката M0(x0, yо) функцията z = f(x) y) има екстремум. Нека дадем на променливата y стойността yo. Тогава функцията z = /(x, y) ще бъде функция на една променлива x\ Тъй като при x = xo тя има екстремум (максимум или минимум, фиг. 20), тогава нейната производна по отношение на x = „o, | (*o,l>)" Равно на нула или не съществува. По същия начин сме убедени, че) е или равно на нула, или не съществува. Точките, в които = 0 и χ = 0 или не съществуват, се наричат ​​критични точки на функцията z = Dx, y). Точките, в които $£ = φ = 0 се наричат ​​още стационарни точки на функцията. Теорема 11 изразява само необходимите условия за екстремума, които не са достатъчни. Пример. Функция Фиг. 18 Фигура 20 производни на immt, които се равняват на нула при Но тази функция е слаба на imvat на strum.В действителност, функцията е равна на нула в точка 0(0,0) и приема положителни коефициенти в точки M(x, y), произволно близки до точката 0(0,0), и отрицателни стойности. За нея, така че в точки в точки (0, y) за произволно малка точка 0(0,0) от посочения тип се нарича мини-макс точка (фиг. 21). Достатъчните условия за екстремум на функция на две променливи се изразяват със следната теорема. Теорема 12 (достатъчни условия за екстремум на две променливи). Нека точката Mo(xo»Yo) е стационарна точка на функцията f(x, y) и в някаква околност на точката /, включително самата точка Mo, функцията f(z, y) има непрекъснати частични производни до втори ред включително. Тогава". в точката Mo(xo, V0) функцията /(xo, y) няма екстремум, ако D(xo, yo)< 0. Если же то в точке Мо(жо>Екстремумът на функцията f(x, y) може да съществува или да не съществува. В този случай са необходими допълнителни изследвания. m Нека се ограничим до доказването на твърдения 1) и 2) от теоремата. Нека напишем формулата на Тейлър от втори ред за функцията /(i, y): където. Съгласно условието е ясно, че знакът на нарастването D/ се определя от знака на тричлена от дясната страна на (1), т.е. знакът на втория диференциал d2f. Нека го обозначим за краткост. Тогава равенството (l) може да се запише по следния начин: Нека в точката MQ(so, V0) имаме... Тъй като по условие частните производни от втори ред на функцията f(s, y) са непрекъснати, тогава неравенство (3) ще е валидно и в някаква околност на точката M0(s0,yo). Ако условието е изпълнено (в точката А/0 и по силата на непрекъснатостта производната /,z(s,y) ще запази знака си в някаква околност на точката Af0. В областта, където А Ф 0, имаме , От това става ясно, че ако LS - В2 > 0 в някаква околност на точката M0(x0) y0), тогава знакът на тринома AAx2 -I- 2BAxAy + CDy2 съвпада със знака на A в точката (така че , V0) (както и със знака на C, тъй като за AC - B2 > 0 A и C не могат да имат различни знаци). Тъй като знакът на сумата AAAs2 + 2BAxAy + CAy2 в точката (s0 + $ Ax, y0 + 0 Du) определя знака на разликата, стигаме до следното заключение: ако за функцията /(s,y) при условието за стационарна точка (s0, V0), тогава за достатъчно малък || неравенството ще бъде удовлетворено. Така в точката (sq, V0) функцията /(s, y) има максимум. Ако условието е изпълнено в стационарната точка (s0, y0), тогава за всички достатъчно малки |Dr| и |Du| неравенството е вярно, което означава, че в точката (so,yo) функцията /(s, y) има минимум. Примери. 1. Изследване на функцията за екстремум 4 Използвайки необходимите условия за екстремум, търсим стационарни точки на функцията. За да направим това, намираме частните производни u и ги приравняваме на нула. Получаваме система от уравнения от където - неподвижна точка. Нека сега използваме теорема 12. Имаме Това означава, че има екстремум в точка Ml. Защото това е минимумът. Ако трансформираме функцията r във форма, лесно се вижда това дясна част (“) ще бъде минимален, когато е абсолютният минимум на тази функция. 