Различни начинидоказателство на Питагоровата теорема
ученик от 9 "А" клас
Общинско учебно заведение средно училище №8
Научен ръководител:
учител по математика,
Общинско учебно заведение средно училище №8
Изкуство. Новорождественская
Краснодарски край.
Изкуство. Новорождественская
АНОТАЦИЯ.
Теоремата на Питагор с право се счита за най-важната в хода на геометрията и заслужава специално внимание. Това е основата за решаване на много геометрични проблеми, основата за изучаване на теоретични и практически курсове по геометрия в бъдеще. Теоремата е заобиколена от богат исторически материал, свързан с появата и методите на доказване. Изучаването на историята на развитието на геометрията внушава любов към този предмет, насърчава развитието на познавателен интерес, обща култура и креативност, а също така развива изследователски умения.
В резултат на търсещата дейност беше постигната целта на работата, която беше да се попълнят и обобщят знанията за доказателството на Питагоровата теорема. Беше възможно да се намерят и разгледат различни методи за доказателство и да се задълбочат знанията по темата, надхвърляйки страниците на училищния учебник.
Събраният материал допълнително ни убеждава, че Питагоровата теорема е велика теорема на геометрията и има огромно теоретично и практическо значение.
Въведение. Историческа справка 5 Основна част 8
3. Заключение 19
4. Използвана литература 20
1. ВЪВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКА СПРАВКА.
Същността на истината е, че тя е за нас завинаги,
Когато поне веднъж в нейното прозрение видим светлината,
И Питагоровата теорема след толкова години
За нас, както и за него, тя е неоспорима, безупречна.
За да се зарадва, Питагор даде обет на боговете:
За докосване до безкрайната мъдрост,
Той закла сто бика, благодарение на вечните;
Той отправи молитви и възхвали след жертвата.
Оттогава, когато биковете го надушат, те натискат,
Че следата отново води хората към нова истина,
Те реват неистово, така че няма смисъл да слушате,
Такъв Питагор им всява ужас завинаги.
Бикове, безсилни да се противопоставят на новата истина,
Какво остава? - Само затваряне на очи, рев, треперене.
Не е известно как Питагор е доказал своята теорема. Сигурното е, че той го е открил под силното влияние на египетската наука. Специален случай на Питагоровата теорема - свойствата на триъгълник със страни 3, 4 и 5 - е бил известен на строителите на пирамидите много преди раждането на Питагор, а самият той е учил с египетски свещеници повече от 20 години. Запазена е легенда, която гласи, че след като доказал известната си теорема, Питагор принесъл в жертва на боговете бик, а според други източници дори 100 бика. Това обаче противоречи на информацията за моралните и религиозни възгледи на Питагор. В литературни източници можете да прочетете, че той „забранява дори да се убиват животни, още по-малко да се хранят с тях, тъй като животните имат душа, също като нас“. Питагор се храни само с мед, хляб, зеленчуци и понякога риба. Във връзка с всичко това, следният запис може да се счита за по-правдоподобен: „... и дори когато откри, че в правоъгълен триъгълник хипотенузата съответства на краката, той принесе в жертва бик, направен от пшенично тесто.“
Популярността на Питагоровата теорема е толкова голяма, че нейните доказателства се намират дори в художествената литература, например в разказа „Младият Архимед“ на известния английски писател Хъксли. Същото доказателство, но за специалния случай на равнобедрен правоъгълен триъгълник, е дадено в диалога на Платон „Мено“.
Приказка "Дом".
„Далеч, далече, където дори самолетите не летят, е страната на Геометрията. В тази необичайна страна имаше един невероятен град - градът на Теорема. Един ден дойдох в този град красиво момичена име Хипотенуза. Опита се да наеме стая, но където и да кандидатства, получава отказ. Накрая тя се приближи до разклатената къща и почука. Човек, който се наричаше Правия ъгъл, й отвори вратата и покани Хипотенузата да живее при него. Хипотенузата остана в къщата, в която живееха Правият ъгъл и двамата му малки сина на име Катетес. Оттогава животът в къщата на Правия ъгъл се промени по нов начин. Хипотенузата засади цветя на прозореца и засади червени рози в предната градина. Къщата придоби формата на правоъгълен триъгълник. И двата крака много харесаха Хипотенузата и я помолиха да остане завинаги в къщата им. Вечер това приятелско семейство се събира на семейната трапеза. Понякога Right Angle играе на криеница с децата си. Най-често той трябва да търси, а Хипотенузата се крие толкова умело, че може да бъде много трудно да се намери. Един ден, докато играеше, Правият ъгъл забеляза интересно свойство: ако успее да намери краката, тогава намирането на хипотенузата не е трудно. Така че Right Angle използва този модел, трябва да кажа, много успешно. Питагоровата теорема се основава на свойството на този правоъгълен триъгълник.
(От книгата на А. Окунев „Благодаря ви за урока, деца”).
Хумористична формулировка на теоремата:
Ако ни е даден триъгълник
И освен това с прав ъгъл,
Това е квадратът на хипотенузата
Винаги можем лесно да намерим:
Правим квадрат на краката,
Намираме сумата от мощности -
И то по толкова прост начин
Ще стигнем до резултата.
При изучаването на алгебра и началото на анализа и геометрията в 10 клас се убедих, че освен метода за доказване на Питагоровата теорема, разгледан в 8 клас, има и други методи за доказване. Представям ги на вашето внимание.
2. ОСНОВНА ЧАСТ.
Теорема. В правоъгълен триъгълник има квадрат
Хипотенузата е равна на сумата от квадратите на катетите.
1 МЕТОД.
Използвайки свойствата на площите на многоъгълниците, ще установим забележителна връзка между хипотенузата и катетите на правоъгълен триъгълник.
Доказателство.
а, ви хипотенуза с(фиг. 1, а).
Нека докажем това c²=a²+b².
Доказателство.
Нека завършим триъгълника до квадрат със страна a + bкакто е показано на фиг. 1, б. Площта S на този квадрат е (a + b)². От друга страна, този квадрат е съставен от четири равни правоъгълни триъгълника, всеки от които има площ от ½ ав, и квадрат със страна с,следователно С = 4 * ½ aw + s² = 2aw + s².
