Методът на сеченията на многостените в стереометрията се използва в строителни задачи. Тя се основава на способността да се конструира сечение на многостен и да се определи вида на сечението.

Този материал се характеризира със следните характеристики:

1. Методът на сеченията се използва само за полиедри, тъй като различни сложни (наклонени) видове сечения на тела на въртене не са включени в учебната програма на средното училище.
2. Задачите използват предимно най-простите полиедри.
3. Задачите са представени предимно без цифрови данни, за да се създаде възможност за многократното им използване.

За да реши проблема с конструирането на разрез на полиедър, студентът трябва да знае:

• какво означава да се построи сечение на многостен с равнина;
• как многостен и равнина могат да бъдат разположени една спрямо друга;
• как се определя равнината;
• когато задачата за построяване на сечение на многостен с равнина се счита за решена.

Тъй като равнината е дефинирана:

• три точки;
• права линия и точка;
• две успоредни линии;
• две пресичащи се линии,

Конструкцията на секционната равнина зависи от спецификацията на тази равнина. Следователно всички методи за конструиране на сечения от полиедри могат да бъдат разделени на методи.

Съществува три основни методаконструиране на сечения на полиедри:

1. Метод на проследяване.
2. Метод на спомагателните секции.
3. Комбиниран метод.

Първите два метода са вариации Аксиоматичен методизграждане на секции.

Можем също така да разграничим следните методи за конструиране на сечения от полиедри:

• построяване на сечение на многостен с равнина, преминаваща през него дадена точкауспоредна на дадена равнина;
• построяване на сечение, минаващо през дадена права, успоредно на друга дадена права;
• построяване на сечение, минаващо през дадена точка успоредно на две дадени пресичащи се прави;
• построяване на сечение на многостен с равнина, минаваща през дадена права, перпендикулярна на дадена равнина;
• построяване на сечение на многостен с равнина, минаваща през дадена точка, перпендикулярна на дадена права.

Федералният списък с учебници по геометрия за 10-11 клас включва учебници от следните автори:

• Атанасян Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б. и други (Геометрия, 10-11);
• Погорелова А.В. (Геометрия, 7-11);
• Александрова A.D., Vernera A.L., Ryzhik V.I. (Геометрия, 10-11);
• Смирнова И.М. (Геометрия, 10-11);
• Шаригина И.Ф. (Геометрия, 10-11).

Нека разгледаме по-подробно учебниците на Л. С., Атанасян и А. В. Погорелов.

В учебника L.S. Атанасян на тема „Построяване на сечения от многостени” бяха отделени два часа. В 10 клас в темата „Успоредност на прави и равнини” след изучаване на тетраедъра и паралелепипеда се отделя един час за представяне на параграф „Задачи за конструиране на сечения”. Разглеждат се сечения на тетраедър и паралелепипед. А темата „Успоредност на прави и равнини” завършва с решаване на задачи за един-два часа (в учебника има общо осем задачи за построяване на раздели).

В учебника Погорелов А.В. Около три часа са отделени за конструиране на секции в глава „Многогранници“: един за изучаване на темата „Изображение на призма и конструиране на нейните секции“, вторият за изучаване на темата „Изграждане на пирамида и нейните равнинни сечения“, а третият за решаване на проблеми. В списъка с задачи, даден след темата, има само около десет напречни задачи.

Предлагаме система от уроци по темата „Изграждане на сечения на многостени“ за учебника на Погорелов А.В.

Предлага се подреждането на материала в последователността, в която може да се използва за обучение на учениците. От представянето на темата „Многогранници“ се предлага да се изключат следните параграфи: „Построяване на сечения на призма“ и „Построяване на сечения на пирамида“, за да се систематизира този материал в края на тази тема „Многогранници“ . Може да се класифицира според темата на проблема, приблизително следвайки принципа „от просто към сложно“, както следва:

1. Определяне на сечението на многостени.
2. Построяване на сечения на призма, паралелепипед, пирамида по метода на следата. (Като правило в училищния курс по стереометрия се използват задачи за конструиране на сечения от полиедри, решени с основни методи. Други методи, поради тяхната по- високо нивозатруднения, учителят може да го остави за разглеждане в избираемите часове или за самостоятелна подготовка. В конструктивните задачи основните методи изискват конструиране на сечеща равнина, минаваща през три точки).
3. Намиране на площта на напречното сечение в полиедри (без използване на теоремата за площта ортогонална проекциямногоъгълник).
4. Намиране на площта на напречното сечение в полиедри (използвайки теоремата за площта на ортогоналната проекция на многоъгълник).

СТЕРЕОМЕТРИЧНИ ЗАДАЧИ ЗА ПОСТРОЯВАНЕ НА СЕЧЕНИЯ НА МНОГОСТЪРНИЦИ И МЕТОДИ ЗА ИЗПОЛЗВАНЕТО ИМ В УРОЦИТЕ В 10-11 КЛАС.

(система от уроци и избираеми часове по темата „Построяване на сечения на полиедри“)

УРОК 1.

Тема на урока: „Построяване на сечения на полиедри“.

Цел на урока: запознаване с методите за конструиране на сечения на полиедри.

Стъпки на урока:

1. Актуализиране на основни знания.
2. Формулиране на проблема.
3. Учене на нов материал:

А) Определение на участъка.

Б) Методи за конструиране на секции:

а) следов метод;

б) метод на спомагателните сечения;

в) комбиниран метод.

1. Фиксиране на материала.

Примери за конструиране на секции по метода на проследяване.

1. Обобщаване на урока.

