Алгоритъм за решаване на метода на Гаус. Метод на Гаус (последователно елиминиране на неизвестни)

The онлайн калкулаторнамира решение на системата линейни уравнения(SLN) по метода на Гаус. Дадено е подробно решение. За да изчислите, изберете броя на променливите и броя на уравненията. След това въведете данните в клетките и кликнете върху бутона "Изчисли".

х 1 +х 2 +х 3 х 1 +х 2 +х 3 х 1 +х 2 +х 3 = = =

Представяне на числа:

Цели числа и/или Обикновени дроби
Цели числа и/или десетични знаци

Брой знаци след десетичния разделител

×

Внимание

Изчистване на всички клетки?

Затвори Изчисти

Инструкции за въвеждане на данни.Числата се въвеждат като цели числа (примери: 487, 5, -7623 и т.н.), десетични знаци (напр. 67., 102,54 и т.н.) или дроби. Дробта трябва да бъде въведена във формата a/b, където a и b (b>0) са цели числа или десетични числа. Примери 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.н.

Метод на Гаус

Методът на Гаус е метод за преход от оригиналната система от линейни уравнения (с помощта на еквивалентни трансформации) към система, която е по-лесна за решаване от оригиналната система.

Еквивалентни трансформации на система от линейни уравнения са:

• размяна на две уравнения в системата,
• умножаване на всяко уравнение в системата с ненулево реално число,
• добавяне към едно уравнение на друго уравнение, умножено по произволно число.

Помислете за система от линейни уравнения:

(1)

Нека запишем системата (1) в матрична форма:

Ax=b

(2)

(3)

А- наречена коефициентна матрица на системата, b− дясната страна на ограниченията, х− вектор от променливи, които трябва да бъдат намерени. Нека се класира( А)=стр.

Еквивалентните трансформации не променят ранга на коефициентната матрица и ранга на разширената матрица на системата. Множеството от решения на системата също не се променя при еквивалентни преобразувания. Същността на метода на Гаус е да се намали матрицата на коефициентите Адо диагонал или стъпало.

Нека изградим разширена матрица на системата:

На следващия етап нулираме всички елементи от колона 2, под елемента. Ако този елемент е нула, тогава този ред се разменя с реда, разположен под този ред и имащ различен от нула елемент във втората колона. След това нулирайте всички елементи от колона 2 под водещия елемент а 22. За да направите това, добавете редове 3, ... мс низ 2, умножен по − а 32 /а 22 , ..., −ам2/ а 22, съответно. Продължавайки процедурата, получаваме диагонална или стъпаловидна матрица. Нека получената разширена матрица има формата:

(7)

защото rangA=ранг(A|b), тогава множеството от решения (7) е ( n−p)− разнообразие. Следователно n−pнеизвестните могат да бъдат избрани произволно. Останалите неизвестни от системата (7) се изчисляват по следния начин. От последното уравнение изразяваме х p през останалите променливи и вмъкнете в предишните изрази. След това изразяваме от предпоследното уравнение х p−1 през останалите променливи и вмъкнете в предишните изрази и т.н. Нека да разгледаме метода на Гаус, използвайки конкретни примери.

Примери за решаване на система от линейни уравнения по метода на Гаус

Пример 1. Намерете общо решениесистеми от линейни уравнения по метода на Гаус:

Нека означим с а ij елементи i-ти ред и йта колона.

аединадесет За да направите това, добавете редове 2,3 с ред 1, умножени съответно по -2/3,-1/2:

Матричен тип запис: Ax=b, Където

Нека означим с а ij елементи i-ти ред и йта колона.

Нека изключим елементите от 1-вата колона на матрицата под елемента аединадесет За да направите това, добавете редове 2,3 с ред 1, умножени съответно по -1/5,-6/5:

Разделяме всеки ред от матрицата на съответния водещ елемент (ако водещият елемент съществува):

Където х 3 , х

Като заместим горните изрази в долните, получаваме решението.

Тогава векторното решение може да бъде представено по следния начин:

Където х 3 , х 4 са произволни реални числа.

Един от универсалните и ефективни методи за решаване на линейни алгебрични системи е Метод на Гаус , състоящ се в последователно елиминиране на неизвестни.

Припомняме, че двете системи се наричат еквивалентен (еквивалентни), ако множествата на техните решения съвпадат. С други думи, системите са еквивалентни, ако всяко решение на една от тях е решение на другата и обратно. Еквивалентни системи се получават, когато елементарни трансформации уравнения на системата:

умножаване на двете страни на уравнението с число, различно от нула;

добавяне към дадено уравнение на съответните части от друго уравнение, умножени по число, различно от нула;

пренареждане на две уравнения.

Нека е дадена система от уравнения

Процесът на решаване на тази система с помощта на метода на Гаус се състои от два етапа. На първия етап (директно движение) системата, използвайки елементарни трансформации, се свежда до стъпаловидно , или триъгълна ум, а на втория етап ( обратен ход) има последователно определяне на неизвестните от получената стъпкова система, като се започне от последното променливо число.