2. Изследваме функцията за екстремум. Намираме стационарни точки на функцията, за които съставяме система от уравнения. Следователно, така че точката да е неподвижна. Тъй като по силата на теорема 12 няма екстремум в точка M. * 3. Изследване на екстремума на функцията Намерете стационарните точки на функцията. От системата от уравнения получаваме това, така че точката е неподвижна. След това имаме, че теорема 12 не отговаря на въпроса за наличието или отсъствието на екстремум. Нека го направим по този начин. За функция относно всички точки, различни от точката so, по дефиниция, и точката A/o(0,0) функцията r има абсолютен минимум. Чрез подобни изчисления установяваме, че функцията има максимум в точката, но функцията няма екстремум в точката. Нека функция от n независими променливи е диференцируема в точка Точка Mo се нарича стационарна точка на функцията, ако Теорема 13 (до достатъчни условия за екстремум). Нека функцията е дефинирана и има непрекъснати частични производни от втори ред в някои околности на фината Mt(xi..., която е стационарна фина функция, ако квадратичната форма (вторият диференциал на функцията f във фината е положителна определена (отрицателно определена), минималната точка (съответно фин максимум) на функцията f е фина Ако квадратичната форма (4) е с променлив знак, тогава няма екстремум във фината LG0.За да се установи дали квадратичната форма форма (4) ще бъде положително или отрицателно определена, можете да използвате например критерия на Силвестър за положителна (отрицателна) сигурност на квадратичната форма 15.2 Условни екстремуми Досега търсихме локални екстремуми на функция в цялата си област на дефиниране, когато аргументите на функцията не са обвързани с никакви допълнителни условия. Такива екстремуми се наричат ​​безусловни. Въпреки това често се срещат проблеми с намирането на така наречените условни екстремуми. Нека функцията z = /(x, y ) са дефинирани в домейна D. Да приемем, че в този домейн е дадена крива L и трябва да намерим екстремумите на функцията f(x> y) само сред тези от нейните стойности, които съответстват на точките на кривата L. Същите екстремуми се наричат ​​условни екстремуми на функцията z = f(x) y) върху кривата L. Дефиниция Казват, че в точка, разположена на кривата L, функцията f(x, y) има условен максимум (минимум), ако неравенството е изпълнено във всички точки M (s, y) y) крива L, принадлежаща към някаква околност на точката M0(x0, V0) и различна от точката M0 (Ако кривата L е дадена от уравнение, тогава проблемът е да се намери условният екстремум на функцията r - f(x,y) върху кривата! може да се формулира по следния начин: намерете екстремумите на функцията x = /(z, y) в областта D, при условие че По този начин, когато намирате условните екстремуми на функцията z = y), аргументите на гну вече не могат да бъдат разглеждани като независими променливи: те са свързани помежду си чрез връзката y ) = 0, която се нарича уравнение на свързване. За да изясним разграничението между безусловен и условен екстремум, нека да разгледаме пример, при който безусловният максимум на функцията (фиг. 23) е равен на единица и се постига в точката (0,0). Съответства на точка M - върха на pvvboloid.Нека добавим уравнението на връзката y = j. Тогава условният максимум очевидно ще бъде равен на него.Той се достига в точката (o,|) и съответства на върха Afj на топката, който е пресечната линия на топката с равнината y = j. В случай на безусловен mvximum, имаме mvximum applicate сред всички vpplicvt на повърхността * = 1 - l;2 ~ y1; summvv условно - само сред vllikvt точките pvraboloidv, съответстващи на точката* на правата y = j, а не на равнината xOy. Един от методите за намиране на условния екстремум на функция при наличие и връзка е следният. Нека уравнението на връзката y) - O дефинира y като уникална диференцируема функция на аргумента x: Замествайки функция вместо y във функцията, получаваме функция на един аргумент, в който условието за връзка вече е взето предвид. (Безусловният) екстремум на функцията е желаният условен екстремум. Пример. Намерете екстремума на функция при условие Екстремум на функция на няколко променливи Концепцията за екстремум на функция на няколко променливи. Необходими и достатъчни условия за екстремум Условен екстремум Най-големите и най-малките стойности на непрекъснатите функции A От уравнението на връзката (2") намираме y = 1-x. Замествайки тази стойност y в (V), получаваме функция на един аргумент x: Нека го разгледаме за екстремума: откъдето x = 1 е критичната точка; , така че той доставя условния минимум на функцията r (фиг. 24). Нека посочим друг начин за решаване на проблема с условното екстремум, наречен метод на множителя на Лагранж. Нека има точка на условния екстремум на функцията при наличие на връзка. Да приемем, че уравнението на връзката дефинира уникална непрекъснато диференцируема функция в определена околност на точката xx. Ако приемем, че че получаваме, че производната по отношение на x на функцията /(r, ip(x)) в точката xq трябва да бъде равна на нула или, което е еквивалентно на това, диференциала на f(x, y) в точка Mo" O) От уравнението на връзката