По време на часовете.

1. Актуализиране на основни знания.

Да си припомним:
- пресичане на права с равнина;
- пресичане на равнини;
- свойства на успоредни равнини.

2. Формулиране на проблема.

Въпроси към класа:
- Какво означава да се построи сечение на многостен с равнина?
- Как могат да бъдат разположени един спрямо друг многостен и равнина?
- Как се определя равнината?
- Кога задачата за построяване на сечение на многостен с равнина се счита за решена?

3. Учене на нов материал.

А) И така, задачата е да се построи пресечната точка на две фигури: многостен и равнина (фиг. 1). Това могат да бъдат: празна фигура (a), точка (b), сегмент (c), многоъгълник (d). Ако пресечната точка на полиедър и равнина е многоъгълник, тогава този многоъгълник се нарича сечение на многостен с равнина.

Ще разгледаме само случая, когато равнината пресича полиедъра по вътрешността му. В този случай пресечната точка на тази равнина с всяко лице на полиедъра ще бъде определен сегмент. По този начин проблемът се счита за решен, ако са намерени всички сегменти, по които равнината пресича лицата на полиедъра.

Разгледайте секциите на куба (фиг. 2) и отговорете на следните въпроси:

Какви многоъгълници се получават при разрязване на куб от равнина? (Броят на страните на многоъгълника е важен);

[Предложени отговори: триъгълник, четириъгълник, петоъгълник, шестоъгълник.]

Може ли куб да бъде разрязан от равнина на седмоъгълник? Ами осмоъгълника и т.н.? Защо?

Да разгледаме призмата и нейните възможни сечения с равнина (на модела). Какви многоъгълници се получават?

Какво може да се заключи? Какъв е най-големият брой страни на многоъгълник, получен чрез разрязване на многостен с равнина?

[Най-големият брой страни на многоъгълник, получен чрез разрязване на многостен с равнина, е равен на броя на лицата на многостена.]

Б) а) Метод на проследяванесе състои в конструиране на следи от режеща равнина върху равнината на всяко лице на полиедъра. Изграждането на сечение на полиедър по метода на следите обикновено започва с изграждането на така наречената главна следа на режещата равнина, т.е. следа от сечащата равнина върху равнината на основата на полиедъра.

б) Метод на спомагателните секцииконструирането на сечения от полиедри е доста универсално. В случаите, когато желаната следа (или следи) на режещата равнина е извън чертежа, този метод дори има някои предимства. В същото време трябва да се има предвид, че конструкциите, изпълнени по този метод, често се оказват „претъпкани“. Въпреки това в някои случаи методът на спомагателните секции се оказва най-рационален.

Методът на проследяване и методът на спомагателния раздел са вариации аксиоматичен методпострояване на сечения на полиедри с равнина.

в) Същността комбиниран методизграждането на сечения на полиедри се състои в прилагането на теореми за паралелността на прави и равнини в пространството в комбинация с аксиоматичния метод.

Сега, използвайки пример за решаване на проблеми, нека да разгледаме метод на проследяване

4. Фиксиране на материала.

Задача 1.

Построете сечение на призмата ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с равнина, минаваща през точки P, Q, R (точките са посочени на чертежа (фиг. 3)).

Решение.

Ориз. 3

1. Нека построим следа от сечащата равнина върху равнината на долната основа на призмата. Да разгледаме лицето AA 1 B 1 B. Сечението P и Q лежи върху това лице. Нека начертаем права PQ.
2. Нека продължим правата PQ, която принадлежи на отсечката, докато пресече правата AB. Получаваме точка S 1, принадлежаща на следата.
3. По същия начин получаваме точка S 2 от пресечната точка на прави QR и BC.
4. Права линия S 1 S 2 - следа от режещата равнина върху равнината на долната основа на призмата.
5. Правата S 1 S 2 пресича страната AD в точка U, страната CD в точка T. Нека свържем точките P и U, тъй като те лежат в една и съща равнина на лицето AA 1 D 1 D. Аналогично получаваме TU и RT.
6. PQRTU е задължителният раздел.

Построете сечение на паралелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с равнина, минаваща през точки M, N, P (точките са посочени на чертежа (фиг. 4)).

Решение.

1. Точките N и P лежат в равнината на сечението и в равнината на долната основа на паралелепипеда. Нека построим права през тези точки. Тази права линия е следата от сечащата равнина върху равнината на основата на паралелепипеда.
2. Нека продължим правата, на която страна лежи AB на паралелепипеда. Правите AB и NP се пресичат в точка S. Тази точка принадлежи на сечещата равнина.
3. Тъй като точка M също принадлежи на равнината на сечението и пресича правата AA 1 в някаква точка X.
4. Точките X и N лежат в една и съща равнина на лицето AA 1 D 1 D, съединете ги и получете права XN.
5. Тъй като равнините на лицата на паралелепипеда са успоредни, тогава през точката M можем да начертаем права в лицето A 1 B 1 C 1 D 1, успоредна на правата NP. Тази права линия ще пресича страна B 1 C 1 в точка Y.
6. По същия начин начертаваме права линия YZ, успоредна на права линия XN. Свързваме Z с P и получаваме желаната секция - MYZPNX.

Задача 3 (за самостоятелно решение).

Построете сечение на тетраедъра DACB с равнина, минаваща през точки M, N, P (точките са посочени на чертежа (фиг. 5)).

5. Обобщаване на урока.

Отговорете на въпроса: защрихованите фигури сечения ли са на изобразените многостени с PQR равнината? И изпълнете правилната конструкция (фиг. 6).

