Има 2 примера за поръчка. Линейни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти

Разгледайте линейно хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти:
(1) .
Неговото решение може да се получи, като следвате общ методнамаляване на поръчката.

Въпреки това е по-лесно незабавно да се получи основната система плинейно независими решения и въз основа на него създават общо решение. В този случай цялата процедура за решение се свежда до следващи стъпки.

Търсим решение на уравнение (1) във формата . получаваме :
(2) .
характеристично уравнение
(3) .
Има n корена. Решаваме уравнение (2) и намираме неговите корени. Тогава характеристичното уравнение (2) може да се представи в следната форма:Всеки корен съответства на едно от линейно независимите решения на основната система от решения на уравнение (1). След това общото решение
(4) .

оригинално уравнение

(1) има формата:Истински корени
.

Нека разгледаме истинските корени
. Нека коренът е единичен. Тоест факторът влиза в характеристичното уравнение (3) само веднъж. Тогава този корен съответства на решението
.
Нека е кратен корен с кратност p.
; ; ; ...; .

това е

.В този случай множителят е p пъти:
.
Тези множество (равни) корени съответстват на p линейно независими решения на първоначалното уравнение (1):
.

Сложни корени
; .

Помислете за сложни корени
.
. Нека изразим комплексния корен по отношение на реалните и въображаемите части: Тъй като коефициентите на оригинала са реални, тогава в допълнение към корена има комплексно спрегнат коренНека комплексният корен е кратен. Тогава двойка корени съответства на две линейно независими решения: Тъй като коефициентите на оригинала са реални, тогава в допълнение към корена има комплексно спрегнат коренНека е кратен комплексен корен с кратност p.
; ; ; ... ;
; ; ; ... .

Тогава комплексно спрегнатата стойност също е корен на характеристичното уравнение на множествеността p и множителят влиза p пъти:

това

2т

корените съответстват
.

линейно независими решения:

.
След намирането на фундаменталната система от линейно независими решения, получаваме общото решение.
;
;
.

Нека да разгледаме корените на това уравнение. Имаме четири комплексни корена с кратност 2:
; .
Те съответстват на четири линейно независими решения на първоначалното уравнение:
; ; ; .

Имаме и три реални корена на кратно 3:
.
Те съответстват на три линейно независими решения:
; ; .

Общо решениепървоначалното уравнение има формата:
.

отговор

Пример 2

Решете уравнението

линейно независими решения:

Търсим решение във формата.
.
Съставяме характеристичното уравнение:
.

Решаване на квадратно уравнение.
.
Имаме два сложни корена:
.
Те съответстват на две линейно независими решения:
.

Общо решение на уравнението: В някои задачи на физиката не е възможно да се установи пряка връзка между величините, описващи процеса. Но е възможно да се получи равенство, съдържащо производните на изследваните функции. Така възникватдиференциални уравнения

и необходимостта от решаването им, за да се намери неизвестната функция.

Тази статия е предназначена за тези, които се сблъскват с проблема за решаване на диференциално уравнение, в което неизвестната функция е функция на една променлива. Теорията е структурирана по такъв начин, че с нулеви познания по диференциални уравнения можете да се справите със задачата си.

Всеки тип диференциално уравнение е свързан с метод за решаване с подробни обяснения и решения на типични примери и задачи. Всичко, което трябва да направите, е да определите вида на диференциалното уравнение на вашия проблем, да намерите подобен анализиран пример и да извършите подобни действия. За да решавате успешно диференциални уравнения, ще ви е необходима и способност да намирате набори от антипроизводни () неопределени интегралиразлични функции

. Ако е необходимо, препоръчваме да се обърнете към раздела.

Първо ще разгледаме типовете обикновени диференциални уравнения от първи ред, които могат да бъдат разрешени по отношение на производната, след това ще преминем към ODE от втори ред, след това ще се спрем на уравнения от по-висок ред и ще завършим със системи от диференциални уравнения.

Спомнете си, че ако y е функция на аргумента x.

Диференциални уравнения от първи ред.

