В този урок ще разгледаме различни експоненциални неравенства и ще научим как да ги решаваме въз основа на техниката за решаване на най-простите експоненциални неравенства
1. Определение и свойства на експоненциална функция
Нека си припомним определението и основните свойства на експоненциалната функция. Решението на всички експоненциални уравнения и неравенства се основава на тези свойства.
Експоненциална функцияе функция от формата , където основата е степента и Тук x е независимата променлива, аргумент; y е зависимата променлива, функция.
ориз. 1. Графика на експоненциална функция
Графиката показва нарастващи и намаляващи експоненти, илюстрирайки експоненциалната функция с основа, съответно по-голяма от едно и по-малка от единица, но по-голяма от нула.
И двете криви минават през точката (0;1)
Свойства на експоненциалната функция:
Обхват: ;
Диапазон от стойности: ;
Функцията е монотонна, нараства с, намалява с.
Монотонната функция приема всяка от своите стойности при дадена стойност на един аргумент.
Когато , когато аргументът нараства от минус до плюс безкрайност, функцията нараства от нула включително до плюс безкрайност, т.е. за дадени стойности на аргумента имаме монотонно нарастваща функция (). Напротив, когато аргументът нараства от минус до плюс безкрайност, функцията намалява от безкрайност до нула включително, т.е. за дадени стойности на аргумента имаме монотонно намаляваща функция ().
2. Най-простите показателни неравенства, метод на решение, пример
Въз основа на горното, ние представяме метод за решаване на прости експоненциални неравенства:
Техника за решаване на неравенства:
Изравняване на основите на степени;
Сравнете показателите чрез запазване или промяна на противоположен знакнеравенства.
Решението на сложните експоненциални неравенства обикновено се състои в свеждането им до най-простите експоненциални неравенства.
Основата на степента е по-голяма от единица, което означава, че знакът за неравенство се запазва:
Да се трансформираме дясната странаспоред свойствата на степента:
Основата на степента е по-малка от единица, знакът за неравенство трябва да бъде обърнат:
За да решим квадратното неравенство, решаваме съответното квадратно уравнение:
Използвайки теоремата на Виета намираме корените:
Клоните на параболата са насочени нагоре.
Така имаме решение на неравенството:
Лесно е да се досетите, че дясната страна може да бъде представена като степен с показател нула:
Основата на степента е по-голяма от единица, знакът за неравенство не се променя, получаваме:
Нека си припомним техниката за решаване на такива неравенства.
Помислете за дробно-рационалната функция:
Намираме областта на дефиницията:
Намиране на корените на функцията:
Функцията има един корен, 
Избираме интервали с постоянен знак и определяме знаците на функцията на всеки интервал:
ориз. 2. Интервали на постоянство на знака
Така получихме отговора.
отговор: 
3. Решаване на стандартни експоненциални неравенства
Нека разгледаме неравенства с еднакви показатели, но различни основи.
Едно от свойствата на експоненциалната функция е, че тя приема строго положителни стойности за всяка стойност на аргумента, което означава, че може да бъде разделена на експоненциална функция. Нека разделим даденото неравенство на дясната му страна:
Основата на степента е по-голяма от единица, знакът за неравенство се запазва.
Нека илюстрираме решението:
Фигура 6.3 показва графики на функции и . Очевидно, когато аргументът е по-голям от нула, графиката на функцията е по-висока, тази функция е по-голяма. Когато стойностите на аргумента са отрицателни, функцията отива по-ниско, тя е по-малка. Когато аргументът е равен, функциите са равни, което означава дадена точкасъщо е решение на даденото неравенство.
ориз. 3. Илюстрация за пример 4
Нека трансформираме даденото неравенство според свойствата на степента:
Ето някои подобни термини:
Нека разделим двете части на:
Сега продължаваме да решаваме подобно на пример 4, разделете двете части на:
Основата на степента е по-голяма от единица, знакът за неравенство остава:
4. Графично решаване на показателни неравенства
Пример 6 – Решете неравенството графично:
Нека да разгледаме функциите от лявата и дясната страна и да изградим графика за всяка от тях.
Функцията е експоненциална и нараства в цялата си област на дефиниция, т.е. за всички реални стойности на аргумента.
Функцията е линейна и намалява в цялата си област на дефиниция, т.е. за всички реални стойности на аргумента.
Ако тези функции се пресичат, тоест системата има решение, тогава такова решение е уникално и може лесно да се познае. За да направим това, ние итерираме цели числа ()
Лесно е да се види, че коренът на тази система е:
Така графиките на функциите се пресичат в точка с аргумент равен на единица.
Сега трябва да получим отговор. Значението на даденото неравенство е, че показателят трябва да е по-голям или равен на линейна функция, тоест да е по-високо или да съвпада с него. Отговорът е очевиден: (Фигура 6.4)
ориз. 4. Илюстрация за пример 6
И така, разгледахме решаването на различни стандартни експоненциални неравенства. След това преминаваме към разглеждане на по-сложни експоненциални неравенства.
Референции
Мордкович А. Г. Алгебра и принципи математически анализ. - М.: Мнемозина. Muravin G. K., Muravin O. V. Алгебра и началото на математическия анализ. - М.: Дропла. Колмогоров А. Н., Абрамов А. М., Дудницин Ю. и др. Алгебра и началото на математическия анализ. - М.: Просвещение.
математика md. Математика-повторение. com. Diffur. кемсу. ru.
домашна работа
1. Алгебра и началото на анализа, 10-11 клас (А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин) 1990 г., № 472, 473;
2. Решете неравенството:
3. Решете неравенство.
Нека да разгледаме как се решават експоненциални неравенства, включващи степени с различни основи. Решението на такива неравенства е подобно на решението на съответните.
(5^((x^2) - x - 1)) - (2^((x^2) - x))\]" title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Групираме степени с еднакви бази. По-удобно е да ги разделите на противоположните страни на неравенството:
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
От всяка двойка степени изваждаме от скоби общия множител - степента с по-малък показател. Изваждането на общия множител извън скобите означава разделяне на всеки член на този множител. Когато разделяме степени с еднакви основи, оставяме основата същата и изваждаме показателите:
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Можете веднага да разделите на 20 (20=4∙5), но практиката показва, че разделянето на два етапа ви позволява да избегнете възможни грешки:
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Тъй като основата е 2/5<1, показательная функция
намалява, следователно знакът на неравенството между показателите се променя на противоположния:
Нека решим квадратното неравенство с помощта на интервалния метод. Нулите на функцията от лявата страна на неравенството са x1=-1; х2=2. Отбелязваме ги на числовата ос.
За да проверите знака, вземете нула: 0²-0-2=-2, в интервала, към който принадлежи нулата, поставете „-“. Подреждаме останалите знаци в шахматен ред. Тъй като решаваме неравенство, в което лявата страна е по-малка от нула, избираме интервала със знака „-“.
Отговор: x ∈ (-1; 2).
Вариант на неравенства от този тип е, че всички степени имат еднакви основи, но се различават по коефициентите на x в показателите.
От лявата страна поставяме извън скоби степента с най-нисък показател
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Стигнахме до експоненциално неравенство. Тъй като основата 7>1, функцията
нараства, знакът на неравенството между показателите не се променя:
За да разрешим това неравенство с помощта на интервалния метод, преместваме всички членове на лявата странаи намалете дробите до
Решаването на повечето математически проблеми по един или друг начин включва трансформиране на числови, алгебрични или функционални изрази. Горното се отнася особено за решението. Във версиите на Единния държавен изпит по математика този тип задачи включват по-специално задача C3. Да се научите да решавате задачи C3 е важно не само за целите на успешното полагане на Единния държавен изпит, но и поради причината, че това умение ще бъде полезно при изучаване на курс по математика в гимназията.
