Параболата е безкрайна крива, която се състои от точки, еднакво отдалечени от дадена права, наречена директриса на параболата, и дадена точка, фокусът на параболата. Параболата е конично сечение, тоест представлява пресечната точка на равнина и кръгъл конус.
IN общ изгледматематическото уравнение на парабола има формата: y=ax^2+bx+c, където a не е равно на нула, b отразява хоризонталното изместване на графиката на функцията спрямо началото, а c е вертикалното изместване на функционална графика спрямо началото. Освен това, ако a>0, тогава при начертаване на графиката те ще бъдат насочени нагоре и ако a Свойства на параболата
Параболата е крива от втори ред, която има ос на симетрия, минаваща през фокуса на параболата и перпендикулярна на директрисата на параболата.
Параболата има специално оптично свойство, което се състои във фокусиране на светлинни лъчи, успоредни на нейната ос на симетрия и насочени към параболата във върха на параболата, и дефокусиране на светлинен лъч, насочен към върха на параболата, в успоредни светлинни лъчи спрямо същата ос.
Ако отразявате парабола спрямо която и да е допирателна, тогава изображението на параболата ще се появи върху нейната директриса. Всички параболи са подобни една на друга, тоест за всеки две точки A и B от една парабола има точки A1 и B1, за които твърдението |A1,B1| = |A,B|*k, където k е коефициентът на подобие, който в числена стойност винаги е по-голям от нула.
Проява на парабола в живота
Някои космически тела, като комети или астероиди, преминаващи близо до големи космически обекти висока скоростимат траектория под формата на парабола. Това свойство на малките космически тела се използва при гравитационни маневри на космически кораби.
За обучение на бъдещи космонавти специални полети на самолети се извършват на земята по параболична траектория, като по този начин се постига ефектът на безтегловност в гравитационното поле на земята.
В ежедневието параболите могат да бъдат намерени в различни осветителни тела. Това се дължи на оптичните свойства на параболата. Един от най-новите начини за използване на параболата, базиран на нейните свойства да фокусира и разфокусира светлинните лъчи, са слънчевите панели, които все повече се включват в сектора на енергийните доставки в южните региони на Русия.
Извиква се функция от формата where квадратична функция.
Графика на квадратична функция – парабола.
Да разгледаме случаите:
I СЛУЧАЙ, КЛАСИЧЕСКА ПАРАБОЛА
Това е , ,
За да конструирате, попълнете таблицата, като замените стойностите x във формулата:
Маркирайте точките (0;0); (1;1); (-1;1) и т.н. в координатната равнина (колкото по-малка е стъпката, която вземаме стойностите на x (in в такъв случайстъпка 1), и колкото повече x стойности вземем, толкова по-гладка ще бъде кривата), получаваме парабола:
Лесно е да се види, че ако вземем случая , , , т.е. тогава получаваме парабола, която е симетрична спрямо оста (oh). Лесно е да проверите това, като попълните подобна таблица:
II СЛУЧАЙ, „а“ Е РАЗЛИЧНО ОТ ЕДИНИЦА
Какво ще стане, ако вземем , , ? Как ще се промени поведението на параболата? Със заглавие="Предадено от QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;"> парабола изменит форму, она “похудеет” по сравнению с параболой (не верите – заполните соответствующую таблицу – и убедитесь сами):!}
На първата снимка (виж по-горе) ясно се вижда, че точките от таблицата за параболата (1;1), (-1;1) са трансформирани в точки (1;4), (1;-4), тоест при еднакви стойности ординатата на всяка точка се умножава по 4. Това ще се случи с всички ключови точки от оригиналната таблица. Разсъждаваме по подобен начин в случаите на снимки 2 и 3.
И когато параболата "стане по-широка" от параболата:
Нека обобщим:
1)Знакът на коефициента определя посоката на клоните. Със заглавие="Предадено от QuickLaTeX.com" height="14" width="47" style="vertical-align: 0px;"> ветви направлены вверх, при - вниз. !}
2) Абсолютна стойносткоефициент (модул) е отговорен за "разширяването" и "компресията" на параболата. Колкото по-голямо е, толкова по-тясна е параболата; колкото по-малко е |a|, толкова по-широка е параболата.
III СЛУЧАЙ, ПОЯВЯВА СЕ “C”.
Сега нека въведем в играта (т.е. да разгледаме случая, когато), ще разгледаме параболи от формата . Не е трудно да се досетите (винаги можете да се обърнете към таблицата), че параболата ще се измести нагоре или надолу по оста в зависимост от знака:
IV СЛУЧАЙ, ПОЯВЯВА СЕ “b”.