Опция 1.

Вариант 2.

Тема на урока: НАМИРАНЕ НА ПЛОЩ НА ПРЕДПИСВАНЕ.

Цел на урока: да се въведат методи за намиране на площта на напречното сечение на полиедър.

Стъпки на урока:

1. Актуализиране на основни знания.

Спомнете си теоремата за площта на ортогоналната проекция на многоъгълник.

2. Решаване на задачи за намиране на площта на напречното сечение:

Без да се използва теоремата за площта на ортогоналната проекция на многоъгълник;

Използване на теоремата за площта на ортогоналната проекция на многоъгълник.

3. Обобщаване на урока.

По време на часовете.

1. Актуализиране на основни знания.

Да си припомним теорема за площта на ортогоналната проекция на многоъгълник:Площта на ортогоналната проекция на многоъгълник върху равнина е равна на произведението на неговата площ и косинуса на ъгъла между равнината на многоъгълника и равнината на проекцията.

2. Разрешаване на проблем.

ABCD - правилно триъгълна пирамидакато основната страна AB е равна Аи височина DH равни ч. Построете сечение на пирамидата с равнина, минаваща през точки D, C и M, където M е средата на страната AB, и намерете нейната площ (фиг. 7).

Напречното сечение на пирамидата е триъгълникът MCD. Нека намерим площта му.

S = 1/2 DH CM = 1/2 =

Намерете площта на напречното сечение на куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ръб Аравнина, минаваща през върха D и точките E и F на ръбовете съответно A 1 D 1 и C 1 D 1, ако A 1 E = k D 1 E и C 1 F = k D 1 F.

Изграждане на участъка:

1. Тъй като точките E и F принадлежат на равнината на сечението и равнината на лицето A 1 B 1 C 1 D 1 и двете равнини се пресичат по права линия, тогава правата линия EF ще бъде следа от равнината на сечение върху равнината на лицето A 1 B 1 C 1 D 1 (фиг. 8).
2. Директен ED и FD се получават по същия начин.
3. EDF е задължителният раздел.

Задача 3 (за самостоятелно решение).

Построете сечение на куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 със страна Аравнина, минаваща през точки B, M и N, където L е средата на ръб AA 1, а N е средата на ръб CC 1.

Ние конструираме секцията, използвайки метода на проследяване.

Намираме площта на напречното сечение, използвайки теоремата за площта на ортогоналната проекция на многоъгълник. Отговор: S = 1/2 · а 2.

ИЗГРАЖДАНЕ НА РАЗРЕЗИ И РАЗРЕЗИ ПО ЧЕРТЕЖИ

Формирането на чертеж на част се извършва чрез последователно добавяне на необходимите проекции, секции и секции. Първоначално се създава потребителски изглед с модела, зададен от потребителя, и се задава ориентацията на модела, която е най-подходяща за основния изглед. След това, използвайки този и следващите изгледи, се създават необходимите разрези и секции.

Основният изглед (изглед отпред) е избран така, че да дава най-пълна представа за формите и размерите на детайла.

Разрези в чертежи

В зависимост от положението на режещата равнина се разграничават следните видове разрези:

А) хоризонтално, ако режещата равнина е разположена успоредно на хоризонталната равнина на проекциите;

B) вертикално, ако режещата равнина е перпендикулярна на хоризонталната равнина на проекциите;

В) наклонена - сечещата равнина е наклонена спрямо проекционните равнини.

Вертикалните секции са разделени на:

· фронтална - режещата равнина е успоредна на фронталната равнина на проекциите;

· профил - режещата равнина е успоредна на профилната равнина на проекциите.
В зависимост от броя на секущите равнини разрезите са:

· проста - с една режеща равнина (фиг. 107);

· комплекс - с две или повече режещи равнини (фиг. 108)
Стандартът предвижда следните видове сложни разфасовки:

· стъпаловидно, когато режещите равнини са успоредни (фиг. 108 а) и начупени - режещите равнини се пресичат (фиг. 108 б)

Фиг. 107 Прост разрез

а) б)

Фиг. 108 Сложни разфасовки

Обозначаване на разфасовки

В случай, че в просто сечение секущата равнина съвпада с равнината на симетрия на обекта, сечението не се посочва (фиг. 107). Във всички останали случаи разрезите са обозначени с главни буквиРуска азбука, започваща с буквата А, например А-А.

Положението на режещата равнина в чертежа се обозначава с линия на сечение - дебела отворена линия. При сложен разрез се правят щрихи и на завоите на линията на сечението. На началните и крайните щрихи трябва да се поставят стрелки, показващи посоката на гледане; стрелките трябва да са на разстояние 2-3 мм от външните краища на щрихите. От външната страна на всяка стрелка, показваща посоката на гледане, се прилага същата главна буква.

За обозначаване на разрези и сечения в системата KOMPAS се използва същият бутон Линията на рязане, намираща се на страницата с обозначения (фиг. 109).

Фиг. 109 Бутон за линия на рязане

Свързване на половин изглед с половин разрез

Ако изгледът и разрезът са симетрични фигури (фиг. 110), тогава можете да свържете половината изглед и половината разрез, като ги разделите с тънка тире-пунктирана линия, която е оста на симетрия. Част от разреза обикновено се намира отдясно на оста на симетрия, която отделя част от изгледа от частта на разреза, или под оста на симетрия. Скритите контурни линии на свързващите части на изглед и разрез обикновено не се показват. Ако проекцията на която и да е линия, например ръбът на фасетирана фигура, съвпада с аксиалната линия, разделяща изгледа и разреза, тогава изгледът и разрезът са разделени от плътна вълнообразна линия, начертана вляво от оста на симетрия, ако ръбът лежи върху вътрешната повърхност, или надясно, ако ръбът е външен.