Да приемем, че коефициентът на тази система
, в противен случай в системата първият ред може да бъде разменен с всеки друг ред, така че коефициентът при беше различно от нула.

Нека трансформираме системата, като елиминираме неизвестното във всички уравнения с изключение на първото. За да направите това, умножете двете страни на първото уравнение по и добавете член по член с второто уравнение на системата. След това умножете двете страни на първото уравнение по и го добавете към третото уравнение на системата. Продължавайки този процес, получаваме еквивалентната система

Тук
– нови стойности на коефициенти и безплатни членове, които се получават след първата стъпка.

По същия начин, като се има предвид основният елемент
, изключете неизвестното от всички уравнения на системата, с изключение на първото и второто. Нека продължим този процес възможно най-дълго и в резултат на това ще получим поетапна система

,

Където ,
,…,– основни елементи на системата
.

Ако в процеса на редуциране на системата до поетапна форма се появят уравнения, т.е. равенства на формата
, те се отхвърлят, тъй като са удовлетворени от произволен набор от числа
. Ако при
ще се появи уравнение на формата, който няма решения, то това показва несъвместимостта на системата.

По време на обратния ход първото неизвестно се изразява от последното уравнение на трансформираната стъпкова система през всички други неизвестни
които се наричат Безплатно . След това променливият израз от последното уравнение на системата се замества в предпоследното уравнение и от него се изразява променливата
. Променливите се дефинират последователно по подобен начин
. Променливи
, изразени чрез свободни променливи, се наричат основен (зависим). Резултатът е общо решение на системата от линейни уравнения.

Да намеря частно решение системи, безплатни неизвестни
в общото решение се присвояват произволни стойности и се изчисляват стойностите на променливите
.

Технически е по-удобно да се подлагат на елементарни трансформации не самите уравнения на системата, а разширената матрица на системата

.

Методът на Гаус е универсален метод, който ви позволява да решавате не само квадратни, но и правоъгълни системи, в които броят на неизвестните
не е равен на броя на уравненията
.

Предимството на този метод е също така, че в процеса на решаване ние едновременно проверяваме системата за съвместимост, тъй като след като сме дали разширената матрица
в стъпаловидна форма е лесно да се определят ранговете на матрицата и разширена матрица
и кандидатствайте Теорема на Кронекер-Капели .

Пример 2.1Решете системата по метода на Гаус

Решение. Брой уравнения
и броя на неизвестните
.

Нека създадем разширена матрица на системата, като присвоим коефициенти отдясно на матрицата колона за безплатни членове .

Нека представим матрицата Да се триъгълен изглед; За да направим това, ще получим "0" под елементите, разположени на главния диагонал, използвайки елементарни трансформации.

За да получите "0" във втората позиция на първата колона, умножете първия ред по (-1) и го добавете към втория ред.

Записваме тази трансформация като числото (-1) срещу първия ред и го обозначаваме със стрелка, преминаваща от първия ред към втория ред.

За да получите "0" на третата позиция на първата колона, умножете първия ред по (-3) и добавете към третия ред; Нека покажем това действие с помощта на стрелка, преминаваща от първия ред към третия.

.

В получената матрица, записана на второ място във веригата от матрици, получаваме „0“ във втората колона на трета позиция. За да направим това, умножихме втория ред по (-4) и го добавихме към третия. В получената матрица умножете втория ред по (-1) и разделете третия на (-8). Всички елементи на тази матрица, лежащи под диагоналните елементи, са нули.

защото , системата е съвместна и дефинирана.

Системата от уравнения, съответстваща на последната матрица, има триъгълна форма:

От последното (трето) уравнение
. Заместете във второто уравнение и получете
.

Да заместим
И
в първото уравнение, намираме


.

Продължаваме да разглеждаме системи от линейни уравнения. Този урок е трети по темата. Ако имате неясна представа какво е система от линейни уравнения като цяло, ако се чувствате като чайник, тогава препоръчвам да започнете с основите на страницата Следваща, полезно е да изучавате урока.

Методът на Гаус е лесен!Защо? Известният немски математик Йохан Карл Фридрих Гаус приживе получи признание за най-великия математик на всички времена, гений и дори прозвището „Кралят на математиката“. А всичко гениално, както знаете, е просто!Между другото, не само глупаците получават пари, но и гениите - портретът на Гаус беше на банкнотата от 10 германски марки (преди въвеждането на еврото), а Гаус все още се усмихва мистериозно на германците от обикновените пощенски марки.

Методът на Гаус е прост с това, че ЗНАНИЯТА НА ПЕТОКЛАСНИК СА ДОСТАТЪЧНИ за усвояването му. Трябва да знаете как да събирате и умножавате!Неслучайно учителите често разглеждат метода на последователно изключване на неизвестни в училищните избираеми предмети по математика. Парадоксално, но учениците намират метода на Гаус за най-труден. Нищо изненадващо - всичко е в методологията и ще се опитам да говоря за алгоритъма на метода в достъпна форма.

Първо, нека систематизираме малко знания за системите от линейни уравнения. Система от линейни уравнения може:

1) Имате уникално решение. 2) Имате безкрайно много решения. 3) Нямате решения (бъдете неставни).