Кога параболата ще се "откъсне" от оста и най-накрая ще "ходи" по цялата координатна равнина? Кога ще престане да бъде равен?
Ето, за да построим парабола, от която се нуждаем формула за изчисляване на върха: , .
Така че в този момент (както в точка (0;0) нова системакоординати) ще изградим парабола, която вече можем да направим. Ако се занимаваме със случая, тогава от върха поставяме един единичен сегмент надясно, един нагоре, - получената точка е наша (по същия начин стъпка наляво, стъпка нагоре е нашата точка); ако имаме работа, например, тогава от върха поставяме един единичен сегмент надясно, два - нагоре и т.н.
Например върхът на парабола:
Сега основното нещо, което трябва да разберем е, че в този връх ще изградим парабола според модела на парабола, защото в нашия случай.
При построяването на парабола след намиране на координатите на върха многоУдобно е да се вземат предвид следните точки:
1) парабола определено ще мине през точката . Наистина, замествайки x=0 във формулата, получаваме, че . Тоест ординатата на пресечната точка на параболата с оста (oy) е . В нашия пример (по-горе) параболата пресича ординатата в точка , тъй като .
2) ос на симетрия параболи е права линия, така че всички точки на параболата ще бъдат симетрични спрямо нея. В нашия пример веднага вземаме точката (0; -2) и я изграждаме симетрично спрямо оста на симетрия на параболата, получаваме точката (4; -2), през която ще премине параболата.
3) Приравнявайки се към , намираме точките на пресичане на параболата с оста (oh). За да направим това, решаваме уравнението. В зависимост от дискриминанта ще получим едно (, ), две ( title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">, ) или нИсколько () точек пересечения с осью (ох) !} . В предишния пример нашият корен на дискриминанта не е цяло число при конструирането, няма много смисъл да намираме корените, но ясно виждаме, че ще имаме две точки на пресичане с оста (ох) (от title="Предадено от QuickLaTeX.com" height="14" width="54" style="vertical-align: 0px;">), хотя, в общем, это видно и без дискриминанта.!}
Така че нека да го решим
Алгоритъм за построяване на парабола, ако е дадена във формата
1) определете посоката на клоните (a>0 – нагоре, a<0 – вниз)
2) намираме координатите на върха на параболата по формулата , .
3) ние намираме точката на пресичане на параболата с оста (oy), използвайки свободния термин, конструираме точка, симетрична на тази точка по отношение на оста на симетрия на параболата (трябва да се отбележи, че се случва, че е нерентабилно да се маркира тази точка, например, защото стойността е голяма... пропускаме тази точка...)
4) В намерената точка - върха на параболата (като в точката (0;0) на новата координатна система) построяваме парабола. If title="Изобразено от QuickLaTeX.com" height="20" width="55" style="vertical-align: -5px;">, то парабола становится у’же по сравнению с , если , то парабола расширяется по сравнению с !}
5) Намираме точките на пресичане на параболата с оста (oy) (ако все още не са "изплували") чрез решаване на уравнението
Пример 1
Пример 2
Бележка 1.Ако параболата първоначално ни бъде дадена във формата , където са някои числа (например ), тогава ще бъде още по-лесно да я конструираме, тъй като вече са ни дадени координатите на върха . Защо?
Нека вземем квадратен трином и изолираме пълния квадрат в него: Вижте, имаме това , . Вие и аз преди наричахме върха на парабола, тоест сега, .
Например, . Маркираме върха на параболата в равнината, разбираме, че клоните са насочени надолу, параболата е разширена (спрямо ). Тоест изпълняваме точки 1; 3; 4; 5 от алгоритъма за конструиране на парабола (виж по-горе).
Бележка 2.Ако параболата е дадена във форма, подобна на тази (т.е. представена като произведение на два линейни фактора), тогава веднага виждаме точките на пресичане на параболата с оста (ox). В случая – (0;0) и (4;0). За останалото действаме според алгоритъма, отваряйки скобите.
Парабола е геометричното място на точки в равнината, еднакво отдалечени от дадена точка F и дадена права линия d, която не минава през дадена точка. Това геометрично определение изразява дирекционно свойство на парабола.