По този начин,
(a + b)² = 2 aw + s²,
c²=a²+b².
Теоремата е доказана.
2 МЕТОД.
След като проучих темата „Подобни триъгълници“, разбрах, че можете да приложите сходството на триъгълниците към доказателството на Питагоровата теорема. А именно, използвах твърдението, че катетът на правоъгълен триъгълник е средната пропорционална на хипотенузата и отсечката от хипотенузата, затворена между катета и надморската височина, изтеглена от върха прав ъгъл.
Да разгледаме правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C, CD – височина (фиг. 2). Нека докажем това AC² +СИ² = AB²
.
Доказателство.
Въз основа на твърдението за катета на правоъгълен триъгълник:
AC = , SV = .
Нека повдигнем на квадрат и съберем получените равенства:
AC² = AB * AD, CB² = AB * DB;
AC² + CB² = AB * (AD + DB), където AD+DB=AB, тогава
AC² + CB² = AB * AB,
AC² + CB² = AB².
Доказателството е пълно.
3 МЕТОД.
За да докажете теоремата на Питагор, можете да приложите определението за косинус на остър ъгъл на правоъгълен триъгълник. Нека разгледаме фиг. 3.
Доказателство:
Нека ABC е даден правоъгълен триъгълник с прав ъгъл C. Нека начертаем надморската височина CD от върха на правия ъгъл C.
По дефиниция на косинус на ъгъл:
cos A = AD/AC = AC/AB. Следователно AB * AD = AC²
по същия начин
cos B = ВD/ВС = ВС/АВ.
Следователно AB * BD = BC².
Добавяйки получените равенства член по член и отбелязвайки, че AD + DB = AB, получаваме:
AC² + слънце² = AB (AD + DB) = AB²
Доказателството е пълно.
4 МЕТОД.
След като изучавах темата „Връзки между страните и ъглите на правоъгълен триъгълник“, смятам, че Питагоровата теорема може да се докаже и по друг начин.
Помислете за правоъгълен триъгълник с катети а, ви хипотенуза с. (фиг. 4).
Нека докажем това c²=a²+b².
Доказателство.
грях B=високо качество ; cos B=климатик , тогава, повдигайки на квадрат получените равенства, получаваме:
грях² B= in²/s²; cos² IN= a²/c².
Събирайки ги, получаваме:
грях² IN+cos² B=в²/с²+ а²/с², където sin² IN+cos² B=1,
1= (в²+ а²) / с², следователно,
c²= a² + b².
Доказателството е пълно.
5 МЕТОД.
Това доказателство се основава на изрязване на квадрати, построени върху краката (фиг. 5) и поставяне на получените части върху квадрат, построен върху хипотенузата.
6 МЕТОД.
За доказателство отстрани слънцение строим BCD ABC(фиг. 6). Знаем, че площите на подобни фигури са свързани като квадратите на техните подобни линейни размери:
Като извадим второто от първото равенство, получаваме
c2 = a2 + б2.
Доказателството е пълно.
7 МЕТОД.
дадени(фиг. 7):
ABC,= 90° , слънце= a, AC=b, AB = c.
Докажи:c2 = a2 +b2.
Доказателство.
Нека кракът b А.Да продължим сегмента NEна точка INи изградете триъгълник BMDтака че точките МИ Алежи от едната страна на правата линия CDи между другото, BD =б, BDM= 90°, DM= а, тогава BMD= ABCна двете страни и ъгъла между тях. Точки А и Мсвържете със сегменти сутринтаНие имаме М.Д. CDИ A.C. CD,това означава, че е прав ACуспоредна на правата М.Д.защото М.Д.< АС, след това направо CDИ А.М.не успоредно. Следователно, AMDC-правоъгълен трапец.
В правоъгълни триъгълници ABC и BMD 1 + 2 = 90° и 3 + 4 = 90°, но тъй като = =, тогава 3 + 2 = 90°; Тогава AVM=180° - 90° = 90°. Оказа се, че трапецът AMDCсе разделя на три правоъгълни триъгълника, които не се припокриват, след това от аксиомите на площта
(a+b)(a+b)
Разделяйки всички членове на неравенството на , получаваме
Аb + c2 + ab = (a +б) , 2 аб+ c2 = a2+ 2аb+ b2,
c2 = a2 + б2.
Доказателството е пълно.
8 МЕТОД.
Този метод се основава на хипотенузата и краката на правоъгълен триъгълник ABC.Той построява съответните квадрати и доказва, че квадратът, построен върху хипотенузата, е равен на сбора от квадратите, построени върху катетите (фиг. 8).
Доказателство.
1) DBC= FBA= 90°;
DBC+ ABC= FBA+ ABC,означава, FBC = DBA.
По този начин, FBC=ABD(от двете страни и ъгъла между тях).
2) 
,
където AL DE, тъй като BD е обща база, DL-обща височина.
3) 
, тъй като FB е фондация, AB- обща височина.
4) 
5) По същия начин може да се докаже, че 
6) Добавяйки термин по термин, получаваме:
, BC2
= AB2 + AC2
.
Доказателството е пълно.
9 МЕТОД.
Доказателство.
1) Нека АБДЕ- квадрат (фиг. 9), чиято страна е равна на хипотенузата на правоъгълен триъгълник ABC= s, BC = a, AC =б).
2) Нека DK пр.н.е.И DK = слънце,тъй като 1 + 2 = 90° (като острите ъгли на правоъгълен триъгълник), 3 + 2 = 90° (като ъгъла на квадрат), AB= BD(страни на квадрата).
означава, ABC= БДК(по хипотенуза и остър ъгъл).
3) Нека ЕЛ Д.К., А.М. Е.Л.Може лесно да се докаже, че ABC = BDK =DEL = EAM (с крака АИ б).Тогава KS= СМ= М.Л.= Л.К.= А -b.
4) SKB = 4S+SKLMC= 2ab+ (а - б),с2 = 2ab + a2 - 2ab + b2,c2 = a2 + b2.