Методът на Гаус е най-мощният и универсален инструмент за намиране на решение всякаквисистеми от линейни уравнения. Както си спомняме, Правило на Крамър и матричен методса неподходящи в случаите, когато системата има безкрайно много решения или е непоследователна. И методът за последователно елиминиране на неизвестни Така или иначеще ни доведе до отговора! В този урок отново ще разгледаме метода на Гаус за случай № 1 (единственото решение на системата), статия е посветена на ситуациите на точки № 2-3. Отбелязвам, че алгоритъмът на самия метод работи еднакво и в трите случая.

Да се ​​върнем към най-простата системаот класа Как се решава система от линейни уравнения?и го решете с помощта на метода на Гаус.

Първата стъпка е да запишете разширена системна матрица: . Мисля, че всеки може да види на какъв принцип са написани коефициентите. Вертикалната линия вътре в матрицата няма никакво математическо значение - тя е просто зачертана за по-лесно проектиране.

справка : Препоръчвам ви да запомните условия линейна алгебра. Системна матрица е матрица, съставена само от коефициенти за неизвестни, в този пример системната матрица: . Разширена системна матрица – това е същата матрица на системата плюс колона от безплатни условия, в този случай: . За краткост всяка от матриците може да се нарече просто матрица.

След като разширената системна матрица е написана, е необходимо да се извършат някои действия с нея, които също се наричат елементарни трансформации.

Съществуват следните елементарни трансформации:

1) струниматрици Мога пренареждамна някои места. Например в разглежданата матрица можете безболезнено да пренаредите първия и втория ред:

2) Ако матрицата има (или се е появила) пропорционална (като специален случай– идентични) редове, след това следва ИзтрийВсички тези редове са от матрицата с изключение на един. Помислете например за матрицата . В тази матрица последните три реда са пропорционални, така че е достатъчно да оставите само един от тях: .

3) Ако по време на трансформациите в матрицата се появи нулев ред, това също трябва да бъде Изтрий. Няма да рисувам, разбира се, нулевата линия е линията, в която всички нули.

4) Редът на матрицата може да бъде умножавам (делям)на произволен номер ненулев. Помислете например за матрицата. Тук е препоръчително да разделите първия ред на –3 и да умножите втория ред по 2: . Това действие е много полезно, защото опростява по-нататъшните трансформации на матрицата.

5) Тази трансформация причинява най-много трудности, но всъщност също няма нищо сложно. Към ред от матрица можете добавете друг низ, умножен по число, различен от нула. Помислете за нашата матрица на практически пример: . Първо ще опиша трансформацията много подробно. Умножете първия ред по –2: , И към втория ред добавяме първия ред, умножен по –2: . Сега първият ред може да бъде разделен „назад“ с –2: . Както можете да видите, редът, който ADD LI – не се е променило. Винагиредът КЪМ СЕ ДОБАВЯ се променя UT.

На практика, разбира се, те не го пишат толкова подробно, но го пишат накратко: Още веднъж: към втория ред добави първия ред, умножен по –2. Един ред обикновено се умножава устно или на чернова, като процесът на умствено изчисление протича по следния начин:

„Пренаписвам матрицата и пренаписвам първия ред: »

„Първа колона. На дъното трябва да получа нула. Затова умножавам горния по –2: и добавям първия към втория ред: 2 + (–2) = 0. Записвам резултата във втория ред: »

„Сега втората колона. Най-отгоре умножавам -1 по -2: . Добавям първото към втория ред: 1 + 2 = 3. Пиша резултата във втория ред: »

„И третата колона. Най-отгоре умножавам -5 по -2: . Добавям първото към втория ред: –7 + 10 = 3. Пиша резултата във втория ред: »

Моля, разберете внимателно този пример и разберете алгоритъма за последователно изчисление, ако разбирате това, тогава методът на Гаус е практически в джоба ви. Но, разбира се, ние ще продължим да работим върху тази трансформация.

Елементарните трансформации не променят решението на системата от уравнения

! ВНИМАНИЕ!: разгледани манипулации не може да използва, ако ви бъде предложена задача, при която матриците са дадени „сами по себе си“. Например с „класически“ операции с матрициВ никакъв случай не пренареждайте нищо вътре в матриците! Да се ​​върнем към нашата система. На практика е разбит на парчета.

Нека запишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я редуцираме до стъпаловиден изглед:

(1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по –2. И отново: защо умножаваме първия ред по –2? За да получите нула на дъното, което означава да се отървете от една променлива във втория ред.

(2) Разделете втория ред на 3.

Целта на елементарните трансформации – редуцирайте матрицата до поетапна форма: . В дизайна на задачата те просто маркират „стълбите“ с обикновен молив и също така кръгират числата, които се намират на „стъпалата“. Самият термин „стъпаловиден изглед“ не е изцяло теоретичен, в научната и учебна литературачесто се нарича трапецовиден изгледили триъгълен изглед.