Ориз. 110 Свързване на част от изглед и разрез

Изграждане на секции

Ще проучим конструкцията на секции в системата KOMPAS, като използваме примера за конструиране на чертеж на призма, задачата за която е показана на фиг. 111.

Последователността на рисуване е следната:

1. Въз основа на дадените размери ще изградим плътен модел на призмата (фиг. 109 b). Нека запазим модела в паметта на компютъра във файл с име "Prism".

Фиг.112 Панел с линии

3. За изграждане на профилна секция (фиг. 113) нека теглим линия раздел А-Ав основния изглед с помощта на бутонаЛиния на изрязване.

Фиг. 113 Изграждане на профилна секция

Посоката на гледане и текстът на символа могат да бъдат избрани от командния контролен панел в долната част на екрана (фиг. 114). Изграждането на линията на рязане завършва с щракване върху бутона Създаване на обект.

Фиг. 114 Контролен панел за командата за изграждане на секции и секции

4. В панела за асоциативни изгледи (фиг. 115) изберете бутона Линия на рязане, след което използвайте капана, който се появява на екрана, за да посочите линията на рязане. Ако всичко е направено правилно (линията на рязане трябва да бъде начертана активна форма), линията на рязане ще стане червена. След задаване на линията на изрязване A-A, на екрана ще се появи фантомно изображение под формата на цялостен правоъгълник.

Фиг. 115 Асоциативни изгледи на панел

Чрез превключвателя Разрез/разрез в панела Свойства избирате вида на изображението – Разрез (Фиг. 116) и мащаба на показвания участък.

Фиг. 116 Контролен панел за командата за изграждане на секции и секции

Профилното сечение ще се изгражда автоматично в проекционна връзка и със стандартно обозначение. Ако е необходимо, прожекционната комуникация може да бъде изключена с превключвател Проекционна връзка (фиг. 116).За да конфигурирате параметрите на щриховката, която ще се използва в създадения раздел (раздел), използвайте контролите в раздела Щриховка.

Фиг. 117 Построяване на хоризонтал раздел B-Bи раздели B-B

Ако избраната равнина на рязане при конструиране на разрез съвпада с равнината на симетрия на детайла, тогава в съответствие със стандарта такъв участък не е обозначен. Но ако просто изтриете обозначението на раздел, тогава поради факта, че изгледът и разделът в паметта на компютъра са взаимосвързани, целият раздел ще бъде изтрит. Следователно, за да изтриете обозначение, първо трябва да разрушите връзката между изгледа и разреза. За да направите това, щракнете с левия бутон на мишката, за да изберете секцията и след това щракнете с десния бутон на мишката, за да изведете контекстното меню, от което изберете елемента Унищожи изглед (фиг. 97). Символът за изрязване вече може да бъде премахнат.

5. За да конструирате хоризонтален разрез, начертайте линия на рязане B-B през долната равнина на отвора в изглед отпред. Първо трябва да направите изгледа отпред текущ, като щракнете два пъти с левия бутон на мишката. След това се изгражда хоризонтален разрез (фиг. 117).

6. При изграждането на челен разрез ние комбинираме част от изгледа и част от разреза, т.к това са симетрични фигури. Външният ръб на призмата се проектира върху линията, разделяща изгледа и разреза, така че ще разграничим изглед и разрез с плътна тънка вълнообразна линия, начертана вдясно от оста на симетрия, т.к. външно ребро. За да начертаете вълнообразна линия, използвайте бутонаКрива на Безие, намираща се в панела Геометрия, начертана със стила За прекъсната линия (фиг. 118). Последователно посочвайте точките, през които трябва да минава кривата на Безие. Трябва да завършите изпълнението на командата, като щракнете върху бутона Създаване на обект.

Фиг. 118 Избор на стил на линия за прекъсване

Изграждане на секции

Разрезът е изображение на обект, което се получава чрез мислено разрязване на обекта с равнина. Разрезът показва само това, което се намира в режещата равнина.

Позицията на режещата равнина, с помощта на която се формира сечението, се обозначава на чертежа с линията на сечението, както при разрезите.

Секциите, в зависимост от местоположението им в чертежите, се разделят на разширени и насложени. Извадените участъци най-често се разполагат върху свободното поле на чертежа и се очертават с основна линия. Наложените участъци се поставят директно върху изображението на обекта и се очертават с тънки линии (фиг. 119).

Фиг. 119 Изграждане на секции

Нека разгледаме последователността на конструиране на чертеж на призма с изместено наклонено сечение B-B (фиг. 117).

1. Направете изглед отпред, като щракнете активно два пъти с левия бутон на мишката върху изгледа и начертайте линия на разрез с бутона Линия на изрязване . Изберете текста на надписа В-В.

2. С помощта на бутона Линия на изрязване, намиращ се на панела Асоциативни изгледи (Фиг. 115), капанът, който се появява, ще покаже секущата линия равнина B-B. Чрез превключвателя Разрез/разрез на лентата Свойства изберете типа на изображението – Разрез (Фиг. 116), мащабът на показвания разрез се избира от прозореца Мащаб.

Изграденото сечение се намира в проекционна връзка, което ограничава движението му в чертежа, но проекционната връзка може да бъде деактивирана с бутона Проекционна комуникация.

На готовия чертеж трябва да начертаете аксиални линии и, ако е необходимо, да добавите размери.