имаме (5) Умножавайки последното равенство по все още неопределен числов фактор A и добавяйки член по член с равенство (4), ще имаме (приемаме, че). Тогава, поради произволността на dx, получаваме Равенства (6) и (7) изразяват необходимите условия за безусловен екстремум в точката на функцията, която се нарича функция на Лагранж. По този начин условната точка на екстремум на функцията /(x, y), ако, е задължително стационарна точка на функцията на Лагранж, където А е определен числов коефициент. Оттук получаваме правило за намиране на условни екстремуми: за да намерим точки, които могат да бъдат точки на конвенционалния екстремум на функция при наличие на връзка, 1) съставяме функцията на Лагранж, 2) като приравняваме производните на тази функция до нула и добавяне на уравнението на връзката към получените уравнения, получаваме система от три уравнения, от които намираме стойностите на A и координатите x, y на възможните точки на екстремум. Въпросът за съществуването и естеството на условния екстремум се решава въз основа на изследване на знака на втория диференциал на функцията на Лагранж за разглежданата система от стойности x0, V0, A, получена от (8), при условие че Ако , то в точката (x0, V0) функцията /(x, y ) има условен максимум; ако d2F > 0 - тогава условен минимум. По-специално, ако в стационарна точка (xo, J/o) детерминантата D за функцията F(x, y) е положителна, тогава в точката (®o, V0) има условен максимум на функцията f( x, y), ако и условен минимум на функцията /(x, y), ако Пример. Нека се обърнем отново към условията на предишния пример: намерете екстремума на функцията при условие, че x + y = 1. Ще решим проблема, като използваме метода на умножителя на Лагранж. Функция на Лагранж в в такъв случайима формата За намиране на стационарни точки съставяме система.От първите две уравнения на системата получаваме, че x = y. Тогава от третото уравнение на системата (уравнението на връзката) намираме, че x - y = j са координатите на възможната точка на екстремум. В този случай (посочено е, че A = -1. По този начин функцията на Лагранж. е условната минимална точка на функцията * = x2 + y2 при условието Няма безусловен екстремум за функцията на Лагранж. P(x, y ) все още не означава липса на условен екстремум за функцията /(x, y) при наличие на връзка Пример: Намерете екстремума на функция при условие y 4 Съставяме функцията на Лагранж и записваме система за определяне на A и координатите на възможните точки на екстремум: От първите две уравнения получаваме x + y = 0 и стигаме до системата, откъдето x = y = A = 0. Така съответната функция на Лагранж има формата В точката (0,0) функцията F(x, y; 0) няма безусловен екстремум, но условният екстремум на функцията r = xy. Когато y = x, има ". Наистина, в този случай r = х2.От тук става ясно, че в точката (0,0) има условен минимум.“Методът на множителите на Лагранж се пренася към случая на функции с произволен брой аргументи/ Да търсим екстремума на функцията при наличие на уравнения на връзка Съставете функцията на Лагранж, където A|, Az,..., A„, са неопределени постоянни множители. Приравнявайки на нула всички частични производни от първи ред на функцията F и добавяйки уравнения за връзка (9) към получените уравнения, получаваме система от n + m уравнения, от които определяме Ab A3|..., At и координатите x \) x2). » xn възможни точки на условен екстремум. Въпросът дали точките, намерени с помощта на метода на Лагранж, всъщност са точки на условен екстремум, често може да бъде решен въз основа на съображения от физическо или геометрично естество. 15.3. Най-големите и най-малките стойности на непрекъснати функции Нека се изисква да се намери най-голямата (най-малката) стойност на функцията z = /(x, y), непрекъсната в някаква затворена ограничена област D. По теорема 3 в тази област има е точка (xo, V0), в която функцията приема най-голяма (най-малка) стойност. Ако точката (xo, y0) лежи вътре в областта D, тогава функцията / има максимум (минимум) в нея, така че в този случай точката, която ни интересува, се съдържа сред критичните точки на функцията /(x, y). Функцията /(x, y) обаче може да достигне най-голямата си (най-малката) стойност на границата на региона. Следователно, за да намерите най-голямата (най-малката) стойност, взета от функцията z = /(x, y) в ограничен затворена зона 2), трябва да намерите всички максимуми (минимуми) на функцията, които са постигнати в тази област, както и най-голямата (най-малката) стойност на функцията на границата на тази област. Най-голямото (най-малкото) от всички тези числа ще бъде желаната най-голяма (най-малка) стойност на функцията z = /(x,y) в област 27. Нека покажем как се прави това в случай на диференцируема функция. Prmmr. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията на област 4. Намираме критичните точки на функцията вътре в област D. За да направим това, съставяме система от уравнения. От тук получаваме x = y « 0, така че точка 0 (0,0) е критичната точка на функцията x. Тъй като Нека сега намерим най-големите и най-малките стойности на функцията на границата Г на областта D. На част от границата имаме, че y = 0 е критична точка, и тъй като = тогава в тази точка функцията z = 1 + y2 има минимум, равен на единица. В краищата на сегмента Г", в точки (, имаме. Използвайки съображения за симетрия, получаваме същите резултати за други части на границата. Накрая получаваме: най-малката стойност на функцията z = x2+y2 в областта "B е равно на нула и се постига във вътрешната точка 0( 0, 0) области и най-висока стойностна тази функция, равна на две, се постига в четири точки от границата (фиг. 25) Фиг. 25 Упражнения Намерете областта на дефиниране на функциите: Постройте линиите на нивото на функциите: 9 Намерете повърхностите на нивото на функциите на три независими променливи: Изчислете границите на функциите: Намерете частните производни на функциите и техните пълни диференциали : Намерете производни на сложни функции: 3 Намерете J. Екстремум на функция на няколко променливи Концепцията за екстремум на функция на няколко променливи. Необходими и достатъчни условия за екстремум Условен екстремум Най-големите и най-малките стойности на непрекъснати функции 34. Използвайки формулата за производна на комплексна функция на две променливи, намерете и функции: 35. Използвайки формулата за производна на комплекс функция на две променливи, намерете |J и функции: Намерете jj функции, дадени имплицитно: 40. Намерете ъгловия коефициент на допирателната в точката на нейното пресичане с правата x = 3. 41. Намерете точките, в които допирателната на кривата x е успоредна на оста Ox. . В следните задачи намерете и T: Напишете уравненията на допирателната равнина и нормалата на повърхността: 49. Напишете уравненията на допирателните равнини на повърхността x2 + 2y2 + 3z2 = 21, успоредна на равнината x + 4y + 6z = 0. Намерете първите три или четири члена на разширението, като използвате формулата на Тейлър: 50. y в близост до точката (0, 0). Използвайки определението за екстремум на функция, разгледайте следните функции за екстремум:). Използвайки достатъчни условия за екстремума на функция на две променливи, изследвайте екстремума на функцията: 84. Намерете най-голямата и най-малката стойност на функцията z = x2 - y2 в затворен кръг 85. Намерете най-голямата и най-малката стойност ​​на функцията * = x2y(4-x-y) в триъгълник, ограничен от прави линии x = 0, y = 0, x + y = b. 88. Определете размерите на правоъгълен открит басейн, който има най-малката повърхност, при условие че обемът му е равен на V. 87. Намерете размерите на правоъгълен паралелепипед, който има максимален обем при обща повърхност 5. Отговори 1. и | Квадрат, образуван от отсечки x, включително страните му. 3. Семейство от концентрични пръстени 2= 0,1,2,... .4. Цялата равнина с изключение на точките на правите линии. Част от равнината, разположена над параболата y = -x?. 8. Точки от окръжността x. Цялата равнина с изключение на прави линии x Радикалният израз е неотрицателен в два случая j * ^ или j x ^ ^, което е еквивалентно съответно на безкрайна поредица от неравенства Областта на дефиниция е защриховани квадрати (фиг. 26); l, което е еквивалентно на безкрайна серия Функцията е дефинирана в точки. а) Прави, успоредни на права линия x б) концентрични окръжности с център в началото. 10. а) параболи у) параболи у а) параболи б) хиперболи | .Самолети xc. 13.Prime - хиперболоиди с една кухина на въртене около оста Oz; когато и са двуслойни хиперболоиди на въртене около оста Oz, двете семейства повърхности са разделени от конус; Няма ограничение, б) 0. 18. Нека зададем y = kxt, след това z lim z = -2, така че дадената функция в точка (0,0) няма граница. 19. а) Точка (0,0); б) точка (0,0). 20. а) Прекъсната линия - окръжност x2 + y2 = 1; б) линията на прекъсване е правата линия y = x. 21. а) Линии на прекъсване - координатни оси Ox и Oy; б) 0 (празно множество). 22. Всички точки (m, n), където и n са цели числа