В резултат на елементарни трансформации получихме еквивалентеноригинална система от уравнения:

Сега системата трябва да се „размотае“ в обратна посока - отдолу нагоре, този процес се нарича обратно на метода на Гаус.

В долното уравнение вече имаме готов резултат: .

Нека да разгледаме първото уравнение на системата и да заменим вече известната стойност на "y" в него:

Нека разгледаме най-често срещаната ситуация, когато методът на Гаус изисква решаване на система от три линейни уравнения с три неизвестни.

Пример 1

Решете системата от уравнения по метода на Гаус:

Нека напишем разширената матрица на системата:

Сега веднага ще начертая резултата, до който ще стигнем по време на решението: И повтарям, нашата цел е да доведем матрицата до поетапна форма, използвайки елементарни трансформации. Къде да започна?

Първо погледнете горния ляв номер: Почти винаги трябва да е тук мерна единица. Най-общо казано, –1 (а понякога и други числа) ще свърши работа, но някак традиционно се е случило, че едно обикновено се поставя там. Как да организираме единица? Гледаме първата колона - имаме готова единица! Трансформация едно: разменете първия и третия ред:

Сега първият ред ще остане непроменен до края на решението. Сега добре.

Устройството в горния ляв ъгъл е организирано. Сега трябва да получите нули на тези места:

Получаваме нули чрез „трудна“ трансформация. Първо се занимаваме с втория ред (2, –1, 3, 13). Какво трябва да се направи, за да получите нула на първа позиция? Трябва да към втория ред добавете първия ред, умножен по –2. Мислено или на чернова умножете първия ред по –2: (–2, –4, 2, –18). И ние последователно извършваме (отново мислено или на чернова) добавяне, към втория ред добавяме първия ред, вече умножен по –2:

Записваме резултата във втория ред:

По същия начин се справяме с третия ред (3, 2, –5, –1). За да получите нула на първа позиция, трябва към третия ред добавете първия ред, умножен по –3. Мислено или на чернова умножете първия ред по –3: (–3, –6, 3, –27). И към третия ред добавяме първия ред, умножен по –3:

Записваме резултата в третия ред:

На практика тези действия обикновено се извършват устно и записват в една стъпка:

Няма нужда да броите всичко наведнъж и едновременно. Редът на изчисленията и „въвеждането“ на резултатите последователени обикновено е така: първо пренаписваме първия ред и се издухваме малко по малко - ПОСЛЕДОВАТЕЛНО и ВНИМАТЕЛНО:
И вече обсъдих умствения процес на самите изчисления по-горе.

В този пример това е лесно да се направи; ние разделяме втория ред на –5 (тъй като всички числа там се делят на 5 без остатък). В същото време разделяме третия ред на –2, защото колкото по-малки са числата, толкова по-просто е решението:

На последния етап от елементарните трансформации трябва да получите още една нула тук:

За това към третия ред добавяме втория ред, умножен по –2:
Опитайте се сами да разберете това действие - мислено умножете втория ред по –2 и изпълнете добавянето.

Последното извършено действие е прическата на резултата, разделете третия ред на 3.

В резултат на елементарни трансформации се получава еквивалентна система от линейни уравнения: Готино.

Сега влиза в действие обратният метод на Гаус. Уравненията се „развиват“ отдолу нагоре.

В третото уравнение вече имаме готов резултат:

Нека разгледаме второто уравнение: . Значението на "zet" вече е известно, така че:

И накрая, първото уравнение: . „Игрек“ и „зет“ са известни, въпросът е само на малки неща:

Отговор:

Както многократно е отбелязвано, за всяка система от уравнения е възможно и необходимо да се провери намереното решение, за щастие това е лесно и бързо.

Пример 2

Това е пример за самостоятелно решение, образец на окончателния дизайн и отговор в края на урока.

Трябва да се отбележи, че вашият напредък на решениетоможе да не съвпада с моя процес на вземане на решения, и това е характеристика на метода на Гаус. Но отговорите трябва да са едни и същи!

Пример 3

Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус

Гледаме горната лява „стъпка“. Трябва да имаме звено там. Проблемът е, че в първата колона изобщо няма единици, така че пренареждането на редовете няма да реши нищо. В такива случаи единицата трябва да бъде организирана чрез елементарна трансформация. Обикновено това може да стане по няколко начина. Направих това: (1) Към първия ред добавяме втория ред, умножен по –1. Тоест мислено умножихме втория ред по –1 и добавихме първия и втория ред, докато вторият ред не се промени.

Сега горе вляво има „минус едно“, което ни подхожда доста добре. Всеки, който иска да получи +1, може да извърши допълнително движение: умножете първия ред по –1 (променете знака му).

(2) Първият ред, умножен по 5, беше добавен към първия ред, умножен по 3, към третия ред.

(3) Първият ред беше умножен по –1, по принцип това е за красота. Знакът на третия ред също беше променен и той беше преместен на второ място, така че на второто „стъпало“ имахме необходимата единица.

(4) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 2.

(5) Третият ред беше разделен на 3.

Лош знак, който показва грешка в изчисленията (по-рядко печатна грешка), е „лош“ краен резултат. Тоест, ако получим нещо като , по-долу, и, съответно, , тогава с голяма степен на вероятност можем да кажем, че е допусната грешка по време на елементарни трансформации.