Както знаете, всеки изпит по математика включва решаване на задачи като основна част. Способността за решаване на проблеми е основният показател за нивото на математическо развитие.

Доста често на училищни изпити, както и на изпити, провеждани в университети и технически училища, има случаи, когато ученици, които показват добри резултати в областта на теорията, които знаят всички необходими определения и теореми, се объркват много при решаването прости задачи.

През годините на обучение всеки ученик решава голям брой задачи, но в същото време се предлагат едни и същи задачи на всички ученици. И ако някои ученици научат Общи правилаи методи за решаване на проблеми, тогава други, като се сблъскат с проблем от непознат тип, дори не знаят как да подходят към него.

Една от причините за тази ситуация е, че ако някои ученици се впуснат в процеса на решаване на проблем и се опитат да осъзнаят и разберат общи техникии методи за решаването им, тогава другите не мислят за това, те се опитват да разрешат предложените проблеми възможно най-бързо.

Много ученици не анализират решаваните проблеми и не идентифицират общи техники и методи за решаването им. В такива случаи проблемите се решават само с цел получаване на желания отговор.

Например много студенти дори не знаят каква е същността на решаването на строителни задачи. Но строителни задачиса задължителни задачи в курса по стереометрия. Тези проблеми са не само красиви и оригинални в методите си за решаване, но и имат голяма практическа стойност.

Благодарение на строителните задачи се развива способността за мислено представяне на едно или друго. геометрична фигура, развива се пространственото мислене, логично мислене, както и геометрична интуиция. Конструктивните проблеми развиват практически умения за решаване на проблеми.

Проблемите с конструкцията не са прости, тъй като няма едно правило или алгоритъм за решаването им. всеки нова задачае уникален и изисква индивидуален подходкъм решение.

Процесът на решаване на всеки конструктивен проблем е последователност от някои междинни конструкции, водещи до целта.

Конструкцията на сечения от полиедри се основава на следните аксиоми:

1) Ако две точки от една права лежат в определена равнина, то цялата права лежи в тази равнина;

2) Ако две равнини имат обща точка, тогава те се пресичат по права линия, минаваща през тази точка.

Теорема:Ако две успоредни равнини са пресечени от трета равнина, тогава правите линии на пресичане са успоредни.

Построете сечение на многостена с равнина, минаваща през точки A, B и C. Разгледайте следните примери.

Метод на проследяване

азИзграждане напречно сечение на призматаравнина, минаваща през дадена права линия g (следа) върху равнината на една от основите на призмата и точка А.

Случай 1.

Точка A принадлежи на друга основа на призмата (или лице, успоредно на права g) - сечащата равнина пресича тази основа (лице) по отсечката BC, успоредна на следата g .

Случай 2.

Точка А принадлежи на страничната повърхност на призмата:

Отсечката BC от правата AD е пресечната точка на това лице със сечащата равнина.

Случай 3.

Построяване на сечение на четириъгълна призма с равнина, минаваща през права g в равнината на долната основа на призмата и точка А на един от страничните ръбове.

II.Изграждане напречно сечение на пирамидаравнина, минаваща през дадена права линия g (следа) върху равнината на основата на пирамидата и точка А.

За да се построи сечение на пирамида с равнина, достатъчно е да се построят пресечните точки на нейните странични лица с режещата равнина.

Случай 1.

Ако точка A принадлежи на лице, успоредно на правата g, тогава сечащата равнина пресича това лице по отсечката BC, успоредна на следата на g.

Случай 2.

Ако точка А, принадлежаща на сечението, е разположена върху лице, което не е успоредно на лицето на следата g, тогава:

1) построена е точка D, в която равнината на лицето пресича дадената следа g;

2) начертайте права линия през точки A и D.

Отсечката BC от правата AD е пресечната точка на това лице със сечащата равнина.

Краищата на сегмента BC също принадлежат на съседни лица. Следователно, използвайки описания метод, е възможно да се конструира пресечната точка на тези лица с режещата равнина. и т.н.

Случай 3.

Построяване на сечение на четириъгълна пирамида с равнина, минаваща през страната на основата и точка А върху един от страничните ръбове.

Задачи, включващи построяване на сечения през точка на лице

1. Построете сечение на тетраедъра ABCD с равнина, минаваща съответно през върха C и точките M и N на лицата ACD и ABC.

Точките C и M лежат на лицето ACD, което означава, че правата CM лежи в равнината на това лице (Фиг. 1).

Нека P е пресечната точка на прави CM и AD. По същия начин точките C и N лежат в лицето ACB, което означава, че правата CN лежи в равнината на това лице. Нека Q е пресечната точка на правите CN и AB. Точките P и Q принадлежат както на сечещата равнина, така и на лицето ABD. Следователно отсечката PQ е страната на сечението. И така, триъгълникът CPQ е необходимата секция.

2. Построете сечение на тетраедъра ABCD с равнината MPN, като точките M, N, P лежат съответно на ръба AD, в лицето BCD и в лицето ABC, като MN не е успоредна на равнината на лицето ABC. (фиг. 2).

Все още имате въпроси? Не знаете как да построите напречно сечение на многостен?
За да получите помощ от преподавател, регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Цел на работата:
Развитие на пространствени концепции.
Задачи:
1. Въведете правилата за конструиране на секции.
2. Развийте умения за конструиране на секции
тетраедър и паралелепипед при различни
случаи на задаване на сечеща равнина.
3. Развийте способността за прилагане на правила
изграждане на раздели при решаване на задачи по
теми "Многогранници".