Директорско свойство на парабола
Точка F се нарича фокус на параболата, линия d е директрисата на параболата, средната точка O на перпендикуляра, спуснат от фокуса към директрисата, е върхът на параболата, разстоянието p от фокуса до директрисата е параметърът на параболата, а разстоянието \frac(p)(2) от върха на параболата до нейния фокус е фокусното разстояние (фиг. 3.45a). Правата, перпендикулярна на директрисата и минаваща през фокуса, се нарича ос на параболата (фокална ос на параболата). Отсечката FM, свързваща произволна точка M от параболата с нейния фокус, се нарича фокален радиус на точката M. Отсечката, свързваща две точки на парабола, се нарича хорда на параболата.
За произволна точка на парабола съотношението на разстоянието до фокуса към разстоянието до директрисата е равно на едно. Сравнявайки директорските свойства на , и параболите, заключаваме, че ексцентричност на параболапо дефиниция равно на единица (e=1).
Геометрично определение на парабола, изразяваща неговото директорско свойство, е еквивалентно на аналитичната му дефиниция - линията, дадена от канонично уравнениепараболи:
Наистина, нека въведем правоъгълна координатна система (фиг. 3.45, b). Вземаме върха O на параболата за начало на координатната система; за абсцисната ос приемаме правата, минаваща през фокуса, перпендикулярен на директрисата (положителната посока върху нея е от точка O до точка F); Нека вземем за ординатна ос правата линия, перпендикулярна на абсцисната ос и минаваща през върха на параболата (посоката на ординатната ос е избрана така, че правоъгълната координатна система Oxy да е права).
Нека създадем уравнение за парабола, използвайки нейната геометрична дефиниция, която изразява режисьорското свойство на парабола. В избраната координатна система определяме координатите на фокуса F\!\left(\frac(p)(2);\,0\right)и уравнението на директрисата x=-\frac(p)(2) . За произволна точка M(x,y), принадлежаща на парабола, имаме:
FM=MM_d,
Където M_d\!\left(\frac(p)(2);\,y\right) - ортографска проекцияточки M(x,y) към директрисата. Записваме това уравнение в координатна форма:
\sqrt((\left(x-\frac(p)(2)\right)\^2+y^2}=x+\frac{p}{2}. !}
Повдигаме на квадрат двете страни на уравнението: (\ляво(x-\frac(p)(2)\дясно)\^2+y^2=x^2+px+\frac{p^2}{4} !}. Привеждайки подобни условия, получаваме уравнение на канонична парабола
y^2=2\cdot p\cdot x,тези. избраната координатна система е канонична.
Разсъждавайки в обратен ред, може да се покаже, че всички точки, чиито координати отговарят на уравнение (3.51), и само те, принадлежат към геометричното място на точките, наречено парабола. По този начин аналитичната дефиниция на парабола е еквивалентна на нейната геометрична дефиниция, която изразява режисьорското свойство на парабола.
Уравнение на парабола в полярна координатна система
Уравнението на парабола в полярната координатна система Fr\varphi (фиг. 3.45, c) има формата
r=\frac(p)(1-e\cdot\cos\varphi),където p е параметърът на параболата, а e=1 е нейният ексцентрицитет.
Всъщност като полюс на полярната координатна система избираме фокуса F на параболата, а като полярна ос - лъч с начало в точка F, перпендикулярна на директрисата и не я пресича (фиг. 3.45, c) . Тогава за произволна точка M(r,\varphi), принадлежаща на парабола, според геометричната дефиниция (свойство на посока) на парабола, имаме MM_d=r. Тъй като MM_d=p+r\cos\varphi, получаваме уравнението на параболата в координатна форма:
p+r\cdot\cos\varphi \quad \Leftrightarrow \quad r=\frac(p)(1-\cos\varphi),
Q.E.D. Обърнете внимание, че в полярните координати уравненията на елипсата, хиперболата и параболата съвпадат, но описват различни линии, тъй като се различават по ексцентритетите (0\leqslant e<1 для , e=1 для параболы, e>1 за ).
Геометричен смисъл на параметъра в уравнението на параболата
Нека обясним геометричен смисълпараметър p в уравнението на каноничната парабола. Замествайки x=\frac(p)(2) в уравнение (3.51), получаваме y^2=p^2, т.е. y=\pm p . Следователно параметърът p е половината от дължината на хордата на параболата, минаваща през нейния фокус, перпендикулярен на оста на параболата.
Фокусният параметър на параболата, както и за елипса и хипербола, се нарича половината от дължината на хордата, минаваща през нейния фокус, перпендикулярен на фокалната ос (виж фиг. 3.45, c). От уравнението на параболата в полярни координати при \varphi=\frac(\pi)(2)получаваме r=p, т.е. параметърът на параболата съвпада с нейния фокусен параметър.