Доказателството е пълно.
10 МЕТОД.
Доказателството може да се проведе на фигура, шеговито наречена „Питагорови панталони“ (фиг. 10). Идеята му е да трансформира квадрати, изградени отстрани, в равни триъгълници, които заедно съставят квадрата на хипотенузата.
ABCпреместете го, както е показано със стрелката, и той заема позиция KDN.Останалата част от фигурата AKDCBравна площ на квадрата AKDCтова е успоредник АКНБ.
Изработен е модел на успоредник АКНБ. Пренареждаме успоредника, както е скицирано в съдържанието на работата. За да покажем превръщането на успоредник в триъгълник с еднаква площ, пред очите на учениците отрязваме триъгълник върху модела и го преместваме надолу. По този начин площта на квадрата AKDCсе оказа равна на площта на правоъгълника. По същия начин преобразуваме площта на квадрат в площта на правоъгълник.
Нека направим трансформация за квадрат, изграден върху страна А(фиг. 11, а):
а) квадратът се трансформира в равен успоредник (фиг. 11.6):
б) успоредникът се завърта на четвърт оборот (фиг. 12):
в) успоредникът се трансформира в равен правоъгълник (фиг. 13): 11 МЕТОД.
Доказателство:
PCL-прав (фиг. 14);
KLOA= ACPF= ACED= a2;
LGBO= SVMR =CBNQ= б 2;
АКГБ= AKLO +LGBO= c2;
c2 = a2 + б2.
Доказателството приключи .
12 МЕТОД.
Ориз. Фигура 15 илюстрира друго оригинално доказателство на Питагоровата теорема.
Тук: триъгълник ABC с прав ъгъл C; линейна отсечка Б.Ф.перпендикулярен NEи равен на него, отсечката БЪДАперпендикулярен ABи равен на него, отсечката ADперпендикулярен ACи равен на него; точки F, C,дпринадлежат към една и съща линия; четириъгълници ADFBИ ASVEравни по размер, тъй като ABF = ЕЦБ;триъгълници ADFИ ACEравни по размер; извадете от двата равни четириъгълника общия триъгълник ABC,получаваме
, c2 = a2 +
б2.
Доказателството е пълно.
13 МЕТОД.
Площта на даден правоъгълен триъгълник от едната страна е равна на ,
с друг, ,
3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.
В резултат на търсещата дейност беше постигната целта на работата, която беше да се попълнят и обобщят знанията за доказателството на Питагоровата теорема. Беше възможно да се намерят и обмислят различни начини за доказване и задълбочаване на знанията по темата, надхвърляйки страниците на училищния учебник.
Материалът, който събрах, ме убеждава още повече, че Питагоровата теорема е велика теорема на геометрията и има огромно теоретично и практическо значение. В заключение бих искал да кажа: причината за популярността на триединната теорема на Питагор е нейната красота, простота и значимост!
4. ИЗПОЛЗВАНА ЛИТЕРАТУРА.
1. Занимателна алгебра. . Москва "Наука", 1978 г.
2. Седмично учебно-методическо приложение към вестник “Първи септември”, 24/2001.
3. Геометрия 7-9. и т.н.
4. Геометрия 7-9. и т.н.
(според папирус 6619 от Берлинския музей). Според Кантор, harpedonaptes, или „теглечи на въжета“, изграждат прави ъгли, използвайки правоъгълни триъгълници със страни 3, 4 и 5.
Много е лесно да се възпроизведе техният метод на изграждане. Нека вземем въже с дължина 12 м и завържем към него цветна лента на разстояние 3 м от единия край и 4 метра от другия. Правият ъгъл ще бъде между страните с дължина 3 и 4 метра. Може да се възрази на харпедонаптците, че техният метод на конструиране става излишен, ако се използва например дървен квадрат, който се използва от всички дърводелци. Наистина са известни египетски рисунки, в които се намира такъв инструмент, например рисунки, изобразяващи дърводелска работилница.
Сред вавилонците се знае малко повече за Питагоровата теорема. В един текст, датиращ от времето на Хамурапи, тоест до 2000 г. пр.н.е. д. , е дадено приблизително изчисление на хипотенузата на правоъгълен триъгълник. От това можем да заключим, че в Месопотамия са умеели да извършват изчисления с правоъгълни триъгълници, поне в някои случаи. Въз основа, от една страна, на сегашното ниво на познания за египетската и вавилонската математика, а от друга страна, на критично изследване на гръцките източници, Ван дер Ваерден (холандски математик) заключава, че има голяма вероятност, че теоремата за квадрата на хипотенузата е била известна в Индия още около 18 век пр.н.е. д.
Около 400 г. пр.н.е. пр.н.е., според Прокъл, Платон е дал метод за намиране на питагорейските тройки, съчетавайки алгебра и геометрия. Около 300 г. пр.н.е. д. Най-старото аксиоматично доказателство на Питагоровата теорема се появява в Елементи на Евклид.
Формулировки
Геометрична формулировка:
Първоначално теоремата е формулирана по следния начин:
Алгебрична формулировка:
Това означава, че дължината на хипотенузата на триъгълника се обозначава с , а дължините на катетите с и :
И двете формулировки на теоремата са еквивалентни, но втората формулировка е по-елементарна; тя не изисква понятието площ. Тоест, второто твърдение може да се провери, без да се знае нищо за площта и чрез измерване само на дължините на страните на правоъгълен триъгълник.
Обратна теорема на Питагор:
Доказателство
На този моментВ научната литература са записани 367 доказателства на тази теорема. Вероятно Питагоровата теорема е единствената теорема с толкова впечатляващ брой доказателства. Такова разнообразие може да се обясни само с фундаменталното значение на теоремата за геометрията.
Разбира се, концептуално всички те могат да бъдат разделени на малък брой класове. Най-известните от тях: доказателства по метода на площта, аксиоматични и екзотични доказателства (например с помощта на диференциални уравнения).
Чрез подобни триъгълници
Следващото доказателство на алгебричната формулировка е най-простото от доказателствата, изградено директно от аксиомите. По-специално, той не използва понятието площ на фигура.