Ние таксуваме обратното, при проектирането на примери те често не пренаписват самата система, но уравненията са „взети директно от дадената матрица“. Обратният ход, напомням ви, работи отдолу нагоре. Да, ето подарък:

Отговор: .

Пример 4

Решете система от линейни уравнения по метода на Гаус

Това е пример, който трябва да решите сами, той е малко по-сложен. Няма проблем, ако някой се обърка. Пълно решение и примерен дизайн в края на урока. Вашето решение може да е различно от моето решение.

В последната част ще разгледаме някои характеристики на алгоритъма на Гаус. Първата особеност е, че понякога някои променливи липсват в системните уравнения, например: Как правилно да напишем разширената системна матрица? Вече говорих за тази точка в клас. Правилото на Крамър. Матричен метод. В разширената матрица на системата поставяме нули на мястото на липсващите променливи: Между другото, това е доста лесен пример, тъй като първата колона вече има една нула и има по-малко елементарни трансформации за извършване.

Втората характеристика е тази. Във всички разгледани примери поставихме или –1, или +1 на „стъпалата“. Възможно ли е да има други номера там? В някои случаи могат. Помислете за системата: .

Тук на горната лява „стъпка“ имаме две. Но забелязваме факта, че всички числа в първата колона се делят на 2 без остатък – а другата е две и шест. И двата горе в ляво ще ни подхождат! В първата стъпка трябва да извършите следните трансформации: добавете първия ред, умножен по –1, към втория ред; към третия ред добавете първия ред, умножен по –3. Така ще получим необходимите нули в първата колона.

Или нещо подобно условен пример: . Тук трите на втората „стъпка“ също ни подхождат, тъй като 12 (мястото, където трябва да получим нула) се дели на 3 без остатък. Необходимо е да се извърши следната трансформация: добавете втория ред към третия ред, умножен по –4, в резултат на което ще се получи нулата, от която се нуждаем.

Методът на Гаус е универсален, но има една особеност. Научете се уверено да решавате системи, използвайки други методи (метод на Крамър, матричен метод) можете буквално от първия път - има много строг алгоритъм. Но за да се чувствате уверени в метода на Гаус, трябва да „хванете зъбите си“ и да решите поне 5-10 десет системи. Следователно в началото може да има объркване и грешки в изчисленията и в това няма нищо необичайно или трагично.

Дъждовно есенно време зад прозореца.... Затова за всички, които искат по-сложен пример за самостоятелно решаване:

Пример 5

Решете система от 4 линейни уравнения с четири неизвестни по метода на Гаус.

Подобна задача не е толкова рядка на практика. Мисля, че дори чайник, който е проучил подробно тази страница, ще разбере интуитивно алгоритъма за решаване на такава система. По същество всичко е същото - просто има повече действия.

В урока се разглеждат случаите, когато системата няма решения (непоследователна) или има безкрайно много решения. Несъвместими системи и системи с общо решение. Там можете да коригирате разглеждания алгоритъм на метода на Гаус.

Пожелавам ти успех!

Решения и отговори:

Пример 2: Решение : Нека напишем разширената матрица на системата и с помощта на елементарни трансформации я приведем в поетапна форма.
Извършени елементарни трансформации: (1) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по –2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по –1. внимание! Тук може да се изкушите да извадите първия от третия ред; силно препоръчвам да не го изваждате - рискът от грешка значително се увеличава. Просто го сгънете! (2) Знакът на втория ред е променен (умножено по –1). Вторият и третият ред са разменени. Забележка , че на “стъпалата” се задоволяваме не само с единица, но и с –1, което е още по-удобно. (3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 5. (4) Знакът на втория ред е променен (умножено по –1). Третият ред беше разделен на 14.

Обратен:

Отговор : .

Пример 4: Решение : Нека напишем разширената матрица на системата и, използвайки елементарни трансформации, я привеждаме в поетапна форма:

Извършени реализации: (1) Към първия ред беше добавен втори ред. Така желаната единица е организирана в горната лява „стъпка“. (2) Първият ред, умножен по 7, беше добавен към първия ред, умножен по 6, към третия ред.

С втората „стъпка“ всичко се влошава , “кандидатите” за него са числата 17 и 23, като ни трябва или единица, или –1. Трансформациите (3) и (4) ще бъдат насочени към получаване на желаната единица (3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по –1. (4) Третият ред беше добавен към втория ред, умножен по –3. Необходимият артикул на втората стъпка е получен. . (5) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 6. (6) Вторият ред беше умножен по –1, третият ред беше разделен на –83.

Обратен:

Отговор :

Пример 5: Решение : Нека напишем матрицата на системата и, използвайки елементарни трансформации, я привеждаме в поетапна форма:

Извършени реализации: (1) Първият и вторият ред са разменени. (2) Първият ред беше добавен към втория ред, умножен по –2. Първият ред беше добавен към третия ред, умножен по –2. Първият ред беше добавен към четвъртия ред, умножен по –3. (3) Вторият ред беше добавен към третия ред, умножен по 4. Вторият ред беше добавен към четвъртия ред, умножен по –1. (4) Променен е знакът на втория ред. Четвъртият ред беше разделен на 3 и поставен на мястото на третия ред. (5) Третият ред беше добавен към четвъртия ред, умножен по –5.