Бележки 3.11.
1. Параметърът p на парабола характеризира нейната форма. Колкото по-голямо е p, толкова по-широки са клоните на параболата, колкото p е по-близо до нула, толкова по-тесни са клоновете на параболата (фиг. 3.46).
2. Уравнението y^2=-2px (при p>0) определя парабола, която е разположена вляво от ординатната ос (фиг. 3.47,а). Това уравнение се свежда до каноничното чрез промяна на посоката на оста x (3.37). На фиг. 3.47,а показва дадената координатна система Oxy и каноничната Ox"y".
3. Уравнение (y-y_0)^2=2p(x-x_0),\,p>0дефинира парабола с връх O"(x_0,y_0), чиято ос е успоредна на абсцисната ос (фиг. 3.47,6). Това уравнение се редуцира до каноничното с помощта на паралелна транслация (3.36).
Уравнението (x-x_0)^2=2p(y-y_0),\,p>0, също дефинира парабола с връх O"(x_0,y_0), чиято ос е успоредна на ординатната ос (фиг. 3.47, c). Това уравнение се редуцира до каноничното, като се използва паралелна транслация (3.36) и преименуване на координатни оси (3.38). Фигура 3.47, b, c показва дадените координатни системи Oxy и каноничните координатни системи Ox"y".
4. y=ax^2+bx+c,~a\ne0е парабола с връх в точката O"\!\left(-\frac(b)(2a);\,-\frac(b^2-4ac)(4a)\right), чиято ос е успоредна на ординатната ос, клоновете на параболата са насочени нагоре (при a>0) или надолу (при a<0 ). Действительно, выделяя полный квадрат, получаем уравнение
y=a\left(x+\frac(b)(2a)\right)^2-\frac(b^2)(4a)+c \quad \Leftrightarrow \quad \!\left(x+\frac(b) (2a)\right)^2=\frac(1)(a)\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right)\!,
което се редуцира до каноничната форма (y")^2=2px" , където p=\left|\frac(1)(2a)\right|, използвайки замяна y"=x+\frac(b)(2a)И x"=\pm\!\left(y+\frac(b^2-4ac)(4a)\right).
Знакът е избран така, че да съвпада със знака на водещия коефициент a. Тази замяна съответства на състава: паралелен трансфер (3.36) с x_0=-\frac(b)(2a)И y_0=-\frac(b^2-4ac)(4a), преименуване на координатните оси (3.38), а в случай на a<0 еще и изменения направления координатной оси (3.37). На рис.3.48,а,б изображены заданные системы координат Oxy и канонические системы координат O"x"y" для случаев a>0 и а<0 соответственно.
5. Оста x на каноничната координатна система е ос на симетрия на параболата, тъй като заместването на променливата y с -y не променя уравнението (3.51). С други думи, координатите на точката M(x,y), принадлежаща на параболата, и координатите на точката M"(x,-y), симетрична на точката M спрямо оста x, удовлетворяват уравнението (3.S1) се наричат оси на каноничната координатна система главните оси на параболата.
Пример 3.22. Начертайте параболата y^2=2x в каноничната координатна система Oxy. Намерете фокалния параметър, фокалните координати и уравнението на директрисата.
Решение.Построяваме парабола, като вземем предвид нейната симетрия спрямо абсцисната ос (фиг. 3.49). Ако е необходимо, определете координатите на някои точки от параболата. Например, замествайки x=2 в уравнението на параболата, получаваме y^2=4~\Leftrightarrow~y=\pm2. Следователно точки с координати (2;2),\,(2;-2) принадлежат на параболата.
Сравнявайки даденото уравнение с каноничното (3.S1), определяме фокусния параметър: p=1. Координати на фокуса x_F=\frac(p)(2)=\frac(1)(2),~y_F=0, т.е. F\!\left(\frac(1)(2),\,0\right). Съставяме уравнението на директрисата x=-\frac(p)(2) , т.е. x=-\frac(1)(2) .
Общи свойства на елипса, хипербола, парабола
1. Свойството директория може да се използва като единична дефиниция на елипса, хипербола, парабола (виж Фиг. 3.50): геометричното място на точките в равнината, за всяка от които отношението на разстоянието до дадена точка F (фокус) към разстоянието до дадена права линия d (директриса), която не минава през дадена точка, е постоянно и равно на ексцентрицитета e , е наречен:
a) ако 0\leqslant e<1 ;
б) ако е>1;
в) парабола, ако e=1.