Позволявам ABCима правоъгълен триъгълник с прав ъгъл ° С. Нека начертаем височината от ° Си обозначаваме основата му с з. Триъгълник ACHподобен на триъгълник ABCна два ъгъла. По същия начин, триъгълник CBHподобен ABC. Чрез въвеждане на нотацията
получаваме
Какво е еквивалентно
Събирайки го, получаваме
, което трябваше да се докажеДоказателства по метода на площта
Доказателствата по-долу, въпреки привидната им простота, изобщо не са толкова прости. Всички те използват свойствата на площта, чието доказателство е по-сложно от доказателството на самата Питагорова теорема.
Доказателство чрез равнодопълване
- Нека подредим четири равни правоъгълни триъгълника, както е показано на фигура 1.
- Четириъгълник със страни ° Се квадрат, тъй като сумата от два остри ъгъла е 90°, а правият ъгъл е 180°.
- Площта на цялата фигура е равна, от една страна, на площта на квадрат със страна (a + b), а от друга страна, на сумата от площите на четирите триъгълника и площ на вътрешния квадрат.
Q.E.D.
Доказателството на Евклид
Идеята на доказателството на Евклид е следната: нека се опитаме да докажем, че половината от площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сбора от половините площи на квадратите, построени върху краката, и след това площите на големият и двата малки квадрата са равни.
Нека погледнем чертежа вляво. На него построихме квадрати на страните на правоъгълен триъгълник и начертахме лъч s от върха на правия ъгъл C, перпендикулярен на хипотенузата AB, той разрязва квадрата ABIK, построен върху хипотенузата, на два правоъгълника - BHJI и HAKJ, съответно. Оказва се, че площите на тези правоъгълници са точно равни на площите на квадратите, построени върху съответните крака.
Нека се опитаме да докажем, че площта на квадрата DECA е равна на площта на правоъгълника AHJK. За да направим това, ще използваме спомагателно наблюдение: Площта на триъгълник със същата височина и основа като. дадения правоъгълник е равен на половината от площта на дадения правоъгълник. Това е следствие от определянето на площта на триъгълник като половината от произведението на основата и височината. От това наблюдение следва, че площта на триъгълника ACK е равна на площта на триъгълника AHK (не е показан на фигурата), който от своя страна е равен на половината от площта на правоъгълника AHJK.
Нека сега докажем, че площта на триъгълника ACK също е равна на половината от площта на квадрата DECA. Единственото нещо, което трябва да се направи за това, е да се докаже равенството на триъгълниците ACK и BDA (тъй като площта на триъгълника BDA е равна на половината от площта на квадрата според горното свойство). Това равенство е очевидно: триъгълниците са равни от двете страни и ъгълът между тях. А именно - AB=AK, AD=AC - равенството на ъглите CAK и BAD се доказва лесно по метода на движението: завъртаме триъгълника CAK на 90° обратно на часовниковата стрелка, тогава е очевидно, че съответните страни на двата триъгълника в въпросът ще съвпадне (поради факта, че ъгълът при върха на квадрата е 90°).
Разсъждението за равенството на лицата на квадрата BCFG и правоъгълника BHJI е напълно сходно.
По този начин доказахме, че площта на квадрат, построен върху хипотенузата, се състои от площите на квадратите, построени върху краката. Идеята зад това доказателство е допълнително илюстрирана от анимацията по-горе.
Доказателство за Леонардо да Винчи
Основните елементи на доказателството са симетрия и движение.
Нека разгледаме чертежа, както се вижда от симетрията, сегментът разрязва квадрата на две еднакви части (тъй като триъгълниците са равни по конструкция).
Използвайки завъртане на 90 градуса обратно на часовниковата стрелка около точката, виждаме равенството на защрихованите фигури и.
Сега е ясно, че площта на фигурата, която сме защриховали, е равна на сумата от половината площи на малките квадратчета (построени върху краката) и площта на оригиналния триъгълник. От друга страна, той е равен на половината от площта на големия квадрат (построен върху хипотенузата) плюс площта на оригиналния триъгълник. Така половината от сумата от площите на малките квадрати е равна на половината от площта на големия квадрат и следователно сумата от площите на квадратите, изградени върху краката, е равна на площта на квадрата, построен върху хипотенуза.
Доказателство по метода на безкрайно малките
Следното доказателство, използващо диференциални уравнения, често се приписва на известния английски математик Харди, живял през първата половина на 20 век.
Гледайки чертежа, показан на фигурата, и наблюдавайте промяната на страната а, можем да напишем следната връзка за безкрайно малки странични увеличения сИ а(използвайки подобие на триъгълник):
Използвайки метода на разделяне на променливи, намираме
| Повече ▼ общ изразза промяна на хипотенузата в случай на нарастване на двата крака
Интегрирайки това уравнение и използвайки началните условия, получаваме
Така стигаме до желания отговор
Както е лесно да се види, квадратичната зависимост в крайната формула се появява поради линейната пропорционалност между страните на триъгълника и увеличенията, докато сумата е свързана с независими приноси от нарастването на различни крака.
Може да се получи по-просто доказателство, ако приемем, че един от краката не изпитва увеличение (in в такъв случайкрак). Тогава за константата на интегриране получаваме
Вариации и обобщения
Подобни геометрични фигури от три страни
Обобщение за подобни триъгълници, площ на зелени форми A + B = площ на сини C
Питагорова теорема, използваща подобни правоъгълни триъгълници
Евклид обобщава Питагоровата теорема в работата си Наченки, разширявайки площите на квадратите отстрани до площите на подобни геометрични фигури:
Ако изградите подобни геометрични фигури(виж Евклидова геометрия) от страните на правоъгълен триъгълник, тогава сумата от двете по-малки фигури ще бъде равна на площта на по-голямата фигура.
Основната идея на това обобщение е, че площта на такава геометрична фигура е пропорционална на квадрата на всяко от нейните линейни измерения и по-специално на квадрата на дължината на всяка страна. Следователно, за подобни фигури с области А, бИ ° Сизградени от страни с дълж а, bИ ° С, ние имаме:
Но според Питагоровата теорема, а 2 + b 2 = ° С 2 тогава А + б = ° С.