Обратен:

Отговор :

Нека системата е дадена, ∆≠0. (1)
Метод на Гаусе метод за последователно елиминиране на неизвестни.

Същността на метода на Гаус е да преобразува (1) в система с триъгълна матрица, от която след това се получават последователно (в обратен ред) стойностите на всички неизвестни. Нека разгледаме една от изчислителните схеми. Тази верига се нарича верига с единично деление. Нека да разгледаме тази диаграма. Нека 11 ≠0 (водещ елемент) раздели първото уравнение на 11. Получаваме
(2)
Използвайки уравнение (2), е лесно да елиминирате неизвестните x 1 от останалите уравнения на системата (за да направите това, достатъчно е да извадите уравнение (2) от всяко уравнение, предварително умножено по съответния коефициент за x 1) , тоест в първата стъпка получаваме
.
С други думи, на стъпка 1 всеки елемент от следващите редове, започвайки от втория, е равен на разликата между оригиналния елемент и продукта на неговата „проекция“ върху първата колона и първия (трансформиран) ред.
След това, оставяйки само първото уравнение, извършваме подобна трансформация върху останалите уравнения на системата, получени в първата стъпка: избираме измежду тях уравнението с водещия елемент и с негова помощ изключваме x 2 от останалите уравнения (стъпка 2).
След n стъпки вместо (1) получаваме еквивалентна система
(3)
Така на първия етап получаваме триъгълна система (3). Този етап се нарича ход напред.
На втория етап (обратно) намираме последователно от (3) стойностите x n, x n -1, ..., x 1.
Нека означим полученото решение като x 0 . Тогава разликата ε=b-A x 0 наречено остатъчно.
Ако ε=0, то намереното решение x 0 е правилно.

Изчисленията по метода на Гаус се извършват на два етапа:

1. Първият етап се нарича метод напред. На първия етап оригиналната система се преобразува в триъгълна форма.
2. Вторият етап се нарича обратен ход. На втория етап се решава триъгълна система, еквивалентна на оригиналната.

Коефициентите a 11, a 22, ... се наричат ​​водещи елементи.
На всяка стъпка се приемаше, че водещият елемент е различен от нула. Ако това не е така, тогава всеки друг елемент може да се използва като водещ елемент, сякаш пренарежда уравненията на системата.

Предназначение на метода на Гаус

Методът на Гаус е предназначен за решаване на системи от линейни уравнения. Отнася се за директни методи за решаване.

Видове метод на Гаус

1. Класически метод на Гаус;
2. Модификации на метода на Гаус. Една от модификациите на метода на Гаус е схема с избор на основния елемент. Характеристика на метода на Гаус с избора на основния елемент е такова пренареждане на уравненията, така че на k-тата стъпка водещият елемент се оказва най-големият елемент в k-тата колона.
3. метод на Йордано-Гаус;

Разликата между метода на Йордано-Гаус и класическия Метод на Гауссе състои в прилагане на правилото на правоъгълника, когато посоката на търсене на решение се случва по главния диагонал (трансформация към матрицата на идентичност). При метода на Гаус посоката на търсене на решение се случва по колоните (трансформация към система с триъгълна матрица).
Нека илюстрираме разликата Метод на Йордано-Гаусот метода на Гаус с примери.

Пример за решение по метода на Гаус
Нека решим системата:

За по-лесно изчисление, нека разменим редовете:

Нека умножим втория ред по (2). Добавете третия ред към втория

Умножете втория ред по (-1). Добавете 2-ри ред към 1-ви

От 1-ви ред изразяваме x 3:
От 2-ри ред изразяваме x 2:
От 3-ти ред изразяваме x 1:

Пример за решение, използващо метода на Йордано-Гаус
Нека решим същата SLAE, използвайки метода на Йордано-Гаус.

Последователно ще изберем разрешаващия елемент RE, който лежи на главния диагонал на матрицата.
Резолюционният елемент е равен на (1).



NE = SE - (A*B)/RE
RE - разрешаващ елемент (1), A и B - матрични елементи, образуващи правоъгълник с елементи STE и RE.
Нека представим изчислението на всеки елемент под формата на таблица:

х 1	х 2	х 3	б
1 / 1 = 1	2 / 1 = 2	-2 / 1 = -2	1 / 1 = 1

Разрешаващият елемент е равен на (3).
На мястото на разрешаващия елемент получаваме 1, а в самата колона записваме нули.
Всички останали елементи на матрицата, включително елементите на колона B, се определят от правилото на правоъгълника.
За да направим това, избираме четири числа, които се намират във върховете на правоъгълника и винаги включват разрешаващия елемент RE.