2. Елипса, хипербола и парабола се получават като равнини в сечения на кръгъл конус и затова се наричат конични сечения. Това свойство може да служи и като геометрична дефиниция на елипса, хипербола и парабола.
3. Общите свойства на елипсата, хиперболата и параболата включват бисекторално свойствотехните допирателни. Под допирателнакъм права в някаква точка K се разбира граничното положение на секанса KM, когато точката M, оставаща на разглежданата права, клони към точката K. Нарича се права линия, перпендикулярна на допирателна към права и минаваща през точката на допиране нормалнокъм тази линия.
Бисекторалното свойство на допирателните (и нормалите) към елипса, хипербола и парабола се формулира, както следва: допирателната (нормална) към елипса или към хипербола образува равни ъгли с фокалните радиуси на допирателната точка(Фиг. 3.51, а, б); допирателната (нормалата) към параболата образува равни ъгли с фокусния радиус на точката на допиране и перпендикуляра, спуснат от нея към директрисата(Фиг. 3.51, c). С други думи, допирателната към елипсата в точка K е ъглополовяща на външния ъгъл на триъгълника F_1KF_2 (а нормалата е ъглополовяща на вътрешния ъгъл F_1KF_2 на триъгълника); допирателната към хиперболата е ъглополовяща на вътрешния ъгъл на триъгълника F_1KF_2 (а нормалата е ъглополовяща на външния ъгъл); допирателната към параболата е ъглополовяща на вътрешния ъгъл на триъгълника FKK_d (а нормалата е ъглополовяща на външния ъгъл). Бисекторалното свойство на допирателна към парабола може да се формулира по същия начин, както за елипса и хипербола, ако приемем, че параболата има втори фокус в точка в безкрайност.
4. От бисекторалните свойства следва оптични свойства на елипса, хипербола и парабола, обяснявайки физическия смисъл на понятието „фокус“. Нека си представим повърхности, образувани чрез въртене на елипса, хипербола или парабола около фокалната ос. Ако върху тези повърхности се нанесе отразяващо покритие, се получават елипсовидни, хиперболични и параболични огледала. Според закона на оптиката ъгълът на падане на светлинния лъч върху огледалото е равен на ъгъла на отражение, т.е. падащият и отразеният лъч образуват равни ъгли с нормалата към повърхността и двата лъча и оста на въртене са в една и съща равнина. От тук получаваме следните свойства:
– ако източникът на светлина е разположен в един от фокусите на елиптично огледало, тогава лъчите на светлината, отразени от огледалото, се събират в друг фокус (фиг. 3.52, а);
– ако източникът на светлина е разположен в един от фокусите на хиперболично огледало, тогава лъчите на светлината, отразени от огледалото, се разминават, сякаш идват от друг фокус (фиг. 3.52, b);
– ако източникът на светлина е във фокуса на параболично огледало, тогава светлинните лъчи, отразени от огледалото, вървят успоредно на фокалната ос (фиг. 3.52, в).
5. Диаметрично свойствоелипса, хипербола и парабола могат да бъдат формулирани по следния начин:
– средните точки на успоредни хорди на елипса (хипербола) лежат на една права линия, минаваща през центъра на елипсата (хипербола);
– средните точки на успоредни хорди на парабола лежат на правата, колинеарна ос на симетрия на параболата.
Геометричното място на средните точки на всички успоредни хорди на елипса (хипербола, парабола) се нарича диаметър на елипсата (хипербола, парабола), спрегнати на тези акорди.
Това е определението за диаметър в тесен смисъл (вижте пример 2.8). Преди това дефиницията на диаметъра беше дадена в широк смисъл, където диаметърът на елипса, хипербола, парабола и други линии от втори ред е права линия, съдържаща средните точки на всички успоредни хорди. В тесен смисъл диаметърът на елипсата е всяка хорда, минаваща през нейния център (фиг. 3.53, а); диаметърът на хипербола е всяка права линия, минаваща през центъра на хиперболата (с изключение на асимптоти), или част от такава права линия (фиг. 3.53,6); Диаметърът на парабола е всеки лъч, излизащ от определена точка на параболата и колинеарен на оста на симетрия (фиг. 3.53, c).
Два диаметъра, всеки от които разполовява всички хорди, успоредни на другия диаметър, се наричат спрегнати. На фиг. 3.53 удебелените линии изобразяват спрегнатите диаметри на елипса, хипербола и парабола.