Най-простите диференциални уравнения от първи ред на формата. .

Нека напишем няколко примера за такова дистанционно управление Диференциални уравнения

Ако има стойности на аргумента x, при които функциите f(x) и g(x) едновременно се нулират, тогава се появяват допълнителни решения. Допълнителни решения на уравнението дадено x са всички функции, дефинирани за тези стойности на аргумент. Примери за такива диференциални уравнения включват:

Диференциални уравнения от втори ред.

Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

LDE с постоянни коефициенти е много често срещан тип диференциално уравнение. Решението им не е особено трудно. Първо се намират корените на характеристичното уравнение . За различни p и q са възможни три случая: корените на характеристичното уравнение могат да бъдат реални и различни, реални и съвпадащи или сложни конюгати. В зависимост от стойностите на корените на характеристичното уравнение, общото решение на диференциалното уравнение се записва като , или , или съответно.

Например, разгледайте линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти. Корените на неговото характеристично уравнение са k 1 = -3 и k 2 = 0. Корените са реални и различни, следователно общото решение на LOD с постоянни коефициенти има формата


Линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Общото решение на LDDE от втори ред с постоянни коефициенти y се търси под формата на сумата от общото решение на съответния LDDE и определено решение на оригиналното не е хомогенно уравнение, тоест . Предишният параграф е посветен на намирането на общо решение на хомогенно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. И определено решение се определя или чрез метода на неопределените коефициенти за определена форма на функцията f(x), стояща от дясната страна на първоначалното уравнение, или чрез метода на вариране на произволни константи.

Като примери за LDDE от втори ред с постоянни коефициенти, ние даваме


За да разберете теорията и да се запознаете с подробни решения на примери, ви предлагаме на страницата линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Линейни хомогенни диференциални уравнения (LODE) и линейни нехомогенни диференциални уравнения (LNDE) от втори ред.

Частен случай на диференциални уравнения от този тип са LODE и LDDE с постоянни коефициенти.

Общото решение на LODE на определен сегмент е представено от линейна комбинация от две линейно независими частични решения y 1 и y 2 на това уравнение, т.е. .

Основната трудност се състои именно в намирането на линейно независими частни решения на диференциално уравнение от този тип. Обикновено конкретните решения се избират линейно от следните системи независими функции:


Въпреки това, конкретните решения не винаги се представят в тази форма.

Пример за LOD е .

Общото решение на LDDE се търси във формата , където е общото решение на съответния LDDE, а е частното решение на оригиналното диференциално уравнение. Току-що говорихме за намирането му, но то може да се определи с помощта на метода на вариране на произволни константи.

Може да се даде пример за LNDU .

Диференциални уравнения от по-високи редове.

Диференциални уравнения, които позволяват редукция.

Ред на диференциалното уравнение , която не съдържа желаната функция и нейните производни до k-1 ред, може да се редуцира до n-k чрез замяна на .

В този случай първоначалното диференциално уравнение ще бъде намалено до . След намиране на неговото решение p(x), остава да се върнем към замяната и да определим неизвестната функция y.

Например диференциалното уравнение след замяната то ще се превърне в уравнение с разделими променливи и редът му ще бъде намален от трети на първи.

Този параграф ще обсъди специален случай линейни уравнениявтори ред, когато коефициентите на уравнението са постоянни, тоест те са числа. Такива уравнения се наричат ​​уравнения с постоянни коефициенти. Този тип уравнения намират особено широко приложение.

1. Линейни хомогенни диференциални уравнения

втори ред с постоянни коефициенти

Помислете за уравнението

в който коефициентите са постоянни. Ако приемем, че разделяйки всички членове на уравнението с и обозначавайки

Нека запишем това уравнение във формата

Както е известно, за да се намери общо решение на линейно хомогенно уравнение от втори ред, е достатъчно да се знае основната му система от частични решения. Нека покажем как да намерим фундаментална система от частични решения за хомогенно линейно диференциално уравнение с постоянни коефициенти. Ще търсим конкретно решение на това уравнение във формата

Диференцирайки тази функция два пъти и замествайки изрази за в уравнение (59), получаваме

Тъй като , тогава, намаляване на получаваме уравнението

От това уравнение се определят онези стойности на k, за които функцията ще бъде решение на уравнение (59).