За решаване на много
геометричен
необходими задачи
изграждане на секции
полиедри
различни
самолети.

Концепцията за режеща равнина

Секанс
самолет
паралелепипед
(тетраедър)
наречен всякакъв
равнина, от двете страни
страни от
което има
точки от дадена
паралелепипед
(тетраедър).

Концепцията за многостенно сечение

Режеща равнина
пресича ръбове
тетраедър
(паралелепипед) от
сегменти.
Многоъгълник, страни
кои данни са
се наричат ​​сегменти
напречно сечение на тетраедър
(паралелепипед).

Работа по чертежи

Колко равнини могат да бъдат начертани
чрез избрани елементи?
Какви аксиоми и теореми приложихте?

За изграждане на секция
трябва да начертаете точки
секуща пресечка
равнини с ръбове и
свържете ги с сегменти.

Правила за изграждане на секции

1. Можете да свържете само две
точки, лежащи в равнината на една
ръбове.
2. Сечещата равнина се пресича
успоредни лица по дължина
успоредни сегменти.

Правила за изграждане на секции

3. Ако равнината на лицето е маркирана
само една точка, принадлежаща на
секционна равнина, тогава е необходимо
изградете допълнителна точка.
За да направите това, трябва да намерите точки
кръстовища на вече изградени
прави линии с други прави линии,
лежащи на едни и същи ръбове.

10. Построяване на тетраедърни сечения

11.

Тетраедърът има 4 лица
В раздели може да се окаже
Триъгълници
Четириъгълници

12.

Построете напречно сечение на тетраедър
Преминаване на самолет DABC
през точки M,N,K
1. Нека начертаем права линия през
точки М и К, т.к те лъжат
в едно лице (ADC).
д
М
А.А.
н
К
BB
CC
2. Нека начертаем права линия през
точки K и N, т.к Те
легнете на една и съща страна
(CDB).
3. Аргументирайки по подобен начин,
начертайте правата линия MN.
4. Триъгълник MNK –
желаната секция.

13. минаваща през точка M успоредна на ABC.

д
1. Нека прекараме през точка M
прав паралел
ръб AB
2.
М
Р
А
ДА СЕ
СЪС
IN
Да минем през точка М
прав паралел
ръб AC
3. Нека начертаем права линия през
точки К и Р, т.к те лежат
едно лице (DBC)
4. Триъгълник MPK –
желаната секция.

14.

Построете сечение на тетраедър с равнина,
минаваща през точки E, F, K.
д
1. Извършваме KF.
2. Извършваме FE.
3. Да продължим
EF, да продължим AC.
Е
4.EF AC =M
5. Ние изпълняваме
МК.
д
М
AB=L
6.
МК
° С
А
7. Провеждане на ЕЛ
Л
EFKL – задължителен раздел
К
Б

15.

Построете сечение на тетраедър с равнина,
минаваща през точки E, F, K
Кои
какво точно
точка,
лежи в
Мога
Свържете се
полученото
Който
точки
Мога
незабавно
че
или
ръбове
Мога
продължи,
да се
получавам
точки,
лъжа
V
един
свързване?
свържете се
получени
допълнителен
точка?
ръбове,
име
раздел.
допълнителна точка?
д
AC
ЕЛФК
FSEC
и точка
К и Е
и FK
Е
Л
° С
М
А
д
К
Б

16.

Конструирайте разрез
равнина на тетраедър,
преминаване през точки
Е, Е, К.
д
Е
Л
° С
А
д
К
Б
ОТНОСНО

17.

Заключение: без значение от метода
конструкцията на секциите е същата

18. Построяване на сечения на паралелепипед

19.

Тетраедърът има 6 лица
Триъгълници
петоъгълници
В разделите му може да се окаже
Четириъгълници
Шестоъгълници

20. Построете разрез на паралелепипед с равнина, минаваща през точка X, успоредна на равнината (OSV)

В 1
A1
Y
х
D1
С
IN
А
д
З
1. Нека ви преведем
C1
точка X права линия
успоредно на ръба
D1C1
2. През точка X
директен
успоредно на ръба
D1D
3. През точка Z минава права
успоредно на ръба
СЪС
DC
4. Нека начертаем права линия през
точки S и Y, т.к те лежат в
едно лице (BB1C1)
XYSZ – задължителен раздел

21.

Построете сечение на паралелепипед
равнина, минаваща през точките
ЛУД
В 1
D1
д
A1
C1
IN
А
1. АД
2. MD
3. АЗ//АД, защото (ABC)//(A1B1C1)
4. A.E.
5. AEMD – задължителен раздел
М
д
СЪС

22. Построете сечение на паралелепипед с равнина, минаваща през точки M, K, T

н
М
ДА СЕ
Р
С
х
T

23. Изпълнявайте задачите сами

м
T
Да се
м
д
Да се
T
Построете сечение на: а) паралелепипед;
б) тетраедър
равнина, минаваща през точки M, T, K.