Допирателната към елипсата (хипербола, парабола) в точка K може да се определи като граничното положение на успоредните секущи M_1M_2, когато точките M_1 и M_2, оставащи на разглежданата линия, се стремят към точка K. От това определение следва, че допирателна, успоредна на хордите, минава през края на спрегнатия на тези хорди диаметър.
6. Елипса, хипербола и парабола имат, в допълнение към посочените по-горе, множество геометрични свойства и физически приложения. Например, фиг. 3.50 може да служи като илюстрация на траекториите на космически обекти, разположени в близост до центъра на тежестта F.
Да разгледаме права на равнината и точка, която не лежи на тази права. И елипса, И хиперболаможе да се дефинира по унифициран начин като геометрично място на точки, за които отношението на разстоянието до дадена точка към разстоянието до дадена права линия е постоянна стойност
ранг ε. При 0 1 - хипербола. Параметърът ε е ексцентричност както на елипса, така и на хипербола. От възможните положителни стойности на параметъра ε една, а именно ε = 1, се оказва неизползвана. Тази стойност съответства на геометричното място на точки, еднакво отдалечени от дадена точка и от дадена права.
Определение 8.1.Геометричното място на точките в равнина, еднакво отдалечени от фиксирана точка и от фиксирана права, се нарича парабола.
Фиксираната точка се нарича фокус на параболата, а правата линия - директриса на парабола. В същото време се смята, че ексцентричност на параболаравно на едно.
От геометрични съображения следва, че параболата е симетрична по отношение на правата, перпендикулярна на директрисата и минаваща през фокуса на параболата. Тази права линия се нарича ос на симетрия на параболата или просто оста на параболата. Параболата пресича своята ос на симетрия в една точка. Тази точка се нарича върха на параболата. Той се намира в средата на сегмента, свързващ фокуса на параболата с пресечната точка на нейната ос с директрисата (фиг. 8.3).
Уравнение на парабола.За да изведем уравнението на парабола, ние избираме на равнината произходна върха на параболата, като ос х- оста на параболата, положителната посока върху която се определя от позицията на фокуса (виж фиг. 8.3). Тази координатна система се нарича канониченза въпросната парабола и съответните променливи са каноничен.
Нека означим разстоянието от фокуса до директрисата с p. Наричат го фокусен параметър на параболата.
Тогава фокусът има координати F(p/2; 0), а директрисата d се описва с уравнението x = - p/2. Геометричното място на точките M(x; y), равноотдалечени от точката F и от правата d, се дава от уравнението
Нека повдигнем на квадрат уравнение (8.2) и представим подобни. Получаваме уравнението
което се нарича уравнение на канонична парабола.
Обърнете внимание, че повдигането на квадрат в този случай е еквивалентно преобразуване на уравнение (8.2), тъй като и двете страни на уравнението са неотрицателни, както и изразът под радикала.
Тип парабола.Ако параболата y 2 = x, чиято форма считаме за известна, се компресира с коефициент 1/(2р) по абсцисната ос, тогава се получава парабола с общ вид, която се описва с уравнение (8.3).
Пример 8.2.Нека намерим координатите на фокуса и уравнението на директрисата на парабола, ако тя минава през точка, чиито канонични координати са (25; 10).
В каноничните координати уравнението на параболата има формата y 2 = 2px. Тъй като точката (25; 10) е върху параболата, тогава 100 = 50p и следователно p = 2. Следователно, y 2 = 4x е каноничното уравнение на параболата, x = - 1 е уравнението на нейната директриса, а фокусът е в точката (1; 0).
Оптично свойство на парабола.Параболата има следното оптично свойство. Ако във фокуса на параболата се постави източник на светлина, тогава всички светлинни лъчи след отражение от параболата ще бъдат успоредни на оста на параболата (фиг. 8.4). Оптичното свойство означава, че във всяка точка М от параболата нормален вектортангентата сключва равни ъгли с фокалния радиус MF и абсцисната ос.
Определение 1. Парабола е множеството от всички точки на равнината, всяка от които е еднакво отдалечена от дадена точка, т.нар фокус, и от дадена права, неминаваща през дадена точка и нар директорка.
Нека създадем уравнение за парабола с фокус в дадена точка Еи чиято директриса е правата д,не преминава през Е.Нека изберем правоъгълна координатна система, както следва: ос ода минем през фокуса Еперпендикулярно на директора дв посока от дДа се Е,и произхода ОТНОСНОНека го поставим по средата между фокуса и директрисата (фиг. 1).