Когато изпълнявате задачи C3, трябва да решите различни видовеуравнения и неравенства. Сред тях са рационални, ирационални, експоненциални, логаритмични, тригонометрични, съдържащи модули ( абсолютни стойности), както и комбинирани. В тази статия се обсъждат основните видове експоненциални уравнения и неравенства, както и различни методитехните решения. Прочетете за решаването на други видове уравнения и неравенства в раздела „“ в статиите, посветени на методите за решаване на задачи C3 от Опции за единен държавен изпитпо математика.
Преди да започнем да анализираме конкретни експоненциални уравнения и неравенства, като учител по математика, ви предлагам да освежите малко теоретичен материал, който ще ни е необходим.
Експоненциална функция
Какво е експоненциална функция?
Функция на формата г = a x, Къде а> 0 и а≠ 1 се извиква експоненциална функция.
Основен свойства на експоненциалната функция г = a x:
Графика на експоненциална функция
Графиката на експоненциалната функция е експонент:
Графики на експоненциални функции (експоненти)
Решаване на експоненциални уравнения
Показателносе наричат уравнения, в които неизвестната променлива се намира само в показатели на някои степени.
За решаване експоненциални уравнениятрябва да знаете и да можете да използвате следната проста теорема:
Теорема 1.Експоненциално уравнение а f(х) = а ж(х) (Къде а > 0, а≠ 1) е еквивалентно на уравнението f(х) = ж(х).
Освен това е полезно да запомните основните формули и операции със степени:
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Пример 1.Решете уравнението:
Решение:Използваме горните формули и заместване:
Тогава уравнението става:
Дискриминантът на полученото квадратно уравнение е положителен:
Title="Изобразено от QuickLaTeX.com">!}
Това означава, че това уравнение има два корена. Намираме ги:
Преминавайки към обратното заместване, получаваме:
Второто уравнение няма корени, тъй като експоненциалната функция е строго положителна в цялата област на дефиниция. Нека решим второто:
Като вземем предвид казаното в теорема 1, преминаваме към еквивалентното уравнение: х= 3. Това ще бъде отговорът на задачата.
отговор: х = 3.
Пример 2.Решете уравнението:
Решение:Уравнението няма ограничения за обхвата на допустимите стойности, тъй като радикалният израз има смисъл за всяка стойност х(експоненциална функция г = 9 4 -xположителен и не равен на нула).
Решаваме уравнението чрез еквивалентни трансформацииизползвайки правилата за умножение и деление на степени:
Последният преход беше извършен в съответствие с теорема 1.
отговор:х= 6.
Пример 3.Решете уравнението:
Решение:двете части оригинално уравнениеможе да се раздели на 0,2 х. Този преход ще бъде еквивалентен, тъй като този израз е по-голям от нула за всяка стойност х(експоненциалната функция е строго положителна в своята област на дефиниция). Тогава уравнението приема формата:
отговор: х = 0.
Пример 4.Решете уравнението:
Решение:ние опростяваме уравнението до елементарно чрез еквивалентни трансформации, използвайки правилата за деление и умножение на степени, дадени в началото на статията:
Разделяне на двете страни на уравнението на 4 х, както в предишния пример, е еквивалентна трансформация, тъй като този израз не е равен на нула за никакви стойности х.
отговор: х = 0.
Пример 5.Решете уравнението:
Решение:функция г = 3х, стоящ от лявата страна на уравнението, нараства. функция г = —х-2/3 от дясната страна на уравнението намалява. Това означава, че ако графиките на тези функции се пресичат, то най-много една точка. IN в този случайне е трудно да се досетите, че графиките се пресичат в точката х= -1. Други корени няма да има.
отговор: х = -1.
Пример 6.Решете уравнението:
Решение:ние опростяваме уравнението чрез еквивалентни трансформации, като имаме предвид навсякъде, че експоненциалната функция е строго по-голяма от нула за всяка стойност хи използвайки правилата за изчисляване на произведението и частното на степените, дадени в началото на статията:
отговор: х = 2.
Решаване на експоненциални неравенства
Показателносе наричат неравенства, в които неизвестната променлива се съдържа само в показатели на някои степени.
За решаване експоненциални неравенстваизисква се познаване на следната теорема:
Теорема 2.Ако а> 1, тогава неравенството а f(х) > а ж(х) е еквивалентно на неравенство със същото значение: f(х) > ж(х). Ако 0< а < 1, то показательное неравенство а f(х) > а ж(х) е еквивалентно на неравенство с противоположно значение: f(х) < ж(х).
Пример 7.Решете неравенството:
Решение:Нека представим първоначалното неравенство във формата:
Нека разделим двете страни на това неравенство на 3 2 х, в този случай (поради положителността на функцията г= 3 2х) знакът за неравенство няма да се промени:
Нека използваме заместването:
Тогава неравенството ще приеме формата:
И така, решението на неравенството е интервалът:
преминавайки към обратното заместване, получаваме:
Поради положителността на експоненциалната функция, лявото неравенство се изпълнява автоматично. Използвайки добре известното свойство на логаритъма, преминаваме към еквивалентното неравенство:
Тъй като основата на степента е число, по-голямо от едно, еквивалентен (по теорема 2) е преходът към следното неравенство:
И така, най-накрая получаваме отговор:
Пример 8.Решете неравенството:
Решение:Използвайки свойствата на умножение и деление на степени, пренаписваме неравенството във формата:
Нека въведем нова променлива:
Като се вземе предвид тази замяна, неравенството приема формата:
Умножавайки числителя и знаменателя на дробта по 7, получаваме следното еквивалентно неравенство:
И така, следните стойности на променливата удовлетворяват неравенството t:
След това, преминавайки към обратното заместване, получаваме:
Тъй като основата на степента тук е по-голяма от единица, преходът към неравенството ще бъде еквивалентен (по теорема 2):
Накрая получаваме отговор:
Пример 9.Решете неравенството:
Решение:
Разделяме двете страни на неравенството с израза:
Той винаги е по-голям от нула (поради положителността на експоненциалната функция), така че не е необходимо да променяте знака за неравенство. Получаваме:
t разположен в интервала:
Преминавайки към обратното заместване, откриваме, че първоначалното неравенство се разделя на два случая:
Първото неравенство няма решения поради положителността на експоненциалната функция. Нека решим второто:
Пример 10.Решете неравенството:
Решение:
Разклонения на парабола г = 2х+2-х 2 са насочени надолу, следователно е ограничен отгоре от стойността, която достига на върха си:
Разклонения на парабола г = х 2 -2х+2 в индикатора са насочени нагоре, което означава, че е ограничен отдолу от стойността, която достига в своя връх:
В същото време функцията също се оказва ограничена отдолу г = 3 х 2 -2х+2, което е от дясната страна на уравнението. Тя постига целта си най-ниска стойноств същата точка като параболата в експонентата и тази стойност е равна на 3 1 = 3. Така че първоначалното неравенство може да е вярно само ако функцията отляво и функцията отдясно приемат стойност, равна на 3 в същата точка (от пресечната точка. Диапазонът на стойностите на тези функции е само това число). Това условие е изпълнено в една точка х = 1.
отговор: х= 1.