х 1	х 2	х 3	б
0 / 3 = 0	3 / 3 = 1	1 / 3 = 0.33	4 / 3 = 1.33

Резолюционният елемент е (-4).
На мястото на разрешаващия елемент получаваме 1, а в самата колона записваме нули.
Всички останали елементи на матрицата, включително елементите на колона B, се определят от правилото на правоъгълника.
За да направим това, избираме четири числа, които се намират във върховете на правоъгълника и винаги включват разрешаващия елемент RE.
Нека представим изчислението на всеки елемент под формата на таблица:

х 1	х 2	х 3	б
0 / -4 = 0	0 / -4 = 0	-4 / -4 = 1	-4 / -4 = 1

Отговор: x 1 = 1, x 2 = 1, x 3 = 1

Прилагане на метода на Гаус

Методът на Гаус се прилага в много езици за програмиране, по-специално: Pascal, C++, php, Delphi, а има и онлайн изпълнение на метода на Гаус.

Използване на метода на Гаус

Приложение на метода на Гаус в теорията на игрите

В теорията на игрите, когато се намира максиминната оптимална стратегия на играч, се съставя система от уравнения, която се решава по метода на Гаус.

Приложение на метода на Гаус при решаване на диференциални уравнения

За да намерите конкретно решение на диференциално уравнение, първо намерете производните на съответната степен за писменото частично решение (y=f(A,B,C,D)), които се заместват в оригинално уравнение. Следваща за намиране променливи A,B,C,Dсистема от уравнения се съставя и решава по метода на Гаус.

Приложение на метода на Йордано-Гаус в линейното програмиране

IN линейно програмиране, по-специално в симплексния метод правилото на правоъгълника, което използва метода на Йордано-Гаус, се използва за трансформиране на симплексната таблица при всяка итерация.

Определение и описание на метода на Гаус

Методът на трансформация на Гаус (известен също като метод на последователно елиминиране на неизвестни променливи от уравнение или матрица) за решаване на системи от линейни уравнения е класически метод om системни решения алгебрични уравнения(СЛАУ). Този класически метод се използва и за решаване на проблеми като получаване обратни матриции определяне на ранга на матрицата.

Трансформацията с помощта на метода на Гаус се състои от извършване на малки (елементарни) последователни промени в система от линейни алгебрични уравнения, водещи до елиминиране на променливи от нея отгоре надолу с образуването на нова триъгълна система от уравнения, която е еквивалентна на оригиналната един.

Определение 1

Тази част от решението се нарича удар напредГаусови решения, тъй като целият процес се извършва отгоре надолу.

След редуциране на първоначалната система от уравнения до триъгълна, намираме всички системни променливиотдолу нагоре (т.е. първите открити променливи заемат точно последните редове на системата или матрицата). Тази част от решението е известна също като обратното на решението на Гаус. Неговият алгоритъм е следният: първо се изчисляват променливите, които са най-близо до дъното на системата от уравнения или матрицата, след това получените стойности се заместват по-високо и по този начин се намира друга променлива и т.н.

Описание на алгоритъма на метода на Гаус

Последователността от действия за общото решение на система от уравнения, използвайки метода на Гаус, се състои в последователно прилагане на ходове напред и назад към матрицата, базирана на SLAE. Нека първоначалната система от уравнения има следния вид:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

За да се решат SLAE по метода на Гаус, е необходимо да се напише оригиналната система от уравнения под формата на матрица:

$A = \begin(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vdots & … & \vdots \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Матрицата $A$ се нарича главна матрица и представлява коефициентите на променливите, записани по ред, а $b$ се нарича колона на нейните свободни членове. Матрицата $A$, записана чрез стълб с колона от свободни членове, се нарича разширена матрица:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(array)$

Сега е необходимо, използвайки елементарни трансформации на системата от уравнения (или на матрицата, тъй като това е по-удобно), да я доведете до следната форма:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)

Матрицата, получена от коефициентите на преобразуваната система от уравнения (1), се нарича стъпкова матрица; ето как обикновено изглеждат стъпковите матрици:

$A = \begin(array)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(array)$

Тези матрици се характеризират със следния набор от свойства:

1. Всички негови нулеви редове идват след ненулеви редове
2. Ако някой ред от матрица с номер $k$ е различен от нула, тогава предходният ред на същата матрица има по-малко нули от този с номер $k$.

След получаване на стъпковата матрица е необходимо да замените получените променливи в останалите уравнения (започвайки от края) и да получите останалите стойности на променливите.

Основни правила и допустими трансформации при използване на метода на Гаус

Когато опростявате матрица или система от уравнения с помощта на този метод, трябва да използвате само елементарни трансформации.

Такива трансформации се считат за операции, които могат да бъдат приложени към матрица или система от уравнения, без да променят нейното значение:

• пренареждане на няколко реда,
• добавяне или изваждане от един ред на матрица на друг ред от нея,
• умножаване или деление на низ с константа, която не е равна на нула,
• ред, състоящ се само от нули, получени в процеса на изчисляване и опростяване на системата, трябва да бъде изтрит,
• Също така трябва да премахнете ненужните пропорционални линии, като изберете за системата единствената с коефициенти, които са по-подходящи и удобни за по-нататъшни изчисления.