Обратно, ако можем да докажем това А + б = ° Сза три подобни геометрични фигури, без да използваме Питагоровата теорема, тогава можем да докажем самата теорема, движейки се в обратна посока. Например началният централен триъгълник може да се използва повторно като триъгълник ° Свърху хипотенузата и два подобни правоъгълни триъгълника ( АИ б), построен върху другите две страни, които се образуват чрез разделяне на централния триъгълник по неговата височина. Следователно сумата от площите на двата по-малки триъгълника очевидно е равна на площта на третия А + б = ° Си изпълнявайки предишното доказателство в обратен ред, получаваме Питагоровата теорема a 2 + b 2 = c 2 .
Косинусова теорема
Питагоровата теорема е специален случайпо-обща теорема за косинусите, която свързва дължините на страните в произволен триъгълник:
където θ е ъгълът между страните аИ b.
Ако θ е 90 градуса, тогава cos θ = 0 и формулата се опростява до обичайната Питагорова теорема.
Свободен триъгълник
Към всеки избран ъгъл на произволен триъгълник със страни a, b, cНека впишем равнобедрен триъгълник по такъв начин, че равните ъгли при основата му θ да са равни на избрания ъгъл. Да приемем, че избраният ъгъл θ е разположен срещу указаната страна ° С. В резултат на това получихме триъгълник ABD с ъгъл θ, който се намира срещу страната аи партита r. Вторият триъгълник се образува от ъгъла θ, който е разположен срещу страната bи партита сдължина с, както е показано на снимката. Сабит Ибн Кура твърди, че страните в тези три триъгълника са свързани по следния начин:
Когато ъгълът θ се доближава до π/2, основата на равнобедрения триъгълник става по-малка и двете страни r и s се припокриват все по-малко. Когато θ = π/2, ADB става правоъгълен триъгълник, r + с = ° Си получаваме първоначалната Питагорова теорема.
Нека разгледаме един от аргументите. Триъгълник ABC има същите ъгли като триъгълник ABD, но в обратен ред. (Два триъгълника имат общ ъгълпри връх B, и двата имат ъгъл θ и също имат същия трети ъгъл, чрез сумата от ъглите на триъгълника) Съответно ABC е подобно на отражението ABD на триъгълника DBA, както е показано на долната фигура. Нека запишем връзката между противоположните страни и тези, съседни на ъгъла θ,
Също отражение на друг триъгълник,
Нека умножим дробите и съберем тези две съотношения:
Q.E.D.
Обобщение за произволни триъгълници чрез успоредници
Обобщение за произволни триъгълници,
зелена площ парцел = площсин
Доказателство за тезата, че на фигурата по-горе
Нека направим допълнително обобщение за неправоъгълни триъгълници, като използваме успоредници на три страни вместо квадрати. (квадратите са специален случай.) Горната фигура показва, че за остроъгълен триъгълник площта на успоредника по дългата страна е равна на сбора от успоредниците на другите две страни, при условие че успоредникът по дългата страна е конструирана, както е показано на фигурата (размерите, посочени със стрелките, са еднакви и определят страните на долния успоредник). Тази замяна на квадрати с успоредници има ясна прилика с първоначалната теорема на Питагор, за която се смята, че е формулирана от Пап от Александрия през 4 г. сл. Хр. д.
Долната фигура показва напредъка на доказателството. Нека погледнем лявата страна на триъгълника. Левият зелен успоредник има същата площ като лява странасин успоредник, защото имат еднаква основа bи височина ч. Освен това левият зелен успоредник има същата площ като левия зелен успоредник в горната снимка, тъй като споделят обща основа (горна лявата странатриъгълник) и общата височина, перпендикулярна на тази страна на триъгълника. Използвайки подобни разсъждения за дясната страна на триъгълника, ще докажем, че долният успоредник има същата площ като двата зелени успоредника.
Комплексни числа
Теоремата на Питагор се използва за намиране на разстоянието между две точки в декартова координатна система и тази теорема е валидна за всички истински координати: разстояние смежду две точки ( а, б) И ( c,d) равно на
Няма проблеми с формулата, ако комплексните числа се третират като вектори с реални компоненти х + аз г = (х, г). . Например разстояние смежду 0 + 1 iи 1 + 0 iизчислено като модул на вектора (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), или
Въпреки това, за операции с вектори със сложни координати е необходимо да се направят някои подобрения във формулата на Питагор. Разстояние между точки с комплексни числа (а, b) И ( ° С, д); а, b, ° С, И двсички сложни, нека формулираме с помощта абсолютни стойности. Разстояние сна база векторна разлика (а − ° С, b − д) в следната форма: нека разликата а − ° С = стр+ i р, Където стр- реална част от разликата, ре имагинерната част и i = √(−1). По същия начин нека b − д = r+ i с. Тогава:
където е комплексно спрегнатото число за . Например разстоянието между точките (а, b) = (0, 1) И (° С, д) = (i, 0) , нека изчислим разликата (а − ° С, b − д) = (−i, 1) и резултатът ще бъде 0, ако не се използват комплексни конюгати. Следователно, използвайки подобрената формула, получаваме
Модулът се дефинира, както следва:
Стереометрия
Значително обобщение на Питагоровата теорема за тримерното пространство е теоремата на де Гой, наречена на Ж.-П. de Gois: ако тетраедърът има прав ъгъл (както в куб), тогава квадратът на площта на лицето срещу правия ъгъл е равен на сумата от квадратите на площите на другите три лица. Това заключение може да се обобщи като " н-мерна питагорова теорема":
Питагорова теорема триизмерно пространствосвързва диагонала AD с три страни.