За да се научите да решавате експоненциални уравнения и неравенства,необходимо е постоянно да се тренира в решаването им. Различни неща могат да ви помогнат в тази трудна задача. методически ръководства, задачници по начална математика, сборници със състезателни задачи, часовете по математика в училище, както и индивидуални уроцис професионален преподавател. От сърце Ви пожелавам успех в подготовката и отлични резултати на изпита.
Сергей Валериевич
P.S. Уважаеми гости! Моля, не пишете искания за решаване на вашите уравнения в коментарите. За съжаление, нямам абсолютно никакво време за това. Такива съобщения ще бъдат изтривани. Моля, прочетете статията. Може би в него ще намерите отговори на въпроси, които не са ви позволили да решите задачата си сами.
Показателни уравнения и неравенства са тези, при които неизвестното се съдържа в показателя.
Решаването на експоненциални уравнения често се свежда до решаването на уравнението a x = a b, където a > 0, a ≠ 1, x е неизвестно. Това уравнение има един корен x = b, тъй като следната теорема е вярна:
Теорема. Ако a > 0, a ≠ 1 и a x 1 = a x 2, тогава x 1 = x 2.
Нека обосновем разгледаното твърдение.
Да приемем, че равенството x 1 = x 2 не е в сила, т.е. х 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, тогава експоненциалната функция y = a x нараства и следователно неравенството a x 1 трябва да бъде изпълнено< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. И в двата случая получихме противоречие с условието a x 1 = a x 2.
Нека разгледаме няколко проблема.
Решете уравнението 4 ∙ 2 x = 1.
Решение.
Нека запишем уравнението във вида 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, от което получаваме x + 2 = 0, т.е. х = -2.
отговор. х = -2.
Решете уравнение 2 3x ∙ 3 x = 576.
Решение.
Тъй като 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, уравнението може да се запише като 8 x ∙ 3 x = 24 2 или като 24 x = 24 2.
От тук получаваме x = 2.
отговор. х = 2.
Решете уравнението 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.
Решение.
Изваждайки общия множител 3 x - 2 извън скобите от лявата страна, получаваме 3 x - 2 ∙ (3 3 – 2) = 25 – 3 x - 2 ∙ 25 = 25,
откъдето 3 x - 2 = 1, т.е. x – 2 = 0, x = 2.
отговор. х = 2.
Решете уравнението 3 x = 7 x.
Решение.
Тъй като 7 x ≠ 0, уравнението може да бъде записано като 3 x /7 x = 1, откъдето (3/7) x = 1, x = 0.
отговор. х = 0.
Решете уравнението 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.
Решение.
Чрез заместване на 3 x = a това уравнение се свежда до квадратно уравнение a 2 – 4a – 45 = 0.
Решавайки това уравнение, намираме неговите корени: a 1 = 9 и 2 = -5, откъдето 3 x = 9, 3 x = -5.
Уравнението 3 x = 9 има корен 2, а уравнението 3 x = -5 няма корени, тъй като експоненциалната функция не може да приема отрицателни стойности.
отговор. х = 2.
Решаването на експоненциални неравенства често се свежда до решаване на неравенствата a x > a b или a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.
Нека да разгледаме някои проблеми.
Решете неравенство 3 x< 81.
Решение.
Нека запишем неравенството във формата 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, тогава функцията y = 3 x е нарастваща.
Следователно за х< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .
Така при х< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 х< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.
отговор. X< 4.
Решете неравенството 16 x +4 x – 2 > 0.
Решение.
Нека означим 4 x = t, тогава получаваме квадратното неравенство t2 + t – 2 > 0.
Това неравенство е в сила за t< -2 и при t > 1.
Тъй като t = 4 x, получаваме две неравенства 4 x< -2, 4 х > 1.
Първото неравенство няма решения, тъй като 4 x > 0 за всички x € R.
Второто неравенство записваме във вида 4 x > 4 0, откъдето x > 0.
отговор. x > 0.
Решете графично уравнението (1/3) x = x – 2/3.
Решение.
1) Да построим графики на функциите y = (1/3) x и y = x – 2/3.
2) Въз основа на нашата фигура можем да заключим, че графиките на разглежданите функции се пресичат в точката с абсцисата x ≈ 1. Проверката доказва, че
x = 1 е коренът на това уравнение:
(1/3) 1 = 1/3 и 1 – 2/3 = 1/3.
С други думи, намерихме един от корените на уравнението. 
3) Да намерим други корени или да докажем, че няма такива. Функцията (1/3) x е намаляваща, а функцията y = x – 2/3 е нарастваща. Следователно при x > 1 стойностите на първата функция са по-малки от 1/3, а на втората – повече от 1/3; при х< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 и х< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.
отговор. х = 1.
Обърнете внимание, че от решението на тази задача по-специално следва, че неравенството (1/3) x > x – 2/3 е изпълнено за x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.
уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.
Много хора смятат, че експоненциалните неравенства са нещо сложно и неразбираемо. И че да се научиш да ги решаваш е почти велико изкуство, което само Избраните могат да проумеят...
Пълни глупости! Експоненциалните неравенства са лесни. И винаги се решават просто. Е, почти винаги. :)
Днес ще разгледаме тази тема отвътре и отвън. Този урок ще бъде много полезен за тези, които тепърва започват да разбират този раздел от училищната математика. Да започнем с прости задачии ще преминем към по-сложни въпроси. Днес няма да има упорита работа, но това, което ще прочетете, ще бъде достатъчно за решаване на повечето неравенства на всякакви тестове и тестове. самостоятелна работа. И на този твой изпит също.
Както винаги, нека започнем с определение. Експоненциално неравенство е всяко неравенство, което съдържа експоненциална функция. С други думи, винаги може да се сведе до неравенство на формата
\[((a)^(x)) \gt b\]
Където ролята на $b$ може да бъде обикновено число или може би нещо по-трудно. Примери? Да моля:
\[\begin(align) & ((2)^(x)) \gt 4;\quad ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2));\ четворка ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01;\quad ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac (4 )(x))). \\\край (подравняване)\]
Мисля, че смисълът е ясен: има експоненциална функция $((a)^(x))$, тя се сравнява с нещо и след това се иска да се намери $x$. В частност клинични случаивместо променливата $x$ те могат да поставят някаква функция $f\left(x \right)$ и по този начин да усложнят малко неравенството.
Разбира се, в някои случаи неравенството може да изглежда по-сериозно. Ето например:
\[((9)^(x))+8 \gt ((3)^(x+2))\]
Или дори това:
Като цяло сложността на такива неравенства може да бъде много различна, но в крайна сметка те все пак се свеждат до простата конструкция $((a)^(x)) \gt b$. И ние по някакъв начин ще разберем такава конструкция (в особено клинични случаи, когато нищо не идва на ум, логаритмите ще ни помогнат). Затова сега ще ви научим как да решавате такива прости конструкции.