Алгебричното уравнение (61) за определяне на коефициента k се нарича характеристично уравнение на това диференциално уравнение (59).

Характеристичното уравнение е уравнение от втора степен и следователно има два корена. Тези корени могат да бъдат или реални различни, реални и равни, или комплексно спрегнати.

Нека разгледаме каква е формата на фундаменталната система от конкретни решения във всеки от тези случаи.

1. Корените на характеристичното уравнение са реални и различни: . В този случай, използвайки формула (60), намираме две частични решения:

Тези две конкретни решения образуват фундаментална система от решения по цялата числена ос, тъй като детерминантата на Wronski не изчезва никъде:

Следователно общото решение на уравнението съгласно формула (48) има формата

2. Корените на характеристичното уравнение са равни: . В този случай и двата корена ще бъдат истински. Използвайки формула (60), получаваме само едно конкретно решение

Нека покажем, че второто конкретно решение, което заедно с първото образува фундаментална система, има формата

Първо, нека проверим дали функцията е решение на уравнение (59). наистина

Но тъй като има корен на характеристичното уравнение (61). В допълнение, според теоремата на Виета, Следователно . Следователно, , т.е. функцията наистина е решение на уравнение (59).

Нека сега покажем, че намерените частични решения образуват фундаментална система от решения. наистина

Така в този случай общото решение на хомогенното линейно уравнение има формата

3. Корените на характеристичното уравнение са комплексни. Както е известно, комплексните корени на квадратно уравнение с реални коефициенти са спрегнати комплексни числа, т.е изглеждат така: . В този случай частичните решения на уравнение (59), съгласно формула (60), ще имат формата:

Използвайки формулите на Ойлер (вижте глава XI, § 5, параграф 3), изразите за могат да бъдат записани като:

Тези решения са изчерпателни. За да получите валидни решения, разгледайте новите функции

Те са линейни комбинации от решения и следователно сами по себе си са решения на уравнение (59) (вижте § 3, т. 2, теорема 1).

Лесно е да се покаже, че детерминантата на Вронски за тези решения е различна от нула и следователно решенията образуват фундаментална система от решения.

По този начин общото решение на хомогенно линейно диференциално уравнение в случай на комплексни корени на характеристичното уравнение има формата

В заключение представяме таблица с формули за общото решение на уравнение (59) в зависимост от вида на корените на характеристичното уравнение.

Основи на решаването на линейни нехомогенни диференциални уравнения от втори ред (LNDE-2) с постоянни коефициенти (PC)

LDDE от 2-ри ред с постоянни коефициенти $p$ и $q$ има формата $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, където $f\left(x \right)$ е непрекъсната функция.

По отношение на LNDU 2 с компютър, следните две твърдения са верни.

Да приемем, че някаква функция $U$ е произволно частично решение на нехомогенно диференциално уравнение. Нека приемем също, че някаква функция $Y$ е общото решение (GS) на съответното линейно хомогенно диференциално уравнение (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Тогава GR на LHDE-2 е равно на сумата от посочените частни и общи решения, т.е. $y=U+Y$.

Ако дясната страна на LMDE от 2-ри ред е сбор от функции, тоест $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+..+f_(r) \left(x\right)$, тогава първо можем да намерим PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$, които съответстват към всяка от функциите $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, и след това запишете CR LNDU-2 във формата $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Решение на LPDE от 2-ри ред с компютър

Очевидно е, че типът на един или друг PD $U$ на даден LNDU-2 зависи от конкретната форма на неговата дясна страна $f\left(x\right)$. Най-простите случаи на търсене на PD LNDU-2 са формулирани под формата на следните четири правила.

Правило #1.