Определение 2.Фокусно разстояние Ена директорката дНаречен параболичен параметър и се обозначава с p(p> 0).
От фиг. 1 е ясно, че p = FK,следователно фокусът има координати F (p/2; 0), а уравнението на директрисата има формата х= – r/2,или
Позволявам M(x;y)е произволна точка от параболата. Нека свържем точките Мс Еи ще похарчим MN d.Директно от фиг. 1 е ясно, че
и по формулата за разстоянието между две точки 
Според дефиницията на парабола, MF = MN, (1)
следователно, 
(2)
Уравнение (2) е необходимото уравнение на парабола. За да опростим уравнение (2), ние го трансформираме, както следва:
тези.,
Координати хИ приточки Мпараболите отговарят на условие (1) и следователно на уравнение (3).
Определение 3.Уравнение (3) се нарича каноничното уравнение на парабола.
2. Изследване на формата на парабола с помощта на нейното уравнение.Нека определим формата на параболата, използвайки нейното канонично уравнение (3).
1) Координати на точката O(0;0)удовлетворяват уравнение (3), следователно параболата, дефинирана от това уравнение, минава през началото.
2) Тъй като в уравнение (3) променливата привключени само в дори степен, след това параболата y 2 = 2pxсиметричен спрямо абсцисната ос.
3) Тъй като p > 0, то от (3) следва x ≥ 0. Следователно параболата y 2 = 2pxразположен вдясно от оста OU.
4) С нарастване на абсцисата хот 0 до +∞ ордината приварира от 0 преди ± ∞, т.е. точките на параболата се отдалечават неограничено от оста о, и от оста OU.
Парабола y 2 = 2pxима формата, показана на фиг. 2.
Определение 4.ос оНаречен ос на симетрия на параболата. Точка O(0;0)се нарича пресечната точка на парабола с оста на симетрия върха на параболата. Линеен сегмент FMНаречен фокусен радиус точки М.
Коментирайте. За да създадете уравнение на парабола от формата y 2 = 2pxние специално избрахме правоъгълна координатна система (виж точка 1). Ако координатната система е избрана по различен начин, тогава уравнението на параболата ще има различна форма.
А
Така например, ако насочите оста оот фокус към директор (фиг. 3, А
y 2 = –2px. (4)
F(–р/2; 0), и директорката ддадено от уравнението x = p/2.
Ако оста OUда минем през фокуса Е дв посока от дДа се Е, и произхода ОТНОСНОпоставете го в средата между фокуса и директрисата (фиг. 3, b), тогава уравнението на параболата е пример за формата
x 2 = 2ru . (5)
Фокусът на такава парабола има координати F (0; p/2), и директорката ддадено от уравнението y=–p/2.
Ако оста OUда минем през фокуса Еперпендикулярно на директора дв посока от ЕДа се д(фиг. 3, V), тогава уравнението на параболата приема формата
x 2 = –2ru (6)
Координатите на неговия фокус ще бъдат F (0; –р/2)и уравнението на директрисата дще y = p/2.
За уравнения (4), (5), (6) се казва, че имат най-простата форма.
3. Успоредно пренасяне на парабола.Нека е дадена парабола с върха в точката O" (a; b), чиято ос на симетрия е успоредна на оста OU, а клоните са насочени нагоре (фиг. 4). Трябва да създадете уравнение за парабола.
(9)
Определение 5.Уравнение (9) се нарича уравнение на парабола с изместен връх.
Нека трансформираме това уравнение, както следва:
Поставяне 
ще има 
(10)
Не е трудно да се покаже това за всеки А, Б, Вграфик квадратен тричлен(10) е парабола по смисъла на Дефиниция 1. Уравнение на парабола от вида (10) е изследвано в училищен курсалгебра.
УПРАЖНЕНИЯ ЗА САМОСТОЯТЕЛНО РЕШАВАНЕ
номер 1. Напишете уравнението на окръжност:
а. с център в началото и радиус 7;
b. с център в точка (-1;4) и радиус 2.
Конструирайте кръговите данни в правоъгълна декартова координатна система.
номер 2. Съставете каноничното уравнение на елипса с върхове
и трикове 
номер 3. Конструирайте елипса, дадена от каноничното уравнение:
1) 2) 
номер 4. Съставете каноничното уравнение на елипса с върхове
и трикове 
номер 5. Съставете каноничното уравнение на хипербола с върхове
и трикове
номер 6. Съставете каноничното уравнение на хипербола, ако:
1. разстояние между фокусите и между върховете
2. реална полуос и ексцентричност;
3. фокусира се върху оста, реалната ос е 12, а въображаемата ос е 8.