Решаване на прости експоненциални неравенства
Нека да разгледаме нещо много просто. Например това:
\[((2)^(x)) \gt 4\]
Очевидно числото отдясно може да се пренапише като степен на две: $4=((2)^(2))$. Така първоначалното неравенство може да бъде пренаписано в много удобна форма:
\[((2)^(x)) \gt ((2)^(2))\]
И сега ме сърбят ръцете да "задраскам" двойките в основите на степените, за да получа отговора $x \gt 2$. Но преди да зачеркнем нещо, нека си припомним силите на две:
\[((2)^(1))=2;\квад ((2)^(2))=4;\квад ((2)^(3))=8;\квад ((2)^( 4))=16;...\]
Както виждаме, отколкото по-голям бройе в експонента, толкова по-голямо е изходното число. „Благодаря, Кап!“ - ще възкликне един от учениците. Различно ли е? За съжаление се случва. Например:
\[((\left(\frac(1)(2) \right))^(1))=\frac(1)(2);\quad ((\left(\frac(1)(2) \ дясно))^(2))=\frac(1)(4);\quad ((\left(\frac(1)(2) \right))^(3))=\frac(1)(8 );...\]
Тук също всичко е логично: колкото по-голяма е степента, толкова повече пъти числото 0,5 се умножава по себе си (т.е. разделя се наполовина). Така получената редица от числа намалява, а разликата между първата и втората редица е само в основата:
- Ако основата на степен $a \gt 1$, тогава с увеличаването на експонентата $n$ числото $((a)^(n))$ също ще нараства;
- И обратно, ако $0 \lt a \lt 1$, тогава с нарастване на показателя $n$ числото $((a)^(n))$ ще намалява.
Обобщавайки тези факти, получаваме най-важното твърдение, на което се основава цялото решение на експоненциалните неравенства:
Ако $a \gt 1$, тогава неравенството $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентно на неравенството $x \gt n$. Ако $0 \lt a \lt 1$, тогава неравенството $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентно на неравенството $x \lt n$.
С други думи, ако основата е по-голяма от единица, можете просто да я премахнете - знакът за неравенство няма да се промени. И ако основата е по-малка от единица, тогава тя също може да бъде премахната, но в същото време ще трябва да промените знака за неравенство.
Моля, обърнете внимание, че не сме разгледали опциите $a=1$ и $a\le 0$. Защото в тези случаи възниква несигурност. Да кажем как да решим неравенство от вида $((1)^(x)) \gt 3$? Едно на която и да е сила отново ще даде едно - никога няма да получим три или повече. Тези. няма решения.
С негативни причини всичко е още по-интересно. Например, разгледайте това неравенство:
\[((\left(-2 \right))^(x)) \gt 4\]
На пръв поглед всичко е просто:
нали Но не! Достатъчно е да замените няколко четни и няколко нечетни числа вместо $x$, за да се уверите, че решението е неправилно. Разгледайте:
\[\begin(align) & x=4\Rightarrow ((\left(-2 \right))^(4))=16 \gt 4; \\ & x=5\Стрелка надясно ((\left(-2 \right))^(5))=-32 \lt 4; \\ & x=6\Стрелка надясно ((\left(-2 \right))^(6))=64 \gt 4; \\ & x=7\Стрелка надясно ((\left(-2 \right))^(7))=-128 \lt 4. \\\end(align)\]
Както можете да видите, знаците се редуват. Но има и дробни степени и други глупости. Как, например, бихте наредили да изчислите $((\left(-2 \right))^(\sqrt(7)))$ (минус две на степен седем)? Няма начин!
Следователно, за определеност приемаме, че във всички експоненциални неравенства (и уравнения, между другото също) $1\ne a \gt 0$. И тогава всичко се решава много просто:
\[((a)^(x)) \gt ((a)^(n))\Rightarrow \left[ \begin(align) & x \gt n\quad \left(a \gt 1 \right), \\ & x \lt n\quad \left(0 \lt a \lt 1 \right). \\\end(align) \right.\]
Като цяло, запомнете основното правило още веднъж: ако основата в експоненциалното уравнение е по-голяма от единица, можете просто да я премахнете; и ако основата е по-малка от единица, тя също може да бъде премахната, но знакът на неравенството ще се промени.
Примери за решения
И така, нека да разгледаме няколко прости експоненциални неравенства:
\[\begin(align) & ((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01; \\ & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16; \\ & ((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25). \\\край (подравняване)\]
Основната задача във всички случаи е една и съща: да се намалят неравенствата до най-простата форма $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Точно това ще направим сега с всяко неравенство, като в същото време ще повторим свойствата на степените и експоненциалните функции. Така че, да тръгваме!
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\]
Какво можете да правите тук? Е, отляво вече имаме показателен израз - нищо не трябва да се променя. Но отдясно има някакви глупости: дроб и дори корен в знаменателя!
Все пак нека си припомним правилата за работа с дроби и степени:
\[\begin(align) & \frac(1)(((a)^(n)))=((a)^(-n)); \\ & \sqrt[k](a)=((a)^(\frac(1)(k))). \\\край (подравняване)\]
Какво означава? Първо, можем лесно да се отървем от дробта, като я превърнем в степен с отрицателен показател. И второ, тъй като знаменателят има корен, би било хубаво да го превърнем в степен - този път с дробен показател.
Нека приложим тези действия последователно към дясната страна на неравенството и да видим какво ще се случи:
\[\frac(1)(\sqrt(2))=((\left(\sqrt(2) \right))^(-1))=((\left(((2)^(\frac( 1)(3))) \right))^(-1))=((2)^(\frac(1)(3)\cdot \left(-1 \right)))=((2)^ (-\frac(1)(3)))\]
Не забравяйте, че при повишаване на степен на степен показателите на тези степени се събират. И като цяло, когато работите с експоненциални уравнения и неравенства, е абсолютно необходимо да знаете поне най-простите правила за работа със степени:
\[\begin(align) & ((a)^(x))\cdot ((a)^(y))=((a)^(x+y)); \\ & \frac(((a)^(x)))(((a)^(y)))=((a)^(x-y)); \\ & ((\left(((a)^(x)) \right))^(y))=((a)^(x\cdot y)). \\\край (подравняване)\]
всъщност, последното правилопросто го приложихме. Следователно нашето първоначално неравенство ще бъде пренаписано както следва:
\[((2)^(x-1))\le \frac(1)(\sqrt(2))\Rightarrow ((2)^(x-1))\le ((2)^(-\ frac(1)(3)))\]
Сега се отърваваме от двете в основата. Тъй като 2 > 1, знакът за неравенство ще остане същият:
\[\begin(align) & x-1\le -\frac(1)(3)\Rightarrow x\le 1-\frac(1)(3)=\frac(2)(3); \\ & x\in \left(-\infty ;\frac(2)(3) \right]. \\\end(align)\]
Това е решението! Основната трудност изобщо не е в експоненциалната функция, а в компетентната трансформация на оригиналния израз: трябва внимателно и бързо да го доведете до най-простата му форма.
Разгледайте второто неравенство:
\[((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\]
да, да Тук ни очакват десетични дроби. Както съм казвал много пъти, във всички изрази със степени трябва да се отървете от десетичните знаци - това често е единственият начин да видите бързо и просто решение. Тук ще се отървем от:
\[\begin(align) & 0.1=\frac(1)(10);\quad 0.01=\frac(1)(100)=((\left(\frac(1)(10) \ right))^ (2)); \\ & ((0,1)^(1-x)) \lt 0,01\Дясна стрелка ((\left(\frac(1)(10) \right))^(1-x)) \lt ( (\left(\frac(1)(10) \right))^(2)). \\\край (подравняване)\]
Тук отново имаме най-простото неравенство и дори с основа 1/10, т.е. по-малко от едно. Е, премахваме основите, като едновременно с това променяме знака от „по-малко“ на „повече“ и получаваме:
\[\begin(align) & 1-x \gt 2; \\ & -x \gt 2-1; \\ & -x \gt 1; \\& x \lt -1. \\\край (подравняване)\]
Получихме окончателния отговор: $x\in \left(-\infty ;-1 \right)$. Моля, обърнете внимание: отговорът е точно набор и в никакъв случай конструкция от формата $x \lt -1$. Защото формално такава конструкция изобщо не е множество, а неравенство по отношение на променливата $x$. Да, много е просто, но не е отговорът!