Дясна страна LNDU-2 има формата $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, където $P_(n) \left(x\right)=a_(0) \cdot x ^ (n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, т.е. нарича се полином от степен $ n$. Тогава неговият PD $U$ се търси във формата $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, където $Q_(n) \left(x\right)$ е друг полином от същата степен като $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ е броят на корените на характеристичното уравнение на съответния LODE-2, които са равни на нула. Коефициентите на полинома $Q_(n) \left(x\right)$ се намират по метода на неопределените коефициенти (UK).

Правило №2.

Дясната страна на LNDU-2 има формата $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, където $P_(n) \left( x\right)$ е полином от степен $n$. Тогава неговият PD $U$ се търси във формата $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, където $Q_(n ) \ left(x\right)$ е друг полином от същата степен като $P_(n) \left(x\right)$, а $r$ е броят на корените на характеристичното уравнение на съответния LODE-2 , равно на $\alpha $. Коефициентите на полинома $Q_(n) \left(x\right)$ се намират по метода NC.

Правило №3.

Дясната страна на LNDU-2 има формата $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, където $a$, $b$ и $\beta$ са известни числа. Тогава неговият PD $U$ се търси във формата $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, където $A$ и $B$ са неизвестни коефициенти, а $r$ е броят на корените на характеристичното уравнение на съответния LODE-2, равен на $i\cdot \бета $. Коефициентите $A$ и $B$ се намират с помощта на неразрушителен метод.

Правило № 4.

Дясната страна на LNDU-2 има формата $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, където $P_(n) \left(x\right)$ е полином от степен $n$, а $P_(m) \left(x\right)$ е полином от степен $m$. Тогава неговият PD $U$ се търси във формата $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, където $Q_(s) \left(x\right)$ и $ R_(s) \left(x\right)$ са полиноми от степен $s$, числото $s$ е максимумът от две числа $n$ и $m$, а $r$ е броят на корените от характеристичното уравнение на съответния LODE-2, равно на $\alpha +i\cdot \beta $. Коефициентите на полиномите $Q_(s) \left(x\right)$ и $R_(s) \left(x\right)$ се намират по метода NC.

Методът NK се състои в прилагане на следното правило. За да се намерят неизвестните коефициенти на полинома, които са част от частичното решение на нехомогенното диференциално уравнение LNDU-2, е необходимо:

• заменете написаното PD $U$ общ изглед, В лявата странаЛНДУ-2;
• от лявата страна на LNDU-2, извършете опростявания и групирайте членове със същите степени $x$;
• в полученото тъждество приравнете коефициентите на членове с еднакви степени $x$ на лявата и дясната страна;
• решаване на получената система от линейни уравнения за неизвестни коефициенти.

Пример 1

Задача: намерете ИЛИ LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Намерете също PD , отговарящи на началните условия $y=6$ за $x=0$ и $y"=1$ за $x=0$.

Записваме съответния LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Характеристично уравнение: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Корените на характеристичното уравнение са: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Тези корени са валидни и различни. По този начин ИЛИ на съответния LODE-2 има формата: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Дясната страна на този LNDU-2 има формата $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Необходимо е да се вземе предвид коефициентът на степента $\alpha =3$. Този коефициент не съвпада с нито един от корените на характеристичното уравнение. Следователно PD на този LNDU-2 има формата $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Ще търсим коефициентите $A$, $B$ с помощта на метода NC.

Намираме първата производна на Чехия:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Намираме втората производна на Чехия:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Заменяме функциите $U""$, $U"$ и $U$ вместо $y""$, $y"$ и $y$ в дадения NLDE-2 $y""-3\cdot y" -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x $ Освен това, тъй като показателят $e^(3\cdot x) $ е включен като фактор във всички компоненти, тогава може да се пропусне:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

Извършваме действията от лявата страна на полученото равенство:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Използваме метода NDT. Получаваме система от линейни уравнения с две неизвестни:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

Решението на тази система е: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ за нашия проблем изглежда така: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

ИЛИ $y=Y+U$ за нашия проблем изглежда така: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ ляво(-2\cdot x-1\дясно)\cdot e^(3\cdot x) $.