Всички елементарни трансформации са обратими.

Анализ на трите основни случая, които възникват при решаване на линейни уравнения по метода на простите трансформации на Гаус

Има три случая, които възникват при използване на метода на Гаус за решаване на системи:

1. Когато една система е непоследователна, т.е. тя няма никакви решения
2. Системата от уравнения има решение, при това уникално, а броят на ненулевите редове и колони в матрицата е равен един на друг.
3. Системата има определено количество или набор възможни решения, а броят на редовете в него е по-малък от броя на колоните.

Резултат от решение с непоследователна система

За този вариант, при решаване матрично уравнениеМетодът на Гаус се характеризира с получаване на някаква линия с невъзможност за изпълнение на равенството. Следователно, ако се получи поне едно неправилно равенство, получената и първоначалната системи нямат решения, независимо от другите уравнения, които съдържат. Пример за непоследователна матрица:

$\begin(array)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(array)$

В последния ред има невъзможно равенство: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Система от уравнения, която има само едно решение

Тези системи, след свеждане до стъпкова матрица и премахване на редове с нули, имат същия брой редове и колони в основната матрица. Тук най-прост примертакава система:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \end(cases)$

Нека го запишем под формата на матрица:

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(array)$

За да доведем първата клетка от втория ред до нула, ние умножаваме горния ред по $-2$ и го изваждаме от долния ред на матрицата и оставяме горния ред в оригиналната му форма, като резултат имаме следното :

$\begin(array)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(array)$

Този пример може да бъде написан като система:

$\begin(cases) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \end(cases)$

Долното уравнение дава следната стойност за $x$: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Заместете тази стойност в горното уравнение: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, получаваме $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Система с много възможни решения

Тази система се характеризира с по-малък брой значими редове от броя на колоните в нея (взети са предвид редовете на основната матрица).

Променливите в такава система са разделени на два типа: основни и безплатни. Когато трансформирате такава система, основните променливи, съдържащи се в нея, трябва да бъдат оставени в лявата област до знака "=", а останалите променливи трябва да бъдат прехвърлени в правилната странаравенство.

Такава система има само определено общо решение.

Нека го подредим следната системауравнения:

$\begin(cases) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

Нека го запишем под формата на матрица:

$\begin(array)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(array)$

Нашата задача е да намерим общо решение на системата. За тази матрица базовите променливи ще бъдат $y_1$ и $y_3$ (за $y_1$ - тъй като е на първо място, а в случая на $y_3$ - тя се намира след нулите).

Като базисни променливи избираме точно тези, които са първите в редицата и не са равни на нула.

Останалите променливи се наричат ​​свободни; ние трябва да изразим основните променливи чрез тях.

Използвайки така наречения обратен ход, ние анализираме системата отдолу нагоре; за да направим това, първо изразяваме $y_3$ от долния ред на системата:

$5y_3 – 4y_4 = 1$

$5y_3 = 4y_4 + 1$

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Сега заместваме изразеното $y_3$ в горното уравнение на системата $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1$

Ние изразяваме $y_1$ по отношение на свободни променливи $y_2$ и $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6$

Разтворът е готов.

Пример 1

Решете слау с помощта на метода на Гаус. Примери. Пример за решаване на система от линейни уравнения, дадени от матрица 3 на 3, използвайки метода на Гаус

$\begin(cases) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \end(cases)$

Нека напишем нашата система под формата на разширена матрица:

$\begin(array)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

Сега, за удобство и практичност, трябва да трансформирате матрицата така, че $1$ да е в горния ъгъл на най-външната колона.

За да направите това, към първия ред трябва да добавим линията от средата, умножена по $-1$, и да напишем самата средна линия, както е, оказва се:

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(масив) $

Умножете горния и последния ред по $-1$ и разменете последния и средния ред:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(array)$

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(array)$

И разделете последния ред на $3$:

$\begin(array)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(array)$

Получаваме следната система от уравнения, еквивалентна на оригиналната:

$\begin(cases) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \end(cases)$

От горното уравнение изразяваме $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1$.

Пример 2

Пример за решаване на система, дефинирана с помощта на матрица 4 на 4, използвайки метода на Гаус

$\begin(масив)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(масив)$.

В началото разменяме горните редове след него, за да получим $1$ в горния ляв ъгъл:

$\begin(масив)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 & 37 \\ \end(масив)$.

Сега умножете горния ред по $-2$ и добавете към 2-ри и 3-ти. Към 4-ти добавяме 1-ви ред, умножен по $-3$:

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(масив)$

Сега към ред номер 3 добавяме ред 2, умножен по $4$, а към ред 4 добавяме ред 2, умножен по $-1$.

$\begin(масив)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \край (масив)$

Умножаваме ред 2 по $-1$ и разделяме ред 4 на $3$ и заместваме ред 3.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10 \\ \край (масив)$

Сега към последния ред добавяме предпоследния, умножен по $-5$.

$\begin(array)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ \край (масив)$

Решаваме получената система от уравнения:

$\begin(cases) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3y + 2g + m = 11\end(cases)$