Важна забележка. Това неравенство може да се реши по друг начин - чрез редуциране на двете страни на степен с основа, по-голяма от единица. Разгледайте:
\[\frac(1)(10)=((10)^(-1))\Дясна стрелка ((\left(((10)^(-1)) \right))^(1-x)) \ lt ((\left(((10)^(-1)) \right))^(2))\Rightarrow ((10)^(-1\cdot \left(1-x \right))) \lt ((10)^(-1\cdot 2))\]
След такава трансформация отново ще получим експоненциално неравенство, но с основа 10 > 1. Това означава, че можем просто да зачеркнем десетката - знакът на неравенството няма да се промени. Получаваме:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1-x \right) \lt -1\cdot 2; \\ & x-1 \lt -2; \\ & x \lt -2+1=-1; \\ & x \lt -1. \\\край (подравняване)\]
Както можете да видите, отговорът беше абсолютно същият. В същото време се спасихме от необходимостта да сменяме табелата и като цяло да запомним някакви правила :)
\[((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt 16\]
Нека обаче това не ви плаши. Без значение какво има в индикаторите, самата технология за решаване на неравенството остава същата. Следователно нека първо отбележим, че 16 = 2 4. Нека пренапишем първоначалното неравенство, като вземем предвид този факт:
\[\begin(align) & ((2)^(((x)^(2))-7x+14)) \lt ((2)^(4)); \\ & ((x)^(2))-7x+14 \lt 4; \\ & ((x)^(2))-7x+10 \lt 0. \\\end(align)\]
Ура! Получихме обичайното квадратно неравенство! Знакът не се е променил никъде, тъй като основата е две - число, по-голямо от едно.
Нули на функция на числовата ос
Подреждаме знаците на функцията $f\left(x \right)=((x)^(2))-7x+10$ - очевидно нейната графика ще бъде парабола с клонове нагоре, така че ще има „плюсове ” отстрани. Интересуваме се от областта, където функцията е по-малка от нула, т.е. $x\in \left(2;5 \right)$ е отговорът на първоначалния проблем.
И накрая, разгледайте друго неравенство:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\]
Отново виждаме експоненциална функция с десетична дроб в основата. Нека преобразуваме тази дроб в обикновена дроб:
\[\begin(align) & 0.2=\frac(2)(10)=\frac(1)(5)=((5)^(-1))\Rightarrow \\ & \Rightarrow ((0 ,2 )^(1+((x)^(2))))=((\left(((5)^(-1)) \right))^(1+((x)^(2) )) )=((5)^(-1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)))\end(align)\]
В този случай използвахме забележката, дадена по-рано - намалихме основата до числото 5 > 1, за да опростим нашето по-нататъшно решение. Нека направим същото с дясната страна:
\[\frac(1)(25)=((\left(\frac(1)(5) \right))^(2))=((\left(((5)^(-1)) \ надясно))^(2))=((5)^(-1\cdot 2))=((5)^(-2))\]
Нека пренапишем първоначалното неравенство, като вземем предвид и двете трансформации:
\[((0,2)^(1+((x)^(2))))\ge \frac(1)(25)\Rightarrow ((5)^(-1\cdot \left(1+) ((x)^(2)) \right)))\ge ((5)^(-2))\]
Базите от двете страни са еднакви и надвишават единица. Няма други термини отдясно и отляво, така че просто „задраскваме“ петиците и получаваме много прост израз:
\[\begin(align) & -1\cdot \left(1+((x)^(2)) \right)\ge -2; \\ & -1-((x)^(2))\ge -2; \\ & -((x)^(2))\ge -2+1; \\ & -((x)^(2))\ge -1;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))\le 1. \\\end(align)\]
Тук трябва да сте по-внимателни. Много студенти обичат просто да извличат корен квадратенот двете страни на неравенството и напишете нещо като $x\le 1\Rightarrow x\in \left(-\infty ;-1 \right]$. В никакъв случай не трябва да правите това, тъй като коренът на точен квадрат е модул и в никакъв случай оригиналната променлива:
\[\sqrt(((x)^(2)))=\left| x\надясно|\]
Работата с модули обаче не е най-приятното изживяване, нали? Така че няма да работим. Вместо това просто преместваме всички членове наляво и решаваме обичайното неравенство, като използваме интервалния метод:
$\begin(align) & ((x)^(2))-1\le 0; \\ & \left(x-1 \right)\left(x+1 \right)\le 0 \\ & ((x)_(1))=1;\quad ((x)_(2)) =-1; \\\край (подравняване)$
Отново маркираме получените точки на числовата линия и гледаме знаците:
Моля, обърнете внимание: точките са защриховани Тъй като решавахме нестрого неравенство, всички точки на графиката са защриховани. Следователно отговорът ще бъде: $x\in \left[ -1;1 \right]$ не е интервал, а сегмент.
Като цяло бих искал да отбележа, че няма нищо сложно в експоненциалните неравенства. Смисълът на всички трансформации, които извършихме днес, се свежда до прост алгоритъм:
- Намерете базата, към която ще намалим всички степени;
- Внимателно извършете трансформациите, за да получите неравенство от вида $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$. Разбира се, вместо променливите $x$ и $n$ може да има много повече сложни функции, но значението няма да се промени;
- Зачертайте основите на степените. В този случай знакът за неравенство може да се промени, ако основата $a \lt 1$.
Всъщност това е универсален алгоритъм за решаване на всички подобни неравенства. И всичко останало, което ще ви кажат по тази тема, са само специфични техники и трикове, които ще опростят и ускорят трансформацията. Сега ще говорим за една от тези техники :)
Метод на рационализация
Нека разгледаме друг набор от неравенства:
\[\begin(align) & ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi \!\!\текст( ))^(((x)^(2))-3x+2)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1; \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \right))^(16-x)); \\ & ((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1. \\\end(align)\]
И така, какво е толкова специално за тях? Те са леки. Въпреки това, спри! Повишено ли е числото π на някаква степен? Що за глупости?
Как да повдигна числото $2\sqrt(3)-3$ на степен? Или $3-2\sqrt(2)$? Писателите на проблеми явно са пили твърде много глог преди да седнат на работа :)
Всъщност в тези задачи няма нищо страшно. Нека ви напомня: експоненциалната функция е израз във формата $((a)^(x))$, където основата $a$ е всяко положително число освен едно. Числото π е положително - това вече го знаем. Числата $2\sqrt(3)-3$ и $3-2\sqrt(2)$ също са положителни - това лесно се вижда, ако ги сравните с нула.
Оказва се, че всички тези „плашещи“ неравенства се решават не по-различно от простите, разгледани по-горе? И по същия начин ли се решават? Да, това е абсолютно правилно. Въпреки това, използвайки техния пример, бих искал да разгледам една техника, която значително спестява време за самостоятелна работа и изпити. Ще говорим за метода на рационализация. И така, внимание:
Всяко експоненциално неравенство от формата $((a)^(x)) \gt ((a)^(n))$ е еквивалентно на неравенството $\left(x-n \right)\cdot \left(a-1 \ дясно) \gt 0 $.