24. Използвани ресурси

Соболева Л. И. Изграждане на секции
Ткачева В.В. Изграждане на секции
тетраедър и паралелепипед
Гобозова Л.В. Строителни проблеми
секции
DVD диск. Уроци по геометрия от Кирил и
Методий. 10 клас, 2005г
Задачи за обучение и изпитване.
Геометрия. 10 клас (Тетрадка)/Алешина
Т.Н. – М.: Интелект-Център, 1998

Дмитриев Антон, Киреев Александър

Тази презентация ясно показва, стъпка по стъпка, примери за конструиране на раздели от прости до по-сложни задачи. Анимацията ви позволява да видите етапите на изграждане на секции

Изтегли:

Преглед:

За да използвате визуализации на презентации, създайте акаунт за себе си ( сметка) Google и влезте: https://accounts.google.com

Надписи на слайдове:

Изграждане на сечения от полиедри по примера на призма ® Създатели: Антон Дмитриев, Александър Киреев. Със съдействието на: Олга Викторовна Гудкова

План на урока Алгоритми за конструиране на раздели Самопроверка Демонстрационни задачи Задачи за затвърдяване на материала

Алгоритми за конструиране на сечения от следи от успоредни линии на успоредно пренасяне на режещата равнина на вътрешния дизайн, комбиниран метод за добавяне на n-ъгълна призма към триъгълна призма. Построяване на сечение по метода:

Построяване на сечение по метода на трасирането Основни понятия и умения Построяване на трасе на права върху равнина Конструиране на трасе на секуща равнина Конструиране на сечение

Алгоритъм за конструиране на сечение с помощта на метода за проследяване Разберете дали има две точки на сечение на едно лице (ако е така, тогава можете да начертаете страната на сечението през тях). Постройте сечение върху равнината на основата на многостена. Намерете допълнителна точка на сечение на ръба на полиедъра (удължете основната страна на лицето, съдържаща точката на сечение, докато се пресече със следата). Начертайте права линия през получената допълнителна точка върху трасето и точката на сечението в избраното лице, като маркирате точките на пресичане с ръбовете на лицето. Изпълнете стъпка 1.

Построяване на сечение на призма Няма две точки, принадлежащи на едно и също лице. Точка R лежи в равнината на основата. Нека намерим следата на правата KQ върху основната равнина: - KQ ∩K1Q1=T1, T1R е следата на сечението. 3. T1R ∩CD=E. 4. Да направим EQ. EQ∩DD1=N. 5. Да изпълним НК. NK ∩AA1=M. 6. Свържете M и R. Построете сечение с равнина α, преминаваща през нея точки K,Q,R; K = ADD1, Q = CDD1, R = AB.

Метод на успоредните прави Методът се основава на свойството на успоредните равнини: „Ако две успоредни равнини се пресичат от трета, то линиите на тяхното пресичане са успоредни. Основни умения и понятия Построяване на равнина, успоредна на дадена Построяване на пресечна линия на равнини Построяване на сечение

Алгоритъм за построяване на сечение по метода на успоредните прави. Построяваме проекции на точките, определящи сечението. През две дадени точки (например P и Q) и техните проекции начертаваме равнина. През третата точка (например R) построяваме успоредна на нея равнина α. Намираме пресечните линии (например m и n) на равнината α с лицата на многостена, съдържащ точките P и Q. През точка R прекарваме права, успоредна на PQ. Намираме точките на пресичане на права a с прави m и n. Намираме точките на пресичане с ръбовете на съответното лице.

(ПРИЗМА) Построяваме проекции на точки P и Q върху равнината на горната и долната основа. Начертаваме равнината P1Q1Q2P2. През ръба, съдържащ точката R, начертаваме равнина α, успоредна на P1Q1Q2. Намираме пресечните линии на равнините ABB1 и CDD1 с равнината α. През точката R прекарваме права a||PQ. a∩n=X, a∩m=Y. XP∩AA1=K, XP∩BB1=L; YQ∩CC1=M, YQ∩DD1=N. KLMNR е задължителният раздел. Построете сечение с равнина α, преминаваща през нея точки P,Q,R; P = ABB1, Q = CDD1, R = EE1.

Метод на паралелна транслация на сечаща равнина. Построяваме спомагателно сечение на този полиедър, което отговаря на следните изисквания: то е успоредно на сечащата равнина; при пресичане с повърхността на даден полиедър образува триъгълник. Свързваме проекцията на върха на триъгълника с върховете на лицето на многостена, който спомагателният участък пресича, и намираме точките на пресичане със страната на триъгълника, лежаща в това лице. Свържете върха на триъгълника с тези точки. През точката на желаната секция начертаваме прави линии, успоредни на конструираните сегменти в предишния параграф, и намираме точките на пресичане с ръбовете на полиедъра.

ПРИЗМА R = AA1, P = EDD1, Q = CDD1. Нека построим спомагателната секция AMQ1 ||RPQ. Нека изпълним AM||RP, MQ1||PQ, AMQ1∩ABC=AQ1. P1 - проекция на точки P и M върху ABC. Нека изпълним P1B и P1C. Р1В∩ AQ1=O1, P1C ∩ AQ1=O2. През точка P прекарваме прави m и n съответно, успоредни на MO1 и MO2. m∩BB1=K, n∩CC1=L. LQ∩DD1=T, TP∩EE1=S. RKLTS – необходимо сечение Построява се сечение на призмата с равнина α, минаваща през точки P,Q,R; P = EDD1, Q = CDD1, R = AA1.

Алгоритъм за изграждане на разрез по метода на вътрешното проектиране. Изградете спомагателни сечения и намерете линията на тяхното пресичане. Конструирайте трасе на сечение на ръба на полиедър. Ако няма достатъчно точки на разрез за изграждане на самия участък, повторете стъпки 1-2.

Изграждане на спомагателни секции. PRISMA Паралелен дизайн.