За да търсим PD, който отговаря на дадените начални условия, намираме производната $y"$ на OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Заместваме в $y$ и $y"$ началните условия $y=6$ за $x=0$ и $y"=1$ за $x=0$:

$6=C_(1) +C_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

Получихме система от уравнения:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

Нека го решим. Намираме $C_(1) $ с помощта на формулата на Крамър, а $C_(2) $ определяме от първото уравнение:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

Така PD на това диференциално уравнение има формата: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Тук ще приложим метода на вариация на константите на Лагранж за решаване на линейни нееднородни диференциални уравнения от втори ред. Подробно описаниетози метод за решаване на уравнения от произволен ред е описан на страницата
Решаване на линейни нехомогенни диференциални уравнения от по-високи редове по метода на Лагранж >>>.

2т

Решете диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти, като използвате метода на вариация на константите на Лагранж:
(1)

линейно независими решения:

Първо решаваме хомогенното диференциално уравнение:
(2)

Това е уравнение от втори ред.

Решаване на квадратното уравнение:
.
Множество корени: . Фундаментална системарешения на уравнение (2) има формата:
(3) .
От тук получаваме общо решение на хомогенното уравнение (2):
(4) .

Вариране на константите C 1 и С 2 .
.
Тоест заместваме константите в (4) с функции:
(5) .

Търсим решение на първоначалното уравнение (1) във формата:
.
Намиране на производната:
(6) .
Нека свържем функциите и уравнението:
.

Тогава
.
Намираме втората производна:
(1) ;



.
Заместете в оригиналното уравнение (1):
(7) .
Тъй като и удовлетворява хомогенното уравнение (2), сумата от членовете във всяка колона на последните три реда дава нула и предишното уравнение приема формата:

Тук.
(6) :
(7) .

Заедно с уравнение (6) получаваме система от уравнения за определяне на функциите и:

Решаване на система от уравнения
.
Решаваме системата от уравнения (6-7). Нека напишем изрази за функциите и:
;
.

Намираме техните производни:

.
Решаваме системата от уравнения (6-7), използвайки метода на Крамер. Изчисляваме детерминантата на системната матрица:
;
.

Използвайки формулите на Cramer намираме:
;
.
И така, намерихме производните на функциите:
; ; ; .

.
.

;
.

отговор

Пример 2

Да интегрираме (вижте Методи за интегриране на корени). Извършване на замяна
(8)

линейно независими решения:

Решете диференциалното уравнение по метода на вариацията на константите на Лагранж:

Стъпка 1. Решаване на хомогенното уравнение

(9)
Решаваме хомогенното диференциално уравнение:

Това уравнение има сложни корени:
.
Фундаменталната система от решения, съответстваща на тези корени, има формата:
(10) .
Общо решение на хомогенно уравнение (9):
(11) .

Стъпка 2. Вариация на константи - замяна на константи с функции

Сега променяме константите C 1 и С 2 .
.
Тоест заместваме константите в (11) с функции:
(12) .

Търсим решение на първоначалното уравнение (8) във формата: Освен това прогресът на решението е същият като в пример 1. Стигаме доследваща система
(13) :
(14) .
Тъй като и удовлетворява хомогенното уравнение (2), сумата от членовете във всяка колона на последните три реда дава нула и предишното уравнение приема формата:

Заедно с уравнение (6) получаваме система от уравнения за определяне на функциите и:

уравнения за определяне на функции и:
.
Нека решим тази система. Нека запишем изразите за функциите и :
;
.

От таблицата на производните намираме:

.
Решаваме системата от уравнения (6-7), използвайки метода на Крамер. Изчисляваме детерминантата на системната матрица:
;
.

.
Решаваме системата от уравнения (13-14), използвайки метода на Крамер. Детерминанта на системната матрица:
.
Нека свържем функциите и уравнението:
.

Тъй като , знакът за модул под знака за логаритъм може да бъде пропуснат. Умножете числителя и знаменателя по:


.