Това е целият метод. :) Мислехте ли, че ще има някаква друга игра? Нищо подобно! Но този прост факт, написан буквално в един ред, значително ще опрости нашата работа. Разгледайте:
\[\begin(matrix) ((\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))^(x+7)) \gt ((\text( )\!\!\pi\ !\!\text( ))^(((x)^(2))-3x+2)) \\ \Downarrow \\ \left(x+7-\left(((x)^(2)) -3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\\end(matrix)\]
Така че няма повече експоненциални функции! И не е нужно да помните дали знакът се променя или не. Но възниква нов проблем: какво да правя с шибания множител \[\left(\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \right)\]? Не знаем за какво става въпрос точна стойностчислата π. Капитанът обаче сякаш намеква за очевидното:
\[\text( )\!\!\pi\!\!\text( )\приблизително 3,14... \gt 3\Rightarrow \text( )\!\!\pi\!\!\text( )- 1\gt 3-1=2\]
По принцип точната стойност на π всъщност не ни интересува - за нас е важно само да разберем, че във всеки случай $\text( )\!\!\pi\!\!\text( )-1 \gt 2 $, т.е. това е положителна константа и можем да разделим двете страни на неравенството на нея:
\[\begin(align) & \left(x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \right)\cdot \left(\text( )\!\! \pi\!\!\text( )-1 \right) \gt 0 \\ & x+7-\left(((x)^(2))-3x+2 \right) \gt 0; \\ & x+7-((x)^(2))+3x-2 \gt 0; \\ & -((x)^(2))+4x+5 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-4x-5 \lt 0; \\ & \left(x-5 \right)\left(x+1 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Както виждате, в определен момент трябваше да разделим на минус едно - и знакът на неравенството се промени. Накрая разширих квадратичния трином с помощта на теоремата на Виета - очевидно е, че корените са равни на $((x)_(1))=5$ и $((x)_(2))=-1$ . Тогава всичко се решава класически методинтервали:
Решаване на неравенство по интервалния метод Всички точки се премахват, тъй като първоначалното неравенство е строго. Интересуваме се от областта с отрицателни стойности, така че отговорът е $x\in \left(-1;5 \right)$. Това е решението :)
Да преминем към следващата задача:
\[((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1\]
Всичко тук обикновено е просто, защото вдясно има единица. И ние помним, че едно е всяко число, повдигнато на нулева степен. Дори това число да е ирационален израз в основата отляво:
\[\begin(align) & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt 1=((\left(2 \sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\ & ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(((x)^(2))-2x)) \lt ((\left(2\sqrt(3)-3 \right))^(0)); \\\край (подравняване)\]
Е, нека рационализираме:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-3-1 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot \left(2\sqrt(3)-4 \right) \lt 0; \\ & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Остава само да разбера знаците. Коефициентът $2\left(\sqrt(3)-2 \right)$ не съдържа променливата $x$ - той е просто константа и трябва да намерим нейния знак. За да направите това, имайте предвид следното:
\[\begin(matrix) \sqrt(3) \lt \sqrt(4)=2 \\ \Downarrow \\ 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 2\cdot \left(2 -2 \right)=0 \\\end(matrix)\]
Оказва се, че вторият фактор не е просто константа, а отрицателна константа! И при разделяне на него знакът на първоначалното неравенство се променя на противоположния:
\[\begin(align) & \left(((x)^(2))-2x-0 \right)\cdot 2\left(\sqrt(3)-2 \right) \lt 0; \\ & ((x)^(2))-2x-0 \gt 0; \\ & x\left(x-2 \right) \gt 0. \\\end(align)\]
Сега всичко става напълно очевидно. корени квадратен тричлен, стоящ отдясно: $((x)_(1))=0$ и $((x)_(2))=2$. Маркираме ги на числовата ос и разглеждаме знаците на функцията $f\left(x \right)=x\left(x-2 \right)$:
Случаят, когато се интересуваме от страничните интервали Интересуват ни интервалите, отбелязани със знак плюс. Остава само да напиша отговора:
Да преминем към следващия пример:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(((x)^(2))+2x)) \gt ((\left(\frac(1)(9) \ надясно))^(16-x))\]
Е, тук всичко е напълно очевидно: основите съдържат степени с едно и също число. Затова ще напиша всичко накратко:
\[\begin(matrix) \frac(1)(3)=((3)^(-1));\quad \frac(1)(9)=\frac(1)(((3)^( 2)))=((3)^(-2)) \\ \Downarrow \\ ((\left(((3)^(-1)) \right))^(((x)^(2) )+2x)) \gt ((\left(((3)^(-2)) \right))^(16-x)) \\\end(matrix)\]
\[\begin(align) & ((3)^(-1\cdot \left(((x)^(2))+2x \right))) \gt ((3)^(-2\cdot \ ляво (16-x \ дясно))); \\ & ((3)^(-((x)^(2))-2x)) \gt ((3)^(-32+2x)); \\ & \left(-((x)^(2))-2x-\left(-32+2x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right) \gt 0; \\ & -((x)^(2))-2x+32-2x \gt 0; \\ & -((x)^(2))-4x+32 \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))+4x-32 \lt 0; \\ & \left(x+8 \right)\left(x-4 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Както можете да видите, по време на процеса на трансформация трябваше да умножим по отрицателно число, така че знакът за неравенство се е променил. В самия край отново приложих теоремата на Виета, за да факторизирам квадратичния трином. В резултат на това отговорът ще бъде следният: $x\in \left(-8;4 \right)$ - всеки може да провери това, като начертае числова линия, маркира точките и преброи знаците. Междувременно ще преминем към последното неравенство от нашия „набор“:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt 1\]
Както виждате, в основата отново има ирационално число, а вдясно отново има единица. Следователно пренаписваме нашето експоненциално неравенство, както следва:
\[((\left(3-2\sqrt(2) \right))^(3x-((x)^(2)))) \lt ((\left(3-2\sqrt(2) \ надясно))^(0))\]
Прилагаме рационализация:
\[\begin(align) & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(3-2\sqrt(2)-1 \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot \left(2-2\sqrt(2) \right) \lt 0; \\ & \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0. \\\end(align)\ ]
Съвсем очевидно е обаче, че $1-\sqrt(2) \lt 0$, тъй като $\sqrt(2)\приблизително 1,4... \gt 1$. Следователно вторият фактор отново е отрицателна константа, на която могат да бъдат разделени двете страни на неравенството:
\[\begin(matrix) \left(3x-((x)^(2))-0 \right)\cdot 2\left(1-\sqrt(2) \right) \lt 0 \\ \Downarrow \ \\край (матрица)\]
\[\begin(align) & 3x-((x)^(2))-0 \gt 0; \\ & 3x-((x)^(2)) \gt 0;\quad \left| \cdot \left(-1 \right) \right. \\ & ((x)^(2))-3x \lt 0; \\ & x\left(x-3 \right) \lt 0. \\\end(align)\]
Преместете се в друга база
Отделен проблем при решаването на експоненциални неравенства е търсенето на „правилната“ основа. За съжаление, не винаги е очевидно на пръв поглед върху дадена задача какво да се вземе за основа и какво да се направи според степента на тази основа.