Друго обобщение: Питагоровата теорема може да се приложи към стереометрията в следната форма. Помислете за правоъгълен паралелепипед, както е показано на фигурата. Нека намерим дължината на диагонала BD с помощта на Питагоровата теорема:
където трите страни образуват правоъгълен триъгълник. Използваме хоризонталния диагонал BD и вертикалния ръб AB, за да намерим дължината на диагонала AD, за това отново използваме Питагоровата теорема:
или, ако запишем всичко в едно уравнение:
Този резултат е триизмерен израз за определяне на големината на вектора v(диагонал AD), изразен чрез неговите перпендикулярни компоненти ( v k) (три взаимно перпендикулярни страни):
Това уравнение може да се разглежда като обобщение на Питагоровата теорема за многомерното пространство. Резултатът обаче всъщност не е нищо повече от многократно прилагане на Питагоровата теорема към поредица от правоъгълни триъгълници в последователно перпендикулярни равнини.
Векторно пространство
В случай на ортогонална система от вектори има равенство, което се нарича още Питагорова теорема:
Ако - това са проекции на вектора върху координатните оси, тогава тази формула съвпада с евклидовото разстояние - и означава, че дължината на вектора е равна на корен квадратен от сумата от квадратите на неговите компоненти.
Аналогът на това равенство в случай на безкрайна система от вектори се нарича равенство на Парсевал.
Неевклидова геометрия
Питагоровата теорема е извлечена от аксиомите на евклидовата геометрия и всъщност не е валидна за неевклидовата геометрия във формата, в която е написана по-горе. (Тоест Питагоровата теорема се оказва един вид еквивалент на постулата на Евклид за паралелизъм) С други думи, в неевклидовата геометрия връзката между страните на триъгълника задължително ще бъде във форма, различна от Питагоровата теорема. Например в сферичната геометрия и трите страни на правоъгълен триъгълник (да речем а, bИ ° С), които ограничават октанта (осмата част) на единичната сфера, имат дължина π/2, което противоречи на Питагоровата теорема, т.к. а 2 + b 2 ≠ ° С 2 .
Нека разгледаме тук два случая на неевклидова геометрия - сферична и хиперболична геометрия; и в двата случая, както и за евклидовото пространство за правоъгълни триъгълници, резултатът, който замества Питагоровата теорема, следва от косинусовата теорема.
Питагоровата теорема обаче остава валидна за хиперболична и елиптична геометрия, ако изискването триъгълникът да е правоъгълен се замени с условието, че сборът от два ъгъла на триъгълника трябва да бъде равен на третия, да речем А+б = ° С. Тогава връзката между страните изглежда така: сумата от площите на кръгове с диаметри аИ bравна на площта на кръг с диаметър ° С.
Сферична геометрия
За всеки правоъгълен триъгълник върху сфера с радиус Р(например, ако ъгълът γ в триъгълник е прав) със страни а, b, ° СОтношенията между страните ще изглеждат така:
Това равенство може да се изведе като специален случайсферична косинусова теорема, която е валидна за всички сферични триъгълници:
където cosh е хиперболичният косинус. Тази формула е специален случай на хиперболичната косинусова теорема, която е валидна за всички триъгълници:
където γ е ъгълът, чийто връх е противоположен на страната ° С.
Където ж ijсе нарича метричен тензор. Може да е функция на позицията. Такива криволинейни пространства включват риманова геометрия като общ пример. Тази формулировка е подходяща и за евклидово пространство, когато се използват криволинейни координати. Например за полярни координати:
Векторни произведения на изкуството
Питагоровата теорема свързва два израза за големината на векторно произведение. Един подход за дефиниране на кръстосано произведение изисква той да отговаря на уравнението:
тази формула използва точковия продукт. Правилната странауравнението се нарича детерминанта на Грам за аИ b, което е равно на площта на успоредника, образуван от тези два вектора. Въз основа на това изискване, както и на изискването векторното произведение да е перпендикулярно на неговите компоненти аИ bследва, че с изключение на тривиални случаи от 0- и 1-мерно пространство, кръстосаното произведение е дефинирано само в три и седем измерения. Използваме дефиницията на ъгъла в н-измерително пространство:
Това свойство на кръстосано произведение дава неговата величина, както следва:
Чрез фундаменталното тригонометрично тъждество на Питагор получаваме друга форма на запис на неговата стойност:
Алтернативен подход за дефиниране на кръстосано произведение е използването на израз за неговата величина. След това, разсъждавайки в обратен ред, получаваме връзка със скаларното произведение:
Вижте също
Бележки
- Историческа тема: Теоремата на Питагор във вавилонската математика
- ( , стр. 351) стр
- ( , том I, стр. 144)
- Дискусия исторически фактидаден в (, стр. 351) стр. 351
- Курт фон Фриц (април 1945 г.). „Откриването на несъизмеримостта от Хипас от Метапонт“. Анали на математиката, втора серия(Анали на математиката) 46 (2): 242–264.
- Луис Карол, „Историята с възли“, М., Мир, 1985 г., стр. 7
- Асгер АбоеЕпизоди от ранната история на математиката. - Mathematical Association of America, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
- Предложение за Pythonот Елиша Скот Лумис
- на Евклид Елементи: Книга VI, Твърдение VI 31: „В правоъгълните триъгълници фигурата от страната, обхващаща правия ъгъл, е равна на подобните и подобно описани фигури от страните, съдържащи правия ъгъл.“
- Лорънс С. Леф цитиран труд. - Образователна поредица на Барън - стр. 326. - ISBN 0764128922
- Хауърд Уитли Ивс§4.8:...обобщение на Питагоровата теорема // Велики моменти в математиката (преди 1650 г.). - Mathematical Association of America, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
- Tâbit ibn Qorra (пълно име Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 г. сл. н. е.) е лекар, живеещ в Багдад, който пише много за Елементите на Евклид и други математически теми.
- Айдън Сайили (март 1960 г.). „Обобщението на Питагоровата теорема от Thâbit ibn Qurra.“ Изида 51 (1): 35–37. DOI:10.1086/348837.