Конструиране на линия на сечение върху ръб

Комбиниран метод. Начертайте равнина β през втората права q и някаква точка W от първата права p. В равнината β през точката W начертайте права линия q‘, успоредна на q. Пресечните прави p и q‘ определят равнината α. Директно построяване на сечение на многостен с равнина α. Същността на метода е прилагането на теореми за успоредността на прави и равнини в пространството в комбинация с аксиоматичния метод. Използва се за конструиране на сечение на многостен с условие за успоредност. 1. Построяване на сечение на многостен с равнина α, минаваща през дадена права p, успоредна на друга дадена права q.

ПРИЗМА Построете сечение на призма с равнина α, минаваща през правата PQ, успоредна на AE1; P = BE, Q = E1C1. 1. Начертайте равнина през правата AE1 и точка P. 2. В равнината AE1P през точка P начертайте права q" успоредна на AE1. q"∩E1S’=K. 3. Търсената равнина α се определя от пресичащите се прави PQ и PK. 4. P1 и K1 са проекции на точки P и K върху A1B1C1. P1K1∩PK=S.“ S”Q∩E1D1=N, S”Q∩B1C1=M, NK∩EE1=L; MN∩A1E1=S”’, S”’L∩AE=T, TP∩BC=V. TVMNL е задължителният раздел.

Метод за допълване на n-ъгълна призма (пирамида) към триъгълна призма (пирамида). Тази призма (пирамида) се изгражда до триъгълна призма (пирамида) от тези лица, на страничните ръбове или лица, на които има точки, които определят желаното сечение. Построява се напречно сечение на получената триъгълна призма (пирамида). Желаното сечение се получава като част от сечението на триъгълна призма (пирамида).

Основни понятия и умения Конструиране на спомагателни сечения Конструиране на линия на сечение върху ръб Конструиране на сечение Централен дизайн Паралелен дизайн

ПРИЗМА Q = BB1C1C, P = AA1, R = EDD1E1. Завършваме призмата до триъгълна. За да направите това, разширете страните на долната основа: AE, BC, ED и горната основа: A 1 E 1, B 1 C 1, E 1 D 1. AE ∩BC=K, ED∩BC=L, A1E1 ∩B1C1=K1, E1D1 ∩B1C1=L1. Конструираме разрез на получената призма KLEK1L1E1, използвайки равнината PQR, използвайки метода за вътрешен дизайн. Този раздел е част от това, което търсим. Изграждаме необходимата секция.

Правило за самоконтрол Ако многостенът е изпъкнал, то сечението е изпъкнал многоъгълник. Върховете на многоъгълника винаги лежат на ръбовете на многостена. Ако точките на сечението лежат на ръбовете на многостена, то те са върховете на многоъгълника, който ще се получи в сечението. Ако точките на сечението лежат на лицата на многостена, то те лежат на страните на многоъгълника, който ще се получи в сечението. Двете страни на многоъгълника, който се получава в сечението, не могат да принадлежат на едно и също лице на многостена. Ако едно сечение пресича две успоредни лица, то отсечките (страните на многоъгълника, които ще се получат в сечението) ще бъдат успоредни.

Основни задачи за конструиране на сечения на полиедри Ако две равнини имат две общи точки, тогава права линия, прекарана през тези точки, е линията на пресичане на тези равнини. M = AD, N = DCC1, D1; ABCDA1B1C1D1 - куб M = ADD1, D1 = ADD1, MD1. D1 є D1DC, N є D1DC, D1N ∩ DC=Q. M = ABC, Q = ABC, MQ. II. Ако две успоредни равнини се пресичат от трета, то линиите на тяхното пресичане са успоредни. M = CC1, AD1; ABCDA1B1C1D1- куб MK||AD1, K є BC. M = DCC1, D1 = DCC1, MD1. A = ABC, K = ABC, AK.

III. Общата точка на три равнини (върхът на тристенен ъгъл) е общата точка на линиите на тяхното сдвоено пресичане (ръбове на тристенен ъгъл). M = AB, N = AA1, K = A1D1; ABCDA1B1C1D1- куб NK∩AD=F1 - връх на тристенния ъгъл, образуван от равнини α, ABC, ADD1. F1M∩CD=F2 - връх на тристенния ъгъл, образуван от равнини α, ABC, CDD1. F1M ∩BC=P. NK∩DD1=F3 - върхът на тристенния ъгъл, образуван от равнините α, D1DC, ADD1. F3F2∩D1C1=Q, F3F2∩CC1=L. IV. Ако една равнина минава през права, успоредна на друга равнина, и я пресича, тогава пресечната линия е успоредна на тази права. A1, C, α ||BC1; ABCA1B1C1 - призма. α∩ BCC1=n, n||BC1, n∩BB1=S. SA1∩AB=P. Свържете A1, P и C.

V. Ако една линия лежи в равнината на сечението, тогава точката на нейното пресичане с равнината на лицето на полиедъра е върхът на тристенния ъгъл, образуван от сечението, лицето и спомагателната равнина, съдържаща тази линия. M = A1B1C1, K = BCC1, N = ABC; ABCDA1B1C1- паралелепипед. 1. Спомагателна равнина MKK1: MKK1∩ABC=M1K1, MK∩M1K1=S, MK∩ABC=S, S е върхът на тристенния ъгъл, образуван от равнините: α, ABC, MKK1. 2. SN∩BC=P, SN∩AD=Q, PK∩B1C1=R, RM∩A1D1=L.

Задачи. Коя фигура показва разрез на куб с помощта на равнината ABC? Колко равнини могат да бъдат начертани през избраните елементи? Какви аксиоми и теореми приложихте? Заключете как да построите сечение в куб? Нека си спомним етапите на конструиране на секции на тетраедър (паралелепипед, куб). До какви полигони може да доведе това?