Но не се притеснявайте: тук няма магия или „тайна“ технология. В математиката всяко умение, което не може да бъде алгоритмизирано, може лесно да се развие чрез практика. Но за това ще трябва да решавате проблеми различни нивасложност. Например така:
\[\begin(align) & ((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x))); \\ & ((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & ((\left(0,16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6,25 \right))^(x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81. \\\ край (подравняване)\]
Трудно? Страшно? По-лесно е, отколкото да удариш пиле в асфалта! Нека опитаме. Първо неравенство:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((4)^(\frac(4)(x)))\]
Е, мисля, че тук всичко е ясно:
Пренаписваме първоначалното неравенство, като свеждаме всичко до основа две:
\[((2)^(\frac(x)(2))) \lt ((2)^(\frac(8)(x)))\Rightarrow \left(\frac(x)(2)- \frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0\]
Да, да, чухте правилно: току-що приложих метода на рационализация, описан по-горе. Сега трябва да работим внимателно: имаме дробно-рационално неравенство (това е такова, което има променлива в знаменателя), така че преди да приравним нещо на нула, трябва да приведем всичко към общ знаменател и да се отървем от постоянния множител .
\[\begin(align) & \left(\frac(x)(2)-\frac(8)(x) \right)\cdot \left(2-1 \right) \lt 0; \\ & \left(\frac(((x)^(2))-16)(2x) \right)\cdot 1 \lt 0; \\ & \frac(((x)^(2))-16)(2x) \lt 0. \\\end(align)\]
Сега използваме стандартен методинтервали. Нули в числителя: $x=\pm 4$. Знаменателят отива на нула само когато $x=0$. Има общо три точки, които трябва да бъдат маркирани на числовата ос (всички точки са закачени, защото знакът за неравенство е строг). Получаваме:
повече труден случай: три корена Както можете да предположите, засенчването маркира онези интервали, при които изразът отляво приема отрицателни стойности. Следователно крайният отговор ще включва два интервала наведнъж:
Краищата на интервалите не са включени в отговора, тъй като първоначалното неравенство е строго. Не се изисква допълнителна проверка на този отговор. В това отношение експоненциалните неравенства са много по-прости от логаритмичните: няма ODZ, няма ограничения и т.н.
Да преминем към следващата задача:
\[((\left(\frac(1)(3) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x))\]
Тук също няма проблеми, тъй като вече знаем, че $\frac(1)(3)=((3)^(-1))$, така че цялото неравенство може да бъде пренаписано както следва:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(-1)) \right))^(\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x ))\Rightarrow ((3)^(-\frac(3)(x)))\ge ((3)^(2+x)); \\ & \left(-\frac(3)(x)-\left(2+x \right) \right)\cdot \left(3-1 \right)\ge 0; \\ & \left(-\frac(3)(x)-2-x \right)\cdot 2\ge 0;\quad \left| :\left(-2 \right) \right. \\ & \frac(3)(x)+2+x\le 0; \\ & \frac(((x)^(2))+2x+3)(x)\le 0. \\\end(align)\]
Моля, обърнете внимание: в третия ред реших да не губя време за дреболии и веднага да разделя всичко на (−2). Minul влезе в първата скоба (сега има плюсове навсякъде), а две беше намалено с постоянен коефициент. Точно това трябва да направите, когато подготвяте реални дисплеи на независими и тестове— няма нужда да се описва всяко действие и трансформация.
След това влиза в действие познатият метод на интервалите. Нули в числителя: но ги няма. Тъй като дискриминантът ще бъде отрицателен. На свой ред знаменателят се нулира само при $x=0$ - точно както последния път. Е, ясно е, че вдясно от $x=0$ дробта ще приема положителни стойности, а вляво - отрицателни. Тъй като се интересуваме от отрицателни стойности, крайният отговор е: $x\in \left(-\infty ;0 \right)$.
\[((\left(0.16 \right))^(1+2x))\cdot ((\left(6.25 \right))^(x))\ge 1\]
Какво трябва да правите с десетичните дроби в експоненциалните неравенства? Точно така: отървете се от тях, превръщайки ги в обикновени. Тук ще преведем:
\[\begin(align) & 0.16=\frac(16)(100)=\frac(4)(25)\Rightarrow ((\left(0.16 \right))^(1+2x)) =((\ ляво(\frac(4)(25) \дясно))^(1+2x)); \\ & 6.25=\frac(625)(100)=\frac(25)(4)\Rightarrow ((\left(6.25 \right))^(x))=((\left(\ frac(25) (4)\вдясно))^(x)). \\\край (подравняване)\]
И така, какво получихме в основите на експоненциалните функции? И имаме две взаимно обратни числа:
\[\frac(25)(4)=((\left(\frac(4)(25) \right))^(-1))\Rightarrow ((\left(\frac(25)(4) \ дясно))^(x))=((\ляво(((\ляво(\frac(4)(25) \дясно))^(-1)) \дясно))^(x))=((\ ляво(\frac(4)(25) \дясно))^(-x))\]
Така първоначалното неравенство може да се пренапише, както следва:
\[\begin(align) & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x))\cdot ((\left(\frac(4)(25) \right) )^(-x))\ge 1; \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(1+2x+\left(-x \right)))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)); \\ & ((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0) ). \\\край (подравняване)\]
Разбира се, когато се умножават степени с една и съща основа, техните показатели се събират, което се случи във втория ред. В допълнение, ние представихме единицата отдясно, също като степен в основата 4/25. Всичко, което остава, е да рационализираме:
\[((\left(\frac(4)(25) \right))^(x+1))\ge ((\left(\frac(4)(25) \right))^(0)) \Rightarrow \left(x+1-0 \right)\cdot \left(\frac(4)(25)-1 \right)\ge 0\]
Обърнете внимание, че $\frac(4)(25)-1=\frac(4-25)(25) \lt 0$, т.е. вторият фактор е отрицателна константа и при разделяне на него знакът за неравенство ще се промени:
\[\begin(align) & x+1-0\le 0\Rightarrow x\le -1; \\ & x\in \left(-\infty ;-1 \right]. \\\end(align)\]
И накрая, последното неравенство от текущия „набор“:
\[((\left(\frac(27)(\sqrt(3)) \right))^(-x)) \lt ((9)^(4-2x))\cdot 81\]
По принцип идеята на решението тук също е ясна: всички експоненциални функции, включени в неравенството, трябва да бъдат намалени до база „3“. Но за това ще трябва да побърквате малко с корени и правомощия:
\[\begin(align) & \frac(27)(\sqrt(3))=\frac(((3)^(3)))(((3)^(\frac(1)(3)) ))=((3)^(3-\frac(1)(3)))=((3)^(\frac(8)(3))); \\ & 9=((3)^(2));\квад 81=((3)^(4)). \\\край (подравняване)\]
Като се вземат предвид тези факти, първоначалното неравенство може да се пренапише, както следва:
\[\begin(align) & ((\left(((3)^(\frac(8)(3))) \right))^(-x)) \lt ((\left(((3) ^(2))\right))^(4-2x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x))\cdot ((3)^(4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(8-4x+4)); \\ & ((3)^(-\frac(8x)(3))) \lt ((3)^(4-4x)). \\\край (подравняване)\]
Обърнете внимание на 2-ри и 3-ти ред на изчисленията: преди да направите нещо с неравенството, не забравяйте да го приведете във формата, за която говорихме от самото начало на урока: $((a)^(x)) \ lt ((a)^(n))$. Докато имате някои леви фактори, допълнителни константи и т.н. отляво или отдясно, не може да се извърши рационализация или „зачеркване“ на основанията! Безброй задачи са изпълнени неправилно поради неразбиране на този прост факт. Аз самият постоянно наблюдавам този проблем с моите ученици, когато току-що започваме да анализираме експоненциални и логаритмични неравенства.