- Джудит Д. Сали, Пол СалиУпражнение 2.10 (ii) // Цитирано произведение. - С. 62. - ISBN 0821844032
- За подробности относно такава конструкция вж Джордж ДженингсФигура 1.32: Обобщена Питагорова теорема // Съвременна геометрия с приложения: със 150 фигури. - 3-то. - Springer, 1997. - P. 23. - ISBN 038794222X
- Арлен Браун, Карл М. ПиърсиВещ ° С: Норма за произволно н-кортеж ... // Въведение в анализа. - Springer, 1995. - P. 124. - ISBN 0387943692Вижте също страници 47-50.
- Алфред Грей, Елза Абена, Саймън СаламонСъвременна диференциална геометрия на криви и повърхнини с Mathematica. - 3-то. - CRC Press, 2006. - С. 194. - ISBN 1584884487
- Раджендра БхатияМатричен анализ. - Springer, 1997. - P. 21. - ISBN 0387948465
- Стивън У. Хокинг цитиран труд. - 2005. - С. 4. - ISBN 0762419229
- Ерик У. Вайсщайн CRC кратка енциклопедия по математика. - 2-ро. - 2003. - С. 2147. - ISBN 1584883472
- Александър Р. Прус
Когато за първи път сте започнали да учите за квадратни корени и как да решавате ирационални уравнения (равенства, включващи неизвестно под знака за корен), вероятно сте усетили за първи път практическите им приложения. Възможност за извличане Корен квадратенот числа също е необходимо за решаване на проблеми с помощта на Питагоровата теорема. Тази теорема свързва дължините на страните на всеки правоъгълен триъгълник.
Нека дължините на катетите на правоъгълен триъгълник (тези две страни, които се срещат под прав ъгъл) са обозначени с буквите и, а дължината на хипотенузата (най-дългата страна на триъгълника, разположена срещу правия ъгъл) ще бъде обозначена с писмото. Тогава съответните дължини са свързани със следната връзка:
Това уравнение ви позволява да намерите дължината на страна на правоъгълен триъгълник, когато е известна дължината на другите му две страни. Освен това ви позволява да определите дали въпросният триъгълник е правоъгълен, при условие че дължините на трите страни са известни предварително.
Решаване на задачи с помощта на Питагоровата теорема
За да консолидираме материала, ще решим следните задачи, използвайки теоремата на Питагор.
И така, като се има предвид:
- Дължината на един от краката е 48, хипотенузата е 80.
- Дължината на крака е 84, хипотенузата е 91.
Да стигнем до решението:
а) Заместването на данните в горното уравнение дава следните резултати:
48 2 + b 2 = 80 2
2304 + b 2 = 6400
b 2 = 4096
b= 64 или b = -64
Тъй като дължината на една страна на триъгълник не може да бъде изразена отрицателно число, втората опция автоматично се отхвърля.
Отговор на първата снимка: b = 64.
б) Дължината на катета на втория триъгълник се намира по същия начин:
84 2 + b 2 = 91 2
7056 + b 2 = 8281
b 2 = 1225
b= 35 или b = -35
Както в предишния случай, отрицателното решение се отхвърля.
Отговор на втората снимка: b = 35
Дадено ни е:
- Дължините на по-малките страни на триъгълника са съответно 45 и 55, а по-големите страни са 75.
- Дължините на по-малките страни на триъгълника са съответно 28 и 45, а на по-големите са 53.
Нека решим проблема:
а) Необходимо е да се провери дали сборът от квадратите на дължините на по-късите страни на даден триъгълник е равен на квадрата на дължината на по-големия:
45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050
Следователно първият триъгълник не е правоъгълен.
б) Извършва се същата операция:
28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809
Следователно вторият триъгълник е правоъгълен триъгълник.
Първо, нека намерим дължината на най-големия сегмент, образуван от точки с координати (-2, -3) и (5, -2). За това използваме добре позната формулаза да намерите разстоянието между точките в правоъгълна координатна система:
По същия начин намираме дължината на сегмента, ограден между точки с координати (-2, -3) и (2, 1):
Накрая определяме дължината на сегмента между точки с координати (2, 1) и (5, -2):
Тъй като равенството е в сила:
тогава съответният триъгълник е правоъгълен.
Така можем да формулираме отговора на проблема: тъй като сумата от квадратите на страните с най-къса дължина е равна на квадрата на страната с най-голяма дължина, точките са върховете на правоъгълен триъгълник.
Основата (разположена строго хоризонтално), преградата (разположена строго вертикално) и кабелът (опънат диагонално) образуват съответно правоъгълен триъгълник, за да се намери дължината на кабела, може да се използва Питагоровата теорема:
Така дължината на кабела ще бъде приблизително 3,6 метра.
Дадено: разстоянието от точка R до точка P (катета на триъгълника) е 24, от точка R до точка Q (хипотенуза) е 26.
Така че, нека помогнем на Вита да реши проблема. Тъй като се предполага, че страните на триъгълника, показан на фигурата, образуват правоъгълен триъгълник, можете да използвате Питагоровата теорема, за да намерите дължината на третата страна:
И така, ширината на езерото е 10 метра.
Сергей Валериевич
Питагорова теорема- една от основните теореми на евклидовата геометрия, установяваща връзката
между страните на правоъгълен триъгълник.
Смята се, че е доказано от гръцкия математик Питагор, на когото е кръстено.
Геометрична формулировка на Питагоровата теорема.
Първоначално теоремата е формулирана по следния начин:
В правоъгълен триъгълник площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сумата от площите на квадратите,
построен на крака.
Алгебрична формулировка на Питагоровата теорема.
В правоъгълен триъгълник квадратът на дължината на хипотенузата е равен на сумата от квадратите на дължините на катетите.
Тоест, означаване на дължината на хипотенузата на триъгълника с ° С, и дължините на краката през аИ b:
И двете формулировки Питагорова теоремаса еквивалентни, но втората формулировка е по-елементарна, не е така
изисква концепцията за площ. Тоест второто твърдение може да се провери, без да се знае нищо за района и
чрез измерване само на дължините на страните на правоъгълен триъгълник.
Обратна теорема на Питагор.
Ако квадратът на едната страна на триъгълник е равен на сумата от квадратите на другите две страни, тогава
правоъгълен триъгълник.