номер 7. Конструирайте хипербола, дадена от каноничното уравнение:
1) 2) 
.
№ 8. Напишете каноничното уравнение на парабола, ако:
1) параболата е разположена в дясната полуравнина симетрично спрямо оста и нейния параметър;
2) параболата е разположена в лявата полуравнина симетрично спрямо оста и нейният параметър е .
Построете тези параболи, техните фокуси и директриси.
номер 9. Определете вида на линията, ако нейното уравнение е:
ВЪПРОСИ ЗА САМОТЕСТ
1. Вектори в космоса.
1.1. Какво е вектор?
1.2. Каква е абсолютната величина на вектор?
1.3. Какви видове вектори в космоса познавате?
1.4. Какви действия можете да извършвате с тях?
1.5. Какво представляват векторните координати? Как да ги намерим?
2. Действия върху вектори, зададени от техните координати.
2.1. Какви действия могат да се извършват с вектори, дадени в координатна форма (правила, равенства, примери); как да намеря абсолютна стойносттакъв вектор.
2.2. Имоти:
2.2.1 колинеарен;
2.2.2 перпендикуляр;
2.2.3 копланарен;
2.2.4 равни вектори.
(формулировки, равенства).
3. Уравнение на права линия. Приложни проблеми.
3.1. Какви видове уравнения на права линия познавате (да можете да записвате и тълкувате от записа);
3.2. Как да проверим за успоредност - перпендикулярност на две прави линии, определени от уравнения с ъглов коефициент или общи уравнения?
3.3. Как да намерим разстоянието от точка до права между две точки?
3.4. Как да намерим ъгъла между линиите, дадени от уравнения за общи линии или уравнения за наклон?
3.5. Как да намерим координатите на средата на отсечка и дължината на тази отсечка?
4. Уравнение на равнина. Приложни проблеми.
4.1. Какви видове уравнения на равнина знаете (да можете да напишете и интерпретирате от записа)?
4.2. Как да изследваме паралелността и перпендикулярността на правите линии в пространството?
4.3. Как да намерим разстоянието от точка до равнина и ъгъла между равнините?
4.4. Как да изследваме взаимно споразумениеправа и равнина в пространството?
4.5. Видове уравнение на права в пространството: общо, канонично, параметрично, минаващо през две дадени точки.
4.6. Как да намерим ъгъла между правите линии и разстоянието между точките в пространството?
5. Линии от втори ред.
5.1. Елипса: дефиниция, фокуси, върхове, големи и малки оси, фокални радиуси, ексцентричност, уравнения на директриса, най-прости (или канонични) уравнения на елипсата; рисунка.
5.2. Хипербола: дефиниция, фокуси, върхове, реални и имагинерни оси, фокални радиуси, ексцентричност, уравнения на директриса, най-прости (или канонични) уравнения на хипербола; рисунка.
5.3. Парабола: дефиниция, фокус, директриса, връх, параметър, ос на симетрия, най-прости (или канонични) уравнения на парабола; рисунка.
Забележка към 4.1, 4.2, 4.3: За всяка линия от 2-ри ред можете да опишете конструкцията.
ЗАДАЧИ ЗА САМОПРОВЕРКА
1.Дадени точки: 
, където N е номерът на ученика в списъка.
3) намерете разстоянието от точка M до равнина P.
4. Конструирайте линия от втори ред, дадена от нейното канонично уравнение:
.
ЛИТЕРАТУРА
1. Висша математика за икономисти - Учебник за ВУЗ, изд. Н.Ш. Kremer et al., Москва, UNITY, 2003.
2. Барковски В.В., Барковска Н.В. - Вища математика за икономисти – Киев, TsUL, 2002.
3. Суворов И.Ф. - Курс по висша математика. - М., Висше училище, 1967.
4. Тарасов Н.П. - Курс по висша математика за технически училища. - М.; Наука, 1969.
5. Зайцев И.Л. - Елементи на висшата математика за техническите училища. - М.; Наука, 1965г.
6. Валуце Н.Н., Дилигул Г.Д. - Математика за техникуми. - М.; Наука, 1990.
7. Шипачев В.С. - Висша математика. Учебник за университети - М.: Висше училище, 2003.