Но да се върнем към нашата задача. Нека се опитаме да минем без рационализация този път. Нека си припомним: основата на степента е по-голяма от единица, така че тройките могат просто да бъдат задраскани - знакът за неравенство няма да се промени. Получаваме:
\[\begin(align) & -\frac(8x)(3) \lt 4-4x; \\ & 4x-\frac(8x)(3) \lt 4; \\ & \frac(4x)(3) \lt 4; \\ & 4x \lt 12; \\ & x \lt 3. \\\край (подравняване)\]
Това е. Окончателен отговор: $x\in \left(-\infty ;3 \right)$.
Изолиране на стабилен израз и замяна на променлива
В заключение предлагам да решим още четири експоненциални неравенства, които вече са доста трудни за неподготвени ученици. За да се справите с тях, трябва да запомните правилата за работа със степени. По-специално, поставяне на общи фактори извън скоби.
Но най-важното е да се научите да разбирате какво точно може да бъде извадено от скоби. Такъв израз се нарича стабилен - той може да бъде обозначен с нова променлива и по този начин да се отърве от експоненциалната функция. И така, нека да разгледаме задачите:
\[\begin(align) & ((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6; \\ & ((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90; \\ & ((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500; \\ & ((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768. \\\end(align)\]
Да започнем от първия ред. Нека запишем това неравенство отделно:
\[((5)^(x+2))+((5)^(x+1))\ge 6\]
Обърнете внимание, че $((5)^(x+2))=((5)^(x+1+1))=((5)^(x+1))\cdot 5$, така че дясната страна може да се пренапише:
Обърнете внимание, че в неравенството няма други експоненциални функции освен $((5)^(x+1))$. И като цяло, променливата $x$ не се появява никъде другаде, така че нека въведем нова променлива: $((5)^(x+1))=t$. Получаваме следната конструкция:
\[\begin(align) & 5t+t\ge 6; \\&6t\ge 6; \\ & t\ge 1. \\\край (подравняване)\]
Връщаме се към първоначалната променлива ($t=((5)^(x+1))$ и в същото време помним, че 1=5 0 . Ние имаме:
\[\begin(align) & ((5)^(x+1))\ge ((5)^(0)); \\ & x+1\ge 0; \\ & x\ge -1. \\\край (подравняване)\]
Това е решението! Отговор: $x\in \left[ -1;+\infty \right)$. Да преминем към второто неравенство:
\[((3)^(x))+((3)^(x+2))\ge 90\]
Тук всичко е същото. Обърнете внимание, че $((3)^(x+2))=((3)^(x))\cdot ((3)^(2))=9\cdot ((3)^(x))$ . Тогава лявата страна може да бъде пренаписана:
\[\begin(align) & ((3)^(x))+9\cdot ((3)^(x))\ge 90;\quad \left| ((3)^(x))=t\надясно. \\&t+9t\ge 90; \\ & 10t\ge 90; \\ & t\ge 9\Стрелка надясно ((3)^(x))\ge 9\Стрелка надясно ((3)^(x))\ge ((3)^(2)); \\ & x\ge 2\Стрелка надясно x\in \left[ 2;+\infty \right). \\\край (подравняване)\]
Приблизително така трябва да съставите решение за реални тестове и самостоятелна работа.
Е, нека опитаме нещо по-сложно. Ето например неравенството:
\[((25)^(x+1,5))-((5)^(2x+2)) \gt 2500\]
Какъв е проблемът тук? Първо, основите на експоненциалните функции отляво са различни: 5 и 25. Въпреки това, 25 = 5 2, така че първият член може да се трансформира:
\[\begin(align) & ((25)^(x+1.5))=((\left(((5)^(2)) \right))^(x+1.5))= ((5) ^(2x+3)); \\ & ((5)^(2x+3))=((5)^(2x+2+1))=((5)^(2x+2))\cdot 5. \\\end(align )\]
Както можете да видите, отначало приведохме всичко към една и съща основа и след това забелязахме, че първият член може лесно да бъде намален до втория - просто трябва да разширите експонентата. Сега можете спокойно да въведете нова променлива: $((5)^(2x+2))=t$ и цялото неравенство ще бъде пренаписано, както следва:
\[\begin(align) & 5t-t\ge 2500; \\&4t\ge 2500; \\ & t\ge 625=((5)^(4)); \\ & ((5)^(2x+2))\ge ((5)^(4)); \\ & 2x+2\ge 4; \\&2x\ge 2; \\ & x\ge 1. \\\край (подравняване)\]
И отново, никакви затруднения! Краен отговор: $x\in \left[ 1;+\infty \right)$. Нека да преминем към последното неравенство в днешния урок:
\[((\left(0,5 \right))^(-4x-8))-((16)^(x+1,5)) \gt 768\]
Първото нещо, на което трябва да обърнете внимание е, разбира се, десетичен знакв основата на първа степен. Необходимо е да се отървете от него и в същото време да приведете всички експоненциални функции към една и съща основа - числото „2“:
\[\begin(align) & 0.5=\frac(1)(2)=((2)^(-1))\Rightarrow ((\left(0.5 \right))^(-4x- 8))= ((\left(((2)^(-1)) \right))^(-4x-8))=((2)^(4x+8)); \\ & 16=((2)^(4))\Стрелка надясно ((16)^(x+1,5))=((\ляво(((2)^(4)) \дясно))^( x+ 1.5))=((2)^(4x+6)); \\ & ((2)^(4x+8))-((2)^(4x+6)) \gt 768. \\\end(align)\]
Страхотно, направихме първата стъпка – всичко доведе до една и съща основа. Сега трябва да изберете стабилен израз. Обърнете внимание, че $((2)^(4x+8))=((2)^(4x+6+2))=((2)^(4x+6))\cdot 4$. Ако въведем нова променлива $((2)^(4x+6))=t$, тогава първоначалното неравенство може да се пренапише, както следва:
\[\begin(align) & 4t-t \gt 768; \\ & 3t \gt 768; \\ & t \gt 256=((2)^(8)); \\ & ((2)^(4x+6)) \gt ((2)^(8)); \\ & 4x+6 \gt 8; \\ & 4x \gt 2; \\ & x \gt \frac(1)(2)=0,5. \\\край (подравняване)\]
Естествено може да възникне въпросът: как открихме, че 256 = 2 8? За съжаление, тук просто трябва да знаете правомощията на две (и в същото време правомощията на три и пет). Е, или да разделим 256 на 2 (можете да разделите, тъй като 256 е четно число), докато получим резултата. Ще изглежда така:
\[\begin(align) & 256=128\cdot 2= \\ & =64\cdot 2\cdot 2= \\ & =32\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =16\cdot 2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =8\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =4\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2= \\ & =((2)^(8)).\end(align )\]
Същото важи и с три (числата 9, 27, 81 и 243 са неговите степени) и със седем (числата 49 и 343 също би било хубаво да запомните). Е, петте също имат „красиви“ степени, които трябва да знаете:
\[\begin(align) & ((5)^(2))=25; \\ & ((5)^(3))=125; \\ & ((5)^(4))=625; \\ & ((5)^(5))=3125. \\\край (подравняване)\]
Разбира се, ако желаете, всички тези числа могат да бъдат възстановени в ума ви, като просто ги умножите последователно едно по друго. Когато обаче трябва да решите няколко експоненциални неравенства и всяко следващо е по-трудно от предишното, последното нещо, за което искате да мислите, са степените на някои числа. И в този смисъл тези задачи са по-сложни от „класическите“ неравенства, които се решават чрез интервалния метод.
Надявам се, че този урок ви е помогнал да овладеете тази тема. Ако нещо не е ясно, попитайте в коментарите. И ще се видим в следващите уроци. :)