Или с други думи:
За всяка тройка положителни числа а, bИ ° С, така че
има правоъгълен триъгълник с катети аИ bи хипотенуза ° С.
Питагорова теорема за равнобедрен триъгълник.
Питагорова теорема за равностранен триъгълник.
Доказателства на Питагоровата теорема.
Понастоящем в научната литература са записани 367 доказателства на тази теорема. Вероятно теоремата
Питагоровата теорема е единствената теорема с толкова впечатляващ брой доказателства. Такова разнообразие
може да се обясни само с фундаменталното значение на теоремата за геометрията.
Разбира се, концептуално всички те могат да бъдат разделени на малък брой класове. Най-известните от тях:
доказателство метод на площта, аксиоматиченИ екзотични доказателства(Например,
като се използва диференциални уравнения).
1. Доказателство на Питагоровата теорема с помощта на подобни триъгълници.
Следното доказателство на алгебричната формулировка е най-простото от конструираните доказателства
директно от аксиомите. По-специално, той не използва понятието площ на фигура.
Позволявам ABCима правоъгълен триъгълник с прав ъгъл ° С. Нека начертаем височината от ° Си обозначават
нейната основа чрез з.
Триъгълник ACHподобен на триъгълник AB C в два ъгъла. По същия начин, триъгълник CBHподобен ABC.
Чрез въвеждане на нотацията:
получаваме:
,
което съответства на -
Сгъната а 2 и b 2, получаваме:
или , което трябваше да се докаже.
2. Доказателство на Питагоровата теорема чрез метода на площта.
Доказателствата по-долу, въпреки привидната им простота, изобщо не са толкова прости. Всички тях
използват свойства на площта, чиито доказателства са по-сложни от доказателството на самата Питагорова теорема.
- Доказателство чрез еквикомплементарност.
Нека подредим четири равни правоъгълника
триъгълник, както е показано на фигурата
на дясно.
Четириъгълник със страни ° С- квадрат,
тъй като сумата от два остри ъгъла е 90°, и
ъгъл разгънат - 180°.
Площта на цялата фигура е равна, от една страна,
площ на квадрат със страна ( a+b), а от друга страна, сумата от площите на четири триъгълника и
Q.E.D.
3. Доказателство на Питагоровата теорема по метода на безкрайно малките.
Разглеждайки чертежа, показан на фигурата и
гледам как се сменя странатаа, ние можем
напишете следната връзка за безкрайно
малък странични увеличениясИ а(използвайки прилика
триъгълници):
Използвайки метода за разделяне на променливи, намираме:
По-общ израз за промяната на хипотенузата в случай на увеличения от двете страни:
Интегрирайки това уравнение и използвайки началните условия, получаваме:
Така стигаме до желания отговор:
Както е лесно да се види, квадратичната зависимост в крайната формула се появява поради линейната
пропорционалност между страните на триъгълника и увеличенията, докато сумата е свързана с независимата
приноси от нарастването на различни крака.
Може да се получи по-просто доказателство, ако приемем, че един от краката не изпитва увеличение
(в този случай крака b). Тогава за константата на интегриране получаваме:
Питагорова теорема
По същия начин, триъгълник CBH е подобен на ABC. Чрез въвеждане на нотацията 
1. Поставете четири равни правоъгълни триъгълника, както е показано на фигурата. 
Идеята на доказателството на Евклид е следната: нека се опитаме да докажем, че половината от площта на квадрата, построен върху хипотенузата, е равна на сбора от половините площи на квадратите, построени върху краката, и след това площите на големият и двата малки квадрата са равни. Нека погледнем чертежа вляво. На него построихме квадрати на страните на правоъгълен триъгълник и начертахме лъч s от върха на правия ъгъл C, перпендикулярен на хипотенузата AB, той разрязва квадрата ABIK, построен върху хипотенузата, на два правоъгълника - BHJI и HAKJ, съответно. Оказва се, че площите на тези правоъгълници са точно равни на площите на квадратите, построени върху съответните крака. Нека се опитаме да докажем, че площта на квадрата DECA е равна на площта на правоъгълника AHJK. За да направим това, ще използваме спомагателно наблюдение: Площта на триъгълник със същата височина и основа като. дадения правоъгълник е равен на половината от площта на дадения правоъгълник. Това е следствие от определянето на площта на триъгълник като половината от произведението на основата и височината. От това наблюдение следва, че площта на триъгълника ACK е равна на площта на триъгълника AHK (не е показан на фигурата), който от своя страна е равен на половината от площта на правоъгълника AHJK. Нека сега докажем, че площта на триъгълника ACK също е равна на половината от площта на квадрата DECA. Единственото нещо, което трябва да се направи за това, е да се докаже равенството на триъгълниците ACK и BDA (тъй като площта на триъгълника BDA е равна на половината от площта на квадрата според горното свойство). Това равенство е очевидно, триъгълниците са равни от двете страни и ъгъла между тях. А именно - AB=AK,AD=AC - равенството на ъглите CAK и BAD се доказва лесно по метода на движението: завъртаме триъгълника CAK на 90° обратно на часовниковата стрелка, тогава е очевидно, че съответните страни на двата триъгълника в въпросът ще съвпадне (поради факта, че ъгълът при върха на квадрата е 90°). Разсъждението за равенството на лицата на квадрата BCFG и правоъгълника BHJI е напълно сходно. По този начин доказахме, че площта на квадрат, построен върху хипотенузата, се състои от площите на квадратите, построени върху краката. 
Нека разгледаме чертежа, както се вижда от симетрията, сегментът CI разрязва квадрата ABHJ на две еднакви части (тъй като триъгълниците ABC и JHI са равни по конструкция). Използвайки завъртане на 90 градуса обратно на часовниковата стрелка, виждаме равенството на защрихованите фигури CAJI и GDAB. Сега е ясно, че площта на фигурата, която сме засенчили, е равна на сумата от половината от площите на квадратите, изградени върху краката, и площта на оригиналния триъгълник. От друга страна, той е равен на половината от площта на квадрата, построен върху хипотенузата, плюс площта на оригиналния триъгълник. Последната стъпка в доказателството е оставена на читателя.
